FUNCIONES FUNCIONES CUADRATICASCUADRATICAS

►Todo número elevado al cuadrado da Todo número elevado al cuadrado da como resultado un valor de signo como resultado un valor de signo positivo. Es así que la ecuación positivo. Es así que la ecuación

y y =   tiene como =   tiene como dominio a todos a todos los reales y como conjunto los reales y como conjunto imagen los reales positivos incluido el cero. los reales positivos incluido el cero. El valor mínimo (en la imagen) de El valor mínimo (en la imagen) de

esta función será para esta función será para xx = 0, = 0, obteniendo el punto (0, 0), al que obteniendo el punto (0, 0), al que

denominaremos vértice de la denominaremos vértice de la parábola.parábola.

x 2

► Una Una función cuadráticafunción cuadrática es toda función es toda función que pueda escribirse de la forma que pueda escribirse de la forma f(x) = a f(x) = a + b x + c + b x + c, donde , donde a, b y ca, b y c son números son números cualesquiera, con la condición de que cualesquiera, con la condición de que aa sea distinto de 0 . sea distinto de 0 .

x 2

La función cuadrática más sencilla La función cuadrática más sencilla es f(x) = cuya gráfica es:es f(x) = cuya gráfica es:

► x = -3 -2 -1 -0'5 0 0'5 1 2 3 x = -3 -2 -1 -0'5 0 0'5 1 2 3 ► f(x) = 9 4 1 0'25 0 0'25 1 4 9f(x) = 9 4 1 0'25 0 0'25 1 4 9► Esta curva simétrica se llama parábola. Esta curva simétrica se llama parábola.

x 2

x 2

► Trace la gráfica de Trace la gráfica de g(x) = x2 – g(x) = x2 – 44

Al comparar las tablas de valores para g(x) = x2 - 4 y f(a) = x2 que se muestran en la figura 27, podemos ver que para valores correspondientes de x, los valores y de g son cada uno de 4 menos que los de f..

Véase la figura 27. El vérti ce de esta parábola, en este caso el punto más bajo, está en (0, -4). El eje de la parábola es la recta vertical x = 0.

g(x) = x2 – 4 f(x) = x2

x y

-2-1012

0-3-4-30

x y

-2-1012

41014 g(x) = x2 – 4

f(x) = x2

- 2

(0.0) 1

(0.-4)

x

y

► Trace la gráfica de Trace la gráfica de g(x) g(x) = (x - = (x - 4)24)2

Al comparar los valores que aparecen con la Al comparar los valores que aparecen con la figura 28 se observa que la gráfica de figura 28 se observa que la gráfica de g(x) g(x) = = (x - (x - 4)24)2es la misma que la de es la misma que la de f(x)f(x) = = x2, x2, pero pero trasladada 4 unidades a la derecha.trasladada 4 unidades a la derecha.

El vértice está en (4, 0). Como se muestra El vértice está en (4, 0). Como se muestra en la figura 28, el eje de esta parábola es la en la figura 28, el eje de esta parábola es la recta vertical recta vertical x = 4.x = 4.

g(x) = (x – 4)2 f(x) = x2

x y

23456

0-3-4-30

x y

-2-1012

41014

g(x) = (x2 – 4)2f(x) = x2

4

(0.0) (4,0)x

y

x = 4

► Trace la gráfica de la función cuadrática Trace la gráfica de la función cuadrática f(xf(x) ) = = x2 - x - 6.x2 - x - 6.

► Como Como a > 0a > 0, la parábola abrirá hacia arriba. Ahora , la parábola abrirá hacia arriba. Ahora encuentre la intersección con el eje encuentre la intersección con el eje y.y.

f(xf(x) = ) = x2 - x – 6x2 - x – 6f(0f(0) = 0) = 02 - x - 62 - x - 6 Determine Determine f(0)f(0)f(0f(0) = ) = - 6 - 6

► La intersección en el eje de La intersección en el eje de y y es es (0, -6)(0, -6). Ahora . Ahora encuentre las intersecciones en el eje encuentre las intersecciones en el eje x.x.

f(xf(x) = ) = x2 - x – 6x2 - x – 600 = = x2 - x – 6x2 - x – 6 sea sea f(x) = 0f(x) = 000 = = (x - 3) (x + 2)(x - 3) (x + 2) FactoriceFactoricex - 3 = 0 x - 3 = 0 o o x + 2 = 0x + 2 = 0 Igual cada factor a 0 y Igual cada factor a 0 y

resuelva resuelva x = 3x = 3 o o x x = -2= -2

► Las intersecciones en el eje Las intersecciones en el eje x x son (3,0) y (-2,0). son (3,0) y (-2,0). El vértice, que se encontró en el ejemplo 6, es El vértice, que se encontró en el ejemplo 6, es (1/2, - 25/4). Localice los puntos encontrados (1/2, - 25/4). Localice los puntos encontrados hasta ahora, y ubique cualquier punto adicional hasta ahora, y ubique cualquier punto adicional como sea necesario. Aquí la simetría de la como sea necesario. Aquí la simetría de la gráfica es útil. La gráfica se muestra en la gráfica es útil. La gráfica se muestra en la figura 30figura 30

