7/24/2019 Funciones de La Serie de Taylor

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Funciones de la serie de Taylor

Ejemplo 1. Calclese la serie de Taylor def(x) = ex

Empezamos derivando, tratando de obtener un patrn; lo que es fcil con esta funcin

f (x )=ex

, f (x )=ex

,f (x )=ex

,...,fn

(x )=ex

Entonces, de la frmula

ex =e

a + e

a(x a ) + e

a(x a )

2

+ ea(x a )

3

+... + ea(x a)

n

...1! 2! 3! n!

Tomamos un punto (! a"), de fcil clculo y con el que e#istan las derivadas; en este casoesco$emos

a %&'

e

x

=e

0

+ e

0(x 0)+ e

0(x 0)2 + e

0(x 0)

3+... + e 0(x 0)n ...

1! 2! 3! n!

ex =1+ 1(x) +(x)2+ (x)

3+... + (x)n ...

1! 2! 3! n!

(a funcion de la serie

f (x )=ex, es:ex =1+ x + x

2

+ x3

+ x4

+ x5

+... +xn

...1! 2! 3! 4! 5! n!

e forma mssimple:

xn

ex =

n!n=0Es decir, evaluarf(x)

=ex resulta i$ual a evaluar el

xn

polinomio infnito

; por e*emplo

n!n=0

1n

1

f (1)=e1= =

n =0n ! n=0 n!

esarrollando el polinomio +asta - $rado:

e 1+1+

1+

1 +

1+

1=2.716

1! 2! 3! 4! 5!

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Ejemplo 2. Calclese la serie de Taylor def(x)%ln(x)

erivadas:f (x) =

1

,f(x) =

1

,f(x) =

1.2

f IV(x )=

2.3

,...,fn(x) =

( 1) n+1( n1)!

x

x 2 x3

x

4xn

e la frmula deTaylor

1 (xa) 1 (xa)2 1 (xa) 3 ( 1)

n+1(xa)

n

ln(x) =ln( a)+ + +

+... + ...

a2 a3 an

a 1 2 3 n

.esulta evidente que ! a" no puede ser & (no admite una serie de /aclaurin)

ya que no es derivable 0 ni continua1 en ese punto; por comodidad se toma a%2'

1 (x1) 1 (x1)2 1 (x1) 3 ( 1)

n

+1

(x1

ln(x) =ln(1) + + +

+... +

12 13 1n

1 1 2 3 n

(x1) (x1)2 (x1) 3 (x1) 4 ( 1)

n(x1)

n+1

ln(x) = + +... + .1 2 3 4 n +1

Entonces:

( n+1)