Modelos de Funcin de TransferenciaArnzazu de Juan FernndezAbril 200611 I nt r oducci nEn los modelos de funcin de transferencia, el objetivo es relacionar dos msseries temporales elaborando modelos causales de prediccin. Se considera laforma de relacionar una serie temporal, denominada output en funcin de unau otras series temporales, que se denominan inputs. Tambin se consideraa priori que existe una causalidad unidireccional desde los inputs hacia eloutput, desechando la posibilidad de feedback.Una de las preguntas que surgen habitualmente es por qu utilizar losmodelos de funcin de transferencia si exite el modelo lineal general que rela-ciona diferentes variables?. Existen diversas razones que explican la necesi-dad de los modelos de funcin de transferencia:1.- En el modelo lineal general, la relacin suele ser instantnea y vieneestablecida a priori.2.- En el modelo lineal general, la relacin va de la variable x| a la variabley|, pero la variable y| no inuye sobre la variable x|.3.- En el modelo lineal general, la parte de variable respuesta no explicadapor la variable independiente x| es un proceso u| de variables independientes.No se suele vericar con datos dinmicos.Estos modelos son muy utilizados en todos los campos cientcos paraevaluar respuestas dinmicas. Si las variables inputs son controlables, es-tos modelos permiten simular y evaluar polticas alternativas. Si no lo son,ofrecen la posibilidad de estudiar cmo ciertos "escenarios", denidos porposibles evoluciones de la variable explicativa, afectan a la variable respuesta.Adems estos modelos son muy tiles para elaborar predicciones, aunquedepender del intervalo que se tenga entre observaciones. Si disponemos de2datos anuales (es decir el intervalo entre observaciones es grande), la relacinentre la variable explicativa y la respuesta no suele contener retardos y paraprever el output es necesario conocer el input. En el caso ms general en quex| es estocstico, para preverla es necesario construir su modelo univariante,y es posible que la mejora en la prediccin de y|+ l que aporte el modelodinmico basado en la prediccin de x| respecto al modelo univariante paray| sea pequea, por el error de prediccin de la variable exgena. Sin em-bargo, el modelo puede ser muy adecuado para la prediccin condicional dela respuesta en funcin de posibles valores de la variable explicativa.Si el perodo de observacin es corto (diario o minutos), donde es frecuenteque existan retardos en la relacin entre las variables, de manera que x|lafecta a y| (k > 0). En este caso, la variable x| es un indicador avanzado dela respuesta y como el regresor que necesitamos para prever la respuesta enel instante t es conocido, el modelo de regresin dinmica suele proporcionarmejores predicciones de y| que el univariante.La construccin de los modelos de funcin de transferencia sigue las mis-mas etapas que la construccin de los modelos univariantes de series tempo-rales: Identicacin, Estimacin, Vericacin y Prediccin.32 M odel os de funci n de t r ansfer enci a con unni co i nput2.1 Concept os gener al esEl caso ms sencillo es el modelo de funcin de transferencia con un sloinput, que se puede extender sin grandes dicultades a modelos con variosinputs.En un sistema lineal de un nico input y nico output, la serie output Y|y la serie input X| se relacionan a travs de un ltro lineal de la siguienteforma:Y|=0X| +1X|1 +2X|2 +... +N|(1)=(B)X| +N|donde (B) = 0 +1B +2B2+... se reere como funcin de transferenciadel ltro de Box y Jenkins (1970), y N| es el ruido del sistema que es inde-pendiente de la serie input X|. Los coecientes de (B) se conocen como lafuncin de respuesta al impulso. Para que el sistema (1) sea estable se debecumplir que una variacin nita en el input produzca una variacin tambinnita en el output. Esto es deber cumplirse queX)= 0) = g (2)siendo g nito. El valor de g representa el cambio total en Y| motivado porun cambio unitario en X| mantenido indenidamente en el tiempo.Los propsitos de la modelizacin de funcin de transferencia son iden-ticar y estimar la funcin de transferencia (B) y el modelo del ruido N|4sobre la base de la informacin que proporcionan la serie input y la serieoutput.El modelo (1) es inestimable, debido a que en l aparece un nmeroinnito de parmetros. Este problema se puede aliviar al expresar la funcinde transferencia como el cociente de dos polinomios (racionales) nitos:(B) = (B)Bb(B)(3)donde (B) = 01B2B2...cBc, (B) = 11B2B2...vBvy b es un parmetro de retardo que representa el tiempo que transcurre antesde que el impulso en la variable input produzca un efecto en la variableoutput. Para que el sistema sea estable, se asume que las races de (B) = 0caen fuera del crculo unidad.Sustituyendo (3) en (1), se obtiene:Y| = (B)Bb(B)X| +N|(4)Por otro lado, el trmino de error no tiene por qu ser necesariamente unruido blanco. Se puede suponer, con carcter general, que N| sigue un procesoARIMA, aunque sigue siendo independiente de la variable de input X|, estoes:(B)(1 B)oN| = (B)u|(5)N| =(B)(B)(1 B)ou|(6)con (B) = (11B2B2...qBq) y (B) = (11B2B2...jBj)de manera que todas las races de ambos polinomios caen fuera del crculo5unidad siendo (1 B)oel operador diferencias consecutivas utilizado parainducir estacionariedad y u| es un ruido blanco.Sustituyendo (6) en (4), se obtiene:(1 B)oY| = (B)Bb(B)(1 B)oX| + (B)(B)u|(7)A partir de (7) puede observarse que si el proceso del trmino de error (5)no es estacionario y, por tanto, debe diferenciarse d veces para conseguirla estacionariedad, este mismo orden de diferenciacin recae tanto sobre lavariable dependiente o output como sobre la variable explicativa o input.Sin embargo, en la prctica, para construir un modelo de funcin detransferencia, se requiere que tanto la variable dependiente (output) comola variable explicativa (input) sean estacionarias, para lo cual obviamenteno tiene por qu cumplirse que ambas variables necesiten el mismo ordende diferenciacin para lograr su estacionariedad. Por otra parte, una vezlograda la estacionariedad en ambas variables, el proceso N| deber ser unARMA(p, q), con lo cual el modelo de funcin de transferencia se puedeescribir como:y| = (B)Bb(B)x| + (B)(B)u|(8)donde y| = (1B)oY| y x| = (1B)oX|, siendo d el orden de diferenciacinde Y| y d el orden de diferenciacin de X|.Este modelo de funcin de transferencia se representa grcamente comoen la gura 1.a.- La estructura de la funcin de transferencia determina la naturaleza dela inuencia de la variable explicativa sobre la variable dependiente.6-6-4-20245 10 15 20 25 30 35 40 45 500.00.10.20.30.40.50.62 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22Funcin de respuesta al impulso-4-20245 10 15 20 25 30 35 40 45 50INPUT OUTPUTSISTEMA DINMICO-----------Figure 1: Input y Ouput a partir de un sistema dinmicob.