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Fundamento Z
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FUNDAMENTOZ m a g a z i n e Pierre Laurent Biografía Transformada Z unilateral, bilateral e inversa. Edición Septiembre - 2011 Ejercicios
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Edicion sobre las transformadas z
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FUNDAMENTOZm a g a z i n e
Pierre LaurentBiografía
Transformada Zunilateral, bilateral e inversa.
Edición Septiembre - 2011
Ejercicios
Edición Septiembre - 2011
1
Portada Créditos
Créditos
Coordinación General
JORGE TORRES
Diseño y Diagramación
WILMER SANGRONIS
ARMANDO CAMACHO
Programación
LUIS CASTILLO
FREDY FRESNEDA
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Edición Septiembre - 2011
Contenido
3 Biografía
4 Transformada Z
6 Transformada Z de funciones
elementales
7 Historia de reflexión
9 Tips para solución de ejercicios
10Teoremas transformada Z
11 Ejercicios resueltos
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Edición Septiembre - 2011
Pierre LaurentBiografía
Pierre Alphonse Laurent (18 julio
1813 a 2 septiembre 1854) fue un
matemático francés, más conocido
como el descubridor de la serie de
Laurent, una expansión de una
función en una serie infinita, la
generalización de la expansión de
Taylor. Nació en París, Francia.
Su resultado fue contenido en una
memoria presentada por el Gran
Premio de la Academia de Ciencias
en 1843, pero su presentación fue
después de la fecha de vencimiento,
y el documento no fue publicado y
nunca se considero para el premio.
Laurent falleció a los 41 años en
París. Su trabajo no fue publicado
hasta después de su muerte.
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Edición Septiembre - 2011
Transformada ZLa Transformada Z convierte una señal real
o compleja definida en el dominio del
tiempo discreto en una representación en el
dominio de la frecuencia compleja.
La Transformada Z procede de la variable
del dominio, al igual que se podría llamar
"Transformada S" a la Transformada de
Laplace. Un nombre más adecuado para la
TZ podría haber sido "Transformada de
Laurent", ya que está basada en la serie de
Laurent. La TZ es a las señales de tiempo
discreto lo mismo que Laplace a las señales
de tiempo continuo.
Unilateral, bilateral e inversa.
Transformada z Unilateral
El cálculo de la Transformada z de una
señal x(n) ,requiere especificar todos los
valores de x(n) desde −∞ hasta +∞, esto
impide su uso cuando nos interesa obtener
la respuesta de un sistema con condiciones
iniciales distintas de cero en el tiempo inicial,
en ese caso usaremos la siguiente
transformada. La transformada z unilateral
de x(n) se denota como (z) o
también{x(n)} y se define como:
Un ejemplo interesante de la TZ unilateral
es la función de generación de
probabilidades, donde x[n] es la probabilidad
que toma una variable discreta aleatoria en
el instante n, y la función X(z) suele
escribirse como X(s), ya que s = z−1. Las
propiedades de las transformadas Z son
útiles en la teoría de la probabilidad.
Transformada Z Bilateral
La TZ bilateral de una señal definida en el
dominio del tiempo discreto x[n] es una
función X(z) que se define:
Donde n es un entero y z es, en general, un
número complejo de la forma
z = Aejω
Donde A es el módulo de z, y ω es la
frecuencia angular en radianes por segundo
(rad/s).
La transformada Z Inversa.
Con frecuencia tenemos las señales o bien
los sistemas discretos descritos en función
de la transformada z y no es necesario
volver al dominio del tiempo. Por tal razón
se nos hace necesario como lograr esta
transformación. La operación que devuelve
una función de z al tiempo se conoce con el
nombre de transformada inversa de z y está
definida por:
Donde la integral es una integral de
contorno sobre el camino cerrado C que
encierra al origen y se encuentra en la
región de convergencia de X(z). Para
obtener la transformada
z inversa se supone, generalmente, que la
secuencia de tiempo x(nT) o x(n) es cero
para k < 0
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Edición Septiembre - 2011
Entre los métodos más utilizados para
obtener la transformada z inversa tenemos:
Método de la división directa:En este método la transformada z inversa se
obtiene mediante la expansión de X(z) en
una serie infinita de potencia de z-1. Este
método es apropiado para una expresión en
forma cerrada para la transformada z inversa
o se desea encontrar sólo algunos de los
primeros términos de x(k). Este método se
basa en el hecho de que:
Aunque este método sólo otorga valores
discretos y no una expresión generalizada
de la secuencia, el mismo puede ser útil en
distintas aplicaciones que sólo requieren una
aproximación de la señal final.
