Funciones y cálculo infinitesimal: Integración

MatematicasFunciones y cálculo infinitesimal: Integración

Imagen en Wikimedia Commons de Dcoetzee bajo dominio público

1. Primitivas. Cálculo de primitivas inmediatas

Históricamente, la noción de integral es anterior a la de derivada. Esta surge al intentar calcular el área de ciertasfiguras.

Arquímedes fue el primero que da una cierta aproximación de como calcular el área que se encuentra bajo unacierta curva mediante su método de exhaución, método que consistía, básicamente, en inscribir y circunscribirpoligonales en la curva o recinto en cuestión. Estas eran cada vez más cercanas y calculaba las áreas de estaspoligonales como aproximación de la superficie inicial. Para acercarnos a la idea que expone este método teproponemos el siguiente applets de Geogebra.

El cálculo integral toma un gran impulso con Newton y Leibniz en el siglo XVIII. Estos matemáticos geniales sonconsiderados los padres del cálculo integral.

A pesar de este gran impulso que recibe el cálculo integral no se resuelve totalmente el problema hasta un siglomás tarde con Cauchy y Riemann.

A través de la siguiente imagen puedes acceder a una simulación (de matematicafpu bajo CC) en la que ver cómose utiliza el método de exhaución y cómo se puede aproximar por defecto y por exceso el área delimitada por unafunción, el eje de abscisas y dos ordenadas a y b.

La función F(x) es primitiva de una función f(x) si se cumple que F'(x)=f(x). Teniendo en cuentaesta definición de integral, cualquier función de la forma F(x)+C es también primitiva de f(x).

Al conjunto de todas las primitivas de f(x) se le llama integral indefinida de f(x) y se representa:

Ejemplo

Una rápida lectura de la definición anterior nos lleva a pensar que integrar una función es el proceso inverso dederivar. Al integrar una función obtenemos una nueva F(x)a la que llamaremos primitiva de la anterios y a la que,alderivarla, obtenemos la función de partida. Veamos esto con un ejemplo:

Sabemos que (x3)'=3x2, así pues:

donde C es una constante cualquiera.

Establezcamos varias reglas básicas para integrar funciones:

Actividad

donde k simboliza a cualquier número real.

Es decir, que para calcular la integral de la suma o la resta de varias funciones basta con calcular las integralesindependientes y sumar sus resultados. Para integrar un número por una función simplemente integraramos lafunción dada y el resultadolo multiplicamos por el número en cuestión.

Vamos a observar unas integrales inmediatas de funciones simples:

Funciones potenciales:

Funciones trigonométricas:

Funciones inversas de las trigonométricas:

Imagen en deviantart de cintianightmare bajo CC

Funciones exponenciales:

Funciones logarítmicas:

Incorrecto

Incorrecto

Opción correcta

Solución

1. Incorrecto (Retroalimentación)2. Incorrecto (Retroalimentación)3. Opción correcta (Retroalimentación)

Opción correcta

Incorrecto

Incorrecto

Solución

1. Opción correcta (Retroalimentación)2. Incorrecto (Retroalimentación)3. Incorrecto (Retroalimentación)

Calcula las siguientes integrales:

En la primera hoja de este documento (de José Luis Alejandre Marco y Ana Isabel Allueva Pinilla bajo CC) puedesencontrar actividades resueltas para practicar estos conceptos.

Pregunta de Elección Múltiple

2. Calculo de primitivas inmediatas de funciones

compuestas

Imagen en Flicker de Shermeee bajo CC

En ocasiones, es necesario integrar funciones compuestas de dos funcioneselementales. Para determinar estas integrales, disponemos de una serie de reglaspara facilitar nuestra labor.

Las integrales inmediatas para funciones compuestas son análogas a lasanteriores como vemos a continuación:

Funciones potenciales

Funciones trigonométricas:

Actividad

Importante

Funciones inversas de las trigonométricas

Funciones exponenciales

Funciones logarítmicas

Veamos algún ejemplo:

Hay que darse cuenta de que la función que está en el numerador es la derivada de la que está en el denominadorentonces atendiendo a la fórmula:

Por lo que quedaría:

Importante

Importante

Por tanto básicamente lo que hay que buscar con este tipo de integrales es la función y su derivada, o "algoparecido", y aplicar alguna de las fórmulas anteriores.

