Funciones de Interpolación para Termómetros Digitales

Perú, calidad que deja huella

Funciones de Interpolación para Termómetros Digitales

Andy Barrientos A.Laboratorio de Termometría


01. Introducción.




La presentación propone considerar funcionesinterpoladoras del tipo polinomial; así mismo de uncriterio experimental para verificar si dicha función es laadecuada para representar el comportamiento de lascorrecciones de un termómetro digital.


02. FUNDAMENTO TEÓRICO




- Funciones Interpoladores- Mínimos Cuadrados- Calidad de Ajuste

* Incertidumbre de la curva de ajuste


Funciones Interpoladores

Muchas veces se recurre a funciones interpoladores para representar el comportamientode las correcciones; errores; valores; etc; de un instrumento determinado (termómetros;manómetros; etc.)

Definición.- Dada una función f de la cual se conocen sus valores en un número finito de

abscisas x0,x1,..xm, se llama interpolación polinómica al proceso de hallar un polinomio pm(x) de

grado menor o igual a m, cumpliendo:

𝑝𝑚 𝑥𝑘 = 𝑓 𝑥𝑘 , ∀𝑘 = 0,1, … ,𝑚

A este polinomio se le llama Polinomio interpolador de grado m de la función f



Elección de una función Interpoladora

Los criterios de selección del tipo de curva y grado de polinomio son diversos:

• Experiencia, propia o de otros laboratorios, usuarios o fabricantes;

• Modelo, empírico o teórico del fenómeno;

• Análisis de consistencia gráfica de los residuos, que requiere que la distribución de los

residuos respecto a la curva ajustada sea aleatorio (idealmente distribución normal), la

dispersión de los residuos debe mantenerse a lo largo de la curva de regresión;

• Análisis estadístico, en el cual se aumenta el grado del polinomio hasta encontrar la

máxima potencia que cumpla:

𝑎𝑚𝑢𝑎𝑚≥ 𝑡95,5%(𝜐)

donde:

am es el coeficiente de la potencia

uam es la incertidumbre (desviación estándar experimental de la media o del error)



El grado del polinomio queda entonces como m.

El número de grados de libertad para la t de Student es igual al número de puntos menos el

grado del polinomio menos 1.

𝜈 = 𝑁 −𝑚 − 1

En ocasiones es posible usar la regresión lineal, lineal múltiple o polinómica haciendo

cambios de variable, por ejemplo, si se tiene un comportamiento exponencial cambiar a

logaritmos permite aplicar una regresión lineal.



Mínimos cuadrados


Mínimos cuadrados es una técnica de análisis numérico enmarcada dentro dela optimización matemática, en la que, dados un conjunto de pares ordenados y una familiade funciones, se intenta encontrar la función continua, dentro de dicha familia, que mejor seaproxime a los datos (un "mejor ajuste"), de acuerdo con el criterio de mínimo errorcuadrático.

En su forma más simple, intenta minimizar la sumade cuadrados de las diferencias en lasordenadas (llamadas residuos) entre los puntosgenerados por la función elegida y loscorrespondientes valores en los datos.Específicamente, se llama mínimos cuadradospromedio (LMS) cuando el número de datosmedidos es 1 y se usa el método de descenso porgradiente para minimizar el residuo cuadrado. Sepuede demostrar que LMS minimiza el residuocuadrado esperado, con el mínimo de operaciones(por iteración), pero requiere un gran número deiteraciones para converger.


Desde un punto de vista estadístico, un requisito implícito para que funcione el método de mínimos

cuadrados es que los errores de cada medida estén distribuidos de forma aleatoria.

El teorema de Gauss-Márkov prueba que los estimadores mínimos cuadráticos carecen de sesgo y que

el muestreo de datos no tiene que ajustarse, por ejemplo, a una distribución normal. También es

importante que los datos a procesar estén bien escogidos, para que permitan visibilidad en las variables

que han de ser resueltas (para dar más peso a un dato en particular, véase mínimos cuadrados

ponderados).

La técnica de mínimos cuadrados se usa comúnmente en el ajuste de curvas. Muchos otros problemas

de optimización pueden expresarse también en forma de mínimos cuadrados, minimizando la energía o

maximizando la entropía.



Criterio de Mínimos Cuadrados


Este método está basado en minimizar la variación entre el ajuste y los datostomados; es objetivo es encontrar los parámetros aj que minimicen el error debido ala función interpoladora.

