Fundamentos de Navegacio´n A´ereaGrandes estructuras espaciales: p.ej. Antenas gigantes o...

IntroduccionEl Problema de los Dos Cuerpos

Leyes horarias. Elementos Orbitales. Teorıa de Perturbaciones.La Tierra. Trazas, cobertura y visibilidad. Orbitas de aplicacion.

Fundamentos de Navegacion AereaTema 9: Mecanica Orbital Basica

Rafael Vazquez Valenzuela

Departmento de Ingenierıa AeroespacialEscuela Superior de Ingenieros, Universidad de Sevilla

[email protected]

16 de marzo de 2017



Misiones espacialesConceptos Avanzados

Definicion de Astronautica

De acuerdo a sus propiedades, la atmosfera se puede clasificar enlas siguientes capas:

0-8/16 km Troposfera8/16-50 km Estratosfera50-80/85 km Mesosfera80/85-500 km Termosfera500- 10000 km Exosfera

Aproximadamente a 100 km (en la Termosfera), Von Karmancalculo que un vehıculo necesitarıa ir mas rapido que la velocidadorbital para generar sustentacion. En base a este calculo, la FAI(Federation Aeronautique Internationale) define en sus estatutos:

Aeronautica: cualquier actividad aerea (incluyendo deportes)a menos de 100 km de la superficie.Astronautica: cualquier actividad a mas de 100 km de lasuperficie.

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Misiones Espaciales: Clasificacion

El criterio mas adecuado para clasificar un satelite o vehıculoespacial es la definicion de su mision.

Las misiones se pueden clasificar atendiendo a dos criterios:Proposito de la mision.Localizacion espacial de la mision.

Las misiones se pueden clasificar por su proposito en tresgrandes grupos (que pueden solaparse): Misiones Comerciales,Misiones Cientıficas y Misiones Militares.

Las misiones se pueden clasificar por su localizacion en variascategorıas: Misiones en orbita terrestre baja (LEO), Misionesen orbita terrestre de altitud media/alta y Misiones lunares yen el espacio profundo (“deep space”).

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Misiones Cientıficas

Su objeto es aumentar el conocimiento humano, ya seaobteniendo datos de medidas, realizando experimentos, ocomprobando teorıas.Ejemplos:

Estudio de la Tierra y su entorno. Estudios de la altaatmosfera, la ionosfera, estudios de geomagnetismo, geodesia,oceanografıa. Uno de los primeros hitos fue el descubrimientode los cinturones de Van Allen por el Explorer-I.Astronomıa. Las observaciones espaciales se libran de laslimitaciones en resolucion y ancho de banda electromagneticoque impone la atmosfera. El telescopio espacial Hubbleproporciona resoluciones 10 veces superiores a las detelescopios terrestres.Sistema Solar. Recopilacion de datos sobre planetas, cometas,satelites de planetas, el propio sol o el mediointerplanetario/interestelar.

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Misiones Comerciales

Su objeto es una aplicacion inmediata de interes economico.

Ejemplos:Meteorologıa. Primer campo de aplicacion de los satelites.Orbitas heliosıncronas y geostacionarias.Comunicaciones. Telefonıa fija y movil, retransmisiones detelevision, internet. Repetidores tıpicamente activos. Suelenencontrarse en orbitas geoestacionarias, especiales (Molniya), oconstelaciones de satelites.Recursos terrestres. Agricultura, prospeccion, cartografıamarina y terrestre, hidrologıa, control ambiental, deteccion decatastrofes. Tıpicamente en orbitas heliosıncronas.Navegacion. Red GPS (USA), Glonass (Rusia). Futura Galileo(ESA). Son constelaciones de satelites.

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Misiones Militares

Su objeto es una aplicacion belica o defensiva; se incluyen lasmisiones de investigacion tecnologica.

Ejemplos:Reconocimiento (satelites espıa). Capaces de distinguir objetospequenos (centımetros) tanto de dıa como de noche (mediantesistemas infrarrojos).Alerta temprana. Deteccion de ICBMs.Inteligencia electronica. Capturan senales electronicas y deradar y las emiten a estaciones de control para su analisis.Sistemas de Satelite Antisatelites (ASAT). Antiguamenteconocido como “Star Wars”. Investigacion prohibida portratados internacionales.

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Misiones en orbita terrestre baja (LEO)Comprenden la mayor parte de las misiones llevadas a cabo.Aproximadamente se consideran LEO (Low Earth Orbit)orbitas de altitud menor que 2000km, aunque en la practica sesuelen usar orbitas bajo 1000 km (por debajo de loscinturones Van Allen excepto la Anomalıa del Atlantico Sur).Ejemplos:

Pruebas de vuelo. Comportamiento de la propulsion, etapas,reentrada. Carga de pago simulada.Observacion de la Tierra. Tıpicamente en orbitas bajas paraminimizar la distancia. En ocasiones se busca un periodo quesea una fraccion entera del dıa terrestre. La inclinacion orbitalse elige segun las latitudes a cubrir. En muchos casos se eligenorbitas heliosıncronas (p. ej. Satelites meteorologicos).Observacion del espacio, aunque en LEO puede haberlimitaciones de ancho de banda por efectos atmosfericos.Procesos Industriales (actualmente en etapa experimental).Procesos de manufactura unicamente posibles en el espacio(cristales, aleaciones).

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Misiones en orbita terrestre de altitud media/alta

Incluye las orbitas geosıncronas, semi-geosıncronas y otrasorbitas especiales.Siempre por encima del cinturon de radiacion interno,ocasionalmente pueden cruzar el cinturon externo.Ejemplos:

Orbita geosıncrona (GEO). Incluye la orbita geoestacionaria(solo posible sin inclinacion, es decir sobre el Ecuador). Lasorbitas geosıncronas no geoestacionarias no permanecensiempre sobre el mismo punto, sino que viajan periodicamenteal Sur y al Norte del punto; usualmente la huella del satelitetiene forma de 8.Otras orbitas de interes tienen periodos en relacion simple alperiodo de la Tierra. P.ej. los satelites Molniya que cubrenzonas de elevada latitud en Rusia.Aplicaciones: satelites de comunicaciones, meteorologicos, denavegacion. observaciones del espacio. Aplicacion futura:ODSRS (Orbiting Deep Space Relay Satellite). 8 / 107




Misiones lunares y en el espacio profundo

En general poco frecuentes debido a los elevados costes,tiempos de vuelo y escasez de oportunidades (ventanas delanzamiento).

Ejemplos:Misiones en los planetas interiores. Desde Mercurio al cinturonde asteroides. Es posible el uso de energıa solar. Tiempos devuelo tıpicos en meses. En general los asteroides permaneceninexplorados.Misiones en los planetas exteriores. Todos los planetas han sidoya visitados (excepto el planeta enano Pluton). Misiones muycostosas, tiempos de vuelo tıpicamente anos. Uso demaniobras asistidas por gravedad. No es posible dependerexclusivamente de energıa solar.Misiones solares.Otros cuerpos pequenos. Cometas, asteroides.

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Conceptos avanzados

Grandes estructuras espaciales: p.ej. Antenas gigantes o“centrales” electricas solares. Aprovechando la ingravidez.

Estaciones espaciales: tıpicamente modulares. Otrosconceptos: rotatorias (como en “2001, una odisea delespacio”).

Colonias espaciales: Habitats “auto-suficientes” conhabitantes permanentes. Grandes dificultades de ingenierıa.

Minerıa espacial: en la Luna o los asteroides. En estudio.

Manufactura de combustible: p.ej. en Marte. Reduccion decostes.

Cementerios nucleares: peligro de contaminacion en caso deaccidente en el lanzamiento.

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Sımbolos Astronomicos

⌫ Primer punto de Aries (Equinoccio vernal)� Tierra� Sol$ Luna' Mercurio⇡ Venus⇢ MarteX JupiterY Saturno[ NeptunoZ Urano\ Pluton◆ Nodo Ascendente Nodo Descendente

Cuadro: Sımbolos astronomicos

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Hipotesis generales y ecuacion del movimientoResolucion de la ecuacion del movimiento. Conicas.Prueba de las Leyes de Kepler. Ecuacion de las Fuerzas Vivas.

Hipotesis generales

Problema: Estudiar el movimiento de dos cuerpos masivos en elespacio, sometidos a la fuerza de la gravedad.

2m

1m

x

y

z

1R~

2R~

r~

Se considera el sistema aislado del restodel Universo (no hay mas fuerza que laatraccion gravitatoria mutua entre los doscuerpos).

Las masas se pueden considerar puntualesy localizadas en el centro de masas decada cuerpo. Las denominamos m1 y m2.

Teorema (Newton)

Un cuerpo rıgido con forma esferica y densidad constante genera elmismo campo gravitatorio que una partıcula, situado en el centrode dicha esfera, con la misma masa del cuerpo.

