Universidad Nacional Autonoma de Mexico

Facultad de Ciencias

Calculo I

Profesor: Dr. Joel Garcıa Leon

Ayudantes:Zulma Angelica Morales Castillo y Susana Frıas Gonzalez

Estudiante:Pina Lopez Yair Israel

December 3, 2014

1 CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD

Ya sabemos como determinar si una función es estric. creciente o decrecienteen un punto. Pero nos interesa determinar si la función crece o decrece deforma cóncava o convexa.Nuestra finalidad va a ser definir y caracterizar las funciones cóncavas o

convexas en un punto.

1.1 Función cóncava en un punto

Dada una función continua en [a, b], derivable en ]a, b[. Sea x0 ∈]a, b[Diremos que una función y = f(x) es cóncava en un punto x0; siempre

que podamos encontrar un entorno de centro x0 y de radio δ (suficientementepequeño) de tal manera que en dicho entorno la recta tangente a la función enese punto quede por debajo de la gráfica de f (salvo en el punto de tangenciaP (x0, f(x0)) )f es cóncava en x0 ⇔ ∃ δ > 0 (tan pequeño como queramos) tal que

∀x ∈ Eδ∗(x0) ⊂]a, b[ siempre se verifica que yt(x) < f(x)Es decir que

yt(x) = f0(x0)(x− x0) + f(x0) < f(x)

∀x ∈ Eδ∗(x0) =]x0 − δ, x0 + δ[∼ {x0} ⊂]a, b[f 0(x0)(x− x0) < f(x)− f(x0) ∀x ∈ Eδ∗(x0) =]x0 − δ, x0 + δ[∼ {x0} ⊂]a, b[Ejemplo: La funció y = x lnx es cóncava en el punt P (1, 0)

x 543210

8

6

4

2

0

En ese punto P la ecuación de su recta tangente es y = x − 1. Fíjateque alrededor de ese punto, los puntos de la gráfica de la función quedan porencima de esa recta tangente.

1

1.1.1 Caracterización de las funciones cóncavas

Teorema Sea f una función continua en [a, b], derivable hasta el orden dos∀x ∈]a, b[. Si f 0 es estrictamente creciente en ]a,b[⇔ f es cóncava en]a, b[

Demostración de ⇒ 1

Método reducción al absurdoSupongamos que f no es concava en ]a, b[→ ∃x0 ∈]a, b[ en el que f no es

cóncavaAl ser f no cóncava en x0 podemos afirmar que ∀δ > 0 (con Eδ∗(x0) ⊂

]a, b[) ∃x ∈ Eδ∗(x0) =]x0 − δ, x0 + δ[∼ {x0} tal que yt(x) ≥ f(x)Es decir:

f 0(x0)(x− x0) + f(x0) ≥ f(x) ∀x ∈ Eδ∗(x0) =]x0 − δ, x0 + δ[∼ {x0}f 0(x0)(x− x0) ≥ f(x)− f(x0) ∀x ∈ Eδ∗(x0) =]x0 − δ, x0 + δ[∼ {x0}

Posibilidades:

a) Si x > x0 entonces f 0(x0) ≥ f(x)− f(x0)x− x0

Como la función f verifica las hipótesis del Teorema del Valor Medio en

[x0, x],entonces podemos afirmar que ∃c ∈]x0, x[⊂]a, b[ tal que f(x)− f(x0)x− x0 =

f 0(c)Así pues:Hemos encontrado dos números reales c y x0 ∈]a, b[ tal que f 0(x0) ≥ f 0(c)

siendo c > x0.Podemos afirmar que entonces, la función f 0 no es estrictamentecreciente.Lo cual es absurdo; está en contradición con la hipótesis de que f 0 es

estrictamente creciente en ]a, b[

1Ayuda:

• Diremos que una función g es estrictamente creciente en ]a, b[⇔ ∀ c, t ∈]a, b[ g(c) <g(t) siempre que c < t

• g no es estrictamente creciente en ]a, b[⇔ ∃ c, t ∈]a, b[ con c < t tal que g(c) ≥ g(t)• g no es estrictamente creciente en ]a, b[⇔Encontramos, al menos dos números reales, c y t con c < t , del intervalo ]a, b[ tal que g(c) no es menor que g(t)

