Funciones y modelos matemáticos

Como sabemos, una descripción matemática de un fenómeno de la vida real, dada en términos como por ejemplo, de una ecuación es lo que constituye un modelo matemático. El consumo continuo de un producto en el mercado, el descenso significativo del número de fumadores entre dos fechas en una población en particular, la expectativa de vida de una persona al nacer, el costo de la reducción de productos contaminantes en una determinada zona, la necesidad de realizar pronósticos sobre la variación a futuro del PIB en un país determinado, son ejemplos de fenómenos reales que se pueden modelar matemáticamente por una ecuación. La finalidad del modelo es comprender el fenómeno y, quizá, hacer pronósticos acerca de su comportamiento. Los modelos van de los más simples hasta los más complejos, es decir, aquellos donde solo ocupamos las cuatro operaciones básicas como otras donde el modelamiento implica elementos avanzados de matemática y física. Cada fórmula que ocupamos hoy en nuestras asignaturas de matemática, física, química, y otras, y que ocupamos en nuestros propios trabajos son modelos matemáticos. Cada fórmula corresponde a una expresión algebraica que contiene una o más variables, en la cual se observan variables independientes y dependientes. Ejemplo : El siguiente modelo permite calcular el volumen de un tonel

El volumen V depende de h, D y d, por lo que podemos decir que V está en función de h, D y d. Un concepto muy amigable para todos nosotros es reconocer la función matemática como aquella expresión algebraica en la cual se evidencia la dependencia entre las variables.

2223

dDhV

Formula Uso v. independ V, depend

Calculo del área de un círculo r A

Calculo del volumen de una esfera de radio r r V

Cálculo del ph de una solución H Ph

Formula para pasar de celcius a fahranheit C F

Estos tan solo son algunos ejemplos. El modelamiento matemático como ya he señalado se muestra a través de una expresión algebraica. Pero también, se puede expresar a través de otras formas como son los gráficos de coordenadas.

Veamos un problema en la cual se evidencian las variables independientes y dependientes.

CONSUMO DE COMBUSTIBLE

El petróleo que hay en un depósito de un autobús viene representado por la siguiente

gráfica:

Variable independiente

Variable dependiente

A. ¿Cuántos litros tenía el depósito al salir? B. ¿Cuántos litros tenía a su llagada? C. ¿Cuándo puso el conductor por primera vez gasoil? ¿Cuántos litros tenía el depósito? D. ¿Cuántos litros consumió durante el viaje? E. ¿Qué ocurrió en el km. 250?

PASEO DE DOS AMIGOS

Rafa y Alicia son compañeros de clase y quedan un día para salir. Rafa sale de su casa y

recoge a Alicia, que tarda un poco en bajar. Después dan un paseo y se sientan en una

cafetería a tomar un refresco. Al regreso se acercan a casa de unos compañeros a

recoger unos apuntes y allí se entretienen un tiempo. Después regresan a casa. La

gráfica del paseo viene aquí representada.

RESPONDE:

1. ¿Qué variables se relacionan? 2. ¿Cuál es la variable dependiente y la variable independiente? 3. ¿Cuánto dista la casa de Alicia de la de Rafa? 4. ¿Cuánto tiempo esperó Rafa a que bajara Alicia? 5. ¿Cuánto tiempo tardaron en llegar a la cafetería? 6. ¿A qué hora salieron de la cafetería? 7. ¿A qué casa regresaron? 8. ¿Cuánto tiempo pasearon los dos juntos? 9. Cuándo pasearon más deprisa: de la cafetería a casa de sus amigos o de ésta al final

del paseo? ¿Por qué? 10. ¿Qué pasa durante el mes de Junio de 1996?

MORTALIDAD

Dada la gráfica:

1. ¿Qué magnitudes se relacionan?

2. ¿Cuál es la graduación horizontal?

3. ¿Y la vertical?

4. ¿En qué año es más alta la tasa de mortalidad?