- Modelo del ruido representa un proceso ARMA estndar.La conjuncin de ambas partes da lugar al modelo de funcin de trans-ferencia completo. (ver gura 2)A partir de (3), resulta inmediato que, una vez que conozcamos los va-lores de (B), (B) y b, podremos obtener de inmediato los coecientes derespuesta del impulso, ), igualando los coecientes de B)de ambos lados dela siguiente ecuacin:(B)(B) = (B)Bb(9)que tambin puede escribirse como:(11B2B2...vBv)(0+1B+2B2+...) = (01B2B2...cBc)(10)7Estructura de funcin de Transferencia b B B ), ( ), ( Model o univariantedel Ruido ) ( ), ( B B Variable ExplicativaRuido BlancotxtaVariabledependientety+ +tbx BBB) () ( taBB) () ( Figure 2:A partir de esta expresin, se obtiene:) = 0 para j < b) = 1)1 +2)2 +... +v)v +0para j = b) = 1)1 +2)2 +... +v)v +)bpara j = b + 1, ..., b +s) = 1)1 +2)2 +... +v)vpara j > b +s(11)Adems, las r ponderaciones de respuesta al impulso b+ c, b+ c1, ..., b+ cv+ 1,sirven como valores iniciales para la ecuacin en diferencias:(B)) = 0 para j > b +s (12)De esta forma, las ponderaciones de respuesta al impulso presentan las si-guientes caractersticas:a.- Hay b coecientes iguales a 0 (0, 1, ..., b1)8b.- Hay s r + 1 coecientes (b, b+ 1, ..., b+ cv) que no siguen un patrnde comportamiento jo.c.- Hay r coecientes de respuesta al impulso que sirven como valores ini-ciales (b+ cv+ 1, b+ cv+ 2, ..., b+ c)d.- Para j > b + s, los coecientes de respuesta al impulso ()) siguen elpatrn autorregresivo de orden r dado en (12).Por lo tanto, si conocemos los coecientes de respuesta al impulso ()),podemos determinar los valores de b, r, s como sigue:1.- El valor de b se determinar teniendo en cuenta el hecho de que ) = 0para j < b y b 6= 0.2.- El valor de r se determinar por el patrn de comportamiento de los coe-cientes de respuesta al impulso de forma similar a como se identicael orden p de un modelo ARIMA a travs de la funcin de autoco-rrelacin.3.- En cuanto al valor de s, para un valor dado de b, si r = 0 podr identi-carse fcilmente s por cunto se cumplir que ) = 0 para j > b + s.Si r 6= 0, el valor de s se encontrar observando cuando comienza adecaer el patrn de la funcin de respuesta al impulso.Algunas funciones de respuesta al impulso tpicasEn la prctica, los valores de r y s raramente exceden de 2. Los casosms habituales que suelen encontrarse en variables econmicas son:9(b, r, s) Funcin de Transferencia Ponderaciones de respuesta al impulsor = 0(3, 0, 0) (B)x| = 0x|30.00.20.40.60.81.02 4 6 8 10 12 14(3, 0, 1) (B)x| = (01B)x|30.00.20.40.60.81.02 4 6 8 10 12 14(3, 0, 2) (B)x| = (01B 2B2)x|3-0.4-0.20.00.20.40.60.81.02 4 6 8 10 12 14r = 1(3, 1, 0) (B)x| =.0(1c11)x|30.00.20.40.60.82 4 6 8 10 12 14(3, 1, 0) (B)x| =(.0.11)(1c11) x|30.00.10.20.30.40.50.62 4 6 8 10 12 14(3, 1, 2) (B)x| =(.0.11.212)(1c11)x|3 0.00.10.20.30.40.50.62 4 6 8 10 12 14r = 2(3, 2, 0) (B)x| =.0(1c11c212)x|3 -0.20.00.20.40.65 10 15 20 25 30 35(3, 2, 1) (B)x| =(.0.11)(1c11c212)x|3-0.20.00.20.40.65 10 15 20 25 30 35(3, 2, 2) (B)x| =(.0.11.212)(1c11c212) x|3 -0.20.00.20.40.65 10 15 20 25 30 3510Tabla 1: Funciones de respuesta al impulso tpicas en variables econmicasTipo 1: r = 0a) b = 3, s = 0En este caso, la ecuacin (10) puede escribirse:0 +1B +2B2+... = 0B3(13)luego3 = 0) = 0 j > 2(14)b) b = 3; s = 1La ecuacin (10) en este caso ser:0 +1B +2B2+... = (01B)B3(15)luego3 = 04 = 1) = 0 j > 4(16)c) b = 3; s = 2La ecuacin (10) en este caso ser:0 +1B +2B2+... = (01B 2B2)B3(17)11luego3 = 04 = 15 = 2) = 0 j > 5(18)Tipo 2: r = 1a) b = 3;s = 0: Los coecientes de la respuesta al impulso decrecen ex-ponencialmente a partir de b+ c = 3. En efecto, con b = 3, r = 1 ys = 0, la ecuacin (10) ser igual a:(1 1B)(0 +1B +2B2+...) = 0B3(19)obtenindose:3 = 12 +0 = 04 = 13 = 105 = 14 = 210) = )310j > 3(20)Adems, como tiene que cumplirse que |1| < 1, se obtendr claramenteun decrecimiento exponencial de la funcin de respuesta al impulso apartir de 3.b) b = 3;s = 1:Los coecientes de la respuesta al impulso decrecen ex-ponencialmente a partir de b+ 1 = 4. La ecuacin (10) ser iguala:(1 1B)(0 +1B +2B2+...) = (01B)B3(21)12obtenindose:3 = 12 +0 = 04 = 131 = 1015 = 14) = 1)1j > 4(22)Ahora, el decrecimiento de la funcin de respuesta al impulso se pro-ducir a partir de 4.c) b = 3; s = 2:El decrecimiento exponencial de la funcin de respuestaal impulso se producir ahora a partir de b+ c = 5. La ecuacin (10)ser:(1 1B)(0 +1B +2B2+...) = (01B 2B2)B3(23)A partir de esta ecuacin, se obtiene:3 = 12 +0 = 04 = 131 = 1015 = 1426 = 15) = 1)1j > 5(24)Dentro de este tipo, el valor de b se identica observando cul es elprimer coeciente de la funcin de respuesta al impulso que es no nulo;el valor de s se identica observando el nmero de coecientes de lafuncin de respuesta al impulso que no decrecen a partir de b. r = 1se identica por cuanto a partir de b+ c su comportamiento es comoel de un proceso AR(1), es decir, la funcin de respuesta al impulso13presenta un comportamiento como el de la funcin de autocorrelacinde un proceso AR(1).Tipo 3: r = 2En este caso, los coecientes de la funcin de respuesta al impulso exhibena partir de b+ c, bien un comportamiento de decrecimiento exponencial obien un comportamiento sinusoidal decreciente, dependiendo de si las racesde (B) = 11B2B2son reales (21+42 0) complejas (21+42 < 0).2.2 M odel os de funci nde t r ansfer enci a conml t i pl esi nput s yest aci onal esEl modelo se puede generalizar a:1.- La existencia de ms de un input2.- que el ruido viene generado por un proceso estacional multiplicativo2.2.1 Gener al i zaci na ki nput sEn este caso el modelo de funcin de transferencia sera:y|=1(B)1(B)x1,|b + 2(B)2(B)x2,|b +... + l(B)l(B)xl,|b +N|(25)=1(B)1(B)Bb1x1| + 2(B)2(B)Bb2x2| +... + l(B)l(B)Bbkxl| +N|=lXi= 1i(B)i(B)Bbixi| +N|donde y| = (1 B)oY| y x| = (1 B)oX|.142.2.2 Gener al i zaci npar a unpr oceso est aci onal mul t i pi cat i voEl proceso del ruido en este caso sigue el modeloN| =(B)(Bc)(B)(Bc)(1 B)o(1 Bc)1u|(26)con (Bc) = (1 1Bc 2B2c ... 1B1c) y (Bc) = (1 1Bc2B2c... QBQc).Reemplazando (26) en (25), se obtiene:(1 B)o(1 Bc)1Y| =lXi= 1i(B)i(B)Bbi(1 B)o(1 Bc)1Xi| + (B)(Bc)(B)(Bc)u|(27)Si el trmino de error de (26) no es estacionario y por tanto, debe diferenciarsemediante (1 B)o(1 Bc)1, este mismo orden de diferenciacin recae tantosobre Y| como las k variables explicativas. Pero, dado que no es de esperar quetodas las variables involucradas en el modelo requieran el mismo nmero dediferencias, la forma habitual de escribir el modelo de funcin de transferenciageneral es:y| =lXi= 1i(B)i(B)Bbixi| + (B)(Bc)(B)(Bc)u|(28)donde y| = (1 B)o0(1 Bc)10Y| y xi| = (1 B)oi(1 Bc)1iXi|.2.2.3 Gener al i zaci ndel model ode funci nde t r ansfer enci aconpar met r os est aci onal esEl modelo de funcin de transferencia ms general vendra dado por la ex-presiny| =lXi= 1i(B)i(Bci)i(B)i(Bci)Bbixi| + (B)(Bc)(B)(Bc)u|(29)15donde i(Bci) = (i0i1Bcii2B2ci... HiBHci) y i(Bci) = (1 1iBci2iB2ci... 1iB1ci).3 I dent i caci n de l a funci n de t r ansfer enci a3.1 La funci nde covar i anza ycor r el aci ncr uzadaLa funcin de correlacin cruzada es una medida muy til de la fuerza y ladireccin de la relacin entre dos variables aleatorias. Dados dos procesosestocsticos x| e y| para t = 0, 1, 2, ..., decimos que x| e y| son conjunta-mente estacionarios si x| e y| son ambos procesos univariantes estacionariosy la covarianza cruzada entre x| e y| es una funcin de la diferencia temporal.La covarianza cruzada se dene:

a(j) = E[(y|)(x|)a)] j = 0, 1, 2, ... (30)

a(j) = E[(x|a)(y|))] j = 0, 1, 2, ... (31)Dando valores a j se obtiene la funcin de covarianzas cruzadas.Las covarianzas cruzadas no necesitan ser simtricas alrededor de 0. Porel contrario, es muy posible que x| sea una variable que cause a y| y por lotanto, est fuertemente correlacionada con valores futuros de y|, de maneraque a(j) 6= 0, j > 0 y que sin embargo no est correlacionada con valoresretardados de y|, es decir, a(j) = 0, j > 0. Por lo tanto, en principio,

a(j) 6= a(j) (32)16y sin embargo, se cumple que

a(j) = a(j) (33)Se deben usar series estacionarias ya que las covarianzas cruzadas slo podrninterpretarse cuando se efecten sobre series estacionarias.Interpretacin de a(j) = E[(y|)(x|)a)]:a) Un valor positivo de j en a(j), denota retardo mientras que un valornegativo de j denota adelanto.b)En a(j), el j escrito a la derecha de x se reere a los desfases (si jes positiva) o adelantos (si j es negativa) de la variable x respectoal perodo presente t de la variable y. As pues, si el valor presentede y viene inuenciado por dos valores retardados de la variable x,deber cumplirse que a(2) 6= 0. Esto obviamente tambin implicaque a(2) 6= 0 dado que se cumple que a(2) = a(2).Dado que suponemos que la variable x puede inuir en y pero que lainversa no puede darse (esto es, existe causalidad unidireccional de x haciay, pero no existe feedback) estamos suponiendo de partida que slamente nosinteresarn valores no negativos de j en a(j).La funcin de correlacin cruzada se dene estandarizando la funcin decovarianzas cruzada, es decir,

a(j) = a(j)

a(34)siendo y a las desviacin tpicas de las variables y y x respectivamente.Dando valores a j, se obtiene la funcin de correlaciones cruzadas. Estas noson simtricas alrededor de 0, a(j) 6= a(j).17La funcin de correlacin cruzada es til para determinar:a) Si las series y y x son estacionarias.b)Si y y x muestran alguna relacin entre ellas.c)El tipo de relacin que existe entre ambas series.3.2 Rel aci nent r e l a funci nde cor r el aci ncr uzada yl a funci nde t r ansfer enci aDado el modelo de funcin de transferencia:y| = 0x| +1x|1 +2x|2 +... +N|(35)donde se supone que y| y x| son estacionarias y que a= = 0. Simultiplicamos este modelo por x|) a ambos ladosy|x|) = 0x|x|) +1x|1x|) +2x|2x|) +... +N|x|)(36)y tomamos esperanzas matemticas:E[y|x|)] = 0E[x|x|)]+1E[x|1x|)]+2E[x|2x|)]+...+E[N|x|)] (37)se obtiene:

a(j) = 0

aa(j)+1

aa(j 1)+2

aa(j 2)+...+)

aa(0)+)+ 1

aa(1)+...(38)ya que E[N|x|)] = 0. Dividiendo por el producto de las desviaciones tpicasde las series, a

, se obtiene:

a(j) = a

0

aa(j)

2a+1

aa(j 1)

2a+2

aa(j 2)

2a+... +)

aa(0)

2a+...18

a(j) = a

[0

aa(j) +1

aa(j 1) +.. +) +)+ 1

aa(1)] (39)A partir de esta expresin se observa que la relacin entre la funcinde correlacin cruzada a(j) y la funcin de respuesta al impulso aparececlaramente contaminada por la estructura de autocorrelacin de la serie inputx| (aa representa la funcin de autocorrelacin de la variable input). Sinembargo, si la serie de input fuese un ruido blanco, todas las autocorrelacionesde x| seran nulas y la expresin (39) se simplicara considerablemente,obtenindose:

a(j) = a

)(40)de manera que) =

a

a(j) (41)As, si x| es un ruido blanco, la funcin de respuesta al impulso ) es direc-tamente proporcional a la funcin de correlacin cruzada a(j).Para poder escribir una relacin como (41), que es la relacin bsica enla identicacin de los modelos de funcin de transferencia a travs de lafuncin de correlacin cruzada, se debe considerar:1.- La funcin de correlacin cruzada se dene slo cuando x| e y| procesosbivariantes conjuntamente estacionarios.Para conseguir la estaciona-riedad requerida, puede que sean necesarias diferencias y transforma-ciones de estabilizacin de varianza. Se asume pues que x| e y| sonconjuntamente estacionarias.2.- Para poder relacionar la funcin de correlacin cruzada y los coecientesde la funcin de respuesta del impulso debemos asegurarnos que el19input sea ruido blanco, es decir, aa(j) = 0, j 6= 0.3.3 El pr ebl anqueoPara ello, si escribimos el modelo de funcin de transferencia como:y| = (B)x| +N|(42)y suponemos que x| viene generada por un proceso ARMA del tipo:a(B)x| = a(B)|(43)donde a(B) y a(B) son los polinomios autorregresivo y de media mvildel proceso ARMA para la serie input que cumplen las condiciones de esta-cionariedad e invertibilidad usuales y | es un proceso de ruido blanco. As,si escribimos |:

| = a(B)a(B)x|(44)que se denomina serie input preblanqueada. Aplicando la misma transforma-cin de preblanqueo a la serie de output, obtenemos:

| = a(B)a(B)y|(45)De esta forma, si en el modelo de funcin de transferencia (42) premultipli-camos a ambos lados porcx(1)0x(1), se obtienea(B)a(B)y| = (B)a(B)a(B)x| + a(B)a(B)N|(46)Si denominamos %| = cx(1)0x(1)N|, tendramos

| = (B)| +%|(47)20ecuacin a partir de la cual se obtiene fcilmente) = o

d

od(j) (48)ya que | es un proceso de ruido blanco. As pues, si conociesemos loselementos poblacionales od(j), o y d, obtendramos los valores de ) y, deacuerdo con las caractersticas de los coecientes de la funcin de respuesta alimpulso, podramos identicar el modelo de transferencia pertinente. En laprctica, al no conocer los valores poblacionales de od(j), o y d, tendremosque estimar estos coecientes a partir de datos muestrales.3.4 Funci nde cor r el aci ncr uzada muest r alPara un conjunto de series temporales, x| e y|, 1 t n, la funcin decorrelacin cruzada:

a(j) = a(j)

a

j = 0, 1, 2, ... (49)se estima por la funcin de correlacin cruzada muestralba(j) = ba(j)SaSj = 0, 1, 2, ... (50)dondeba(j) =1aa)X|= 1(x|x)(y|+ )y) j 01aaX|= 1)(x|x)(y|+ )y) j < 0(51)Sa = pbaa(0) , S = qb (0) (52)y x e y son las medias muetrales de las series x| e y|.21Para constrastar si algunos de ba(j) son signicativamente distintos de0 se comparan con sus errores estndar muestrales. Bajo la hiptesis denormalidad, Bartlett (1955) deriv las varianzas y covarianzas aproximadasentre dos correlaciones cruzadas muestrales ba(j) y ba(j+k). La covarianza,bajo la hiptesis de que las dos series estn incorreladas y que la serie x| esruido blanco, viene dada por:covba(j), ba(j +k) ' (n j)1

