46

51.Un corredor inicia en el principio de una pista y corre a velocidad constante de 10

hKm . Cinco minutos después, un segundo corredor comienza en el mismo punto, y

su velocidad es de 13 hKm , siguiendo por la misma pista.¿Cuánto tiempo tardará el

segundo corredor en alcanzar al primero? 52.DIOFANTO, matemático griego que vivió en Alejandría, Egipto, en el siglo III de

nuestra era, es considerado el padre del Álgebra ya que su trabajo fue de enorme importancia en el desarrollo de la misma y además influyó enormemente sobre los matemáticos europeos del siglo XVII. Escribió varios tratados, de los cuales el más famoso es Aritmética, en él aparece principalmente el estudio con ecuaciones de una sola incógnita llamadas ahora ecuaciones diofánticas o diofantinas.

En la lápida de la tumba de Diofantes aparece el siguiente epitafio:¡Caminante! Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto. Y los números pueden mostrar, ¡oh, milagro!, cuán larga fue su vida, cuya sexta parte constituyó su hermosa infancia. Había transcurrido además una doceava parte de su vida, cuando el vello cubriese su barbilla. Y la séptima parte de su existencia transcurrió en un matrimonio estéril. Paso un quinquenio más y le hizo dichoso el nacimiento de su precioso primogénito, que entregó su cuerpo, su hermosa existencia a la tierra, duró tan sólo la mitad de la edad de su padre. Y con profunda pena descendió a la sepultura habiendo sobrevivido 4 años al deceso de su hijo. ¿Cuántos años vivio Diofanto?

47

1.7 Problemas que se transforman en ecuaciones cuadráticas

Todos los problemas anteriores tenían su solución mediante una ecuación lineal y más

precisamente por medio de ecuaciones diofánticas. Existen problemas donde su

traducción algebraica conduce a ecuaciones cuadráticas, polinómicas o radicales. Aquí

estudiaremos los problemas verbales que conducen a ecuaciones cuadráticas.

Ejemplo 14

1) Cuáles son los tres números enteros consecutivos tales que el producto del primero

por el tercero sea igual a 5 veces el segundo más 13.

Solución:

Sea 2y 1son osconsecutiv los entonces entero númeroprimer El ++= xxx

traduciendo el problema tenemos,

El primero × el tercero = 5 × el segundo + 13, en lenguaje algebraico

( ) ( ) 131 5 2 ++=+ xxx , resolviendo la ecuación tenemos que

0183 13552 22 =−−→++=+ xxxxx

cuyas posibles soluciones son 6y 3 =−= xx

Así tendríamos a los números 1y 2 , 3 −−− ó 8.y 7 , 6

Comprobando las soluciones:

Para el caso 1: ( ) ( ) 33 13103 132513 =→+−=→+−=−−

Para el caso 2: 4848 133548 137 58 6 =→+=→+×=×

¿Qué pasaría si nos hubiesen preguntado por enteros positivos?

48

2) El área de un rectángulo es 2cm 138 . Si la longitud es 5 cm más que 3 veces el

ancho, halle las dimensiones del rectángulo.

Solución:

Sea rectángulo del longitud la 53 seay rectángulo del ancho El =+= aa , haciendo

un dibujo tenemos,

Sabemos por fórmula que en un rectángulo su área es igual al ancho por el largo, así

( ) 13853 =+aa , entonces

23 5 138 0a a+ − = , resolviendo la ecuación cuadrática sus soluciones son

23ó 6

3a a= − = . Como la longitud del rectángulo debe ser positiva (¿Por qué?),

tomamos el valor positivo. En consecuencia, las dimensiones del rectángulo son de ancho 6

cm y de largo 23 cm1.

3) Dos números enteros consecutivos satisfacen que la suma de los cubos es igual a 1 más

el doble del menor. Encuentra dichos números.

Solución:

Sea oconsecutiv entero El 1y entero número Un =+= aa , traduciendo de verbal a

algebraico

( ) aaa 211 33 +=++ , resolviendo algebráicamente

( ) 0132 032 21133 223233 =++→=++→+=++++ aaaaaaaaaaa

1Evaluamos el ancho con a=6 cm entonces , ( ) 23563largo == +

a 53 +a

2138cmA =

49

Sus soluciones son 1

0; ó 12

a a a= = − = − .

