Función exponencial Reseña histórica:

Los logaritmos se inventaron alrededor de 1590 por John Napier (1550-1617) y Jobst Bürgi (1552-1632) de manera independiente. Napier, cuyo trabajo tuvo  mayor influencia, era un lord escocés, de carácter muy reservado cuyos vecinos pensaban que tenía un pacto con el diablo. Su enfoque de los logaritmos era muy diferente al nuestro; se basaba en la relación entre secuencias aritméticas y geométricas y no en la actual como función inversa (recíproca) de las funciones exponenciales. La tablas de Napier, publicadas en 1614, contenían los llamados logaritmos naturales y eran algo difíciles de usar. Un profesor londinense, Henry  Briggs, se interesó en las tablas y visitó a Napier. En sus conversaciones, ambos desarrollaron la idea de los logaritmos comunes y Briggs convirtió las tablas de Napier en las tablas de logaritmos comunes que fueron publicadas en 1617. Su importancia para el cálculo fue inmediatamente reconocida y alrededor de 1650 se imprimían en lugares tan lejanos como China. Dichas tablas siguieron siendo una poderosa herramienta de cálculo hasta el advenimiento de las calculadoras manuales de bajo precio alrededor de 1972, lo que ha disminuido su importancia como instrumento de cálculo, pero no su importancia teórica. Un efecto colateral de la invención de los logaritmos fue la popularización de la notación del sistema decimal  para los números reales.

Funciones exponencialesLas funciones exponenciales son las funciones que tienen la variable independiente   x   en el exponente, es decir, son de la forma:

Las características generales de las funciones exponenciales son: 1) El dominio de una función exponencial es R. 2) Su recorrido es   (0, +∞) .

3) Son funciones continuas. 4) Como   a0 = 1 , la función siempre pasa por el punto   (0, 1). La función corta el eje Y en el punto   (0, 1)   y no corta el eje X. 5) Como   a1 = a , la función siempre pasa por el punto   (1, a). 6) Si   a > 1   la función es creciente.    Si   0 < a < 1   la función es decreciente. 7) Son siempre concavas. 8) El eje X es una asíntota horizontal.

Características matemáticas:

Ejemplos:        Estas características se aprecian mejor con una representación gráfica como la que aparece al lado izquierdo. Ambas gráficas son continuas, pasan por el punto (0,1) y tienen como asíntota horizontal al eje de x. La gráfica color verde representa una función decreciente, el valor de la base está entre cero y uno. La gráfica color azul representa una función creciente, el valor de la base es mayor de uno.  

Ejemplo 2: Dibuje la gráfica de F(x)=2x+1 .Dominio: (-∞,∞)Alcance: (1,∞)  Como a=2>1 por lo tanto la gráfica de la función es creciente en todo su dominio.Pasa por el punto (0,2), que  es el intercepto en el eje de y, no hay intersecciones en el eje de x.limx→-∞(2x+1)=1 → y=1 es una asíntota horizontal por la izquierda

Ecuaciones Exponenciales     Al igual que se resuelven las ecuaciones, buscando el valor de la variable que hace cierta la igualdad. En las ecuaciones exponenciales se aplica el procedimiento de igualar las bases para luego igualar los exponentes y finalmente se despeja para la variable.

Ejemplo 3 :Resuelve la ecuación exponencial  2x-2 = 16.

     Inicialmente se igualan las bases de ambos lados de la ecuación. En este caso la base común es 2. Se necesita obtener el exponente de la base 2 que la transforma en 16. Después de pensar un poco notamos que el exponente correcto de la base 2 es 4. Luego aplicamos la regla, ‘’si las bases son iguales, los exponentes también son iguales’’. Finalmente se despeja la variable de la ecuación.

a se denomina base y k, coeficiente de la función exponencial proviene de que la variablefigura en el exponente.Analizaremos ahora la función f (x) = a x donde (k = 1)Para ello graficaremos la siguiente función:( ) x f x = 2

El dominio natural de la función exponencial es el conjunto de los números Realesdom( f ) =.Mientras que la imagen son los reales positivos Im( f ) = > 0 , siendo el eje de las abscisasuna asíntota2 horizontal.La función es creciente3 y pasa por el punto (0,1), que es la ordenada al origen.Al tener asíntota en el eje de las abscisas, la función no tiene raíces.Qué pasará ahora con la función

Aplicación en distintas ramas: Aplicación química: Se sabe que la masa de cierto material radioactivo disminuye en función del tiempo (t) según la función  m(t)= 60 . 2-5.t estandom en gramos y t en horas. ¿Después de cuánto tiempo la masa del material es de 30 gramos?

Aplicación en economía: Se calcula que el monto del capital, en millones de pesos, que tiene depositado un señor en el banco, en cualquier momento (t) meses puede ser calculado mediante la función f(t) = 7,5 . 1,02t .     Función: C = C0 ( ½ ) kt, donde C0 es la cantidad inicial de carbono, t es.      el número de años  que pasan. si la vida media del carbono 14 es 5730.      añosAplicaciones en la vida Investigaciones  policiales: Una persona es encontrada Muerta en su Departamento, la Brigada de Homicidios llego a las 10 de la noche, los datos recogidos por los Detectives fueron temperatura de la habitación 21ºC (A) ,  la temperatura del cadáver al ser encontrado fue de 29ºC y una hora después era   28ºC .Considerando la función: T(t) = A + (B – A ) e –kt

      Calcular el valor de K si t = 1          Con el dato anterior Determine la hora en que fue encontrado el cuerpo          Inerte si este tenía una temperatura de 37ºC cuando estaba vivo.

Aplicaciones en la vida diaria Caso heroico: Un joven muy valiente arriesga su vida por salvar a un niño. La radio informa después de una hora el 25% de la población escucha la noticia, Si el porcentaje de personas que escucha sigue el modelo exponencial:                F(t) = N ( 1 – 10-kt ), k se expresa en porcentaje, t en segundos       Determinar cuánto tiempo trascurre para que el 90% de la población sepa la noticia                     

Aplicaciones en Medicina: El contenido en gramos de un medicamento en el organismo humano, después de t horas de ingerido, se modela de acuerdo a la ecuación:       y = 100x5-0,5t , t ≥ 0 ¿Después de cuántas horas de ingerido el medicamento quedan 20 miligramos en él organismo?   ¿Cuántos miligramos de medicamento quedan en el organismo después de 4 horas de ingerido?Las funciones exponenciales son las que tienen más presencia en los fenómenos observables,  por lo que existen diversidad de situaciones  cuyo estudio implica el planteamiento de ecuaciones  exponenciales o logarítmicas. Ejemplo de ello  es la escala Rither. En ella se define la magnitud M de un terremoto en función de la amplitud A de sus ondas superficiales así:M=log A+C donde C =3,3+1,66 logD-logT es una constante que depende del periodo T de las ondas registradas en el sismógrafo y de la distancia D de éste al epicentro, en grados angulares. Si quisiésemos saber la amplitud (intensidad) de la onda sísmica tendríamos que resolver una ecuación logarítmica.

Problemas de aplicación y sus soluciones:

Integrantes:

- Mujica , Enzo- Pardini , Matias- Stanek , Ezequiel- Ziggiotto , Santiago