Función de Transferencia en Sistemas Continuos UdeC …joseespi/SLD/543214_SLD_Cap_V.pdf · El...

© UdeC - DIEFunción de Transferencia en Sistemas Continuos

Problema Introducir la F. de T. de un sistema.

La salida de un S.L.D. que está representado por una ecuación diferencial está dada por,

1 11 ( ) 1 ( )

0 0 0 0 0

0 0 0

(0 ) (0 )

( ) ( )

m m i n ii i k k i k k

i i i

i i k i k

n n ni i i

i i i

i i i

b s b s u a s y

y s u s

a s a s a s

− −− − + − − +

= = = = =

= = =

= − +∑ ∑∑ ∑∑

∑ ∑ ∑0

0

( ) ( ) T.C.I.

mi

i

i

ni

i

i

b s

y s u s

a s

=

=

= +∑

∑

Def.: Se define la Función de Transferencia (F. de T.) a la función h(s) como el factor en la ecuación

de y(s) que multiplica la entrada u(s), considerando c.i. nulas. Por lo tanto,

1

0 1 1 0 1

1

1 1 0

0 1

( )( )

( )( )

( )

mmi

m m ii

i m m i

n nn ni n

i i

i i

s zb sb s b s b s b n s

h ss a s a s a d s

a s s p

−= − =

−−

= =

++ + + +

= = = =+ + + + +

∑ ∏

∑ ∏L

L.

Def.: Los polos de h(s) son las raíces del denominador d(s).

Def.: Los ceros de h(s) son las raíces del numerador n(s).

Def.: El valor de la respuesta en S.S. para entrada escalón de un sistema se conoce como ganancia dc.

En un sistema continuo se determina como,

0 0 0 0

lim ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) lim ( )1/ lim ( ) (0)t s s s sy t sy s sh s u s sh s s h s h

→∞ → → → →= = = = = .

y(s) = c(sI – A)-1bu(s) + du(s) = c( )

{ }

s

s

−−I A

I A

Adj

detbu(s) + du(s), Otra forma de definir la F. de T.

de un S.L.D. es utilizando la

representación en ecuaciones

de estado, h(s) = c(sI – A)-1b + d = c

( )

{ }

s

s

−−I A

I A

Adj

detb + d, h(0) = c( A)-1b + d

Capítulo V - Función de Transferencia 1 de 22 Sistemas Lineales Dinámicos - 543 214

© UdeC - DIE

Jl s⋅ ω⋅ km

va km ω⋅−

L s⋅ R+⋅ d ω⋅− Tl−= Tomando T.de L.

Despejando ia de la 1era ecuación y

reemplazando el resultado en la 2daωkm

Jl L⋅

1

s2 R

L

d

Jl

+

s⋅+

km2

d R⋅+

Jl L⋅+

⋅ va⋅1−

Jl

sR

L+

s2 R

L

d

Jl

+

s⋅+

km2

d R⋅+

Jl L⋅+

⋅ Tl⋅+=

Ordenadohwva s( )

km

Jl L⋅

1

s2 R

L

d

Jl

+

s⋅+

km2

d R⋅+

Jl L⋅+

⋅:= hwTl s( )1−

Jl

sR

L+

s2 R

L

d

Jl

+

s⋅+

km2

d R⋅+

Jl L⋅+

⋅:=

Ceros no hay z1R−

L:=

Polos p1

R

L

d

Jl

+

−R

L

d

Jl

+

2

4km

2d R⋅+

Jl L⋅⋅−+

2:= p1

R

L

d

Jl

+

−R

L

d

Jl

+

2

4km

2d R⋅+

Jl L⋅⋅−+

2:=

p2

R

L

d

Jl

+

−R

L

d

Jl

+

2

4km

2d R⋅+

Jl L⋅⋅−−

2:= p2

R

L

d

Jl

+

−R

L

d

Jl

+

2

4km

2d R⋅+

Jl L⋅⋅−−

2:=

z1 24−= p1 3.151−= p2 21.442−=

Función de Transferencia de Sistemas Eléctromecánicos

Problema Obtener la F. de T. de un sistema electromecánico.

Caso I Motor de Corriente Continua.