¿Por qué el segundo no puede ser solución?

Los enteros consecutivos que satisfacen la expresión son 0 y 1 ó -1 y 0.

4) Una caja con base cuadrada y sin tapa se construye a partir de una lámina cuadrada

de cartón, cortando un cuadrado de 10 cm de lado en cada esquina y doblando hacia

arriba los lados. Si la caja debe contener 32.250 cm en volumen, ¿qué dimensiones

debe tener la lámina de cartón?

Solución:

Sea cartón de cuadrado del lado El =x , haciendo un dibujo tenemos,

En consecuencia la caja quedaría

x x

Recortándole

los extremos

10 x 20−x 10

10

20−x 20−x

50

El volumen de una caja está determinado por el producto del área de la base por la altura,

así ( ) 10 20 2 ×−= xV , pero el volumen es equivalente a 32.250 cm , sustituyendo y

resolviendo,

( )2 2 22.250 20 10 225 40 400 40 175 0x x x x x= − × → = − + → − + =

Cuyas soluciones son 35 ó 5x x= = − . Descartamos el valor negativo y la dimensión

del cuadrado de cartón debe ser de 35 centímetros de lado.

51

EJERCICIOS 1.7 1. El producto de dos enteros consecutivos es 20.Determine los dos números consecutivos.

2. El largo de un rectángulo es 3 pies mayor que el ancho. Determine las dimensiones del rectángulo si su área es de 28 pies cuadrados.

3. Un número menos su recíproco es igual a 38

− . Encuentra los números.

4. El recíproco de un número más el doble del número es igual a 29

. Encuentra los

números. 5. La señora Ana desea un jardín rectangular en su casa ya que ella gusta mucho de la

vegetación. Un matemático le sugirió la razón dorada para que su jardín sea lo mas atractivo posible, es decir el largo debe ser 1,62 veces el ancho. Determine las dimensiones del rectángulo si éste debe tener un área de 25 metros cuadrados.

6. Explique con sus propias palabras por qué una ecuación cuadrática tendrá dos

soluciones reales cuando el discriminante sea mayor que cero, una solución real cuando el discriminante sea igual a cero y no tendrá soluciones reales cuando el discriminante sea menor que cero. Use la fórmula cuadrática para explicar su respuesta.

7. Al concluir la semana un padre de familia tiene 120.000 Bs. en su bolsillo y decide

repartirlos entre sus hijos en partes iguales. En el momento de repartir piensa: “si tuviera dos hijos menos, le tocaría a cada uno 16 mil bolívares más”. ¿Cuántos hijos tiene?¿Cuánto le tocó a cada uno?

8. Encuentra un número entero que satisfaga que su cuadrado más su mitad, más uno, sea

igual a 496. 9. Encuentra un número que satisfaga la siguiente condición, a la mitad del número réstale

8 unidades y multiplica el resultado por el número que se obtiene de dividir entre 4 el número original y después súmale un medio. El producto obtenido debe ser igual a –10.

10. El lado de un cubo mide 2 cm .El volumen de ese cubo más el volumen de otro cubo es

igual a 12 por la suma del lado del primer cubo más el lado del segundo. Encuentra cuántos centímetros mide el lado del segundo cubo.

11. Dos cubos son tales que el lado de uno de ellos es 6 unidades mayor que el otro. Si la

diferencia de las áreas de una de las caras de cada cubo es igual a 432, ¿cuál es la diferencia de los volúmenes de los cubos?

12. Un cuadrado de lado L se deforma para obtener un rectángulo sumando 3 unidades a

uno de sus lados y restando 2 al otro. El rectángulo obtenido tiene área 6. Encuentra el valor de L.

52

13. La suma de los cuadrados de dos números enteros consecutivos impares es 74. Encuentra los números .

14. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide dos unidades más que uno de los lados y

una unidad más que el otro. ¿Cuáles son las dimensiones del triángulo? 15. En un rectángulo, el ancho mide 2 cm menos que el largo. Si el área mide 48

centímetros cuadrados. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?. ¿Cuánto mide una de las diagonales?