Veamos que queremos decir con lo de "algo parecido" a la derivada.

En esta función aparece una función como 3x+1 y algo parecido a su derivada x, para integrar actuamos de lasiguiente forma:

Lo que hacemos es transformar la x en la derivada de la función y como para transformarla tenemos quemultiplicar, dividimos por el mismo número. La fracción numérica resultante la extraemos de la raíz por una de laspropiedades anteriores con lo que queda la integral anterior.

Calcula la siguiente integral:

En primer lugar tenemos que identificarla con alguna de las integrales inmediatas expuestasanteriormente, claramente la relacionamos con la de la exponencial del número "e". Laexpresión que multiplica a la exponencial no es exactamente la derivada del exponente, perosi es una expresión muy parecida. Veamos como se calcula:

Determina la opción correcta:

Reflexión

Determina la opción correcta

Incorrecto

Opción correcta

Incorrecto

Incorrecto

Solución

1. Incorrecto (Retroalimentación)2. Opción correcta (Retroalimentación)3. Incorrecto (Retroalimentación)4. Incorrecto (Retroalimentación)

Sugerencia

Incorrecto

Incorrecto

Opción correcta

Incorrecto

Solución

1. Incorrecto (Retroalimentación)2. Incorrecto (Retroalimentación)3. Opción correcta (Retroalimentación)4. Incorrecto (Retroalimentación)

Aquí tienes un listado de actividades (de oregueras bajo CC).

Y aquí las soluciones.

Caso de estudio

3. Integral definida. Calculo de integrales sencillas

Regla de Barrow

Si f es una función continua en un intervalo [a, b] y F(x) es una primitiva de f(x), es decir,F'(x)=f(x). Entonces se cumple que:

Imagen en Flickr de LaMenta3 bajo licenciaCC

Es decir para calcular una integral definida entre dosextremos, lo primero que tenemos que hacer es calcularla integral indefinida, después calcular los valores quetoma la primitiva en cada extremo y, por último, calcularla resta de ambos.

Veamos a continuación un ejemplo:

Calculamos la integral indefinida o primitiva

Calculamos el valor de la primitiva en los dos extremos

Aplicando la regla de Barrow

Actividad

Importante

Veamos ahora algunas propiedades importantes de las integrales definidas teniendo en cuentaque f(x) es una función continua en [a, b]:

Determina las siguientes integrales:

a. Calculamos:

Una primitiva

Su valor en los extremos

Aplicamos la regla de Barrow

Reflexión

b. Calculamos:

Una primitiva

El valor en los extremos

Aplicamos la regla de Barrow

Incorrecto

Incorrecto

Opción correcta

Solución

1. Incorrecto (Retroalimentación)2. Incorrecto (Retroalimentación)3. Opción correcta (Retroalimentación)

Determina el valor de las siguientes integrales:

6

0

12

Pregunta de Elección Múltiple

Opción correcta

Incorrecto

Incorrecto

Solución

1. Opción correcta (Retroalimentación)2. Incorrecto (Retroalimentación)3. Incorrecto (Retroalimentación)

e2+e

Volvemos ahora a nuestro problema inicial y cómo calcular el área contenida entre una función y el eje de abscisas.El paso previo para constestar a esa pregunta, es la definición de integral definida.

4. Cálculo de áreas de recintos sencillos mediante la

integral definida

Por último veamos como calcular áreas encerradas en recintos sencillos:

Si nos encontramos con un recinto como el de la figura en el que la hayuna única función f(x) positiva en todo el intervalo de integración [a, b]para calcular el área del recinto coloreado basta con calcular la integraldefinida de la función f(x) entre los extremos a y b, es decir basta concalcular:

Si queremos calcular el recinto que encierra esta segunda gráfica,tenemos que tener en cuenta que la medida de una superficie siempre espositiva, y que en las propiedades de las integrales definidas teníamosque cuando una función es negativa en un intervalo la integral definida enese intervalo de dicha función es negativa, por lo que si queremoscalcular el área del recinto coloreado tendremos que cambiar el signo dela función en el recinto que se encuentra por debajo del eje de abcisas, esdecir:

Por último, si queremos calcular el área encerrada entre dos funcionescomo aparecen el dibujo adjunto habría que calcular el área que encierrala función superior y restarle el área que encierra la función inferior en elintervalo de integración que deseemos, o lo que es lo mismo:

Reflexión

Apartado a. Apartado b. Apartado c.

a. El área que queremos calcular está

encerrada por la función f(x)=x2+2x, el eje deabcisas y la recta x=4. Dicha área se calcula conla integral:

b. Este área la calcularemos de dos formasdiferentes:

El recinto del que queremos calcular elárea consta de dos partes, la primera deellas se encuentra debajo del eje de abcisaspor lo que para calcular el área tenemosque cambiar el signo de la función. Comoexponíamos anteriormente, quedando:

Este área tambien se podría calcular teniendo en cuenta que la función essimétrica y que el área de la parte de la izquierda es igual que el de la derecha por loque quedaría:

c. Para calcular el área que encierra este últimorecinto, en pirmer lugar hay que determinar loslímites de integración. Este proceso resultasencillo sin más que igualar ambas funciones ycalcular los valores de x:

Como podemos apreciar en la figura, la función f(x) está por encima de la función g(x), porlo que el área del recinto quedaría:

Incorrecto

Opción correcta

Incorrecto

Solución

Determina el área de las siguientes regiones:

La región limitada por la función y=x2-4, el eje de abcisas y las rectas x=3 y x=4

6

25/3

7

Pregunta de Elección Múltiple

3. Incorrecto (Retroalimentación)

Opción correcta

Incorrecto

Incorrecto

Solución

1. Opción correcta (Retroalimentación)2. Incorrecto (Retroalimentación)3. Incorrecto (Retroalimentación)

Incorrecto

Incorrecto

Opción correcta

Solución

1. Incorrecto (Retroalimentación)2. Incorrecto (Retroalimentación)3. Opción correcta (Retroalimentación)

La región limitada por las rectas y=x; y=-x; x=3

9

9/2

-9

La región encerrada por la función y=x2-4 y el eje de abcisas

-32/3

10

32/3

Aquí tienes un listado de actividades (de M.ª Ángeles Pajuelo bajo CC) con las que puedes practicar el cáclulo deáreas. Son aquellos ejercicios ubicados bajo el apartado denominado "Regla de Barrow" (pág. 2). También puedesencontrar las soluciones al final del documento.

En este documento (de elenasanz bajo CC ) también puedes practicar las integrales definidas y los cálculos deáreas.

5. Ejercicios resueltos de pruebas de acceso anteriores

Para finalizar este tema, vamos a resolver los ejercicios que se han preguntado sobre el mismo en exámenes de laPAU en cursos anteriores.

Es recomendable que antes de mirar la solución, los intentes previamente, por si no hubieran salido del todocorrectos, aprender del error y coger práctica.

Prueba de Acceso a Grados para Mayores de 25 años - Año 2008

Represente en un mismo gráfico la parábola de ecuación y = x2 y la recta de ecuación y = 2x yhalle el área del recinto limitado por las gráficas.

Nota: En este ejercicio se utilizarán conocimientos básicos del cálculo integral.

Ejemplo o ejercicio resuelto

6. Apéndice

Imagen en Flickr de osde8info bajo CC.

6.1. Para saber más

En la siguiente web dispones de un integrador, donde tan solo tienes que indicar la función aintegrar y pulsando sobre el boton azul Compute Online with Mathematica te mostrará la integralde la función. La aplicación es muy útil para practicar las actividades realcionadas con lasintegrales.

Accede haciendo clic en la imagen

Para saber más

6.2. Curiosidades

Aquí puedes ver una pequeña introducción a los orígenes del cálculo infinitesimal y la dura batallaque libraron Newton y Leibnitz por la "paternidad" del descubrimiento

En este video puedes aprender algo mas sobre la historia del cálculo diferencial. A pesar de estaren inglés, puedes colocar subtítulos y traducirlos con la herramienta de Youtube

Curiosidad

Pre-conocimiento