Cheereader Función delta de Dirac.

Paul Dirac (1902-1984) fue un físico teórico inglés, que dedicó su vida principalmente a la mecánica y electrodinámica cuántica, ganador del premio nobel junto con Erwin Schrödinger con el descubrimiento de nuevas teorías atómicas productivas, invento la ecuación de Dirac con la cual predijo entre otras cosas la existencia de antipartículas como el positrón, mostró que un monopolo magnético único explicaría la cuantificación de la carga eléctrica, en su famoso libro Principios de la Mecánica Cuántica introdujo las funciones de impulso unitario conocidas como funciones Delta de Dirac, a las cuales está dedicada esta exposición.

Funciones de Impulso.

En física, biología y ciencias aplicadas es común estudiar fenómenos de naturaleza impulsiva, es decir en los que trabajamos con una función que presenta magnitudes relativamente grandes en

un corto intervalo de tiempo y fuera de este son nulas, a este tipo de fenómenos se les pude asociar una ecuación de segundo orden, con coeficientes constantes no homogénea en donde el termino homogéneo que podemos denotar como una función g(t) es grande dentro de un corto

intervalo de tiempo pero cero fuera de este.

ay ´ ´+by ´+cy=g ( t ) (1 )

donde g (t ) grande para t0−τ<t <t0+τ y g (t )=0( fueradel intervalo)

Podemos entonces definir el impulso como una medida de la intensidad de una función (como la fuerza) como la siguiente integral:

I ( τ )=∫t 0−τ

t0+τ

g (t )dt (2 )

Si suponemos a t 0=0 y expresamos a g(t) a pedazos siendo τ una constante positiva y pequeña:

g (t )=d τ (t )={1/2 τ ,∧−τ< t<τ0 ,∧t ≥ τ o t ≤−τ

(3 )

Para las ecuaciones (2) observamos entonces que I ( τ )=1siempre que τ ≠0, así podemos idealizar la función de fuerza g (t )=d τ ( t ) para intervalos de tiempo más cortos cuando τ →0 y tomamos el límite:

limτ → 0

d τ ( t )=0 , t ≠0 (4 )

Como I ( τ )=1siempre que τ ≠0 y por definición de nuestra función de fuerza vemos que:

limτ → 0

I (τ )=1 , (5 )

Usando las últimas dos expresiones se define la función de impulso unitario δ ideal, que como su nombre lo indica, genera un impulso de magnitud uno para t=0 y nulo para todo t ≠0, asi esta nueva función cumple las siguientes propiedades:

δ (t )=0 ,t ≠0 ; (4 )∫−∞

∞

δ ( t ) dt=1 (Dichos limites dado que fuera del intervalo la integral es cero)

(5)

Esta función δ (t ) es la llamada función Delta de Dirac y no se conoce una función elemental que satisfaga tales propiedades, la función delta no cumple con las propiedades de una función a la que se le puede aplicar la transformada de Laplace, pero aun asi su tranformada puede quedar definida formalmente, es conveniente representar fenómenos impulsivos con la Delta de Dirac. Si generalizamos para tiempos iniciales iguales a t 0 obtenemos:

δ ( t−t0 )=0 , t ≠ t0 ; (6 ) ∫−∞

∞

δ (t−t 0 ) dt=1 (7)

Como δ (t ) se define como el límite de dτ ( t ) cuando τ →0 entonces:

L {δ ( t−t0 )}=limτ →0

L {dτ (t−t 0 )} (8 )L {dτ (t−t 0 )}=∫0

∞

e−st dτ (t−t 0 ) dt .

Suistituimos dτ (t−t 0 ) por su expresión en (3):

L {dτ (t−t 0 )}=12 e−s t 0 ( est−e−st )= senhsτsτ

e−s t 0.

Obtenemos su limite por medio de L´Hopital:

L {δ ( t−t0 )}=limτ →0

senhsτ

sτe−s t0=e−s t0 (9 )

Esta ecuación esta definida para todo t 0>0 se puede generalizar para t 0=0tomando el limite cuando t 0→0 en el segundo miembro de la ecuación (9)

L {δ ( t ) }= limt 0→0

e−s t0=1 (10)