16. En un triángulo rectángulo, uno de los catetos mide 1 unidad menos que el otro. Si el

cuadrado de la hipotenusa es igual a 25. ¿Cuánto mide cada uno de los catetos? 17. El área de un rectángulo es de 15 metros cuadrados. La longitud del rectángulo es el

doble de su anchura menos un metro. ¿Qué dimensiones tiene el rectángulo?

18. Un proyectil es lanzado a segm

2,12 verticalmente hacia arriba. ¿En qué momento toca

el suelo? 19. Una bomba grande puede vaciar un tanque de agua en 15 horas menos que una bomba

chica. Entre las dos pueden vaciarlos en 10 horas. ¿En cuánto tiempo la vaciará la bomba grande?

20.

21. Se debe fabricar una caja sin tapa, cortando cuadrados de 3 pulgadas de lado en las esquinas de una lámina rectangular de estaño, cuya longitud sea el doble de su ancho. ¿Qué tamaño de lámina daría como resultado una caja que tenga un volumen de 60 pulgadas cúbicas?

22. Un terreno en forma rectangular de dimensiones 26 por 30 metros respectivamente,

está rodeada por una acera de ancho uniforme. El área de la acera es de 2 120 m . ¿Cuál es el ancho de esa acera?

23. Un número menos su raíz cuadrada es igual a 30. Encuentra dicho número.

24. Encuentra dos números enteros consecutivos pares tales que la suma de sus recíprocos

es .247

Radio r Maíz 20 cm Vzlano

Un fabricante de latas de lámina desea fabricar una lata cilíndrica recta de 20 cm de altura, como se muestra en la figura, con capacidad de 3 3000 cm . Calcule el radio interior “r” de la lata.

53

25. Un terreno rectangular mide de largo el triple de ancho, ¿cuáles son sus dimensiones si tiene un área de 2 2352 m ?

26. La sombra de un edificio de 8 metros de alto mide 15 metros. ¿Qué distancia hay del

extremo del edificio al punto final de la sombra?

27. Un terreno de forma rectangular tiene una superficie de 2 375 m . Si su ancho es de 53

su largo, ¿cuáles son las dimensiones del terreno? 28. ¿Cuál es el perímetro de un cuadrado inscrito en un círculo de 4 cm de radio si una

diagonal del cuadrado coincide con el diámetro del círculo?

54

1.8 Inecuaciones

Los enunciados que incluyen relaciones de orden tales como 47 >−x se llaman

inecuaciones2. Una solución de una inecuación es cualquier número que hace el enunciado

verdadero. Por ejemplo 12=x es solución ya que al sustituirlo en la inecuación su

enunciado es verdadero 45 4712 >→>− .

Resolver una inecuación significa encontrar el conjunto de todos los números reales para

los cuales el enunciado es verdadero; para ello utilizaremos las propiedades de las

desigualdades con el fin de obtener el despeje de la variable.

1.8.1 Inecuaciones lineales

Cualquier inecuación que pueda escribirse de la forma 0con 0 ≠>+ abax , donde a y

b son números reales, se llama inecuación lineal en variable x. Es importante señalar que si

el símbolo de relación de orden “> ” se cambia por “ o , ≥≤< ” , la inecuación

resultante también se llama inecuación lineal.

Ejemplo 15

1) Resuelva 543 >+x

Solución:

Sea la inecuación 543 >+− x , restándole 4 a ambos lados

13 45443 >→−>−+ xx , despejando a la variable

31

>x ó

∞ ,

31

Así, las soluciones son todos los números reales mayores que un tercio. 2Una desigualdad en la que aparecen variables es llamada Inecuación, por eso una inecuación es una desigualdad pero no toda desigualdad es una inecuación.

55

2) Resuelva 23

1421

+−

≤+y

y

Solución:

Sumando las fracciones y multiplicando en cruz,

( ) ( ) 10836 54 212 3 3

6142

12+≤+→+≤+→

+−≤

+yyyy

yy, despejando la variable

yyyy ≤−→≤−→−≤−27

27 68103 , lo que es equivalente a

7 7 ó ,

2 2y ≤ − −∞ −

Así, las soluciones son todos los números reales menores o iguales a 27

− .