Adicionalmente, a estos tres métodos para
el cálculo de la transformada z inversa,
existen diversos programas para
computadoras que pueden realizar el cálculo
de estas funciones. Por ejemplo, el software
MATLAB de la compañía MATHWORKS
posee diversas herramientas para la
obtención de la transformada z y su inversa.Método de la integral de inversión:
Otro método empleado para la obtención
de la transformada inversa de z es utilizar el
teorema del residuo de Cauchy:
La aplicación de este teorema nos da por
resultado una ecuación, que desarrollada
para la transformada z inversa
obtenemos:
Siempre que los polos zi sean simples. Si
X(z) no tiene polos dentro del contorno C
para uno o más valores de n, entonces
x(n)=0 para esos valores.Método de expansión en
fracciones parciales:
Este método es idéntico al utilizado
para calcular transformada inversa de
Laplace. Para este método intentamos
expresar la función X(z) como una
combinación bilineal de la forma:
Donde X1(z), X2(z), ... ¸ Xk(z) son
expresiones con transformadas
inversas x1(n), x2(n), ... , xk(n)
disponibles en una tabla de pares de
transformadas z. Si dicha
descomposición es posible podemos
entonces encontrar x(n) a partir de
las transfor- madas inversas de z de
X(z) aplicando la propiedad de
linealidad, de manera que:
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Edición Septiembre - 2011
Transformada Z de funciones
elementalesTransformada Z de funciones
elementalesA continuación se presentara la
transformada Z de varias funciones
elementales
Función escalón unitario
ESCALÓN UNITARIO
Función exponencialsea
donde a es una constante y T es el periodo
de muestreo; por tanto:
De forma que
Función rampa Unitaria
Donde T es el periodo de muestra
Función polinomial an
Sea
donde a es una constante. De
esta forma tenemos que:
La Función Senoidal
sea
de esta manera tenemos que
siendo T el periodo de
muestreo
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Edición Septiembre - 2011
.Sir Ernest Rutherford, Premio Nobel de
Química en 1908, contaba lo siguiente: Hace
algún tiempo, recibí la llamada de un colega.
Estaba a punto de poner un cero(0) a un
estudiante por la respuesta que había dado
en un problema de física, pese a que este
afirmaba con rotundidad que su respuesta
era absolutamente acertada.
Profesores y estudiantes acordaron pedir
arbitraje de alguien imparcial y fui elegido
yo. Leí la pregunta del examen y decía:
“Demuestre cómo es posible determinar la
altura de un edificio con la ayuda de un
barómetro”.
El estudiante había respondido: “Lleva el
barómetro a la azotea del edificio y átele
una cuerda muy larga. Descuélgalo hasta la
base del edificio, marca y mide. La longitud
de la cuerda es igual a la longitud del
edificio”.
Realmente, el estudiante había planteado un
serio problema con la resolución del
ejercicio, porque había respondido a la
pregunta correcta y completamente. Por
otro lado, si se le concedía la máxima
puntuación, podría alterar el promedio de
sus estudios, obtener una nota más alta y así
certificar su alto nivel en física; pero la
respuesta no confirmaba que el estudiante
tuviera ese nivel.
Sugerí que se le diera al alumno otra
oportunidad. Le concedí seis minutos para que
me respondiera la misma pregunta pero esta vez
con la advertencia de que en la respuesta debía
demostrar sus conocimientos de física. Habían
pasado cinco minutos y el estudiante no había
escrito nada. Le pregunté si deseaba marcharse,
pero me contestó que tenía muchas respuestas
al problema. Su dificultad era elegir la mejor de
todas. Me excusé por interrumpirle y le rogué
que continuara.
En el minuto que le quedaba escribió la siguiente
respuesta: “Coge el barómetro y lánzalo al suelo
desde la azotea del edificio, calcula el tiempo de
caída con un cronómetro. Después se aplica la
fórmula: altura = 0,5 por A por T2. Y así
obtenemos la altura del edificio”
Tras abandonar el despacho, me reencontré con
el estudiante y le pedí que me contara sus otras
respuestas a la pregunta. Bueno, respondió, hay
muchas maneras, por ejemplo, coges el
barómetro en un día soleado y mides la altura
del barómetro y la longitud de su sombra. Si
medimos a continuación la longitud de la sombra
del edificio y aplicamos una simple proporción,
obtendremos también la altura del edificio.
Perfecto, le dije, ¿y de otra manera? Sí, me
contestó; este es un procedimiento muy básico
para medir un edificio, pero también sirve.
