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Practicas de laboratorio de Fısica

Curso 2017/2018

Fısica

Las practicas de laboratorio de fısica que se presentan a con-tinuacion corresponden a las asignaturas de fısica de los Gra-dos en Ciencias Ambientales, Ciencias y Tecnologıa de losAlimentos, Ingenierıa de la Energıa, Ingenierıa Quımica, In-genierıa de Materiales, Biologıa, Ingenierıa Ambiental, Inge-nierıa de Tecnologıas Industriales, Ciencias Experimentales,Ingenierıa Biomedica e Ingenierıa Mecanica que son imparti-dos por el Area de Fısica de la Universidad Rey Juan Carlos.

Indice general

0. Introduccion a la experimentacion 10.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

0.1.1. Fases en el desarrollo de un experimento . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.2. Anotaciones durante el desarrollo de la practica . . . . . . . . . . . 2

0.2. Caracterısticas de los datos experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.2.1. Unidades de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

0.3. Representacion grafica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60.3.1. Como dibujar graficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70.3.2. Eleccion de escala y de origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70.3.3. Sımbolos, trazado de lıneas y barras de error . . . . . . . . . . . . . 80.3.4. Tıtulo, etiquetas y unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

0.4. Tratamiento de errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90.4.1. Precision y exactitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100.4.2. Tipos de error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100.4.3. Calculo de errores de medidas directas . . . . . . . . . . . . . . . . 120.4.4. Calculo de errores de medidas indirectas . . . . . . . . . . . . . . . 14

0.5. Regresion lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160.5.1. Metodo de los mınimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160.5.2. Calculo de errores de la pendiente y la ordenada en el origen . . . . 180.5.3. Apendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

0.6. Elaboracion de la memoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200.6.1. El proposito de la memoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200.6.2. Estructura de la memoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1. Medidas geometricas 241.1. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.2. Fundamento teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.2.1. Calibre o pie de rey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.2.2. Palmer o tornillo micrometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.2.3. Esferometro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.3. Montaje experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.4. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.5. Discusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.6. Cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

ii

INDICE GENERAL iii

2. Movimiento en caıda libre 302.1. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2. Fundamento teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3. Montaje experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.5. Discusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.6. Cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3. Leyes de Newton 343.1. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2. Fundamento teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3. Montaje experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.4. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.5. Discusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.6. Cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4. Conservacion de la energıa mecanica 394.1. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2. Fundamento teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.3. Montaje experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.4. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.5. Discusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.6. Cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5. El pendulo simple 455.1. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.2. Fundamento teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.3. Montaje experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.4. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.5. Discusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.6. Cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6. Ley de Hooke 516.1. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.2. Fundamento teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.3. Parte I: Montaje Experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526.4. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.5. Cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.6. Parte II: Montaje Experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.7. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.7.1. Dependencia del periodo de oscilacion con la elongacion . . . . . . . 546.7.2. Dependencia del periodo de oscilacion con el peso aplicado . . . . . 55

6.8. Cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

7. Oscilaciones forzadas 577.1. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577.2. Fundamento teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

7.2.1. Oscilaciones libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

INDICE GENERAL iv

7.2.2. Oscilaciones amortiguadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597.2.3. Oscilaciones forzadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60


8. Vibracion de cuerdas 678.1. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678.2. Fundamento teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678.3. Montaje experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708.4. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718.5. Discusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738.6. Cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

9. Flujos viscosos en conductos 749.1. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 749.2. Fundamento teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

9.2.1. Ley de Hagen-Poiseuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759.2.2. Asociaciones de resistencias de flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76


10.Principio de Arquımedes 8110.1. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8110.2. Fundamento teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8110.3. Montaje experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8210.4. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8210.5. Obtencion de la densidad del agua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8310.6. Discusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8410.7. Cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

11.Dilatacion termica de los solidos y los lıquidos 8511.1. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8511.2. Fundamento teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8511.3. Montaje experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

11.3.1. Medida de la dilatacion de lıquidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8611.3.2. Medida de la dilatacion de solidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

11.4. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8711.5. Discusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8811.6. Cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

12.Ley de Ohm y asociaciones de resistencias 8912.1. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8912.2. Fundamento teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

12.2.1. Resistencias en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

INDICE GENERAL v

12.2.2. Resistencias en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9012.3. Montaje experimental y Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

12.3.1. Asociacion de resistencias en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9012.3.2. Asociacion de resistencias en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . 9212.3.3. Calculo de la potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

12.4. Discusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9312.5. Cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

13.Campo electrico y potencial electrico 9513.1. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9513.2. Fundamento teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9513.3. Montaje experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9613.4. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9713.5. Discusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9813.6. Cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

14.Campo magnetico 9914.1. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9914.2. Fundamento teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9914.3. Montaje experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10014.4. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10314.5. Discusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10414.6. Cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

15.Calculo de la carga especıfica del electron 10515.1. Conceptos aplicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10515.2. Fundamento teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

15.2.1. Campo magnetico producido por las bobinas de Helmholtz . . . . . 10615.3. Montaje experimental y Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

15.3.1. Procedimiento operativo. Medida de las diferencias de potencial enel tubo de rayos catodicos e intensidad de corriente en las bobinas . 107


16.Induccion electromagnetica 11016.1. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11016.2. Fundamento teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11016.3. Montaje experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11116.4. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

16.4.1. Voltaje en funcion de la corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11216.4.2. Voltaje en funcion de frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11316.4.3. Voltaje en funcion de numero de vueltas . . . . . . . . . . . . . . . 11316.4.4. Voltaje en funcion de la seccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114


INDICE GENERAL vi

17.Rendimiento de una celula solar 11517.1. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11517.2. Fundamento teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11517.3. Montaje experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11617.4. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

17.4.1. Rendimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11817.4.2. Caracterıstica corriente-voltaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119


18.Resistencia interna y f.e.m. en fuentes de tension 12118.1. Conceptos aplicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12118.2. Fundamento teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12118.3. Montaje experimental y Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

18.3.1. Medida de la resistencia interna y fuerza electromotriz en una fuentede tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

18.3.2. Medida de la Potencia suministrada por la fuente de tension . . . . 12418.4. Discusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12418.5. Cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

19.Interferencias y difraccion 12519.1. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12519.2. Fundamento teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

19.2.1. Interferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12519.2.2. Difraccion por abertura circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12719.2.3. Difraccion por red . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

19.3. Montaje experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12919.3.1. Medida de las posiciones de los maximos del patron de interferencias12919.3.2. Calculo de la longitud de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13019.3.3. Difraccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

19.4. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13019.4.1. Determinacion de la longitud de onda del laser. . . . . . . . . . . . 13019.4.2. Determinacion del radio de la abertura circular. . . . . . . . . . . . 13119.4.3. Determinacion de la constante de la red de difraccion: . . . . . . . . 132


Capıtulo 0

Introduccion a la experimentacion

0.1. Introduccion

Cientıficos e ingenieros dedican gran parte de su tiempo a lo que se conoce comotrabajo experimental. Las razones son varias, y entre ellas destaca el hecho de que losexperimentos permiten poner a prueba nuevas teorıas. Esto no siempre es facil, pero locierto es que hasta que un experimento confirma los resultados predichos por una teorıa,esta no suele ser completamente aceptada.

Por supuesto, en el laboratorio de la Universidad no se va a colaborar a este fin, perolos experimentos que se realicen nos daran la oportunidad de observar directamente comofunciona el mundo real. Se podra comprobar que lo estudiado realmente ocurre, y todossabemos que ver siempre deja una mayor huella que simplemente leer.

La experimentacion no esta exenta de dificultades y, muchas veces, se necesita tiempopara familiarizarse con las tecnicas, para obtener las medidas o incluso para analizar losresultados. Por todo esto, se necesita una buena dosis de paciencia.

0.1.1. Fases en el desarrollo de un experimento

1. El objetivo. Es el punto de partida de cualquier experimento. El objetivo nos comu-nica que es lo que estamos buscando, y puede ser una hipotesis o idea que se quierecomprobar o sobre la que se desea avanzar.

2. El plan. Una vez que se tiene claro el objetivo, se debe desarrollar un plan paraalcanzar dicho objetivo. Habra que decidir sobre que cantidades deben medirse,como se deben medir y que instrumentos son necesarios.

3. Preparacion. La fase de preparacion supone organizar el experimento. En ella, sedebe montar la practica, y para ello conviene acudir a gente familiarizada con lainstrumentacion que se vaya a utilizar.

4. Experimentos previos. Antes de comenzar a tomar datos de forma indiscriminada,conviene hacer varios ensayos para familiarizarse con el funcionamiento de los apa-ratos.

5. Toma de datos. Es imprescindible en esta fase mantenerse concentrado y prestarmucha atencion a lo que se esta haciendo, porque el experimento habra sido un

1

CAPITULO 0. INTRODUCCION A LA EXPERIMENTACION 2

fracaso si no se toman las medidas de forma precisa y correcta. Conviene, igualmente,repetir las medidas mas de una vez, para disminuir los errores aleatorios y asegurarsede que se ha llevado todo a cabo correctamente.

6. Analisis de los datos. Una vez que se ha acabado con la toma de datos, llega elmomento de analizarlos, calcular los resultados, sus errores asociados, etc. En fun-cion del objetivo, se usara una tecnica de analisis u otra. Por ejemplo, si de lo quese trataba es de analizar la variacion de la intensidad de la luz de una bombillacon la distancia, nos convendrıa quizas investigar si los datos demuestran una caıdapotencial con la distancia exponencial, lineal, etc.

7. Conclusion. Una vez obtenidos los resultados, es el momento de responder si soncoherentes con el objetivo, lo contradicen o haran falta nuevos experimentos en casode que el llevado a cabo no sea concluyente.

8. Elaboracion de la memoria. Cuando se ha acabado el trabajo en el laboratorio, losresultados deben ser comunicados de forma clara y concisa. Para ello, se prepara unamemoria, en la que se presentan los puntos fundamentales del experimento, talescomo el objetivo, el metodo, las medidas, el analisis de los resultados y finalmentela conclusion.

0.1.2. Anotaciones durante el desarrollo de la practica

Es recomendable tener un cuaderno de notas, en el que apuntar absolutamente todolo que se hace, se mide y se observa en el laboratorio. Aunque al terminar el experimentotodo parezca muy claro, con el paso del tiempo los detalles se van olvidando, por lo que esfundamental tomar el mayor numero de anotaciones posibles de cara a poder mas tardeescribir la memoria sin dificultad. Conviene anotar tanto lo importante como lo que nolo es tanto, ya que muchas veces no es hasta mas tarde cuando se descubre que es loverdaderamente util para la memoria. Algunos detalles que no se debe olvidar anotar son:

1. Tıtulo.

2. Objetivo. Debe quedar claro desde el principio lo que se persigue.

3. Descripcion y esquema de los aparatos. Conviene dibujar el montaje, y describirbrevemente el funcionamiento y finalidad de cada aparato que se utilice.

4. Metodo experimental. Es fundamental apuntar todos los pasos que se llevan a cabo.

5. Medidas. Las medidas se suelen tomar en tablas en las que encima de cada columnase escribe la magnitud que se esta midiendo y las unidades que se utilizan (¡noolvidar nunca las unidades!). Tambien es importante anotar las precisiones delos aparatos que se utilicen, para luego poder hacer el calculo de errores sistematicoscorrectamente.

6. Calculos y graficas. A veces es necesario llevar a cabo calculos o dibujar graficas conlas medidas obtenidas para poder cerciorarnos de que la toma de datos se ha hechocorrectamente. Este punto es necesario para evitar futuros sustos (y la consiguienterepeticion de la practica).


7. Conclusion. Es necesario hacer anotaciones sobre el resultado de la practica (si secumplio el objetivo, etc.)

0.2. Caracterısticas de los datos experimentales

Cuando se toman medidas de alguna magnitud fısica, se debe poder responder a lassiguientes preguntas:

1. ¿ Cual es la unidad de cada una de las medidas realizadas?

2. ¿ Que variabilidad existe en los datos?

3. ¿ Podrıamos hacer una estimacion de la medida antes de llevarla a cabo?

Analicemos las caracterısticas de los datos que se obtienen durante un experimento,para poder dar respuesta a todas estas preguntas.

0.2.1. Unidades de medida

El uso correcto de las unidades es imprescindible en fısica. Ademas, es conveniente quetodos los cientıficos utilicen el mismo sistema, para poder comparar y compartir resultadossin problemas. El sistema internacional o SI, aceptado por convenios internacionales enpracticamente todo el mundo, consta de siete unidades fundamentales, que son

Magnitud Unidad SımboloMasa Kilogramo kgLongitud Metro mTiempo Segundo sCorriente electrica Amperio ATemperatura Kelvin KIntensidad lumınica Candela cdCantidad de sustancia Mol mol

Otras unidades se derivan de estas siete fundamentales (por ejemplo el m· s−1, unidadde velocidad). Las unidades derivadas mas importantes tambien tienen nombre propio,como puede ser el Voltio, el Julio, el Newton, etc. Es de vital importancia tener en cuentalo siguiente: Siempre que se presenten resultados en una tabla, en un grafico o en uncalculo, deben ir acompanados de sus correspondientes unidades. Siempre que se utiliceun aparato, la primera pregunta a responder debe ser la siguiente: ¿ En que unidadesmide este instrumento?

En muchas ocasiones las unidades son demasiado grandes o demasiado pequenas parala medida que nos interesa. Para estos casos, se utilizan los multiplos y subdivisiones de


las unidades, y esto es posible gracias a los prefijos siguientes :

Potencia de 10 Prefijo Sımbolo Ejemplo10−15 femto f fs (femtosegundo)10−12 pico p pF (picofaradio)10−9 nano n nA (nanoamperio)10−6 micro µ µPa (micropascal)10−3 mili m mJ (milijulio)103 kilo k kV (kilovoltio)106 mega M MW (megawatio)109 giga G GHz (gigahertzio)1012 tera T TΩ (teraohmio)

Tabulacion de datos

La forma habitual de presentar los datos en un experimento es la utilizacion de tablas.Toda tabla debe constar de estos tres elementos:

-Tıtulo aclaratorio.

-Unidades de las medidas.

-Medidas.

Un ejemplo serıa el siguiente.

Tabla 1: Tiempo de caıda de un objeto desde 25 m.

Tiempo de caıda ( s) 2,2 2,1 2,3 2,2 2,5 2,3 2,0 2,2

Si nuestros datos son expresados en notacion cientıfica, el metodo de construir la tablasera el siguiente.

Tabla 2: Valores medidos de la inductancia de una espira de cable.

Inductancia (×10−3 H) 9,5 9,3 9,7 9,4 9,9 9,1 9,2 9,2

Toda medida en fısica va acompanada de una incertidumbre inherente a la medida.Por muy fino que haya sido el metodo experimental, el aparato que se haya utilizadotiene una precision dada, que no es posible superar. Aunque de este tema hablaremos masadelante, veamos como se debe mostrar esta incertidumbre en las tablas de datos con unejemplo.

Tabla 3: Variacion de la resistencia electrica con la temperatura de un cable de cobre.

Temperatura ( C)± 0, 5 C Resistencia electrica ( Ω)± 0, 001 Ω8,0 0,20816,5 0,21323,5 0,22232,0 0,22940,5 0,23254,5 0,243


Cifras significativas

Puesto que toda medida es imprecisa, se debe expresar con un numero limitado decifras, aun cuando su obtencion nos haya proporcionado un numero superior de ellas. Lascifras que deben mantenerse se conocen como cifras significativas, mientras que las cifrasno significativas son aquellas que no deben tenerse en cuenta.

Las cifras significativas son los dıgitos representativos de una magnitud. Si el valor deuna medida se expresa como 69,2, se sobreentiende que el valor real esta comprendidoentre 69,1 y 69,3. Por lo tanto, la cifra 69,2 tiene 3 cifras significativas, y la cifra 4305,031tiene 7. Sin embargo, existen ciertas reglas que deben seguirse para casos menos claros:

-Los ceros a la izquierda no cuentan como cifras significativas, y tampoco los ceros a laderecha si pertenecen a la parte decimal del numero. Por lo tanto, el 0,00030400tiene solo 3 cifras significativas (el 3, el 0 y el 4).

-Para las cifras mayores de 10 que acaben en ceros, estos no suelen tomarse como sig-nificativos, aunque depende del caso. Ası, el numero 123000 solo tendrıa tres cifrassignificativas.

Respecto al uso de las cifras significativas, se deben usar las reglas que se mencionana continuacion.

1. Redondeo de numeros. Cuando se realizan calculos, se suelen obtener numeros conmuchas cifras, y puede ser necesario reducir el numero de dıgitos. La regla a seguir esque la ultima cifra significativa (la que esta mas a la derecha) se aumentara en unaunidad si la primera no significativa a su derecha es 5 o mayor de 5, y se dejara igualsi dicha cifra es menor que 5. Por ejemplo, si se desea redondear el numero 1,3563342a dos cifras significativas, como la primera no significativa a la derecha del 3 es el5, lo correcto sera expresar 1,3563342 como 1,4, el numero 1,44565785 como 1,4 yel 0,330565 como 0,33. Para calculos que requieran varios pasos, es muy importanteno redondear los resultados intermedios, ya que esto podrıa provocar errores muygrandes en el resultado final. Por lo tanto, conviene utilizar los numeros con todassus cifras, y redondear solamente el resultado final. El redondeo de los errores, setratara en el apartado correspondiente a estos.

2. Cifras significativas y calculos. Si se debe calcular el area de una circunferencia(A = πr2) y nos dan el radio en milımetros (r = 8, 9 mm, por ejemplo), no tieneningun sentido que nuestro resultado sea A = 248, 845554091 mm2, aunque ese seael resultado que aparece en la calculadora. En esto conviene seguir las siguientesreglas:

-Cuando se multipliquen o dividan dos numeros, el resultado debe tener tantascifras significativas como el que menos tuviera de los numeros originales. Porejemplo, si se multiplican 3,7 por 3,01, el resultado da 11,137, pero se debe darsolo con dos cifras significativas (como el 3,7) y por lo tanto el resultado es 11.

-Cuando se sumen o resten dos numeros, el resultado debe tener tantas cifrasdecimales como el que menos tuviera de los numeros originales. Por ejemplo, sise suman 11,24 mas 13,1, el resultado da 24,34, pero se debe dar solo con trescifras significativas (como el 13,1) y por lo tanto el resultado es 24,3.


3. Notacion cientıfica. Cuando se utilizan numeros muy grandes o muy pequenos, esfrecuente expresarlos utilizando la notacion cientıfica. Este sistema es muy simple,y evita tener que escribir numeros con grandes filas de ceros. El sistema consisteen escribir la coma decimal tras la primera cifra significativa, y a continuacion elresto de cifras significativas. Finalmente, se multiplica ese numero por 10 elevado ala potencia correspondiente. La excepcion la forman los numeros entre 0 y 10, quese expresan sin la potencia. La siguiente tabla muetra varios ejemplos:

Numero En notacion cientıfica12,65 1, 265× 101

0,00023 2, 3× 10−4

342,5 3, 425× 102

34001 3, 4001× 104

5,64 5, 64

4. Resultados acompanados de error. Todo resultado debe ir acompanado de su errorcorrespondiente, como veremos mas adelante en el capıtulo dedicado al calculo deerrores. Tambien el valor de dichos errores debe ser redondeado a una sola cifrasignificativa, a no ser que las dos cifras significativas mas a la derecha sean menoresque 25. En ese caso, se redondea a esas dos cifras. Por lo tanto, si nuestro mon-taje preparado para medir la velocidad del sonido en el aire tiene como resultado341, 775 m · s−1 y su error asociado es de 0, 875 m · s−1, lo correcto sera expresarlocomo

c = (341, 8± 0, 9) m · s−1, (1)

o, utilizando notacion cientıfica,

c = (3, 418± 0, 009)× 102 m · s−1. (2)

Pero si el error es 0,234, lo correcto sera

c = (341, 78± 0, 23) m · s−1. (3)

5. ordenes de magnitud. Es muy importante, siempre que sea posible, tener una ideaaproximada del valor de una medida antes de llevarla a cabo. Por ejemplo, si el valordel voltaje de una pila nos sale 1300 V , deberıamos sospechar que hemos cometidoalgun error. De hecho, es de inmensa utilidad estimar el orden de magnitud de lasmedidas antes de realizarlas, y puede evitarnos situaciones embarazosas.

0.3. Representacion grafica

Cuando los datos experimentales se representan en forma de grafica, la informacionque podemos obtener de los mismos es mucho mas rica que cuando disponemos de ellosen forma de tabla, especialmente cuando el numero de datos de los que se dispone es muygrande. Entre otras cosas, una grafica nos informa de

1. El rango sobre el que se extienden nuestras medidas.


2. El error asociado con cada medida (si incluimos las barras de error).

3. La presencia de algun tipo de comportamiento particular; por ejemplo la relacionlineal, parabolica o de otro tipo entre dos magnitudes o la total ausencia de relacionentre ambas.

4. La existencia de algunos datos que no comparten la caracterıstica general exhibidapor la mayorıa de datos.

Evidentemente, la informacion que se obtenga de una grafica depende en gran medidadel objetivo con que se haya construido dicha grafica. En Fısica, las graficas tienen fun-damentalmente tres usos. El primero, al que quiza estemos mas acostumbrados pero queen la practica es seguramente el menos extendido, es determinar el valor de una ciertamagnitud, como por ejemplo la pendiente de una curva, cuando realizamos el ajuste a unalınea recta de un conjunto de datos a ojo (si utilizamos el metodo de mınimos cuadradosestamos empleando los datos en sı, y no la grafica, para realizar el ajuste).

La segunda forma en que se emplean las graficas es sin duda la mas importante: lasgraficas sirven como ayuda visual, revelandonos la presencia o ausencia de alguna pautainteresante en los datos experimentales o nos permiten evaluar de un vistazo el ajuste deun conjunto de datos a una determinada curva teorica cuando ambos se representan enun mismo grafico.

Las graficas tambien pueden emplearse para proporcionar un ajuste empırico entredos magnitudes, por ejemplo en el calibrado de ciertos aparatos.

0.3.1. Como dibujar graficas

Los datos que representamos en las graficas que habitualmente empleamos en Fısicaestan especificados por un par de numeros que denominamos las coordenadas del puntoexperimental a que nos referimos. La primera coordenada se denomina abcisa o variableindependiente, mientras que la segunda se llama ordenada o variable dependiente. Enun grafico cartesiano o grafico x-y, uno de los mas empleados en la practica, la abcisacorresponde al eje horizontal (eje x) del plano coordenado mientras que la ordenadacorresponde al eje vertical (eje y).

Normalmente representamos los datos en escala lineal. esta es la manera ordinaria derepresentar los datos. Sin embargo, es tambien habitual representar los datos en escalasemi-logarıtmica (uno de los ejes, normalmente el y, se escala de forma logarıtmica) ologarıtmica (los dos ejes se escalan de forma logarıtmica). El primero de los casos es utilcuando existe una relacion de tipo exponencial o logarıtmico entre los datos; el segundocuando entre los datos existe una relacion del tipo y ∝ xp.

0.3.2. Eleccion de escala y de origen

En la gran mayorıa de los casos, es aconsejable elegir escalas que permitan que lospuntos representados esten repartidos de manera mas o menos homogenea por el espaciofısico del grafico, evitando situaciones en las que los puntos se acumulen en una unica zonadel mismo. Del mismo modo, dependiendo del numero de datos de que dispongamos, de labondad de estos y del tipo de comportamiento que se pretenda poner de manifiesto, puedeser aconsejable mover el punto de corte entre los dos ejes desde su posicion habitual, (0,


Figura 1: Forma correcta de dibujar una lınea que ajusta una nube de puntos.

0), a otra que nos permita visualizar de manera clara las caracterısticas importantes dela relacion entre la variable dependiente e independiente.

Por otro lado, la escala debe ser simple: Una division en la grafica deberıa correspon-der a una unidad de la magnitud que se esta dibujando (0 a 10, 100, 0,1, etc.); otraselecciones adecuadas pueden consistir en hacer coincidir una division con 2 o 5 unidades.Cualquier otra escala deberıa en principio evitarse, porque complicarıa la lectura de losdatos representados en la grafica.

0.3.3. Sımbolos, trazado de lıneas y barras de error

Una recomendacion general a seguir en cuanto a la eleccion de los sımbolos utilizadospara representar los datos dibujados es que estos deben ser grandes antes que pequenos.Un sımbolo excesivamente pequeno podrıa pasarse por alto en la lectura de la grafica oincluso confundirse con defectos del papel. Cuando queramos representar en una mismagrafica los resultados correspondientes a varias realizaciones de un mismo experimento, oa condiciones cambiantes (por ejemplo, temperatura o presion variables), es convenienteutilizar sımbolos diferentes para cada uno de los conjuntos de datos, de manera que seafacil reconocer los datos que pertenecen a un mismo conjunto. No obstante, si el graficoresulta confuso debido a la profusion de datos o sımbolos, puede resultar mas util dibujarcada conjunto de datos en una grafica diferente.

En cuanto al trazado de lıneas, es importante recordar que casi en ninguna situaciones recomendable unir los puntos experimentales con lıneas. Es mucho mas realista suponerque la relacion entre las variables x e y es suave, por lo que en general dibujaremos enla grafica una lınea que sirva como ayuda para el ojo y que de alguna manera representela dependencia funcional entre ambas variables, como se muestra en la figura 1. Eviden-temente, no podemos pretender extraer conclusiones cuantitativas sobre dicha relacionfuncional a partir de dicha curva de “mejor ajuste”, salvo en casos muy particulares; porejemplo, cuando tras haber realizado un ajuste por mınimos cuadrados resulta claro quela relacion es lineal siendo el coeficiente de regresion muy cercano a 1.