3) Resuelva 82

344 <

−≤

x

Solución:

Un número x es una solución de la inecuación si y solo si

8 234

y 234

4 <−−

≤xx

Es posible trabajar con cada inecuación por separado, o resolver ambas en forma

simultánea, como sigue:

Sea la inecuación 82

344 <

−≤

x, multiplicando por 2 ambos lados

16348 <−≤ x , restando 4

1234 <−≤ x , se divide entre –3 y cambian los sentidos de la desigualdad

34

4 4 3

4

312

33

34 −

≤<−→−>≥−

→−

>−

−≥

−xx

x

Las soluciones son todos aquellos valores entre 4

4 , 3

− − .

56

4) Resuelva 137238 −<−≤− yyy

Solución:

Trabajaremos con cada inecuación por separado, analizando luego las soluciones

1372 y 7238 −<−−≤− yyyy

Sus soluciones son: 6y 3 −<≥ yy

Ambas desigualdades deben ser satisfechas por “y”, pero es imposible, ya que no existe

ningún número real que sea mayor o igual a 3 y menor que – 6.

En consecuencia no existe solución.

5) Si 7 veces un número se disminuye en 5, el resultado es menor que 47. ¿Qué puede

concluirse sobre el número?

Solución:

Traducimos el lenguaje verbal a algebraico, teniendo así la siguiente inecuación 4757 <−x

Resolviendo la inecuación

6 742

427 4757 <→<→<→<− xxxx

Se puede concluir que todo número real menor que 6 es solución del problema.

¡Compruébalo!

6) El fabricante de cierto artículo puede vender todo lo que produce a 6.000 Bs cada

artículo. Gasta 3.000 Bs en materia prima y mano de obra al producir cada artículo y

tiene costos adicionales fijos de 40.000 Bs a la semana en la operación de la planta.

Encuentre el número de unidades que debería producir para obtener una utilidad de al

menos 500.000 Bs a la semana.

7 veces un número menor que 47 disminuido en 5

57

Solución:

Sea x el número de artículos producidos y vendidos a la semana. Entonces el costo total de

producir x unidades es de 40.000 Bs fijos más 3.000 Bs por cada artículo lo cual es

( ) 3.000 40.000 x Bs+

El ingreso obtenido por vender x unidades a 6.000 Bs cada una será de 6.000x Bs., por lo

tanto según la fórmula de utilidad,

CIUCostosIngresosUtilidad −=→−=

( ) 400003000 400003000 6000 −=+−= xxxU

Puesto que se desea obtener una ganancia (utilidad) de al menos 500.000 Bs al mes,

tenemos la siguiente inecuación

500.000Utilidad ≥ , Sustituyendo la utilidad por su ecuación

3.000 40.000 500.000 3.000 460.000 153,33x x x− ≥ → ≥ → ≥

En consecuencia el fabricante deberá producir y vender al menos 154 artículos a la

semana.

7) El administrador de una fábrica debe decidir si deberán producir sus propios empaques,

que la empresa ha estado adquiriendo de proveedores externos a 500 Bs cada uno. La

fabricación de los empaques incrementaría los costos generales de la empresa en

350.000 Bs al mes y el costo de material y mano de obra será de 250 Bs por cada

empaque. ¿Cuántos empaques deberá usar la empresa al mes para justificar la decisión

de fabricar sus propios empaques?

Solución:

Sea x el número de empaques utilizados por la empresa al mes, entonces el costo de

adquirir x empaques es de 500 Bs por cada uno. El costo para producir x empaques es de

250 Bs por empaque más costos generales de 350.000 Bs al mes, de modo que el costo

total es

58

( ) 250 350.000 x Bs+

Para justificar la fabricación de los empaques por la misma empresa, debe ser cierta la

siguiente desigualdad,

Producción de Costo n Adquisició de Costo > , sustituyendo

500 250 350.000 250 350.000 1.400x x x x> + → > → >

En consecuencia, la empresa debe usar al menos 1.401 empaque al mes para justificar

fabricar los empaques.

Interesante...

¿Cuál sería la decisión si fabrica exactamente 1.400?