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Ecuacion del movimiento I

2m

x

y

z

1m

2r~

1r~

Trabajando con un sistema de referencia conorigen el CM (RCM = m1R1+m2R2

m1+m2), la

posicion de los cuerpos viene definida por losvectores r1 y r2:

r1 = R1 � RCM = (R1 � R2)m2

m1 +m2

r2 = R2 � RCM = (R2 � R1)m1

m1 +m2

Por tanto, conocido r = R2 � R1 se obtienen r1 y r2:

r1 = �r m2

m1 +m2, r2 = r

m1

m1 +m2

Observese que si m1 � m2, entonces r1 ⇡ 0 (R1 ⇡ RCM) yr2 ⇡ r . Es decir el movimiento se puede aproximar por el“problema de un cuerpo”, alrededor del cuerpo masivo. 13 / 107




Ecuacion del movimiento II

El vector r verifica:

r = �G (m1 +m2)r

r3= �µ r

r3

con G = 6,67⇥ 10�11 Nm2/kg2, y µ = G (m1 +m2) es elParametro Gravitacional de las Masas Combinadas. Sim1 � m2, entonces µ ⇡ µ1 = Gm1.

Por ejemplo, dado que m� = 2⇥ 1030 kg, m� = 6⇥ 1024 kg,y m$ = 7,3⇥ 1022 kg, se tiene que en el estudio delmovimiento de la Tierra respecto al Sol:

µ ⇡ µ� = 132712439935,5 km3/s2

En el estudio del movimiento de la Luna en torno a la Tierra:

µ ⇡ µ� = 398600,4 km3/s2

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Cantidades conservadas

Se demuestra:Conservacion de la energıa especıfica (✏): ✏ = v2

2 �µr = cte.

Conservacion del momento cinetico especıfico (h):h = r ⇥ v = cte.Conservacion del vector de Laplace o vector excentricidad (e):e = v⇥h

µ �rr

h = |h| se denomina constante de las areas.Se tiene que r · h = 0 y v · h = 0, con h constante; por tantoel movimiento es plano, es decir, esta confinado a un planoperpendicular a h.A partir de e se encuentra que r (el modulo de r) verifica:

r =h2

µ

1 + e cos ✓=

p

1 + e cos ✓donde p es el llamado “parametro”. Esta es la ecuacion deuna conica.

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Conicas

La ecuacion r = p1+e cos ✓ corresponde a la ecuacion de una

conica (elipse, parabola o hiperbola) en coordenadas polares.Las secciones conicas las describio Apolonio en el s. II AC ensu tratado “Conicas”, el cual Kepler conocıa. Se obtienencomo las intersecciones de un cono circular recto con un planooblicuo a su eje. 16 / 107




Elipse I

!

"

#

$

%

!

&

'

(

%#%"

Ecuacion en cartesianas (con origen en el

centro de la elipse):

✏�

��

x2

a2+

y2

b2= 1 , donde a

es el semieje mayor y b es el semieje menor.

Ecuacion en polares (con origen en uno de

los focos):

↵⌦

� r =

p

1 + e cos ✓, donde p > 0 es

el “semilatus-rectum” y e 2 [0, 1).

Se define el punto de periapsis (simplemente, periapsis) comoel de mınima distancia al foco; en tal caso, ✓ = 0 y rp = p

1+ees el radio de periapsis.Se define el punto de apoapsis (simplemente, apoapsis) comoel de maxima distancia al foco; en tal caso, ✓ = ⇡ y ra =

p1�e

es el radio de apoapsis17 / 107




Elipse II

Los parametros de la elipse se expresan en funcion de a y e.

!

"

#

$

%

!

&

'

(

%#%"

De la figura, rp = a� c y ra = a+ c .

Por tanto, rp + ra = 2a, y de la definicion enpolares, rp + ra =

p1+e + p

1�e = 2p1�e2 , luego:⌥

⌃⌅⇧p = a(1� e2) .

Por tanto,⌥⌃ ⌅⇧rp = a(1� e) y

⌥⌃ ⌅⇧ra = a(1 + e) .

Puesto que ra � rp = 2c y de la definicion en polaresrp � rc = p

1+e �p

1�e = 2pe1�e2 , luego c = p e

1�e2 y usando ladefinicion de p en funcion de e y a:

⇤⇥ ��c = ae .Finalmente, puesto que se tiene a2 = b2 + c2, obtenemos que⌥⌃ ⌅⇧b = a

p1� e2 .

Para e = 0, se obtiene una circunferencia de radioR = p = a = b, con c = 0.

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Demostracion de las Leyes de Kepler

Primera ley de Kepler: “La orbita de cada planeta es unaelipse con el Sol en uno de sus focos”. Se deduce de la teorıaya expuesta.

Segunda ley de Kepler: “Una lınea que una el Sol con unplaneta barre areas iguales en tiempos iguales”. Es decir, lavelocidad con la que el vector r barre areas (velocidadareolar) es constante. Se demuestra que dicha area es igual ah2 = cte.

Tercera ley de Kepler: “‘El cuadrado del periodo orbital decada planeta es directamente proporcional al cubo del semiejemayor de la elipse de la orbita del planeta”. Se demuestra de

la ley anterior y el area de una elipse que T = 2⇡q

a3µ

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Angulo de trayectoria. Ecuacion de las “fuerzas vivas”

°

µe~

re~

v~

r~

z

y

x

Sea un sistema de referencia local en el planoorbital, con origen cada punto de la trayectoriar(t), de forma que el eje er es paralelo a r y elotro eje, e✓, define la horizontal local, y estaorientado “a la izquierda” (en la direccioncontraria a las agujas de un reloj) respecto a er .

El angulo entre v y e✓ es �, el angulo detrayectoria (flight path angle).

Se verifica tan � = e sen ✓1+e cos ✓ . El angulo es positivo

si ✓ 2 (0, 180o) y negativo en ✓ 2 (180o, 360o), asıcomo cero en perigeo y apogeo.

El termino fuerza viva es una forma arcaica de denominar a laenergıa cinetica. Se demuestra: ✏ = v2/2� µ/r = � µ

2a )↵⌦

� v =

q2µr �

µa .

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Clasificacion de Orbitas

Ɛ↑

Para un valor fijo de p (es decir, de h), lasorbitas se pueden clasificar de menos a masenergıa especıfica:

1 Orbitas circulares: e = 0, R = p,✏C = � µ

2R < 0.

2 Orbitas elıpticas no circulares: 0 < e < 1,a = p

1�e2 , ✏E = � µ2a < 0. Se tiene que

✏E > ✏C .3 Orbitas parabolicas: e = 1, ✏P = 0.4 Orbitas hiperbolicas: e > 1, a = p

1�e2 ,✏H = � µ

2a > 0.

En orbitas circulares la velocidad es vc(R) =p

µ/R = cte.En orbitas parabolicas se tiene que vp =

p2µ/r =

p2vc(r);

esta es la conocida como velocidad de “escape”.Para hiperbolas se define la velocidad de “exceso” comov1 = lımr!1 v =

p�µ/a. En el caso parabolico v1 = 0. 21 / 107



Leyes horarias. Ecuacion de KeplerElementos orbitalesTeorıa de Perturbaciones.

Leyes Horarias I

Hemos demostrado las Leyes de Kepler y en concreto que lastrayectorias orbitales son conicas.No obstante, al resolver de la ecuacion del movimiento se haeliminado la dependencia del tiempo. Es necesario un metodopara localizar a un cuerpo en su orbita en un instante dado.Este problema es trivial solo en el caso circular.Fijamos como punto de referencia el punto de periapsis.Denominamos tp al tiempo de paso por periapsis.

pt{¿=t¢

)¿(µ

)¿(r

¿=t

pr)=

pt(r

pt=t

O

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Leyes Horarias II

pt{¿=t¢

)¿(µ

)¿(r

¿=t

pr)=

pt(r

pt=t

O

Sea �t = ⌧ � tp el tiempo desde el ultimo paso por periapsis.

Leyes Horarias: Problemas

Problema 1: Dada una orbita (a, e) [o (p, e)] y una anomalıaverdadera ✓ en el instante ⌧ , encontrar �t(✓).

Problema 2: Dada una orbita (a, e) [o (p, e)] y �t, encontrar✓(�t) (es decir, localizar el cuerpo en el instante ⌧).

Nota: Si la orbita se recorre en sentido opuesto, solo cambia elsigno de ✓; por tanto consideramos el sentido de la figura. 23 / 107




Leyes Horarias: Caso Elıptico I

En el caso elıptico (orbitas cerradas), el problema es mas complejo.Introducimos algunos conceptos nuevos:

Velocidad orbital media: n =q

µa3 . Esta velocidad coincide

con la velocidad angular real en el caso de orbitas circulares.Observese que T = 2⇡/n.

Observacion: Por simetrıa, el tiempo que tarda en cuerpo enpasar por el punto de apoapsis es igual al semiperiodo de laorbita. Es decir, |ta � tp| = T

2 = ⇡/n. Igualmente, para ✓ > ⇡,se tiene que �t(✓) = T ��t(2⇡ � ✓).

Anomalıa media: M = n�t, es decir, el angulo que serecorrerıa en la orbita en un tiempo �t si la orbita fueracircular. Por la observacion anterior, M = ✓ solamente enperiapsis y apoapsis.