0

(0,-6)

(-1,-4)

(- 2,0) (3,0)x

y

x=½ f(x) = x2 - x – 6

)4

25

2

1(

(2,-4)

Como hemos visto, el vértice de una parábola Como hemos visto, el vértice de una parábola vertical es el punto más alto o el punto más vertical es el punto más alto o el punto más bajo de la parábola. La ordenada del vértice bajo de la parábola. La ordenada del vértice da el valor máximo o mínimo de y, mien tras da el valor máximo o mínimo de y, mien tras que la abscisa indica en dónde ocurre ese que la abscisa indica en dónde ocurre ese máximo o mínimo.máximo o mínimo.

► Resolución de problemasResolución de problemasEn muchos problemas prácticos necesitamos En muchos problemas prácticos necesitamos conocer el valor más grande o el más pequeño conocer el valor más grande o el más pequeño de alguna cantidad. Cuando esa cantidad de alguna cantidad. Cuando esa cantidad puede expresarse por medio de una fun ción puede expresarse por medio de una fun ción cuadrática cuadrática f(x f(x ) = ) = ax2 + bx + c, ax2 + bx + c, como en el como en el ejemplo siguiente, el vértice puede usarse para ejemplo siguiente, el vértice puede usarse para determinar el valor deseado.determinar el valor deseado.

FUNCIONES FUNCIONES CUBICASCUBICAS

LA FUNCIÓN CÚBICALA FUNCIÓN CÚBICA

Las funciones cúbicas son las que se Las funciones cúbicas son las que se expresan mediante un polinomio de expresan mediante un polinomio de segundo grado:segundo grado:

Una función de tercer grado, es llamada Una función de tercer grado, es llamada función cúbica, y tiene la formafunción cúbica, y tiene la forma

f(x)=ax3+bx2+cx+df(x)=ax3+bx2+cx+d donde donde aa (distinto de 0), (distinto de 0), bb, , c c y y d d son son

números reales que conocemos como números reales que conocemos como coeficientes del polinomio; y su gráfica coeficientes del polinomio; y su gráfica recibe el nombre de cúbica.recibe el nombre de cúbica.

DOMINIO Y RECORRIDO DE DOMINIO Y RECORRIDO DE FUNCIONES CÚBICASFUNCIONES CÚBICAS

►La función cúbica f(x)= La función cúbica f(x)= ax3+bx2+cx+d tiene como dominio y ax3+bx2+cx+d tiene como dominio y como recorrido el conjunto de los como recorrido el conjunto de los números reales (. Para graficar números reales (. Para graficar estas funciones, hay que elaborar una estas funciones, hay que elaborar una tabla de valores.tabla de valores.

EJEMPLO: Grafique y obtenga el dominio y el EJEMPLO: Grafique y obtenga el dominio y el recorrido de f(x) = 2x3 + 3x2 – 12x.recorrido de f(x) = 2x3 + 3x2 – 12x.

Generamos una tabla de valores, graficamos Generamos una tabla de valores, graficamos y verificamos el dominio y el recorrido.y verificamos el dominio y el recorrido.

x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3

f(x) –32 9 20 13 0 –7 4 45

FUNCIONES POLINÓMICAS FUNCIONES POLINÓMICAS DE GRADO TRESDE GRADO TRES

►Todas estas funciones tienen dominio Todas estas funciones tienen dominio y recorrido R y son continuas. y recorrido R y son continuas. Respecto de los puntos de corte con Respecto de los puntos de corte con los ejes podemos decir que la gráfica los ejes podemos decir que la gráfica puede cortar al eje de abscisas en 1, 2 puede cortar al eje de abscisas en 1, 2 ó 3 puntos y al eje de ordenadas ó 3 puntos y al eje de ordenadas siempre en el punto (0,d)siempre en el punto (0,d)

Las gráficas de funciones Las gráficas de funciones cúbicascúbicas

► Las gráficas de estas funciones cúbicas son Las gráficas de estas funciones cúbicas son de cuatro tipos exclusivamente, que de cuatro tipos exclusivamente, que distinguiremos por los extremos y los puntos distinguiremos por los extremos y los puntos de inflexión: de inflexión:

► - Sin extremos, el punto de inflexión separa - Sin extremos, el punto de inflexión separa la región cóncava de la convexa o la la región cóncava de la convexa o la convexa de la cóncava. convexa de la cóncava.

► - Con dos extremos, un máximo y un - Con dos extremos, un máximo y un mínimo, el punto de inflexión separa la mínimo, el punto de inflexión separa la región convexa de la cóncava o un mínimo y región convexa de la cóncava o un mínimo y un máximo, separando el punto de inflexión un máximo, separando el punto de inflexión la región cóncava de la convexa. la región cóncava de la convexa.