Adaptado por Profa. Caroline Rodriguez

Departamento de Matemáticas

Universidad de Puerto Rico en Arecibo

Factorización trinomios cuadráticos de la forma x2 + bx + c

Factorización de trinomios

Sea x2 + bx + c un trinomio con

coeficientes racionales, donde

• b se llama coeficiente lineal

• c se llama coeficiente constante

entonces x2 + bx + c factoriza si

x2 + bx + c = (x + n)(x + m)

donde

• n y m son factores de c

• m + n es igual a b.

Factorización de trinomios

Ejemplos: Factorice

a) x2 + 8x + 12

elegimos los valores de m y n tal que su producto sea 12 y su suma sea 8.

x2 + 8x + 12 = (x + 2)(x + 6)

= (x + m)(x + n)

Esos números son 2 & 6, por lo que

Factorización de trinomios b) y2 – 11y + 24 =

c) a2 – 13a – 30 =

Factorización de trinomios d) x2 + x – 5 = NO factoriza.

e) w2 + 5w – 36 =

Factorización de trinomios

Factorice completamente: – 2y2 – 26y + 28

= -2(y2 + 13y – 14)

Tratemos de factorizar el polinomio cuadrático

restante.

Se necesitan dos números cuyo producto sea -

14 y cuya suma sea 13

-2(y2 + 13y – 14) = -2(y + 14)(y + -1)

Esos números son 14 & -1, por lo que

= -2(y + 14)(y – 1)

Nota: Los términos tienen un factor de 2 en común

Ejemplo: Factorice completamente:

100 – 45x + 5x2

Solución:

Adaptado por Profa. Caroline Rodriguez

Departamento de Matemáticas

Universidad de Puerto Rico en Arecibo

Factorización trinomios cuadráticos de la forma ax2 + bx + c

Forma general de los trinomios cuadráticos • Los trinomios cuadráticos, en general,

tienen la forma

ax2 + bx + c , donde a, b,c son reales; a≠0

• Ejemplos:

22 25 12x x 24 6 2z z

32 − 12𝑥 − 8𝑥2

, donde a=2, b=25, c=12

, donde a=4, b=-6, c=2

, donde a=-8, b=-12, c=32

Factorizar binomios de la forma ax2 + bx + c

• Algunos trinomios cuadráticos se pueden factorizar como el producto de dos binomios.

• Para identificar los factores binomiales de un trinomio podemos utilizar

• Tanteo

• el Método AC

Ejemplo con tanteo Factorice completamente:

factores de 9:

factores de 4:

Las posibles combinaciones son:

Por lo tanto,

4159 2 xx

1(9) 3(3)

1(4) 2(2)

(9 4)( 1)x x

(9 1)( 4)x x

(9 2)( 2)x x

(3 2)(3 2)x x

(3 1)(3 4)x x

4159 2 xx (3 1)(3 4).x x

29 13 4x x

29 37 4x x 29 20 4x x

29 12 4x x 29 15 4x x

=

Factorización de trinomios • Cuando multiplicamos binomios se forman 4

productos:

• Podrían haber términos semejantes y se reduce

el polinomio a un trinomio.

• El trinomio 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 factoriza si existen factores de ac que sumen b.

Factorización de trinomios

Factorice: 10x2 + 31x + 15

En esta expresión a=10, b=31, c=15, ac=150

Buscamos factores de 150 que sumen 31.

Los factores son: 25 y 6

= 10x2 + 25x + 6x + 15

= 5x(2x + 5) + 3(2x + 5)

= (5x + 3)(2x + 5)

Factorice completamente:

(a) 6y2 + 23y + 20

𝐛 𝟔𝐱𝟐+𝐱 − 𝟏𝟓

(c) 12w2 – 11w + 2

Factorice completamente:

32 − 12𝑝 − 8𝑝2 • Observar que el polinomio no está en la forma general. • −8𝑝2 − 12𝑝 + 32 • Observar que existen un factor común en los términos • El factor común es -4 • -4(2p2 + 3p – 8 ) • Debemos ver si el trinomio cuadrático que queda es factorizable • a = 2, b= 3, c = -8, ac = -16 • Buscamos dos números que multiplican -16 y que sumen 3 • Dos números que multiplican -16 son:

• -2 y 8 (pero suman 6) • 2 y -8 (pero suman -6) • 4 y -4 (pero suman 0)

• Por lo tanto, 32 − 12𝑝 − 8𝑝2 = -4(2p2 + 3p – 8 )

-16 y 1 (pero suman -15) 16 y -1 (pero suman 15)

Factorización de trinomios Factorice completamente: x2 + 19xy – 42y2

Diferencia de cuadrados

Factorice: p2 – 64 =

Factorice: 49w2 – 81 =

= (p + 8)(p – 8)

= ( + )( – )

( )2 – ( )2

𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 = 𝒂 + 𝒃 𝒂 − 𝒃

Factorice: 100x2 – 36y2

(p)2 – (8)2