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Leyes Horarias: Caso Elıptico II

Considerese un cırculo auxiliar de radio a tangente a la elipse en lospunto de periapsis y apoapsis.

)t(µ

)t(r

F

D

C B AO

ey

ae=c

E

ex´

cx

cy

Para un angulo ✓ dado, se define laanomalıa excentrica E como en la figura.

Se demuestra

↵⌦

� tan ✓/2 =

q1+e1�e tanE/2 .

Puesto que ya hemos obtenido E en funcionde ✓, ahora debemos escribir �t en funcionde E .

Se demuestra que usando la definicion de anomalıa mediaM = n�t, llegamos a

⌥⌃ ⌅⇧M = E � e senE , la llamada ecuacionde Kepler.

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La ecuacion de Kepler I

La ecuacion de Kepler nos permite resolver los problemas de leyeshorarias que habıamos planteado antes.

Problema 1: Dado ✓, encontrar �t.

El procedimiento que seguimos es ✓ ! E ! M ! �t.

En primer lugar usamos la relacion

↵⌦

� tan ✓/2 =

q1+e1�e tanE/2

para hallar la E que corresponde a ✓.

Hallamos M con la ecuacion de Kepler⌥⌃ ⌅⇧M = E � e senE .

Finamente⌥⌃ ⌅⇧�t = M/n .

Este procedimiento permite calcular directamente �t sinambiguedades.

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La ecuacion de Kepler II

Problema 2: Dado �t, encontrar ✓.

Seguimos el procedimiento opuesto: ✓ E M �t.

En primer lugar,⌥⌃ ⌅⇧M = n�t .

E se calcula de⌥⌃ ⌅⇧M = E � e senE . Es una ecuacion

transcendental, luego hay que resolverla numericamente.

Conocida E , ✓ se calcula de

↵⌦

� tan ✓/2 =

q1+e1�e tanE/2 .

Nota: Si �t > T , considerar �t 0 = �t mod (T ), es decir,escribir �t = qT +�t 0 donde q es un entero (el numero deorbitas completas recorridas) y �t 0 2 [0,T ]

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La ecuacion de Kepler III

Para resolver numericamente M = E � e senE usaremos elmetodo de Newton-Raphson (convergencia cuadratica). ConM dado, llamemos f (E ) = M � E + e senE .Partimos de una estimacion E0, que nos arroja un error"0 =

f (E0)f 0(E0)

. Tıpicamente este error sera mayor que la precision�E que queramos obtener.Iteramos el siguiente procedimiento:

1 Calcular f 0(Ek�1) = e cosEk�1 � 1.

2 Ek = Ek�1 � f (Ek�1)f 0(Ek�1)

3 Calcular "k = f (Ek)/f 0(Ek)4 Si |"k | < �E , finalizar. Si no, hacer k = k + 1 y volver a 1.

Observese que f (M � e) = e(1 + sen(M � e)) � 0 yf (M + e) = e(�1 + sen(M + e)) 0 ! E 2 [M � e,M + e].Una buena estimacion inicial para E serıa el punto medio, M.Observese que ya que e < 1, f 0(E ) = e cosE � 1 < 0, es decir,la curva es monotona decreciente: siempre hay solucion unica. 28 / 107




La ecuacion de Kepler IV

Otro metodo para resolver la ecuacion de Kepler es el de lasaproximaciones sucesivas.

Partimos de una estimacion que definimos como E0 = M.

Iteramos siguiendo la ecuacion de Kepler:

En = M + e senEn�1

Por tanto los primeros terminos de la iteracion son:

E1 = M + e senM, E2 = M + e sen(M + e senM),

E3 = M + e sen(M + e sen(M + e senM)), . . .

Se puede demostrar que la sucesion de En tiende a la solucioncorrecta en el lımite; no obstante para excentricidades altasesta convergencia es lenta.

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La ecuacion de Kepler V

Otro metodo clasico para resolver la ecuacion de Kepler es eldesarrollo en serie en e, supuesto e pequeno.

Buscamos una solucion del tipo serie de Taylor,E =

P1k=0 ck

ek

k! ; hay que hallar los coeficientes ck .

Recordemos que ck = dkE(e)dek

��e=0

Por tanto hay que tomar la ecuacion de KeplerE = M + e senE y, en primer lugar, sustituir e = 0, y despuesir tomando derivadas con respecto a e y sustituir en e = 0.

Sustituyendo en e = 0, se tiene c0 = E (e = 0) = M.

Derivando: E 0 = senE + eE 0 cosE . Sustituyendo en e = 0,c1 = E 0(e = 0) = senM.

Igualmente, E 00 = 2E 0 cosE + eE 00 cosE � e(E 0)2 senE , luegoc2 = E 00(e = 0) = 2 senM cosM = sen 2M.

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La ecuacion de Kepler VI

Prosiguiendo hasta orden 5, se encuentra:

c3 = � 3

4(senM � 3 sen 3M)

c4 = �4 sen 2M + 8 sen 4M

c5 =5

16(2 senM � 81 sen 3M + 125 sen 5M)

Por tanto:

E = M + e senM +e2

2sen 2M � e3

8(senM � 3 sen 3M)

� e4

6(sen 2M � 2 sen 4M) +

e5

384(2 senM � 81 sen 3M + 125 sen 5M) + O(e6)

= M +

e � e3

8+

e5

192

!senM +

e2

2� e4

6

!sen 2M +

3e3

8� 27e5

128

!sen 3M

+e4

3sen 4M +

125e5

384sen 5M + O(e6)

Esta serie, denominada serie de Lagrange, tiene el problema deque converge lentamente para valores medios de e, y de hechodiverge, como demostro Laplace, para e � 0,6627434194.

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La ecuacion de Kepler VII

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

E (rad.)

M (

rad.)

e=0.1

e=0.5

e=0.8

e=0.95

A la izquierda se representa la funcionM = E � e senE para diferentesexcentricidades.

Para excentricidades pequenas, lafuncion es M ⇡ E , ya que la orbita escasi una circunferencia.

Sin embargo, para excentricidadesgrandes (orbita casi parabolica), laforma de la curva varıa, especialmentepara M cerca de 0 o ⇡.

En esa zona los metodo numericos convergen lentamente,sobre todo si se quiere alcanzar mucha precision; ademas paraexcentricidades grandes, la orbita abarca grandes distancias,con lo que un pequeno error de angulo puede implicar un granerror en las coordenadas. 32 / 107




Orbita en un plano. Sistema de referencia perifocal.

Dado el plano de la orbita y un sistema de referencia OxOyOzO

centrado en el foco tal que el plano OxOyO coincide con el planode la orbita, son necesarios tres valores para determinar la orbita.

e~=Fxplano de referencia

línea de ápsides

zFe=ze

x

yFy

Órbita )a;e(

!

!

µ

Los parametros a (o p) y e determinan eltipo de orbita y su forma y tamano.

El parametro !, llamado el argumento delperigeo (o de periapsis) orienta la lınea deapsides (en la direccion del vectorexcentricidad e, que apunta al perigeo).

Ademas, un cuarto parametro (✓, E , M o�t) determina la posicion del cuerpo.

El Sistema de referencia perifocal OxF yF zF esta centrado enel foco, con OxF apuntando hacia periapsis, y el eje OzF

hacia “arriba” (paralelo al vector h).33 / 107




Determinacion de una orbita en el espacio

Para una orbita arbitraria en el espacio, ademas de los 4 parametrosanteriores, es necesario ubicar el plano orbital respecto a un planode referencia; para ello son necesarios dos parametros mas. Los 6parametros resultantes reciben el nombre de elementos orbitales.

línea de nodos

línea de ápsides e~

n~

periapsis

apoapsis

planoorbital

plano de referencia

El plano de referencia sera:Para orbitas planetocentricas: el planoecuatorial del planeta.Para orbitas heliocentricas: el plano de laeclıptica.

La interseccion entre el plano orbital y el dereferencia determina la llamada lınea denodos.

La orbita corta la lınea de nodos en dos puntos, los nodos.Aquel donde la trayectoria “asciende” (de abajo a arriba) es elnodo ascendente (◆); el otro es el nodo descendente ().El vector nodo n es un vector unitario en la direccion de ◆. 34 / 107




Los elementos orbitales I

Es el conjunto mınimo de datos que, junto a la epoca (tiempoinicial t0) permite determinar la posicion de un cuerpo en unaorbita en cualquier instante de tiempo. Es decir, 6 datos (mas t0).Los elementos clasicos (keplerianos) son los siguientes:

línea de ápsides

línea de nodos

e~plano de referencia

orbitalplano

apoapsis

periapsis!

i

n~

µ

⌦: Ascension recta del nodoascendente (RAAN). Es el angulo,medido en el sentido contrario de lasagujas del reloj, entre ⌫ y n.

!: Argumento de periapsis (o delperigeo/perihelio). Es el angulo,medido en el plano orbital y en ladireccion del movimiento, entre n y e.

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Los elementos orbitales II

línea de nodos

línea de ápsides e~

isentido de

i

!periapsis

apoapsis

planoorbital

plano de referencia

n~

µ

i : Inclinacion de la orbita entre 0 y⇡, mide el angulo entre el plano dereferencia y el plano orbital, con elsentido indicado por n.

a, e: Determinan la forma ytamano de la orbita. A veces a sesustituye por p, T o n.