59

EJERCICIOS 1.8.1

Resuelva las siguientes inecuaciones

1. 1135 <+ x 2. 723 ≥− y 3. 65112 +≤− yy 4. pp 33175 −>+ 5. ( ) ( )1@541@23 −+>−

6. 14

3234

+−

>+y

y

7. ( )31

612

41

−<−−x

xx

8. ( ) ( )yy 4151

2423

−−≥+

9. 6

121

341 −

+>−+ yyy

10. 13725 <+< x

11. 1431

4 ≥−

≥x

12. 52312 +<−<+ xxx

13. 42242 −<−<+− yyy

14. 32153 −<+<− xxx

15. 1161375 −≥+≥− yyy

16. Si 9 veces un número se aumenta en 3, el resultado es menor que 200. ¿Cuáles son los números enteros positivos que cumplen esa condición?

17. Joanna tiene las siguientes notas en Matemática: 16,13 y 12. ¿Cuánto debe obtener en el cuarto examen para que su promedio sea al menos de 13 puntos?. ¿Cómo mínimo de 14 puntos?. ¿Podrá obtener un promedio de 16 puntos?

18. Generalmente, se considera que una persona tiene fiebre si tiene una temperatura oral mayor de 98,6 grados Farenheit. ¿Qué temperaturas en la escala de grados centígrados indican fiebre?

19. Un fabricante puede vender todas las unidades que produce al precio de 21.000 Bs cada una. Tiene costos fijos de 8.000.000 Bs al mes; y además le cuesta 15.400 Bs producir cada artículo. ¿Cuántas unidades debe producir y vender al mes la compañía para obtener utilidades?

20. Un fabricante de cocinas puede vender todas sus unidades producidas al precio de 105.000 Bs. Tiene costos fijos al mes de 10,5 millones de Bs y el costo de producción por unidad es de 70 mil Bs en materia prima y mano de obra. Determine el número de cocinas que debe fabricar y vender al mes con el propósito de obtener utilidades de al menos 2 millones.

21. Una empresa automotriz desea saber si le conviene fabricar sus propias correas para el ventilador, que ha estado adquiriendo de proveedores externos a 2.100 Bs cada una. La fabricación de las correas por la empresa incrementará sus costos fijos en 1millón al mes, pero sólo le costará 1.200 Bs fabricar cada correa . ¿Cuántas correas debe utilizar la empresa cada mes para justificar la fabricación de sus propias correas?

60

1.8.2 Inecuaciones con valor absoluto

El valor absoluto de x ( ) x , representa la distancia a lo largo de la recta numérica desde x

hasta el origen. Así el 0con >< bbx , significa que la distancia desde x hasta el origen

es menor que b, siendo el conjunto solución los x tales que bxb <<−

Por otra parte, Rbbx ∈> con significa que la distancia desde x hasta el origen es

mayor que b, siendo el conjunto solución los x tales que óx b x b> < − .

Podemos resumir estos dos casos como las propiedades del valor absoluto:

Las propiedades anteriores también se aplican con las otras relaciones de orden.

bx < b− 0 b

bx >

b− 0 b

Sea b un número positivo,

1. bx < si y solo sí bxb <<−

2. bx > si y solo sí óx b x b> < − .

61

Ejemplo 16

1) Resuelva 5 43 <+x

Solución:

Utilizando la propiedad 1 tenemos que 5 43 <+x es equivalente a 5435 <+<− x

Resolviendo esta inecuación tenemos

5435 <+<− x , restándole a ambos lados 4

139 <<− x , dividiendo entre 3

31

3 <<− x

Por tanto las soluciones son todos los números del intervalo abierto

−31

,3

Comprobando con algunos elementos tenemos, si 2−=x entonces ( ) 5 423 <+−

( ) 522 46 423 <=−=+−=+− , si es solución de la inecuación y así ocurrirá con

todos los elementos del intervalo solución. ¿Compruébalo con dos elementos más?

2) Resuelva 9 32 >+y

Solución:

Utilizando la propiedad 2 tenemos que 9 32 >+y es equivalente a

2 3 9 ó 2 3 9y y+ > + < −

Resolviendo estas inecuaciones tenemos,

2 6 ó 2 12 3 ó 6

y yy y

> < −> < −

Por tanto las soluciones son todos los números del intervalo abierto ( )∞, 3 junto con el

intervalo ( )6 , −∞− . ¿Compruébalo?

