Fundamentos de procesamiento digital de señales (Tema...

Fundamentos de procesamiento digital de

señales

(Tema 1)

A. J. Zozaya

Instituto Espacial Ecuatoriano (IEE), Escuela Politécnica Nacional (EPN)

Quito, 2016

A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, 2016 1 / 39

Contenido

1 Convolución de tiempo continuo

2 Correlación

3 Convolución de tiempo discreto

4 Analisis en el dominio de la frecuencia

Transformada de Fourier de tiempo continuo

Transformada de Fourier de tiempo discreto

Transformada discreta de Fourier

5 Convolución usando la DFT

6 Muestreo de señales analógicas

7 Interpolación

8 Referencias


Convolución de tiempo continúoLinealidad e invariancia temporal

Linealidad

x1 ! y1

x2 ! y2

1x1 + 2x2 + : : :! 1y1 + 2y2 + : : :

2 superposición

CT

x(t) ! y (t)

x(t t0) ! y (t t0)

DT

x [n] ! y [n]

x [n n0] ! y [n n0]

2 el origen de los tiempos es irrelevante


Convolución de tiempo continúo

4 x(t) o x [n] ) combinación lineal de funciones bases

4 Funciones bases: convenientes analítacamente

4 Dos clases

3 impulsos retardados ) convolución

3 exponenciales complejos ) Análisis de Fourier

CT

(t) =

(6= 0 si t = 0;

= 0 si t 6= 0:Z1

1

(t) dt = 1

Z1

1

f (t)(t ) dt =

f ( )(t ) dt =f ( )

DT

[n] =

(= 1 si n = 0;

= 0 si n 6= 0:



Como Z1

1

s(t)(t u) dt = s(u)(t u) dt = s(u)

Entonces Z1

1

s(u)(t u) du = s(t)



2 ltrar ) convolución

y (t) = s(t) h(t)

y (t) = s(t) h(t) =

Z1

1

s(u)h(t u) du

=

Z1

1

s(t u)h(u) du

2 h(t): respuesta impulsiva del ltro. s(t): la señal.

Filtro de duración nita T

y (t) = s(t) h(t) =

Zt+T=2

tT=2

s(u)h(t u) du

=

ZT=2

T=2

s(t u)h(u) du


Algunas propiedades

Linealidad

[s1(x) + s2(x)] h(x) = s1(x) h(x) + s2(x) h(x)

Conmutatividad

s(t) h(t) = h(t) s(t)


Correlación

Correlación (cruzada)

Φsh(t) =

Z1

1

s(u)h(u t) du

+ medida de similitud

4 permite detectar donde s(t) y h(t)matches

4 Ejemplo 1: = 1 s, sinruido

4 Ejemplo 2: en presenciade ruido

4 Ejemplo 2: en presenciade más ruido

4 Ejemplo 3: h(t)presente dos veces ens(t), una vez condistinta polaridad.


Correlación


Φsh(t) =

Z1

1

s(u)h(u t) du

4 medida de similitud

+ permite detectar donde s(t) y h(t)matches






Correlación


Φsh(t) =

Z1

1

s(u)h(u t) du



+ Ejemplo 1: = 1 s, sinruido





Correlación


Φsh(t) =

Z1

1

s(u)h(u t) du




+ Ejemplo 2: en presenciade ruido




Correlación


Φsh(t) =

Z1

1

s(u)h(u t) du





+ Ejemplo 2: en presenciade más ruido



Correlación


Φsh(t) =

Z1

1

s(u)h(u t) du






+ Ejemplo 3: h(t)presente dos veces ens(t), una vez condistinta polaridad.


Correlación

La correlación cruzada no es conmutativa!!!

Φsh(t) = Φhs

(t)

Correlación (cruzada) y convolución

Φsh(t) =

Z1

1

s(u)h(u t) du = s(t) h(t)


Convolución de tiempo discreto

Como

s[n][n k ] = s[k ][n k ]

2 ejemplo

Sigue que1X

k=1

s[k ][n k ] = s[n]

2 ejemplo

por tanto

[n] ) h[n]; y [n k ] ) h[n k ]

s[n] )

1Xk=1

s[k ]h[n k ]


Convolución de tiempo discreto

Convolución de tiempo discreto (www)

y (n) =s[n] h[n]

=

M1Xk=0

s[n k ]h[k ] =

nXk=n(M1)

s[k ]h[n k ]

2 N: número de muestras de la señal s[n].2 M: número de muestras de la respuesta impulsiva del ltro.2 Normalmente (caso SAR) M<N.2 Ej. s=[1/2 1 1/2] y h=[1 1].


https://www.youtube.com/watch?v=U3BwStzKvs0

EjemploComo una suma de secuencias


EjemploComo una suma de muestras o un proceso dinámico


Transformada de Fourier

Combinación lineal

x(t) = combinación lineal de funciones bases

Combinación lineal de impulsos

x(t) =

Z1

1

x(u)(t u) du

Combinación lineal de exponenciales complejos

x(t) =1

2

Z1

1

X (!) exp(|!t) d!