✓: Determina la posicion del cuerpoen la orbita (para la epoca). Sepuede sustituir por �t, M o E (H).

Las orbitas con inclinacion i = 0o se denominan ecuatoriales,mientras que si i ⇡ 90o las orbitas se llaman polares. Sii < 90o la orbita es directa, mientras que si i > 90o la orbitaes retrograda.

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Los elementos orbitales III

Existen casos especiales en los que algun elemento no esta biendefinido; estos casos son importantes porque se dan en la practica.

Orbitas elıpticas ecuatoriales: ni ⌦ ni ! estan bien definidos(no existe linea de nodos). Se sustituyen por el angulo $(longitud del perigeo) entre ⌫ y e, medido en el sentidocontrario de las agujas del reloj, de forma que $ = ⌦+ !.Orbitas circulares no ecuatoriales: ! y ✓ no estan biendefinidos (no existe lınea de apsides). Se sustituyen por elangulo u = ! + ✓ (el argumento de la latitud) para medir laposicion del cuerpo desde ◆ en el sentido del movimiento.Orbitas circulares ecuatoriales: no existe ni linea de nodos nilinea de apsides. Por tanto ni ⌦, ni ! ni ✓ estan biendefinidos. Se sustituyen por �T = ⌦+ ! + ✓, la longitudverdadera, que es la que forma el cuerpo con ⌫, medido en elsentido contrario de las agujas del reloj.

37 / 107




De elementos orbitales a posicion/velocidad

Problema: (r(t0), v(t0)) (⌦,!, i , a, e, ✓)

Usamos el sistema de referencia perifocal.

Operando se llega a:

rF =p

1 + e cos ✓

2

4cos ✓sen ✓0

3

5 , vF =

rµ

p

2

4� sen ✓e + cos ✓

0

3

5

38 / 107




Angulos de Euler de una orbita I

La forma de pasar del sistema de referencia perifocal (F) algeocentrico ecuatorial (o heliocentrico) que denotamosgenericamente por R es mediante tres rotaciones:

Nz=

Rz

Ny

Ry

RxNx

La primera rotacion es en torno aleje zR con angulo ⌦.

La denotamos

R⌦�!zR

N

Su matriz es

CNR (⌦) =

2

4cos⌦ sen⌦ 0� sen⌦ cos⌦ 0

0 0 1

3

5

= C3(⌦)39 / 107




Angulos de Euler de una orbita II

i

ii

Ox=

Nx

Ny

Oy

NzOz

La segunda rotacion es en torno aleje xN con angulo i .

La denotamos

Ni�!xN

O

Su matriz es

CON (i) =

2

41 0 00 cos i sen i0 � sen i cos i

3

5

= C1(i)

40 / 107




Angulos de Euler de una orbita III

!

!

Ox

Fx

Oy

Fy

Fz=Oz

La tercera rotacion es en torno aleje zO con angulo !.

La denotamos

O!�!zO

F

Su matriz es

CFO (!) =

2

4cos! sen! 0� sen! cos! 0

0 0 1

3

5

= C3(!)

41 / 107




Angulos de Euler de una orbita IV

La rotacion completa sera pues.

R⌦�!zR

Ni�!xN

O!�!zO

F

Su matriz es

CFR (!, i ,⌦) = CF

OCON CN

R

= C3(!)C1(i)C3(⌦)

=

2

4c⌦c! � s⌦s!ci s⌦c! + c⌦s!ci s!si�c⌦s! � s⌦c!ci �s⌦s! + c⌦c!ci c!si

s⌦si �c⌦si ci

3

5

donde s' = sen' y c' = cos'.42 / 107




Conversion entre representaciones de una orbita III

Problema II (cont.): (r(t0), v(t0)) (⌦,!, i , a, e, ✓)

Puesto que ya conocemos rF y vF , solo tenemos que usar lamatriz de rotacion que nos lleva los ejes F a los R .

Por las propiedades de las matrices de rotacion,CRF = (CF

R )�1 = (CF

R )T . Por tanto:

rR = CRF rF =

p

1 + e cos ✓(CF

R )T

2

4cos ✓sen ✓0

3

5

vR = CRF vF =

rµ

p(CF

R )T

2

4� sen ✓e + cos ✓

0

3

5

43 / 107




Crıtica al problema de los dos cuerpos

El modelo de los dos cuerpos es poco realista.Recordemos las hipotesis principales:

1 Se considera el sistema aislado del resto del Universo.2 Las masas se pueden considerar puntuales y localizadas en el

centro de masas de cada cuerpo.La primera suposicion permite reducir las fuerzas que actuan alas gravitatorias entre los cuerpos. Pero existen otras fuerzas:

La fuerza gravitatoria ejercida por otros cuerpos.La resistencia atmosferica en orbitas bajas.Fuerzas propulsivas (especialmente durante maniobras).La presion de radiacion solar.

La segunda suposicion es solo valida si los cuerpos son esferasmacizas y homogeneas. No obstante:

Los planetas (o el Sol) no son esferas perfectas. En concreto laTierra esta achatada.Los vehıculos espaciales no son esferas perfectas. Un vehıculono esferico se ve afectado por el gradiente gravitatorio.

44 / 107




Orbitas Keplerianas y no Keplerianas I

Desde el punto de vista de un vehıculo espacial (o de uncuerpo cualquiera) estos efectos modifican las ecuaciones delmovimiento, y por tanto afectan a la solucion. La orbitaresultante sera no Kepleriana.Sin embargo, si consideramos que estos efectos son pequenos,la orbita “se parecera” a una Kepleriana.Por tanto, se considera una orbita Kepleriana para cadapunto, que va cambiando con el tiempo. Esta orbita sedenomina orbita osculante.

)3t(®~

)1t(®~

)2t(®~

)t(r~ FOCO

3t

2t

1t

Llamemos ↵ = [⌦, i ,!, a, e,M]T el vector de elementosorbitales. Recordemos que ↵ es equivalente a r(t), v(t).Para una orbita Kepleriana, solo M depende del tiempo:

d⌦

dt=

di

dt=

d!

dt=

da

dt=

de

dt= 0

dM

dt= n

45 / 107




Orbitas Keplerianas y no Keplerianas II

)3t(®~

)1t(®~

)2t(®~

)t(r~ FOCO

3t

2t

1t

Llamemos ↵ = [⌦, i ,!, a, e,M] el vector de elementosorbitales, donde se ha escrito M por comodidad. Recordemosque ↵ es equivalente a r(t0), v(t0).Para una orbita Kepleriana:

d⌦

dt=

di

dt=

d!

dt=

da

dt=

de

dt= 0,

y se podrıa escribir dMdt = n.

Para una orbita no Kepleriana, ↵(t) determina la orbita. 46 / 107




Teorıa de Perturbaciones aplicada a Mecanica Orbital

Encontrar ↵, en funcion de la propia ↵ y de la perturbacion�P, es decir encontrar ↵ = F (↵, �

P), no es trivial.

El sistema de ecuaciones ↵ = F (↵, �P) se denomina

Ecuaciones Planetarias, ya que permiten predecir elmovimiento de los planetas, incorporando fuerzas adicionalesa la atraccion gravitatoria del Sol como perturbaciones.

En el caso de que �Pderive de un potencial �

P= rUp, las

ecuaciones se pueden escribir como ↵ = F (↵,Up). En tal casose denominan las Ecuaciones Planetarias de Lagrange.

Observacion: en Astronomıa/Astronautica no se usa laconvencion de Mecanica F = �rU.

En caso contrario consideramos �P= Rer + Se✓ +Wez . Las

ecuaciones escritas como ↵ = F (↵,R , S ,W ) se denominan lasEcuaciones Planetarias de Gauss.

47 / 107




Ecuaciones Planetarias, forma de Lagrange

Hipotesis: podemos escribir �P= rUp y consideramos Up

como funcion de los elementos orbitales, es decir, Up = Up(↵).

da

dt=

2

na

@Up

@Mde

dt=

1� e2

na2e

@Up

@M�p1� e2

na2e

@Up

@!di

dt= � 1

na2p1� e2 sen i

✓@Up

@⌦+ cos i

@Up

@!

◆

d⌦

dt=

1

na2p1� e2 sen i

@Up

@i

d!

dt=

p1� e2

na2@Up

@e� cos i

na2ep1� e2 sen i

@Up

@i

dM

dt= n � 2

na

@Up

@a� 1� e2

na2e

@Up

@e48 / 107




Ecuaciones Planetarias, forma de Gauss

Hipotesis: podemos escribir �P= Rer + Se✓ +Wez .

da

dt=

2

np1� e2

[e sen ✓R + (1 + e cos ✓)S ]

de

dt=

p1� e2

na

sen ✓R +

✓1 + e cos ✓

e� 1� e2

e(1 + e cos ✓)

◆S

�

di

dt=

p1� e2

na(1 + cos ✓)cos(✓ + !)W

d!

dt=

p1� e2

na

�cos ✓

eR +

sen ✓

e

✓1 +

1

1 + e cos ✓

◆S � cos i

sen isen(✓ + !)W

�

dM

dt= n � 1

na

✓2(1� e2)

1 + e cos ✓� 1� e2

ecos ✓

◆R � 1� e2

nae

✓1 +

1

1 + e cos ✓

◆S

d⌦

dt=

p1� e2

na(1 + cos ✓)

sen(✓ + !)

sen iW

49 / 107




Estudio de perturbaciones

lecture15.ppt ©R.S. Nerem 2004 1

ASEN 5050

SPACEFLIGHT DYNAMICS

General Perturbation Techniques

Dr. Steve Nerem

University of Colorado - Boulder


!"#$$#%&'()**+,


Perturbations can be categorized as secular, short period, long

period.