62

3) Resuelva 0 43 ≤−x

Solución:

Por definición de valor absoluto de una expresión, se conoce que nunca puede ser negativa,

entonces los únicos valores que satisfacen la inecuación dada son aquellos para los cuales

043 osea 0 43 =−=− xx . Obsérvese que la inecuación es equivalente a la

ecuación 043 =−x cuya solución es 4

3

x = . Esto es un caso especial.

¿Qué pasaría si no hubiese sido cero sino un número negativo?

1.8.3 Inecuaciones cuadráticas

Se conoce como inecuación cuadrática a toda aquella que pueda escribirse de la forma

0con , 02 ≠<++ acbxax ¿por qué?, donde a ,b y c son números reales. Es importante

señalar que si el símbolo de relación de orden “< ” se cambia por “ o , ≥≤> ” , la

inecuación resultante también se llama inecuación cuadrática.

Las siguientes inecuaciones son ejemplos de inecuaciones cuadráticas

( )( ) 064 3y 623 2 ≥−+<+ xxxx ,

puesto que pueden escribirse como 01864y 0623 22 ≥−+<−+ xxxx .

Para resolver una inecuación cuadrática es importante tener presente la propiedad de los

signos en los números reales.

Propiedad de los signos en el producto

1. Sean ,a b ∈ ¡ , ) 0 y 0 ó

0) 0 y 0

i a bab

ii a b≥ ≥

≥ ↔ ≤ ≤

En otras palabras, si el producto de dos números reales es positivo, entonces los dos números tienen los mismos signos.

63

Estas propiedades también son aplicables en los cocientes.

En consecuencia para resolver una inecuación como ( ) ( )3 4 6 0x x+ − ≥ , debemos

determinar cuando los dos factores son ambos positivos o ambos negativos, ya que allí sus

productos serán positivos. La manera más didáctica para ocuparse de estos casos es

utilizando la estrategia del diagrama de signos.

Ejemplo 17

1. Resuelva 01522 ≥−+ xx

Solución:

Formalmente resolvemos la ecuación aplicando las propiedades señaladas anteriormente,

pero como primera tarea factorizamos la ecuación, así

( ) ( )2 2 15 0 5 3 0x x x x+ − ≥ → + − ≥ ,

ahora como ) 0 y 0 ó

0) 0 y 0

i a bab

ii a b≥ ≥

≥ ↔ ≤ ≤

Luego,

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

) 5 0 y 3 0 ó5 3 0

) 5 0 y 3 0

i x xx x

ii x x

+ ≥ − ≥+ − ≥ ↔ + ≤ − ≤

Resolviendo )i ,

5 y 3x x≥ − ≥

2. Sean ,a b ∈ ¡ , ) 0 y 0 ó

0) 0 y 0

i a bab

ii a b≥ ≤

≤ ↔ ≤ ≥

En otras palabras, si el producto de dos números reales es negativo, entonces los dos números tienen signos opuestos.

−∞ 5− 3 +∞

0

64

El área doble rayada es el conjunto solución [ )1 3,S = +∞

Resolviendo )ii ,

5 y 3x x≤ − ≤

El conjunto solución es ( ]2 , 5S = −∞ − . La solución final ( fS ) es la unión de las dos

soluciones parciales 1S y 2S , entonces

1 2fS S S= ∪ lo que es equivalente por propiedad conmutativa a 2 1fS S S= ∪ , donde

( ] [ ), 5 3,fS = −∞ − ∪ +∞

Importante...