Sabemos que cualquier medida experimental va acompanada siempre de un ciertoerror. Cuando hacemos una representacion grafica de los datos experimentales, es posibleindicar la magnitud de dicho error empleando las llamadas barras de error. Las barras deerror son segmentos de recta horizontales y/o verticales centrados en el punto correspon-diente y cuya longitud nos indica el error asociado con dicho dato en particular. Dibujarlas barras de error en una grafica requiere un trabajo adicional ademas de que tiende acomplicar la lectura del mismo, sobre todo cuando en una misma grafica tenemos variosconjuntos de datos; por ello, es recomendable representar las barras de error solo cuandorealmente aporten informacion relevante sobre los datos (el ajuste de los mismos a unagrafica o la dispersion de los errores, por ejemplo). No tendrıa sentido representar lasbarras de error de una tabla de datos en que el error asociado con cada dato en particu-lar es identico en todos los casos. En esta situacion, basta indicarlo al pie de la figura.Igualmente, cuando las barras de error son demasiado pequenas como para representarlasclaramente, es posible prescindir de ellas.

0.3.4. Tıtulo, etiquetas y unidades

Normalmente, las graficas suelen venir acompanadas de un tıtulo. El tıtulo debe serbreve y claro. Por ejemplo: Longitud de una barra de aluminio en funcion de la temperatu-ra. Suele ir en la parte superior de la grafica, centrado y en la parte externa del recuadro,si el grafico lo posee.

En los ejes deben quedar suficientemente claras las marcas correspondientes a lasdivisiones del intervalo de interes de la variable x e y. Dichas marcas iran acompanadasdel numero correspondiente a la division. Si los numeros representados son demasiadograndes o demasiado pequenos, se emplearan potencias de 10 (notacion cientıfica). Encada eje escribiremos tambien el nombre de la magnitud correspondiente y, entre parentesisnormalmente, las unidades que se emplean. En caso de estar utilizando notacion cientıfica,podemos escribir tambien la potencia que proporcione el orden de magnitud relevante endichas mediciones ası:

Tiempo (s)× 10−5. (4)

Si la etiqueta anterior corresponde por ejemplo al eje x, la marca “1” sobre dicho eje debeinterpretarse como 1× 10−5 s.

0.4. Tratamiento de errores

El fin ultimo de la ejecucion de un experimento en fısica es obtener resultados numeri-cos para magnitudes fısicas. Tales magnitudes presentan, a priori, un intervalo continuo devalores posibles, y su valor verdadero resulta imposible de determinar con total exactitud.Todo valor experimental viene por ello afectado de una cierta imprecision que es inherentea cualquier proceso de medida. Esta imprecision se denomina tambien error experimentalo incertidumbre.

Un experimento puede consistir en realizar medidas con instrumentacion muy simple,como un reloj-cronometro o una cinta metrica, o requerir unos medios muy sofisticados,tales como satelites para medir el tamano del agujero de ozono sobre la Antartida. Encualquier caso, todos los experimentos tienen al menos una cosa en comun: cada medidaque se realiza esta sujeta a una cierta incertidumbre. Por incertidumbre (o error) se


entiende que si repitieramos varias veces la misma medida, encontrarıamos una variacionen los valores observados. Incluso si es posible reducir dicha incertidumbre mediante unmetodo experimental muy desarrollado, nunca podra ser eliminada completamente.

La validez de los resultados experimentales, ası como las conclusiones que se quieranextraer de los mismos, dependen del grado de imprecision del que vienen afectados ypor tanto, es muy importante acotar tal imprecision. El analisis de las incertidumbresintroducidas en los experimentos es esencial porque permite llevar a cabo los siguientespuntos importantes:

-Estimar la confianza de los resultados.

-Determinar los puntos debiles del experimento y mejorar el mismo.

-Establecer si los valores obtenidos concuerdan realmente con valores previos o con va-lores teoricos.

-Determinar si valores diferentes obtenidos en varios experimentos concuerdan entre sıdentro de lo esperado segun el proceso de medida.

Existe un sistema formal desarrollado para llevar a cabo tal analisis. Tal sistema sedenomina normalmente reduccion de datos, analisis de errores o, simplemente, tratamientode datos experimentales.

0.4.1. Precision y exactitud

Al hablar de incertidumbres en los valores medidos conviene distinguir entre exactitudy precision.

1. Precision. La precision de una medida se refiere a lo que concuerdan entre sı dos omas medidas de una magnitud fısica, y cuantifica de una manera clara la cantidadde variabilidad que se ha encontrado a la hora de realizar dichas medidas. Se expresacon el error que acompana a cada resultado, y es importante tener en cuenta queun resultado muy preciso no tiene porque estar cercano al valor real. Lo unico quesabremos es que las sucesivas medidas son muy parecidas.

2. Exactitud. La exactitud, por el contrario, indica lo que se aproximan las medidas alvalor verdadero.

Por ejemplo, si se hace una pesada varias veces con una balanza que siempre pesa100 g de mas, y se obtiene siempre un valor similar, seran medidas muy precisas, peromuy poco exactas. Por lo tanto, la precision no garantiza exactitud. Lo idoneo es conseguirresultados tanto precisos como exactos.

0.4.2. Tipos de error

Los errores pueden clasificarse de diferentes formas.

1. En funcion de su procedencia:


-Error de escala. Es debido a que la capacidad de resolucion de los instrumentos demedida es finita, y el valor de la magnitud que se pretende medir se ve por elloredondeada. El error de escala sera la mitad de la precision del instrumentode medida si es analogico, e igual a su precision si se trata de un instrumentodigital.

-Error aleatorio. Se debe a causas fortuitas y es difıcil de cuantificar directamente.Sin embargo, se asume que el efecto en las medidas es aleatorio y por tantosusceptible de tratamiento estadıstico. Por tanto, para detectar y cuantificareste error se han de llevar a cabo repetidos experimentos. Ejemplos serıan unavariacion en el voltaje de la red a la hora de trabajar con un circuito, el ruidode fondo de una moto cuando se estan haciendo medidas de ındole acustico,etc.

-Error sistematico. Es causado por problemas en el funcionamiento de los aparatosexperimentales o un procedimiento experimental incorrecto. A diferencia de losaleatorios, son unidireccionales, conducen a valores siempre altos o bajos y porello no pueden ser detectados por repeticion de medidas. Un ejemplo serıa unabalanza mal calibrada, estar demasiado cerca del detector Geiger cuando seesta midiendo la radiactividad de un isotopo (y por lo tanto contribuir con laradiactividad procedente de nuestro cuerpo), etc. Este tipo de errores puedenser eliminados sin dificultad una vez que se conoce su existencia.

2. Error absoluto y error relativo. En el trabajo de laboratorio podemos hablar de dostipos de numeros: exactos y aproximados.

-Numeros exactos (X). Tienen valores perfectamente definidos. Ejemplo: 1 kg sonexactamente 1000 g; si, en una ecuacion, aparece un numero entero (1, 2...) suvalor es exactamente ese, etc. Sin embargo, para que el numero π fuera exactodeberıan tomarse infinitos decimales.

-Numeros aproximados (x). Son solo una aproximacion al valor exacto de la mag-nitud que pretenden representar. Las magnitudes medidas (longitud, volumen,temperatura...) son aproximadas debido al error inherente ya mencionado ylas constantes fısicas o matematicas tambien por la limitacion en el numerode decimales usados (lo indicado para el numero π). Puesto que estos son lagran mayorıa, en los calculos se usan casi siempre numeros aproximados. Paraque el valor aproximado x quede bien caracterizado ha de ir acompanado desu error.

-Error absoluto ∆ = |X − x|. No puede evaluarse, ya que para ello se requiere elvalor exacto X que es desconocido. Sin embargo, se puede estimar una cotasuperior o lımite de error εx que permite acotar el valor exacto de la magnitud,de tal modo que

x− εx ≤ X ≤ x+ εx. (5)

Llamaremos, por tanto, error absoluto a ∆x. Puesto que tiene las mismasdimensiones que x, la forma correcta de expresar cualquier magnitud es lasiguiente:

magnitud = (numero± error) unidades = (x± εx) unidades. (6)


Como vemos, el error absoluto representa la incertidumbre o error de la quese hablo en el apartado de Resultados acompanados de error en la seccion deCaracterısticas de los resultados experimentales.

-Error relativo δ = ε/ |X|. Tampoco puede evaluarse exactamente, pero se utilizasu cota superior

δx = ε/ |x| . (7)

Este error suele expresarse en %, multiplicando δx por 100. Carece de unidades.

0.4.3. Calculo de errores de medidas directas

Una unica medida

Si se realiza una unica medida no se puede estimar el error aleatorio (puesto que habrıaque aplicar tecnicas estadısticas) y se considera que el unico error en la medida es el errorde escala.

1. Escala analogica. Tomaremos como error absoluto la mitad de la sensibilidad delaparato, es decir, la mitad de la division mas pequena de la escala.

2. Escala digital. En este caso, el error absoluto sera la sensibilidad del aparato, esdecir, el incremento entre dos medidas que pueda mostrar el aparato.

En cualquier caso, nunca es recomendable hacer una unica medida, para evitar queuna equivocacion estropee el resultado del experimento.

Varias medidas

1. Calculo de la media. Si se realizan varias medidas se tomara como valor de la magni-tud la media de los diversos valores obtenidos. Por lo tanto, si se realizan n medidasde la magnitud, x, con los resultados x1, x2, ...xn, el mejor valor que podemos darde la magnitud medida es la media,

x =1

n

n∑i=1

xi. (8)

2. Error cuadratico medio o desviacion tıpica. La dispersion de los datos del valor dela media se mide por su desviacion tıpica,

s(x) =

(1

n− 1

n∑i=1

(xi − x)2

)1/2

. (9)

Este valor no disminuye apreciablemente aunque se aumente el numero de medidas.

3. Error cuadratico de la media o desviacion estandar. Viene dado por

sx =s(x)√n

=

(1

n(n− 1)

n∑i=1

(xi − x)2

)1/2

. (10)


El significado del error cuadratico de la media es importante, ya que nos habla de laprobabilidad de que, al medir un valor xi, obtengamos un resultado cercano al valorreal. Si llamamos µ al valor real de la magnitud (que desconocemos), la probabilidadde que al realizar una medida su valor se encuentre en el intervalo (µ−sx, µ+sx) es del68, 30 %, dentro del intervalo (µ− 2sx, µ+ 2sx) es del 95, 45 % y dentro del intervalo(µ−3sx, µ+3sx) es del 99, 73 %. Por lo tanto, tenemos que x es la mejor aproximaciondel valor real µ de la magnitud a medir, y es casi seguro (con una probabilidad del99, 73 %) que si tomamos una medida xi de esta, se encuentre a menos de 3sx dex. Por eso, cuanto menor sea la desviacion estandar, mejor estaremos acotando elvalor real. Como la desviacion estandar decrece con el numero de medidas, siempreconvendra tomar el mayor numero posible de medidas de cualquier magnitud quese quiera conocer. Como se ve, sx es inversamente proporcional a la raız del numerode medidas, esto es,

sx ∝1√n. (11)

4. Desechando medidas. Muy a menudo se obtienen medidas equivocadas muy distintasal resto, y cuyo altısimo o bajısimo valor influye negativamente en los resultadosdesviando la media y aumentando el error. Estas medidas se conocen como medidasespureas. Si uno esta seguro de que un determinado valor en apariencia extrano esdebido a un error de medida y que no refleja un efecto fısico no previsto, se puededesechar y trabajar unicamente con el resto.

5. En resumen, los pasos a seguir son los siguientes:

-Hallar la media x de las n medidas tomadas, intentando que n sea lo suficiente-mente grande.

-Calcular el error aleatorio de la media, que se supondra igual a 3 veces la desviacionestandar,

εx = 3sx =3s(x)√n. (12)

-Se comparan el error de escala del aparato y el error aleatorio, y se toma comoerror absoluto el mayor de los dos.

-Se redondea el error a una unica cifra significativa (o dos, si las dos primeras cifrasson menores que 25), y la media x hasta ese orden de magnitud.

-Se incluyen las unidades pertinentes.

6. Ejemplo. Medimos con un cronometro de precision 1 ms el perıodo de un pendulo yobtenemos los siguientes resultados,

Perıodo (ms) 902 850 915 930 888 875 889 902 902 890

-Calculo de la media.

x =1

10

10∑i=1

xi = 894, 3 ms. (13)


-Calculo del error asociado a la media. La desviacion estandar es

sx =s(x)√

10=

(1

10 · 9

10∑i=1

(xi − x)2

)1/2

= 6, 9 ms, (14)

de modo que el error aleatorio sera

εx = 3sx = 20, 7 ms. (15)

Puesto que el error de escala es de 1 ms, tomamos como error absoluto el erroraleatorio, que es el mayor de los dos: εx = 20, 7 ms.

-Redondeo. Se debe redondear a una cifra. Se redondeara a dos si la primera es un1 o la primera es un 2 y la segunda menor que 5 (en definitiva, se redondearaa dos si la cifra es menor que 25). Por lo tanto, el error sera

εx = 21 ms. (16)

Como la ultima cifra significativa es el milisegundo, hasta este orden se redon-deara la media. Por lo tanto se obtiene, incluyendo las unidades pertinentes,

x = 894± 21 ms. (17)

Si el error hubiera sido mayor que 25, se habrıa redondeado a una sola cifrasignificativa, como por ejemplo,

εx = 27 ms ≈ 30 ms, (18)

y el resultado serıax = 890± 30 ms, (19)

o, en notacion cientıfica,

x = (8, 9± 0, 3)× 102 ms. (20)

0.4.4. Calculo de errores de medidas indirectas

En la mayorıa de los casos las magnitudes medidas directamente no son el objetivo finalde un experimento, sino un paso necesario para obtener otras magnitudes relacionadascon ellas mediante alguna dependencia funcional. Si x1, x2, ...xn son todas las magnitudes(ahora xi son diferentes magnitudes, no medidas de la misma magnitud, como hasta ahora)que intervienen en la evaluacion de otra indirecta y cuyo valor pretendemos determinar,podemos representar matematicamente tal dependencia funcional como

y = f(x1, x2, ...xn). (21)

Puesto que cada magnitud xi viene afectada por un error εxi , tal error afectara ala precision de la magnitud calculada y. El calculo de la incertidumbre de un resultadoobtenido indirectamente εy a partir de las correspondientes incertidumbres de las medidasdirectas εxi se denomina propagacion de errores y se basa en el concepto de diferencialde una funcion de varias variables. El calculo de propagacion de errores se lleva a cabo


de modo diferente segun sea el tipo de error εxi . En el caso de que todo εxi sea un erroraleatorio, obtenido segun las expresiones indicadas previamente, el valor de εy se obtendrasegun la ecuacion

εy =n∑i=1

∣∣∣∣ ∂y∂xi∣∣∣∣ εxi . (22)

Algunos casos practicos, suponiendo que la funcion V depende de otras dos magnitudesa y b, es decir, V = f(a, b).

-Suma: V = a+ b. Aplicando la formula anterior, se obtiene εV = εa+ εb.

-Resta: V = a− b =⇒ εV = εa + εb.

-Producto: V = a · b =⇒ εV = b · εa + a · εb.

-Cociente: V = a/b =⇒ εVV

= εaa

+ εbb

.

Las magnitudes xi no son exclusivamente las medidas experimentales, ya que las cons-tantes fısicas suelen estar tambien afectadas por un cierto error de redondeo, y han de serconsideradas en el computo completo del error.

Sin embargo, en muchos casos practicos, la aplicacion de este procedimiento se simpli-fica bastante ya que algunas magnitudes tienen un error muy pequeno frente al de otras ysu contribucion a εy es despreciable. Por la misma razon, puede ser conveniente aumentarel numero de cifras significativas que se consideran de ciertas magnitudes (constantes,masas atomicas,...) para que el error debido a ellas sea mınimo.

Ejemplo: Dado un cilindro de radio r = 6, 0 cm y altura h = 10, 0 cm, determinaremosel volumen del mismo. Se toma como dato π = 3, 1416. El volumen V resulta

V = πhr2 = 1131 cm3. (23)

Las derivadas parciales necesarias son

∂V

∂r= 2πhr = 377 cm2, (24)

∂V

∂h= πr2 = 113 cm2, (25)

∂V

∂π= hr2 = 360 cm3. (26)

Ası, tomando como errores

εr = εh = 0, 1 cm, (27)

επ = 0, 0001, (28)

el error en el volumen es

εV = (377 · 0, 1 + 113 · 0, 1 + 360 · 0, 0001) cm3 = 49 cm3. (29)

Finalmente, se obtieneV = 1130± 50 cm3, (30)

o,en notacion cientıfica,V = (1, 13± 0, 5)× 103 cm3. (31)

Ademas de la presentacion del resultado del volumen con su error, el analisis anteriorpermite obtener una serie de conclusiones:


-El error debido al redondeo de π es despreciable (0,036) frente al resto y podrıa habersesuprimido.

-La mayor contribucion al error εV se debe al radio (37,7), por lo tanto para mejorar elmetodo hay que mejorar la precision de la medida de r.

0.5. Regresion lineal

La dependencia lineal entre dos variables ocurre de una manera tan frecuente enCiencias e Ingenierıa que debemos considerar con detenimiento el analisis de los datoscorrelacionados de esta forma.

Supongamos que tenemos una nube de puntos de coordenadas (xi, yi) y que a simplevista sugieren una relacion lineal entre las variables x e y, es decir, existe entre ellasuna dependencia del tipo y = mx + c. Una primera aproximacion a los valores de m(la pendiente de la recta) y c (la ordenada en el origen) puede obtenerse simplementedibujando con una regla la que, a ojo, nos parezca la recta que mejor se ajusta a lanube de puntos considerada. A partir de ella, obtenemos los valores numericos de m y c.Aunque esta manera de proceder puede resultar util en alguna ocasion, hay aspectos quedesaconsejan emplearla como un metodo generalizado con el que realizar nuestros ajusteslineales. Entre ellos estan:

-Dos personas nunca dibujaran la misma recta a ojo, con lo cual difıcilmente podranreproducir nuestros resultados.

-Si el error asociado con cada dato es diferente, ¿ como podemos tener esto en cuenta ala hora de dibujar la recta, puesto que unos datos tienen mas relevencia que otros?

-Dibujar la recta a ojo puede resultar muy difıcil si los datos estan excesivamente dis-persos.

¿ Como podemos asociar errores a las magnitudes m y c por el anterior procedimiento?.

Todo esto lleva a considerar una herramienta mas sistematica que nos permita res-ponder a las anteriores cuestiones y eliminar las incertidumbres en algunos de los calculosinvolucrados. Esta herramienta se conoce como metodo de los mınimos cuadrados.

0.5.1. Metodo de los mınimos cuadrados

El metodo de mınimos cuadrados que vamos a describir a continuacion se apoya endos suposiciones; primero, asumimos que solo estan afectados de error los valores de lavariable y, mientras que la variable x esta libre de error (esta situacion es bastante comunen la practica, donde la variable x es generalmente la que el experimentador controla ypor tanto se supone conocida con una gran precision). Segundo, suponemos que los erroresasociados con cada medida de la variable y son identicos, es decir, que las barras de errorson todas de igual longitud. Mas adelante generalizaremos el metodo para el caso generalen que los errores de cada medida son diferentes.

En la figura se muestra una grafica con una recta que pasa cerca de los datos experi-mentales. Para un valor determinado de x, por ejemplo xi, tenemos dos valores de y: yi0,


Figura 2: Grafica que muestra el ajuste por mınimos cuadrados a una nube de puntos.Tambien se muestran las barras de error, ası como la forma correcta de escribir el tıtuloy las etiquetas de los ejes. Observese que el origen esta situado en (0,0.2) por claridad.

que corresponde al valor de y medido experimentalmente para xi; e yic, que correspondeal valor calculado usando la ecuacion de la recta

yic = mxi + c, (32)

donde m representa la pendiente de la recta y c la ordenada en el origen. Definamos εyicomo la diferencia entre yi0 e yic,

εyi = yi0 − yic. (33)

Esta claro que si utilizamos diferentes rectas para intentar ajustarlas mejor a los datosexperimentales, los valores de εyi van cambiando. Vamos a emplear un criterio para en-contrar la recta de mejor ajuste empleando los valores de εyi . Este metodo es comunmenteempleado en estadıstica teorica y se denomina el principio de maxima probabilidad. Con-siste en asumir que la mejor recta es aquella cuyos parametros m y c minimizan la sumade los cuadrados de los εyi . Llamemos a esta suma SS,

SS = (εy1)2 + (εy2)

2 + · · ·+ (εyn)2 =n∑i=1

(εyi)2 (34)

donde n es el numero de datos experimentales que estamos considerando para el ajuste.Empleando la ecuacion 32, podemos escribir

SS =n∑i=1

(yi0 − (mxi + c))2. (35)

Para obtener la recta de mejor ajuste por el metodo de mınimos cuadrados, debemosminimizar SS. Para ello debemos igualar a cero, a la vez, la derivada parcial de SS con


respecto a m y la derivada parcial con respecto a c. Esto da lugar a las ecuaciones1:

n∑i=1

[xi(yi0 −mxi − c)] = 0, (36)

n∑i=1

(yi0 −mxi − c) = 0. (37)

Las dos ecuaciones anteriores se pueden desarrollar y, combinandolas, obtener las siguien-tes expresiones para m y c,

m =n∑xiyi −

∑xi∑yi

n∑x2i − (

∑xi)2

, (38)

c =

∑x2i

∑yi −

∑xi∑xiyi

n∑x2i − (

∑xi)2

, (39)

donde hemos eliminado por conveniencia el subındice 0 de yi0 y los ındices de las sumas,puesto que siempre se extienden al conjunto de datos experimentales n. Las dos ecuacio-nes anteriores nos permiten calcular, a partir de medidas experimentales, la pendiente yordenada en el origen de la recta de mejor ajuste segun el metodo de mınimos cuadrados,de una manera completamente sistematica. En la practica, no obstante, al llevar a caboel calculo de m y c, es importante no redondear los valores intermedios utilizados en elcalculo de dichas magnitudes, ya que esto puede influir tremendamente en los valoresfinales. Esto es debido a que en el numerador y en el denominador tenemos restas entremagnitudes que pueden ser muy cercanas, por lo que un cambio mınimo en el denomi-nador o el numerador puede cambiar fuertemente el resultado de la division. Por ello, esrecomendable mantener durante todo el calculo los resultados intermedios con el mayornumero de cifras significativas que sea posible; esto es posible si utilizamos una calcula-dora o un computador para realizar los calculos.

Un indicador importante a la hora de analizar el resultado de un ajuste lineal es elcoeficiente de correlacion lineal. Este coeficiente comprendido entre menos uno y unodebe ser proximo a uno, lo cual significa un ajuste satisfactorio. El coeficiente se puedecalcular mediante la siguiente formula:

r =

∑(y′i − µy′)(yi − µy)

σ′yσy, (40)

siendo µy y µy′ la media de los datos experimentales en y y de los valores ajustadosrespectivamente. σy y σ′y representan la desviacion estandar de las magnitudes anteriores.

0.5.2. Calculo de errores de la pendiente y la ordenada en el origen

En el apartado anterior hemos encontrado las ecuaciones que nos permiten calcular losparametros de la recta de mejor ajuste a una serie de datos experimentales. Logicamente,

1En realidad, la condicion que aquı empleamos unicamente asegura que el valor de SS ası encontradoes un extremo. Para poder decir que se trata efectivamente de un mınimo es necesario imponer unasegunda condicion sobre la derivadas parciales segundas, pero nosotros no vamos a llevar a cabo estecalculo, asumiendo que se trata realmente de un mınimo.


queda una pregunta importante que contestar: ¿ que error asociamos a cada una de estascantidades? Es decir, ¿ con cuantas cifras significativas tenemos que escribir los valoresde m y c? Para contestar a esta pregunta vamos a hacer las siguientes suposiciones:

-Para cada valor de x, el valor correspondiente de y tiene un cierto error asociado.

-El error asociado con cada valor de y contribuye al error de m y n.

-Los errores en cada valor de y son independientes.

En particular esta ultima suposicion nos permite escribir

σm =

√(∂m

∂y1

)2σ21 + (

∂m

∂y2

)2σ22 + · · ·+ (

∂m

∂yn)2σ2

n, (41)

y una ecuacion similar para c. Las cantidades σ1, σ2, . . . , σn son los errores de y1, y2, . . . , yn.Suponiendo que dichos errores son iguales para todos los valores de y, tenemos

σm = σ

[n∑i=1

(∂m

∂yi

)2]1/2

, (42)

σc = σ

[n∑i=1

(∂c

∂yi

)2]1/2

. (43)

Empleando las expresiones para m y c que hemos calculado en la seccion anterior ysustituyendo en estas ecuaciones resulta, tras algunos calculos,

σm =σn1/2

[n∑x2i − (

∑xi)2]1/2

, (44)

σc =σ(∑x2i )

1/2

[n∑x2i − (

∑xi)2]1/2

. (45)

Por supuesto, σm y σc son los errores estandar correspondientes a m y c y σ es el errorasociado con cada valor de y. Normalmente, cuando estamos realizando un ajuste lineal,solemos tomar σ como la desviacion estandar de la distribucion de valores de y en torno ala recta de mejor ajuste, en lugar del error experimental. Esta desviacion estandar resultaser:

σ =

[1

n− 2

∑(yi −mxi − c)2

]1/2

. (46)

Por tanto, las ecuaciones 44, 45 y 46 nos permiten el calculo de los errores en la pendientey la ordenada en el origen del ajuste por mınimos cuadrados.

0.5.3. Apendice

En esta seccion vamos a discutir brevemente el caso mas general del ajuste por mınimoscuadrados, es decir, aquel en que los errores asociados con cada medida yi de la variabley, son diferentes. Los llamaremos por conveniencia σi, i = 1, . . . , n.


Si bien los calculos explıcitos en este caso son mas complicados que en el caso particularque hasta ahora hemos considerado, la idea general (minimizar la suma de los cuadradosde las diferencias εyi) es la misma. Por tanto, vamos a limitarnos a recopilar las formulasque debemos aplicar para el calculo de m, c y sus respectivos errores.

En primer lugar, introducimos la cantidad2

ε =∑ 1

σ2i

∑ x2i

σ2i

−(∑ xi

σ2i

)2

. (47)

Con ello, resultan

m =

∑1σ2i

∑ xiyiσ2i−∑

xiσ2i

∑ yiσ2i

ε, (48)

σm =

(∑1σ2i

ε

)1/2

, (49)

c =

∑ x2iσ2i

∑ yiσ2i−∑

xiσ2i

∑ xiyiσ2i

ε, (50)

σc =

∑ x2iσ2i

ε

1/2

. (51)

Aplicar estas expresiones a un conjunto de datos muy grande requiere por supuesto el usode un computador con el software adecuado.