2

b) Si x < x0 entonces f 0(x0) ≤ f(x)− f(x0)x− x0

Como la función f verifica las hipótesis del Teorema del Valor Medio en

[x, x0],entonces podemos afirmar que ∃c ∈]x, x0[⊂]a, b[ tal que f(x)− f(x0)x− x0 =

f 0(c)Así pues:Hemos encontrado dos números reales c y x0 ∈]a, b[ tal que f 0(x0) ≤

f 0(c) siendo x0 > c. Podemos afirmar que entonces, la función f 0 no esestrictamente creciente.Lo cual es absurdo; está en contradición con la hipótesis de que f 0 es

estrictamente creciente en ]a, b[Como en ambas situaciones llegamos a un absurdo. Entonces lo que

hemos supuesto es falsoDemostración de ⇐Por ser f cóncava en ]a, b[→ entonces f es cóncava ∀x0 ∈]a, b[Por lo tanto sea cual sea x0 ∈]a, b[ siempre podremos encontrar un δ > 0

(tan pequeño como queramos) tal que ∀x ∈ Eδ∗(x0) ⊂]a, b[ siempre se verificaque yt(x) < f(x)Es decir que

f 0(x0)(x− x0) < f(x)− f(x0) ∀x ∈ Eδ∗(x0) =]x0 − δ, x0 + δ[∼ {x0} ⊂]a, b[

Posibilidades:

a) Si x > x0 entonces f 0(x0) <f(x)− f(x0)x− x0

Como la función f verifica las hipótesis del Teorema del Valor Medio en

[x0, x],entonces podemos afirmar que ∃c ∈]x0, x[⊂]a, b[ tal que f(x)− f(x0)x− x0 =

f 0(c)Por lo tanto:Si x0 < c < x entonces f 0(x0) < f 0(c) con c ∈]x0, x[

b) Si x < x0 entonces f 0(x0) >f(x)− f(x0)x− x0

3

Como la función f verifica las hipótesis del Teorema del Valor Medio en

[x, x0],entonces podemos afirmar que ∃c ∈]x, x0[⊂]a, b[ tal que f(x)− f(x0)x− x0 =

f 0(c)Por lo tanto:Si x < c < x0 entonces f 0(c) < f 0(x0) con c ∈]x0, x[En ambos casos hemos comprobado que:∀ x0 ∈]a, b[ siendo c 6= x0 y c ∈]a, b[ siempre se verifica que:Si x0 < c entonces f 0(x0) < f 0(c)Si c < x0 entonces f 0(c) < f 0(x0)

)→ f 0 es est. cre-

ciente en ]a, b[Interpretación geométrica de este teorema

x 32.521.510.5

4

3

2

1

0

-1

Si a medida que las x son cada vez mayores dentro del intervalo ]a, b[,siempre observamos que las pendientes de sus correspondientes rectas tan-gentes son cada vez mayores⇔la función f es siempre cóncava en ]a, b[

1.1.2 Condición suficiente de concavidad

Teorema Sea f una función continua en [a, b] y tal que f 00(x0) > 0 siendox0 ∈]a, b[.Con estas hipótesis siempre podremos afirmar que la funciónf es cóncava en x0

DEMOSTRACION

4

Por ser f 00(x0) > 0→ f 0 es est. creciente en x0 , y por lo tanto en virtuddel teorema de caracterización de funciones cóncavas podemos afirmar que fserá cóncava en x0

1.2 Función convexa en un punto

Dada una función continua en [a, b], derivable en ]a, b[. Sea x0 ∈]a, b[Diremos que una función y = f(x) es cóncava en un punto x0; siempre

que podamos encontrar un entorno de centro x0 y de radio δ (suficientementepequeño) de tal manera que en dicho entorno la recta tangente a la función enese punto quede por encima de la gráfica de f (salvo en el punto de tangenciaP (x0, f(x0)) )

f es cóncava en x0 ⇔ ∃ δ > 0 (tan pequeño como queramos) tal que∀x ∈ Eδ∗(x0) ⊂]a, b[ siempre se verifica que yt(x) > f(x)Es decir que

yt(x) = f0(x0)(x− x0) + f(x0) > f(x)

∀x ∈ Eδ∗(x0) =]x0 − δ, x0 + δ[∼ {x0} ⊂]a, b[f 0(x0)(x− x0) > f(x)− f(x0) ∀x ∈ Eδ∗(x0) =]x0 − δ, x0 + δ[∼ {x0} ⊂]a, b[

Ejemplo: La funció y =x

1 + x2es convexa en el punt P (

1

2,2

5)

x 2.521.510.50

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

-0.1

En ese punto P la ecuación de su recta tangente es y =12

25x+

4

25. Fíjate

que alrededor de ese punto, los puntos de la gráfica de la función quedan pordebajo de esa recta tangente.