𝑄 =

𝑖

𝑁

𝑦𝑖 − 𝑎1 + 𝑎2𝑡1 +⋯𝑎𝑚𝑡𝑖𝑚 2

Al minimizar la función Q, se obtienen el siguiente sistema de ecuaciones:

𝑦 = 𝑎 𝑇 𝑋




donde

𝑦 = 𝑦, 𝑦𝑥, 𝑦𝑥2… 𝑦𝑥2𝑇

𝑎 = 𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑚𝑇

Al minimizar la función Q, se obtienen el siguiente sistema de ecuaciones:

además:

mm

m

m

m

mmm x

x

x

x

xxx

xxx

xxx

xxN

x

...

...

............

...

...

...

][ 2

1

21

432

32

2




Cálculo de Coeficientes

𝑎 = 𝑦 𝑇 𝐶

𝐶 = 𝑋 −1Donde:

además:

𝐶𝑖,𝑗 𝑐𝑜𝑛 𝑖, 𝑗 =0,1,…,m

3

2

1

6543

5432

432

32

4

3

2

1

yx

yx

yx

y

xxxx

xxxx

xxxx

xxxN

a

a

a

a

Un caso particular es con m = 3:



Incertidumbre de la curva de Ajuste (Interpolación)

mN

tataay

s

N

i

m

imii

2

21 )..(

donde:

N: Número de Puntos medidosm: grado del polinomio

Si los residuos parecen comportarse de forma aleatoria, es un indicativo que el modelopodría ajustarse bien los datos. Por otro lado, si fuera una estructura no aleatoria evidenteen los residuos, seria una señal de que el modelo ajusta mal los datos.

Calidad de Ajuste



- 03. CRITERIO DE ANÁLISIS



Criterio de la coherencia en base a la incertidumbre combinada de la diferencia

Considerando el suficiente número de puntos para realizar un ajuste adecuado; un puntointermedio (no considerado en el ajuste) será coherente con la curva inicial cuando ladiferencia entre este nuevo punto y la curva de interpolación inicial sea menor que laincertidumbre combinada del ajuste de la curva inicial y la debida a las componentesaleatorias.

𝑌 𝑥𝑖 − 𝑓(𝑥𝑖) ≤ 𝑢𝐴𝑗𝑢𝑠𝑡𝑒2 + 𝑢𝐴𝑙𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑠

2

Donde la componente de la aleatoriedad es debida a la aleatoriedad de los puntosconsiderados en el ajuste y a la aleatoriedad del nuevo punto en análisis; la cual es debida a laresolución del termómetro a calibrar.



Entonces:

𝑌 𝑥𝑖 − 𝑓 𝑥𝑖 ≤ 𝑠2 + 2

𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙.

2 3

2

Esta prueba también puede aplicarse a puntos considerados sospechosos al realizar lacalibración o cuando se reciba un certificado.



- 04. EJEMPLOS


EJEMPLO 1


Temperatura

Indicada, °C

T.C.V.

°C

Correcciones

°C

Incertidumbre

°C

50 49,91 -0,09 0,14

100 99,51 -0,49 0,14

110 109,22 -0,78 0,14

130 128,95 -1,05 0,15

135 133,91 -1,09 0,16



EJEMPLO 2

Resultados Obtenidos

Temperatura

Indicada, °C

T.C.V

°C

Corrección

°C

Incertidumbres

°C

0,0 0,01 0,01 0,04

10,0 9,99 -0,01 0,04

20,0 20,03 0,03 0,04

30,0 29,97 -0,03 0,04

40,0 39,97 -0,03 0,04

50,0 49,99 -0,01 0,04



EJEMPLO DE ANÁLISIS REALIZADO A DATOS ANTES DE EMITIR CERTIFICADO

Resultados Obtenidos



EJEMPLO DE ANÁLISIS REALIZADO A DATOS ANTES DE EMITIR CERTIFICADO



- 05. ERRORES COMUNES AL REALIZAR INTERPOLACIONES


Aglomeración de Puntos




Insuficientes puntos



Confiar en r²=1



- 05. CONCLUSIONES


CONCLUSIONES


EL CRITERIO DE LA COHERENCIA DE LA INCERTIDUMBRE DE LA DIFERENCIA, es un buena herramienta para garantizar si los resultados medidos u obtenidos en una calibración son consistentes.

El criterio propuesto ayuda a decidir en la distribución de puntos para tener una buena interpolación.

Teniendo una buena distribución de puntos se pueden reducir costos.



Gracias

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