Transformada de Fourier (CT)

x(t) = A cos(Ωt + )

FT de x(t)

X (Ω) =

Z1

1

x(t)e|Ωt dt

2 Ejemplo

rect

t

P

$ P

sin(ΩP=2)

ΩP=2


Transformada de Fourier (CT)Ejemplo

X (Ω) =

Z1

1

x(t)e|Ωt dt

Psin(ΩP=2)

ΩP=2$ rect

t

P


Transformada de Fourier (CT)Dos importantes propiedades

Teorema de la Convolución

x(t) y (t) $ X (Ω)Y (Ω)

FTfx(t) y (t)g =

Z1

1

"Z1

1

x( )y (t ) d

#e|Ωt dt

=

Z1

1

x( )

"Z1

1

y (t )e|Ωt dt

#d =

"Z1

1

x( )e|Ω d

#Y (Ω)

También

x(t)y (t) $1

2X (Ω) Y (Ω)



Muestreo

xS(t) = x(t)

1Xn=1

(t nTS)

P1

n=1 (t nTS) $ ΩS

P1

k=1 (Ω kΩS)

ΩS = 2fS = 2

TS

FT de xs(t)

XS(Ω) =1

2

24X (Ω) ΩS

1Xk=1

(Ω kΩS)

35

x(t)y (t) $ 1

2X (Ω) Y (Ω)

XS(Ω) =1

TS

1Xk=1

X (Ω kΩS)



xS(t) =

1Xn=1

x(nTS)(t nTS)

x [n] = xS(nTS)

Ae|(!n+) = Ae|(ΩnTS+)

! = ΩTS

! en rads, Ω en rads/s.

ΩS

2:

ΩS

2$ :


Transformada de Fourier (DTFT)

DTFT de x [n]

X (!) =

1Xn=1

x [n]e|!n

Relación CTFT-DTFT

X (!) = XS(Ω)jΩ= !

TS

exp |(! + k2)n = exp |!n

k entero

X (!) =1

TS

1Xk=1

XS

!

TS

k!S

TS

!S = 2A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, 2016 21 / 39

Transformada de Fourier (DTFT)

Enventanado

RN [n] =

(1 0 n N 1;

0 otherwise:

xN [n] = x [n]RN [n]

N = 2q + 1, pérdida de información

RN [n] $sin[!N=2]

sin(!=2)e|!(N1)=2

XN(!) $1

2X (!)

sin[!N=2]

sin(!=2)e|!(N1)=2

XN(!) versión esparcida de X (!) [M. Fowler].


https://www.youtube.com/watch?v=x7JqPhwwnBU

Relación CTFT, DTFT y DFT


Transformada discreta de Fourier (DFT)

DFT

XN [k ] =

N1Xn=0

xN [n]e|2k

Nn; k = 0; 1; : : : ;N 1

2 ∆f = fs=N, 2 S[k ] = S(kfs=N).From www:

Relación DTFT-DFT

XN [k ] = XN(!)j!k

!k = 2

Nk, k = 0; 1; 2; : : : ;N 1

XN [k ] = XN

k2

N

k = 0; 1; 2; : : : ;N 1


https://ece.uwaterloo.ca/~ece413/outline.html


Evaluación numérica de la DFT

266666666664

X [0]X [1]...

X [k ]...

X [N 1]

377777777775

= exp

266666666664j

2

N

0BBBB@

01...

N 1

1CCCCA

| z N1

0 1 N 1

| z

1N

377777777775

| z NN

266666666664

x [0]x [1]...

x [n]...

x [N 1]

377777777775

En MATLABfunction X=dft(x)N=length(x);W=exp(-j*(2*pi/N)*[0:N-1]’*[0:N-1]);X=W*x’;



Evaluación numérica de la DFT

266666666664

X [0]X [1]...

X [k ]...

X [N 1]

377777777775

= exp

266666666664j

2

N

0BBBB@

01...

N 1

1CCCCA

| z N1

0 1 N 1

| z

1N

377777777775

| z NN

266666666664

x [0]x [1]...

x [n]...

x [N 1]

377777777775

Zero padding

2 añadir ceros al nal de una secuencia2 interpolar en el dominio transformado2 ajustar la separación entre muestras2 tamaño de la secuencia ! 2M, M apropiado para la FFT2 no cambia la información de la secuencia



IDFT

xN [n] =1

N

N1Xk=0

XN [k ]e|2k

Nn; n = 0; 1; : : : ;N 1

Evaluación numérica de la IDFT

266666666664

x [0]x [1]...

x [n]...

x [N 1]

377777777775

=

1

N

exp

266666666664j2

N

0BBBB@

01...

N 1

1CCCCA

| z N1

0 1 N 1

| z

1N

377777777775

| z NN

266666666664

X [0]X [1]...

X [k ]...