5

1.2.1 Caracterización de las funciones convexas

Teorema Sea f una función continua en [a, b], derivable hasta el orden dos∀x ∈]a, b[. Si f 0 es estrictamente decreciente en ]a,b[⇔ f es convexaen ]a, b[

Demostración de ⇒ 2

Método reducción al absurdoSupongamos que f no es convexa en ]a, b[→ ∃x0 ∈]a, b[ en el que f no es

convexaAl ser f no convexa en x0 ; podemos afirmar que ∀δ > 0 (siendoEδ∗(x0) ⊂

]a, b[) ∃x ∈ Eδ∗(x0) =]x0 − δ, x0 + δ[∼ {x0}tal que yt(x) ≤ f(x)Es decir:

yt(x) = f0(x0)(x− x0) + f(x0) ≤ f(x) ∀x ∈ Eδ∗(x0) =]x0 − δ, x0 + δ[∼ {x0}

f 0(x0)(x− x0) ≤ f(x)− f(x0) ∀x ∈ Eδ∗(x0) =]x0 − δ, x0 + δ[∼ {x0}

Posibilidades:

a) Si x > x0 entonces f 0(x0) ≤ f(x)− f(x0)x− x0

Como la función f verifica las hipótesis del Teorema del Valor Medio en

[x0, x],entonces podemos afirmar que ∃c ∈]x0, x[⊂]a, b[ tal que f(x)− f(x0)x− x0 =

f 0(c)Así pues:Hemos encontrado dos números reales c y x0 ∈]a, b[ tal que f 0(x0) ≤ f 0(c)

siendo x0 < c. Podemos afirmar entonces, la función f 0 no es estrictamentedecreciente.Lo cual es absurdo; ya que está en contradición con la hipótesis de que

f 0 es estrictamente decreciente en ]a, b[

2Ayuda:

• Diremos que una función g es estrictamente decreciente en ]a, b[⇔ ∀ c, t ∈]a, b[g(c) < g(t) siempre que c > t

• g no es estrictamente decreciente en ]a, b[⇔ ∃ c, t ∈]a, b[ con c > t tal que g(c) ≥ g(t)• g no es estrictamente creciente en ]a, b[⇔Encontramos , al menos dos números reales, c y t siendo c > t , del intervalo ]a, b[ tal que g(c) no es menor que g(t)

6

b) Si x < x0 entonces f 0(x0) ≥ f(x)− f(x0)x− x0

Como la función f verifica las hipótesis del Teorema del Valor Medio en

[x, x0],entonces podemos afirmar que ∃c ∈]x, x0[⊂]a, b[ tal que f(x)− f(x0)x− x0 =

f 0(c)Así pues:Hemos encontrado dos números reales c y x0 ∈]a, b[ tal que f 0(x0) ≥ f 0(c)

siendo x0 > c.Podemos afirmar entonces que la función f 0 no es estrictamentedecreciente.Lo cual es absurdo; ya que está en contradición con la hipótesis de que

f 0 es estrictamente decreciente en ]a, b[Como en ambas situaciones llegamos a un absurdo. Entonces lo que

hemos supuesto es falsoDemostración de ⇐Por ser f convexa en ]a, b[→ entonces f es convexa ∀x0 ∈]a, b[Por lo tanto sea cual sea x0 ∈]a, b[ siempre podremos encontrar un δ > 0

(tan pequeño como queramos) tal que ∀x ∈ Eδ∗(x0) ⊂]a, b[ siempre se verificaque yt(x) > f(x)Es decir que

yt(x) = f0(x0)(x− x0) + f(x0) > f(x)

∀x ∈ Eδ∗(x0) =]x0 − δ, x0 + δ[∼ {x0} ⊂]a, b[f 0(x0)(x− x0) > f(x)− f(x0) ∀x ∈ Eδ∗(x0) =]x0 − δ, x0 + δ[∼ {x0}