Los cambios en los elementos orbitales debidos aperturbaciones se clasifican como:

Seculares: terminos de crecimiento monotono en el tiempo.Periodicos (de largo perıodo): terminos cuya variacion se repitecon periodo largo (mayor que el periodo orbital).Periodicos (de corto perıodo): terminos cuya variacion se repitecon periodo corto (del orden del periodo orbital).

Por ejemplo, si a(t) = 10000 + 3t + sen(!1t) + cos(!2t) y!2 � !1, entonces el segundo termino es secular, el terceroperiodico de largo periodo, y el cuarto periodico de cortoperiodo. 50 / 107




El potencial gravitatorio de un planeta no esferico

El potencial gravitatorio U permite obtener la fuerzagravitatoria especıfica como � = rU.

Para un cuerpo esferico y homogeneo con parametrogravitatorio µ, se tiene que su potencial gravitatorio esUK = µ

r , y por tanto �K= rUK = � µ

r2 er = �µr3 r .

El efecto mas importante es el debido al J2 (achatamiento dela Tierra). Consideremos el modelo del J2 antes escrito:

U =µ

r

"1 +

J22

✓R�r

◆2

(1� 3 sen2 �)

#

donde J2 = 1,083⇥ 10�3.

51 / 107




Perturbacion debida al achatamiento de la Tierra

El J2 no produce variaciones seculares en a (la energıa, enmedia, no varıa) ni en la inclinacion i o en e.

Sı hay cambios seculares en ! y ⌦ (tambien en M):

d⌦

dt= �

3J2nR2�

2p2cos i ,

d!

dt=

3J2nR2�

4p2(5 cos2 i � 1)

El primer fenomeno se llama regresion de los nodos, y elsegundo, avance del perigeo.

La variacion por revolucion es, usando T = 2⇡/n:

�⌦ = �3J2⇡R2

�p2

cos i , �! =3J2⇡R2

�2p2

(5 cos2 i � 1)

El J2 sı produce variaciones periodicas en todos los elementos.52 / 107




Regresion de los nodos


Oblateness Perturbations

!

v h

!

dv f

!

dv f

!

v ˙ r = "

µv r

r3

+ dv f

!

v r "

v ˙ r = #

v r "

µv r

r3

+v r " d

v f

!

d

dt

v r "

v ˙ r ( ) =

v ˙ h =

v r " d

v f



!"#$$#%&'()**+,



!"#$$#%&'()**+,

lecture16.ppt ©R.S. Nerem 2004 18!"#$$#%&'()**+,


Perigee also precesses.

= 0 at the critical

inclination,

i! = 63.4 ° (116.6°)

!&

La regresion de los nodoscambia el plano de la orbitade forma continua.

Una “explicacion grafica” dela fısica fenomeno:


Oblateness Perturbations

!

v h

!

dv f

!

dv f

!

v ˙ r = "

µv r

r3

+ dv f

!

v r "

v ˙ r = #

v r "

µv r

r3

+v r " d

v f

!

d

dt

v r "

v ˙ r ( ) =

v ˙ h =

v r " d

v f



!"#$$#%&'()**+,

53 / 107




Avance del perigeo



!"#$$#%&'()**+,



Perigee also precesses.

= 0 at the critical

inclination,

i! = 63.4 ° (116.6°)

!&

El avance del perigeo modifica lalocalizacion geografica de la lıneade apsides, y por tanto los puntosdonde la orbita permanece mastiempo (apogeo) y menos tiempo(perigeo).



!"#$$#%&'()**+,



Gravity perturbations also affect geosynchronous orbits.

!"#$$#%&'()**+,

75.3°E

255.3°E

165.3°E345.3°E

C22, S22

54 / 107




Resistencia atmosferica I

Es el efecto de perturbacion mas importante en orbitas bajasy orbitas muy excentricas con perigeo bajo (rp = a(1� e)).Muy importante tambien en estudios de reentrada.

La resistencia tiene la direccion del movimiento (la velocidad)pero el sentido opuesto: �

P= �D v

v .

Se modela D como D = 12B ⇢v

2, donde B = mVSCD

, elcoeficiente balıstico, se toma como aproximadamenteconstante. En B , mV es la masa del vehıculo, S es lasuperficie “frontal” (depende de la actitud), y CD es elcoeficiente de resistencia aerodinamico.

La densidad del medio ⇢ depende de la altura y es difıcil demodelar; para una misma altura los valores fluctuan entre unmaximo y un mınimo debido a multiples factores (variacionesdebidas a la geografıa y el achatamiento, ciclos solares...)

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Resistencia atmosferica II

Se emplea la formulacion de Gauss. Se obtienen resultadosanalıticos empleando las funciones de Bessel.Se encuentran variaciones seculares en a y e.Si e > 0, el efecto inicial de la perturbacion es el decircularizar la orbita, haciendo disminuir el radio de apogeohasta que coincide con el de perigeo.


If we assume perigee height remains constant, then rP=a(1-e) and:

thus,

Atmospheric Drag

dt

dea)e1(

dt

da0

dt

drP !!"=

dt

da

a

)e1(

dt

de !=


Atmospheric Drag

To determine da/dt, look at n2a3 = µ:

As a first approximation, let a = a0, n = n0:

The period also changes:

nn3

a2

dt

da

0dt

daan3a

dt

dnn2

0

0

223

&!=

=+

( )t

n3

ne12ee

t nn3

a2aa

0

0

0

0

0

0

!

!

&

&

""=

"=

ana

3dn

n

2dP

n

2a2P

2

3

!""

"

µ"

=#=

=$$%

&''(

)=

!"

#$%

&=

3

22

na2

daan3dn

dn

Una vez la orbita es circular, el efecto es la lenta disminuciondel radio (caıda en espiral), hasta la reentrada del vehıculo.

56 / 107




Resistencia atmosferica III

Tambien produce perturbaciones seculares en la inclinacion yperiodicas en todos los elementos.Es el efecto que tıpicamente, para orbitas bajas, determina eltiempo de vida de un satelite.


Atmospheric Drag

Must use Gauss’s form of planetary equations to look at whole

effect. Secular changes in a, e, i; periodic changes in all

elements.


Solar Radiation Pressure

The energy of the orbit is:

Thus,

Thus, as the satellite moves towards the Sun, the semi-major axisand energy decrease, and as it moves away from the Sun, bothvalues increase. Thus, for an orbit completely in sunlight, the netchange to the semi-major axis is ~ 0.

a2

µ! "=

!

"# =µ

2a2"a

"# =v F $dist (Force times the distance = work)

=v F

SR$ "

v r * "

v r *

= radial displacement of the

satellite relative to the sun

"a = %2a

2

µF

SR"r

*

!

FSR = pSRCRA*

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Presion de radiacion solar I

La incidencia de la luz solar (fotones) en una superficieproduce un efecto mecanico: la presion de radiacion solar.A 1 AU del Sol, el flujo medio de intesidad de radiacionrecibido es de I = 1358 W/m2. La presion mecanica secalcula como p = I/c = 4,5⇥ 10�6 N/m2, donde c es lavelocidad de la luz en el vacıo.La fuerza en una placa plana (como un espejo, o un panelsolar) sera F = pA(1 + ") cos'�, donde A es el area, " elcoeficiente de reflectividad, y '� el angulo de incidencia.

" 2 [�1, 1] :

8<

:

" = 1 : totalmente reflectante" = 0 : absorbente (cuerpo negro)" = �1 : totalmente transparente

La fuerza de perturbacion sera, aproximadamente:�P= �4,5⇥ 10�6 A

mVe�(1 + ") cos'�, donde mV es la masa

del vehıculo y e� apunta en la direccion del sol desde elvehıculo. 58 / 107




Presion de radiacion solar II

Ademas existira una fuerza de magnitud similar debida a lareflexion (perpendicular a los rayos reflejados). Todo esto paracada superficie expuesta al Sol.

Es complejo de tratar analıticamente. Se puede demostrar quesolo se producen variaciones seculares en ⌦ y !, mientras queel resto de variaciones son periodicas (con un periodo delorden de un ano).

En periodos de eclipse, la fuerza desaparece; ademas hay quetener en cuenta la sombra de la Tierra.

Hay que tener en cuenta el albedo de la Tierra (reflexion de laluz del Sol en la Tierra).