Parámetros Modelo

d 0.08:= R 1.2:= va Ltia

d

d⋅ R ia⋅+ km ω⋅+=

km 0.6:= L 50 103−

⋅:= Jl 0.135:=Jl

tωd

d⋅ km ia⋅ d ω⋅− Tl−=

F. de T., la salida es la velocidad ωωωω

El campo de la máquina es

a tensión constanteva L s⋅ ia⋅ R ia⋅+ km ω⋅+= Jl s⋅ ω⋅ km ia⋅ d ω⋅− Tl−=


© UdeC - DIE

p2 21.442−=p1 3.151−=z1 0.593−=

p2

R

L

d

Jl

+

−R

L

d

Jl

+

2

4km

2d R⋅+

Jl L⋅⋅−−

2:=p2

R

L

d

Jl

+

−R

L

d

Jl

+

2

4km

2d R⋅+

Jl L⋅⋅−−

2:=

p1

R

L

d

Jl

+

−R

L

d

Jl

+

2

4km

2d R⋅+

Jl L⋅⋅−+

2:=p1

R

L

d

Jl

+

−R

L

d

Jl

+

2

4km

2d R⋅+

Jl L⋅⋅−+

2:=Polos

no hayCerosz1

d−

Jl

:=

hiaTl s( )km

Jl L⋅

1

s2 R

L

d

Jl

+

s⋅+

km2

d R⋅+

Jl L⋅+

⋅:=hiava s( )1

L

sd

Jl

+

s2 R

L

d

Jl

+

s⋅+

km2

d R⋅+

Jl L⋅+

⋅:=

Ordenadoia1

L

sd

Jl

+

s2 R

L

d

Jl

+

s⋅+

km2

d R⋅+

Jl L⋅+

⋅ va⋅km

Jl L⋅

1

s2 R

L

d

Jl

+

s⋅+

km2

d R⋅+

Jl L⋅+

⋅ Tl⋅+=

va L s⋅ ia⋅ R ia⋅+ km

km− ia⋅ Tl+( )−

d Jl s⋅+⋅+=

Despejando ω de la 2da ecuación y

reemplazando el resultado en la 1era

Tomando T.de L.Jl s⋅ ω⋅ km ia⋅ d ω⋅− Tl−=va L s⋅ ia⋅ R ia⋅+ km ω⋅+=

F. de T., la salida es la corriente ia


© UdeC - DIE

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5ia A - w, rad/s - torque de carga

Zal rkfixed CI 0, tf, nf, D,( ):=CI0

0

:=D t x,( ) A

x0

x1

⋅ b u t( )⋅+ e p t( )⋅+:=

u t( ) va t( ):=p t( ) Tl t( ):=e

0

1−

Jl

:=b

1

L

0

:=A

R−

L

km

Jl

km−

L

d−

Jl

:=

va t( ) 3 Φ t 1−( )⋅:=Tl t( ) 0.5 Φ t 6−( )⋅:=n 0 nf..:=nf 500:=tf 10:=

Simulación. Se aplica una tensión de armadura. No hay ventilación ni carga.

hiaTl 0( ) 1.316=hiava 0( ) 0.175=x2 ω=x1 ia=

hwTl 0( ) 2.632−=hwva 0( ) 1.316=Variables de Estado


© UdeC - DIE

τL

R:=kp 2

ki

m

i0

l1 x0− a+⋅

⋅1

R⋅:=

aζ

d

2 m⋅k

m

ki

m

i02

l1 x0− a+( )2⋅−⋅

:=

a

ωnk

m

ki

m

i02

l1 x0− a+( )2⋅−:=

a

∆x kp1

s2

2 ζ⋅ ωn⋅ s⋅+ ωn2

+

⋅1

τ s⋅ 1+⋅ ∆e⋅=

La F. de T. es,

∆x2

s2 d

ms⋅+

k

m

ki

m

i02

l1 x0− a+( )2⋅−

+

ki

m⋅

i0

l1 x0− a+⋅

1

R

sL

R⋅ 1+

⋅ ∆e⋅=∆v s ∆x⋅=∆i∆e

s L⋅ R+=

Ordenando

s ∆v⋅ 2ki

m⋅

i0

l1 x0− a+⋅ ∆i⋅

ki

m

i02

l1 x0− a+( )2⋅

k

m−

∆x⋅+d−

m∆v⋅+=

s ∆x⋅ ∆v=

s ∆i⋅R−

L∆i⋅

1

L∆e⋅+=

Tomando T. de L.

b

1

L

0

0

:=A

R−

L

0

2ki

m⋅

i0

l1 x0− a+⋅

0

0

ki

m

i02

l1 x0− a+( )2⋅

k

m−

0

1

d−

m

:=

k

x3tx

d

d= v=x2 x=x1 ia=

Modelo LinealVariables de Estado

+

-

y(t)

m

R

e(t)

i(t)

L

kd

x(t)

a

l1

tv

d

dg−

ki

m

i2

l1 x− a+⋅+

k

ml0 x−( )⋅+

d

mv⋅−=

tx

d

dv=

ti

d

d

e

L

R

Li⋅−=Modelo.