(k) (53)De lo que se sigue que:V arba(j) ' (n j)1(54)As cuando la serie x| es ruido blanco, se puede contrastar la hiptesis de quelas dos series x| e y| no estn correlacionadas de forma cruzada comparandolos valores de la funcin de correlacin cruzada muestral con sus erroresestndar aproximados1(a)).3.5 I dent i caci n de l a funci n de r espuest a al i mpul soConsideremos el modelo de funcin de transferencia con un slo inputy| = (B)x|b +N| = (B)(B)x| +N|(55)con N| =0(1)c(1)u|. La identicacin de la funcin de respuesta al impulso (B)se realizar siguiendo las siguientes etapas:Etapa 1: Considerando que y| y x| son estacionarias, preblanquear el inputde acuerdo con su representacin ARMAa(B)x| = a(B)| =| = a(B)a(B)x|(56)22donde | es un ruido blanco con media cero y varianza 2d.Etapa 2: Filtrar la serie del output utilizando el mismo ltro que preblan-que el input, obteniendo:

| = a(B)a(B)y|(57)Etapa 3: Calcular la funcin de correlacin cruzada musestral entre | y |para estimar ) de acuerdo con la expresin:b ) = b ob dbod(j) (58)Para analizar qu coecientes de la funcin de resuesta al impulso sonsignicativos, se puede utilizar el contraste de signicacin de las cor-relaciones cruzadas (Bartlett, 1946).Etapa 4: Identicar r (orden del polinomio (B)) y s (orden del polinomio(B)) de acuerdo a las reglas descritas anteriormente. Una vez que seescogen b, r y s, se pueden encontrar estimaciones preliminares de loscoecientes de (B) y (B) a partir de sus relaciones con ). As seobtiene una estimacin preliminar de la funcin de transferencia:b (B) = b (B)b(B)Bb(59)Las etapas descritas se realizan suponiendo:1.- Se procede a identicar (B) considerando que no hay error, esto esN| = 0.2.- Se parte de que las series y| y x| son estacionarias.233.6 I dent i caci ndel model o del r ui doUna vez identicada la funcin de transferencia, se puede calcular la serie delruido estimada:bN| = y|b(B)x| = y| b (B)b(B)Bbx|(60)identicndose el proceso ARMA generador de los residuos mediante susfunciones de autorrelacin simple y parcial muestrales. Se obtiene as:(B) bN| = (B)a|(61)Conjugando ambas identicaciones, se llega al modelo de funcin de trans-ferencia:y| = (B)(B)Bbx| + (B)(B)a|(62)3.7 Coment ar i os sobr e l a i dent i caci ndel model o defunci nde t r ansfer enci a1.- En la construccin del modelo, se asume que todas las variables y|, x|y n| son estacionarias.As, para series no estacionarias se tienen quellevar a cabo transformaciones para la estabilizacin de la varianza ydiferenciacin de las series para conseguir primero la estacionariedad.2.- En el proceso de identicacin de la funcin de transferencia (B), sepreblanquea la serie input. El modelo preblanqueado se aplica paraltrar la serie de output, pero no necesariamente para preblanquearla.Este es un mtodo normal y simple para construir un modelo de funcinde transferencia causal. Sin embargo, para construir un posible sistemano causal con fenmeno de feedback, donde y| viene inuida por x|24y x| viene inuida por y|, ambas series de input y output deberanpreblanquearse antes de examinar su funcin de correlacin cruzada.Esto se denomina a menudo preblanqueo doble (Granger y Newbold,1977, cap.7). Sin embargo, generalmente es ms ventajoso modelizarun sistema no causal utilizando un proceso vectorial.4 Est i maci n de model os de funci n de t r ans-fer enci aDespus de la identicacin tentativa de un modelo de funcin de transfe-renciay| = (B)(B)x|b + (B)(B)a|(63)necesitamos estimar los parmetros: = (1, 2, .., v)0; = (0, 1, 2, ..., c)0; =(1, 2, ..., j)0; = (1, 2, ..., q)0 y 2o. Se puede reescribir (63) de la si-guiente manera:(B)(B)y| = (B)(B)x|b +(B)(B)a|(64)c(B)y| = d(B)x|b +e(B)a|(65)dondec(B) =(B)(B) = (1 c1B c2B2... cv+ jBv+ j)d(B) =(B)(B) = (d0d1B d2B2... dc+ jBc+ j)e(B) =(B)(B) = (1 e1B e2B2... dv+ qBv+ q)25as:a|=y|c1y|q... cj+ vy|jvd0x|bd1x|b1 (66)... dj+ cx|bjc +e1a|1 +e2a|2 +... +ev+ ja|vj(67)donde ci, d) y el son funciones de i, ),l y l. Bajo la hiptesis de que losa| son N(0, 2o) (ruido blanco gaussiano), tenemos la funcin de verosimilitudcondicionalL(, , , , 2o/b, x, y, x0, y0, a0) = 22on2exp"122oaX|= 1a2|#(68)donde x0, y0 y a0 son valores iniciales para calcular los a| a partir de (66)similares a los necesarios para la estimacin de modelos ARMA. En general,se pueden utilizar los mtodos de estimacin de los modelos ARIMA paraestimar los parmetros , , , y 2o. Por ejemplo, haciendo las a0s descono-cidas iguales a sus esperanzas condicionadas de 0, las estimaciones mnimocuadrticas no lineales de estos parmetros se obtienen minimizandoS (, , , /b) =aX|= |0a2|(69)a2| donde t0 = max {p +r + 1, b +p +s + 1}.Ntese que hasta ahora se ha asumido que b es conocido. Para valoresdados de r, s, p y q, si tambin necesitamos estimar b, se podra optimizarla ecuacin (69) para un rango probable de valores de b. Entonces, b seselecciona de manera que sea el valor que proporciona el mnimo total de lasuma de cuadrados.En esta etapa de estimacin, se presentan dos problemas (igual que en laestimacin de un modelo ARIMA):261.- Determinacin de los valores iniciales2.- En general, estos modelos son no lineales.Por lo que respecta al problema de la determinacin de los valores ini-ciales, caben dos enfoques en el proceso de estimacin (al igual que ocurraen la etapa de estimacin de los modelos ARIMA): el enfoque condicional,que consiste en estimar los parmetros considerando como dados los valoresiniciales y el enfoque exacto (no condicional) mediante el cual se estimanconjuntamente tanto los parmetros como los valores iniciales.Adoptando el mtodo de estimacin de mxima verosimilitud, en el primerenfoque se trata de maximizar la funcin de verosimilitud condicional, mien-tras que en el segundo enfoque deber maximizarse la funcin de verosimili-tud exacta (Hillmer y Tiao, 1979).En el enfoque condicional, los problemas son menores por cunto simple-mente se tratar de maximizar la funcin de verosimilitud condicional:L(/b, x, y, x0, y0, a0) = 22on2exp122oS()(70)donde S() =aX|= 1[a|(/b, x, y, x0, y0, a0)]2=aX|= 1ba2| y 0 = (0, 0, 0, 0),siendo a|(/b, x, y, x0, y0, a0) = ba| los valores que se obtienen (estiman) de a|a partir de (67) supuestos conocidos los valores de los parmetros , el valorde b, la base informativa (y, x) y los valores iniciales (x0, y0, a0).Estos estimadores mximo verosimiles condicionales, caso de dejar el su-ciente nmero de observaciones de x y de y sin utilizar para tomar dichosdatos como valores iniciales y efectuando el supuesto de reemplazar los va-lores iniciales de la perturbacin a0 por su valor esperado, esto es, por cero,27coinciden con los estimadores MC que se obtendran de , , y tales queminimizanaX|= |0ba2|siendo t0 = max {p +r + 1, b +p +s + 1}.Dado el problema de la no linealidad, estos estimadores MC seran nolineales debiendo aplicar por ello procedimientos de estimacin no lineales.Ejemplo de estimacin de un modelo de funcin de transferenciaConsideremos el siguiente modelo de funcin de transferencia:y| = 0 +1B +2B21 Bx| +11 Ba|(71)Si denotamos n| =11c1a|, podemos expresar el modelo:y| = y|1 + (0 +1B +2B2)x| + (1 B)n|(72)en el que t0 = max {r + 1, b +s + 1} = 3. De manera que podemos hacer:n3=y3y20x31x22x1 +n2n4=y4y30x41x32x2 +n3(73)........................................comenzando en n2 = 0 para despus obtener las innovaciones a| a partir det = 4, por medio dea4=n4n3a5=n5n4(74)..........28y formar por ltimo la suma residual:S2(b, , , ) 1X|= 4a2| (b, , , /x0, y0, a0) (75)donde las primeras innovaciones se han tomado iguales a su esperanza condi-cional que es 0.La expresin genrica de cada a| es:a|=n|n|1 = (y|y|10x|1x|12x|2 +n|1) (y|1y|20x|11x|22x|3 +n|2) (76)con vector gradiente:otc = y|1 +n|1 +y|2n|2ot.0 = x| +x|1ot.1 = x|1 +x|2ot.2 = x|2 +x|3otc = (y|1y|20x|11x|22x|3 +n|2)(77)por lo que podemos comenzar un algoritmo iterativo del tipo Gauss-Newtona partir de estimaciones iniciales b0 = b0, b 00, b 10, b 20,b0 tal y como serealiza en la estimacin de modelos no lineales. Un modo de proceder esobtener series temporales de cada uno de los componentes del vector gradienteas como de los propios residuos a|, utilizando las estimaciones iniciales delos parmetros para estimar la regresin:ba|= (b0)a(b)+ (b 000)a(b)0+ (b 101)a(b)1+(b 202)a(b)2+ (b0)a(b)+a|(78)29que se repite, tomando en cada iteracin las ltimas estimaciones como ini-ciales, hasta lograr la convergencia. La aparicin del vector b hace referenciaa que las componentes del vector gradiente de la funcin a| estn evaluadasen las preestimaciones. Lograda la convergencia, la matriz de varianzas cova-rianzas de las estimaciones se aproxima por el producto b 2oo0o1, donde

