Funciones Cuadráticas

Dra: Carmen Ivelisse Santiago

Definición de función cuadrática

• Sea a, b y c números reales con a‡0. La función de x dada por:– f(x)= ax²+ bx + c

será llamada una función cuadrática.

La gráfica de una función cuadrática

• La gráfica de una función cuadrática tiene forma de U y se le llama parábola.

Partes de una parábola

Vértice: (-3, -6)

Interceptos en x:

Interceptos en y: (0, 3)

Formas…

f(x) = x² f(x) = - x²

Punto mínimo Punto máximo

La gráfica es cóncava hacia arriba La gráfica es cóncava hacia abajo

Alteraciones de las funciones cuadráticas

f(x) = x²

f(x) = 8x²

f(x) = (1/12)x²

Cuando dividimos, se abre la gráfica

Cuando multiplicamos la función, cierra la gráfica

Movimientos de las gráficas

f(x) = (x + 6)²f(x) = (x - 4)²

Si sumamos dentro del paréntesis, se mueve hacia la izquierda

f(x) = (x + 6)² -4 f(x) = (x - 4)² + 3Si restamos dentro del paréntesis, se mueve hacia la derecha

Si restamos en la función, se mueve hacia abajo

Si sumamos en la función, se mueve hacia arriba

Ejercicio

• ¿Cómo describirías la función?:f(x) = 2(x+2)²- 1

Respuesta:

Al multiplicarse por positivo 2, será más estrecha y será cóncava hacia arriba, al sumarse dos dentro del paréntesis, se mueve dos veces hacia la izquierda y al restarle 1 a la función, bajará una unidad.

La forma estándar de la función cuadrática

• Una función cuadrática en la forma de f(x) = ax²+ bx + c

• Se puede escribir en la forma estándar:

f(x) = a(x-h)²+ k, donde (h,k)

representan el vértice de la

función.

¿Cómo convertir una función cuadrática en su forma

estándar?• Sea f(x) = 2x²+ 8x + 7

• Escríbela en su forma estándarPasos:

1. Escojamos los primeros dos términos para completar el cuadrado. f(x) = (2x² + 8x) + 7

2. Sacamos el dos como factor común

f(x) = 2(x² + 4x) + 7

3. Completamos el cuadrado

f(x) = 2(x² + 4x + 4 – 4) + 7

4. Factorizamos y sumamos f(x) = 2(x + 2)² + 7 - 8

5. Forma estándar f(x) = 2(x + 2)² -1

Repetición del ejercicio

• f(x) = 2x²+ 8x + 7 función cuadrática

f(x) = (2x²+ 8x) + 7Escoges los primeros dos términos para completar el cuadrado

f(x) = 2(x²+ 4x) + 7 Sacas el dos como factor común

f(x) = 2(x²+ 4x + 4 – 4) + 7 Completas el cuadrado

f(x) = 2(x + 2)²+ 7 - 8 Factorizas y restas el número añadido

f(x) = 2(x + 2)²- 1 Ya está en su forma estándar

Trata los siguientes ejercicios

• Escribe la siguiente función cuadrática como una función estándar:

1. f(x) = -x² + 6x – 8

2. f(x) = x² - 8x + 16

3. g(x) = 2x² + 16x + 11

1. f(x) = -(x – 3)²+ 1

2. f(x) = (x – 4)²

3. f(x) = 2(x + 4)²- 21

(3, 1)

(4, 0)

Los interceptos de las funciones cuadráticas

• Encontramos los interceptos en x cuando la gráfica pasa por el eje de de x.

• Para hallar los interceptos en x, igualamos la función a cero.

• Ejemplo:– Halla los interceptos de la siguiente

función: f(x)= x²-9x + 18

Solución

• f(x)= x²-9x + 18

1. Halla los interceptos en Y (iguala la x=0)

f(0)= 0²-9(0) + 18

(0, 18)

Intercepto en y

2. Halla los interceptos en x: (igualar la función a cero) f(x) = 0

x²-9x + 18 = 0

Factorzas: (x-3)(x-6) = 0

X=3 ; x=6

(3, 0) y (6, 0)

Hallar el vértice

Recuerda completar el cuadrado:

F(x) = x²-9x + 18

(x²-9x) + 18

(x²-9x + 20.25 – 20.25) + 18

(x – 4.5)²+ 18 – 20.25

(x – 4.5)²– 2.25

Así que el vértice es el punto:

(4.5, -2.25)

GráficaCuando tenemos los interceptos y el vértice, ya se puede trazar la gráfica

Intercepto en y

(0, 18)

Interceptos en x: (3,0) y (6,0)

Vértice: (4.5, -2.25)

f(x) = x²-9x + 18

Práctica

• Halla los interceptos y el vértice de las siguientes funciones:– 1. Y= 2x²+ 4x + 8

– 2. Y = -3x² + 6x - 2

Respuestas:

1. Int. y (0, 8): No int. en

x y vértice en (-1, 1)

2. Int. en y (0,-2)

int. en x (.5, 0) y (1.5, 0)

vértice en (1,1)

Otra manera de obtener el vértice de una función cuadrática

• Utiliza la fórmula:

2

bx

a

Sea f(x) = x² - 9x + 18

a =1, b = -9

Sustituyes los valores en la fórmula y luego evalúas la función con el resultados de x

Funciones pares e impares

• Funciones pares:1. Si es simétrica con

el eje de y

2. Si f(-x) = f(x)

• Funciones impares1. Si es simétrica con

el origen.

2. Si f(-x) = -f(x)

Determina si las siguientes gráficas son pares, impares o

ningunaimpar par par

Prueba si las siguientes funciones son pares, impares o

ninguna• Para determinar si es par, sustituimos

el valor de x por –x y nos vuelve a dar la función original es par y si es impar nos dará el opuesto de la función:– Ejemplo:

• F(x) = x5 + x

F(-x)= (-x)5 + (-x)

F(-x) = -x5 - x

F(-x)= -(x5 + x) por tanto es impar porque f(-x) = -f(x)

Práctica

• Determina si las siguientes funciones son pares, impares o ninguna:– 1. f(x) = x-2

– 2. f(x) = x²+ x

– 3. f(x) = x³+ x impar

ninguna

par