Sistema de levitación magnética.Caso II


© UdeC - DIEFunción de Transferencia en Sistemas Discretos

Problema Introducir la F. de T. de un sistema.

La salida de un S.L.D. que está representado por una ecuación de diferencias está dada por,

1 1

0 0 0 0 0

0 0 0

( ) ( )

( ) ( )

m m i n ii i k i k

i i i

i i k i k

n n ni i i

i i i

i i i

b z b s u kT a z y kT

y z u z

a z a z a z

− −− −

= = = = =

= = =

= − +∑ ∑∑ ∑∑

∑ ∑ ∑0

0

( ) ( ) T.C.I.

mi

i

i

ni

i

i

b z

y z u z

a z

=

=

= +∑

∑

Def.: Se define la Función de Transferencia (F. de T.) a la función h(z) como el factor en la ecuación

de y(z) que multiplica la entrada u(z), considerando c.i. nulas. Por lo tanto,

1

0 1 1 0 1

1

1 1 0

0 1

( )( )

( )( )

( )

mmi

m m ii

i m m i

n nn ni n

i i

i i

z zb zb z b z b z b n z

h zz a z a z a d z

a z z p

−= − =

−−

= =

++ + + +

= = = =+ + + + +

∑ ∏

∑ ∏L

L.

Def.: Los polos de h(z) son las raíces del denominador d(z).

Def.: Los ceros de h(z) son las raíces del numerador n(z).

Def.: El valor de la respuesta en S.S. para entrada escalón de un sistema discreto se conoce como

ganancia dc. En un sistema discreto se determina como,

1 1 1 1

1 1 1lim ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) (1)

1k z z z z

z z z zy kT y z h z u z h z h z h

z z z z→∞ → → → →

− − −= = = = =

−.

y(z) = c(zI – A)-1bu(z) + du(z) = c( )

{ }

z

z

−−I A

I A

Adj

detbu(z) + du(z), Otra forma de definir la F. de T.

de un S.L.D. es utilizando la

representación en ecuaciones

de estado, h(z) = c(zI – A)-1b + d = c( )

{ }

z

z

−−I A

I A

Adj

detb + d, h(1) = c(I - A)-1b + d


© UdeC - DIE

u k( ) 0=Parámetros

aa1 1−:= aao 1−:= bbo 1:= xo

0

1

:=

Parámetros

Ad

0

aao−

1

aa1−

:= bd

0

bbo

:=

Función de Transferencia, la salida es y(k) cd 1 0( ):= Función de Transferencia, la salida es y(k+1) cd 0 1( ):=

h z( ) cd z identity 2( )⋅ Ad−( ) 1−⋅ bd⋅= h z( )

z

z2

z− 1−=→ h z( ) cd z identity 2( )⋅ Ad−( ) 1−

⋅ bd⋅= h z( )z

z2

z− 1−=→

cd 1 identity 2( )⋅ Ad−( ) 1−⋅ bd⋅ 1−→ cd 1 identity 2( )⋅ Ad−( ) 1−

⋅ bd⋅ 1−→

¿ la salida CV ? ¿ la salida CV ?

Caso III Obtener la F. de T. de un sistema discreto

Sistema de

Segundo

Orden.

y k 2+( ) aa1 y k 1+( )⋅+ aao y k( )⋅+ bbo u k( )⋅=

Variables de Estado.

x1 k( ) y k( )= x1 k 1+( ) x2 k( )=

x2 k( ) y k 1+( )= x2 k 1+( ) aao− x1 k( )⋅ aa1 x2 k( )⋅− bbo u k( )⋅+=

La

Población

de Conejos

y kT 2T+( ) y kT T+( )− y KT( )− 0=

x1 kT( ) y kT( )= x1 kT T+( ) x2 kT( )=C.I. y 0( ) y0= 1=

x2 kT( ) y kT T+( )= x2 kT T+( ) x1 kT( ) x2 kT( )+=

y T( ) yT= 1=

entrada


© UdeC - DIE

ωn1

L C⋅:= ζ

1

2R⋅

C

L⋅:=


x1 v=tx1

d

d tv

d

d= x2=

x2tv

d

d=

tx2

d

d t tv

d

d

d

d= 2− ζ⋅ ωn⋅

tv

d

d⋅ ωn

2v⋅− ωn

2e⋅+= 2− ζ⋅ ωn⋅ x2⋅ ωn

2x1⋅− ωn

2u⋅+= u e=

Simulación e t( ) Φ t( ):= u t( ) e t( ):= tf 6:= nf 500:= n 0 nf..:=

D t x,( )

