GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 22

UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES

ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA Una ecuación de segundo grado es una ecuación de la forma, o que se puede reducir a la forma: ax2 + bx + c, donde a ∈∈∈∈ lR – {0}, b ∈∈∈∈ lR y c ∈∈∈∈ lR. El cálculo de las soluciones o raíces de esta ecuación, se realiza aplicando la siguiente fórmula: Si α y β son las soluciones de la ecuación esta se puede escribir como: R Si αααα y ββββ son las soluciones (o raíces) de la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0, entonces siempre se cumple que: EJEMPLOS 1. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones no es de segundo grado?

A) x2 = 9 B) (y + 2) (y – 6) = (y + 2) C) x(x2 – 2x + 1) = x + 3

D) t(t 2) 2 5t

= 4 3 8

−−

E) 2u (3u + 3 ) = 0

x = 2-b ± b 4ac

2a− − − −

(x – αααα) · (x – ββββ) = 0

αααα + ββββ = - ba

αααα · ββββ = ca

C u r s o : Matemática

Material N° 26

2

2. ¿Cuáles son las soluciones (o raíces) de la ecuación 19x – 3x2 – 20 = 0?

A) 3 1529

38

− y

3 + 1529

38

B) 4 y 15 C) -4 y -15

D) -4

3 y -5

E) 4

3 y 5

3. El conjunto solución de la ecuación (x + 7 )(2x – 3) = 0 es

A) -3

7,2

B) 3

- 7,2

C) 3

7,2

D) -3

- 7,2

E) 2

- 7,3

4. ¿Cuál es la suma de las soluciones (o raíces) de la ecuación -8x2 + x + 4 = 3x?

A) -1

4

B) -4

C) 1

8

D) -1

8

E) -4 5. ¿Cuál es el producto de las soluciones (o raíces) de la ecuación -x2 + 2x + 0,1 = 0?

A) -2 B) 2 C) -0,1 D) 0,1 E) -10

3

FUNCIÓN CUADRÁTICA

A la función de segundo grado f(x) = ax2 + bx + c, siendo a, b, c ∈ lR y a ≠ 0 se le denomina función cuadrática. La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola, simétrica con respecto a una recta paralela al eje de las ordenadas. Dicha recta recibe el nombre de eje de simetría.

Concavidad: Es la abertura que tiene la parábola.

INTERSECCIÓN CON EL EJE Y La parábola asociada a la función y = ax2 + bx + c siempre intersecta al eje de las ordenadas en y = c.

EJEMPLOS

1. ¿Cuál de las siguientes opciones corresponde a una función cuadrática?

A) f(x) = (x + 2)(x – 2)–(x – 3)x

B) g(y) = 4y

3y2

+−

C) h(z) = z-2 + z-1 + 1 D) i(t) = (1 – t)(1 – t2)+ t E) j(u) = (1 – u)3 + (u2 – 1) u

x

y

c

fig. 4

Eje de simetría

x

y

f(x) = ax2 + bx + c

Parábola

fig. 1

Si a > 0, la concavidad de la parábola está orientada hacia arriba.

fig. 2

x

y

Si a < 0, la concavidad de la parábola está orientada hacia abajo.

x

y

fig. 3

4

2. En la figura 5, se muestra el gráfico de la función cuadrática f(x) = -(2b – 3)x2 + x – 2. Luego se cumple que

A) b < 25

6

B) b ≤ 3

2

C) b < 3

2

D) b ≥ 3

2

E) b > 25

16

3. Con respecto a la parábola asociada a f(x) = x (1 – 3x), ¿cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Sus ramas se extienden hacia abajo. II) Intersecta al eje de las ordenadas en el punto (0, 0).

III) f(0) = f

3

1.

A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

4. ¿Cuál de las siguientes opciones puede corresponder al gráfico de la figura 6?

A) f (x) = x2 + 2x + 3 B) f(x) = -x2 – 2x – 3 C) f(x) = -3(x + 3)(x – 1) D) f(x) = -(x + 3)(x – 1) E) f(x) = -(x + 3)(x – 1) – 4

5. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera respecto de la parábola y = 5 – 4x – x2?