Para vehıculos con grandes paneles solares, A es grande,'S = 0, y " ⇡ 0,21: el efecto puede ser apreciable.

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Resumen de efectos de perturbacion IPerturbaciones del movimiento kepleriano

1e!08

1e!06

0.0001

0.01

1

100

10000

1e+06

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900

ace

lera

ció

n (

m/s

2)

Altura (km)

Aceleraciones sobre el satélite (CB=50)

Shuttle

ISS

KeplerJ2

C22Pert solarPert lunarRaer (baja)Raer (alta)

Prad

Resistencia Atmosferica – p.3/22

Figura: Efectos de perturbacion en orbita baja60 / 107




Resumen de efectos de perturbacion IIPerturbaciones del movimiento kepleriano

1e!08

1e!06

0.0001

0.01

1

100

10000

1e+06

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000

ace

lera

ció

n (

m/s

2)

Altura (km)

Aceleraciones sobre el satélite (CB=50)

GEOGPS

KeplerJ2

C22Pert solarPert lunarRaer (baja)Raer (alta)

Prad

Resistencia Atmosferica – p.4/22

Figura: Efectos de perturbacion en orbita elevada61 / 107




Propagadores

Un propagador de orbitas es un algoritmo que permite obtenerefemerides futuras a partir de los elementos dados en unaepoca.

Formulacion basica: dado (a0, e0, i0,⌦0,!0,M0) en el instantet0, calcular (a, e, i ,⌦,!,M) en el instante t.

En ausencia de perturbaciones, el propagador basico es elkepleriano o de los dos cuerpos:(a, e, i ,⌦,!) = (a0, e0, i0,⌦0,!0) y M = M0 + n(t � t0).

El caso opuesto, el mas complicado posible, serıa usar lasecuaciones planetarias (Lagrange o Gauss) e integrarlasnumericamente con el modelo mas completo posible deperturbaciones.

Existen muchos modelos intermedios, semianalıticos, quepermiten obtener buenos resultados.

62 / 107




Propagador J2 medioEmpleando los valores medios seculares encontrados para elJ2, un posible propagador serıa:

a = a0,

e = e0,

i = i0,

⌦ = ⌦0 �3

2nR2L

p2J2 cos i(t � t0),

! = !0 +3

4nR2L

p2J2(5 cos i

2 � 1)(t � t0),

M = M0 +

n +

3

4nR2L

p2J2p

1� e2(2� 3 sen i2)

!(t � t0),

Este propagador es simple de usar y util en misiones en orbitabaja, donde la influencia del J2 es grande.

63 / 107




Propagador GPS IUna aplicacion en la que es de particular importancia conocercon precision los elementos es la de los satelites GPS.Los receptores (navegadores) reciben de los propios satelitesinformacion (efemerides) que les permite reconstruir laposicion del satelite; por tanto todo receptor GPS debecontener un propagador de orbitas.La informacion emitida por los satelites es:t0,pa, e,⌦0,!0, i0,M0,�n, ⌦, d

dt i ,Cuc ,Cus ,Crc ,Crs ,Cic ,Cis .Las formulas que se emplean son:

M = M0 +

✓qµ/a3 +�n

◆(t � t0),

⌦ = ⌦0 + ⌦(t � t0),

! = !0 + Cuc cos(2u0) + Cus sen(2u0),

i = i0 +d

dti(t � t0) + Cic cos(2u0) + Cis sen(2u0).

64 / 107




Propagador GPS IIEn las anteriores formulas, una vez encontrada M hay queresolver la ecuacion de Kepler M = E � e senE , hallar ✓ de E ,y calcular u0 = !0 + ✓.Por otro lado tambien se suelen dar formulas para calcular ladistancia geocentrica del satelite. Se calcular0 = a(1� e cosE ) y se emplea la formula:r = r0 + Crc cos(2u0) + Crs sen(2u0).Si bien las anteriores formulas permiten reconstruir con unaprecision razonable la posicion de los satelites GPS, dichaprecision no es suficiente para aplicaciones de mucha precision.Para dichas aplicaciones, se pueden obtener efemeridespost-procesadas (con precision de cm), basadas enobservaciones. Estan disponibles de forma gratuita, del IGS(International GPS Service), por ejemplo, en internet, y se danen forma de coeficientes de polinomios de Lagrange queinterpolan con gran precision los elementos. 65 / 107




Modelo de perturbaciones y propagador SGP4

Un modelo semianalıtico que tiene en cuenta perturbacioneshasta el J3 y rozamiento atmosferico es el SGP4 (SimplifiedGeneral Perturbations Satellite Orbit Model 4).

Este modelo, desarrollado por la NASA, es especialmente utilpara orbitas bajas donde la influencia del rozamientoatmosferico es considerable.

Existen otras versiones (SGP8, SDP4) con mayor precision,pero esta es la mas usada por su sencillez y rapidez de calculo,y sobre todo por compatibilidad.

Su precision es de aproximadamente un kilometro. Empleaelementos orbitales medios, dados en el formato de dos lineas(TLE: two line elements) que estudiamos a continuacion.

66 / 107




Formato NASA/NORAD

Los satelites vienen descritos en las bases de datos por doslıneas de numeros (en ingles “two-line elements”).En la primera lınea viene t0 (la epoca, en forma de ano yfraccion de dıas), y en la segunda, i , ⌦, e (se asume un puntodecimal al principio), !, M, y n (en revoluciones por dıa). Elnumero de revoluciones es el numero de vueltas que el sateliteha dado a su orbita en t0.Los otros numeros sirven para clasificar el satelite o paramodelos mas complejos, que incluyen perturbaciones. 67 / 107




Formato NASA/NORAD

Ejemplos (celestrak.com):

ISS(ZARYA)1 25544U 98067A 07281,99344815 ,0000942300000� 0 64778� 4 0 12342 25544 51,6338 236,8689 0003196 79,3949 325,2109 15,75490408508738

METEOSAT71 24932U 97049B 07280,81168990 ,00000059 00000� 0 10000� 3 0 28092 24932 3,6428 76,9883 0001162 185,2668 103,4399 1,00269406 36985

68 / 107



La TierraTrazas, cobertura y visibilidadOrbitas de Aplicacion

La Tierra: Datos basicos

Vehículos Espaciales y Misiles 1Apr-10-07

Misiones No Geocéntricas

1. Misiones Lunares

2. Misiones InterplanetariasLa Tierra se mueve alrededor del sol con unperiodo de 365.256 dıas.

Su masa es de 5,9736⇥ 1024 kg.

El radio terrestre(medio) es de 6378.14 km.

Periodo de rotacion= 23.9345 horas (losdıas solares duran 24 horas por lacombinacion de rotacion y traslacion).

Perihelio= 147,09⇥ 106 km. Afelio=152,10⇥ 106 km.

Su velocidad orbital media es de 29.78 km/s.

Inclinacion del eje de rotacion respecto a laeclıptica: 23.45 grados.

Su forma real es la de un esferoide achatado en los polos.69 / 107




El campo magnetico terrestre

La Tierra posee un intenso campomagnetico, se cree que debido a la rotaciondel nucleo terrestre.

Los polos magneticos no coinciden con lospolos geograficos.

Dicho campo magnetico interacciona con laspartıculas cargadas (plasma) procedentes delSol (viento solar) de acuerdo a las leyes de lamagnetohidrodinamica.

El resultado final es que las partıculasquedan atrapadas en unos volumenestoroidales, llamados cinturones de Van Allen.

70 / 107




Los cinturones de Van Allen

Los cinturones son muy importantes,ya que son zonas de intensa radiacion.

Cualquier vehıculo que los atraviesepuede verse afectado.

Localizacion espacial:Existe un cinturon interno, entre unos 1000 a 6500 km dealtitud, y un cinturon externo, entre 10000 y 65000 km(maxima intensidad por debajo de 19000 km).La zona de maxima intensidad es en torno al plano delEcuador.Las fronteras de los cinturones son difusas y variables.Una region del cinturon interior, conocida como la anomalıadel Atlantico Sur (SAA) se extiende a orbitas bajas y espeligrosa.

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La orbita de la Tierra

La orbita de la Tierra es elıptica con unacierta excentricidad (0.0167), por lo que elpunto de maxima distancia del Sol (afelio) yde mınima distancia (perihelio) no coinciden.El afelio se produce en el verano delhemisferio norte.

Ello tambien provoca que la velocidad detraslacion de la Tierra no sea uniforme.

La velocidad es maxima en el perihelio ymınima en el afelio (la diferencia es pequena).

Ademas, el eje de rotacion esta inclinadorespecto a la eclıptica 23,45o.

Estos efectos causan la diferente duracion deldıa segun la latitud y dıa del ano.