2o se estima mediante el cociente del valor alcanzado por la suma residualen la ltima iteracin y el nmero de observaciones de grados de libertad.5 Ver i caci n deun model odefunci n det r ansfer enci aDespus de que el modelo haya sido identicado y sus parmetros estimados,es necesario contrastar la validez del modelo antes de utilizarlo en prediccin,control y otros propsitos.Los requisitos para que un modelo de funcin de transferencia sea ade-cuado son:1.- que las estimaciones de sus parmetros sean signicativas2.- que los residuos se comporten como ruidos blancos3.- que el modelo no omita parmetros relevantes ni incluya parmetrossuperuos irrelevantes4.- que el modelo sea estable.Los requisitos 1 y 4 se comprueban de forma similar a los de los modelosARIMA. Nos centramos en los otros dos grupos de contrastes utilizados para30efectuar la diagnosis: (a) Anlisis de los residuos y (b) Omisin e inclusinde parmetros.5.1 I mpl i caci onest er i casdeunai ncor r ect aespeci -caci ndel model o de funci nde t r ansfer enci aSi el modeloy| = (B)(B)x|b + (B)(B)a|(79)estuviera bien especicado, los residuos deberan comportarse como un ruidoblanco y estar incorrelacionados con las variables explicativas del modelo.Por lo tanto, ni las autocorrelaciones de ba| ni las correlaciones cruzadas de ba|y x| deberan ser signicativas. Slo cuando el modelo est incorrectamenteespecicado el trmino de perturbacin incumplir las condiciones de ruidoblanco e incorrelacin con el input. Para verlo, escribamos el modelo (79)como:y| = (B)x| +(B)a|(80)con (B) = .(1)c(1), (B) =0(1)c(1), siendo ste el modelo correcto. Supongamosahora que hemos identicado incorrectamente el modelo siguiente:y| = 0(B)x| +0(B)a0|(81)En este caso, el trmino de perturbacin del modelo incorrectamente especi-cado (a0|) ser igual a:a0| = 10 (B) [y|0(B)x|] (82)31Sustituyendo (80) en (82):a0|= 10 (B) [(B)x| +(B)a|0(B)x|] (83)= 10 (B) [(B) 0(B)] x| +10 (B)(B)a|A partir de (83) se observa cmo la perturbacin del modelo incorrectamenteespecicado presentar autocorrelaciones y correlaciones cruzadas con el in-put (x|) y por lo tanto con el input preblanqueado, |.Ahora bien, la especicacin incorrecta de un modelo de funcin de trans-ferencia puede darse como consecuencia de identicar incorrectamente tanslo el modelo del ruido la funcin de respuesta al impulso (parte sis-temtica del modelo de funcin de transferencia).Veamos cada una de estas situaciones.5.1.1 I dent i caci n cor r ect a de l a funci n de r espuest a al i mpul soe i ncor r ect a del model o del r ui doEn este caso tendremos (B) = 0(B) y (B) 6= 0(B), por lo tanto (83)podr escribirse como:a0| = 10 (B)(B)a|a0| =(B)10 (B)a|(84)Consecuentemente, en este caso, las a0|s no presentarn correlaciones cruzadascruzadas con el input ( inputs), aunque si presentarn autocorrelacin.325.1.2 I dent i caci ni ncor r ect adel afunci nder espuest aal i m-pul so ycor r ect a del model o del r ui doEn este caso, se cumplir (B) 6= 0(B) y (B) = 0(B), siendo (83) iguala:a0| = 1(B) [(B) 0(B)] x| +a|(85)Por lo tanto, en este caso, la perturbacin estara tanto autocorrelacionadacomo correlacionada cruzadamente con x|.La conclusin fundamental que se extrae del anlisis de estas situacioneses que si, una vez estimado el modelo de funcin de transferencia, sus residuospresentan autocorrelacin, pero no hay coecientes de correlacin cruzadoscon el input signicativos, se puede concluir que deberemos actuar en elsentido de corregir la identicacin del modelo del ruido.Mayores dicultades surgen cuando tanto los coecientes de autocor-relacin de los residuos como los coecientes de correlacin cruzada de dichosresiduos y el input son signicativos. En este caso, puede estar mal identi-cado bien slo la funcin de respuesta al impulso o bien tanto dicha funcincomo el modelo del ruido. En este caso, es aconsejable identicar de nuevola funcin de respuesta al impulso, incluyendo, por ejemplo, parmetros adi-cionales en (B) y/ (B) y volver a identicar el modelo del ruido teniendoen cuenta esta nueva especicacin en la parte sistemtica.En algn caso, las propias correlaciones cruzadas entre los inputs y losresiduos pueden sugerir alguna identicacin para reespecicar la funcin derespuesta al impulso.Para analizar esta situacin, si escribimos en modelo de funcin de trans-33ferencia en su forma "preblanqueada"

| = (B)| +N|(86)donde | = cx(1)0x(1)y|

| = cx(1)0x(1)x|y N| = cx(1)0(1)0x(1)c(1)a| , siendo a(B) = 1 a1L ... ajLja(B) = 1 a1L ... aqLq.A partir de (86), podemos escribir:) = o

d

od(j) j = 0, 1, 2, ... (87)Supongamos ahora que especicamos incorrectamente el modelo como sigue:

| = 0(B)| +N0|(88)As pues, el ruido de este modelo es igual a:N0| = |0(B)|(89)Reemplazando (86) en (89)N0| = (B)| +N|0(B)| = [(B) 0(B)] | +N|(90)De manera anloga a como se obtiene (87), ahora tendramos:)0) = I0