1. En la notación “[ ” o “ ]”el extremo es cerrado en el intervalo.

2. En la notación “ ( ” o “ ) ” el extremo es abierto en el intervalo.

Ahora, conocido los fundamentos para resolver una inecuación cuadrática podemos aplicar

la siguiente técnica llamada Diagrama de Signos, determinando el signo correspondiente a

cada intervalo, así:

Primero comenzaremos factorizando el polinomio para luego utilizar el diagrama de signos,

( )( ) 053 01522 ≥+−→≥−+ xxxx

Analizando cada uno de los factores, se tiene

5 05 3 03

−≥→≥+≥→≥−

xxxx

Los números 3 y –5 los llamaremos números críticos, ya que allí cambia el

comportamiento de los signos de manara dramática, veamos:

− ∞ 5− 3 + ∞

0

65

3 0 3 - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + +

x x− ≥ → ≥

3

5 0 5 - - - - - - + + + + + + + + + + + + + + + +

x x+ ≥ → ≥ −

5−

Acomodando estos dos diagramas en uno solo tenemos:

( )( )

3 0 - - - - - - - - - - - - + + + + + + + +5 0 - - - - - + + + + + + + + + + + + +

3 5 + + + + - - - - - - + + + + + + + +

xx

x x

− ≥+ ≥

− +

5− 3

Así observamos que los intervalos donde el producto de ( ) ( ) 5 3 +− xx es mayor o igual a

cero son los intervalos ( ] [ )∞∞− 3,y 5 , . ¿Compruébalo?

2. Resuelva 103 2 +−< xx

Solución:

Resolvemos este ejercicio de dos formas al igual que el anterior.

Forma 1

Acomodando la ecuación y luego factorizando tenemos,

( )( )23 10 0 3 5 2 0x x x x+ − < → − + < ,

ahora como ) 0 y 0 ó

0) 0 y 0

i a bab

ii a b> <

< ↔ < >

Luego,

66

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

) 3 5 0 y 2 0 ó3 5 2 0

) 3 5 0 y 2 0

i x xx x

ii x x

− > + <− + < ↔ − < + >

Resolviendo )i , 5

y 23

x x> < −

Como no existe área doble rayada, entonces el conjunto solución es vacío 1S = ∅

Resolviendo )ii , 5

y 23

x x< > −

El conjunto solución 25

2,3

S = − . La solución final es:

1 25 5

2, 2,3 3f f fS S S S S = ∪ → = ∅ ∪ − → = −

Forma 2

Factorizando el polinomio ( ) ( ) 3 5 2 0x x− + < , luego sus soluciones son:

5 y 3x x≥ − ≥ donde ( ) 3 3 5 0

5x x− < → < y ( ) 2 0 2 x x+ < → < −

Representándolo en un diagrama de signos,

( ) ( )

5 - - - - - - - - - - - - - - - + + + + +

32 - - - - - + + + + + + + + + + + +

3 5 2 + + + + - - - - - - - - - + + + + +

x

x

x x

<

< −

− +

2− 53

− ∞ 2−53

+ ∞0

− ∞ 2−53

+ ∞0

67

Observa que el intervalo donde el producto de ( ) ( ) 2 53 +− xx es menor a cero (negativo)

es

−35

, 2 , por tanto ese es su intervalo solución.

3. Resuelva 052 ≤− xx

Solución:

Factorizando el polinomio,

( ) 05 ≤−xx

Representándolo en un diagrama de signos,

( )

0 - - - - - + + + + + + + + + + +5 - - - - - - - - - - - - + + + + + +

5 + + + + - - - - - - - + + + + + +

xx

x x

≤≤

−

0 5

Observa que el intervalo donde el producto es menor o igual a cero es[ ]0,5 , por tanto ese

es su intervalo solución.

1.8.4 Inecuaciones racionales

Una inecuación racional es aquélla que está constituida por el cociente de dos polinomios,

por ejemplo 22533

<+−

xx

ó 012

132≥

−−−

xxx

.

Al resolver este tipo de problemas debemos tener presente la prohibicion de dividir entre

cero y además las reglas de los signos con respecto al cociente.

68

Propiedad de los signos en el cociente

Ejemplo 18

1. Resuelva 113

−<++

xx

Solución:

Comenzaremos ordenando la inecuación colocando todos los términos diferentes de cero a

un lado de la inecuación,

31 0

1xx

++ <

+ , resolviendo 0

142

01

13<

++

→<+

+++xx

xxx

ahora como ) 0 y 0 ó

0) 0 y 0

i a baii a bb

> << ↔ < >

Luego, ( ) ( )( ) ( )

) 2 4 0 y 1 0 ó2 40

1 ) 2 4 0 y 1 0

i x xxx ii x x

+ > + <+ < ↔ + + < + >

Resolviendo )i ,

2 y 1x x> − < −

1. Sean ,a b ∈ ¡ , ) 0 y 0 ó

0) 0 y 0

i a baii a bb

≥ <≤ ↔ ≤ >

En otras palabras, si el cociente de dos números reales es positivo, entonces los dos números tienen los mismos signos 2. Sean ,a b ∈ ¡ ,

) 0 y 0 ó0

) 0 y 0i a baii a bb

≥ <≤ ↔ ≤ >

En otras palabras, si el cociente de dos números reales es negativo, entonces los dos números tienen signos opuestos.

