Funciones Trigonométricas
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Rumbo a la Universidad TRIGONOMETRÍA
SEMANA Nº 01 – II SEMESTRE
TEMA: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS
COMPUESTOS Y MÚLTIPLES
PROFESOR: Juan Gutiérrez Céspedes
INTRODUCCIÓN
La utilidad de estas identidades radica en que con ellas se
puede calcular razones trigonométricas de arcos o ángulos
desconocidos a partir de arcos o ángulos cuyas razones
trigonométricas sean conocidas.
A) FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPUESTOS.
I. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y RESTA DE DOS ÁNGULOS.
. os os .Sen Sen C C Sen
os os . os .C C C Sen Sen
1 .
Tg TgTg
Tg Tg
. 1Ctg CtgCtg
Ctg Ctg
II. IDENTIDADES AUXILIARES.
2 2( ). ( )Sen x y Sen x y Sen x Sen y
2 2os( ). os( ) osC x y C x y C x Sen y
( )
os . os
Sen x yTgx Tgy
C x C y
( )
os . os
Sen x yTgx Tgy
C x C y
( )
.
Sen x yCtgx Ctgy
Senx Seny
( )
.
Sen y xCtgx Ctgy
Senx Seny
( ) . . ( )Tg x y Tgx Tgy TgxTgyTg x y
( ) . . ( )Tg x y Tgx Tgy TgxTgyTg x y
III. PROPIEDADES
Si 2
zyx , entonces:
a) . . . 1TgxTgy TgyTgz TgxTgz
b) . .Ctgx Ctgy Ctgz CtgxCtgy Ctgz
c) 2 2 2 1 2 . .Sen x Sen y Sen z Senx Seny Senz
d) 2 2 2os os os 2 2 . .C x C y C z Senx Seny Senz
IV. PROPIEDADES
Si zyx , se cumple:
a) . .Tgx Tgy Tgz TgxTgyTgz
b) . . . 1CtgxCtgy Ctgy Ctgz CtgxCtgz
c) 2 2 2 2 . .Sen x Sen y Sen z Senx Seny Senz
d) 2 2 2os os os 1 2 os . os . osC x C y C z C x C y C z
B) FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS MÚLTIPLES.
I. F.T. DEL ÁNGULO DOBLE.
2 2 . osSen Sen C
2 2
2
2
os
os 2 1 2
2 os 1
C Sen
C Sen
C
2
22
1
TgSen
Tg
2
2
12
1
TgCos
Tg
2
22
1
TgTg
Tg
2 12
2
CtgCtg
Ctg
21 Tg
2Tg
21 Tg
2
II. F.T. DEL ÁNGULO TRIPLE.
33 3 4Sen Sen Sen
3os3 4 os 3 osC C C
3
2
33
1 3
Tg TgTg
Tg
3
2
33
1 3
Ctg CtgCtg
Ctg
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Identidades Auxiliares.
3 4 . (60 ). (60 )Sen Sen Sen Sen
os3 4 os . os(60 ). os(60 )C C C C
3 . (60 ). (60 )Tg Tg Tg Tg
32 os 2 1
SenC
Sen
os32 os 2 1
os
CC
C
2 sc2Ctg Tg C
2 2Ctg Tg Ctg
4 4 3 os 4os
4
CSen C
6 6 5 3 os 4os
8
CSen C
III. F.T. DEL ÁNGULO MITAD.
1 os
2 2
CSen
1 osos
2 2
CC
1 os
2 1 os
CTg
C
1 os
2 1 os
CCtg
C
El signo se elige de acuerdo al signo que tenga la
Función trigonométrica en el cuadrante en el cual se
ubica 2 .
sc2
Tg C Ctg
sc2
Ctg C Ctg
EJERCICIOS
1. Simplificar
32
2
Tg xM Tg x Tgx
Cos x.