d I0d(j) j = 0, 1, 2, ... (91)Por lo tanto, a partir de (91) se desprende que las correlaciones cruzadasentre la variable explicativa preblanqueada y los residuos pueden utilizarsepara evaluar qu cambio deberan efectuarse en el polinomio 0(B) y conse-cuentemente en 0(B) y 0(B) de manera que se mejore la especicacin delmodelo.34De todo lo expuesto, cabe concluir que un doble requisito indispensablepara que un modelo de funcin de transferencia pase la etapa de vericacinconsiste en que los residuos se comporten como un ruido blanco y que nopresenten correlaciones cruzadas signicativas con el input (inputs) preblan-queado (preblanqueados).5.2 Anl i si s de l os r esi duos5.2.1 Anl i si s de l as cor r el aci ones cr uzadasUn requisito que debe cumplir un modelo de funcin de transferencia para queste supere la etapa de vericacin es que no existan correlaciones cruzadassignicativas entre los residuos y el input preblanqueado. Se puede vericarel cumplimiento de este requisito:1.- Contrastando la signicatividad individual de las correlaciones cruzadas.2.- Contrastando la signicatividad conjunta de un grupo de correlacionescruzadas.Para analizar la signicatividad individual se tiene en cuenta el resultadode Bartlett(1946),V ar [rbod(j)] ' (T j)1(92)siendo T el nmero de residuos calculados (T = N t0 + 1), donde N esel nmero de observaciones originales y t0 = max {p +r + 1, b +p +s + 1}.Teniendo en cuenta (92), podemos armar con un nivel de conanza del 95%que no existe correlacin cruzada signicativa entre ba| y b | cuando:|rbod| < 1.961T k35Conjuntamente con el anlisis de signicatividad, resulta de inters efectuarun contraste de signicatividad conjunta. Esto es, contrastar la hiptesisnula de que las primeras M + 1 correlaciones cruzadas entre ba| y b | sonconjuntamente iguales a 0. En este caso, el estadstico tipo Ljung-Box (1978):Q0 = T(T + 2)1Xl= 01T kr2bod(j) (93)se distribuye asintticamente bajo la H0 como una "2con (M+1)(s+1)rgrados de libertad. En (93), T = Nt0+1; s+1 es el nmero de coeciente )estimados y r es el nmero de coecientes ) estimados. El nmero de gradosde libertad de Q0 es independiente del nmero de parmetros estimados enel modelo del ruido.As:- Si Q0 < "2-(M s r), no se puede rechazar la hiptesis nula alnivel de signicacin %, de manera que el modelo supera este requisito de lavericacin.- Si Q0 > "2-(Msr), se rechaza la hiptesis nula al nivel de signi-cacin %, de manera que el modelo no supera este requisito de la vericacinpor lo que hay que modelizar una nueva funcin de respuesta al impulso y,en conformidad con ella, una nueva modelizacin del modelo del ruido de lafuncin de transferencia.5.2.2 Anl i si s de l as aut ocor r el aci onesEl segundo requisito que deben cumplir los residuos es que sean ruido blanco.Para ello, se deber:1.- Analizar las funciones de autocorrelacin simple y parcial muestrales36de los residuos y comprobar que ambas se comportan como un ruidoblanco.2.- Contrastar de forma conjunta la signicatividad de los coecientes de lafuncin de autocorrelacin de los residuos. En este caso, se utiliza elcontraste de Ljung-Box (1978)Q1 = T(T + 2)1X)= 1(T j)1r2)(ba|) (94)el cual bajo la hiptesis nula de no signicatividad conjunta de quelas M primeras autocorrelaciones son conjuntamente iguales a 0, sedistribuye asintticamente como una "2con Mk grados de libertad.La regla para el contraste sera:- Si Q1 < "2-(M k), no se puede rechazar la hiptesis nula parael nivel de signicacin % y el modelo supera el requisito de la etapa devericacin.- Si Q1 > "2-(M k), se rechaza la hiptesis nula para el nivel designicacin %. El modelo no supera el requisito de la etapa de vericaciny habr que volver a modelizar un nuevo modelo para el ruido.6 Pr edi cci nymodel o pt i mo6.1 I nt r oducci nCuando el modelo estimado supera la etapa de la vericacin, se puede uti-lizar el modelo de funcin de transferencia para obtener predicciones deloutput.37Se pueden calcular dos tipos de predicciones: puntual y por intervalosen las cuales se pueden distinguir dos situaciones: a) Se conocen los valoresfuturos del input ( inputs) y b) como se desconocen los valores futuros delinput ( inputs) se deben realizar predicicones de los mismos.6.2 Pr edi cci npunt ual6.2.1 Val or es fut ur os de l os i nput s conoci dosEl modelo de funcin de transferencia con un slo input puede representarsecomo:(1 B)o0Y| = (B)(B)Bb(1 B)oX| + (B)(B)a|(95)Y| = (B)Bb(1 B)o(B)(1 B)o0 X| +(B)(B)(1 B)o0a|(96)Una forma alternativa de escribir el modelo (95) (96) es:c(B)Y| = d(B)BbX| +e(B)a|(97)dondec(B) = (B)(B)(1 B)o0= 1 c1B c2B2... cj+ v+ o0Bp+ r+ d0d(B) = (B)(B)(1 B)o= d0d1B d2B2... dj+ c+ oBp+ s+ de(B) = (B)(B) = 1 e1B e2B2... eq+ vBq+ v(98)A partir de (97), haciendo b = 0 podemos escribir:Y|=c1Y|1 +c2Y|2 +... +cj+ v+ o0Y|jvo0 +d0X|d1X|1... dj+ c+ oX|jco +a|e1a|1e2a|2... eq+ va|qv(99)38Luego referido al perodo T +l, esta expresin ser igual aY1+ l=c1Y1+ l1 +c2Y1+ l2 +... +cj+ v+ o0Y1+ ljvo0 +d0X1+ ld1X1+ l1... dj+ c+ oX1+ ljco +a1+ le1a1+ l1e2a1+ l2... eq+ va1+ lqv(100)denotando ahora por bY1(l) la prediccin ptima (en el sentido de tener menorerror cuadrtico medio de prediccin) efectuada para el perodo l condi-cionada a la informacin disponible hasta el perodo T y los valores conocidosde los inputs que son conocidos; esto es,bY1(l) = E [Y1+ l/I1, X1+ ); 0 < j ] (101)donde I1 recoge toda la informacin disponible en dicho perodo T. Estevalor esperado se calcular teniendo en cuenta las siguientes reglas:1.- Los valores presentes y pasados de las perturbaciones (esto es, a1+ ), paraj 0) se reemplazarn pora1+ ) = Y1+ ) bY1+ )1(1) paraj 0mientras que los valores futuros (a1+ ), para j > 0) se reemplazarn porsu valor esperado, el cual al ser un ruido blanco es igual a 0. As pues:E[a1+ )/I1] = 0 para j > 0Y1+ ) bY1+ )1(1) para j 0(102)2.- Los valores presentes y pasados de las observaciones del input se reem-plazarn por sus valores conocidos. Asmismo, como suponemos que los39valores futuros del input son conocidos, tambin reemplazamos stospor dichos valores conocidos. As pues:E[X1+ )/I1, X1+ ), 0 < j l] = X1+ ) j (103)3.- Los valores presentes y pasados del output se reemplazan por los va-lores observados, mientras que los valores futuros se reemplazan porsus valores predichos apropiados; esto esE [Y1+ )/I1, X1+ ), 0 < j l] = Y1+ )para j 0bY1(l) para 0 < j < l(104)De acuerdo con estas reglas, la prediccin del output l perodos haciaadelante desde la observacin T-sima ser igual a:bY1(l) =E [Y1+ l/I1, X1+ ), 0 < j l] = c1bY1(l 1) +... +cl1bY1(1) +clY1 +cl+ 1Y11 +... +cj+ v+ o0Y1+ ljvo0 +d0X1+ ld1X1+ l1... dj+ c+ oX1+ ljcoelhY1 bY11(1)iel+ 1hY11 bY12(1)i... eq+ vhY1+ lqv bY1+ lqv1(1)i(105)6.2.2 Val or es fut ur os de l os i nput s desconoci dosEl modelo de partida en este caso (un slo input) ser (95) (96) y el modeloARIMA del input sera(B)(1 B)oX| = a(B)|(106)dondea(B) = (1 a1B a2B2... ajBj)a(B) = (1 a1B a2B2... aqBq). El modelo (106) puedeescribirse:(1 B)oX| = a(B)a(B)

