Introduccin a los sistemas de control

DIAGRAMAS DE BLOQUE Y FUNCIONES DE TRANSFERENCIAJorge Luis JaramilloPIET EET UTPL marzo 2011

1Diagramas de bloque y FTDiagramas de bloqueFunciones de transferencia de sistemas complejosRetroalimentacinModelo matemtico de un motor DC con diagramas de bloque y FTAnlisis y discusin

Diagramas de bloque y FTDiagramas de bloque

Diagramas de bloqueUna vez obtenido el modelo matemtico de un proceso, es posible determinar una funcin matemtica que ligue a las variables de entrada y a las de salida.

La relacin entre la variable de salida y la de entrada, se denomina funcin de transferencia W.

La funcin de transferencia servir para caracterizar el comportamiento de un sistema.

A pesar de la diversidad de sistemas existentes, estos se pueden representar a travs de unos pocos sistemas tpicos, cuyas funciones de transferencia se denominan eslabones dinmicos tipo.

Los eslabones dinmicos tipo son:Eslabn ainercialEslabn aperidicoEslabn integradorEslabn diferenciadorEslabn oscilador

eslabn ainercialDiagramas de bloqueEl modelo matemtico de un sistema, en el cual la relacin entre la salida y la entrada es un coeficiente de proporcionalidad, se denomina eslabn ainercial.

Diagramas de bloqueeslabn aperidicoSe denomina eslabn aperidico al modelo matemtico de un sistema, en el cual la relacin entre la salida y la entrada corresponde a una ecuacin diferencial de primer grado.

En un eslabn integrador, la seal de salida es el resultado de integrar la seal de entrada.

Esta condicin hace que un eslabn integrador no tenga rgimen establecido de trabajo.

Adems un eslabn integrador tiene la propiedad de recordar la seal de salida.

Diagramas de bloqueeslabn integral

Diagramas de bloqueeslabn diferencialEn un eslabn diferenciador, la seal de salida es el resultado de derivar la seal de entrada. Existen dos tipos de eslabones diferenciadores: el ideal y el real. La diferencia entre ellos radica en la anulacin terica de la inercia del proceso en el primero.

Diagramas de bloqueeslabn oscilanteEn un eslabn oscilante, la seal de salida y la seal de entrada estn relacionadas a travs de una ecuacin diferencial de segundo grado.

Diagramas de bloque y FTFunciones de transferencia de sistemas complejos

Los sistemas complejos pueden ser modelados utilizando los eslabones tpicos, interconectados entre s a travs de una relacin funcional.

Las formas clsicas de interconexin de eslabones tpicos son:SecuencialParalelaMixta

La funcin de transferencia de un sistema conformado por eslabones tipo conectados en forma secuencial, es el producto de las funciones de transferencia de cada eslabn.

Funciones de transferencia de sistemas complejosW2WnW1

11W2WnW1

Funciones de transferencia de sistemas complejosLa funcin de transferencia de un sistema conformado por eslabones tipo conectados en forma paralela, es la suma algebraica de las funciones de transferencia de cada eslabn.Diagramas de bloque y FTRetroalimentacin

RetroalimentacinLa retroalimentacin (realimentacin, feedback) es un proceso por el que una cierta proporcin de la seal de salida de un sistema se redirige de nuevo a la entrada.

La retroalimentacin puede ser positiva o negativa.

La retroalimentacin positiva es un mecanismo de realimentacin por el cual una variacin en la salida produce un efecto dentro del sistema, que refuerza esa tasa de cambio. Por lo general esto hace que el sistema no llegue a un punto de equilibrio si no mas bien a uno de saturacin. Es un estimulo constante.

WdWr+

WdWr-

RetroalimentacinLa retroalimentacin negativa es la ms utilizada. Se dice que un sistema est retroalimentado negativamente cuando tiende a estabilizarse.Diagramas de bloque y FTModelo matemtico de un motor DC con diagramas de bloque y FT

Modelo matemtico de un motor CD con diagramas de bloque y FTUn motor CD, constructivamente, es igual a un generador CD. La diferencia radica en que el motor CD fue diseado para que su rgimen habitual de trabajo sea la transformacin de energa elctrica aportada por los bornes, en energa mecnica rotacional obtenida del rotor.