A) Sus ramas se extienden hacia arriba. B) Intersecta al eje de las ordenadas en el punto (5, 0). C) No intersecta al eje de las abscisas. D) Alcanza un valor mínimo. E) El punto (-2, 9) pertenece a ella.

y

x

fig. 5

x

y

4 fig. 6

5

CEROS DE LA FUNCIÓN Los ceros (o raíces) de la función cuadrática son los valores x1 y x2 para los cuales y = 0 (fig. 1). DISCRIMINANTE La expresión b2 – 4ac se denomina discriminante, pues determina la naturaleza de las raíces de la ecuación cuadrática asociada a la función y = ax2 + bx + c.

Si Si Si

EJEMPLOS 1. Los ceros de la función f(x) = 3x2 + 6x son

A) x = -2 ; x = -1 B) x = -1 ; x = -3 C) x = 1 ; x = 9 D) x = 0 ; x = 2 E) x = 0 ; x = -2

2. Los ceros de la función f(x) = x2 – 2 son

A) x = 2 x = - 2

B) x = 2 x = -2

C) Sólo x = 2

D) x = 1 x = -1 E) x = 0 x = -2

b2 – 4ac >>>> 0 b2 – 4ac = 0 b2 – 4ac <<<< 0

La parábola intersecta al eje x en dos puntos, por lo tanto tiene 2 soluciones (raíces reales distintas).

La parábola es tangente al eje x, por lo tanto tiene sus soluciones idénticas (una única solución real).

La parábola no intersecta al eje x, no tiene solución real.

x1 x2 x1 x2

y

x

x1 = x2

x1 = x2

y

x

y

x

x

y

x1 x2

fig. 1

6

3. Si el discriminante asociado a la función f(x) = 3x2 – 2x + k es 64, ¿cuál es el valor de k?

A) 15 B) 12 C) 5 D) -5 E) -15

4. Con respecto de la función asociada al gráfico de la figura 2, ¿cuál(es) de las siguientes aseveraciones es (son) verdadera(s)?

I) Tiene 2 ceros. II) f(0) = -3 III) El discriminante es menor que cero.

A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

5. Dada la función f(x) = x2 + bx + c. Si sus ceros son de distinto signo, ¿cuál de los siguientes gráficos corresponde mejor a la función?

A) B) C)

D) E)

6. Dada la función f(x) = x2 – kx + 2 es correcto afirmar que:

I) Si k = 2, no intersecta al eje x. II) Si k = -2, es tangente al eje x. III) Si k = 3, cruza en dos puntos al eje x.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

y

x

fig. 2

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

7

EJE DE SIMETRÍA El eje de simetría de una parábola es una recta que divide a esta curva en dos “ramas” congruentes. VÉRTICE DE LA PARÁBOLA El vértice de la parábola es el punto de intersección de ésta con su eje de simetría.

EJEMPLOS 1. Dada la función f(x) = -3x2 + 6x + 2, la ecuación del eje de simetría es

A) x = -1 B) x = 1 C) y = -1 D) y = 1 E) x = -3

x = 1 2x + x2

x = -b2a

V =

2-b 4ac b,

2a 4a−−−−

Eje de simetría:

o

x2 x1 x

y

Eje de Simetría

x

fig. 1

Vértice

x

y Eje de simetría

fig. 2

8

2. El vértice de la parábola asociada a la función f(x) = 2x2 + 3 es

A) (0, 3) B) (1, 3) C) (3, 0) D) (3, 1) E) (0, 0)

3. El valor máximo para la función f(x) = -2x2 – x + 1 es

A) 1

4

B) -1

4

C) -9

4

D) -9

8

E) 9

8

4. La función cuadrática que corresponde a la parábola de la figura 3 es

A) f(x) = 2x2 + x – 3 B) f(x) = x2 – 2x – 3 C) f(x) = x2 – x – 3 D) f(x) = 2x2 – x – 3 E) f(x) = x2 + 2x – 3

5. Dada la función f(x) = x2 – 4x, ¿cuál(es) de las siguientes aseveraciones es (son)

verdadera(s)? I) La función es creciente en el intervalo [2, +∞[. II) La ecuación del eje de simetría es y = 2.