0

ωn2

−

1

2− ζ⋅ ωn⋅

x0

x1

⋅0

ωn2

u t( )⋅+:= CI

0

0

:= Zal rkfixed CI 0, tf, nf, D,( ):=

0 1 2 3 4 5 60

1

2Corriente

Ecuación Diferencial Orden n - n Ecuaciones de Estado

Problema Disponer de un método para escribir ecuaciones de estado a partir de una ecuación diferencial de orden n.

Circuito RLC y fuente e(t). Parámetros

+

-

+ v(t)

R

e(t) i(t)

L

C

-

k

d

F(t)

m

x(t)

d 3:= m 1.5:= k 20:=

Modelo del circuito. R d:= L m:= C1

k:=

L C⋅t t

vd

d

d

d⋅ R C⋅

tv

d

d

⋅+ v+ e= ecuación diferencial

t tv

d

d

d

d2 ζ⋅ ωn⋅

tv

d

d⋅+ ωn

2v⋅+ ωn

2e⋅= k 1:=


© UdeC - DIE

x2 kT T+( ) x1 kT( ) x2 kT( )+= y T( ) yT= 1=

Parámetros

Tm 1:= tf 10:= kf tf Tm1−

⋅:= k 0 kf..:= aa1 1−:= aao 1−:= bbo 0:= xo

0

1

:=

ParámetrosSimulación

Ad

0

aao−

1

aa1−

:= bd

0

bbo

:= xd k( ) if k 0= xo, Adkxo⋅

0

k 1−

j

Adk j− 1−

bd⋅∑=

+,

:=

0 2 4 6 8 100

50

100Salida

0 2 4 6 8 100

2

y(kT+T)/y(kT) = x2(kT)/x1(kT)

1 5+

2

Ecuación de Diferencias Orden n - n Ecuaciones de Diferencias

Problema Disponer de un método para escribir ecuaciones de diferencias

a partir de una ecuación de diferencias n.

Sistema de

Segundo

Orden.



x1 k( ) y k( )= x1 k 1+( ) x2 k( )=

x2 k( ) y k 1+( )= x2 k 1+( ) aao− x1 k( )⋅ aa1 x2 k( )⋅− bbo u k( )⋅+=

La

Población

de Conejos

y kT 2T+( ) y kT T+( )− y KT( )− 0=

x1 kT( ) y kT( )= x1 kT T+( ) x2 kT( )= C.I. y 0( ) y0= 1=

x2 kT( ) y kT T+( )=


© UdeC - DIE

Función de Transferencia

s i s( )⋅ io−( ) R

Li s( )⋅+

1

Le s( )⋅=

L

Rs⋅ i s( )⋅ i s( )+

1

Re s( )⋅=

i s( )

e s( )

1

R

1

L

Rs⋅ 1+

⋅=

Constante de Tiempo Ganancia

τL

R:= k

1

R:= e exp 1( ):=

Respuesta Total.

i t( ) io expt−

τ

⋅ Φ t( )⋅ k 1 expt−

τ

−

⋅ Φ t( )⋅+:= ir t( ) io expt 1−( )−

τ

⋅ Φ t 1−( )⋅ k 1 expt 1−( )−

τ

−

⋅ Φ t 1−( )⋅+:= Respuesta Total

Retardada 1 s.

tf 6:= nf 500:= t 0 0.01, tf..:=

0 1 2 3 4 5 60

2

4

Corriente

k

k 1 e1−−( )⋅i t( )

ir t( )

τ

t

Sistemas de Primer Orden

Problema Interiorizarse de los Sistemas de Primer Orden.

+

-

R

e(t)

i(t)

L

Ecuaciones

Diferencia-

les

Circuito RL y

fuente e(t).

Parámetros Modelo del circuito.