En este sentido, se identifica como variable de entrada al voltaje aplicado a los bornes del estator Ve(t), y, como variable de salida a la velocidad de rotacin en el rotor (t).

Para la simplificacin del modelo matemtico del motor CD, se plantea las siguientes suposiciones:El flujo magntico es constanteEl momento de inercia del rotor es constanteLos parmetros de los circuitos elctricos son constantesEl sistema es absolutamente rgidoSe desprecia la reaccin del rotorLa relacin entre la velocidad de rotacin del rotor y la corriente es linealModelo matemtico de un motor CD con diagramas de bloque y FTEl modelo matemtico se aproxima por un esquema equivalente que consta de dos circuitos:Un circuito elctrico en el estatorUn circuito mecnico en el rotor

En correspondencia, se plantean dos ecuaciones de equilibrio: para el circuito elctrico del estator, y, para el circuito mecnico del rotor.

Para utilizar el aparato matemtico de los diagramas de bloque y las FT, las ecuaciones de equilibrio originales son reemplazadas por su imgenes en el dominio de la transformada de Laplace, con lo que se logra su tratamiento como ecuaciones pseudoaritmticas.

Modelo matemtico de un motor CD con diagramas de bloque y FTSe realiza una reduccin de ecuaciones mediante el reemplazo de equivalencias, hasta obtener una nica ecuacin.

Modelo matemtico de un motor CD con diagramas de bloque y FTA partir de la ecuacin nica, se inicia la construccin del grafo de diagrama de bloques.

El modelo matemtico obtenido consta de:Un eslabn aperidico que representa los procesos electromagnticos en el estatorUn eslabn integrador que representa los procesos mecnicos en el rotorUn eslabn proporcional en el circuito de retroalimentacin negativa (fuerza electromotriz contraria)Modelo matemtico de un motor CD con diagramas de bloque y FTLos siguientes pasos requieren que se haya seleccionado el motor CD de entre los disponibles en el mercado.

La eleccin del motor CD se basa en buscar aquel que cumpla con los requerimientos tcnicos y de explotacin planteados por el proceso tecnolgico en que se utilizar el motor.

Para efectos de ejemplo, se ha seleccionado un motor CD modelo 1524E006S de la firma Faulhaber. El datasheet de este motor contiene la informacin necesaria para calcular los parmetros numricos del modelo.

Modelo matemtico de un motor CD con diagramas de bloque y FT

datos de catlogoitemparmetrovalorunidad1potencia0.78W2voltaje nominal6V3velocidad max12000rpm4corriente nominal0.36A5resistencia entre terminales116inductancia del rotor150H7constante de retro-fem0.438mV/rpm8constante mecnica de tiempo27ms10constante del rotor (6/5)1.36364E-05sparmetros numricos del modeloitemparmetrovalorunidad11/Re0.0909090911/2Te1.36364E-05s3Re/K25114.15525*rpm/V4Tm0.027s5K0.000438V/rpmModelo matemtico de un motor CD con diagramas de bloque y FT

En ocasiones, la informacin del fabricante no contiene algunos de los parmetros requeridos, razn por la cual es necesario calcularlos. La tabla adjunta muestra un ejemplo de aquello.Modelo matemtico de un motor CD con diagramas de bloque y FTEl sistema se modeliz utilizando Simulation Toolkit de LabView.

Modelo matemtico de un motor CD con diagramas de bloque y FTPara la calibracin, se verific la correspondencia con la curva terica del arranque de un motor CD en vaco.

El mtodo de integracin ptimo result ser el BDF variable con un paso inicial de 1E-7 y una tolerancia relativa de 1E-6.

Modelo matemtico de un motor CD con diagramas de bloque y FTComo ejercicio de simulacin, se evalu el trabajo del motor CD para el rgimen de arranque en vaco y carga (luego de 1 s con una carga de 0.02 A )

ANLISIS Y DISCUSIN