0.6. Elaboracion de la memoria

0.6.1. El proposito de la memoria

La elaboracion de memorias constituye una tarea ineludible en el quehacer cientıficoen cuanto que es el instrumento habitual para hacer llegar al conjunto de la comunidadcientıfica resultados y conclusiones que en principio son solo accesibles al autor o autoresde un trabajo determinado o, en el mejor de los casos, a un entorno reducido de losmismos.

El objetivo de las practicas que vamos a realizar en el laboratorio no es convertir alalumno en un cientıfico, pero pueden constituir un primer acercamiento a la manera deproceder de estos. En ese sentido, como hemos indicado, una de las tareas que se debeafrontar es la elaboracion de informes donde se recojan diversos aspectos de su trabajo.

Escribir una buena memoria no es una tarea facil y requiere, como casi todo, algode entrenamiento. Una buena manera de empezar este entrenamiento puede ser echar unvistazo a informes que hayan sido escritos por otros, para poder hacerse una idea de todoslos componentes que deben estar presentes en una buena memoria; pero indudablemente,esto no puede sustituir nunca a la propia experiencia.

Cualquier buena memoria debe

-Ser completa pero concisa.

2Como siempre, todos los sumatorios se extienden a los n datos experimentales.


-Tener una estructura logica.

-Ser facil de leer.

Nos vamos a ocupar a continuacion de la estructura de la memoria. Un informe bienestructurado nos va a permitir contemplar todos los aspectos que deben estar presentesen un trabajo cientıfico, desde el transfondo general del problema hasta los detalles delexperimento.

0.6.2. Estructura de la memoria

Un esquema que es frecuentemente empleado en la redaccion de memorias o informeses el siguiente3:

-Tıtulo.

-Resumen.

-Introduccion.

-Metodos y materiales.

-Resultados.

-Discusion.

-Agradecimientos.

-Apendices.

-Referencias.

A continuacion, nos detendremos brevemente en cada uno de estos puntos.

1. Tıtulo. Debe ser breve pero, a la vez, informarnos suficientemente del contenido y/oobjetivo/s del trabajo. Debajo del tıtulo suele escribirse el nombre del autor deltrabajo.

2. Resumen. Debe contener los resultados novedosos o principales del trabajo, ası comolos aspectos fundamentales y la motivacion para la realizacion del mismo. Debe serbreve (entre unas 50 y 150 palabras) y centrarse en los puntos importantes, evitandolos detalles.

3. Introduccion. En la introduccion, el objetivo fundamental es situar el trabajo dentrode un contexto determinado; por decirlo ası, debe informarnos sobre el transfondode la investigacion que hemos llevado a cabo, sobre sus antecedentes y el estadoactual del tema. Aunque es posible, y a veces necesario, hacer referencia a trabajosanteriores, debe ser autocontenida en la medida de lo posible, aunque sin abundarexcesivamente en los detalles. La extension depende del tipo de trabajo de que setrate, pero no deberıa superar una quinta parte de la longitud del total.

3Cuando la memoria es breve, puede ser util combinar dos o mas secciones en una sola. Por ejem-plo, podrıamos tener un encabezamiento como ”Resultados y conclusiones”. Del mismo modo, algunassecciones como los ”Agradecimientos” pueden no ser necesarios


4. Metodos y materiales. Es una descripcion tanto del montaje como del metodo ex-perimental empleado. Si la tecnica experimental utilizada es conocida, basta condescribirla brevemente o remitir a las referencias; sin embargo, si es novedosa enalgun aspecto, conviene describirla con el suficiente detalle como para que el experi-mento sea reproducible por cualquier otra persona. Puede resultar muy interesantela inclusion de diagramas o dibujos explicativos que ayuden en este aspecto.

5. Resultados. En esta seccion, debemos incluir los datos que creamos necesarios paradar consistencia a nuestras discusiones y conclusiones posteriores. No se trata, portanto, de presentar todos los datos de que dispongamos sino solo los que resultenutiles para la comprension del trabajo que se presenta. A ser posible, es preferible surepresentacion en forma de graficas que en forma de tablas; otro aspecto importantees dejar bien claro el grado de precision que poseen nuestros datos, ya que es evidentela influencia de esta en la discusion y los resultados.

6. Discusion. Nos debemos ocupar aquı de interpretar los resultados que hemos presen-tado en la seccion anterior. Para ello, debemos centrarnos unicamente en los detallesprincipales del experimento, haciendo hincapie en aquellos que puedan resultar es-pecialmente influyentes en los resultados obtenidos. Por ejemplo, si hemos detectadoalgun tipo de fallo o error en el diseno o en la realizacion de la experiencia, discutir-lo brevemente podrıa ayudar a comprender hasta que punto los datos presentadosrespaldan la teorıa que se pretendıa investigar; como mınimo, esta discusion siempreaportara nuevas formas de ver el problema y de abordarlo en futuros experimentos.

7. Conclusion. Se trata de retomar el objetivo de nuestro experimento y estudiar hastaque punto los resultados obtenidos permiten afirmar que este se ha alcanzado. Esconveniente y usual comparar nuestros resultados con los de otros autores que hayanllevado a cabo experiencias similares.

8. Agradecimientos. Cualquier trabajo cientıfico, y en particular el trabajo experimen-tal, es casi siempre labor de varias personas. Es importante incluir en la memoriauna seccion muy breve destinada a agradecer a esas otras personas o entidades laayuda prestada, intelectual (en forma de discusiones sobre un aspecto particular deltrabajo, por ejemplo) o economicamente.

9. Referencias. Las referencias son una parte muy importante de la memoria, porquepermiten al lector tener acceso de forma selectiva a fuentes de informacion dondeconsultar detalles, la historia del problema, las tecnicas empleadas por otros, etc.,que evidentemente no pueden incluirse en la memoria. Existen fundamentalmentedos formas de dar las referencias en una memoria. La primera es colocar un su-perındice en alguna palabra del punto del texto donde la referencia sea relevante,que despues se correspondera en la seccion de referencias con una lınea de textodonde se incluira:

-El nombre o nombres del/los autores.

-El ano de publicacion.

-El nombre de la revista o del libro.

-Si se trata de una revista, el numero del volumen, en negrilla o subrayado.


-El numero de la primera pagina.

-A veces, tambien se incluye el tıtulo completo del artıculo en las referencias, sobretodo cuando esta seccion no es muy larga.

La segunda forma de dar una referencia consiste en escribir en el lugar del textoapropiado (y normalmente entre parentesis), el autor y el ano de la referencia; en estecaso, en la seccion de referencias, los autores estaran listados en orden alfabetico,seguidos del resto de la informacion como el ano de publicacion, etc.

10. Apendices. Aquı puede incluirse determinado material como la deduccion de unaecuacion o el codigo de un programa especialmente relevantes en la obtencion o eltratamiento de los resultados, de los cuales no existen o no conocemos referencias.

Capıtulo 1

Medidas geometricas

1.1. Objetivo

Mediante el uso de calibres, tornillos micrometricos y esferometros se determinaranlas dimensiones geometricas de distintos cuerpos. Tendra gran relevancia el analisis de loserrores de las distintas medidas directas e indirectas. Se caracterizaran adecuadamentelos distintos instrumentos de medida.

1.2. Fundamento teorico

En esta practica se hace uso de tres instrumentos de medida: el calibre o pie de rey,el Palmer o tornillo micrometrico y el esferometro. Cada uno de ellos mide determina-das longitudes relacionadas con la geometrıa de los cuerpos que se estudian. Como se hamencionado en el capıtulo de tratamiento de errores, la medicion y el error de medidade algunos instrumentos, como los tres que aquı se presentan, tienen caracterısticas espe-ciales que hay que estudiar por separado. En esta introduccion teorica se estudian estasparticularidades.

1.2.1. Calibre o pie de rey

Se trata del instrumento de la figura 1.1. Generalmente esta fabricado en acero, si bientambien hay modelos en plastico e incluso algunos modelos tienen un medidor digital. Es elmas conocido de los instrumentos de medidas geometricas, y permite una medicion rapiday relativamente precisa. Con el calibre se pueden medir longitudes interiores, exteriores yespesores de los cuerpos.

En la figura 1.1, se observa que la regla tiene una serie de marcas equiespaciadas unadistancia D (en el caso mas frecuente, y en el de este laboratorio, D = 1 mm). Sobre ellaresbala un cursor, que esta solidariamente unido a un vastago, que aparece en la parteinferior de la regla y que sirve para medir profundidades. En el cursor se encuentra unnonius, una segunda escala parecida a la de la regla pero con distinta separacion entre lasdivisiones. Cuando el calibre esta cerrado, el cero del nonius ha de coincidir con el cerode la regla. Si la escala del nonius esta dividida en n partes iguales, la precision P de un

24

CAPITULO 1. MEDIDAS GEOMETRICAS 25

Figura 1.1: Calibre o pie de rey.

calibre sera

P =D

n. (1.1)

Para medir la longitud exterior de un cuerpo hay que introducirlo entre las patillasfija y movil. Si se quiere medir una dimension interna se utilizaran las pinzas o cuchillossuperiores, y para medir profundidades se empleara el vastago posterior.

Cuando se presionan las patillas sobre el cuerpo en una determinada medicion, se puedeobservar que el cero del nonius queda comprendido entre dos divisiones consecutivas dela regla, que vamos a llamar NR y NR + 1. Posteriormente, hay que observar que divisiondel nonius es la que coincide mejor con alguna division de la regla superior. Si suponemosque esto le ocurre a la division NN del nonius, la medida total de la longitud l del cuerposera

l = NRD +NNP. (1.2)

Por ejemplo, supongamos que, al presionar las patillas del calibre sobre la longitud deuna arista de un cubo, nos encontramos con que el cero del nonius esta entre las divisiones6 y 7 de la regla, y que la division 4 del nonius coincide con la division 10 de la regla.Dado que, en nuestro calibre, el nonius tiene 10 divisiones y la division menor de la reglaes 1 mm, tenemos

NR = 6, NN = 4, D = 1 mm, n = 10, (1.3)

ası que la precision es P = D/n = 0, 1 mm, y la longitud medida es

l = NRD +NNP = 6 · (1 mm) + 4 · (0, 1 mm) = 6, 4 mm. (1.4)

1.2.2. Palmer o tornillo micrometrico

El Palmer se utiliza, por regla general, para medir el espesor de los cuerpos. El objetoa medir se coloca en la mandıbula, entre el tope y el husillo o extremo del tornillo (figura1.2). En la pieza hay una escala que se encuentra dividida en pasos. El paso de rosca,que es lo que avanza el tornillo en cada giro, es D = 0, 5 mm. Solidario con el tornillo seencuentra el collar, sobre cuyo borde hay una serie de marcas similares a las del calibre.Para obtener la precision del Palmer se utiliza la misma ecuacion que en el calibre,

P =D

n, (1.5)


Figura 1.2: Palmer o tornillo

y el grosor medido del cuerpo se determina como

l = NRD +NNP, (1.6)

al igual que en el calibre. Hay que tener en cuenta que, en este caso, NR es el numeroentero de medios milımetros leıdo en la escala, NN es la division del collar que coincidecon el trazo horizontal de la propia escala, y n es el numero de divisiones del collar.

La mayor parte de los objetos no tienen un espesor uniforme, por lo que es importanterealizar varias veces la operacion de medida en distintas partes del objeto. La correctamanipulacion del tornillo exige que el giro se realice sobre la cabeza del tornillo. Estacabeza impide realizar una fuerza excesiva con el tornillo sobre la pieza, lo que limita elpoder danar al objeto medido o al propio tornillo al hacer con el una presion excesiva.Ademas, de esta manera se asegura que la medida es correcta ya que el tornillo tiene elcontacto adecuado con el objeto a medir.

En toda medida, la primera operacion que debe realizarse es la comprobacion delajuste del cero. Para ello hay que hacer que las superficies de medicion se encuentren encontacto y se observa el valor que indica la escala. En el caso de que la medida no seacero habra que tener en cuenta el error de cero. Habra que restar el valor que indique lamedida si se trata de un error por exceso, cuando al estar cerrado indica un valor positivo,y sumarlo cuando el error sea por defecto.

1.2.3. Esferometro

El esferometro es un intrumento que permite medir la concavidad o convexidad de unasuperficie. En el caso de que se trate de una superficie esferica, se podra determinar elradio de curvatura de nuestra esfera o zona esferica. Este instrumento esta formado porun trıpode cuyos pies son puntas de acero fijas, separadas entre sı a modo de trianguloequilatero y que definen un plano en el espacio (vease la figura 1.3 A). En el centro deltrıpode se encuentra situado un tornillo micrometrico. La medida del tornillo aparecereflejada por el movimiento de una aguja sobre una escala dividida en sectores. El tamanoequivalente de cada marca es la precision P del esferometro y esta indicada en la mismaesfera. Con este tornillo se mide la altura existente desde la punta del tornillo centralhasta el plano delimitado por los tres pies fijos del esferometro y por tanto, haciendouso de una serie de formulas se puede determinar la esfericidad de nuestro elemento deestudio.


Figura 1.3: (A) Esferometro. (B) Medida de radios de curvatura.

Al igual que en los casos anteriores, previamente a cualquier medida debe realizarse ladeterminacion del error de cero. Para ello, dentro en la funda del esferometro, se encuentrauna superficie plana calibrada. Sobre ella hay que situar el esferometro, posteriormentehay que ajustar la punta del mismo hasta que la aguja se encuentra situada sobre el cerodel tornillo.

Para medir el radio de curvatura R de una esfera o de un casquete esferico (figura1.3 B) hay que colocar el esferometro de manera que las puntas de los pies y la puntade medicion esten, simultaneamente, en contacto con la superficie esferica. El radio r dela circunferencia circunscrita al triangulo que forman los tres pies fijos del esferometro sepuede calcular midiendo la distancia d que separa a dos pies entre sı. De esta manera seobtiene que

r =d√3. (1.7)

Finalmente, el radio R de la superficie esferica se podra obtener utilizando la siguienteformula

R =d2 + 3h2

6h. (1.8)

1.3. Montaje experimental

El primer paso de toda medida es la caracterizacion de los instrumentos de medidaque se van a emplear. Para ello, es necesario tomar referencia de los datos de cada aparatoque a continuacion se indican.

1. Tipo de medida que realiza: profundidades, longitudes externas, longitudes internas,etc.

2. Rango de medida: valores mınimo y maximo que se pueden medir.

3. Precision: mınima medida que puede ser discriminada.

4. Error de cero: Determinar su valor y si es por exceso o por defecto.


Posteriormente se realizaran las medidas que se indicaran en el apartado de Resultados.Tiene especial relevancia en esta practica la aplicacion de la teorıa indicada sobre el calculode errores.

En las medidas realizadas con el esferometro es necesario determinar la distancia d quesepara entre sı a los pies de apoyo del esferometro, es decir, el lado del triangulo equilatero.Para medir d, que es una constante del aparato, se puede apretar el esferometro sobreun papel, de manera que quedan marcadas en el las puntas de apoyo del esferometro.Finalmente, con la ayuda de un calibre, se pueden medir las distancias entre las senales.

1.4. Resultados

1. Resultados de la caracterizacion de los aparatos de medida empleados.

Calibre Palmer EsferometroTipo de medida

Rango de medidaPrecision

Error de cerod (esferometro) ——– ——–

2. Determinar las dimensiones de la pesa de 50 g, usando el instrumento de medidaque se considere mas oportuno. Cada medida debera ser realizada tres veces comomınimo, adoptandose como resultado de la medida el valor medio. La presentacionde todos los resultados debera hacerse indicando el error de la medida y, por tanto,atendiendo al numero de dıgitos con que se proporciona la medida.

Instrumento Medidas Valor medio ErrorAltura

Diametro exteriorDiametro interior

Anchura de ranura

3. Utilizando el calibre y el tornillo micrometrico, determinar el diametro del cilin-dro de acero. Cada medida se realizara una sola vez y se acompanara del errorcorrespondiente.

Instrumento Medida ErrorCalibrePalmer

4. Haciendo uso del tornillo micrometrico, determinar el espesor de una placa fina y deuna hoja de aluminio. Tomar como mınimo cinco puntos distintos. Si el resultadoindica que son realmente uniformes, tomar el valor medio de las medidas como elautentico espesor de los objetos. Acompanar al dato con su error.

Espesor (5 medidas) =

Espesor medio (± Error) =


5. Empleando el esferometro, determinar el radio de curvatura de las tres zonas esferi-cas (vidrios de reloj) que se proporcionan (vease figura 1.3 B). Considerar que noexiste error en la medida de la distancia entre las patas del esferometro, es decir,tomar d como una constante. Realizar la medida de h una sola vez e indicar el errorasociado al radio de curvatura R.

d = h(±εh) =

R = ER =

6. Medir el volumen de un prisma y su error. Realizar cada medida directa una solavez.

Largo(± Error) =

Ancho(± Error) =

Alto(± Error) =

Volumen(± Error) =

1.5. Discusion

Comentar la diferencia entre medidas directas e indirectas y el calculo de los erroresrespectivos.

Discutir cualquier otro resultado o problema de interes encontrado en el experimen-to.

1.6. Cuestiones

1. En el caso de que tras medir diez veces cierta dimension de un objeto se obten-ga siempre el mismo resultado, el valor medio de las medidas coincidira con ellasmismas, y la desviacion estandar de ese conjunto de medidas sera nula. ¿ Se puedeafirmar que en este caso el error absoluto de la medida sera cero? ¿ Por que?

2. Obtener las ecuaciones 1.7 y 1.8 mediante argumentos geometricos.

3. ¿ Que instrumento serıa mejor para medir el espesor de una placa, un tornillomicrometrico o un pie de rey, suponiendo que ambos tienen la misma precision? ¿Por que?

Capıtulo 2

Movimiento en caıda libre

2.1. Objetivo

Una esfera cae libremente desde alturas variables. El tiempo de caıda se determinaramediante medicion. Se obtendra experimentalmente la relacion entre espacio recorrido ytiempo. Ademas, por comparacion con el modelo cinematico teorico, se obtendra un valorexperimental de la aceleracion de la gravedad.


La intensidad del campo gravitatorio terrestre, dirigido hacia el centro de la Tierra,sobre un punto situado a una distancia h por encima de la superficie de la Tierra es, segunla Ley de Newton de la Gravitacion Universal,

g(h) =GMT

(RT + h)2, (2.1)

donde G = 6, 670 · 10−11 N · m2 · kg−2 es la constante de la Gravitacion Universal,MT = 5, 98 · 1024 kg es la masa de la Tierra, y RT = 6370 km es el radio terrestre, bajola suposicion de que la Tierra es una esfera. Cuando el valor de h es despreciable frente aRT , lo cual ocurre para movimientos de corto recorrido de los cuerpos bajo la accion dela gravedad cerca de la superficie terrestre, la intensidad del campo gravitatorio se puedeaproximar bastante bien por

g =GMT

R2T

, (2.2)

esto es, se puede tomar un valor de la aceleracion de la gravedad practicamente constantee igual a g = 9, 8 m · s−2. Esto significa que, bajo las aproximaciones arriba descritas, elmovimiento de un cuerpo bajo la accion de la gravedad terrestre es tal que su aceleraciones constante e igual a g.

Segun las leyes cinematicas, la ecuacion del espacio recorrido en funcion del tiempopara un movil con movimiento uniformemente acelerado, con aceleracion constante g, es

s(t) =1

2gt2. (2.3)

30

CAPITULO 2. MOVIMIENTO EN CAIDA LIBRE 31

Figura 2.1: Montaje experimental.

Esta expresion indica que, a partir de pares de medidas de espacio y tiempo para uncuerpo en caıda libre en la superficie terrestre, es posible realizar estimaciones de laaceleracion de la gravedad g. No obstante, debe siempre tenerse en cuenta que la Tierrano es estrictamente esferica, y que, por tanto, las ecuaciones anteriores no son mas que unaprimera aproximacion. La latitud, la altura sobre la superficie terrestre y la composicionde la atmosfera son algunos de los factores que, desde un punto de vista mas riguroso,deberıan tenerse en cuenta a la hora de medir la aceleracion de caıda libre de un cuerpo.


El montaje experimental se muestra en la figura 2.1. En el disparador se sujeta unaesfera conductora, de tal modo que cierra el circuito de puesta en marcha del cronometro.Con el tornillo interruptor se ajusta la cazoleta de recogida, de forma tal que, al descenderunas pocas decimas de milımetro, se interrumpa de nuevo el circuito del cronometro.Despues de cada caıda debera colocarse la cazoleta en su posicion de partida.

Para la determinacion de la altura de caıda efectiva, debera tenerse en cuenta el radiode la esfera, ya que esta altura siempre ha de medirse desde el centro de masas. Laresistencia del aire puede, en principio, despreciarse.


2.4. Resultados

1. Modificando la separacion s entre el disparador y la cazoleta, desde 10 cm hasta80 cm, en pasos de 5 cm, para cada valor de s medir 3 veces el intervalo de tiempot que la bola tarda en llegar hasta la base. Hallar el valor medio t.

s(±εs) t(±εt) t(±εt) t2(±εt2)

2. Representar graficamente el espacio s en funcion de los valores medios del tiempo t.

3. Calcular el coeficiente de correlacion lineal r, la pendiente a y la ordenada en elorigen b de la recta de mınimos cuadrados s = a(t)2 + b, y trazar en una grafica sen funcion de (t)2.

r = a(±εa) = b(±εb) =

Determinar la aceleracion de la gravedad g y su correspondiente error a partir deestos valores, usando la ecuacion 2.3.

g = εg =

2.5. Discusion

¿ A que puede deberse la diferencia del valor experimental de g obtenido con el valordel modelo teorico dado por la ecuacion 2.2?

¿ Cual es el significado del parametro b del apartado anterior y cual es su valornumerico?



2.6. Cuestiones

1. De acuerdo con la ecuacion 2.2, la aceleracion de caıda libre de una bola es indepen-diente del material con que esta se construya. ¿ Serıa posible realizar esta practicacon una bola de papel?

2. ¿ Se podrıa realizar esta practica con papel si estuvieramos en el vacıo?

3. ¿ Que efecto tendrıa el rozamiento del aire si la altura de caıda fuera de 1 km? ¿Que se medirıa entonces?

Capıtulo 3

Leyes de Newton

3.1. Objetivo

El carril neumatico, en el que se elimina practicamente el rozamiento, permitira de-terminar las leyes que rigen la relacion entre espacio y tiempo, por un lado, y velocidady tiempo, por otro, en movimientos rectilıneos uniformemente acelerados. Ademas, seestudiara la relacion existente entre la aceleracion y la masa acelerada para una fuerzaconstante.


Segun la Segunda Ley de Newton, la fuerza total ~F que actua sobre un cuerpo rıgidode masa m es la derivada temporal de su momento lineal ~p,

~F =d~p

dt=d(m~v)

dt. (3.1)

Si la masa del cuerpo m permanece constante durante el movimiento, de la ecuacion 3.1se obtiene

~F = md~v

dt= m~a, (3.2)

donde ~a es la aceleracion del cuerpo.En el sistema de la figura 3.1, dos objetos, de masas m1 y m2, estan unidos por medio

de una cuerda inextensible y de masa despreciable que pasa por una polea sin rozamiento.El cuerpo de masa m2 consta de un deslizador, que se halla sobre un carril neumatico, yde una serie de pesas que se pueden colocar a ambos lados del deslizador. El rozamientoentre el deslizador y el carril neumatico se puede considerar nulo, debido al colchon de aireque proporciona el propio carril. Unido al carril por un hilo, que supondremos inextensibley de masa despreciable, y por una polea sin rozamiento, se encuentra un portapesas que,junto a las pesas que pueden colocarse encima, forma el cuerpo de masa m1. Este cuerpo,que cuelga de la polea, esta sometido a la accion de la gravedad, a traves de su peso m1g.

Aplicando la ecuacion 3.2 a ambos cuerpos, y prescindiendo del caracter vectorial delas magnitudes por ser el movimiento unidimensional, es decir, de un unico grado delibertad, se tiene

m1g − T = m1a, (3.3)

34

CAPITULO 3. LEYES DE NEWTON 35

T = m2a, (3.4)

debido a que la aceleracion es la misma para ambos cuerpos, por estar unidos por unacuerda inextensible y de masa despreciable. Para obtener estas ecuaciones, tambien se hatenido en cuenta que la tension T es la misma a ambos lados de la polea al considerarsedespreciable la masa de la polea. Sumando ambas expresiones, se deduce la aceleracion

a =m1g

m1 +m2

, (3.5)

que es constante. Integrando en el tiempo esta ecuacion, se obtienen la velocidad v(t) deambos cuerpos y el desplazamiento s(t) de cada cuerpo respecto a su posicion inicial. Sipartimos de una situacion en la que la velocidad inicial es nula, la velocidad en funciondel tiempo es

v(t) = at =m1g

m1 +m2

t, (3.6)

y el desplazamiento en funcion del tiempo es

s(t) =1

2at2 =

1

2

m1g

m1 +m2

t2. (3.7)


El montaje experimental se muestra en la figura 3.1. Para reducir al mınimo el roza-miento en el movimiento de la masa m2 se dispone de un carril de aire cuya bomba sepuede mantener al maximo. El deslizador dispone de un disparador magnetico conectadoa un contador digital de cuatro dıgitos, de forma que la salida del movil, con velocidadinicial nula, esta sincronizada con la puesta en marcha del reloj (t = 0).ADVERTENCIA IMPORTANTE: El disparador debe ser manejado con gran cuida-do porque es bastante delicado.

Se posee tambien una puerta fotoelectrica cuya posicion en el carril de aire es variable.Su salida esta conectada a la parada del contador. Cuando la pantallita del deslizadorintercepta el haz de luz de la puerta, el reloj se detiene (t = t1).

La puerta fotoelectrica es multifuncional, y ademas de enviar la senal de parada alcontador, mide el intervalo de tiempo (∆t) que la pantallita del deslizador tarda en pasar(para ello se ha de cambiar el ajuste del medidor para que realice esta funcion). La utilidadde esta ultima funcion radica en la posibilidad de medir velocidades instantaneas en losinstantes de tiempo dados por t1 + ∆t/2, a traves de la aproximacion

v

(t1 +

∆t

2

)≈ ∆s

∆t, (3.8)

donde ∆s es la anchura de la pantallita. En esta aproximacion, se ha supuesto que ∆t esun intervalo temporal lo suficientemente pequeno como para pensar que la velocidad espracticamente constante en este intervalo.