R 0.25:= L 0.2:= e R i⋅ Lti

d

d⋅+= ecuación diferencial io 0:=

ti

d

d

R

Li⋅+

1

Le⋅= ao

R

L:= bo

1

L:=

Transformada de Laplace


© UdeC - DIE

Ct t

vd

d

d

d

⋅

e R Ctv

d

d⋅

⋅− v−

L=

L C⋅t t

vd

d

d

d

⋅ R C⋅tv

d

d

⋅+ v+ e= ecuación diferencial vo 2:= vo_p 0:= io 0:=

Transformada de Laplace (con C.I. nulas) Función de Transferencia

L C⋅ s2

⋅ v s( )⋅ R C⋅ s⋅ v s( )⋅+ v s( )+ e s( )=v s( )

e s( )

1

L C⋅ s2

⋅ R C⋅ s⋅+ 1+=

v s( )

e s( )1

1

L C⋅

s2 R

Ls⋅+

1

L C⋅+

⋅=

Función de Transferencia Generalizada

h s( ) kωn

2

s2

2 ζ⋅ ωn⋅ s⋅+ ωn2

+

⋅= k 1:= ωn1

L C⋅:= ζ

1

2R⋅

C

L⋅:=

Respuesta a Entrada Escalón.

v t( ) k 11

1 ζ2

−

eζ− ωn⋅ t⋅

⋅ sin ωn 1 ζ2

−⋅ t⋅ acos ζ( )+

⋅−

⋅:=

Sistemas de Segundo Orden

Problema Interiorizarse de los Sistemas de Segundo Orden.

+

-

+ v(t)

R

e(t) i(t)

L

C

-

k

d

F(t)

m

x(t)

Ecuaciones

Diferencia-

les

Circuito RLC y fuente e(t). Parámetros

d 3:= m 1.5:= k 20:=

R d:= L m:= C1

k:=

Modelo del circuito.

Ctv

d

d⋅ i= e R i⋅ L

ti

d

d⋅+ v+=

Ct t

vd

d

d

d

⋅ti

d

d=


© UdeC - DIERespuesta escalón para varios valores de ζ. ζ 0.274=

v t ζ,( ) k 11

1 ζ2

−

eζ− ωn⋅ t⋅

⋅ sin ωn 1 ζ2

−⋅ t⋅ acos ζ( )+

⋅−

⋅:=

tf 6:= nf 500:= t 0 0.01, tf..:=

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

1.5

2Voltaje

k

v t 0.1,( )

v t 0.274,( )

v t 0.5,( )

v t 1.2,( )

tRespuesta escalón para varios valores de ωn. ωn 3.651=

v t ωn,( ) k 11

1 ζ2

−

eζ− ωn⋅ t⋅

⋅ sin ωn 1 ζ2

−⋅ t⋅ acos ζ( )+

⋅−

⋅:=

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

1.5Voltaje

kv t 12,( )

v t 3.651,( )

v t 2,( )

v t 1,( )

t


© UdeC - DIE

s y s( )⋅ ao y s( )⋅+ bo u s( )⋅= Polo en: sp ao−:= Ganancia:bo

ao

Caso

discreto.y k 1+( ) aao y k( )⋅+ bbo u k( )⋅=

z y z( )⋅ aao y z( )⋅+ bbo u z( )⋅= Polo en: zp aao−:= Ganancia:bbo

1 aao+

i) Si el sistema continuo tiene un polo ubicado en sp, debe existir un polo equivalente en el plano z

dado por ps T

pz e= .

ii) Si el sistema continuo tiene un cero ubicado en sz, debe existir un cero equivalente en el plano z

dado por zs T

zz e= .

iii) Se debe cumplir la condición de ganancia dc h(s)|s = 0 = h(z)|z = 1, o bien, 0

1

( ) |1

( ) |

s

z

h s

h z

=

=

= .

Parámetros Discretos

Tm 0.25:= aao exp ao− Tm⋅( )−:= bbo 1 aao+( )bo

ao

⋅:=

Ecuación Diferencial -> Ecuación de Diferencias

Problema Transformar una ecuación diferencial en ecuaciones de diferencias.

Caso I Sistema de Primer Orden.

+

-

R

e(t)

i(t)

L

Caso

continuo. ti t( )

d

d

R

Li t( )⋅+

1

Le t( )⋅= R 0.25:= L 0.2:= io 2−:= e t( ) Φ t( ):=

ty t( )

d

dao y t( )⋅+ bo u t( )⋅= ao

R

L:= bo

1

L:= u t( ) e t( ):= e t( ) R i t( )⋅ L

ti t( )

d

d⋅+=


© UdeC - DIE

+

-

R

e(t)

i(t)

