7/17/2019 Funciones Lineales y Cuadraticas

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  No. Nombre de la unidad: UNIDAD : VGRAFIQUEMOS FUNCIONESContenidos Básicos: Funciones.

Funciones lineal y cuadrática

Recordemos el plano cartesiano:

FUNCIÓN INEA

Una función lineal es una función cuyo dominio

son todos los números reales, cuyo codominiotambién todos los números reales, y cuya expresión

analítica es un polinomio de primer grado.

Una !"nci#n lineal  es aquella cuya expresiónalgebraica es del tipo y = mx, siendo m un número

cualquiera distinto de 0.

Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen,

(0,0).l número m se llama pendiente.!a función

es creciente si m > 0 y decreciente si m < 0.

Una !"nci#n a!$n es aquella cuya expresión

algebraica es del tipo y = mx + n, siendo m y n 

números distintos de 0.

Su gráfica es una línea recta. l número m  es la

pendiente.l número n  es la ordenada en elori%en. !a recta corta al e"e Y  en el punto (0,n).

!a función lineal se define por la ecuación  f(x) =

mx + b ó  y = mx + b llamada ec"aci#n can#nica, endonde m es la pendiente de la recta y b es el

intercepto con el e"e #.

$or e"emplo, son funciones lineales%

a& f'x& ( )x * + g'x& ( x * -

 b& 'x& ( / 'en esta m ( 0 por lo que 0x no se pone en la ecuación&.

F"nci#n c"adr&tica

Una !"nci#n c"adr&tica es aquella que puede

escribirse como una ecuación de la forma% f'x& (

ax+ * bx * c

donde a, ' y c 'llamados t(rminos& son números

reales cualesquiera y a es distinto de cero 'puede

ser mayor o menor que cero, pero no igual que

cero&. l alor de ' y de c sí puede ser cero.

n la ecuación cuadrática cada uno de sus término

tiene un nombre.

1sí, a)* es el término c"adr&tico + ') es el

término lineal + c es el término independiente

n la ecuación de segundo grado o cuadrática si l

ecuación tiene todos los términos se dice que es

una ecuación completa, si a la ecuación le falta el

término lineal o el independiente se dice que la

ecuación es incompleta.

 Representación gráfica de una función cuadrática

Si pudiésemos representar en una gráfica 2todos2

los puntos ,)-!.)/0 de una !"nci#n c"adr&tica,

obtendríamos siempre una cura llamada

par&'ola. Una parábola es la representación

gráfica de una función cuadrática.

3aracterísticas o elementos bien definidos

dependiendo de los alores de la ecuación que la

generan.

stas características o elementos son%

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4rientación o concaidad 'ramas o bra5os&,$untos

de corte con el e"e de abscisas 'raíces&, $unto de

corte con el e"e de ordenadas, "e de simetría,

6értice

Orientaci#n o conca1idad

Una primera característica es la orientaci#n o

conca1idad de la parábola.

2ar&'ola c#nca1a si sus ramas o bra5os se

orientan acia arriba y par&'ola con1e)a si sus

ramas o bra5os se orientan acia aba"o.

sta distinta orientación está definida por el alor

'el signo& que tenga el término cuadrático .la a)*/%

Si a 3 4 .positi1o/ la par&'ola es c#nca1a o conp"ntas 5acia arri'a- como en !.)/ 6 *)* 7 8) 7 9 

Si a 4 .ne%ati1o/ la par&'ola es con1e)a o conp"ntas 5acia a'a;o- como en !.)/ 6 78)* < *) < 8 

Adem&s- c"anto ma=or sea >a> .el 1alor a'sol"tode a/- m&s cerrada es la par&'ola?

 Puntos de corte en el eje de las abscisas (Raíces o

soluciones) (eje de las X)

4tra característica o elemento fundamental para

graficar una función cuadrática la da el alor o los

alores que adquiera ), los cuales deben calcularse.

1ora, para calcular las raíces 'soluciones& de

cualquier función cuadrática calculamos ! .)/ 6 4.

sto significa que las raíces 'soluciones& de una

función cuadrática son aquellos 1alores de )  para

los cuales la expresión ale 07 es decir, los 1alores

de ) tales @"e = 6 47 que es lo mismo que !.)/ 6 4.

ntonces acemos% a) < ') <c 6 4

3omo la ecuación a) < ') <c 6 4 posee un

término de segundo grado, otro de primer grado y

un término constante, no podemos aplicar las

 propiedades de las ecuaciones,

entonces, para

resolerla usamos la

fórmula%

ntonces, las raíces o soluciones de la ecuación

cuadrática nos indican los puntos de intersección

de la parábola con el e;e de las B .a'scisas/.

8especto a esta intersección, se pueden dar tres

casos%

9ue corte al e"e : en dos puntos distintos

9ue corte al e"e : en un solo punto 'es

tangente al e"e x&

9ue no corte al e"e :

 Punto de corte en el eje de las ordenadas (eje de las

n el e"e de ordenadas '#& la primera coordenada

es cero, por lo que el punto de corte en el e"e de la

ordenadas lo marca el alor de c .4- c/.

6eamos%

8epresentar la función !.)/ 6 ) 7 ) < 88epresentar la función !.)/ 6 ) 7 ) 7 8

l e"e de las ordenadas '#& está cortado en <8?le"e de las ordenadas '#& está cortado en 78

4bserar que la parábola siempre cortará al e"e de

las ordenadas '#&, pero como ya imos más arriba

al e"e de abscisas ':& puede que no lo corte, locorte en dos puntos o solamente en uno.

 !je de simetría o simetría

l e;e de simetr$a de una parábola es una recta

ertical que diide simétricamente a la cura7 es

decir, intuitiamente la separa en dos partes

congruentes. Se puede imaginar como un espe"o

que refle"a la mitad de la parábola.

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Su ecuación está dada por%

;onde )  y )*  son las raíces de la ecuación de

segundo grado en ), asociada a la parábola.

;e aquí podemos

establecer la ec"aci#ndel e;e de simetr$a de la

 parábola%

V(rtice: El 1(rtice de la parábola es el punto de

corte 'o punto de intersección& del e"e de simetría

con la parábola y tiene como coordenadas

!a abscisa de este punto corresponde al alor del

e"e de simetría y la ordenada corresponde

al alor máximo o mínimo de la función,

según sea la orientación de la

 parábola 'recuerde el discriminante&