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5. Límites de funciones definidas a trozos Editar 0 1 …

Una función definida a trozos es aquella en la que para cada valor de x que se le pueda asignar, la función puede variar,como en el siguiente ejemplo:

, en el que si x es menor o igual que 1, la función que usaremos es la primera, mientras que si x es mayor que 1, usaremos las segunda.

A continuación, veremos cómo se calculan los límites para este tipo de funciones. En este caso, suponemos que nos piden el siguiente enunciado:- Calcula el límite de la función definida a trozos cuando x tiende a 0, 1 y 3.

Empezaremos por el límite de 0, que no presenta ningún problema aparente, ya que aparece la indeterminación 0/0, que se puede resolver factorizando y sustituyendo:

El siguiente paso es hacer el límite de 1:

En este caso en concreto, es obligatorio hacer los límites laterales, ya que en esta función definida a trozos, el número en el cual cambia la expresión que se tiene que utilizar coincide con el límite que tenemos que calcular, y así lo hacemos:

Como era de esperar, observamos que los límites laterales son diferentes, ya que las funciones son diferentes.

Por último, calculamos el límite cuando x tiende a 3, que no presenta problema alguno:

Con esto, podemos calcular la continuidad de una función en un punto.

1

2

7. Estudio de la continuidad de una función en un punto Editar 0 2 … Ahora explicaremos como se estudia la continuidad de una función en un punto. Hay un tipo de continuidad y 3 de discontinuidad (de salto, asintótica y evitable).Si y=f(x), x=aPara que una función sea continua en un punto, se deben cumplir estas tres condiciones:

: existe un valor y para la variable x.

: los límites laterales son iguales al límite.

: la imagen de la función es igual al límite.

Si no se cumplen las trs condiciones, hablamos de una discontinuidad:

: no existe un número finito como imagen.

Encontramos dos casos:

: si los límites dan infinito, se trata de una discontinuidad asintótica.

: si existe un número finito como límite, estamos hablando de una discontinuidad evitable.

Luego, hay dos casos más de discontinuidades:

: si no existe el límite para ese número, y los límites laterales no son iguales, se trata de una discontinuidad de salto.

: si la imagen de la función no es igual al límite, es una discontinuidad evitable.

Ahora veremos un ejemplo de cómo estudiar la discontinuidad de una función:

Consideramos la siguiente función

Primero estudiaremos el dominio:

Tenemos que calcular los límites para aquellos números que no pertenecen a la función, y para los números para los cuáles se cambia de rama:

Empezaremos por el del cambio de rama:

2

3

Como se tienen que calcular los laterales, los hacemos:

Nos encontramos esto:

Por lo tanto, f tiene discontinuidad de salto en x = -1

En este caso, f tiene discontinuidad asintótica en x = -2

Por último, f tiene discontinuidad evitable en x = 1.

7.3  Ejercicios de continuidad

Ejercicios resueltos de continuidad, pasos para estudiar la continuidad de una función. Estudiar los distintos tipos de discontinuidad que puede presentar una función.

Ejercicios resueltos de continuidad

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Ejercicios con soluciones

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Soluciones

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