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Tiempo sidereo de Greenwich

El tiempo sidereo de Greenwich (GST) es el angulo que forma(en un determinado instante) el meridiano de Greenwich con⌫ (es decir, la AR del meridiano de Greenwich). Su interesreside en ubicar el meridiano de Greenwich, en un momentodado, en el Sistema Geocentrico Ecuatorial.Se obtiene como GST = GST0 + !�t, donde t es el tiempo(UT) transcurrido desde el inicio del dıa, y!� = 2⇡/T� = 0,000072921158 rad/s, obtenido deT� = 23 h 56 m 4 s.GST0 es el GST al inicio del dıa (00:00 UT) y se encuentraen tablas para cada dıa (o se propaga a partir de un dıa quesea conocido), o se calcula con la siguiente formula.La AR de un observador se denomina su tiempo sidereo local(LST), que se calcula a partir de GST y � comoLST = GST+ �

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Trazas I

Traza: Lugar geometrico de los puntos (llamados puntossubsatelite) de la superficie de la Tierra (u otro planeta)directamente sobrevolados por el satelite o vehıculo.

Las trazas son de gran utilidad a la hora de formular yverificar requisitos en el diseno de misiones geocentricas oplanetocentricas, al ofrecer una representacion grafica de laorbita desde el punto de vista de la superficie.

Debida a la combinacion del movimiento (posiblementeexcentrico) del satelite y de la Tierra, ademas del efecto de lasperturbaciones, el computo de la traza no es trivial.

Se suelen representar en una proyeccion terrestre tipocilındrica equidistante.

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Trazas II

La traza se representa usualmente sobre una proyeccioncilındrica equidistante como una curva (�(t),�(t)).Las latitudes maximas alcanzadas por la traza son ±i (paraorbitas directas) y ±(180� i) para orbitas retrogradas.Si la Tierra no rotase y en ausencia de perturbaciones, lacurva se cerrarıa tras 1 revolucion, asemejandose a unasinusoidal. En general, no se cierra, y el retraso nodal�� = �!�T SAT (en radianes por revolucion). Considerandola perturbacion secular del J2, �� = �(!� � ⌦)T SAT

N . 75 / 107




Calculo de la Traza

La traza se puede determinaranalıticamente, si se conoce GST0 ylos elementos en t = 0. En primerlugar consideramos el modelo sinperturbaciones.

De la figura, u(t) = ! + ✓(t) ysen�(t) = sen u(t) sen i .

Por otro lado: tan u(t) cos i =tan (GST0 + !�t + �(t)� ⌦).

Por tanto las ecuaciones que determinan la traza son:�(t) = arc sen (sen u(t) sen i)�(t) = ⌦� GST 0 � !�t + arctan (tan u(t) cos i).Queda determinar u(t) en funcion de t. Si la orbita escircular, u(t) = u(t0) + n(t � t0). Si no, u(t) = ! + ✓(t) yhay que usar leyes horarias. 76 / 107




Computo de una posicion sobre la Traza I

Como hemos visto se usan las ecuaciones:

sen�(t) = sen u(t) sen i , �(t) = ⌦� GST 0 � !�t + �u,

En estas ecuaciones u(t) = ! + ✓(t) representa el “angulorecorrido sobre la traza” a partir del nodo ascendente.u = 0o es por tanto el nodo ascendente, u = 180o eldescendente, u = 90o es el punto de mayor latitud, u = 270o

el punto de menor latitud. Cuando u 2 (�90o, 90o) la traza semueve de Sur a Norte, y cuando u 2 (90o, 270o) la traza semueve de Norte a Sur.Si la orbita es polar (i = 90o) las ecuaciones resultansingulares. Para estas orbitas �(t) = u(t) cuandou 2 (�90o, 90o) y �(t) = 180o � u(t) cuando u 2 (90o, 270o).Si la orbita es excentrica no olvidar que ✓(t) (y por tantou(t)) evoluciona de acuerdo a las leyes horarias!

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Computo de una posicion sobre la Traza II

El angulo �u(t) representa el angulo que la traza proyectadasobre el Ecuador recorre, a partir del nodo ascendente, haciael Este, y sin tener en cuenta el movimiento de la Tierra. Sepuede calcular del triangulo de varias formas, por ejemplotan�u(t) = tan u(t) cos i o cos�u(t) =

cos u(t)cos�(t) .

Es importante para corregir la solucion obtenida tener encuenta que, si la orbita es directa, u(t) y �u(t) estan en elmismo cuadrante, mientras que si la orbita es retrograda estanen cuadrantes opuestos (en este sentido, el primer cuadrantees opuesto al cuarto y el segundo opuesto al tercero).

Si la orbita es polar (i = 90o) las ecuaciones resultansingulares. Para estas orbitas �u(t) = 0o cuandou 2 (�90o, 90o) y �u(t) = 180o cuando u 2 (90o, 270o). Esdecir solo son posibles dos valores.

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Computo de una posicion sobre la Traza III

Figura que ilustra el caso directo (sistema de referenciainercial). u (rojo) y �u (azul) recorren los mismos cuadrantesen el mismo orden. Se observa que los puntos especiales (0o,90o, 180o, 270o) se alcanzan simultaneamente.

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Computo de una posicion sobre la Traza IV

Figura que ilustra el caso retrogrado (sistema de referenciainercial). u (rojo) y �u (azul) recorren los cuadrantes en ordenopuesto. Se observa que los puntos especiales para u (0o, 90o,180o, 270o) son opuestos para �u (0o, 270o, 180o, 90o).

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Computo de una posicion sobre la Traza V

Figuras que ilustran el caso polar, cuando se recorre de Sur aNorte (izquierda) y de Norte a Sur (derecha).

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Lanzamiento I

Las ecuaciones del lanzamiento permiten determinar lainclinacion de una orbita a partir del azimut de lanzamiento yla latitud de la base de lanzamiento.

Az

i

Hipotesis:La trayectoria de lanzamiento escoplanaria con la orbita.Se desprecia el efecto de rotacion dela Tierra.

Se tiene:⌥⌃ ⌅⇧cos i = senAz cos�

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Lanzamiento IIPuesto que cos i = senAz cos�, con Az = 90o (lanzamientohacia el Este) se tiene i = �. En cualquier otro caso, i > �.Cada base posee un azimuth maximo y mınimo de lanzamientopor razones geograficas, estrategicas y de seguridad.Habrıa que anadir la velocidad de rotacion de la Tierra en labase, que es vL = !�r cos� ⇡ !�R� cos�, con direccion Este.

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Lanzamiento IIISitios de Lanzamiento:


Noncoplanar Transfers

The launch site velocity is:

Note all the velocity is Eastward in the SEZ system, so launchingfrom the equator on a 90° azimuth may be best.

The velocity at the equator is vL = 0.465 km/s. Westward

launches must make this up, so difference is 0.93 km/s.

gcsitesiteLsiteLcosrr or r !"""

###=$=$=

vvvvvvv


Noncoplanar TransfersLaunch sites and allowable azimuths

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Lanzamiento IVSitios de Lanzamiento:


Launch Sites


Noncoplanar Transfers

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Lanzamiento V

Ventanas de Lanzamiento: Determinar la hora del lanzamientode forma que ⌦ sea la deseada.

Az

i

El angulo formado entre la base y ⌫ sera ⌦+ �u,donde �u esta definida en la figura. Por definiciondicho angulo es LST.

Se puede demostrar⌥⌃

⌅⇧cos�u = cosAz

sen i . Para decidir

la solucion del arco coseno se puede usarsen�u = senAz sen�

sen i .

Luego ⌦+ �u = LST = GST+ � = GST0 + �+ !�t.

Por tanto:↵⌦

� t = ⌦+�u��GST0

!� .

La “ventana de lanzamiento” �t vendra dadapor la tolerancia �⌦.

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Cobertura geografica I

©R

r

¡

Se denomina cobertura geografica deun satelite la zona de la Tierra visiblepor dicho satelite para cada instante.

Dicha zona estara delimitada por lacircunferencia terrestre donde estangente a la esfera de la Tierra uncono de vertice el satelite.

Desde un punto de la circunferencia severıa el satelite justo en el horizonte.

El “radio angular” � de dicha circunferencia viene dado porcos � = R�

R�+h .Todos los puntos de la superficie terrestre cuya distanciaortodromica al centro de la circunferencia (punto subsatelite)sea menor que � estaran dentro de la circunferencia.

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Cobertura instrumental

°

°+®

®

r©R

Considerando el caso mas realista deun instrumento (antena o sensor) conun angulo de visibilidad mas estrecho(↵), se determina una circunferenciade “radio angular” � � como en lafigura.

Se tiene que

� = arc sen⇣R�+hR� sen↵

⌘� ↵.

Ademas, se define el “ancho de huella” w como la longituddel arco maximo tendido por la circunferencia de coberturadel instrumento. Se tiene pues que w = 2R�� (si � estaexpresado en radianes).

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Visibilidad I

Un satelite es visible desde una estacion si elvector estacion-satelite ~s esta por encima delhorizonte geografico de la estacion.

Es decir, su elevacion, h, debe ser mayor queun valor hmin, determinado por lainstrumentacion y topografıa.