5. ¿Qué sentido tiene unir los puntos? 6. ¿Qué tanto por mil de mortalidad hay en 1900? 7. ¿Qué ocurre desde 1943 a 1963 aproximadamente? 8. ¿En qué año es más baja la tasa de mortalidad? 9. Haz un comentario sobre la gráfica. 10. ¿Qué otros datos se pueden extraer de la gráfica?

Gráficas engañosas

Esta tabla muestra los resultados en ventas de una empresa en los últimos 4 años:

Año 1999 2000 2001 2002

Ventas (en millones de $) 2000 3000 7000 12000

Observa estas dos gráficas:

Representan exactamente la misma situación. Sin embargo, la segunda nos hace

parecer que el volumen de ventas aumenta espectacularmente. Si variamos las

escalas de los ejes podemos variar la perspectiva para una misma realidad.

Comente:

Ejercicio

1) Tiramos de la cadena del WC: ¿qué gráfica corresponde a esta situación?

2) Aquí hay 5 bocetos de gráficas y 5 descripciones de un estanque vaciándose. ¿Qué gráfica corresponde a cada descripción? Todas estas gráficas son decrecientes, pero con distinto aspecto.

A: El nivel del agua desciende con la misma velocidad todo el tiempo.

B: El nivel del agua desciende lentamente al principio y cada vez más y más

rápido mientras el estanque se vacía.

C: El nivel del agua desciende rápidamente al principio, y cada vez más y más

lentamente mientras el estanque se vacía.

D: El nivel del agua comenzó descendiendo rápidamente, y por un atasco del

desagüe, el nivel dejó de bajar. Cuando se desatascó volvió a descender con

rapidez.

E: El nivel del agua cayó lentamente al principio. Después cada vez más rápido

y después cada vez más despacio hasta que el estanque dejó de tener agua.

Dominio y recorrido de funciones

DOMINIO : Conjunto de números reales que contiene a todos aquellos términos que

reemplazados en la o las variables del modelo permite obtener un valor con sentido en

el contexto del problema.

Ejemplo: El volumen de un cubo de lado x cm es 3xV cm3

x

x

En este caso el dominio corresponde al conjunto de números reales positivos, ya que

no se puede considerar que x sea negativo o cero.

Recorrido: Conjunto de números reales que se obtiene a partir de cada elemento del

dominio, en la función

Ejemplo: Si A = {1,2,3,4,5} es el dominio, y la función

El recorrido es

Considerando que

0

0

aRa

bRb

a

Guia de ejercicios de funciones reales

1) Si f(x) = 2x – 1 . Encuentre:

a) f(3) b) f(-2) c) f(0) d) f(a+1) e) f(x+1)

2)Sea f(x) = x2 + 1.Encuentre:

a) f(2) b) f(-3) c) f(0) d) f(a - 1) e) f(x – 1)

3)Dado g(x) = 8 – x3. Encuentre:

a) g(-2) b) g(5) c) g(x2) d) 2xg

4)Dado h(x) = x

3, encuentre:

a) h(1) b) h(-3) c) h(1/3) d) h(3/a) e) h(3/x) f) xh

h 3

5)Dado f(x) = 1

2

x, encuentre:

a) f(7) b) f(-5) c) f(1/2) d) f( a/2 e) f(x/2) f) 2f

xf

6) Si f(x) = 32 x calcule:

a) f(-1) b) f( 4) c) f(1/2) d) f(11) e) f(2x+3)

7) dado f(x) = 32 2 x , encuentre:

a) f(-7) b) f(0) c) f(1) d) f(4/7) e) f( 2x2+1)

8)Dado f(x) = 1

2

x calcule:

a) f( -1) b) f(2x) c) f(x) + f(h)

9) Determine el dominio y el recorrido de las siguientes funciones reales:

a) 3

2

xxf b)

12

5

xxf c) t(x) = t2 + 1

d) p(x) =3x

x e) q(x) = 10 f) s(x) = 6x

10) Si f: 0 y 1:g definidas por

x

xxf

1)(

1

11)(

xxg calcular:

a) )2(2

)2()1(

f

gf b) f(-1)+g(-1) c)

4

32)1(3 gf d) )2/1()2/1(2 gf

11) a) Representar, usando tablas de valores : xxfiixxfi )();)()

32)();1)();1)();2)() xxfvixxfvxxfivxxfiii

b) Para las funciones lineales : bmxxff )(;: representadas en a)

b.1) Reconocer el efecto de los parámetros m y b

b.2) Determinar la imagen

b.3) Hallar los ceros y los conjuntos de positividad y de negatividad.