Posibilidades:

a) Si x > x0 entonces f 0(x0) >f(x)− f(x0)x− x0

Como la función f verifica las hipótesis del Teorema del Valor Medio en

[x0, x],entonces podemos afirmar que ∃c ∈]x0, x[⊂]a, b[ tal que f(x)− f(x0)x− x0 =

f 0(c)Por lo tanto:Si x0 < c < x entonces f 0(x0) > f 0(c) con c ∈]x0, x[

b) Si x < x0 entonces f 0(x0) <f(x)− f(x0)x− x07

Como la función f verifica las hipótesis del Teorema del Valor Medio en

[x, x0],entonces podemos afirmar que ∃c ∈]x, x0[⊂]a, b[ tal que f(x)− f(x0)x− x0 =

f 0(c)Por lo tanto:Si x < c < x0 entonces f 0(c) > f 0(x0) con c ∈]x0, x[En ambos casos hemos comprobado que:∀ x0 ∈]a, b[ siendo c 6= x0 y c ∈]a, b[ siempre se verifica que:Si x0 < c entonces f 0(x0) > f 0(c)Si c < x0 entonces f 0(c) > f 0(x0)

)→ f 0 es est. de-

creciente en ]a, b[

1.2.2 Condición suficiente de convexidad

Teorema Sea f una función continua en [a, b] y tal que f 00(x0) < 0 siendox0 ∈]a, b[.Con estas hipótesis siempre podremos afirmar que la funciónf es convexa en x0

DEMOSTRACIONPor ser f 00(x0) < 0 → f 0 es est. decreciente en x0 , y por lo tanto en

virtud del teorema de caracterización de funciones convexas podemos afirmarque f será convexa en x0

1.3 Procedimientos para determinar los intervalos deconcavidad y convexidad

Estos dos condiciones suficientes de concavidad y convexidad nos indican quepara determinar los intervalos de concavidad y convexidad de una función,será suficiente con estudiar el signo de f 00

Exercise 1.1 Determinar los intervalos de concavidad y convexidad de lasfunciones

8

y =x2 − 2xx2 − 1 y = x− arctanx y = x4 − x2

y =x− 1(x+ 2)2

y =x+ 3

x2 + 1y = x3 − x2

y = ln(1− x2) y =x2 − 2x2 + 1

y =x− 2x2 + 1

y = x · ex y = x2 · ex y =x3 − 1(x+ 2)2

1.4 Definición de punto de inflexión

Diremos que una función y = f(x) tiene en P (x0, f(x0)) un punto de inflexiónsi en él la función pasa de ser cóncava a convexa o de convexa a cóncavaNOTA: Fíjaos que no hemos afirmado todavía nada acerca de la deriv-

abilidad de f en x0 (así pues, puede ser o no derivable)

1.4.1 Clasificación puntos de inflexión

— Pto inflexi. convexo-cóncavo de tangente no horizontal

— Pto inflexi. cóncavo-convexo de tangente no horizontal

— Pto inflexi. convexo-cóncavo de tangente horizontal

— Pto inflexi. cóncavo-convexo de tangente horizontal

— Pto inflexi. convexo-cóncavo no derivable

— Pto inflexi. cóncavo-cconvexo no derivable

1.4.2 Condición necesaria para la determinación de punto de in-flexión

TeoremaSea f una funcion continua en [a, b]Sea x0 ∈]a, b[ / ∃ f 00(x0)Sea P (x0, f(x0)) un punto de inflexion

=⇒ f 00(x0) = 0

DEMOSTRACIONPor el método de reducción al absurdo.Supongamos que f 00(x0) 6= 0;entonces

sólo se pueden presentar las siguientes situaciones .f 00(x0) > 0 o que f00(x0) < 0Posibilidades:

9

1) Si f 00(x0) > 0 la función será cóncava en x02) Si f 00(x0) < 0 la función será convexa en x0En ambos casos obtenemos una contradicción con la hipotésis de quef

tiene en x0 un pto de inflex. Por lo tanto lo que hemos supuesto es falso.Así pues, en toda función que verifique las hipótesis dadas, siempre se

verificará que f 00(x0) = 0NOTA: El recíproco de este teorema no es cierto, ya que existen funciones

cuya segunda derivada en un punto es nula y sin embargo no es un punto deinflexión. Por ejemplo y = x4 en x = 0 verifica que f 00(0) = 0 y en P (0, 0)tiene un mínimo local