III) El vértice de la parábola es (2, -4).

A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III

x

y

fig. 3

-1 -3 1 3 -2 2

-3

9

FUNCIONES DE LA FORMA La figura 1 muestra las gráficas de

y = x2, y = 1

2x2, y = -x2 e y = -

1

2x2.

OBSERVACIONES

� Si a > 1, la gráfica de y = ax2 tiene una mayor rapidez de crecimiento que la gráfica de y = x2. � Si 0 < a < 1, la gráfica de y = ax2 tiene una menor rapidez de crecimiento que la gráfica de y = x2. FUNCIONES DE LA FORMA La figura 2, muestra las gráficas de y = x2, y = x2 + 2 e y = x2 - 3. OBSERVACIONES � Si c > 0, la parábola se desplaza c

unidades hacia arriba con respecto al origen.

� Si c < 0, la parábola se desplaza c unidades hacia abajo con respecto al origen.

y = ax2

-2

-2 2

-4

y = -1

2 x2

y = -x2

4

x

y

2

y = x2

y = 1

2x2

fig. 1

y = ax2 + c

6

-3

x

y y = x2 + 2 y = x2 y = x2 – 3 2

0

fig. 2

10

EJEMPLOS 1. ¿Cuál de los siguientes gráficos corresponde a la función f(x) = x2 – 3? A) B) C)

D) E) 2. El gráfico de la figura 3, corresponde a la función

A) f(x) = x2 + 4x + 3 B) f(x) = x2 – 4x +3 C) f(x) = x2 – 4x – 3 D) f(x) = x2 + 4x – 3 E) f(x) = x2 – 3x + 4

3. Dada la gráfica con funciones cuadráticas (fig. 4), ¿cuál de las siguientes alternativas

es verdadera?

A) a > b B) c > a C) d > c D) b > d E) b > a

4. Si la gráfica de la función cuadrática de la figura 5, se traslada tres unidades hacia

arriba, se podría obtener la función

A) f(x) = x2 – 1 B) f(x) = -x2 – 4 C) f(x) = -x2 + 1 D) f(x) = -x2 + 4 E) f(x) = -x2 + 2

y

x -3

3

y

x

y

-1

fig. 5

x

y

x 2 -2

-3

y

x 3 -3

- 3

y

3 x

x

y

y = ax2

y = dx2 y = cx2

y = bx2

fig. 4

3

fig. 3

y

-1 x

2

11

FUNCIONES DE LA FORMA � La parábola se traslada h unidades en el eje x (sentido opuesto) y k unidades en el

eje y.

� (h, k) corresponde a las coordenadas del vértice de la parábola. EJEMPLOS 1. La gráfica de la figura, podría corresponder a la función

A) f(x) = (x – 3)2 – 3 B) f(x) = (x – 3)2 + 3 C) f(x) = (x+ 3)2 + 3 D) f(x) = (x + 3)2 – 3 E) ninguna de las anteriores.

2. El punto máximo de la parábola y = -x2 + 2x + 3 es

A) (1, 4) B) (-1, 4) C) (3, 4) D) (1, -4) E) (6, 4)

f(x) = (x – h)2 + k

k

h x

y

fig. 6

3

x

y

3

fig. 7

12

3. Con respecto a la función f(x) = (x + 4)2 – 5, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) El vértice de la parábola es (-4, 5). II) El eje de simetría de la parábola asociada, es la recta de ecuación x = -4. III) En el intervalo [-4, +∞[ la función es creciente.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

4. Si la parábola y = x2, se traslada una unidad a la derecha y cinco unidades hacia

arriba, se obtiene la función

A) f(x) = -x2 – 2x + 6 B) f(x) = x2 – 2x + 6 C) f(x) = x2 – 2x – 6 D) f(x) = x2 + 2x + 6 E) f(x) = (x – 5)2 + 1

5. Con respecto a la función f(x) = -x2 + 5x – 6, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones

es (son) verdadera(s)?

I) Es cóncava hacia abajo. II) Tiene un valor mínimo. III) Intersecta al eje y en (0,6).

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) I, II y III

13

EJERCICIOS 1. ¿Cuál(es) de las siguientes ecuaciones es (son) de segundo grado?