− ∞ 2− 0 + ∞1−

69

Conjunto solución ( )1 2, 1S = − −

Resolviendo )ii ,

2 y 1x x< − > −

El conjunto solución 2S = ∅ . La solución final es:

( ) ( )1 2 2, 1 2, 1f f fS S S S S= ∪ → = − − ∪ ∅ → = − −

Resolviendolo en un diagrama de signos,

2 4 0 - - - - - + + + + + + + + + + +1 0 - - - - - - - - - - - - + + + + + +

2 4 0 + + + + - - - - - - - + + + + + +

1

xx

xx

+ <+ <

+<

+

2− 1−

Observa que el intervalo donde el cociente es estrictamente menor a cero es ( )1 , 2 −− , por

tanto ese es su intervalo solución. ¡Compruébalo con al menos dos elementos! ¿Por qué el

intervalo solución es abierto?

2. Resuelva 11

322≥

++−

xxx

Solución:

Ordenando la inecuación colocando todos los términos diferentes de cero a un lado de la

inecuación,

2 2 31 0

1x x

x− +

− ≥+

, resolviendo

− ∞ 2− 0 + ∞1−

70

( )0

123

01

132 0

1132 222

≥+

+−→≥

+−−+−

→≥+

+−+−x

xxx

xxxx

xxx

Factorizando el numerador ( ) ( )1 2

01

x xx

− −≥

+

En este problema aparecen combinaciones de productos y cocientes; representaremos

primero el numerador analizando los casos respectivos y luego el denominador en el

siguiente diagrama de signos.

( )( )

1 0 - - - - - - - - + + + + + + + + + + + +2 0 - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + +

1 2 + + + + + + - - - - - - - +

xx

x x

− ≥− ≥

− − + + + + + +

1 2

Este resultado del numerador lo relacionaremos con el denominador, con lo cual tenemos

( ) ( )

( ) ( )

1 2 + + + + + + + + + + + + - - - - - - - + + + + + + +

1 0 - - - - - - - + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

1 2 - - - - - - - + + + + + + + - - - - -

1

x x

x

x x

x

− −

+ ≥− −

+- - + + + + + + +

1− 1 2

Observa que los intervalos donde el cociente es estrictamente mayor o igual a cero son

( ]1 ,1− y [ )∞ ,2 por tanto esa es su solución, el extremo –1 es abierto ya que en el

denominador no puede tomar el valor cero la inecuación y ese es precisamente el número

que lo hace; por lo tanto, debemos extraerlo.

71

EJERCICIOS 1.8.2 AL 1.8.4

Resuelva las siguientes inecuaciones 1. 4<x

2. 6>x

3. 82 <+x

4. 142 <−x

5. 93 ≥−x

6. 12414 <++x

7. 523 >−x

8. 25

32≥

− x

9. 13

52<

+x

10. 64

13<

−x

11. 5352

≥− x

12. 01522 >−+ xx

13. 023 2 ≤−− xx

14. 01282 <+− yy

15. 04146 2 ≥++ pp

16. 052 ≥− yy

17. 0273 2 <−y

18. 54 2 xx ≤

19. 25309 2 −<+ xx

20. 272712 2 +> xx

21. 05

≥+x

x

22. 0211

>+−+

xx

23. 132

≥+−

xx

24. 22532

−≤+−

xx

25. 41213

−<−−

xx

26. 03

2>

+x

27. 09

32 >

−

−

x

x

28. 01

12 <

−x

29. 1

223

4+

≤− xx

30. 1

32

1+

≥− xx

31. 11

322≤

++−

xxx

32.

( )0

51

≤+−

xxx