1.4.3 Condiciones suficientes puntos de inflexión

A) CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA TEOREMA A1Sea f continua en [a, b]Sea x0 ∈ ]a, b[Si ∃h > 0 / ∀x ∈]x0 − h, x0 + h[⊂]a, b[ existe f 00(x) salvo quizás en x0f 00(x) < 0 ∀x ∈]x0 − h, x0[(convex. a la izq. de x0)f 00(x) > 0 ∀x ∈]x0, x0 + h[ (cóncav. a la der. de x0)

→

P (x0, f(x0)) es un punto de inflexión convexo-cóncavoTEOREMA A2Sea f continua en [a, b]Sea x0 ∈ ]a, b[Si ∃h > 0 / ∀x ∈]x0 − h, x0 + h[⊂]a, b[ existe f 00(x) salvo quizás en x0f 00(x) > 0 ∀x ∈]x0 − h, x0[(cóncav. a la izq. de x0)f 00(x) < 0 ∀x ∈]x0, x0 + h[ (convex. a la der. de x0)

→

P (x0, f(x0)) es un punto de inflexión cóncavo-convexoCOMENTARIO: Estos dos teoremas A1,A2 nos aseguran que en aquellos

puntos de continuidad en los que cambie el signo de la segunda derivada habráun pto de inflexión siempre que la función sea continua en dicho punto(si lafunción pasa de ser cóncava a convexa ó de convexa a cóncava)

B) CRITERIO DE LA TERCERA DERIVADA TEOREMA B1Sea f continua en [a, b]Sea x0 ∈ ]a, b[Si f 00(x0) = 0f 000(x0) 6= 0

→ P (x0, f(x0)) es un punto de inflexión

Demostración

10

Si llamamos F (x) = f 00(x), entonces F 0(x) = f 000(x)Partimos de la hipótesis de que f 000(x0) 6= 0;→ F 0(x0) 6= 0 , por lo tanto

sólo se pueden presentar dos posibilidades ó F 0(x0) > 0 ó F 0(x0) < 0Veamos que ocurriría si F 0(x0) > 0 (1aPosibi)Por ser F 0(x0) > 0 →F es estrictamente creciente en x0,entonces ∃h > 0

/ ∀ ∈ ]x0 − h, x0 + h[⊂ ]a, b[ se verifica que :a) Si x < x0 → f 00(x)=F (x) < F (x0) = f 00(x0) = 0 (es decir f 00(x) < 0)

la función es convexa a la izquierda de x0b) Si x > x0 → f 00(x)=F (x) > F (x0) = f 00(x0) = 0 (es decir f 00(x) < 0)

la función es cóncava a la derecha de x0Por lo tanto en virtud del teorema A1 , la función presenta en x0 un pto

de inflexiónRazona tú, que ocurriría en la 2a Posibil.Procedimiento para calcular puntos de inflexiónEste teorema B1 nos permite enunciar el siguiente método para determi-

nar los ptos de inflexión de una función1) Se calcula la primera derivada2) Se calcula la segunda derivada3) Los valores que anulan la derivada segunda serán los posibles ptos de

inflexión. Sea x0 uno de ellos4) Calculamos la 3a derivada y sustituimos dicho punto x0 en ellaCasosa) Si f 000(x0) 6= 0→ P (x0, f(x0)) Pto de inflex.c) Si f 000(x0) = 0 , entonces tendremos que recurrir al estudio del signo

de la derivada segunda, a la derecha y a la izquierda de dicho punto

Exercise 1.2 Determinar los ptos de inflexión de las funciones siguientes:

y = x5 − 5x4 y = x3 − 3x2 y = x4 − x2y =

x− 1(x+ 2)2

y =x+ 3

x2 + 1y = x3 − x2 − x

y = ln(1− x2) y =x2 − 2x2 + 1

y =x− 2x2 + 1

y = x · ex y = x2 · ex y =x3 − 1(x+ 2)2

Nota :El recíproco de estos teoremas A1, A2 y B1 no es cierto, ya queexisten funciones que tienen ptos de inflex. en algún pto y sin embargo en élno son derivables

11