L

0 1 2 3 4 5 6 7 82

0

2

4

Corriente

0

yd k( ) if k 0= xo, Adkxo⋅

0

k 1−

j

Adk j− 1−

bd⋅∑=

+,

:=u k( ) Φ k( ):=xo io:=bd bbo:=Ad aao−:=

k 0 nf..:=nf

tf

Tm

:=y k( ) aao− y k 1−( )⋅ bbo u k 1−( )⋅+=Simulación

Discreta

Za rkfixed CI 0, tf, nf, D,( ):=CI io:=D t x,( ) ao− x0

⋅ bo u t( )⋅+:=n 0 nf..:=nf 600:=tf 8:=Simulación

Continua


© UdeC - DIE

bbo kp 1 p1−( )⋅ 1 p2−( )⋅:=aao p1 p2⋅:=aa1 p1− p2−+:=

p2 exp ζ− ωn⋅ ωn ζ2

1−⋅−

Tm⋅

:=p1 exp ζ− ωn⋅ ωn ζ

21−⋅+

Tm⋅

:=Tm 0.25:=

Parámetros Discretos

y z( ) z p1−( )⋅ z p2−( )⋅ kp 1 p1−( )⋅ 1 p2−( )⋅ u z( )⋅=

z2y z( )⋅ aa1 z⋅ y z( )⋅+ aao y z( )⋅+ bbo u z( )⋅=


v k 2+( ) aa1 v k 1+( )⋅+ aao v k( )⋅+ bbo e k( )⋅=

Caso discreto.

h s( ) kp

ωn2

s2

2 ζ⋅ ωn⋅ s⋅+ ωn2

+

⋅=y s( ) s ζ− ωn⋅ ωn ζ2

1−⋅+

−

⋅ s ζ− ωn⋅ ωn ζ

21−⋅−

−

⋅ kp ωn

2⋅ u s( )⋅=

s2y s( )⋅ 2 ζ⋅ ωn⋅ s⋅ y s( )⋅+ ωn

2y s( )⋅+ kp ωn

2⋅ u s( )⋅=

Caso II Sistema de Segundo Orden.

Caso continuo.

+

-

+ v(t)

R

e(t) i(t)

L

C

-

k

d

F(t)

m

x(t)

L C⋅t t

vd

d

d

d⋅ R C⋅

tv

d

d

⋅+ v+ e= d 3:= m 1.5:= k 20:=

t tv

d

d

d

d2 ζ⋅ ωn⋅

tv

d

d⋅+ ωn

2v⋅+ kp ωn

2⋅ e⋅= R d:= L m:= C

1

k:=

kp 1:= ωn1

L C⋅:= ζ

1

2R⋅

C

L⋅:=

t ty t( )

d

d

d

d2 ζ⋅ ωn⋅

ty t( )

d

d⋅+ ωn

2y t( )⋅+ kp ωn

2⋅ u t( )⋅=


© UdeC - DIE

¡ Algo falla !

0 1 2 3 4 5 6 7 80

1

2

3Voltaje

k 0 nf..:=nf

tf

Tm

:=yd k( ) if k 0= xo, Adkxo⋅

0

k 1−

j

Adk j− 1−

bd⋅ ud j( )⋅∑=

+,

:=

xo

0

0.332

=ud k( ) uc k Tm⋅( ):=xo

0

Zal

nf

Tm

tf

⋅ 1,

:=bd

0

bbo

:=Ad

0

aao−

1

aa1−

:=

x2 k 1+( ) aao− x1 k( )⋅ aa1 x2 k( )⋅− bbo u k( )⋅+=x2 k( ) v k 1+( )=

x1 k 1+( ) x2 k( )=x1 k( ) v k( )=

Simulación Discreta

Zal rkfixed CI 0, tf, nf, D,( ):=CI x0:=D t x,( ) Ac

x0

x1

⋅ bc uc t( )⋅+:=

n 0 nf..:=nf 640:=tf 8:=

uc t( ) Φ t( ) Φ t 4−( )+:=x0

0

0

:=bc

0

ωn2

:=Ac

0

ωn2

−

1

2− ζ⋅ ωn⋅

:=

tx2

d

d2− ζ⋅ ωn⋅ x2⋅ ωn

2x1⋅− ωn

2u⋅+=x2

tv

d

d=

tx1

d

dx2=x1 v=

Simulación Continua


© UdeC - DIEEc. de Estado Continuas -> Ec. de Estado Discretas

Problema Encontrar un equivalente discreto a las ecuaciones de estado diferenciales.

