Funciones complejas como flujosPodemos interpretar también w = f(z) como el flujo de un fluido 2-dimensional considerando f(z) como un vector. Este vector especifica la velocidad y el sentido del flujo en el punto z.

Si x(t) + iy(t) es una representación del camino de un objeto en el flujo, el vector tangente T = x’(t) + iy’(t) debe coincidir con f(x(t) + iy(t)). Cuando f(z) = u(x, y) + iv(x, y), se sigue que el camino debe satisfacer

dx/dt = u(x, y)dy/dt = v(x, y)

Llamaremos a la familia de soluciones las líneas de flujo asociado con f(z).

Encontrar las líneas de flujo asociado con:

.)()( ,)()( 221 zzfbzzfa

. hipérbola la sobre cae )()(

punto el Así.)(,)( que modo de

/ ,/

)()(

21

21

1

ccxytiytx

ectyectx

ydtdyxdtdx

iyxzfa

tt

una familia de círculos que tienen centros en el eje y, pasando por el orígen.

, essolución la Así

2 entonces

2/ ,/

2)()()(

222

22

22

2222

ycyx

yx

xy

dx

dy

xydtdyyxdtdx

xyiyxzzfb

TRANSFORMACIÓNDE

YUKOVSKI por Diego Represa

z

1zF(z)

Teoría Potencial en aerodinámica

Hipótesis:

-Despreciable la viscosidad.

-Capa límite adherida.

-V<500 km/h

-Bidimensional (ala infinita).

Teoría Potencial en aerodinámica

Consecuencias:

Campo de velocidades entorno al perfil es irrotacional. Deriva de un potencial:

z

x k W i UV

y /W

x /U

Teoría Potencial en aerodinámica

es armónica porque debe cumplir la ecuación de continuidad existe que es conjugada armónica.

Definimos Potencial Complejo f(t):

(que será analítica)

depende de las condiciones de contorno.

función potencial de velocidades

función de corriente

i f(t)

Transformaciones conformes

Problema: se tiene un perfil y se quiere saber su función potencial para hallar el campo de velocidades entorno a él, para después, por la ecuación de Bernoulli calcular su campo de presiones.

Método: se transforma el perfil en otro, tal que, sea más fácil calcular su potencial complejo. Por ejemplo: en una circunferencia cuyo campo de velocidades, se supone sea estudiado ya.

Transformaciones conformes Plano t Plano

t = F ( )

1º) Transformar los dominios

2º) Transformar las condiciones de contorno-impenetrabilidad-obstáculos sean líneas de corriente-condiciones en el infinito-condiciones impuestas por las singularidades.

3º) Hallar f (t) que cumpla las condiciones y :

f(t) = f (F ( )) = F ( )

Transformada de Yukovski

ta

t2

Transformada de Yukovski

Transformada de Yukovski

Transformada de Yukovski

Transformada de Yukovski

i

iZ)(Xa

iZ)a(X a

t

sinr Z

cosr -X iaZaX Re tt

2

i0

t ]

ZX1

[1 X a 22

]ZX

1-[1 Za 22