|(107)40A efectos de prediccin puntual, la nica modicacin que existe en este casoconsiste en que dado que los valores futuros del input no se conocen, stosdeben predecirse a partir del modelo (107).6.3 Pr edi cci npor i nt er val os6.3.1 Val or es fut ur os de l os i nput s conoci dosEl modeloY| = (B)Bb(1 B)o(B)(1 B)o0 X| +(B)(B)(1 B)o0a|(108)puede escribirse como:Y| = (B)X| +(B)a|(109)donde(B) = .(1)1b(11)dc(1)(11)d0 = 0 +1B +2B2+...(B) =0(1)c(1)(11)d0 = 1 + 1B +2B2+...(110)Teniendo en cuenta (110), la expresin (109) puede escribirse:Y| = 0X| +1X|1 +2X|2 +... +a| +1a|1 +2a|2 +... (111)Para el perodo T +l:Y1+ l=0X1+ l +1X1+ l1 +2X1+ l2 +... + (112)l1X1+ 1 +lX1 +l+ 1X11 +l+ 2X12 +... +a1+ l + 1a1+ l1 +2a1+ l2 +... +l1a1+ 1 +la1 +l+ 1a11 +l2a12 +...y la prediccin puntual ptima desde el perodo Tpara l perodos haciaadelante, condicionada a que los valores de futuros del input son conocidos,41es igual abY1(l) =E[Y1+ l/I1, X1+ ), 0 < j l] = (113)0X1+ l +1X1+ l1 +2X1+ l2 ++... +l1X1+ 1 +lX1 +l+ 1X11 +l+ 2X12 +... +la1 +l+ 1a11 +l2a12 +...El error de la prediccin efectuada en el perodo T, l perodos hacia adelante[e1(l)] ser igual a la diferencia entre (112) y (113):e1(l) = Y1+ l bY1(l) = a1+ l +1a1+ l1 +2a1+ l2 +... +l1a1+ 1Como a1+ l, a1+ l1, a1+ l2, ..., a1+ 1 son ruidos blancos, la esperanza matemticadel error de prediccin es igual a 0, y la varianza es igual aV ar [e1(l)] = E(e1(l))2 = 2o(1 +21 +22 +... +2l1) (114)Por lo tanto, bajo la hiptesis de normalidad, esto es suponiendo que a| N (0, 2o), podemos escribir:Y1+ l bY1(l) N (0, V ar [e1(l)]) (115)obteniendo el intervalo de conanza para Y1+ l, para un nivel de signicacin%, mediante la expresin .bY1(l) N2DT [e1(l)] (116)Cuando % = 0.05, la expresin (116) es igual abY1(l) 1.96DT [e1(l)]siendo DT [e1(l)] = oq1 +21 +22 +... +2l1y donde los valores de0) s se calculan a partir de la expresin (110).426.3.2 Val or es fut ur os de l os i nput s desconoci dosEl modelo de partida en este caso:Y|=(B)Bb(B)(1 B)o0X| +(B)(B)(1 B)o0a|(117)(1 B)oX|=a(B)a(B)

|considerando conjuntamente ambas expresionesY| =(B)a(B)Bb(B)a(B)(1 B)o0

| +(B)(B)(1 B)o0a|(118) bienY| = (B)| +(B)a|(119)donde (B) est denido en (110) y(B) =(B)a(B)Bb(B)a(B)(1 B)o0 = 0+1 B +2 B2+... (120)El modelo (119) los podemos escribir en T +l como sigue:Y1+ l=0 1+ l +1 1+ l1 +2 1+ l2 + (121)... +l1

1+ 1 +l 1 +l+ 1

11 +l+ 2

12 +... +a1+ l +1a1+ l1 +2a1+ l2 +... +l1a1+ 1 +la1 +l+ 1a11 +l2a12 +...La prediccin puntual ptima desde el perodo T para l perodos hacia ade-lante, teniendo en cuenta que tanto las 0s como las a0s son ruido blanco, esigual abY1(l) =E [Y1+ l/I1] = l 1 +l+ 1

11 +l+ 2

12 +... + (122)la1 +l+ 1a11 +l2a12 +...43A partir de (121) y (122), calcularemos el error de prediccin que, en estecaso, ser igual a:e1(l) =Y1+ l bY1(l) = 0 1+ l +1 1+ l1 +2 1+ l2 +... +l1

1+ 1 +a1+ l +1a1+ l1 +2a1+ l2 +... +l1a1+ 1Como consecuencia de que tanto las 0s como las a0s son ruido blanco,E[e1(l)] = 0, y su varianza, teniendo en cuenta que los inputs preblan-queados y las perturbaciones son independientes, ser igual a:V ar (e1(l)) =E(e1(l))2 = 2dh20+21+... +2l1i+ (123)

2o(1 +21 +22 +... +2l1)La prediccin por intervalo, suponiendo que tanto | como a| se distribuyencomo una normal, ser en este caso igual abY1(l) N2DT [e1(l]siendo DT [e1(l] = q

