Funciones Exponenciales

MATE 3012

Definición de Función Se define una función, f, de un conjunto D a

otro conjunto, R, como una correspondencia

que asigna a cada elemento x de D

exactamente un elemento de R :

x1 x2

y1 y2

x3

Funciones en Matemáticas En matemáticas representamos las reglas de

correspondencia con ecuaciones.

En este curso estudiamos ecuaciones en dos

variables, normalmente x, y, donde

x variable independiente

y variable dependiente

Ej. y = 2𝑥2 + 3𝑥 − 9, es una ecuación cuadrática

Cuando estamos seguros que cada valor que se

le asigna a x produce un solo valor para y,

entonces escribimos f 𝑥 = 2𝑥2 + 3𝑥 − 9

Terminología D, llamado el dominio de la función, consiste de

todos los valores que puede asumir la variable

independiente

La variable independiente puede asumir un valor, si

ese valor produce un resultado real.

Por ejemplo: si f 𝑥 =2𝑥2

3𝑥−9

f(3) = 2(3)2

3(3)−9 = 2(9)

9−9 = 18

0 𝑁𝑜 𝑒𝑠𝑡á 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜

Por lo tanto, x = 3 NO está en el dominio de la función.

El dominio de f(x) son todos los reales excepto el 3.

El dominio es −∞, 3 ∪ 3, ∞ .

Terminología R, llamado el campo de valores, rango, o alcance de

la función, consiste de todos los valores

producidos al evaluar la variable independiente

para cada valor de su dominio (imágenes)

Por ejemplo, si f 𝑥 = 2𝑥2 + 3𝑥 − 9, entonces f(3)

implica remplazar x con 3 y simplificar la

expresión

f 3 = 2(3)2+3(3) − 9

f 3 = 18

3 está en el dominio de f(x) y 18 está en el campo de

valores de f(x)

Nombre el dominio y el campo de valores

a) b)

Dominio:

Campo de valores:

Dominio:

Campo de valores:

En este curso estudiaremos funciones exponenciales que siguen el siguiente modelo:

𝑓 𝑥 = 𝑏 𝑎𝑥 + 𝑐,

donde a, b, c son números reales tales que

a >0 y a ≠ 1,

y

b ≠ 0

Funciones exponenciales

Resumen de comportamiento

La función exponencial, f(x) = bax, (para a , un número

positivo diferente de 1, b > 0 y x cualquier número real)

tiene las siguientes características

Gráficas Tracemos las gráficas de 𝐲 𝐡(𝐱) =

𝟏

𝟑

𝒙

Nota que esta gráfica es una reflexión sobre el eje de y de la gráfica de y = 3x. También, y =

1

3

𝑥

= 3−1 𝑥 = 3−𝑥

f(x) = 3x

Gráficas (cont.) Comparemos las gráficas de y h(x) =

1

3

𝑥

f(x) = 3x

Nota que estas funciones exponenciales tienen en común: 1. el int-y es (0,1) 2. la asíntota horizontal es eje

de x o sea y=0 3. el dominio: todos los reales,

campo de valores: y>0

Gráficas (cont.) Tracemos la gráfica de y = 3x-2

Comparemos las tablas de valores de 3x y 3 x-2:

Gráficas (cont.) Tracemos la gráfica de y = 3x - 2

x 𝑦 = 3𝑥

-3 1

27

-2 19

-1 13

0 1

1 3

2 9

3 27

Comparemos tablas de valores de 3x y 3x – 2 :

DEFINICION:

Llamamos la constante 𝑒

la base natural.

𝑒 es un número irracional.

f(x) = 𝑒𝑥 una función que utiliza la base natural se denomina una función natural

Por ejemplo:

𝒇 𝒙 = −𝟐𝒆𝒙+𝟏 𝒈 𝒙 =𝟏

𝟐𝒆𝟐𝒙 𝒉 𝒙 =3𝒆𝒙 − 𝟓

La constante e

Ej. Utilice su calculadora para aproximar los valores siguientes a 4 lugares decimales:

𝑎) 𝑒2 b) 𝑒3.55 c) 3𝑒0.5 d) 𝑒−1

La constante e (continuación)

La función de la base natural: e

Se define la función exponencial

natural por

f(x) = ex

para cada número real x .

Aquí se presenta la gráfica de

ex , al lado de 2x y 3x .

Note: dominio: (-∞, ∞)

campo de valores 𝒚 > 𝟎

Ejemplo 5: Graficar 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥, g 𝑥 = 𝑒−𝑥 , h 𝑥 = 𝑒𝑥 − 3

La función exponencial natural

Notamos: • f(x) y h(x) son crecientes en

todo su dominio, g(x) es decreciente

• Dominio de todos: (−∞, ∞) • Campo de valores de f(x) y

g(x) es (0,∞), de h(x) es (-3,∞) • f(x) y g(x) tienen el eje de x

como asíntota horizontal, la asíntota horizontal de h(x) es y=3.

Interés Compuesto Continuamente

Una aplicación de la base natural, e, es la fórmula de interés compuesto:

donde P = el principal (la inversión original)

r = tasa de interés anual expresado

como un decimal

t = número de años que P se invierte

A = valor de la inversión después de t años

Ejemplo Suponer que $20,000 se depositan en una cuenta que

paga interés compuesto continuamente a una razón de

8% por año.

Determine el balance en la cuenta luego de 5 años.

Fórmula de crecimiento La fórmula de interés compuesto es un caso particular de la

formula de crecimiento.

q = q0ert ,

donde q es la cantidad final, q0, es la cantidad inicial, r es la razon de

crecimiento (en decimal) y t la cantidad de años.

Ejemplo: La población de una ciudad en 1970 era 153,800.

Asumiendo que la población crece continuamente a una

razón de 5% por año, determine en qué año la población

de la ciudad alcanza 1 millón primera vez .

Para la solución aplicamos la fórmula de crecimiento.

Ejemplo (cont.)

Usando la calculadora gráfica

153,800e(0.05)(t) = 1,000,000.

Ejemplo (cont.)

Usando la calculadora gráfica

153,800e(0.05)(t) = 1,000,000.

Teorema • Las funciones exponenciales son crecientes o decrecientes

en todo su dominio (monotónicas).

• Una función monotónica es una función uno-a-uno.

Si f(x) = ax para 0 < a < 1 ó a >1

se cumplen las siguientes condiciones:

• La propiedad uno-a-uno de las funciones exponenciales

nos permite resolver ecuaciones exponenciales sencillas.

1. 𝑆𝑖 𝑥1 ≠ 𝑥2, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎𝑥1 ≠ 𝑎𝑥2

2. 𝑆𝑖 𝑎𝑥1 ≠ 𝑎𝑥2 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥1 ≠ 𝑥2.

(cada valor de dominio tiene una

imagen única, las y’s NO se repiten.)

Ejemplos

• Hallar x tal que 73x = 72x + 5.

Ejemplos • Resolver para x, 35x – 8 = 9x + 2

Ejemplos

• Resolver para x, 𝟏

𝟐

x – 3

= 𝟒𝟐−𝒙