Tambien se puede estudiar la relacion entre la aceleracion y la masa acelerada cuandose aplica una fuerza constante. Para mantener la fuerza constante, mantenemos fija la



masa que cuelga de la polea. En este caso, se puede aproximar la aceleracion por laformula

a

(t1 +

∆t

2

)=

v

t1 + ∆t/2≈ ∆s

∆t(t1 + ∆t/2). (3.9)

3.4. Resultados

1. Anotar la anchura de la pantallita del deslizador junto con el error correspondiente.

∆s = ε∆s =

2. Colocar 20 g en el gancho que cuelga de la polea (cuya masa es de 1 g), y no colocarpesas sobre el deslizador, cuya masa es de 205 g. Mantener la bomba de aire ala maxima potencia. Modificando la posicion de la barrera fotoelectrica, variar elespacio s recorrido por el deslizador desde 35 cm hasta 70 cm en intervalos de 5 cm.En cada caso, medir el tiempo t1 que tarda el deslizador en alcanzar la barrerafotoelectrica, y el intervalo de tiempo ∆t que tarda la pantalla en atravesar el hazde luz. Calcular la velocidad instantanea aproximada asociada a cada ∆t (ecuacion3.8). Es importante asegurarse de que el hilo permanece dentro del canal de la poleaa lo largo de todo el movimiento. Si el hilo se sale de la acanaladura, debera repetirseel lanzamiento.

m1 = m2 =s(±εs) t1(±εt1) ∆t(±ε∆t) t21(±εt21) t1 + ∆t/2(±εt1+∆t/2) v(±εv)


Representar graficamente el espacio s en funcion del t21. Calcular la pendiente A1,la ordenada en el origen B1 y el coeficiente de correlacion r1 de la recta de mınimoscuadrados s = A1t

21 +B1, y trazar esta recta sobre la anterior representacion.

A1(±εA1) = B1(±εB1) = r1 =

A partir de la pendiente A1, y utilizando la ecuacion 3.7, calcular la aceleraciondel movimiento, que llamaremos a1, y un valor experimental de la gravedad, quellamaremos g1.

a1(±εa1) = g1(±εg1) =

3. Representar graficamente la velocidad instantanea v frente al tiempo (t1 + ∆t/2).Determinar la pendiente A2, la ordenada en el origen B2 y el coeficiente de corre-lacion r2 de la recta de mınimos cuadrados v = A2(t1 + ∆t/2) + B2, y trazar estarecta sobre la anterior representacion de los puntos.

A2(±εA2) = B2(±εB2) = r2 =

A partir de A2, y comparando con la ecuacion 3.6, calcular otro valor de la acelera-cion del movimiento a2 y otro valor experimental de la gravedad g2.

a2(±εa2) = g2(±εg2) =

4. Poner la puerta fotoelectrica en una posicion fija, y medir el espacio s que recorre eldeslizador para alcanzar dicha posicion desde el disparador. Sin modificar la masam1 respecto al apartado 1, ir aumentando la masa m2 en pasos de 20 g (10 g a cadalado del deslizador), siendo por tanto m2 = 205 g + mp (mp = masa de las pesas).Para cada valor de m2, medir el tiempo t1 y el intervalo ∆t. Calcular la aceleraciona correspondiente a cada caso a partir de la ecuacion 3.9.

s =mp m1 +m2 t1(±εt1) ∆t(±ε∆t) t1 + ∆t/2(±εt1+∆t/2) a(±εa)

Representar graficamente la aceleracion a en funcion de la masa total m1 +m2.

3.5. Discusion

¿ Que se puede decir si se comparan los valores experimentales de la aceleracion dela gravedad g1 y g2 obtenidos?


¿ Que interpretacion fısica tiene B2? ¿ Cual deberıa ser su valor de acuerdo conel montaje experimental? Si el valor obtenido no es el esperado, ¿ como se venafectadas las conclusiones acerca de g1?

En la representacion grafica de la aceleracion a en funcion de la masa total m1 +m2,¿ que tipo de curva se esperarıa obtener?


3.6. Cuestiones

1. ¿ Que ocurrirıa si la cuerda deslizase con rozamiento sobre la polea? ¿ Y si la masam2

deslizase con rozamiento sobre la superficie plana? ¿ Seguirıa siendo uniformementeacelerado el movimiento?

2. ¿ Cual serıa la expresion de s(t), en lugar de la dada por la ecuacion 3.7, si existieseuna velocidad inicial no nula?

3. En el apartado 3 de los Resultados se ha medido la aceleracion como cociente entrevelocidad instantanea y tiempo, por medio de la ecuacion 3.9. Podrıa medirse tam-bien la aceleracion a partir del espacio recorrido s y el tiempo t. ¿ Cual de las dosestimaciones de la aceleracion a es mas precisa?

Capıtulo 4

Conservacion de la energıa mecanica

4.1. Objetivo

Mediante el uso de una rueda de Maxwell, se estudiara la conservacion de la energıamecanica y como la energıa potencial gravitatoria se transforma en energıa cinetica detraslacion y de rotacion.


La rueda de Maxwell (ver la figura 4.1) es, basicamente, un disco en el que se arrollandos cuerdas en su eje solido, a cada uno de los lados. Las cuerdas se sujetan en una barrafija, de manera que, al dejar libre el disco desde su posicion inicial de maxima altura, lascuerdas se van desenrollando y el disco va girando mientras cae.

Consideremos, en primer lugar, el movimiento de un disco homogeneo que gira ensentido antihorario con respecto a su eje, que tomaremos como eje z. El centro de masasdel disco sera el origen del sistema de referencia en este ejemplo. Por tanto, el disco sepuede representar geometricamente como un cırculo en el plano xy que gira respecto aleje z. Supongamos, por ahora, que el centro de masas esta fijo. Debido a que tratamos conun solido rıgido (indeformable), el movimiento de cada punto del disco esta relacionadocon el del resto de los puntos del disco en el sentido de que todos recorren los mismosangulos en el mismo tiempo, es decir, si la velocidad angular de rotacion de un punto deldisco en un instante dado es ω(t), entonces todos los puntos del disco giran con la mismavelocidad angular. Se define el vector velocidad angular como

−→ω = ω−→k , (4.1)

pues el disco gira alrededor del eje z, al cual se asigna un vector unitario−→k . Consideremos

un punto i del disco con vector de posicion −→ri = xi−→i + yi

−→j con respecto al centro de

masas. La velocidad de este punto es, segun las relaciones del movimiento circular,

−→ui =d−→ridt

= −→ω ×−→ri , (4.2)

de manera que su energıa cinetica es

Ec,i =1

2miu

2i =

1

2ω2(mir

2i ). (4.3)

39

CAPITULO 4. CONSERVACION DE LA ENERGIA MECANICA 40

La energıa cinetica del disco es la suma de las energıas cineticas de todos sus puntos, asıque se llega a

Er =N∑i=1

Ec,i =N∑i=1

1

2miu

2i =

1

2ω2

N∑i=1

mir2i . (4.4)

Debido a que solo consideramos movimiento de rotacion del disco respecto a un eje quepasa por su centro de masas, la energıa cinetica obtenida se llama energıa cinetica de ro-tacion. La cantidad Iz =

∑mir

2i es una caracterıstica del cuerpo rıgido llamada momento

de inercia del cuerpo con respecto al eje z, que es nuestro eje de rotacion. Llegamos, portanto, a que le energıa cinetica de rotacion de un cuerpo solido con respecto a un eje quepasa por su centro de masas solo depende de la velocidad angular de rotacion ω y delmomento de inercia respecto a ese eje Iz,

Er =1

2Izω

2. (4.5)

Volvamos al caso de la rueda de Maxwell. Ademas de girar respecto a su eje, la ruedacae, es decir, su centro de masas no esta fijo, sino que se mueve con velocidad v. Por tanto,ademas de la energıa cinetica de rotacion, la rueda de Maxwell tiene una energıa cineticade traslacion Et dada por

Et =1

2mv2, (4.6)

donde m es la masa total del disco. Tambien se ha de tener en cuenta la energıa potencialde la gravedad a la que esta sometida la rueda. Si tomamos el origen de alturas en laposicion inicial, esta energıa potencial es

Ep = −N∑i=1

migsi, (4.7)

siendo si el desplazamiento vertical de cada partıcula desde la posicion inicial. Podemosescribir este desplazamiento como si = s + s′i, donde s es el desplazamiento vertical delcentro de masas, relacionado con la velocidad del centro de masas v por

v =ds

dt, (4.8)

y s′i es el desplazamiento vertical del punto i respecto al centro de masas. Por la homo-geneidad del disco, es claro que el termino en s′i no afecta a la energıa potencial de larueda (se puede imaginar que, mientras un punto del disco se desplaza verticalmente unaaltura s′i con respecto al centro de masas, hay otro punto diametralmente opuesto que sedesplaza una altura −s′i, cancelandose mutuamente). Por tanto,

Ep = −N∑i=1

migs = −gsN∑i=1

mi = −mgs. (4.9)

Aun podemos simplificar mas estas expresiones si ocurre que, durante el movimientode la rueda de Maxwell, la cuerda no se desliza. En este caso, la velocidad del centro demasas v es igual a la velocidad lineal de cualquier punto situado en la periferia del eje


solido de la rueda, donde esta arrollada la cuerda. Si el eje tiene radio r, esto significa que

v = ωr. (4.10)

En consecuencia, la energıa total de una rueda de Maxwell, que es la suma de la energıapotencial gravitatoria, de la energıa cinetica de traslacion y de la energıa cinetica derotacion, se puede escribir como

E = −mgs+1

2

(m+

Izr2

)v2, (4.11)

donde m es la masa de la rueda, s es el desplazamiento vertical del centro de masas desdela posicion inicial, Iz es el momento de inercia de la rueda respecto al eje de rotacion, yv = ds/dt es la velocidad de traslacion vertical del centro de masas.

Puesto que la energıa es constante, es decir, es una magnitud conservada en esteproblema, la expresion anterior se puede simplificar si se deriva con respecto al tiempo,obteniendose

0 = −mgv +

(m+

Izr2

)vdv

dt. (4.12)

Dado que las condiciones iniciales, para t = 0, son s0 = 0, v0 = 0, podemos integrar estaecuacion para obtener la velocidad v(t) primero, y el desplazamiento s(t) despues. Se llegaası a las expresiones finales

v (t) =mg

m+ Iz/r2t, (4.13)

s (t) =1

2

mg

m+ Iz/r2t2. (4.14)


El montaje de la practica se puede observar en la figura 4.1. En el se puede ver larueda de Maxwell en su posicion inicial con las cuerdas arrolladas en el eje del disco.A una cierta distancia s se coloca la puerta fotodetectora. La regla permite medir estadistancia con un error asociado a la precision de la regla.

Se realizaran dos tipos de medidas: por un lado, el tiempo que transcurre desde que sesuelta la rueda hasta que alcanza la puerta fotodetectora. Para ello debera hacer uso delcronometro digital que le proporcionara el profesor responsable del laboratorio. Por otrolado, el tiempo que tarda el eje en cruzar la puerta. Para ello la puerta debe estar en elmodo . Ademas, cada medida se realizara cinco veces para disminuir el error aleatoriocometido.

4.4. Resultados

1. Medir con un calibre de precision (al menos de decimas de milımetro) el diametroφ del eje de la rueda de Maxwell alrededor del que se arrolla la cuerda, y calcularsu radio, junto con los errores correspondientes:

φ(±εφ) = r(±εr) =



2. Para 5 valores diferentes de distancia s entre el punto de partida y el detector, medircinco veces el tiempo t que tarda la rueda en recorrer esa distancia y otras cincoveces el tiempo ∆t que tarda el eje en cruzar el detector. Calcular los valores medioscorrespondientes e indicar los errores.

s(±εs) tn n = 1 . . . 5 (±εti) t(±εt) ∆tn n = 1 . . . 5 (±ε∆ti) ∆t(±ε∆t)

Representar graficamente s en funcion de t2. Calcular la pendiente a1, la ordenada en

el origen b1 y el coeficiente de correlacion lineal r1 de la recta de mınimos cuadradoss = a1t

2+ b1, y trazar esta recta sobre la representacion anterior.

a1(±εa1) = b1(±εb1) = r1 =

Haciendo uso de la pendiente de la recta de mınimos cuadrados, y comparando conla ecuacion 4.14, determinar el momento de inercia de la rueda de Maxwell. Tomarcomo valores para la rueda de Maxwell los datos m = 0, 520 kg para su masa y elvalor del radio del eje medido en el primer apartado.

Iz1(±εIz1) =


3. A partir de los valores ∆t del apartado anterior y el diametro medido del eje, calcularel valor de la velocidad v en funcion del tiempo de caıda t. Calcular ademas el valordel tiempo al cuadrado t

2y la velocidad angular ω a partir de la ecuacion (4.10).

t(±εt) t2(±εt2) v(±εv) ω(±εω)

Representar graficamente v en funcion de t. Calcular la pendiente a2, la ordenada enel origen b2 y el coeficiente de correlacion lineal r2 de la recta de mınimos cuadradosv = a2t+ b2, y trazar esta recta sobre la representacion anterior.

a2(±εa2) = b2(±εb2) = r2 =

Haciendo uso de la pendiente de la recta de mınimos cuadrados, y comparando conla ecuacion 4.13, determinar el momento de inercia de la rueda de Maxwell. Tomarcomo valores para la rueda de Maxwell los datos m = 0, 520 kg para su masa y elvalor del radio del eje medido en el primer apartado.

Iz2(±εIz2) =

4. Para cada valor del tiempo, determinar el valor de la energıa potencial gravitatoriaEp, el de la energıa cinetica de rotacion Er y el de la energıa cinetica de traslacionEt.

t(±εt) Ep(±εEp) Er(±εEr) Et(±εEt)

Representar el valor de cada energıa en funcion del tiempo t. Indicar el tipo de curvaque se obtiene en cada caso.

4.5. Discusion

Discutir la bondad de los ajustes de los apartados 2 y 3 de los Resultados, y si losvalores obtenido Iz1 e Iz2 son razonables de acuerdo con la masa y geometrıa de larueda de Maxwell.

Discutir las discrepancias entre Iz1 e Iz2. ¿ Cuales son las principales fuentes de erroren cada caso? ¿ Cual de los dos valores es mas fiable?


Discutir los resultados obtenidos para la energıa a lo largo de la caıda. ¿ Se puedeconfirmar con ellos la conservacion la energıa mecanica en el disco de Maxwell?


4.6. Cuestiones

1. Obtener las ecuaciones 4.13 y 4.14.

2. Deducir las expresiones de la energıa cinetica de traslacion, de rotacion y de laenergıa potencial de la rueda de Maxwell en funcion del tiempo. Hallar entonces laenergıa total en funcion del tiempo.

Capıtulo 5

El pendulo simple

5.1. Objetivo

Se medira el perıodo de la oscilacion de un pendulo simple en funcion de la longituddel hilo y del angulo de la desviacion inicial. El experimento permitira tambien obtenerun valor para la aceleracion de la gravedad.


Una masa m, considerada como partıcula puntual, se encuentra suspendida de un hilosupuesto inextensible y de masa despreciable. La partıcula se encuentra sometida a laaccion de la fuerza de la gravedad mg y se desplaza de su posicion de equilibrio, que esaquella en la cual el hilo forma un angulo φ = 0 con la vertical. Este sistema fısico seconoce con el nombre de pendulo simple (ver la figura 5.1).

Supongamos que la partıcula puntual se suelta inicialmente con velocidad nula cuandoel hilo forma un angulo φ0 con la vertical. La energıa del pendulo en este instante inicialtiene dos terminos: energıa cinetica, que es nula porque la velocidad inicial es nula, y

Figura 5.1: Pendulo simple.

45

CAPITULO 5. EL PENDULO SIMPLE 46

energıa potencial gravitatoria, que tiene la forma

Ep = −mgz, (5.1)

donde z es la distancia vertical desde el punto donde se cuelga el pendulo, y que adoptamoscomo origen de energıas potenciales, y el punto donde se encuentra la partıcula puntualen cada instante. En t = 0, la figura 5.1 muestra que

z0 = l cosφ0, (5.2)

de modo que la energıa inicial del pendulo es

E0 = −mgl cosφ0. (5.3)

Bajo la suposicion de que no existe amortiguamiento viscoso del aire de la atmosfera, laenergıa del pendulo se conserva. Esto quiere decir que, en cualquier instante de tiempo ten el cual el hilo forme un angulo φ con la vertical y se mueva con velocidad v, la suma desus energıas cinetica y potencial debe ser igual a la energıa inicial E0. Matematicamente,esto se expresa

1

2mv2 −mgl cosφ = −mgl cosφ0. (5.4)

Ahora, debido a que la partıcula colgada del hilo realiza un movimiento circular de radiol, la velocidad lineal v esta relacionada con la velocidad angular dφ/dt por la formula

v = ldφ

dt. (5.5)

Por tanto, la conservacion de la energıa del pendulo simple, dada por la ecuacion 5.4, sepuede escribir como (

dφ

dt

)2

= 2g

l(cosφ− cosφ0). (5.6)

En esta expresion se puede comprobar que el pendulo realiza un movimiento periodico.Inicialmente se encuentra con angulo φ0 y velocidad angular nula. Al soltarlo, va reco-rriendo una circunferencia de radio l hasta que su velocidad se hace de nuevo cero: comose ve en la ecuacion 5.6, esto ocurre para un angulo −φ0. Despues, la partıcula recorre elcamino inverso, y vuelve a pararse en su angulo inicial φ0. Se llama perıodo T al tiempoque tarda el pendulo en volver a su posicion inicial. El perıodo esta relacionado con elsemiperıodo t1/2 o tiempo que tarda el pendulo en ir desde un punto de retorno φ0 al otro−φ0 por

T = 2t1/2. (5.7)

Para calcular el perıodo, por tanto, podemos integrar la ecuacion 5.6 entre los puntos deretorno (hallaremos el semiperıodo) y multiplicar por 2. Despejando la velocidad angularen 5.6,

dφ

dt=

√2g

l(cosφ− cosφ0), (5.8)

de donde

dt =

√l

g

dφ√2(cosφ− cosφ0)

, (5.9)


y el perıodo resulta

T = 2t1/2 = 2

√l

g

∫ φ0

−φ0

dφ√2(cosφ− cosφ0)

. (5.10)

El resultado de esta integral es una funcion que se conoce con el nombre de integralelıptica completa de primera especie K(m), y m se llama parametro elıptico. El perıododel pendulo es, finalmente,

T = 4

√l

gK(sinφ0/2), (5.11)

que se puede desarrollar en serie de Taylor, dando

T = 2π

√l

g

(1 +

1

4sin2

(φ0

2

)+ ...

). (5.12)

Llegados aquı, es conveniente para nuestro experimento hacer alguna aproximacion. Loque vamos a hacer es considerar pequenas oscilaciones del pendulo. En este caso, φ0 esun angulo pequeno, de modo que aproximamos φ0 ≈ 0 y obtenemos

T = 2π

√l

g, (5.13)

que es el perıodo del pendulo en pequenas oscilaciones. En el caso de que las oscilacio-nes sean de mayor amplitud, se puede calcular el perıodo tomando tambien el segundosumando del desarrollo de Taylor dado por la ecuacion 5.12, resultando

T = 2π

√l

g

(1 +

1

4sin2

(φ0

2

)). (5.14)


El montaje se efectua segun la figura 5.2. La esfera metalica se ata al hilo, que asu vez se fija al portaplacas. En caso de que el hilo sea nuevo, sera conveniente dejarsuspendida la esfera durante algunos minutos. La longitud del pendulo se medira antesy despues de cada ensayo para hallar la media. Para ello se tendra en cuenta el radio dela bola. Se puede usar el contador digital con la barrera fotoelectrica para la mediciondel semiperıodo. Se pone el contador en la posicion de medida de medio ciclo, y se pulsaRESET para realizar cada medida. Asegurese que el contador se situe en el centro de laoscilacion para medir correctamente el semiperiodo.

En la primera parte del experimento, el pendulo se mueve en pequenas oscilaciones(ecuacion 5.13). En la segunda parte, aumentan las desviaciones y se ha de usar la ecuacion5.14. Para medir los angulos iniciales en esta segunda parte, puede resultar comodo colocarun transportador de angulos en el portaplacas (alternativamente, se pueden dibujar losangulos en un papel y colocarlo en el portaplacas).



5.4. Resultados

1. Medir el semiperıodo t/2 del pendulo simple en pequenas oscilaciones, haciendounas 5 medidas de tiempo, y tomando el valor medio, para diferentes valores de lalongitud l (teniendo en cuenta el radio de la bola de acero), por ejemplo entre 20 cmy 1 m, en pasos de 10 cm.

l(±εl) t/2(±εt/2) t/2(±εt/2) T (±εT ) ln(T )(±εln(T )) ln(l)(±εln(l))

Con los valores de la tabla, representar graficamente el perıodo T en funcion de lalongitud l. Para ello, calcular en cada caso T a partir del valor medio t/2.

2. Representar graficamente T en funcion de l y ln(T ) en funcion del ln(l). Calcular elcoeficiente de correlacion lineal r, la pendiente a, la ordenada en el origen b, y trazarla recta de mınimos cuadrados ln(T ) = a ln(l) + b sobre la representacion graficaanterior.

r = a(±εa) = b(±εb) =


Comparando con la ecuacion 5.13, calcular el valor teorico at esperado para la pen-diente de la recta anterior.

A partir del valor obtenido para b, calcular el valor de la aceleracion de la gravedadg.

3. Utilizar para esta parte una longitud fija, l = 0,5 m. Medir la distancia horizontald desde el centro de la bola de acero hasta la vertical. Con los valores de l y d,calcular el angulo φ0 que forma inicialmente el pendulo simple con el eje vertical(alternativamente, se puede utilizar un transportador de angulos). Variando d desde5 cm hasta 40 cm, en pasos de 5 cm, medir para cada valor de φ0 el semiperıodorepitiendo 5 veces cada medida.

d(±εd) φ0(±εφ0) t/2(±εt/2) T (±εT ) sin(φ/2)(±εsin(φ/2)) sin2(φ/2)(±εsin2(φ/2))

Representar graficamente T en funcion de sin2(φ0/2). Calcular el coeficiente de co-rrelacion lineal r′, la pendiente a′, la ordenada en el origen b′ y trazar la recta demınimos cuadrados T = a′ sin2(φ0/2) + b′.

r′ = a′(±εa′) = b′(±εb′) =

A partir de la ecuacion 5.14, calcular los valores teoricos a′t y b′t esperados para larecta anterior.

5.5. Discusion

¿ En el punto 2 de los resultados, a que se debe la posible desviacion de at frente alvalor obtenido para a?

En el punto 3 de los resultados, comparar los valores teoricos a′t y b′t con los valoresexperimentales y discutir el resultado.



5.6. Cuestiones

1. Discutir como puede influir en el calculo de g realizado en el punto 2 de los Resul-tados la altura del laboratorio sobre el nivel del mar y la rotacion de la Tierra. Daruna estimacion de la influencia sobre la medida.

2. Comparar esta forma de medir la aceleracion de la gravedad con otra que se conozca.

Capıtulo 6

Ley de Hooke

6.1. Objetivo

Estudiar la relacion existente entre la fuerza aplicada sobre un muelle y su estiramiento.Verificar la ley de Hooke y calcular la constante k del muelle. En un segundo experimentose analizara el comportamiento oscilatorio del muelle, comprobando la relacion existenteentre el periodo de oscilacion y la constante k del muelle.


Toda fuerza aplicada a un cuerpo elastico produce una deformacion. En esta practicanos centraremos en las deformaciones producidas en la misma direccion en que se aplicala fuerza (caso unidimensional). La relacion entre ambas magnitudes puede ser en ge-neral complicada dependiento del material usado. Por ejemplo, en una goma elastica elestiramiento no es proporcional a la fuerza aplicada. En nuestro caso usaremos muellesque tienen un comportamiento lineal. Dichos muelles siguen la ley ~F = −K ~∆x, tambienllamada ley de Hooke, que nos dice que la F aplicada a un muelle produce un incrementode su longitud ∆x proporcional a dicha fuerza. Esta constante de proporcionalidad k esuna medida de la rigidez del muelle, ası por ejemplo, para un muelle con k = 10N/mse necesitarıa una fuerza de 10N para estirarlo 1 m , mientras que si k fuese 20N/mnecesitarıamos 20N para estirarlo igualmente 1 m. Es importante resaltar que en todomuelle real existe un lımite de deformacion en el que se pierde la proporcionalidad (lımiteelastico), a partir del cual no se cumple la ley de Hooke.

La fuerza ejercida por un resorte es un ejemplo de un tipo de fuerzas denominadasfuerzas elasticas o harmonicas. En general, todo sistema en las proximidades de un puntode equilibrio estable (que se caracteriza por que las fuerzas que actuan sobre el sistema enese punto son nulas, y porque pequenos desplazamientos respecto del equilibrio producenfuerzas de recuperacion que tienden a hacer retornar el sistema al punto de equilibrio)obedece en primera aproximacion a una ley de fuerzas de este tipo, que genera un tipo demovimiento llamado movimiento armonico simple.

Las ecuaciones que describen este movimiento se pueden deducir partiendo de la 2a

51

CAPITULO 6. LEY DE HOOKE 52

Figura 6.1: Dispositivo y montaje experimental.

Ley de Newton ~F = m~a, siendo

~F = −k ~∆x, (6.1)

La solucion de esta ecuacion es de la forma x(t) = A cos(ωt + φ0) donde A es laamplitud inicial y la constante ω viene dada por la ecuacion:

ω =

√k

m, (6.2)

dicha constante se denomina frecuencia caracterıstica.El periodo de la oscilacion viene dado por:

T = 2π/ω = 2π

√m

k(6.3)

que es similar a la que se obtiene con el pendulo simple para oscilaciones de pequenaamplitud. En este caso m juega el papel de longitud l del pendulo y k la de constante degravedad g.