12) Graficar cada una de las siguientes funciones lineales, indicando intersecciones con los

ejes

a) y = x d) y = 3 (x-1) b) y = 3x e) y = -3x c) y = 3x-1 f) y = 3

13) Representar las siguientes rectas, sin tabla de valores

a) 2 xy b) 32 xy

c) 42

1 xy d) 5

3

1 xy

e) 34 xy f) 2y

g) 22

3 xy h) 0y

14) Graficar las siguientes funciones cuadráticas 0,)(;: 2 acbxaxxff

i) 2xy ii)

2xy iii) 12 xy

iv) 22 xy v) 22

1 2 xy vi) 22

1 2 xy

a.- Reconocer el efecto del parámetro a y del c.

b.- Obtener las coordenadas del vértice.

c.- Obtener la ecuación del eje de simetría.

d.- Determinar el conjunto imagen y los ceros.

15) Representar las siguientes parábolas determinando previamente el eje de simetría, el

vértice y las intersecciones con los ejes x e y.

a) xxy 62 b) xxy 82 2 c) 342 xxy

d) 1105 2 xxy e) 122 xxy f) 522 xxy

f) 22

1 2 xxy

16) Resolver gráfica y analíticamente los siguientes sistemas:

a)

1

122

xy

xxy g)

2

1032

xy

xxy

b)

4

22

x

xxy h)

3

12 2

x

xxy

c)

54

523 2

xy

xxy i)

7

62

xy

xxy

d)

15

32 2

xy

xxy j)

53

142 2

xy

xxy

e)

3

12 2

y

xxy k)

632

3 2

yx

xxy

f)

23

182 2

xy

xxy

17) Dadas las funciones :f con:

1) 3)( xxf 2) 3xxf

a) Representarlas gráficamente. b) Representar las siguientes funciones polinómicas y comparar con el resultado que se

obtiene por traslación de 3xxf o 3xxf

i) 3xxf 31 xxf

ii) 32 xxf 13 xxf

iii) 13 xxf 123 xxf

18) I. Representar, utilizando tablas de valores

a) xxf b) xxf c) xxf

d) 2 xxf e) 1 xxf d) 31 xxf

II. Utilizar las conclusiones acerca de los efectos de las coordenadas 000 ; yxP en la

expresión algebraica de la función 00 yxxxf para graficar por traslación de

xxf , las siguientes funciones

a) 12 xxf b) 23 xxf c) 75 xxf

19.- A partir del gráfico de xxff )(;: 0 (que se muestra a continuación),

graficar cada una de las siguientes funciones (analizar los desplazamientos). Determinar

previamente su dominio D

a) xxfDf )(;: xxfDf 2)(;:

b) xxfDf 2)(;: 1)(;: xxfDf

c) 22)(;: xxfDf

20) I. Representar utilizando tablas de valores las gráficas de las siguientes funciones

a) xxf 2 ; b) 12 xxf ; c) 12 xxf ; d) x

xf

2

1

e) 22

1

x

xf

II. Utilizar las conclusiones acerca de los efectos de las coordenadas de 000 ; yxP en

la expresión algebraica de la función 002 yxf

xx

para graficar por traslación

a) 12 1 xxf b) 22 3 xxf

21) I. Representar usando tablas de valores, las gráficas de las funciones

a) x

xf1

b) x

xf1

c) x

xf2

d) 21

xxf

e) 21

xxf f)

2

1

xxf g)

2

1

xxf h) 2

1

1

xxf

II. Reconocer para cada una de las funciones anteriores su dominio de definición.

III. Graficar por traslación de x

xf1

las funciones

a) 33

1

xxf b) 5

2

1

xxf c) 2

4

1

xxf