a) 2Tg x b) 3Tg x c)Ctgx d) 2 3Tg x e) Tgx
2. Calcular:
3 3 65º 80º 80º. 65º
1 65º 3 80º. 65º 3 80º
Ctg Ctg Ctg CtgN
Ctg Ctg Ctg Ctg
a) 1.5 b)2 c) 2.5 d)1 e) 0
3. Sabiendo que M . Además:
145º 65º 175º 85º
70º 40º 170º 80º
Sen Cos Sen CosM
Cos Sen Sen Cos
Hallar el mínimo valor entero que toma M
a) 2 b) 1 c) 4 d) 3 e) 5
4. Si se cumple que:
3 2 5Senx Cosx
Además 0,2
x . Calcular:
M Cscx Senx
a) 3/5 b) 2/5 c) 1/6 d) 3/4 e) 5/6
5. Sabiendo que:
2Sen x y Sen y z
Sen x zCosxCosy CosyCosz
Calcule:
M CosxCosz
a) 1 b) 0 c) 1/2 d) 1/4 e) 1/3
6. En la figura ABCD es un cuadrado,
,2
EFBE BF FC , EAF . Calcule Csc
A
B C
D
E F
a) 185
13 b)
226
13 c)
181
13
d) 185
4 e)
223
13
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7. Si: 2
SecxCosx Senx
m
Calcular: 4Sen x
a) 1
m
m b)
2
2 1m
m
c)
1
2 1m
d)
2
2 1
m
m e)
2
2 1
m
m
8. Si:
8 8
42
Cos SenA BCos
Cos,
2 1
4
k
Calcular: A B
a) 0 b) 0.5 c) -1 d) -0.5 e) 1
9. Si: 2 3
Sec Csc. Calcular:
3 2 2 2
2 . 2
Csc SecE
Sec Csc
a) 1 b)2 c) 3 d) 4 e) 5
10. Si 4 5
xCos n . Calcular:
2
5
xM Sen
a) 2n b)
2 1n c) 2 1n d)
22n e) 22 1n
11. Si:
4 4
6 6
Sen x Cos x a
Sen x Cos x b, ,
2x
Calcular 2Sen x en términos de a y b
a) 22
5
a b b) 2
25
a b c) 2
2
a b
d) 23
2
a b e) 35
3
a b
12. Reducir:
1; ,
4 21
Senx CosxR x
Senx
a) 22
xSen b) 2
2
xCos c) 2
2
xSen
d) 22
xCos e)
2
xTg
13. Si: 2 16180º 270º ,
25Cos
Calcular: 2 2
Csc Sec
a) 3 3
2 b)
5 10
3 c)
7
2 d) 18
5
e) 4 10
3
14. Determinar el intervalo de E , si.
222 2
x xE CosxCtg CosxCos Ctgx
a) 11,
2 b) 1
,12
c) 1 1
, 02 2
d) 1,0 e) 0,1
15. Si se verifica:
1 .Secy SeczSecx
Sec z Sec y
Además 3
, , ,2
x y z . Hallar 2
xCtg en
términos de z e y .
a) .2 2
y zCtg Tg b) .
2 2
y zTg Tg c) .TgyTgz
d) .TgyTgz e) .2 2
y zCtg Tg
16. Obtener " 4 "Sen en términos de " "n , si se
cumple:
24 1 2 4Csc nCos Cos Ctg Ctg
a)
2
4
n b)
2
4
n c)
2 2
4
n n d)
2
4
2n n e)
4
2n
17. Hallar " "n para que la siguiente expresión sea una
identidad:
3 2Sen xCtgx Cosx Cos nx
a) 3 b) 8 c) 5 d) 7 e) 4
18. Si: 3 2 2 2 2, 02
Sen x Cos x x .
Calcular 3Tg x
a) -7/43 b) -9/46 c) 3/24 d) 7/43 e) 9/46
19. Calcular el valor de:
4 4
22º. 82º. 38º
12º 12º
Sen Sen SenM
Cos Sen
a) 1/8 b) 1/2 c) 1/4 d) 1/32 e) 1/16
20. Simplificar:
4 33
1 2 2
Senx xM Ctg
Cosx
a) Ctgx b) 2
xCtg c) 2Ctgx
d) 2
xTg e) 2
2
xTg
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HOJA DE CLAVES
Semana 07
Ciclo Regular Enero- Marzo 2009
Área: TRIGONOMETRÍA
Profesor: Mgtr. Graciela del Pilar Burgos Namuche.
Pregunta Clave Tiempo (Min.)
Dificultad
01 D 3 M
02 D 3 M
03 A 3 M
04 E 3 M
05 C 2 F
06 D 2 F
07 B 3 M
08 B 2 F
09 C 3 M
10 E 2 F
11 A 3 M
12 A 2 F
13 E 3 M
14 C 4 D
15 A 4 D
16 E 3 M
17 A 2 F
18 B 2 F
19 C 2 F
20 B 3 M