6.3. Parte I: Montaje Experimental

Realizar el montaje mostrado en la figura 6.1. Para ello roscar la varilla en la basesoporte y fijar la nuez con gancho en la varilla vertical. Colgar de la nuez el dispositivo


que corresponda: el rojo es el muelle mas blando y el azul el mas duro. Estos dispositivosllevan incorporada una escala en mm para poder medir directamente el estiramiento delmuelle mediante el indice rojo. Antes de colgar ningun peso asegurarse que el ındice rojomarque el 0 de la escala. Si no fuera ası, aflojar la tuerca moleteada superior y enroscar odesenroscar el gancho superior hasta hacerlo coincidir. Una vez hecho esto volver a apretarla tuerca moleteada.

6.4. Resultados

Colgaremos el gancho del dispositivo rojo al que previamente habremos ajustado elcero y puesto que el portapesas tiene un peso exacto de 20g, lo usaremos tambien comouna pesa mas y mediremos la elongacion correspondiente. Por ello, en nuestro caso, comola posicion inicial de reposo es x0 = 0 entonces ∆x = x− x0 = x. Despues del portapesasiremos introduciendo una a una las 8 pesas de 10g e iremos rellenando la siguiente tabla.Tener en cuenta que F es el peso de las masas por lo que F = mg = m9,8 y x es el valormedido en la escala transparente.

Masa F (±εF ) x(±εx)0,0200,0300,0400,0500,0600,0700,0800,0900,100

Repetir estas medidas para el dsipositivo azul. En este caso usaremos las 5 pesas de20g y las 8 pesas de 10g (estas ultimas las introduciremos de 2 en 2 para hacer 20g). Comoen el caso anterior el portapesas lo usaremos como una pesa mas.

Masa F (±εF ) x(±εx)0,0200,0400,0600,0800,1000,1200,1400,1600,1800,200


6.5. Cuestiones

1. Dibujar las grafica de F frente a x para los dos muelles.

2. Calcular la pendiente, la ordenada en el origen, y el coeficiente de correlacion linealde cada una de ellas mediante ajuste por mınimos cuadrados.

a1(±εa1) = b1(±εb1) = r1 =

a2(±εa2) = b2(±εb2) = r2 =

3. Con la ayuda de la ecuacion 6.1 hallar el valor de k correspondiente a cada uno delos muelles.

4. Colgar de uno de los dispositivos un objeto de masa desconocida y a partir de ladeformacion del muelle calcular su peso. Ahora estamos usando el muelle como undinamometro.

5. Si cogiesemos un muelle de constante elastica k y lo cortasemos a la mitad, que valorcualitativo esperarıamos obtener al medir la constante elastica del muelle-mitad.¿Mayor, igual o menor?.

6. Realizar las mediciones con una goma elastica domestica y verificar experimental-mente si cumple o no la ley de Hooke.

Masa F (±εF ) x(±εx)0,0200,0400,0600,0800,100

6.6. Parte II: Montaje Experimental

Realizar el mismo montaje que en el experimento I. Colgar el dispositivo rojo (muelleblando) del gancho y cargarlo con el portapesas y pesas para conseguir oscilaciones lentas(por ejemplo 5 pesas de 10g.)

6.7. Resultados

6.7.1. Dependencia del periodo de oscilacion con la elongacion

Con el dispositivo rojo cargado con las pesas, desplazaremos el muelle de su posicionde equilibrio las cantidades indicadas en la tabla y mediremos el tiempo transcurrido en30 oscilaciones t30 (cada oscilacion se entiende como periodo, es decir, hay que contar 1oscilacion cada vez que el muelle se encuentra en una misma posicion, superior o inferior).


El periodo sera T = t30/30. Nota: Aunque al oscilar se produce un pequeno rozamiento dela varilla portaındice con el tope blanco inferior, este efecto es despreciable para la medi-cion del periodo ya que solo influye en que se produce una disminucion de la amplitud deoscilacion pero en la practica no afecta a la frecuencia con la que oscila(y como se demos-trara en este apartado, la frecuencia de oscilacion no depende de la amplitud, sino solodel peso que este aplicado al muelle). Esto es, se trata de un movimiento armonico simpleamortiguado. Si se quisiera comprobar el efecto de este rozamiento, basta con desmontar eldispositivo, sacar el muelle y hacer las pruebas colgando las pesas directamente del muelle.

Amplitud x(±εx) t30(±εt30) T (±εT )0,010,020,030,04

Realizar las mismas medidas pero con el dispostivo azul. Se recomienda cargar el mue-lle con el portapesas y 5 pesas de 20g.

Amplitud x(±εx) t30(±εt30) T (±εT )0,010,020,030,04

6.7.2. Dependencia del periodo de oscilacion con el peso aplicado

Vamos ahora a realizar las medidas del periodo de oscilacion en funcion de la fuerzaque aplicamos al muelle. En este caso necesitamos tambien considerar el peso de la va-rilla portaındice ya que tambien esta oscilando. El peso de esta varilla es de 7,5g. Hacerprimero las medidas con el dispositivo rojo. Iremos aplicando las masas indicadas en latabla (el portapesas y las 8 pesas de 10g), desplazaremos el muelle un poco de la poscionde equilibrio y mediremos el tiempo transcurrido en 30 oscilaciones t30 (cada oscilacionse entiende como periodo, es decir, hay que contar 1 oscilacion cada vez que el muelle seencuentra en una posicion, superior o inferior). El periodo sera T = t30/30.

Masa Masa + varillaportaındice

t30(±εt30) T (±εT ) T 2(±εT 2)

0,0500,0600,0700,0800,0900,100


Repetir estas medidas para el muelle del dispositivo azul. En este caso usaremos elportapesas, las 5 pesas de 20g y las 8 pesas de 10 g (estas ultimas las introduciremos de2 en 2 para hacer 20g).

Masa Masa + varillaportaındice

t30(±εt30) T (±εT ) T 2(±εT 2)

0,0800,1000,1200,1400,1600,1800,200

Dibujar las graficas de T 2 frente a masa + varilla para cada uno de los dos muelles.Calcular la pendiente, la ordenada en el origen, y el coeficiente de correlacion lineal decada una de ellas mediante ajuste por mınimos cuadrados.

a1(±εa1) = b1(±εb1) = r1 =

a2(±εa2) = b2(±εb2) = r2 =

Con la ayuda de la ecuacion 6.3 hallar el valor de k correspondiente a cada uno de losmuelles.

6.8. Cuestiones

1. ¿Estan en concordancia los valores obtenidos de k con los obtenidos en el experi-mento I (Ley de Hooke)?

2. ¿Por que no aparace la gravedad g en las ecuaciones de oscilacion?. Si realizasemosesta practica en la Luna (menor gravedad), ¿que valores de k esperarıamos obtener?

Capıtulo 7

Oscilaciones forzadas

7.1. Objetivo

El pendulo de Pohl permitira estudiar el movimiento oscilatorio libre, el amortiguadoy el forzado. Se determinaran las frecuencias caracterısticas de las oscilaciones libres, eldecrecimiento exponencial de amplitud en las oscilaciones amortiguadas y las curvas deresonancia de las oscilaciones forzadas para diferentes valores de amortiguamiento.


El pendulo de Pohl (ver la figura 7.1) consta de una rueda giratoria que oscila respectode su posicion de equilibrio, marcada por una flecha. La fuerza recuperadora que permite laoscilacion se debe a un muelle helicoidal. Conectado al pendulo hay un freno magnetico queactuara como amortiguador de la oscilacion, y un motor que actuara como forzamiento. Deeste modo, el pendulo de Pohl permite un estudio de las oscilaciones libres, amortiguadasy forzadas.

7.2.1. Oscilaciones libres

Podemos considerar el pendulo de Pohl libre como una corona circular plana que girarespecto a un eje perpendicular a ella, el eje z, que pasa por su centro de masas. La ruedaesta conectada a un muelle de tipo helicoidal, de tal manera que, cuando se separa larueda de su punto de equilibrio un angulo Φ, el muelle trata de devolverla a su posicionde equilibrio con una fuerza proporcional a la distancia dada por la ley de Hooke. Elmovimiento resultante, si no hay amortiguamiento, se puede tomar como un movimientoarmonico simple en la variable angular Φ. Tal sistema se conoce como pendulo de torsion.

Para estudiar el movimiento del pendulo de torsion libre, consideramos un sistema dereferencia en que la corona circular esta en el plano xy, el centro de masas O es el origendel sistema de referencia, y la corona gira respecto al eje z. Consideremos las ecuacionesde movimiento de un solido rıgido en rotacion. El momento angular de la corona respectoa su centro de masas, que es el origen, es la suma de los momentos angulares de cada

57

CAPITULO 7. OSCILACIONES FORZADAS 58

punto de la corona respecto al centro de masas, esto es,

−→L =

N∑i=1

−→ri ×−→pi =N∑i=1

mi−→ri ×−→vi , (7.1)

donde −→ri = xi−→i + yi

−→j es el vector posicion del punto i respecto al centro de masas y −→vi

es su velocidad. Al girar, todos los puntos de la corona se mueven con la misma velocidadangular ω, de modo que la velocidad de cada punto es

−→vi = −→ω ×−→ri , (7.2)

donde −→ω = ω−→k , por girar la corona respecto al eje z. Insertando la ecuacion 7.2 en 7.1,

se obtiene−→L =

N∑i=1

mi−→ri × (−→ω ×−→ri ) =

(N∑i=1

mir2i

)ω−→k = Izω

−→k , (7.3)

siendo Iz el momento de inercia de la corona respecto al eje z. Para aplicar las leyes deNewton al movimiento de rotacion de un cuerpo rıgido, se deriva respecto al tiempo elmomento angular. Por un lado, de 7.1,

d−→L

dt=

N∑i=1

mi−→ri ×

d−→vidt

=N∑i=1

−→ri ×−→Fi =

N∑i=1

−→Mi =

−→M, (7.4)

donde−→Fi es la fuerza exterior aplicada en el punto i del cuerpo rıgido,

−→Mi = −→ri ×

−→Fi es

el momento de la fuerza−→Fi respecto al centro de masas, y

−→M es el momento total de las

fuerzas aplicadas al cuerpo rıgido con respecto al centro de masas. Por otro lado, de 7.3,

d−→L

dt= Iz

dω

dt

−→k . (7.5)

Igualando las ecuaciones 7.4 y 7.5, se llega a

−→M = Iz

dω

dt

−→k , (7.6)

que es la ecuacion del movimiento de rotacion de la corona.Supongamos que separamos la corona de su punto de equilibrio un angulo Φ, medido

respecto a la vertical (eje y). El muelle helicoidal ejerce entonces un momento de fuerzarecuperador que es proporcional al desplazamiento angular Φ y que esta dado por

−→M = −k∗Φ

−→k , (7.7)

donde k∗ es una constante de proporcionalidad. Teniendo en cuenta la ecuacion 7.6, dondela velocidad angular es ω = dΦ/dt, el movimiento angular del pendulo de torsion satisface

Izd2Φ

dt2+ k∗Φ = 0. (7.8)

Como puede verse, el movimiento angular de un pendulo de torsion libre es un movimientoarmonico simple, cuya solucion esta dada por

Φ = Φ0 cosω0t, (7.9)


donde Φ0 es la amplitud del movimiento, que corresponde con la desviacion inicial supo-niendo que la velocidad inicial es nula, y

ω0 =

√k∗

Iz, (7.10)

es la frecuencia natural de la oscilacion.

7.2.2. Oscilaciones amortiguadas

Cuando, en un oscilador libre, se tienen en cuenta perdidas de energıa debidas a fuerzasde rozamiento, se obtiene una oscilacion amortiguada. En el caso del pendulo de Pohl, sedispone de un freno magnetico que produce un momento de una fuerza de amortiguacion

Ma

−→k que es proporcional a la velocidad angular,

Ma = −CdΦ

dt, (7.11)

donde C es un factor de proporcionalidad que depende de la intensidad de corrienteque alimente al freno magnetico. Entonces, la ecuacion de movimiento del pendulo es,introduciendo el momento amortiguador 7.11 como un nuevo sumando en la ecuacion delcaso libre 7.8,

Izd2Φ

dt2+ C

dΦ

dt+ k∗Φ = 0. (7.12)

Utilizando la frecuencia natural de la oscilacion ω0 dada por la ecuacion 7.10, y definiendoel coeficiente de amortiguamiento ξ como

ξ =C

2Iz, (7.13)

la ecuacion 7.12 se puede reescribir

d2Φ

dt2+ 2ξ

dΦ

dt+ ω2

0Φ = 0. (7.14)

Cuando se resuelve esta ecuacion, se obtienen distintos tipos de soluciones para cada unode los tres casos posibles siguientes.

1. Sobreamortiguamiento: Si ξ2 > ω20, entonces el pendulo retorna lentamente a su

posicion de equilibrio sin llegar a oscilar en torno a ella.

2. Amortiguamiento crıtico: Si ξ2 = ω20, el resultado es muy parecido al anterior,

aunque la convergencia hacia el equilibrio es un poco mas rapida.

3. Subamortiguamiento: Si ξ2 < ω20, entonces el pendulo oscila en torno a la posicion

de equilibrio aunque la amplitud de oscilacion va decayendo exponencialmente en eltiempo.

Debido a los valores numericos de los dispositivos experimentales usados en esta practi-ca, nuestra oscilacion es subamortiguada. La solucion de la ecuacion 7.14 en el caso su-bamortiguado es

Φ(t) = Φ0 exp(−ξt) cosωt, (7.15)


con

ω =√ω2

0 − ξ2. (7.16)

Por tanto, se obtiene que la frecuencia ω del oscilador amortiguado es menor que la deloscilador libre ω0, y que la amplitud del oscilador amortiguado decrece exponencialmentecon el tiempo. De la ecuacion 7.15 se deduce que la razon entre las amplitudes de dososcilaciones sucesivas es una constante K, con

K =Φ(t)

Φ(t+ T )= exp(ξT ), (7.17)

siendo T = 2π/ω el perıodo de la oscilacion. A la constante K se le denomina razon deamortiguamiento, y a la cantidad

lnK = ξT = ln

(Φ(t)

Φ(t+ T )

), (7.18)

se le llama decrecimiento logarıtmico.

7.2.3. Oscilaciones forzadas

En las oscilaciones amortiguadas, la amplitud y, por tanto, la energıa, decrecen conel tiempo hasta que la oscilacion muere. Para mantener en marcha el pendulo de torsion,se utiliza un motor que proporciona un momento de fuerzas externo periodico del tipoMf = M0 cos Ωt, donde M0 es una constante y Ω es la frecuencia del forzamiento. Alintroducir este nuevo momento, la ecuacion 7.14 se transforma en

d2Φ

dt2+ 2ξ

dΦ

dt+ ω2

0Φ = f0 cos Ωt, (7.19)

donde f0 = M0/Iz se llama amplitud del forzamiento. Esta es la ecuacion de un osciladorforzado. La solucion de esta ecuacion de movimiento tiene una componente complicada,llamada solucion transitoria, que esta llamada a desaparecer tras un intervalo inicial detiempo, pero tiene una nueva componente, que permanece indefinidamente en el tiempo,llamada solucion estacionaria, que esta provocada por la presencia del momento de fuerzasexterno, y que es del tipo armonico simple, pero tal que la frecuencia del movimiento esigual a la frecuencia de forzamiento Ω,

Φ(t) = A cos(Ωt+ δ). (7.20)

La amplitud de la solucion es

A =f0√

(ω20 − Ω2)2 + 4ξ2Ω2

, (7.21)

y la fase inicial δ viene dada por:

δ = arctan

(−2ξΩ

ω20 − Ω2

). (7.22)

Observando detenidamente las ecuaciones 7.20-7.22 se obtienen varias conclusiones sobrelas caracterısticas de las oscilaciones forzadas:


1. Cuanto mayor sea el coeficiente de amortiguamiento ξ, menor es la amplitud de lasoscilaciones.

2. Existe un valor Ωr de la frecuencia de forzamiento tal que, para valores fijos def0, ω0, ξ, cuando Ω = Ωr, la amplitud de las oscilaciones se hace maxima. Estefenomeno se conoce como resonancia, el valor Ωr se llama frecuencia de resonanciay la amplitud maxima Ar = A(Ωr) se llama amplitud de resonancia. Para calcularla frecuencia de resonancia, se halla el maximo de la funcion amplitud A derivandocon respecto a la variable Ω, y tomando f0, ω0, ξ como constantes. Al igualar a cerola derivada, el maximo aparece en

Ωr =√ω2

0 − 2ξ2, (7.23)

y la amplitud de resonancia resulta

Ar =f0

2ξ√ω2

0 − ξ2. (7.24)

3. Si se construyese un pendulo de torsion sin amortiguamiento (ξ = 0), y a este se leforzara a oscilar a la frecuencia de resonancia (Ω = Ωr), la amplitud de las oscilacio-nes serıa infinita, es decir, la amplitud de resonancia en ausencia de amortiguamientoes infinita.

4. Para frecuencias de excitacion Ω mucho menores que ω0, la oscilacion del penduloesta en fase (δ ≈ 0) con el momento de fuerzas externo de excitacion. Para fre-cuencias Ω mucho mayores que ω0, la oscilacion del pendulo esta en oposicion defases (δ ≈ π) con respecto a la excitacion externa. En el caso Ω = ω0, el desfase esδ = π/2, y se dice que ambos movimientos estan en cuadratura.


El aspecto general del montaje es el de la figura 7.1. El freno magnetico es un electro-iman que, alimentado con corriente continua (DC), induce corrientes de Foucault sobre larueda giratoria, provocando un momento de frenado sobre ella. Dado que la unica salidade DC que tiene la fuente se va a reservar para la alimentacion del motor de oscilacionesforzadas, se hace necesario el uso de un rectificador que convierte en continua la corrientealterna (AC) de la otra salida de la fuente. La intensidad IB suministrada al freno esmedida por un amperımetro colocado en serie.

ADVERTENCIA IMPORTANTE: El freno magnetico soporta una intensidadmaxima de 1 A. Para no sobrepasar esta cantidad de corriente rectificada, es necesario nosobrepasar los 10 V de alterna en la salida de la fuente.

Antes de observar las oscilaciones libres y amortiguadas debe ajustarse la posicionde reposo de la flecha de la rueda giratoria de modo que coincida con la posicion cerode la escala. Para conseguir esto se puede girar con la mano el disco del motor. Cuandono entre corriente al freno (IB = 0), podremos observar oscilaciones libres (en realidadson amortiguadas por el propio rozamiento del pendulo, pero este rozamiento es muypequeno). A medida que se hace crecer la corriente IB (no sobrepasar 1 A), se pueden



observar oscilaciones cada vez mas amortiguadas. Para medir el decrecimiento de lasamplitudes de las oscilaciones, se puede deflectar la rueda giratoria con la mano hacia unlado, y leer aproximadamente sobre la escala las sucesivas amplitudes hacia los dos lados.Si resulta difıcil visualizar la amplitud de oscilacion, se puede probar disminuyendo ladesviacion inicial para que la flecha se mueva un poco mas lenta. Para medir los perıodosse hara con un cronometro.

Para las oscilaciones forzadas, la salida de corriente continua de la fuente de potenciase conecta a las dos hembras superiores del motor DC de oscilaciones forzadas. El motorno debe ser alimentado con mas de 650 mA de intensidad. Por ello, debe colocarse el dialde intensidades DC de la fuente aproximadamente a 0, 65 A. Tomando esta precaucion,ya puede girarse el dial de tensiones hasta su posicion de maximo valor.

La frecuencia de las oscilaciones forzadas puede controlarse con los dos diales de laparte superior del motor. El derecho es para un ajuste aproximado y el izquierdo para elajuste fino. Una primera estimacion de la frecuencia del motor se puede obtener contandolas revoluciones del mismo por unidad de tiempo con ayuda de un cronometro. Para medirlas amplitudes y frecuencias de las oscilaciones forzadas estacionarias se debe esperar unpoco para que desaparezcan los transitorios, y luego proceder como en el caso de las osci-laciones amortiguadas. Las amplitudes de oscilacion se debe medir ahora como la mediaaritmetica de las desviaciones del pendulo a izquierda y derecha, ya que posiblemente elpunto intermedio de la oscilacion no sea el cero de la escala.


7.4. Resultados

1. Determinar el perıodo de oscilacion T0 y la frecuencia natural ω0 = 2π/T0 de lasoscilaciones libres (tomar, por tanto, IB = 0). Para obtener valores suficientementeprecisos, realizar 5 medidas del tiempo correspondiente a veinte oscilaciones, estoes, medir t20 = 20T0.

medida 1a 2a 3a 4a 5a

t20

Promediar las 5 medidas y, a partir del valor de t20, calcular T0 y ω0 con sus corres-pondientes errores.

t20(±εt20) =

T0(±εT0) =

ω0(±εω0) =

2. Para los casos de oscilacion amortiguada correspondientes a alimentar el freno contensiones de alterna VB = 4, 6, 8 V ,estudiar el decrecimiento de la amplitud a medidaque pasa el tiempo.

VB = 4 V,

t(±εt) Φ(±εΦ) ln(Φ)(±εln(Φ))0T0/22T0/23T0/24T0/25T0/26T0/27T0/28T0/29T0/210T0/211T0/212T0/213T0/214T0/2


VB = 6 V,t(±εt) Φ(±εΦ)0T0/22T0/23T0/24T0/25T0/26T0/27T0/28T0/29T0/210T0/211T0/212T0/213T0/214T0/2

VB = 8 V,t(±εt) Φ(±εΦ)0T0/22T0/23T0/24T0/25T0/26T0/27T0/28T0/29T0/210T0/211T0/212T0/213T0/214T0/2

En una misma grafica, representar la amplitud de oscilacion Φ(t) en funcion deltiempo para VB = 4, 6, 8 V .

Para el caso VB = 4 V , calcular el coeficiente de correlacion lineal r, la pendientea y la ordenada en el origen b de la recta de mınimos cuadrados ln Φ(t) = at + b.Representar los datos y la recta del ajuste en una grafica.

Observando que se toman unicamente los valores extremos de la oscilacion, tenemos| cosωt| = 1. Como consecuencia, la ecuacion (7.15) se puede reescribir como:

|Φ(t)| = |Φ0 exp(−ξt)|


Comparando el ajuste de mınimos cuadrados con esta ecuacion, obtenga el coefi-ciente de amortiguamiento ξ, la razon de amortiguamiento K y el decrecimientologarıtmico lnK

r = a(±εa) = b(±εb) =

ξ(±εξ) = K(±εK) = lnK(±εr) =

3. Estudiar las oscilaciones forzadas correspondientes al caso VB = 4 V . Hacer variarlentamente la frecuencia del motor, y elaborar una tabla de amplitudes en funcionde las frecuencias. Para ello, medir el perıodo Tf de la rueda giratoria del motor, apartir del cual se podra determinar la frecuencia de excitacion Ω = 2π/Tf . Recordarque la amplitud de oscilacion Φ debe medirse ahora como la media aritmetica delas desviaciones del pendulo a izquierda Φi y derecha Φd. Tomar mas medidas en lazona de resonancia, cuando Tf se aproxima a T0, y tambien tomar datos en zonasposteriores a la resonancia.

Tf (±εTf ) Ω(±εΩ) Φi(±εΦi) Φd(±εΦd) Φ(±εΦ)

Representar graficamente la curva de resonancia (la amplitud de oscilacion estacio-naria Φ en funcion de la frecuencia de excitacion Ω). Sobre la grafica, trazar tresrectas verticales en los valores correspondientes a la frecuencia de resonancia Ωex

r

hallada experimentalmente (aquella para la que se haya obtenido un valor maximode Φ), a la frecuencia de resonancia Ωt

r esperada teoricamente a partir de la ecuacion7.23, y a la frecuencia natural ω0.

Ωexr (±εΩexr ) = Ωt

r(±εΩtr) = ω0(±εω0) =


Observar cualitativamente que, para frecuencias de forzamiento Ω muy inferioresy muy superiores a ω0, las oscilaciones de la rueda giratoria (flecha blanca) y lasdel resorte vinculado al motor (flecha negra) estan, respectivamente, en fase y enoposicion de fases.

7.5. Discusion


7.6. Cuestiones

1. Tal como ya se ha dicho anteriormente, el freno no debe ser alimentado a travesde una corriente que sea mayor de 1 A. Pero, ¿ cual serıa el comportamiento delpendulo si, por ejemplo, tomasemos una corriente IB = 2 A?

2. Al estudiar, en el apartado 2 de la seccion Resultados, las oscilaciones amortiguadas,se sugiere adoptar T0 (que corresponde a IB = 0) como perıodo aproximado en todoslos casos. En realidad, de la ecuacion 7.16 se deduce que

T =2π√ω2

0 − ξ2, (7.25)

y, por tanto, T depende de la constante de amortiguamiento. Estimar el perıodo Tesperado en el caso VB = 4 V a partir de los valores de ω0 y de ξ obtenidos.

3. Demostrar las ecuaciones 7.23 y 7.24 para la frecuencia de resonancia y la amplitudde resonancia, a partir de la condicion de maximo de la funcion amplitud 7.21.

Capıtulo 8

Vibracion de cuerdas

8.1. Objetivo

Una cuerda metalica cuyos extremos estan fijos, y que esta sometida a una tensiondeterminada, se somete a vibraciones, que son detectadas y amplificadas opticamente. Elproceso de vibracion se observara en el osciloscopio. Se estudiara la dependencia de lafrecuencia del armonico fundamental con la tension y la longitud de la cuerda.


Vamos a estudiar las pequenas vibraciones transversales de una cuerda homogeneacuyos extremos estan fijos. Supuestas una serie de caracterısticas ideales para la cuerda,podemos asumir que la longitud l y la tension T no varıan durante el proceso de ca-da vibracion. Para obtener la ecuacion diferencial que rige el movimiento de una ondatransversal sobre una cuerda en tension, observemos la figura 8.1.

Consideremos un elemento diferencial de cuerda de longitud dx. Al desplazarse ver-ticalmente a una altura y con respecto a su posicion de equilibrio, y estando sometidossus extremos a una tension T , la componente vertical Fy de la fuerza que actua sobre elelemento de cuerda es

Fy = T sin(α + dα)− T sin(α), (8.1)

Figura 8.1: Onda transversal sobre una cuerda tensa.