Se deduce h = arc sen

✓r cos �R�p

r2+R2��2R�r cos

◆y la condicion de

visibilidad queda h > hmin.Si se conocen las coordenadas geograficas del satelite en tentonces es analogo a ↵ de la misma formula de la distanciaortodromica (angulo del arco entre la posicion de la estacion yla proyeccion sobre la Tierra de la posicion del satelite en t).Si solo se conocen los elementos orbitales entonces:cos = c� [c(LST � ⌦)c(! + ✓) + s(LST � ⌦)s(! + ✓)ci ] + s(! + ✓)sis�

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Visibilidad II

Las anteriores relaciones permitencalcular, para cada instante(recordando que LST , ✓ y r sonfuncion de t) la llamada “funcion devisibilidad”, que proporciona laelevacion para cada t.

Solo cuando h > hmin el satelite seravisible.

Estas ideas se pueden aplicar no solo a satelites, sino acualquier cuerpo observable desde la Tierra. El analisis seramas o menos complicado segun la complejidad delmovimiento del cuerpo.Para un satelite en orbita circular este analisis se puedesimplificar y obtener directamente de la representacion de lastrazas del satelite. 90 / 107




Orbitas de Aplicacion

Si bien hay una gran posible diversidad para las orbitasgeocentricas, en la practica se utilizan los siguientes tipos deorbitas:

Geosıncronas/geoestacionarias.Orbitas bajas, especialmente la orbita heliosıncrona.Orbitas de alta excentricidad.Orbita media.Constelaciones.

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Orbita geoestacionaria ISe define la orbita geoestacionaria (ideal) como:

Geosıncrona, es decir, su periodo es el de la Tierra(T� = 23 h 56 m 4 s), por tanto

aGEO =⇣µ�

T 2�

4⇡2

⌘1/3= 42164 km.

Circular (e = 0), ecuatorial y directa (i = 0).Por tanto RGEO = aGEO y hGEO = 35786 km.

Para ubicar un satelite geoestacionario, por tanto, solonecesitamos la longitud � del punto del Ecuador sobre el quese encuentra fijo.Otra forma de dar la posicion del satelite es mediante sulongitud verdadera �T (no se puede usar ✓, !, ni ⌦). Se tieneque �T (t) = GST(t) + � y por otro lado puesto que n = !�,�T (t) = �T (t0) + !�t.La Tierra, vista desde GEO, presenta la forma de un discoque ocupa aproximadamente 17o en el horizonte.

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Orbita geoestacionaria IILa Tierra vista desde GEO:

Un satelite geoestacionario permaneceinmovil respecto a la Tierra: su “vista” esfija. Las antenas de recepcion pueden serpor tanto fijas.

Inconveniente: no se cubren bien las zonaspolares (por encima de 81,3o de latitud).

La orbita GEO:

La orbita GEO esta muy congestionada(en sentido fısico y de interferenciasradioelectricas). Esta reguladainternacionalmente.

Se necesitan lanzadores potentes parallegar a GEO.

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Orbita geoestacionaria III

Cobertura de la Tierra:

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Orbita geoestacionaria IV

Cobertura total de la Tierra (excepto los polos): sonnecesarios tres satelites geoestacionarios.

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LEO (orbita baja)La orbita baja es la mas utilizada, porsu proximidad “energetica” a laTierra. Las estaciones espaciales sehan situado en LEO.

Se considera orbita baja a aquellaorbita que no se extiende mas alla deuna altitud de 2000 km.

Se evitan altitudes inferiores a 300 kmya que la resistencia atmosfericareduce mucho la vida util.

Las perturbaciones mas importantesson el J2 y la resistencia atmosferica.

Muy utilizadas son las orbitasheliosıncronas.

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Heliosincronismo I

Una orbita heliosıncrona es una orbita, tıpicamente circular,tal que el angulo que forma su nodo ascendente con el Sol esconstante aproximadamente a lo largo del ano.

Recordemos que ⌦, la ascension recta del nodo ascendente,cambia debido a perturbaciones.

La condicion que tiene que cumplir la orbita, por tanto, es queel periodo de dicho movimiento sea justo un ano (el tiempoque tarda la Tierra en dar la vuelta al Sol).

Para el caso de orbita circular de altura h, se cumple:

cos i⇣

R�R�+h

⌘7/2= �0,0989

Existen multiples orbitas heliosıncronas con diferenteinclinacion y altitud. No obstante, de la ecuacion, cos i ha deser negativo (luego i > 90o , es decir, orbitas retrogradas);normalmente se usan alturas en LEO, con lo que cos i espequeno, es decir, las orbitas son aproximadamente polares. 97 / 107




Heliosincronismo II

Segun la orientacion del nodo ascendente respecto al Sol seclasifica la orbita.

Si el nodo ascendente cruza el Ecuador a mediodıa (y el nododescendente a medianoche ). Esta orbita se llama 12h-24h(high noon orbit).Si el nodo ascendente cruza el Ecuador al atardecer (y el nododescendente, al amanecer ). Esta orbita se llama 18h-6h(dusk-dawn).

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Heliosincronismo III

Ventajas de la orbita heliosıncronaLos mecanismos de apuntado de los paneles solares al Sol sesimplifican considerablemente, y se posibilitan largos periodosde iluminacion solar; ademas, con una altura suficiente (1400kilometros) nunca se producen eclipses.Puesto que la hora solar y la hora solar media sonaproximadamente iguales, las condiciones de iluminacion en elpaso por el Ecuador (es decir, la hora solar) son casiconstantes.Mas aun, la hora solar media en el paso por una latitudcualquiera (al atravesar un paralelo) tambien es constante.Esta propiedad es tremendamente util para las tareas deobservacion y reconocimiento.

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Orbitas de alta excentricidad: Los Molniya

Los Molniya (“relampago” en ruso) sonuna familia de satelites decomunicaciones de la antigua URSS .

Puesto que los satelites en GEO nocubren bien altas latitudes (cercanas alpolo), y gran parte del territorio ruso seencuentra muy al Norte, un satelite enGEO no proporciona una coberturageografica adecuada.

Ademas dado que los sitios delanzamiento rusos son de elevada latitud,la orbita GEO es muy costosa enterminos “energeticos”.

Solucion: varios satelites en orbitas dealta excentricidad 100 / 107




Molniya I

Supongamos una orbita con los siguienteselementos: T ⇡ 12 h, e = 0,75, es decir unaorbita “semi-sıncrona” (cada dosrevoluciones pasa por la misma localizaciongeografica) y de alta excentricidad.

Obtendrıamos hp ⇡ 300 km,ha ⇡ 40000 km.

¿Que angulo se recorre en dos horas desde elperigeo? De la ecuacion de Kepler,n�t = E � e senE , obtenemos queE = 1,78 rad luego ✓ = 2,54 rad ⇡ 145o .

Por tanto en las cuatro horas restantes delsemi-periodo se recorren los 35o restantes.

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Molniya II

Por tanto, ya que con 35o se pueden cubrirlas altas latitudes rusas, situando el apogeoen la zona de maxima latitud donde sequiere tener cobertura, se pueden conseguiraproximadamente ocho horas de cobertura.

Son necesarios pues tres satelites paraobtener 24 h de cobertura.

Es fundamental evitar que las perturbacionesdel J2 desplacen el apogeo.

La regresion de los nodos se puede compensar eligiendoadecuadamente el periodo del satelite.

Puesto que d!dt =

3J2nR2�

4p2 (5 cos2 i � 1), se elige i tal que

d!dt = 0. Por tanto, i = arc cos

q15 = 63,4o , la llamada

inclinacion crıtica. 102 / 107




Molniya III

La orbita Molniya con sus dos apogeos diarios: uno en Rusia yotro en Norteamerica.

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Orbita Tundra

Otra orbita de alta excentricidad es la orbita tundra.Es una orbita geosıncrona inclinada con la i crıtica(i = 63,4o) y de alta excentricidad, de forma que el apogeo sesitua sobre Norteamerica.Se emplea para los satelites Sirius (radio por satelite); con 3satelites se garantiza que 1 sobrevuela USA en todo momento.104 / 107




Orbita Media

Se considera orbita media (MEO) la queesta por encima de la orbita baja (mas de2000 km) y por debajo de la GEO.

Al ser de mayor altitud, ofrece mascobertura que las orbitas LEO sin requerir lapotencia de transmision/recepcion ni elcoste de la GEO.

Tıpicamente usada por constelaciones de satelites denavegacion (GPS, Glonass, Galileo), o por satelites decomunicaciones polares.

Contiene las orbitas semisıncronas circulares (con periodoigual a la mitad del periodo terrestre).

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Constelaciones I

Para proporcionar cobertura durante 24 h no basta con unsolo satelite: son necesarios varios.

Una constelacion de satelites es un conjunto de satelitessituados en orbitas coordinadas, de forma que ofrecencobertura total o casi total.

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Constelaciones II

Hemos visto ya varios ejemplosTres satelites geoestacionarios proporcionan cobertura total delplaneta, excepto los polos.Tres satelites Molniya proporcionan cobertura para Rusia.La orbita Tundra (tres satelites).

Otros ejemplos son la constelacion de satelites de GPS (unos24 satelites en orbita media, a = 26600 km), la constelacionIridium (66 satelites en orbita baja) o la constelacionGlobalstar (unos 40 satelites, no ofrece cobertura total). 107 / 107

Fundamentos de Navegacio´n A´ereaGrandes estructuras espaciales: p.ej. Antenas gigantes o...

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