2d20+21+... +2l1+2o(1 +21 +22 +... +2l1).447 Ej empl oEn esta seccin presentaremos un ejemplo de la construccin de un mode-lo de funcin de transferencia. Se trata de la relacin dinmica existenteentre los accidentes de carretera y las variables econmicas, extrado deltrabajo "Forecasting trac accidents using disaggregated data", aceptadopara su publicacin en Internatinal Journal of Forecasting, realizado junto aA. Garca-Ferrer y P. Poncela.En secciones previas a la construccin del modelo de funcin de trans-ferencia, se analizan las posibles relaciones existentes entre las variables deaccidentes de trco en Espaa y variables econmicas. De hecho, utilizandola metodologa de deteccin de puntos de cambio y fechado de los cicloseconmicos (Garca-Ferrer y Bujosa (2000)), se encuentran grandes simili-tudes en el fechado de los ciclos para las variables de accidentes y las variableseconmicas consideradas en este trabajo: IPI, matriculacin de automviles(NUVE) y consumo de gasolina (CGAS). Esto pone de maniesto que entreambos tipos de variables parece existir cierta relacin. Parece lgico pensarque una mayor actividad econmica, pueda generar una mayor utilizacinde los automviles lo que conllevara una mayor probabilidad de sufrir unaccidente de trco debido al mayor nmero de vehculos en las vas de co-municacin.Sin embargo, esa relacin no tiene por qu ser instantnea, esdecir, no quiere decir que una persona sale a la calle con su automvil e in-mediatamente sufra un accidente con una determinada probabilidad. Quieredecir que la mayor actividad econmica se ir traduciendo en que progresiva-mente el nmero de vehculos en circulacin ir aumentando, creciendo as deforma paulatina la probabilidad de accidente. Es decir, se puede esperar que45exista una relacin dinmica entre el crecimiento econmico y los accidentesde trco. Pero deben ser los datos los que nos certiquen esta creencia y nosindiquen qu tipo de relacin se puede encontrar. Por tanto, esperaramosuna relacin de causalidad unidireccional de la actividad econmica hacia losaccidentes, dinmica, con algn retardo a la hora de dejar sentir sus efectossobre la accidentalidad en las carreteras.Con objeto de ilustrar todas las etapas de la construccin de un modelode funcin de transferencia, presentaremos todos los pasos seguidos hastaencontrar el modelo, etapas que no fueron incluidas en el artculo de referenciapor motivos obvios de espacio.7.1 Anl i si s de l os punt os de cambi o ydel fechadodel os ci cl os.Utilizando la metodologa desarrollada por Garca-Ferrer y Bujosa (2000),se obtuvieron los siguientes grcos que muestran claramente la coinciden-cia existente entre los ciclos de las variables econmicas y las variables deaccidentes.1En esta gura, se aprecia cierta anticipacin de los ciclos en las variableseconmicas (IPI y NUVE) sobre las variables de accidentes consideradas(Accidentes totales (ACC), fallecidos por accidente de trco (FAT) y heridosen accidentes de trco (INJ)).1Los datos de este ejemplo son los que guran en el citado trabajo. Para la obtencinde los modelos univariantes y de funcin de transferencia se utiliz la muestra 1975.01a 2000.12, dejando las observaciones correspondientes a los aos 2001, 2002 y 2003 pararealizar la comparacin de la capacidad predictiva de los modelos.46-.02-.01.00.01.02D(TACC)-.02-.01.00.01.02D(TINJ)-.015-.010-.005.000.005.010D(TFAT)-.008-.004.000.004.008D(TIPI)-.02-.01.00.01.02.03.041976 1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002D(TNUVE)Figure 3: Derivadas de la tendencia de las variables de accidentes y de lasvariables econmicas.477.2 I dent i caci nde l os model os uni var i ant es yanl i -si s de i nt er venci nUtilizando el constrate de raz unitaria, tanto regular como estacional, desarro-llado por Osborn et al (1989), as como las funciones de autocorrelacinsimple y parcial de las variables en logartmos, se identica que las seriesnecesitan una diferencia regular y estacional para conseguir la estacionar-iedad. A partir de las funciones de autocorrelacin simple y parcial deestas variables estacionarias, se identica para las series de IPI y de ma-triculaciones un modelo estacional multiplicativo M A(1) M A(1)c= 12. Esdecir, los logartmos de las variables objeto del anlisis siguen un procesoARI M A(0, 1, 1) ARI M A(0, 1, 1)c= 12.Los modelos estimados para las variables que consideramos INPUT (IPIy NUVE) fueron los siguientes:12ln(IPI) = (1 0.7404(0.039)B)(1 0.6945(0.042)B12)a|(124)12ln(NUV E) = (1 0.6658(0.044)B)(1 0.8503(0.031)B12)a|(125)Estos sern los modelos que se utilizarn para realizar el preblanqueo delOUPTUT para luego calcular la funcin de transferencia. Aunque todo loque se ha visto sobre la identicacin del modelo de funcin de transferenciase refera a un nico input, se puede extrapolar sin dicultad al caso de dosinput si, como ponen de maniesto Liu y Hanssens (1982), los input estnincorrelados. En este caso, la correlacin entre los input es 0.25 de maneraque se puede aplicar esta metodologa.48-.12-.08-.04.00.04.08.12.16.205 10 15 20 25 30 35Figure 4: Funcin de correlacin cruzada entre ACC e IPI7.3 Pr ebl anqueo e i dent i caci n de l a funci n de t r ans-fer enci aUtilizando los modelos (124) y (125) se realiz el preblanqueo del OUTPUT,se calcul la funcin de correlacin cruzada estimada, obtienindose las si-guientes funciones de respuesta al impulso que aparecen en las guras 4 y5.Se puede observar fcilmente que para el caso del IPI slo se apreciael retardo 1 estadsticamente signicativo, de manera que la respuesta alimpulso ser 0B, es decir (b, s, r) = (1, 0, 0), mientras que para el casode NUVE se aprecian dos retardos estadsticamente signicativos: 1 y 2,siendo entonces la funcin de respuesta al impulso (0 + 1B)B, es decir49-.15-.10-.05.00.05.10.15.20.255 10 15 20 25 30 35Figure 5: Funcin de correlacin cruzada entre ACC y NUVE(b, s, r) = (1, 1, 0). As, el modelo de funcin de transferencia ser entonces:12ln(ACC) = 0B12ln(IPI)+(0+1B)B12ln(NUV E) (126)Al realizar la identicacin del modelo del ruido se encontr que los resi-duos seguan un proceso MA(1) MA(1)c= 12 y se identicaron diferentesatpicos que se incluyeron en el modelo de funcin de transferencia completo.7.4 Est i maci n del model o de funci n de t r ansfer enci aLa estimacin de este modelo result ser:5012ln(ACC) = .100(.030)12JUN82 .123(.031)12NOV 93 (127)+.096(.030)12APR95 + .062(.030)12MAR97+.119(.060)12ln(IPI) +.066(.019)B + .042(.018)B212ln(NUV E)+1 .454(.052)B1 .728(.042)B12a|La variable JUN92 se corresponde con un cambio de nivel identicado entodas las variables de accidentes analizadas en este artculo producido comoconsecuencia de un cambio en la legislacin en cuanto a la utilizacin de loscinturones de seguridad. A partir de esa fecha, result ser obligatorio llevarpuesto el cinturn de seguridad lo que produjo una disminucin en el nivel detodas las variables de accidentes.El resto de variables cticias incluidas secorresponden con comportamientos atpicos tipo AO detectados en el procesode identicacin de residuos atpicos, que estn debidamente justicados enel artculo.7.5 Ver i caci n del model o de funci n de t r ansfer enci aSiguiendo con las etapas del proceso de construccin de un modelo de funcinde transferencia se realiza la vericacin del modelo mediante el anlisis, porun lado de las funciones de autocorrelacin simple y parcial de los residuosy por otro, mediante la funcin de correlacin cruzada entre los residuos delmodelo de funcin de transferencia y los residuos del modelo del OUTPUT.51-.06-.04-.02.00.02.04.065 10 15 20 25 30 35Figure 6: Funcin de correlacin cruzada entre los residuos del modelo delinput IPI y los residuos del modelo de funcin de transferenciaPor lo que respecta a los residuos del modelo estimado, los estadsticos deLjung-Box de este modelo fueron:LBQ(12)=14.5 y LBQ(24)=26.2 lo quenos lleva a no rechazar la hiptesis nula de que los residuos son ruido blanco.Por lo que respecta a la funcin de correlacin cruzada entre los residuosdel modelo de funcin de transferencia estimado y los residuos de los mod-elos univariantes de cada uno de los INPUT utilizados en la construccindel modelo de funcin de transferencia (IPI y NUVE), tambin aparecen"limpias" en el sentido de que no se puede decir que ninguna correlacincruzada sea signicativa. (vese gura 6 y 7)52-.12-.08-.04.00.04.08.125 10 15 20 25 30 35Figure 7: Funcin de correlacin cruzada entre los residuos del modelo delINPUT NUVE y los residuos del modelo de funcin de transferencia537.6 Pr edi cci n con el model odefunci n det r ansfe-r enci aComo se coment anteriormente, en el modelo de funcin de transferencia,la prediccin se realiza una vez que se conocen los valores del INPUT porlo que en muchas ocasiones es necesario reservar ciertas observaciones parapoder realizar la prediccin.En este caso, los valores de los input (IPI y NUVE) se conocen antesque los valores del ouput (ACC) debido al retraso de 8 meses con el que sepublican las cifras ociales de accidentes por parte de la Direccin General deTrco,por lo que no es necesario reservar observaciones de la muestra paracalcular las predicciones. Sin embargo, ya que los objetivos del artculo erandistintos (comparar la bondad predictiva de los modelos de los agregadosfrente a los modelos de los desagregados), se reservaron las observaciones delos aos 2001, 2002 y 2003 para vericar si las predicciones se ajustan a loque posteriormente sucede.Se realizan predicciones horizonte 12 meses, para los aos 2001, 2002 y2003. Es decir, se estim el modelo con las observaciones hasta el ao 2000 yse realizaron predicciones para los doce meses del ao 2001. Seguidamente,se reestim el modelo con las observaciones hasta el ao 2001 y se realizaronpredicciones para el ao 2002 y nalmente, se estim el modelo hasta el ao2002 y se realizaron predicciones para el ao 2003. Los resultados predictivoscon este modelo fueron bastante satisfactorio, encontrndose valores para lasmedidas de capacidad predictiva (MAPE, RMSE, APE y FGR) bastantereducidas, por lo que el modelo se puede decir que funciona bien tanto anivel de estimacin como a nivel de prediccin.548 Bi bl i ogr afaAnzar, A. y Trvez, F.J. (1993): Mtodos de Prediccin en Economa, vol2, Ariel Economa.Bartlett, M.S. (1946): On the theoretical specication and sampling prop-erties of autocorrelated time series. Journal of the Royal StatisticalSociety, B, 8, pp. 27-41.Bartlett, M.S. (1955): Stochastic Processes, Cambridge University Press.Box, G.E.P. y Jenkins, G.M. (1970): Time Series Analysis: Forecasting andControl, San Francisco, Holden-Day.Garca-Ferrer, A. y Bujosa, M. (2000): "Forecasting OCDE turning pointsusing unobserved components models with business survery data. In-ternational Journal of Forecasting, 16(2), pp. 207-227.Garca-Ferrer, A., de Juan, A. y Poncela, P. (2005): Forecasting tracaccidents using disaggregated data.Aceptado para su publicacin enInternational Journal of Forecasting.Granger, C.W.J. y Newbold, P. (1977): Forecasting Economic Time Series,Nueva York, Academic Press.Hamilton, J.D. (1994): Time Series Analysis, Princeton University Press.Hillmer, S.C. y Tiao, G.C. (1979): Likelihood function of stationary mul-tiple autoregressive moving average models.Journal of the AmericanStatistical Assotiation, 74, pp. 652-660.55Liu, L.M. y Hanssens, D.M. (1982): Identication of multiple-input transferfunction models. Communications in Statistics, 11, pp. 297-314.Ljung, G.M. y Box, G.E.P. (1978): On a measure of lack of t in time seriesmodels. Biometrika, 65, pp. 297-303.Novales, A. (1993): Econometra, Madrid, McGraw-Hill.Osborn, D.R., Chui, A.P.L., Smith, J.P. y Birchenhall, C.R. (1988):Sea-sonality and the order of integration for consumption. Oxford Bulletinof Economics and Statistics, 50, pp. 361-377.Pea, D. (2005): Anlisis de Series Temporales, Ciencias Sociales, AlianzaEditorial.Wei, W.W.S. (1990): Time Series Analysis: Univariate and MultivariateMethods, Redwood City, Addison Wesley.56