I) x(x + 2) = x(1 – x) + x – 4

II) x + 1 = x – 1

III) 2x2 = x 3

A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo II y III D) Sólo I y III E) I, II y III

2. Si -3 es una raíz de la ecuación cuadrática 2x2 – 3kx + 9 = 0, entonces ¿cuál es el valor de k?

A) -5 B) -1 C) -3 D) 1 E) 3

3. La ecuación (2b – 1)x2 – 3c + 4ax = 0 es de segundo grado sólo si

A) a ≠ 0 B) a ≠ 0, b y c cualquier número real.

C) b ≠ 1

2, a y c cualquier número real.

D) b > 1

2, a y c cualquier número real.

E) b ≠ -1

2, a y c cualquier número real.

4. El conjunto solución de la ecuación -3(2x – 5)(x – 4) = x – 4 es

A) 7

3

B) 7

-3

C) 7

-4, -3

D) 7

4,3

E) 7

4, -3

14

5. Respecto de la ecuación 2x2 + x 3 – 3 = 0, se puede afirmar que

A) la suma de sus raíces es 3

2.

B) el producto de sus raíces es 3

2.

C) una de sus raíces es el doble de la otra. D) no tiene raíces reales. E) sus raíces son números irracionales.

6. Una ecuación de segundo grado cuyas raíces son 3 3

2

− y

3 + 3

2 es

A) 2x2 – 6x + 3 = 0 B) 2x2 + 6x + 3 = 0 C) 2x2 – 6x – 3 = 0 D) 2x2 + 6x – 3 = 0

E) 1

2(x – 3 + 3 )(x – 3 – 3 ) = 0

7. Si f(x) = 3x – x2, entonces el conjunto solución de la ecuación x2f(-2) – 3xf(2) = 9f(x) – f(178) f(0) es

A) 33

- , 07

B) 33

, 07

C) {-33, 0} D) {33, 0} E) {-33}

8. Sea m un número real constante. Si el punto (-1, 2) pertenece al gráfico de f(x) = -2x2 – 3x(2m – 3) + 1, entonces f(-2) =

A) -1 B) 1

C) 4

3

D) 7 E) 15

9. Respecto de una función cuadrática f, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es necesariamente falsa?

A) Su recorrido podría ser {y ∈ lR / y ≥ -3}. B) Podría intersectar al eje de las ordenadas en (0,-17). C) Su gráfico podría alcanzar un valor máximo. D) Podría tener tres imágenes de igual valor. E) Con alguna recta quizás no tenga puntos en común.

15

10. La gráfica de la función f(x) = x(x – 2) + 5(x + 2) – 10c intersecta al eje de las ordenadas en el punto (0, 20) si

A) c = 2

B) c = 1

C) c = 0

D) c = -1

E) c = -2

11. Con respecto a la función f(x) = x2 – 6x, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Sus ramas se extienden hacia arriba.

II) Sus ceros son para x = 0 y x = 6.

III) El eje de simetría es la recta de ecuación x = 3.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III

12. Dada la función f(x) = x2 + 2x – a, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son)

verdadera(s)?

I) Si a > 0, entonces intersecta al eje x en dos puntos.

II) Si a = 0, intersecta al eje x en un sólo punto.

III) Si a < 0, no intersecta al eje x.

A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo II y III D) I, II y III E) Ninguna de las anteriores

13. Dada la función f(x) = x2 – 2x – 15, ¿cuáles son las coordenadas del vértice?

A) (1, 15) B) (-1, -15) C) (1, -15) D) (1, -16) E) (-1, -16)

14. Dada la función f(x) = -x2 + 6x – 25, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?

I) Su eje de simetría es la recta de ecuación x = 3.

II) Su gráfico contiene al punto (-2, -41).

III) Alcanza su valor máximo para x = 3.

A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo II y III D) I, II y III E) Ninguna de las anteriores

16

15. ¿Cuál es la función cuadrática cuya representación gráfica es la parábola de la figura 1?