Sea el sistema continuo dado por,

x&(t) = Ax(t) + bu(t), y(t) = cx(t) + du(t),

que tiene por estados a,

00

( ) ( ) ( ) ( )t

t t t d= + − τ τ τ∫x Φ x Φ Bu ,

si la c.i. es arbitraria en t = t0, entonces,

0

0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )t

tt t t t t d= − + − τ τ τ∫x Φ x Φ Bu ,

si el instante t0 es kT y el instante t es kT + T, entonces,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )kT T

kTkT T kT T kT kT kT T d

++ = + − + + − τ τ τ∫x Φ x Φ Bu ,

si la entrada se mantiene constante en el intervalo de integración, entonces,

{ }( ) ( ) ( ) ( ) ( )kT T

kTkT T T kT kT T d kT

++ = + + − τ τ∫x Φ x Φ B u ,

sea kT + T - τ = T - σ entonces dτ = dσ, 0

kT T T

kT

+τ → σ , por lo que,

{ }0( ) ( ) ( ) ( ) ( )

T

kT T T kT T d kT+ = + − σ σ∫x Φ x Φ B u ,

o equivalentemente,

{ }( )

0( ) ( ) ( )

TT TkT T e kT e d kT−σ+ = + σ∫A A

x x B u .

Luego, para el sistema discreto descrito por las ecuaciones de estado,

x(kT + T)= Ax(kT) + bu(kT),

se encuentra por inspección que las matrices A y b, pueden ser definidas por,

{ }( )

0,

TT Te e d−σ= = σ∫A A

A b B .

Con esto se logra un sistema discreto equivalente al sistema continuo. Se debe tener presente que esta

equivalencia es exacta en la medida que u(t) sea constante entre intervalos de muestreo. Esto es válido

para toda señal compuesta por escalones que pueden cambiar de amplitud en los instantes de muestreo.


© UdeC - DIE

tx2

d

d2− ζ⋅ ωn⋅ x2⋅ ωn

2x1⋅− kp ωn

2⋅ u⋅+=

Ac

0

ωn2

−

1

2− ζ⋅ ωn⋅

:= bc

0

ωn2

:= xo

0

0

:= uc t( ) Φ t 1−( ) Φ t 4−( )+:=

Modelo Discreto en Ecuaciones de Diferencias Tm 0.25:=

T eigenvecs Ac( ) 1−:= ΦT t( )

exp eigenvals Ac( )0 t⋅( )0

0

exp eigenvals Ac( )1 t⋅( )

:= Φc t( ) T1−

ΦT t( )⋅ T⋅:=

Ad Φc Tm( ):= Ad

0.668

2.275−

0.171

0.327

= bd

0

Tm

τΦc Tm τ−( ) bc⋅( )0

⌠⌡

d

0

Tm

τΦc Tm τ−( ) bc⋅( )1

⌠⌡

d

:= bd

0.332

2.275

=

Simulación del Modelo Continuo en Ecuaciones de Estado tf 8:= nf 640:= n 0 nf..:=

D t x,( ) Ac

x0

x1

⋅ bc uc t( )⋅+:= CI xo:= Zal rkfixed CI 0, tf, nf, D,( ):=

Problema Trasnformar una representación en ecuaciones de estado en discretas.

Caso I Sistema de Segundo Orden.

Caso continuo.

+

-

+ v(t)

R

e(t) i(t)

L

C

-

k

d

F(t)

m

x(t) L C⋅

t tv

d

d

d

d⋅ R C⋅

tv

d

d

⋅+ v+ e= d 3:= m 1.5:= k 20:= kp 1:=

t tv

d

d

d

d2 ζ⋅ ωn⋅

tv

d

d⋅+ ωn

2v⋅+ kp ωn

2⋅ e⋅= R d:= L m:= C

1

k:= ωn

1

L C⋅:= ζ

1

2R⋅

C

L⋅:=

Modelo Continuo en Ecuaciones de Estado

x1 v=tx1

d

dx2=

x2tv

d

d=


© UdeC - DIESimulación del Modelo Discreto en Ecuaciones de Diferencias ud k( ) uc k Tm⋅( ):=

yd k( ) if k 0= xo, Adkxo⋅

0

k 1−

j

Adk j− 1−

bd⋅ ud j( )⋅∑=

+,

:= nfd

tf

Tm

:= k 0 nfd..:=

0 1 2 3 4 5 6 7 80

1

2

3Voltaje

0 1 2 3 4 5 6 7 80

1

2

3Voltaje

cd 1 0( ):= Ad

0.668

2.275−

0.171

0.327

= bd

0.332

2.275

=

h z( ) cd z identity 2( )⋅ Ad−( ) 1−⋅ bd⋅=

h z( ).331936 z⋅ .279732985005+

z2

.994861 z⋅− .606529985005+:= h s( ) kp

ωn2

s2

2 ζ⋅ ωn⋅ s⋅+ ωn2

+

⋅=


© UdeC - DIE

i0 if1:= x0 xf:= v0 0:=

Modelo Lineal io i0:= xo x0:= vo v0:= eo ef1:=

A

R−

L

0

2ki

m⋅

i0

l1 x0− a+⋅

0

0

ki

m

i02

l1 x0− a+( )2⋅

K

m−

0

1

d−

m

:=b

1

L

0

0

:= c 0 1 0( ):=

Simulación Sistema. ∆uc t( ) Φ t( )− t( ) Φ t( )⋅+ t 2−( ) Φ t 2−( )⋅− Φ t 2−( )−:= tf 4:= lf 2001:= l 0 lf..:=