67

CAPITULO 8. VIBRACION DE CUERDAS 68

donde α es el angulo formado por la horizontal y la recta tangente a la curva y = y(x, t)en el punto estudiado. Por tanto, debe cumplirse que

tanα =∂y

∂x. (8.2)

Consideremos el caso de pequenas vibraciones, en el cual se puede suponer que α esinfinitesimal. Entonces, es valido quedarse a primer orden en el desarrollo de Taylor delas funciones seno y tangente, esto es,

α ≈ sinα ≈ tanα. (8.3)

Al derivar la ecuacion 8.2, teniendo en cuenta la aproximacion dada por la ecuacion 8.3,se obtiene

dα =

(∂2y

∂x2

)dx. (8.4)

Ahora, se puede reescribir la ecuacion 8.1, usando de nuevo el desarrollo de Taylor, como

Fy = T [sin(α + dα)− sinα] = Tdα = T

(∂2y

∂x2

)dx. (8.5)

La masa del elemento diferencial de cuerda dx es

dm = ρ q dx, (8.6)

donde ρ es la densidad de la cuerda, y q el area de la seccion transversal. Entonces,aplicando la segunda ley de Newton, resulta

Fy = T

(∂2y

∂x2

)dx =

(∂2y

∂t2

)ρ q dx, (8.7)

de donde se obtiene, finalmente, la ecuacion de onda de D’Alembert(∂2y

∂t2

)= c2

(∂2y

∂x2

), (8.8)

siendo

c =

√T

qρ(8.9)

la velocidad de propagacion de una onda transversal sobre la cuerda. Cuando se resuelvela ecuacion 8.8 se obtiene como solucion cualquier pulso, con ciertas condiciones ma-tematicas, que se propague con velocidad c sobre la cuerda. Esta velocidad c se llamatambien velocidad de fase y es la velocidad con que tendrıa que viajar un observador quese desplazase a lo largo del eje x para ver siempre el mismo valor de y. Dentro de todaslas soluciones posibles, tienen especial interes las denominadas ondas armonicas ya que,aparte de ser por sı mismas soluciones de la ecuacion de onda, cualquier otra solucionmas complicada puede descomponerse como una superposicion de ondas armonicas, enuna herramienta matematica llamada analisis espectral o analisis de Fourier.

Por otra parte, el hecho de que los dos extremos de la cuerda de esta practica perma-nezcan en reposo, hace imposible la presencia de ondas armonicas viajeras, que propagan


energıa. Las ondas armonicas que verifican las condiciones de reposo de los extremos sedenominan ondas estacionarias, no propagan energıa y pueden entenderse como la su-perposicion de dos ondas viajeras de igual amplitud que viajan en sentidos opuestos.Por tanto, sobre la cuerda existira, en general, una superposicion de ondas armonicasestacionarias. Esta superposicion se escribe

y(x, t) =∞∑n=1

yn(x, t) =∞∑n=1

An sin(knx) sin(ωnt+ φn), (8.10)

donde kn y ωn son, respectivamente, el numero de ondas y la frecuencia angular de laonda yn(x, t), dados por

kn =nπ

l, (8.11)

ωn = ckn =nπc

l. (8.12)

Asociados a ellos, se definen tambien la longitud de onda λn y la frecuencia νn de la ondacomo

λn =2π

kn=

2l

n, (8.13)

νn =ωn2π

=nc

2l. (8.14)

Una caracterıstica de las ondas estacionarias, a diferencia de las ondas viajeras, es quela amplitud de vibracion varıa de un punto a otro a traves de la formula sin(knx). Porejemplo, los puntos en donde se anula la funcion sin(knx) tienen amplitud nula y se llamannodos.

Consideremos la contribucion mas importante en el desarrollo de Fourier dado porla ecuacion 8.10. Esta contribucion es la correspondiente a n = 1 y se llama armonicofundamental,

y1(x, t) = A1 sin(k1x) sin(ω1t+ φ1), (8.15)

tal que su longitud de onda es el doble de la longitud de la cuerda, y su frecuencia es

ν =c

2l=

1

2l

√T

qρ. (8.16)

Las soluciones para n = 2, 3, . . . se denominan armonicos superiores (vease la figura 8.2,donde se dibujan los armonicos principales, y se observan sus nodos).

En general, el armonico que se observa y predomina es el fundamental. Esto se debe ados causas. En primer lugar, el tipo de excitacion o condicion inicial que se aplica (un golpeseco en un punto centrico de la cuerda) favorece a este armonico fundamental porque sele parece mucho (de nuevo, ver la figura 8.2). En segundo lugar, en una cuerda real existeamortiguamiento, que termina por hacer desaparecer la vibracion. Este amortiguamientoes mayor para los armonicos superiores que para el armonico fundamental y, por ello, esteultimo tarda mas en desaparecer.


Figura 8.2: Armonico fundamental y armonicos superiores.


El aspecto general del montaje es el de la figura 8.3. La cuerda apoya dos puntossobre dos pasadores triangulares (los extremos en reposo) y se mantiene tensa entre ungancho fijo y un dinamometro, que a su vez esta atado a una palometa regulable. Lalongitud l (distancia entre los dos puntos fijos) puede variarse desplazando los pasadorestriangulares, y medirse sobre una regla. La tension T se modifica girando la palometaregulable y se mide mediante el dinamometro. La tension no debe ser nunca mayor de30 N para no producir la ruptura de la cuerda. Tambien ha de cuidarse no intruducir lacuerda dentro del tornillo al girarlo.

La vibracion de la cuerda es estimulada mediante un golpecito seco con el martillode goma en algun punto centrico. Debe vigilarse constantemente que la tension sobrela cuerda sea la deseada, especialmente tras los golpes de martillo y tras los cambiosde longitud. Si se detectan vibraciones en la zona de la cuerda que queda fuera de lospasadores triangulares, estas vibraciones deben ser eliminadas apoyando suavemente eldedo. La vibracion de la cuerda en un punto intermedio se detecta opticamente a partirde las sombras que produce sobre una rendija fotosensible. Es necesario asegurarse deque la sombra de la cuerda caiga exactamente sobre la rendija fotosensible cuando lacuerda este en reposo. Tambien se debe acercar suficientemente la bombilla a la cuerda(unos 3 cm de separacion) porque ası se detectaran mejor las vibraciones pequenas. Lasenal que se origina en la rendija fotosensible es amplificada y transmitida al osciloscopiopara su observacion cualitativa, y tambien a un contador de cuatro dıgitos para medir sufrecuencia. Para la amplitud habitual de la senal que se genera en la celula fotoelectrica, essuficiente amplificarla 100 veces para verla en el osciloscopio. El contador debe arrancarse



una vez que en el osciloscopio se observe una senal armonica suficientemente pura, esdecir, una vez que se hayan eliminado los transitorios.

8.4. Resultados

Se supone en todos los casos que se esta trabajando con el armonico fundamental.

1. Anotar el diametro de los hilos de cobre y constantan (CuNi) que se utilizaran enel experimento, junto con el correspondiente error.

φCu(±εφCu) = φCuNi(±εφCuNi) =

2. Usando una cuerda de constantan, mantener la tension en un valor fijo T = 20 Ny medir la frecuencia fundamental ν (hacer 3 medidas y promediar) para distintas


longitudes l, en un rango entre 20 cm y 60 cm, en pasos de 5 cm.

T (±εT ) =l(±εl) ν(±εν) ν(±εν) ln ν(±εln(ν)) ln l(±εln l)

Representar graficamente ν en funcion de l y ln ν en funcion de ln l. Calcular elcoeficiente de correlacion lineal r, la pendiente a, y la ordenada en el origen b, ytrazar sobre la representacion anterior la recta de mınimos cuadrados ln ν = a ln l+b.

r = a(±εa) = b(±εb) =

A partir de la ordenada en el origen b obtenida, calcular la densidad ρ del constantan.

3. Usando la misma cuerda de antes, fijar su longitud a l = 40 cm y medir la frecuenciaν (3 medidas y promediar) para distintos valores de la tension T , en un rango entre6 N y 20 N , en pasos de 2 N . Repetir el experimento para una cuerda de cobre.

a) Constantan

l(±εl) =

T (±εT ) ν(±εν) ν(±εν)√T (±ε√T )

b) Cobre

l(±εl) =

T (±εT ) ν(±εν) ν(±εν)√T (±ε√T )


Representar graficamente ν en funcion de√T en los dos casos, a ser posible en la

misma grafica. Calcular los coeficientes de correlacion lineal r, las pendientes a, ylas ordenadas en el origen b, y trazar sobre la representacion anterior las rectas demınimos cuadrados ν = a

√T + b para cada material.

rCuNi = aCuNi(±εaCuNi) = bCuNi(±εbCuNi

) =

rCu = aCu(±εaCu) = bCu(±εbCu

) =

A partir de la pendiente a obtenida, calcular la densidad ρ del cobre y del constantan.

8.5. Discusion

En la primera serie de resultados, ¿cual era el valor teorico at esperado para lapendiente a de la recta de mınimos cuadrados de ln ν en funcion de ln l, teniendo encuenta la ecuacion 8.16? ¿ A que se pueden deber las diferencias entre los valoresde at y a?

¿Que se puede decir sobre la diferencia del valor hallado para el constantan entre laprimera y la segunda serie de resultados?


8.6. Cuestiones

1. Comprobar que las ondas estacionarias de la ecuacion 8.10, con los parametros depropagacion definidos en las ecuaciones 8.11 y 8.12, son soluciones de la ecuacionde onda de D’Alembert dada por la ecuacion 8.8. Verificar que los extremos de lacuerda, dados por los puntos x = 0 y x = l, estan en reposo, es decir, tienen unaamplitud de vibracion nula, en todo instante de tiempo.

2. En general, se va a detectar la frecuencia del armonico fundamental, que es el predo-minante. ¿ Por que se ha indicado anteriormente que no se arranque el contador decuatro dıgitos, medidor de frecuencia, hasta que se hayan eliminado los transitorioso modos superiores?

3. A la vista de la figura 8.2, ¿ como se podrıa excitar la cuerda para que se hagaperceptible, aunque solo sea brevemente, el primer modo superior n = 2?

Capıtulo 9

Flujos viscosos en conductos

9.1. Objetivo

Se comprobara la ley de Hagen-Poiseuille, que gobierna el flujo laminar de lıquidosnewtonianos. Tambien se investigara como depende del diametro del capilar la resistenciaal flujo de un lıquido, y se estudiara la resistencia al flujo para tubos capilares conectados.


La viscosidad esta relacionada con el rozamiento interno que ocurre entre capas distin-tas de un fluido real. Debido a la existencia de viscosidad, es necesario ejercer una fuerzapara que una capa de fluido deslice sobre otra. En este experimento, se va a analizar elflujo de un lıquido real, esto es, viscoso, a traves de uno o varios capilares. Debido a lanaturaleza del experimento y al tipo de fluido utilizado, se pueden hacer las siguientesaproximaciones para el flujo.

1. El campo de velocidades del flujo no depende del tiempo, es decir, el flujo es esta-cionario. Dicho de otro modo, si P es un punto cualquiera del fluido, la velocidaden P no depende del tiempo, de manera que dos partıculas de fluido que pasen porP en instantes diferentes tendran la misma velocidad.

2. El flujo es irrotacional, es decir, el movimiento carece de remolinos. Dicho de otromodo, el campo de velocidades se puede expresar como el gradiente de una funcionescalar.

3. Debido a que el fluido es, en este caso, un lıquido, se puede suponer que es incom-presible, es decir, su densidad se mantiene constante.

4. Ademas, mientras la velocidad del flujo a traves del capilar no sea demasiado gran-de, se puede suponer que el lıquido se mueve en el regimen laminar. En este caso, elmovimiento se realiza por laminas de fluido superpuestas, que apenas se entremez-clan, y el campo de velocidades se dice paralelo a sı mismo. Dentro de un tubo, enregimen laminar, el perfil de velocidades es de tipo parabolico: el lıquido se adhiere alas paredes del tubo y fluye mas rapido en su parte intermedia, creando una parabolaen su frente. Cuando las velocidades del flujo son mucho mayores, el movimiento se

74

CAPITULO 9. FLUJOS VISCOSOS EN CONDUCTOS 75

produce en regimen turbulento, caracterizado por remolinos en el seno del lıquido yun perfil de velocidades mucho mas achatado. En esta practica, el lıquido se muevebasicamente en regimen laminar.

9.2.1. Ley de Hagen-Poiseuille

Para estudiar la viscosidad en lıquidos que cumplan estas condiciones, consideramosdos laminas de lıquido que se mueven con una diferencia de velocidades dv y que estanseparadas una distancia dx. Si S es el area de la superficie de contacto de las laminas,entonces la fuerza tangencial Fµ, debida a la viscosidad del lıquido, que una lamina ejercesobre la otra es

Fµ = µSdv

dx, (9.1)

donde la constante de proporcionalidad µ se llama coeficiente de viscosidad dinamica, yes una caracterıstica de la sustancia que depende, entre otras cosas, de la temperatura.En este experimento, sin embargo, la temperatura de trabajo sera siempre la temperaturaambiente, por lo que la viscosidad del lıquido sera constante.

La relacion dada por la ecuacion 9.1 no es generalizable a todos los lıquidos, ni muchomenos. A traves de los experimentos, se ha comprobado que algunos lıquidos presentanun comportamiento viscoso que no satisface esta ecuacion, entre los cuales aparecen losplasticos, los lubricantes, etc. Los lıquidos que satisfacen la ecuacion 9.1 se llaman lıquidosnewtonianos. En este experimento, el lıquido es newtoniano.

Para establecer el flujo de un lıquido (incompresible) newtoniano en regimen laminara traves de un tubo cilındrico de radio r y longitud l, que se mueve debido a la diferenciade presiones ∆p entre los extremos del tubo, suponemos flujo irrotacional y estacionario.Escogemos la capa de fluido contenida entre un tubo de radio r′ y otro de radio r′ + dr′

(evidentemente, r′ < r). Las fuerzas que actuan sobre esta capa de fluido son las debidasa la diferencia de presiones ∆p entre los extremos del tubo y las debidas a la viscosidadµ del lıquido. Por estar en regimen estacionario, la Segunda Ley de Newton dice que lasuma de estas dos fuerzas ha de ser igual a cero,

Fp + Fµ = 0. (9.2)

Dado que la presion es igual a la fuerza normal efectuada sobre una superficie divididapor el area de la superficie, se tiene que

dFp = ∆p[π (r′ + dr′)

2 − πr′2]

= ∆p (2πr′dr′) , (9.3)

e, integrando,Fρ = πr′2∆p. (9.4)

Por otro lado, por ser el lıquido newtoniano, aplicando la ecuacion 9.1 y recordando queS es el area lateral de la capa de lıquido, que esta en contacto con el resto del fluido,

Fµ = µ(2πr′l)dv

dr′. (9.5)

Insertando 9.5 y 9.4 en 9.2, se llega a

dv

dr′= −r

′∆p

2µl. (9.6)


Por integracion, e incluyendo la condicion de contorno v(r) = 0, que significa que el propiocapilar no se mueve, se obtiene la distribucion de velocidades sobre la seccion transversaldel capilar,

v(r′) =∆p

4µl

(r2 − r′2

), (9.7)

que da el perfil parabolico de velocidades tıpico del regimen laminar. El caudal de lıquidoQ, que se define como el volumen de lıquido que fluye por una seccion del tubo en launidad de tiempo, ha de satisfacer que el caudal dQ a traves de una seccion infinitesimaldel cilindro entre r′ y r′ + dr′ es

dQ = v(r′)dS(r′) = 2πr′dr′v(r′), (9.8)

de donde, usando 9.7 e integrando en todos los puntos interiores de la seccion del tubo,

Q =dV

dt=

∫ r

0

2πr′dr′v(r′) =πr4∆p

8µl, (9.9)

que es la ley de Hagen-Poiseuille. De aquı, el volumen de lıquido V que fluye por unaseccion del tubo depende del tiempo segun

V =πr4∆p

8µlt. (9.10)

Inspeccionando la ecuacion 9.9, se observa una curiosa analogıa entre el flujo laminarestacionario de un lıquido a traves de un tubo, dado por la Ley de Hage-Poiseuille, y lacorriente electrica a traves de un circuito. De hecho, esta analogıa se hace mucho masclara si se define la resistencia de flujo R como

R =8µl

πr4. (9.11)

Con ella, la Ley de Hagen-Poiseuille se puede escribir

∆p = RQ, (9.12)

que es totalmente igual a la relacion entre la diferencia de potencial y la intensidad en uncircuito.

Si se representa graficamente el caudal de flujo Q de un lıquido de viscosidad µ a travesde un capilar de longitud l y radio r en funcion de la diferencia de presiones ∆p entre losextremos del capilar, la ecuacion 9.12 indica que se debe obtener una recta que pasa porel origen y cuya pendiente es 1/R, donde R esta dada por la ecuacion 9.11. Sin embargo,cuando el caudal supera un determinado valor, la velocidad de flujo ha aumentado mucho,y se observara que la grafica se curva. Es en este punto cuando la ley de Hagen-Poiseuillepierde su valor, y se considera que el flujo es turbulento.

9.2.2. Asociaciones de resistencias de flujo

Si dos tubos capilares, de radios r1 y r2, estan conectados en serie, el caudal de flujoQ es el mismo en ambos y, por tanto, si R1 y R2 son los valores de la resistencia de flujo



en ambos capilares, la diferencia de presiones ∆p entre el inicio del primer capilar y elextremo del segundo es la suma de las diferencias de presiones en cada capilar,

∆p = ∆p1 + ∆p2 = Q(R1 +R2) = QReq, (9.13)

donde el valor de la resistencia equivalente en serie es

Req = R1 +R2. (9.14)

Si se conectan dos tubos capilares en paralelo, la diferencia de presiones entre losextremos de cada capilar es la misma, pero los caudales se suman, esto es,

∆p

Req

= Q = Q1 +Q2 =∆p

R1

+∆p

R2

, (9.15)

y se obtiene1

Req

=1

R1

+1

R2

, (9.16)

para la resistencia equivalente en paralelo.


El montaje experimental se muestra en la figura 9.1. Como lıquido para experimentarse usara agua. Los tubos capilares se sostienen horizontalmente mediante abrazaderas enlos extremos. Los capilares se conectan con el recipiente de lıquido y entre sı a traves de


gomas. Es importante, para asegurar el correcto paso de lıquido, evitar en lo posible quese formen burbujas de aire.

Para calcular la diferencia de presion ∆p sobre el tubo capilar se ha de usar la alturadel lıquido h segun

∆p = ρgh, (9.17)

donde ρ es la densidad del lıquido y g es la aceleracion de la gravedad. Es convenienteobtener primero la densidad del lıquido pesando el recipiente vacıo, y luego haciendolocon un volumen dado.

En el experimento, se ha de determinar el caudal de flujo para varias alturas delrecipiente, lo que se hace en la practica pesando la cantidad de lıquido que escapa enun tiempo corto. El nivel en el recipiente baja durante las medidas y causa un errorsistematico que puede ser ignorado en el caso de cantidades pequenas.

Es aconsejable representar los valores medidos en un grafico mientras se toman lasmedidas, hasta que se dibujen un numero suficiente de puntos en el area de flujo laminar.Se medira con un calibre el diametro de los tubos.

9.4. Resultados

1. Para cada uno de los 2 tubos capilares de diferentes diametros 2r, de la mismalongitud l = 25 cm, medir el caudal volumetrico para valores de la altura de aguah entre 10 cm y 60 cm, en pasos de 10 cm.

r(±εr) =

h(±εh) V (±εV ) t(±εt) Q(±εQ)

r(±εr) =

h(±εh) V (±εV ) t(±εt) Q(±εQ)

Representar graficamente la curva caracterıstica, esto es, la diferencia de presionesen funcion del valor del caudal , para los dos casos anteriores de diferentes diametros(los dos en la misma grafica, si es posible).


2. Con respecto a las curvas del apartado anterior, escoger los puntos que correspondena flujo laminar, y, para cada valor del radio del capilar r, calcular el coeficiente decorrelacion lineal c, la pendiente a y la ordenada en el origen b de la recta de mınimoscuadrados ∆p = aQ+ b.

r(±εr) c a(±εa) b(±εb)

A partir de los valores obtenidos en cada uno de los dos casos para la pendientea, calcular los valores de la resistencia de flujo R en Pa.s/cm3, con ayuda de laecuacion 9.12. Con este valor de R, obtener la viscosidad de cada caso segun laecuacion 9.11 y promediar para obtener la viscosidad µ del agua.

R1(±εR1) = R2(±εR2) =

µ1(±εµ1) = µ2(±εµ2) = µ = µ(±εµ) =

3. Conectar en serie los 2 tubos capilares usados anteriormente. A partir de las medidasR1 y R2 obtenidas anteriormente calcular la resistencia teorica equivalente Rt

eq conla ayuda de la ecuacion 9.14. Mediante un proceso de medida analogo al descrito enel primer apartado de estos resultados (obtencion de la curva caracterıstica y deter-minacion de la pendiente en la zona laminar por un ajuste de mınimos cuadrados),medir el valor de la resistencia equivalente Req.

R1(±εR1) = R2(±εR2) =

Rteq(±εRteq) = Req(±εReq) =

4. Hacer lo mismo para la asociacion de resistencias en paralelo, calculando esta vez elvalor teorico Rt

eq con ayuda de la ecuacion 9.16.

R1(±εR1) = R2(±εR2) =

Rteq(±εRteq) = Req(±εReq) =

9.5. Discusion

En cada caso del punto 1 de la seccion de resultados, discutir que valores del caudalcorresponden a flujo laminar y cuales a flujo turbulento.

¿ En el punto 2, cual era el valor teorico bt esperado para la ordenada en el origende la recta de minimos cuadrados? ¿ Se obtienen diferencias apreciables entre bt yb?



9.6. Cuestiones

1. En el experimento, se calcula la diferencia de presiones entre los extremos del capilara partir de la altura del lıquido en el recipiente. ¿ Que implican las variaciones dealtura del liquido? ¿ Que puede decir de la perdida de presion en el tubo de goma?

2. ¿ Se puede extraer alguna conclusion sobre el caudal en regimen turbulento a partirde las curvas caracterısticas que se han obtenido?

3. Discutir que efectos pueden influir en la diferencia entre los valores teoricos y losexperimentales de las resistencias de flujo equivalentes obtenidas en los puntos 3 y4 de los Resultados.

Capıtulo 10

Principio de Arquımedes

10.1. Objetivo

El alumno estudiara el efecto de introducir un cuerpo en un fluido. Mediante la aplica-cion del Principio de Arquımedes el alumno obtendra la densidad de diferentes materiales.


Cuando un solido se encuentra sumergido en un fluido aparecen fuerzas debidas a lapresion que este ejerce sobre aquel. Consideremos como ejemplo una esfera sumergida enun lıquido. De acuerdo con la ecuacion fundamental de la estatica de fluidos, la presioncrece con la profundidad, y por tanto las fuerzas ejercidas sobre los puntos del solidomas alejados de la superficie son mayores que las ejercidas sobre los puntos mas cercanos.Estas fuerzas son siempre perpendiculares a la superficie (ver figura 10.1), y su resultante~E, dirigida verticalmente hacia arriba, recibe el nombre de empuje. La diferencia entreel peso ~P del cuerpo y el empuje ~E es el peso aparente. Si el peso aparente es positivo(~P > ~E), el solido se hundira; en caso contrario, flotara de tal modo que el empuje sobre

la parte sumergida sea igual al peso(~P =−−−→Esum).

La aparicion del empuje debido a las fuerzas de presion no esta limitada al caso delos lıquidos. Estas fuerzas aparecen tambien en los gases, si bien en estos los valores delempuje son mucho menores debido a la menor densidad que presentan. El principio deArquımedes establece que el empuje sufrido por un solido sumergido en un fluido es igualal peso del volumen de fluido que desaloja. A partir de aquı es facil obtener una relacionentre el peso aparente del cuerpo sumergido y las densidades de solido y fluido. Sea Vel volumen del solido, y ρs su densidad. Su peso es entonces ~P = ρs ~g V (~g representala aceleracion de la gravedad). Puesto que el volumen de fluido desplazado por el solido

cuando esta totalmente sumergido tambien es V , el empuje viene dado por ~E = ρf ~g V (

ρf es la densidad del fluido). El peso aparente ~F del solido sumergido es:

~F = ~P − ~E = (ρs − ρf ) ~g V (10.1)

81

CAPITULO 10. PRINCIPIO DE ARQUIMEDES 82

E

P

Figura 10.1: Izq: Las fuerzas ejercidas por el fluido sobre un solido siempre son normales ala superficie del solido y aumentan en modulo conforme aumenta la profundidad. Drcha:La resultante de estas fuerzas de presion es el empuje ~E, que se opone al peso ~P delcuerpo y tiende a llevarlo hacia la superficie.


El montaje experimental se muestra en la figura 10.2. Consiste en dos dinamometros (de 1 N y 2 N), un vaso de cristal y cuerpos de distintos materiales y con distintas formasgeometricas.

10.4. Resultados

Con ayuda de los instrumentos necesarios obtenga las dimensiones de los diferentescuerpos de los que el alumno dispone y calcule su volumen.

Prismas l1(±εl1) l2(±εl2) l3(±εl3) V (±εV )AlgrandeAlpequeno

FeMadera

Cilindro h(±εh) D(±εD) r(±εr) V (±εV )Fe

Esfera D(±εD) r(±εr) V (±εV )Fe



Con ayuda de un dinamometro obtenga el peso de los diferentes cuerpos. A conti-nuacion obtenga el valor del peso aparente de estos cuerpos cuando estan totalmentesumergidos en agua. Para que el bloque de madera este totalmente sumergido col-garemos de este bloque el cilindro de Fe del que disponemos y cuyas dimensionesya han sido medidas.

Cuerpo Peso (±εP ) Peso aparente (±εF ) Densidad (±ερ)Prisma AlgrandePrisma Alpequeno

Prisma FePrisma Madera

Cilindro FeEsfera Fe

Con ayuda de la formula 10.1 obtenga la densidad de los diferentes materiales uti-lizados.

10.5. Obtencion de la densidad del agua

En este apartado obtendremos la densidad del agua haciendo uso del principio deAquımedes. Para ello dispondremos de 5 objetos de mismo volumen y distintas masas.