A) f(x) = -x2 – 10 B) f(x) = -x2 + 7x – 10 C) f(x) = -x2 + 10 D) f(x) = -2x2 – 10 E) f(x) = -x2 – 7x – 10

16. Si f(x) = x2 – 6x, ¿cuál de las siguientes opciones podría corresponder a su gráfico?

A) B) C)

D) E) 17. El gráfico de la figura 2, podría corresponder a la función cuadrática

A) f(x) = x2 + 3 B) f(x) = x2 + 2x C) f(x) = x2 – 3 D) f(x) = x2 – 4x + 3 E) f(x) = x2 +4x + 3

18. La gráfica de la función f(x) = (2x + 3) (x – 5) intersecta al eje y en

A) (-15,0) B) (0,5)

C) 3

0, -2

D) (0, 15) E) (0, -15)

x

y

x

y

x

y

x

y y

x

fig. 2

x

y

x

y fig. 1

2

-10

5

17

19. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa a la función cuadrática f(x) = 2(x – 1)2 – 3?

A) B) C)

D) E) 20. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor la función cuadrática f(x) = -(x + 2)2?

A) B) C) D) E) 21. Un proyectil se dispara verticalmente hacia arriba. Su altura (en metros) sobre el suelo,

t segundos después del disparo, esta dada por s(t) = -5t2 + 110t ¿cuál(es) de las siguientes aseveraciones es (son) falsas?

I) La altura máxima es 11 metros. II) A los 22 segundos el proyectil alcanza su altura máxima. III) A los 10 segundos su altura es 600 metros.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

2 x

y

2 x

y

2

x

y

-2 x

y

-2 x

y

18

22. Dos fabricantes de cierto artículo con una producción x obtienen, respectivamente, una ganancia p (en miles de pesos) y q (en miles de pesos). Si p(x) = -x2 + 9x y q(x) = x – 1, ¿cuál de los siguientes gráficos representa mejor a las funciones?

A) B) C)

D) E) 23. El gráfico de la función cuadrática f intersecta al eje y en y = 24 y contiene a los

puntos P(1,24) y Q(2,16). La expresión f(x) es

A) f(x) = -4x2 - 4x - 24 B) f(x) = 4x2 + 4x + 24 C) f(x) = 4x2 – 4x + 24 D) f(x) = -4x2 + 4x + 24 E) f(x) = -4x2 – x + 24

24. De acuerdo al gráfico de la figura 3, ¿cuál(es) de las siguientes aseveraciones es (son)

verdadera(s)?

I) El discriminante es mayor que cero. II) El eje de simetría es x = -1. III) f(x) = x2 + 2x – 15 es la función asociada al gráfico.

A) Sólo II B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III

x

y

-1

y

x

1

y

x

1 x

y

-1

9 x

y

y

x

f(x)

-5

-15

fig. 3

19

25. Con un alambre de p centímetros de longitud se desea construir un rectángulo cuya diagonal mida q centímetros. Si se designa por x uno de los lados, la ecuación que permite resolver el problema es

A) x2 + (p – x)2 – q2 = 0 B) x2 – (p – x)2 + q2 = 0

C) x2 + 2

p x

2

−

– q2 = 0

D) x2 – 2

p x

2

−

+ q2 = 0

E) x2 – p x

2

−

– q2 = 0

26. Considere las f unciones f(x) = x2 y g(x) = 3x2 + n. Se puede determinar el valor de

n si :

(1) uno de los puntos de intersección de los gráficos de f y g es (-2,4).

(2) g(x) = 3 f(x) + n, cualquiera sea el número real x.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

27. Sea f una función cuadrática. Se puede conocer la imagen de 2 mediante f si

(1) f(-1) = f(1) = 0

(2) f(-1) = f(1) = 0 y f(0) = 2

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

28. Sea f(x) = 4cx2 -2ax – b. Luego, f tiene dos ceros si

(1) b

c > 0

(2) b = -2 y c = -4

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

20

E) Se requiere información adicional 29. El gráfico de f(x) = (3 + k) x2 – 2x – 1, alcanza un valor mínimo si

(1) k > -3

(2) f(1) = -2

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

30. El gráfico de f(x) = ax2 + b puede corresponder al de la figura 3 si :

(1) a > 0

(2) ab > 0

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

DMDMA26

x

y

fig. 4

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