X [N 1]

377777777775


Convolución usando la DFT

Convolución $ multiplicación (www)

x1(t) x2(t) $X1(Ω)X2(Ω)

x1(t)x2(t) $1

2X1(Ω) X2(Ω)

Convolución circular $ multiplicación (www)

x1[n] N x2[n] $X1[k ]X2[k ]

x1[n]x2[n] $1

NX1[k ] N X2[k ]

PeroEn general:

x1[n] N x2[n] 6= x1[n] x2[n]


https://www.youtube.com/watch?v=_vyke3vF4Nk

https://www.youtube.com/watch?v=eOvMUtMoQG8


Convolución circular (ver www)

x1[n] N x2[n] =

24N1Xk=0

x1[k ]x2[((n k))N ]

35RN [n]

donde x2[((n))N ] =P1

`=1 x2[n `N] es la extensión periódica de x2[n].

x1[n] N x2[n] = [x1[n] x2[((n))N ]]RN [n]

(mod m): n = q m + R, donde q m < n (www).


https://www.youtube.com/watch?v=_KbfL3lVgag

https://www.youtube.com/watch?v=2rbeCUMBYgk


Convolución circular2 Convolución circular ) convolución lineal + aliasing

x1[n] N x2[n] =

24(x1[n] x2[n])

1X`=1

(n `N)

35RN [n] 6= x1[n] x2[n]

Convolución cíclica

s[n] h[n] = IDFTfDFTfs[n]gDFTfh[n]gg

s(n) de duración n1, h(n) de duración n2, (en SAR) n1 > n2, y h(n) escompletada con ceros hasta n1 para obtener n1 n2 + 1 convolucionescompletas [CW05]. O ambas se completan con cero hastaN = n1 + n2 1 para obtener las convolución líneal.

En MATLABifft(fft(s,N).*fft(h,N));

N: 2N n1 + n2 1 para obtener la convolución lineal, o N:2N n1 n2 + 1 si solo interesan las convoluciones completas [CW05].


Muestreo de señales

4 t-continuo, duración 1

4 t-continuo, duración nita

4 t-discreto, duración 1

4 t-discreto, duración nita

Tasa de muestreo de Nyquist2 La frecuencia de muestreo ha de ser mayor o igual al doble de la másalta componente en fecuencia de la señal, si esta es real.2 La frecuencia de muestreo ha de ser mayor o igual a la más altacomponente en fecuencia de la señal, si esta es compleja.

Factor de sobremuestreo

factor de sobremuestreo =rata actual de muestreo

rata de muestreo de Nyquist

2 Usualmente del orden de 1.1 a 1.4 [CW05].


Muestreo de un pulso LFMFrecuencia de muestreo de la señal LFM

2 fs > B

2 Factor de sobremuestreo os:

os =fs

B=

fs

jK j

2 No gap ! rata de muestreo muy baja2 gap > 20 % de fs , la rata de muestreo es mayor que la óptima entérminos de eciencia de procesado [CW05]


Muestreo de un pulso LFM


Interpolación

x(t) =Xn

x [n]h(t nTs)

donde:2 x [n]: muestras de x(t)2 x [n] = x(t) cuando nTs = t, siendo Ts la tasa de muestreo que cumpleel criterio de Nyquist2 h(t) es la función interpoladora, o núcleo de interpolación2 h(t) es una función par de t: h(n t) = h(t n)2 la muestra de x(t) en n, x [n], hace de peso de la función interpoladorah(t nTs)2 el valor x(t) interpolado en t, se obtiene mediante la suma de losproductos de la función interpoladora h(t), desplazada nTs segundos:h(t nTs), evaluada en t, por las muestras x [n] alrededor de t.


Interpolación sinc ideal

De acuerdo al Teorema de muestreo de Nyquist:2 si x(t) es limitada en frecuencia2 la frecuencia de muestreo es igual o mayor al doble de la máximafrecuencia de x(t), siendo x(t) real, entonces (WWW):

X (Ω) = Hr (Ω)XS(Ω)

Hr (Ω) = TSrect

Ω

ΩS

XS(Ω) =

1

TS

1Xk=1

X (Ω kΩS)


https://www.youtube.com/watch?v=VsQc9tY-FT0


x(t) = hr (t) xS(t)

TSrect

Ω

ΩS

$ sinc(fSt) = hr (t) xS(t) =

1Xn=1

x(nTS)(t nTS)

Interpolación ideal: no causal y de ext. 1

x(t) =

1Xn=1

x [n]sinc [fS(t nTS)]



correr script: demointerpol.m


Funciones de interpolación

De acuerdo al Teorema de muestreo de Nyquist:2 si x(t) es limitada en frecuencia2 la frecuencia de muestreo es igual o mayor al doble de la máximafrecuencia de x(t), siendo x(t) real, entonces:

Función de interpolación sinc(t) en t

h(t) = sinc(t) =sint

t

x(t) =Xn

x [n]sinc

1

TS

(t nTS)

Función de interpolación Φ(!) en f

Φ(!) =sin(!N=2)

N sin(!=2)e|(N1)=2

X (!) =Xk

XKΦ

! k

2

N


Referencias I

Ian G. Cumming and Frank H. Wong.

Digital processing of synthetic aperture radar data, algorithm and

implementation.

Artech House, 2005.

Jhon G. Proakis and Dimitris G. Manolakis.

Digital Signal Processing, Principles,Algorithms, and Application.

Prentice Hall, third edition, 1996.


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