El alumno medira la masa de cada objeto con ayuda de una bascula de precision ya continuacion el peso aparente. Tambien es necesario hacer al menos una medida delvolumen V .


V (±εV ) =

Cuerpo Masa (±εm) Peso aparente (±εF )CuAlFeZnPb

El peso aparente en este caso se puede expresar en funcion de la masa como:

F = mg − V ρlg (10.2)

Representar en una grafica el peso aparente en funcion de la masa.

Calcular la pendiente, la ordenada en el origen, y el coeficiente de correlacion linealde la recta mediante el ajuste lineal por mınimos cuadrados.

a(±εa) = b(±εb) = r =

A partir de la ordenada en el origen y la ecuacion 10.2 calcule la densidad del agua(ρl) . Se tomara como dato g = 9,8m.s−2).

10.6. Discusion

¿A que puede deberse la diferencia entre los valores experimentales obtenidos y losvalores teoricos?


10.7. Cuestiones

1. Tanto para el Fe como para el Al se han obtenido experimentalmente diferentesvalores. ¿Cual de ellos considera mas valido y por que?.

2. En el caso del bloque de madera si no se le colgase el cilindro metalico este flotarıa.¿que porcentaje del bloque de madera emergerıa?.

3. ¿Como se verıa afectado el experimento si en lugar de agua utilizasemos como lıquidoglicerina?

Capıtulo 11

Dilatacion termica de los solidos y los lıqui-dos

11.1. Objetivo

Se estudiara el cambio en el volumen de los lıquidos y el cambio en la longitud dealgunos materiales solidos cuando se aumenta la temperatura.


Cuando aumenta la temperatura de un cuerpo, normalmente este se dilata. Consi-deremos una varilla de longitud L a una temperatura T . Cuando la temperatura varıainfinitesimalmente en dT (suponemos que la presion se mantiene aproximadamente cons-tante), el cambio infinitesimal de longitud dL es proporcional a la longitud inicial L y alcambio en la temperatura dT ,

dL = αLL(dT ), (11.1)

en donde el coeficiente αL se denomina coeficiente de dilatacion lineal. Segun la ecuacion11.1, se define el coeficiente de dilatacion a una determinada temperatura como

αL(T ) =1

L

(∂L

∂T

)P

, (11.2)

donde se ha especificado que la derivada se toma con la presion P constante. En general,por tanto, el coeficiente de dilatacion depende de la temperatura. En la mayorıa de loscasos, sin embargo, se consigue una exactitud suficiente utilizando el valor medio en unintervalo amplio de temperatura. Suponiendo, segun este razonamiento, que αL va a serconstante en el intervalo de temperaturas en que vamos a experimentar, y que la presiones constante durante la medicion, se puede integrar la ecuacion 11.1 entre un estado inicial(T0, V0) y un estado final (T, V ). Se obtiene

ln

(L

L0

)= αL (T − T0) , (11.3)

de donde, despejando L,L = L0 exp [αL (T − T0)] . (11.4)

85

CAPITULO 11. DILATACION TERMICA DE LOS SOLIDOS Y LOS LIQUIDOS 86


Normalmente, en los experimentos el valor del coeficiente de dilatacion por la variacion detemperatura no es demasiado grande. Ası, podemos desarrollar la ecuacion 11.4 en seriede Taylor y quedarnos con el primer orden. Se llega ası a la expresion que se va a utilizaren esta practica,

L = L0 [1 + αL (T − T0)] . (11.5)

Analogamente, se define el coeficiente de dilatacion de volumen αV a presion constantecomo

αV =1

V

(∂V

∂T

)P

. (11.6)

Con el mismo tratamiento que en el caso lineal, se llega a la expresion

V = V0 [1 + αV (T − T0)] . (11.7)


11.3.1. Medida de la dilatacion de lıquidos

El montaje se observa en la figura 11.1. El instrumento que se utiliza para medir elvolumen de un lıquido es el llamado picnometro. Este elemento esta fabricado en vidriopyrex, que resulta muy resistente a la temperatura. Su parte inferior tiene forma deburbuja y en su parte superior se puede insertar una fina varilla de vidrio en la que seapreciaran los cambios de volumen sufridos por el lıquido interior.

Es necesario saber el volumen del picnometro, que aparece inscrito sobre la ampollade vidrio. Para realizar las medidas de la dilatacion habra que llenar el picnometro conel lıquido a caracterizar, utilizandose los distintos lıquidos que aparecen indicados en la


seccion de resultados. El picnometro debera rellenarse hasta la marca de cero del tubo queaparece en el tubo superior, de manera que el volumen inicial sera la capacidad nominal(la inscrita en el) y la temperatura inicial sera la ambiental.

Para determinar el volumen del lıquido para cada temperatura se introduce el picnome-tro en la cuba termostatica y se calienta el agua con la resistencia que tiene sumergida.Finalmente, se tomaran pares de datos temperatura - volumen. Se ha de suponer que elvolumen del picnometro no depende de la temperatura.

IMPORTANTE: No encender la resistencia si no se encuentra sumergidaen el agua.

11.3.2. Medida de la dilatacion de solidos

Para medir la dilatacion de solidos hay que utilizar el dilatometro. Este aparato con-siste en un soporte al que se le ha anadido un calibre de aguja. Para medir con el esimprescindible ajustar el cero al inicio de la medida. Posteriormente, segun aumente lalongitud del cuerpo, la aguja indicadora del calibre se movera y el numero de lıneas quese mueva, multiplicado por la precision, longitud equivalente de cada division del calibre,y que aparece indicada en la esfera del calibre, sera el incremento de longitud sufrido porel cuerpo. El ajuste preciso del cero se puede hacer si se gira con suavidad el extremo dela punta medidora.

En esta practica se dispone de una varilla de aluminio de 600 mm de longitud. Estavarilla es hueca y dispone de conexiones de entrada y de salida, de manera que se puedehacer circular por su interior una corriente de agua caliente, lo que permite modificar sutemperatura de modo controlado y homogeneo. Para que circule el agua caliente hay queconectar el tubo de entrada al calentador de temperatura regulable, y el de salida a lacuba.

Finalmente, se realizaran las medidas que se indicaran en el apartado de Resultados.

11.4. Resultados

1. Medir con el calibre el diametro del tubo del picnometro, para poder obtener lavariacion del volumen del lıquido. Realizar medidas del volumen del lıquido dentrodel picnometro para distintas temperaturas, desde la temperatura ambiente hasta75 C, en pasos de unos 5 C. Realizar el experimento con los distintos lıquidos dis-ponibles.

Al mismo tiempo realizar distintas medidas de la longitud de la varilla de aluminiopara las distintas temperaturas.

T (±εT )∆V (±ε∆V ) Aceite de oliva∆V (±ε∆V ) Glicerina∆L(±ε∆L) Aluminio

2. Representar graficamente el incremento de volumen de cada lıquido en funcion dela temperatura. Considere como volumen inicial de cada lıquido el volumen de la


burbuja del picnometro (100 ml). Calcular el coeficiente de correlacion lineal r, lapendiente a, la ordenada en el origen b y trazar la recta de mınimos cuadrados∆V = aT + b sobre la representacion anterior.

r = a(±εa) = b(±εb) =

A partir de estos valores, calcular el coeficiente de dilatacion de volumen usando laecuacion 11.7.

Lıquido αV (±εαV )Aceite de oliva

Glicerina

3. Representar graficamente el incremento de la longitud de la varilla de aluminioen funcion de la temperatura. Calcular el coeficiente de correlacion lineal r′, lapendiente a′, la ordenada en el origen b′ y trazar la recta de mınimos cuadrados∆L = a′T + b′ sobre la representacion anterior.

r′ = a′(±εa′) = b′(±εb′) =

A partir de estos valores, calcular el coeficiente de dilatacion lineal del aluminiousando la ecuacion 11.5.

αL(±εαL) =

11.5. Discusion

Comparar los coeficientes de dilatacion obtenidos con valores estandares.

A partir de ello deducir si la hipotesis considerada en la primera parte es cierta.


11.6. Cuestiones

1. Con los valores obtenidos en la segunda parte del apartado Resultados, indicar si escorrecto el razonamiento hecho para la primera parte en la que se consideraba queel volumen del picnometro no variaba con la temperatura.

2. Calcular la relacion que existe entre los coeficientes de dilatacion lineal, superficialy volumetrica de un solido.

3. Tenemos una superficie de metal con un hueco cuadrado. Cuando se calienta elmaterial, ¿ aumentara o disminuira el hueco del material?

Capıtulo 12

Ley de Ohm y asociaciones de resistencias

12.1. Objetivo

La ley de Ohm relaciona la caıda de potencial en una resistencia con la intensidadque la recorre. Es posible establecer varias asociaciones simples de resistancias en uncircuito, en cuyo caso se puede determinar el valor de una resistencia equivalente a todala asociacion.


Cuando una corriente electrica atraviesa un conductor en un circuito electrico, hay unarelacion entre la intensidad que circula a traves del conductor y la diferencia de potencialentre sus extremos. Esta relacion es la ley de Ohm

V = RI, (12.1)

donde R es la resistencia del conductor. En muchos casos se puede considerar el valor dela resistencia como constante, con lo que la relacion entre voltaje e intensidad es lineal.

Cuando tenemos una unica resistencia se puede aplicar la ley de Ohm sin dificultad,pero cuando lo que tenemos es un sistema de resistencias la cuestion es mas comprometida.A pesar de ello, debido a que se puede utilizar la ley de Ohm como una buena aproximacionlineal en una gran parte de las situaciones, es posible simplificar los circuitos formadospor varias resistencias y emplear un unico valor que represente a toda la asociacion. Aeste valor se le denomina resistencia equivalente. Vamos a considerar dos maneras basicasde asociar las resistencias, en serie y en paralelo.

12.2.1. Resistencias en serie

Dos o mas resistencias estan puestas en serie cuando por ellas circula exactamente lamisma intensidad de corriente para cualquier valor de la fuerza electromotriz que se lesaplique.

En este tipo de asociaciones, la caıda de potencial total que tiene lugar en las resis-tencias es la suma de las caıdas de potencial en cada una de ellas,

V = V1 + V2 + ... (12.2)

89

CAPITULO 12. LEY DE OHM Y ASOCIACIONES DE RESISTENCIAS 90

Figura 12.1: Asociacion de resistencias en serie.

Figura 12.2: Asociacion de resistencias en paralelo.

Puesto que se puede aplicar la ley de Ohm a cada una de ellas, y dado que sabemos quela intensidad de corriente que circula por cada una de ellas es la misma, tenemos que

V = I1R1 + I2R1 + ... = I (R1 +R2 + ...) . (12.3)

Finalmente se puede asociar este valor con el de la resistencia equivalente, es decir,

Req = R1 +R2 + ... (12.4)

12.2.2. Resistencias en paralelo

Dos o mas resistencias estan conectadas en paralelo cuando la caıda de potencial quetiene lugar en cada una de ellas es exactamente la misma para cualquier valor de laintensidad de corriente.

En estas asociaciones, por cada resistencia circula un diferente valor de la intensidadde corriente. Por tanto la intensidad total que pasa por ellas es la suma de las intensidadesque pasan por cada una de ellas,

I = I1 + I2 + ... (12.5)

Aplicando la ley de Ohm en cada resistencia, y dado que la caıda de potencial que tienelugar en cada una es la misma, resulta que

I =V

R1

+V

R2

+ ... = V

(1

R1

+1

R2

+ ...

). (12.6)

Se puede ahora identificar este valor con el de la resistencia equivalente, esto es,

1

Req

=1

R1

+1

R2

+ ... (12.7)

12.3. Montaje experimental y Resultados

12.3.1. Asociacion de resistencias en serie

El alumno debera tomar dos resistencias (R1 y R2) de todas las que tendra a sudisposicion y proceder al montaje del cirucito de la figura 12.3.


Figura 12.3: Circuito para medir la caıda de potencial en las asociaciones de resistenciasen serie.

Con el polımetro se mide la caıda de potencial en cada una de las resistencias, y tambienen la asociacion, para los diferentes valores de la corriente dados por el generador detensiones. Se deben apuntar los errores correspondientes a todas las medidas.

I(±εI) V (±εV ) V (±εV ) V (±εV )R1= R2= asociacion

Representar graficamente estos resultados (las tres curvas V (I) en una misma grafi-ca).

Realizar un ajuste lineal de cada curva, mediante el metodo de mınimos cuadrados,indicando la pendiente y la ordenada en el origen en cada caso (con sus unidades yerrores).

A partir de estos valores y haciendo uso de los conceptos explicados en el fundamentoteorico, obtenga el valor de las resistencias utilizadas en este apartado.

R1(±εR1) = R2(±εR2) =


V R3 R4

A

V

(a) (b)

Figura 12.4: Circuito para medir la caıda de potencial en las asociaciones de resistenciasen paralelo. (a) Montaje correspondiente a la medida de la intensidad de cada rama. (b)Montaje correspondiente a la medida de la intensidad total.

Comprobar si se cumple la ley de asociacion de resistencias.

12.3.2. Asociacion de resistencias en paralelo

Para este apartado el alumno debera tomar dos resistencias (R3 y R4) diferentes de lasutilizadas en el apartado anterior y realizar el montaje de la figura 12.4. Con el generadorde tension se mide la caıda de potencial con que se alimenta el circuito, ası como la inten-sidad de corriente total suministrada. Con el polımetro se mide la intensidad de corrienteque circula por cada resistencia. Se deben apuntar los errores correspondientes atodas las medidas.

V (±εV ) I(±εI) I(±εI) I(±εI)R3= R4= asociacion

Representar graficamente estos resultados (las tres curvas V (I) en una misma grafi-ca).


Realizar un ajuste lineal de cada curva, mediante el metodo de mınimos cuadrados,indicando la pendiente y la ordenada en el origen en cada caso (con sus unidades yerrores).

A partir de estos valores y haciendo uso de los conceptos explicados en el fundamentoteorico, obtenga el valor de las resistencias utilizadas en este apartado.

R3(±εR3) = R4(±εR4) =

Comprobar si se cumple la ley de asociacion de resistencias.

12.3.3. Calculo de la potencia

Una vez realizadas las medidas, podemos calular la potencia consumida por las resis-tencias cuando circula una corriente en el circuito. La potencia en corriente continua paraun dispositivo con una diferencia de potencial V y una corriente I se define como:

P = V I (12.8)

A partir de las medidas de la asociacion en serie, calcular la potencia de cada resisten-cia y de la asociacion. Se calculara tambien el error asociado a la potencia. Se rellenarala tabla siguiente para cada caso:

I (±εI) V1 (±εV1) P1 (±εP1) V2 (±εV2) P2 (±εP2) VT (±εVT ) PT (±εPT )

Representar graficamente estos resultados representando la potencia en funcion dela intensidad (las tres curvas P (I) en una misma grafica).

12.4. Discusion

Discutir la linealidad de la ley de Ohm.

Discutir la relacion entre la potencia y la intensidad. ¿Cual es su naturaleza?


12.5. Cuestiones

1. ¿Todos los conductores satisfacen la ley de Ohm? Dar ejemplos en el caso negativo.

2. ¿Si asociamos resistencias en una combinacion serie y paralelo, se sigue cumpliendola ley de Ohm?

Capıtulo 13

Campo electrico y potencial electrico

13.1. Objetivo

Se estudiara el campo electrico y el potencial electrico en el interior de un condensadorde placas paralelas, analizando su comportamiento cuando varıan la distancia entre lasplacas y el valor de la diferencia de potencial aplicada.


Un condensador es un dispositivo que sirve para almacenar carga. Esta formado pordos conductores con cargas del mismo valor pero de signo opuesto. En un condensador deplacas paralelas, los conductores son 2 placas planas paralelas, separadas una distancia d.

Supongamos que colocamos una placa, cargada con una distribucion superficial ho-mogenea de carga σ, en el plano x = 0, con centro en el origen, y la otra placa, cargadacon una distribucion superficial homogenea de carga −σ, la situamos paralelamente a la

primera, en el plano x = d. Vamos a calcular el campo electrico−→E creado en el interior

del condensador, esto es, la region entre ambas placas.Si la distancia entre placas d es menor que el lado de una placa, se puede suponer

que las placas son planos infinitos. En este caso, el campo electrico creado por el planoinfinito situado en x = 0 viene dado por la Ley de Gauss, y resulta

−→E 1 = 2πkσ

−→i , si x > 0, (13.1)

−→E 1 = −2πkσ

−→i , si x < 0. (13.2)

Dado que nos interesa el campo entre las placas, es claro que x > 0, y el campo creadopor la primera placa es el dado en la ecuacion 13.1. Haciendo lo mismo para la segundaplaca, y teniendo en cuenta que, en ella, la distribucion de carga es −σ, se llega a

−→E 2 = −2πkσ

−→i , si x > d, (13.3)

−→E 2 = 2πkσ

−→i , si x < d. (13.4)

En este caso, nos interesa x < d, y el resultado esta dado por la ecuacion 13.4. El campocreado por el condensador de placas paralelas en su interior es, por tanto,

−→E =

−→E 1 +

−→E 2 = 4πkσ

−→i , 0 < x < d, (13.5)

95

CAPITULO 13. CAMPO ELECTRICO Y POTENCIAL ELECTRICO 96

que es claramente uniforme y dirigido a lo largo del eje x, que es el eje del condensador.Para calcular el potencial electrico V se puede usar que, debido a que el campo electrico

no depende del tiempo, es conservativo y, por tanto,

−→E = −

−−→gradV. (13.6)

Ademas, en la ecuacion 13.5 se observa que el campo solo depende de la coordenada x(a traves de su signo) y que tiene la direccion del eje x. Por tanto, podemos suponer queV = V (x), de donde

−→E = −dV

dx

−→i , (13.7)

y tomando−→E de 13.5, se obtiene

V (x) = V0 − 4πkσx, 0 < x < d, (13.8)

donde V0 es una constante, tomada como el valor del potencial electrico en x = 0. Ladiferencia de potencial entre las placas, que podemos modificar desde el exterior en elexperimento, es

∆V = V (0)− V (d) = 4πkσd, (13.9)

de manera que se puede despejar σ, que no conoceremos en el experimento, en funcion de∆V , que sı conoceremos. Llegamos ası a las expresiones finales para el campo electrico yel potencial en el interior del condensador de placas paralelas,

−→E =

∆V

d

−→i , (13.10)

V (x) = V0 −∆V

dx, (13.11)


El montaje experimental se muestra en la figura 13.1. El medidor de campo electrico,incrustado en una de las placas, debe alimentarse con 15 voltios de la primera salida dela triple fuente de alimentacion. Dicho medidor es analogico, y su salida, que se observaraen el polımetro en forma de voltaje, es proporcional al campo electrico medido en lasaspas giratorias. La proporcionalidad entre campo electrico y voltaje depende de la escalaescogida en el medidor. En la primera escala, una salida de 10 V corresponde a un campode 1 kV/m. En la segunda, una salida de 10 V corresponde a un campo de 10 kV/m;y en la tercera, una salida de 10 V corresponde a un campo de 100 kV/m. El fondo deescala (punto de saturacion) del medidor son 10 V , por lo que siempre que se observe queel medidor da una salida superior a 10 V se debera cambiar a la escala superior. Comoen cualquier aparato de medida, se debe emplear la escala mas baja posible sin saturar elaparato.

El medidor de campo electrico debe calibrarse con la ruedecilla de calibracion, esdecir, el medidor debe indicar campo cero cuando la diferencia de potencial entre placases nula. Cada vez que se muevan las placas debe repetirse el calibrado. Una vez calibrado elaparato, se tomaran medidas del campo electrico en funcion de la diferencia de potencialentre placas, escogida en la tercera salida de la triple fuente de alimentacion, y de ladistancia entre placas, que se mide con la regla. La distancia se debe medir entre las carasinternas de las placas.


Figura 13.1: Montaje experimental para la medida del campo electrico.

13.4. Resultados

1. Medir el modulo del campo electrico E entre las placas del condensador para unadiferencia de potencial fija ∆V = 150 V , cuando la distancia entre placas d varıaentre 5 cm y 15 cm, en intervalos de 1 cm. Observese que el error en la medida delcampo depende de la escala utilizada en el medidor.

d(±εd) ln(d)(±εln(d)) E(±εE) ln(E)(±εln(E))

Representar graficamente E en funcion de d y ln(E) en funcion de ln(d). Calcularel coeficiente de correlacion lineal r, la pendiente a y la ordenada en el origen b dela recta de mınimos cuadrados lnE = a ln d+ b.

r = a(±εa) = b(±εb) =


2. Medir el modulo del campo electrico E entre las placas del condensador para unadistancia entre placas fija d = 10 cm, cuando la diferencia de potencial entre placas∆V varıa entre 0 y 150 V , en intervalos de 15 V .

∆V (ε∆V ) E(±εE)

Representar graficamente E en funcion de ∆V . Calcular el coeficiente de correlacionlineal r′, la pendiente a′ y la ordenada en el origen b′ de la recta de mınimos cuadradosE = a′∆V + b′.

r′ = a′(±εa′) = b′(±εb′) =

13.5. Discusion

En el apartado 1 de los resultados, ¿ cuales son los valores teoricos esperados para ay b segun la ecuacion 13.10? Comparar los valores teoricos con los experimentales, ydiscutir el resultado en funcion del coeficiente r y del metodo experimental seguido.

En el apartado 2 de los resultados, ¿ cuales son los valores teoricos esperados para a′

y b′ segun la ecuacion 13.10? Comparar los valores teoricos con los experimentales, ydiscutir el resultado en funcion del coeficiente r′ y del metodo experimental seguido.


13.6. Cuestiones

1. Al calcular el valor del campo electrico entre las placas del condensador, se ha su-puesto, en el Fundamento Teorico, que las placas eran planos infinitos cargadoshomogeneamente. Discutir las implicaciones del area finita de las placas en el expe-rimento.

2. Dibujar las lıneas de campo electrico y las superficies equipotenciales del condensa-dor de placas paralelas.

Capıtulo 14

Campo magnetico

14.1. Objetivo

Se medira la distribucion espacial de la intensidad de campo magnetico creado por unpar de bobinas de Helmholtz. Se obtendran medidas de todas las componentes no nulasdel campo y su variacion espacial frente a todas las coordenadas.


El campo magnetico estatico creado por un filamento de corriente, en el caso de co-rriente constante, viene dado por la ley de Biot-Savart,

−→B (−→r ) =

µ0

4π

∫ −→dj × (−→r −−→r0 )

|−→r −−→r0 |3, (14.1)

donde µ0 = 4π ·10−7 T · m · A−1 es la permeabilidad del vacıo, −→r es el vector de posiciondel punto del espacio donde se calcula el campo, −→r0 es un punto generico del filamento de

corriente y−→dj = I

−→dl es el vector elemento de corriente por el filamento, en el cual I es

la corriente electrica que circula a lo largo del filamento, y−→dl es el vector desplazamiento

de la corriente, calculado en el punto generico −→r0 .Las bobinas de Helmholtz pueden considerarse como 2 espiras circulares de radio R,

cada una de ellas de N vueltas, por cada una de las cuales circula la misma intensidad decorriente I en el mismo sentido. Las bobinas se situan paralelas entre sı y con sus centrosalineados, separados una distancia a. El campo magnetico producido por esta distribucionde corriente en un punto generico −→r del espacio se puede escribir

−→B (−→r ) =

−→B 1(−→r ) +

−→B2(−→r ), (14.2)

donde−→B 1 es el campo creado por la primera bobina y

−→B 2 es el campo creado por la

segunda bobina. Seguidamente, usaremos la ley de Biot-Savart para calcular el campoproducido por cada bobina. Para ello, elegimos un sistema de coordenadas como sigue. Eleje comun de las bobinas se toma como eje z, de tal manera que el centro de la primerabobina esta en z = −a/2 y el centro de la segunda esta en z = a/2. La corriente I circulapor cada bobina recorriendo en sentido antihorario un cırculo de radio R en el planoz = −a/2 y z = a/2, respectivamente.

99

CAPITULO 14. CAMPO MAGNETICO 100

Figura 14.1: Ejemplo de sistema de coordenadas cilındricas.

El campo magnetico sobre un punto cualquiera del espacio −→r = x−→i + y

−→j + z

−→k

resulta mas sencillo si se utilizan coordenadas cilındricas (ρ, θ, z) y sus respectivos vectoresunitarios asociados (−→uρ,−→uθ ,−→uz) tal como mostrado en la figura 14.1.

Con estas expresiones y usando argumentos de simetrıa, el campo magnetico de lasbobinas de Helmholtz resulta

−→B (ρ, z) = Bρ(ρ, z)

−→k +Bθ(ρ, z)

−→uθ +Bz(ρ, z)−→k , (14.3)

es decir, el campo no depende de la coordenada θ. Una simplificacion considerable ocurrecuando consideramos el campo en el eje de las bobinas, es decir, cuando ρ = 0. Entonces,

Bρ(z) = 0, Bz(z) =µ0NI

2R

(1

(A21 + 1)3/2

+1

(A22 + 1)3/2

), (14.4)

donde

A1 =z + a/2

R, A2 =

z − a/2R

. (14.5)


El aspecto general del montaje es el de la figura 14.2. Se deben conectar las bobinasen serie y en la misma direccion, segun la figura; de este modo, la corriente, que debe serunos 2 A, gira en el mismo sentido por ambas bobinas. La barra de la sonda Hall indicala direccion del campo que se esta midiendo, esto es, hay que colocarla segun el eje z sise quiere medir Bz y segun el eje ρ si se mide Bρ.

El campo magnetico del conjunto es rotacionalmente simetrico en torno al eje de lasbobinas, que se escoge como eje z de un sistemas de coordenadas cilındricas (ρ, θ, z). Elorigen, de la misma forma que el la seccion dedicada al Fundamento Teorico, esta en elcentro del sistema. El campo magnetico no depende del angulo θ, ni tiene componente θ,ası que se miden las componentes Bz(ρ, z) y Bρ(ρ, z).

La sonda Hall ha de sujetarse en su soporte nivelada con el eje de las bobinas. Esconveniente asociar 2 reglas al sistema, en paralelo y en perpendicular al eje de las bobinas.La distribucion espacial del campo magnetico se puede medir colocando la base de la barraa lo largo de una regla y las bobinas a lo largo de la otra. Alternativamente, se puede fijarsolo una regla y utilizar la otra libremente, bien en las bobinas, bien en la sonda.



