FUNDAMENTOS MATEMATICOS Examen Primer...
4
FUNDAMENTOS MATEM ´ ATICOS Examen Primer Parcial PARTE JGC (X min.) 18 de enero de 2011 PREGUNTAS: 1. Sea f : J 2×2 → M 2×2 , tal que f (A)= A -1 , y donde J 2×2 es el conjunto de las matrices de la forma: A = 0 a b c , con a, b, c n´ umeros reales, y M 2×2 es el conjunto de todas las matrices 2 × 2 con elementos reales. a ) Determinar para qu´ e valores de a, b, c es f realmente una aplicaci´ on. SOLUCI ´ ON:::::: f es realmente una aplicaci´ on cuando existe la imagen en M 2×2 de cualquier elemento de J 2×2 , es decir, cuando toda matriz de la forma de A tiene inversa; si calculamos la inversa de una matriz de la forma de A, veremos qu´ e condici´ on han de cumplir los par´ ametros a, b, c para que exista esta inversa; el resultado es A -1 = -c ab 1 b 1 a 0 , y en el proceso de inversi´ on de la matriz hemos necesitado que se cumpla que tanto a como b sean distintos de 0: ´ esa es por tanto la ´ unica condici´ on a cumplir por los par´ ametros para que f sea aplicaci´ on. b ) Para los casos en que f es aplicaci´ on, justificar si es biyectiva. SOLUCI ´ ON:::::: Para que sea biyectiva, ha de ser sobreyectiva e inyectiva. No es biyecti- va porque no es sobreyectiva. No es sobreyectiva porque hay elementos de M 2×2 que no son imagen de ning´ un elemento origen (por ejemplo, cualquier matriz de M 2×2 que en su elemento (2, 2) no tenga un 0). c ) Justificar si, siempre que f es aplicaci´ on, es adem´ as una aplicacion lineal. SOLUCI ´ ON:::::: f no es en general aplicaci´ on lineal, porque en general no se cumple que f (A+B)= f (A)+f (B) (sabemos que, en general, no se cumple que (A+B) -1 = A -1 +B -1 , baste para verlo tomar como contraejemplo el caso A = I , B = -I ). 2. Sea el conjunto de vectores S = {(x 1 ,x 2 ,x 3 ) ∈ R 3 /ax 1 + bx 2 + cx 3 = d} T es un espacio vectorial de dimensi´ on 1, perteneciente a R 3 , que contiene al vector (1, 1, 1). U es un subespacio vectorial que tiene por base al vector (1, 1, 0). Determinar los valores de a, b, c, d v´ alidos para que S sea un subespacio vectorial de dimensi´ on 2 que contiene a T ya U . SOLUCI ´ ON:::::: En realidad T y U son 2 subespacios de dimensi´ on 1, distintos, cada uno dado por un vector (que ser´ a base de cada uno de ellos). Nos piden que S sea subespacio (con lo que necesariamente d = 0, porque si no el vector (0, 0, 0) no pertenecer´ ıa a S ,y´ este no ser´ ıa subespacio), y que contenga a T y U teniendo dimensi´ on 2; por lo que los 2 vectores que son base respectivamente de T y U ser´ an una base de S ; as´ ı, un vector gen´ erico de S cumplir´ a: (x 1 ,x 2 ,x 3 )= α 1 * (1, 1, 1) + α 2 * (1, 1, 0),
Transcript of FUNDAMENTOS MATEMATICOS Examen Primer...
FUNDAMENTOS MATEMATICOS Examen Primer Parcial
PARTE JGC (X min.) 18 de enero de 2011
PREGUNTAS:
1. Sea f : J2×2 → M2×2 , tal que f(A) = A−1 , y donde J2×2 es el conjunto de las matrices de laforma:
A =
(0 ab c
),
con a, b, c numeros reales, y M2×2 es el conjunto de todas las matrices 2×2 con elementos reales.
a) Determinar para que valores de a, b, c es f realmente una aplicacion.SOLUCION:::::: f es realmente una aplicacion cuando existe la imagen en M2×2 de cualquierelemento de J2×2, es decir, cuando toda matriz de la forma de A tiene inversa; si calculamosla inversa de una matriz de la forma de A, veremos que condicion han de cumplir losparametros a, b, c para que exista esta inversa; el resultado es
A−1 =
−cab
1b
1a 0
,
y en el proceso de inversion de la matriz hemos necesitado que se cumpla que tanto a comob sean distintos de 0: esa es por tanto la unica condicion a cumplir por los parametros paraque f sea aplicacion.
b) Para los casos en que f es aplicacion, justificar si es biyectiva.SOLUCION:::::: Para que sea biyectiva, ha de ser sobreyectiva e inyectiva. No es biyecti-va porque no es sobreyectiva. No es sobreyectiva porque hay elementos de M2×2 que noson imagen de ningun elemento origen (por ejemplo, cualquier matriz de M2×2 que en suelemento (2, 2) no tenga un 0).
c) Justificar si, siempre que f es aplicacion, es ademas una aplicacion lineal.SOLUCION:::::: f no es en general aplicacion lineal, porque en general no se cumple quef(A+B) = f(A)+f(B) (sabemos que, en general, no se cumple que (A+B)−1 = A−1+B−1,baste para verlo tomar como contraejemplo el caso A = I, B = −I).
2. Sea el conjunto de vectores
S = {(x1, x2, x3) ∈ R3/ax1 + bx2 + cx3 = d}
T es un espacio vectorial de dimension 1, perteneciente a R3, que contiene al vector (1, 1, 1).U es un subespacio vectorial que tiene por base al vector (1, 1, 0).Determinar los valores de a, b, c, d validos para que S sea un subespacio vectorial de dimension2 que contiene a T y a U .SOLUCION:::::: En realidad T y U son 2 subespacios de dimension 1, distintos, cada uno dadopor un vector (que sera base de cada uno de ellos). Nos piden que S sea subespacio (con loque necesariamente d = 0, porque si no el vector (0, 0, 0) no pertenecerıa a S, y este no serıasubespacio), y que contenga a T y U teniendo dimension 2; por lo que los 2 vectores que sonbase respectivamente de T y U seran una base de S; ası, un vector generico de S cumplira:
(x1, x2, x3) = α1 ∗ (1, 1, 1) + α2 ∗ (1, 1, 0),
que, igualando componentes y resolviendo el sistema de ecuaciones, resulta en la unica condicionnecesaria para que S tenga esa base, que es x1, x2. Por tanto, la solucion completa del problemaes: a = −b, c = 0, d = 0.