D t x,( ) A x0

x1

x2( )T⋅ b ∆uc t( )⋅+:= CI 0 0 0( )

T:= Zp rkfixed CI 0, tf, lf, D,( ):=

0 1 2 3 44

2

0

2

4Di, Dx

0

0 1 2 3 41

0

1De

0

Caso II Sistema de levitación magnética.

R 1:= L 50 103−

⋅:= g 9.8:= K 24.5:= l1 0.5:=

m 0.250:= ki 3 103−

⋅:= a 0.02:= d 1.5:= l0 0.3:=

+

-

y(t)

m

R

e(t)

i(t)

L

kd

x(t)

a

l1

Condiciones Iniciales y Entradas.

la corriente if1 para tener la bola a 30 cm desde el piso en t = 0 es,

xf30

100:= if1

1

ki

ki g m⋅ l1⋅ g m⋅ xf⋅− g m⋅ a⋅+ K xf⋅ l1⋅+ K l0⋅ l1⋅−

K l0⋅ xf⋅ K l0⋅ a⋅− K xf2

⋅− K xf⋅ a⋅++

...

⋅

⋅:=

las c.i. son,

por lo que la tensión ef1 a aplicar es, ef1 if1 R⋅:= ef1 13.404=


© UdeC - DIE

0 1 2 3 44

2

0

2

4Dx continuo y discreto

0

0 1 2 3 4

0

Di continuo y discreto

0

0 1 2 3 4

0

De continuo y discreto

0

∆xd k( ) if k 0= ∆xo, Adk

∆xo⋅

0

k 1−

j

Adk j− 1−

bd⋅ ∆ud j( )⋅∑=

+,

:=∆xo

0

0

0

:=k 0 mf..:=mf

tf

Tm

:=

∆ud k( ) Φ k Tm⋅( )− k Tm⋅( ) Φ k Tm⋅( )⋅+ k Tm⋅ 2−( ) Φ k Tm⋅ 2−( )⋅− Φ k Tm⋅ 2−( )−:=

Simulación de Ecuaciones de Estado Discretas Equivalentes y Comparación.

cd 0 1 0( )=cd c:=

bd

0.993

0.017

0.11

=bd

0

Tm

τΦc Tm τ−( ) b⋅( )0

⌠⌡

d

0

Tm

τΦc Tm τ−( ) b⋅( )1

⌠⌡

d

0

Tm

τΦc Tm τ−( ) b⋅( )2

⌠⌡

d

T

:=Ad

6.738 103−

×

5.485 103−

×

6.589− 103−

×

0

0.166

3.77−

0

0.071

0.257−

=

Ad Φc Tm( ):=Tm 0.25:=Φc t( ) eigenvecs A( )

exp eigenvals A( )0t⋅( )

0

0

0


0

0

0


⋅ eigenvecs A( )1−

⋅:=

Ecuaciones de Estado Discretas Equivalentes.


© UdeC - DIEEntrada continua con Sample/Hold.

delTm t( )1

Tm

Φ t( ) Φ t Tm−( )−( )⋅:= Tm 0.25= N 19:= ∆ur t( )

0

N

i

∆uc i Tm⋅( ) delTm t i Tm⋅−( ) Tm⋅∑=

:=

Simulación para encontrar la C.I.

D t x,( ) A x0

x1

x2( )T⋅ b ∆ur t( )⋅+:= CI 0 0 0( )

T:= Zp rkfixed CI 0, tf, lf, D,( ):=

0 1 2 3 4

0

De continuo, con S/H y discreto

0

0 1 2 3 4

0

Di continuo y discreto

0

0 1 2 3 44

2

0

2

4Dx continuo y discreto

0


Función de Transferencia en Sistemas Continuos UdeC …joseespi/SLD/543214_SLD_Cap_V.pdf · El...

Documents

Transcript of Función de Transferencia en Sistemas Continuos UdeC …joseespi/SLD/543214_SLD_Cap_V.pdf · El...