Como medir un edificio
con un barómetro.
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Edición Septiembre - 2011
En este método, coges el barómetro y te
sitúas en las escaleras del edificio en la
planta baja. Según subes las escaleras, vas
marcando la altura del barómetro y cuentas
el número de marcas hasta la azotea.
Multiplicas al final la altura del barómetro
por el número de marcas que has hecho y
ya tienes la altura. Este es un método muy
directo.
Por supuesto, si lo que quiere es un
procedimiento más sofisticado, puede atar el
barómetro a una cuerda y moverlo como si
fuera un péndulo. Si calculamos que cuando
el barómetro está a la altura de la azotea la
gravedad es cero y si tenemos en cuenta la
medida de la aceleración de la gravedad al
descender el barómetro en trayectoria
circular al pasar por la perpendicular del
edificio, de la diferencia de estos valores, y
aplicando una sencilla fórmula
trigonométrica, podríamos calcular, sin duda,
la altura del edificio. En este mismo estilo
de sistema, atas el barómetro a una cuerda y
lo descuelgas desde la azotea a la calle.
Usándolo como un péndulo puedes calcular
la altura midiendo su periodo de precesión.
En fin concluyó, existen otras muchas
maneras. Probablemente, siguió, la mejor sea
coger el barómetro y golpear con él la
puerta de la casa del conserje. Cuando abra,
decirle: señor conserje, aquí tengo un bonito
barómetro. Si usted me dice la altura de este
edificio, se lo regalo.
En este momento de la conversación, le
pregunté si no conocía la respuesta
convencional al problema (la diferencia de
presión marcada por un barómetro en dos
lugares diferentes nos proporciona la
diferencia de altura entre ambos lugares).
Evidentemente, dijo que la conocía, pero que
durante sus estudios sus profesores habían
intentado enseñarle a pensar. El estudiante
se llamaba Niels Bohr, físico danés, premio
Nobel de Física en 1922, más conocido por
ser el primero en proponer el modelo de
átomo con protones y neutrones que lo
rodeaban. Fue fundamentalmente un
innovador de la teoría cuántica. Al margen
del personaje, lo divertido y curioso de la
anécdota, lo esencial de esta historia, es que
LE HABÍAN ENSEÑADO A PENSAR.
Algunos de los teoremas comúnmente
utilizados de la transformada z se enuncian
sin prueba. Al igual que en el caso de la
transformada de Laplace, estos teoremas
son útiles en muchos aspectos en el análisis
de la transformada Z. Para uniformidad, la
secuencia real se expresa como , y si no se
especifica un periodo de muestreo, T se
puede considerar como la unidad
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Edición Septiembre - 2011
.
Solución de ecuaciones en diferencia utilizando la
transformada z
La utilidad de la transformada z y su inversa es que permite obtener la
expresión de la función y(k) (salida del sistema). Los pasos para la
solución de estos sistemas son:
· Obtener la transformada z de la ecuación de diferencias que
relaciona la entrada (x(n)) y la salida (y(n))del sistema. Para esto utilice
las propiedades de linealidad y retardo en el tiempo; la tabla 3 ya tiene
el desarrollo de las ecuaciones en diferencia aplicando estas
propiedades.
· Encontrar la función Y (z) en función de ella misma y X(z).
· Aplique luego la transformada z inversa. De esta forma obtendrá la
salida del sistema y(n) en función de la salida y entrada al sistema.
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Edición Septiembre - 2011
Propiedades de la transformada z
Linealidad. La TZ de una combinación lineal de dos señales en el tiempo es la
combinación lineal de sus transformadas en Z.
Desplazamiento temporal. Un desplazamiento de k hacia la derecha en el
dominio del tiempo es una multiplicación por z−k en el dominio de Z
Convolución. La TZ de la convolución de dos señales en el tiempo es el producto de
ambas en el dominio de Z
Diferenciación
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Edición Septiembre - 2011
.Ejemplo: calcular la transformada Z
de la siguiente señal causal de
duración infinita:
Solución:
De la definición obtenemos
La cual es una serie geométrica con
razón la cual converge al
valor
Siempre y cuando
Ejemplo: Obtener la respuesta al
escalón unitario del sistema dado
por la siguiente ecuación de
diferencias con la condición inicial
y(-1)=1
Solución
Calculando la transformada z unilateral a
cada miembro de la ecuación se obtiene
De donde
Pero como x(n) es un escalón unitario:
Es decir,
O bien
Expandiendo en fracciones parciales se
obtiene
por lo tanto
Ejercicios
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