Como se ha dicho, el sistema de referencia es como sigue. El origen esta en el centrodel cilindro imaginario formado por las bobinas. El eje z es el eje del cilindro. Dado quela sonda se alinea con el eje en alturas, se puede tomar el eje ρ como el eje horizontalperpendicular el eje z. El eje θ no es necesario tenerlo en cuenta, pues el campo magneticoa lo largo de este eje es cero, como se vio en el Fundamento Teorico.

Por ejemplo, si se quiere medir la componente Bρ(ρ = 0, z) (ver Fig. 14.3(a)) se colocala sonda de tal modo que su barra este perpendicular al eje de las bobinas, es decir, paralelaal eje ρ. El extremo de la sonda ha de estar situado en ρ = 0, y podemos colocar unaregla paralela al eje z para medir varios puntos z diferentes. Para medir Bρ(ρ = 10 cm, z)se hace lo mismo, pero situando el extremo de la sonda a 10 cm del eje z.

Para medir la componente Bz(ρ = 0, z) (ver Fig. 14.3(b)), se ha de colocar la barrade la sonda a lo largo del eje z, y el extremo de la sonda nos dara el punto z que estamosmidiendo. Moviendo la sonda sobre una regla paralela al eje z, obtendremos medidas deBz en puntos diferentes. Para medir Bz(ρ = 10 cm, z) se hace exactamente lo mismo, conla barra de la sonda colocada paralelamente al eje z, pero a una distancia de 10 cm deleje.

Ademas, conviene tener en cuenta ciertas normas generales de seguridad. En general,los equipos de los laboratorios estan preparados para su manejo por parte de los alumnosde las asignaturas de Fısica. Sin embargo, en el caso de las bobinas de Helmholtz, lacorriente que circula por las bobinas no es pequena. Es, pues, de sentido comun reducir lacorriente a cero cada vez que se vaya a manipular el circuito. Una vez elegido el montajeadecuado para la medicion, se vuelve a introducir la corriente.


Figura 14.3: Medida de las componentes del campo magnetico con una sonda Hall.

z

r

0

5cm

10cm

Figura 14.4: Coordenadas del plano meridonial de la bobina con los puntos de las medidasmarcados en negro


14.4. Resultados

Medir el diametro de una bobina de Helmholtz 2R. Alimentar las bobinas, colocadasen serie, con una intensidad I = 2 A. El numero de vueltas de cada bobina es N = 100.

Para la corriente anterior, se van a tomar medidas de las componentes del campo,tanto radial (segun el eje ρ), como axial (segun el eje z) para la rejilla de la figura 14.4. Elalumno debera medir en los 32 puntos repartidos en el entorno de las dos bobinas. Noteseque por razones de simetrıa, solo se mide a un lado de la bobina.

1. Medir el campo Bz(z, ρ) y Bρ(z, ρ) en los puntos marcados con un punto negro enla rejilla de la figura 14.4, cuando la distancia entre las bobinas es a = R.

z(±εz) ρ(±ερ) Bz(±εBz) Bρ(±εBρ)

2. Representar en una grafica Bz en funcion de z para las medidas que correspondena ρ = 0.


3. Representar graficamente los vectores del campo B en un plano tal como el dela figura 14.4 eligiendo como escala 0,5mT/cm para representar la flechas de losvectores. Ası en cada punto marcado en la grafica debe aparecer una flecha delvector del campo magnetico.

14.5. Discusion


14.6. Cuestiones

1. Al medir el campo magnetico en el eje de las bobinas, se obtiene que, para z = 0, elcampo tiene un valor maximo para a < R y un valor mınimo para a > R. ¿ Cualesson esos valores? ¿ Por que ocurre esto?

2. El campo en el eje de las bobinas satisface que, en el intervalo −R/2 < z < R/2, espracticamente uniforme para a = R. ¿ Que valor tiene el campo en este intervalo?¿Por que?

3. Discutir la orientacion del campo alrededor de la bobina, ¿ es consistente con lateorıa y el sentido de las corrientes?

Capıtulo 15

Calculo de la carga especıfica del electron

15.1. Conceptos aplicados

Se estudiara el movimiento de los electrones emitidos por un tubo de rayos catodicosy sometidos a un campo magnetico uniforme creado por un par de bobinas de Helmholtz.Mediante la diferencia de potencial suministrada por la fuente y el radio descrito por loselectrones en su movimiento en el interior del tubo de rayos catodicos podremos calcular larelacion entre la carga y la masa del electron (carga especıfica del electron). Esta practicasera de gran utilidad para entender y comprender los sentidos de los magnitudes fısicasvectoriales que aparecen en electromagnetismo y que tanto cuestan que sean asimiladasen las clases presenciales por los estudiantes.


Cuando un electron de carga q se mueve con velocidad uniforme −→v en el seno de un

campo magnetico uniforme−→B , actua sobre el una fuerza magnetica cuya expresion es:

−→Fm = q−→v ×

−→B (15.1)

donde−→Fm es perpendicular a −→v y a

−→B .

Para estudiar el movimiento resultante del electron, puede plantearse su ecuacion demovimiento sin mas que considerar la ecuacion fundamental de la dinamica

−→Fm = m

d−→vdt

. (15.2)

De donde resulta la ecuacion de movimiento del electron

md−→vdt

= q−→v ×−→B (15.3)

y a partir de aquı, puede llegar a deducirse la ecuacion de la trayectoria seguida por elelectron, −→r = −→r (t). Como este procedimiento es largo, vamos a plantear el problemadel calculo de la trayectoria del electron en terminos energeticos en lugar de en terminoscinematicos, lo cual va a permitir llegar de forma rigurosa a una solucion mas sencilladel problema. Si el electron tiene una velocidad inicial −→v , entonces su energıa cinetica

105

CAPITULO 15. CALCULO DE LA CARGA ESPECIFICA DEL ELECTRON 106

es Ec = mv2

2. Cuando el electron entra en la region donde existe el campo magnetico,

la fuerza magnetica que actua sobre el, por ser perpendicular a la trayectoria, no realizaningun trabajo, por lo tanto ni consume ni le da energıa al electron con lo cual su energıacinetica permanece inalterable y no cambia el modulo de la velocidad. El resultado de laaccion de esta fuerza es que el electron adquiere una aceleracion constante en modulo yperpendicular en todo momento a la trayectoria. Al decir esto, lo que se esta describiendoes un movimiento circular uniforme, de radio R y velocidad constante v. La aceleracioncentrıpeta correspondiente es a = v2

R. Si aplicamos ahora la ecuacion fundamental de la

dinamica, se tiene

mv2

R= qvB. (15.4)

Por otra parte, tenemos ademas que calcular la velocidad v del electron. El electron esacelerado por una diferencia de potencial ∆V = V . La energıa que adquiere el electron poraccion de esta diferencia de potencial es qV . En el momento en que el electron abandonala region de aceleracion lo hace con la velocidad v, que es la velocidad inicial con la quepenetra en el campo magnetico. Justo en ese momento, se cumple que

mv2

2= qV. (15.5)

De las ecuaciones 15.4 y 15.5 se deduce que

V =qR2B2

2m(15.6)

donde V es la diferencia de potencial suministrada por la fuente de tension, R el radio dela trayectoria del electron y B el campo magnetico que crean las bobinas. De estas tresmagnitudes, V se lee directamente de la fuente de tension. R tiene cuatro valores posibles,2, 3, 4 y 5 cm que no necesitan ser medidos y, por ultimo, el valor del campo magneticoB, no se lee directamente, sino que se determina en base a las consideraciones que figurana continuacion.

15.2.1. Campo magnetico producido por las bobinas de Helmholtz

La caracterıstica esencial de las bobinas de Helmholtz es que producen un campomagnetico casi uniforme en una zona determinada del espacio, en nuestro caso en la regiondonde se mueven los electrones. Esta particularidad se debe exclusivamente a su especialconfiguracion geometrica, en la que se verifica que el diametro del par de bobinas que loconstituyen es justamente igual a la distancia de separacion entre ambas. La expresionque da el campo magnetico producido por el par de bobinas Helmholtz es

B = (4/5)3/2µ0Nespiras

Rbobina

I (15.7)

En este montaje experimental concreto, Nespiras = 154 y Rbobina = 0,2 m. Si se tiene encuenta que el valor de la permeabilidad magnetica del vacıo es µ0 = 4π× 10−7 N

A2 , resultala siguiente expresion para el campo magnetico, en funcion de la corriente que circula porlas bobinas

B = KI (15.8)


con K = 6,92 · 10−4 T.A−1 y siendo I la intensidad de la corriente que circula porlas bobinas, una magnitud que se determina directamente por lectura del amperımetroy donde B viene medido en teslas (T). Si se sustituye esta expresion del campo en laecuacion 15.6 resulta finalmente:

V = λqI2R2

m(15.9)

siendo λ = 2,393 · 10−7 V.A−2.m−2.kg.C−1 Es la ecuacion final en la que se basaran todaslas medidas a realizar para determinar la carga especıfica del electron.



El aspecto general del montaje es el de la figura 15.1 en el cual disponemos de 2multımetros que se usaran como voltımetro y amperımetro y de dos fuentes de tensionjunto con las bobinas de Helmholtz y el tubo de rayos catodicos.

15.3.1. Procedimiento operativo. Medida de las diferencias de potencial enel tubo de rayos catodicos e intensidad de corriente en las bobinas

Antes de iniciar el proceso de medidas observe con detenimiento todos los elementosque intervienen en el montaje experimental y en caso de cualquier duda consulte conel profesor. Conecte las dos fuentes de tension y ajuste el voltaje de la fuente de tensiondel potencial acelerador a 100 voltios. De igual forma, ajustamos la fuente de tensionque controla la intensidad de corriente I de las bobinas introduciendo una I = 0 A. Alcabo de unos instantes se observara un haz rectilıneo azulado de electrones emergiendodel catodo. El color azulado se debe al efecto de fluorescencia que se produce al colisionarlos electrones con los atomos del gas contenido en la ampolla de vacıo (ver Fig. 15.2).A continuacion incremente la intensidad de corriente que pasa por las bobinas y podracomprobar como la trayectoria de los electrones puede curvarse a voluntad. Manipule con


precaucion y comprobara como con distintas intensidades y distintos voltajes se obtienendistintas trayectorias circulares.

Figura 15.2: Trayectoria de los electrones en el interior del tubo de rayos catodicos.

Variando la diferencia de potencial en el tubo de rayos catodicos entre 100 y 190 voltiosen pasos de 10 voltios buscar la posicion R = 2 cm en la trayectoria de los electrones enel interior del tubo y anotar los valores correspondientes de intensidad de corriente Icontemplados en el amperımetro.

Construir una tabla con los valores de diferencia de potencial medidos, las intensi-dades de corriente observadas en el amperımetro y los valores de I2R2 (recordar queel radio de la trayectoria descrita por los electrones es R = 2 cm).

V (±εV ) I(±εI) I2R2(±εI2R2)

Representar graficamente los valores de la diferencia de potencial en funcion de losvalores de I2R2.

Dibujar la recta de regresion de mınimos cuadrados para la grafica del apartadoanterior (cuya ley teorica figura en la ecuacion 15.9) calculando su pendiente, suordenada en el origen y su coeficiente de correlacion.

a(±εa) = b(±εb) = r =


Calcular con los datos obtenidos la relacion carga-masa del electron (carga especıficadel electron).

Repetir la practica usando valores de R = 3, 4 y 5 cm.

15.4. Discusion

Contrastar y comentar el resultado obtenido en la toma de datos con el valor teoricoq/m = 1,759× 1011C/kg.

Explicar, de forma cualitativa, que le ocurrirıa a la trayectoria de los electrones siacercamos al tubo de rayos catodicos un iman.


15.5. Cuestiones

1. Realice un dibujo esquematico en el que se aprecien las diferentes magnitudes vec-toriales que aparecen.

2. Deduzca el valor teorico de la frecuencia angular correspondiente al movimiento delos electrones.

3. Razone el tipo de movimiento que describirıan los electrones en el caso de que ~v y~B no fuesen perpendiculares.

Capıtulo 16

Induccion electromagnetica

16.1. Objetivo

Se determinara la induccion electromagnetica entre dos bobinas como funcion de laamplitud y la frecuencia de la corriente alterna en la bobina primaria, y de la longitud,numero de espiras, y diametro de las bobinas secundarias.


Consideremos una bobina, que llamaremos bobina primaria, exterior o, simplemente,grande, de longitud L, radio R1 y numero de espiras N1 por la que circula una intensidad

de corriente alterna I(t). El campo magnetico−→B producido por esta bobina en su interior

es, aproximadamente uniforme y su valor es el que tiene en su eje. Para verlo, se puedeusar directamente la ley de Biot-Savart,

−→B (−→r ) =

µ0

4π

∫ −→dj × (−→r −−→r0 )

|−→r −−→r0 |3, (16.1)

donde µ0 = 4π ·10−7 T · m · A−1 es la permeabilidad del vacıo. Tomando el eje z como eje

de la bobina, calculemos el campo producido en un punto −→r = z−→k del eje. El resultado

es−→B (z) =

µ0IN1

2L

(z + L/2√

R21 + (z + L/2)2

− z − L/2√R2

1 + (z − L/2)2

)−→k , (16.2)

que muestra que el campo magnetico en el eje de la bobina es paralelo al propio eje. Sila bobina es larga, se puede aproximar el resultado 16.2 por su valor en el centro de labobina, dado por z = 0. Ademas, se puede despreciar el valor de R1 frente al valor de L.Se obtiene

−→B =

µ0IN1

L

−→k , (16.3)

que es el valor que tomaremos como campo magnetico en el interior de la bobina primaria.Supongamos que, dentro de la bobina primaria, colocamos una bobina secundaria mas

pequena, de N2 vueltas y seccion A. El flujo Φ del campo magnetico producido por la

110

CAPITULO 16. INDUCCION ELECTROMAGNETICA 111

bobina primaria a traves de la bobina secundaria es igual a N2 veces el flujo a traves deuno de los N2 filamentos circulares que forman la bobina, esto es,

Φ = N2

∫A

−→B · d−→a , (16.4)

donde d−→a es el elemento diferencial de area en la seccion de la bobina secundaria. Esclaro que d−→a = da

−→k , de manera que, usando el campo magnetico en el interior de la

bobina primaria calculado en 16.3, el flujo en la bobina secundaria es

Φ = N2

∫A

Bda = N2BA =µ0IN1N2A

L, (16.5)

que tomaremos como flujo magnetico a traves de la bobina secundaria.Si la intensidad de corriente I en la bobina varıa con el tiempo, es claro que el flujo

a traves de la bobina secundaria varıa con el tiempo. La variacion en el tiempo del flujomagnetico genera una tension electrica, llamada fuerza electromotriz V , que viene dadapor la ley de Faraday,

V (t) = −dΦ(t)

dt. (16.6)

Si, en la bobina primaria, circula una corriente alterna de amplitud I0 y frecuencia f , setiene una intensidad de corriente que varıa con el tiempo segun

I(t) = I0 cos(2πft). (16.7)

A partir de las ecuaciones 16.5, 16.6 y 16.7, se obtiene que la tension inducida en la bobinasecundaria es

V (t) =µ0N1N2A

L(2πfI0) sin(2πft). (16.8)

Por tanto, si lo que se mide es el voltaje eficaz (Vef ), su relacion con la corriente inductoraeficaz (Ief ) sera:

Vef =µ0N1N2A

L(2πfIef ) (16.9)


El montaje experimental se muestra en la figura 16.1. Cada bobina secundaria seintroduce dentro de la primaria y se mide la tension inducida en la menor cuando seaplica una intensidad de corriente variable en la exterior. La corriente introducida en labobina exterior se mide con un polımetro, y la fuerza electromotriz inducida en la bobinasecundaria se mide con un voltımetro. Debido a que el multımetro analogico es muysensible a fluctuaciones, conviene evitar cambios al introducir la corriente en la bobinaprimaria.

Las frecuencias se deberan selecionar entre 1 kHz y 12 kHz, ya que, por debajo de0,5 kHz, la bobina constituye practicamente un cortocircuito y, por encima de 12 kHz,los intrumentos de medida empiezan a medir inexactamente.

Una vez realizado el montaje hay que estudiar los diferentes factores que influyen en elvalor de la fuerza electromotriz inducida. Para ello se dispone de un juego de bobinas enel que se puede variar la longitud de la bobina, el numero de espiras, el numero de espiras



por unidad de longitud y el diametro de las bobinas. De esta manera se va a estudiar elefecto de las distintas geometrıas en la induccion electromagnetica.

Ademas hay otros dos factores que se pueden estudiar, que son el efecto de la frecuenciay de la amplitud y de la intensidad de corriente que circula por la bobina primaria.

16.4. Resultados

16.4.1. Voltaje en funcion de la corriente

Antes de medir, apuntar los datos de la bobina primaria, es decir, su longitud L y sunumero de espiras N1,

N1 = L =

Escoger una bobina secundaria, y apuntar sus datos geometricos, esto es, su numerode espiras N2 y su diametro 2R,

N2 = 2R =

Fijando una frecuencia de 10 kHz para la intensidad de corriente aplicada a la bobinaprimaria, tomar valores del potencial Vef en la bobina secundaria para valores de laamplitud de la intensidad de 0 mA a 50 mA en pasos de cinco en cinco.

Ief (±εIef )Vef (±εVef )


Representar graficamente el voltaje en la bobina secundaria en funcion de la amplitudde corriente en la primaria. Calcular el coeficiente de correlacion r1, la pendiente a1, laordenada en el origen b1, y trazar sobre la representacion anterior la recta de mınimoscuadrados Vef = a1Ief + b1.

r1 = a1(±εa1) = b1(±εb1) =

Haciendo uso de estos datos y con ayuda de la ecuacion 16.9 obtenga la permeabi-lidad del vacıo, µ0.

16.4.2. Voltaje en funcion de frecuencia

Manteniendo el montaje del apartado anterior, fijar una amplitud de intensidad decorriente de la bobina primaria de 30 mA. A su vez modificar la frecuencia f de la corrienteaplicada a la bobina exterior de 1 kHz a 10 kHz en paso de uno en uno, midiendo elpotencial en la bobina secundaria1. Algunos de los valores de las frecuencias no se puedenobtener con precision, en tales casos se debe de usar el periodo entero mas cercano.

f (±εf )T (±εT )Vef (±εVef )

Representar graficamente el voltaje en la bobina secundaria en funcion de la frecuenciade la corriente en la primaria. Calcular el coeficiente de correlacion r2, la pendiente a2,la ordenada en el origen b2, y trazar sobre la representacion anterior la recta de mınimoscuadrados Vef = a2f + b2.

r2 = a2(±εa2) = b2(±εb2) =

Haciendo uso de estos datos y con ayuda de la ecuacion 16.9 obtenga la permea-bilidad del vacıo, µ0. Compare con el valor obtenido anteriormente y con el valorteorico, razonando las posibles diferencias entre estos valores.

16.4.3. Voltaje en funcion de numero de vueltas

Fijar una amplitud de intensidad de corriente de la bobina primaria de 30 mA yuna frecuencia de 10 kHz. Introducir bobinas secundarias que tengan distinto numero deespiras, pero mismo diametro, en el interior de la bobina primaria, midiendo su potencial.

N2 100 200 300Vef (±εVef )

Representar graficamente el voltaje en la bobina secundaria en funcion del numero deespiras.

1La frecuencia debe de medirse haciendo uso del osciloscopio.


16.4.4. Voltaje en funcion de la seccion

Fijar una amplitud de intensidad de corriente de la bobina primaria de 30 mA y unafrecuencia de 10 kHz. Introducir bobinas secundarias que tengan distinto diametro, peromismo numero de espiras, en el interior de la bobina primaria, midiendo su potencial.

2RVef (±εVef )

Representar graficamente el voltaje en la bobina secundaria en funcion de la seccion dela bobina.

16.5. Discusion

De acuerdo con la ecuacion 16.9, ¿que valores se esperarıa obtener para a1, b1, a2 yb2? Discutir las posibles discrepancias.

Discutir, tambien segun la ecuacion 16.9, los valores obtenidos en los apartados16.4.3 y 16.4.4: ¿crece el potencial inducido con el numero de espiras y con el radiode las mismas de acuerdo con lo que establece la teorıa?


16.6. Cuestiones

1. El campo magnetico en un solenoide depende de la densidad de espiras de la bobi-na. ¿Sucede lo mismo en el caso de la fuerza electromotriz inducida? Justificar larespuesta.

2. Suponer que, en lugar de generar el campo en la bobina exterior, se alimentarala bobina secundaria. Indicar como serıa la dependencia de la fuerza electromotrizinducida en la bobina exterior en funcion de la geometrıa, de la frecuencia y de laintensidad de corriente que circule por la bobina pequena. Para poder calcularlo, sedebe hacer uso del concepto de inductancia mutua.

3. En el caso de la pregunta anterior, indicar si se induciran fuerzas electromotricesmayores o menores que en las situaciones experimentadas.

Capıtulo 17

Rendimiento de una celula solar

17.1. Objetivo

Se medira el rendimiento de una celula solar bajo diferentes condiciones de funciona-miento. Ademas, se estudiara como afectan las caracterısticas de la luz incidente a eserendimiento y a la caracterıstica corriente-tension de la celula.


Una celula solar es, basicamente, una union p-n. Este tipo de uniones se formanponiendo en contacto un semiconductor dopado con impurezas donadoras del grupo V dela Tabla Periodica con un semiconductor dopado con impurezas aceptoras del grupo III dela Tabla Periodica. Las impurezas donadoras liberan electrones en la Banda de Conduccion(BC) del semiconductor, y por eso los materiales dopados con impurezas donadoras sedenominan tipo n, pues en ellos los portadores mayoritarios son negativos. Las impurezasaceptoras roban electrones a los atomos del semiconductor, generando huecos en la Bandade Valencia (BV), y por eso los materiales dopados con impurezas aceptoras se denominantipo p, pues los portadores mayoritarios son positivos.

En equilibrio (sin aplicar un voltaje externo), el nivel de Fermi EF es constante. Debidoa la diferencia de concentraciones de electrones y huecos en las zonas n y p, los electronesse difunden en la zona p y los huecos en la zona n. Los atomos de impurezas ionizados,que no tienen posiblididad de moverse al fomar parte de la red cristalina, crean una regionde carga en la que se genera un campo electrico. En equilibrio, la corriente de difusionproducida por el gradiente de concentracion es igual a la corriente de arrastre producidapor el campo electrico que generan las cargas fijas. La diferencia de potencial que aparecepor efecto de este campo se denomina barrera de potencial de la union o potencial dedifusion de la union y se representa como UD.

La barrera de potencial UD depende del nivel de dopaje de la union y es igual a ladiferencia de potenciales entre los niveles de Fermi de las zonas p y n cuando estas seencuentran separadas. En el silicio, la distancia entre el maximo de la Banda de Valenciay el mınimo de la Banda de Conduccion corresponde con una energıa E = 1, 1 eV . Labarrera de potencial tıpica para el silicio se situa entre UD = 0,5 V y UD = 0, 7 V .

Cuando incide un haz de luz sobre la union p-n, los fotones crean pares electron-hueco

115

CAPITULO 17. RENDIMIENTO DE UNA CELULA SOLAR 116

que son separados en la zona de carga de espacio por efecto del campo que en ella aparece,de modo que los huecos son inyectados en la zona p y los electrones en la zona n. Perolos fotones no solo son absorbidos en la zona de la union, sino tambien en el substrato pque se encuentra sobre ella. Los electrones que se producen en este caso son portadoresminoritarios en la zona p y su concentracion se ve fuertemente reducida por efecto de larecombinacion. Por eso el substrato p debe ser lo suficientemente delgado como para quelos electrones, que tienen una longitud de difusion LE, puedan ser inyectados en la zonan sin llegar a recombinarse.

Si denominamos g al numero de pares electron-hueco que se generan por unidad dearea, y suponemos que se aplica sobre la union una diferencia de potencial U la corrienteque se genera sigue una ecuacion de la forma

i = e

(exp

(eU

kBT

)− 1

)(n0Det

L2e

+p0Dh

Lh

)− eg, (17.1)

donde e es la carga del electron en valor absoluto, kB es la constante de Boltzmann, Tes la temperatura absoluta, L es la longitud de difusion de electrones y huecos, D es laconstante de difusion de electrones y huecos, n0 y p0 son las concentraciones en equilibriode minoritarios y t el espesor del substrato p. La corriente de cortocircuito (U = 0) tomaentonces un valor

is = −eg, (17.2)

siendo, por tanto, proporcional a la intensidad luminosa para una temperatura fija. Elparametro g aumenta muy ligeramente con la temperatura (en un factor inferior al 1 %por cada K).

La caıda de potencial U puede aumentar hasta tomar el valor de la barrera de potencialde la union UD pero en ningun caso puede ser superior. A medida que la temperaturaaumenta, el potencial en vacıo disminuye (normalmente en un factor de −2,3m V · K−1),mientras que las concentraciones de equilibrio n0 y p0 aumentan con la temperaturasiguiendo una formula del tipo

n0 ∼ exp

(−∆E

2kBT

). (17.3)


El montaje a realizar se muestra en la figura 17.1. En primer lugar, es necesario medirla intensidad luminosa que incide sobre una superficie. Para ello, se utilizara un fotometrosobre el que proyectaremos la luz emitida desde una lampara. La distancia entre la lamparay el fotometro debe ser, como mınimo, de 50 cm para evitar efectos termicos indeseados.En esta situacion, se puede variar la separacion entre la fuente y el receptor, y medircomo varıa la radiacion luminosa recibida en funcion de la distancia. La relacion entrela intensidad luminosa J y la diferencia de potencial inducida en el fotometro V debeser aproximadamente lineal para s comprendida entre 50 cm y 200 cm. Para realizar lasmedidas, es necesario considerar que toda la luz que atraviesa la abertura del fotometro(de diametro 2, 5 cm) alcanza la superficie de medida. La sensibilidad del fotometro tieneun valor

α = 42, 1µ V · W−1 · m2, (17.4)



lo que permite calcular la intensidad luminosa como

J =V

α. (17.5)

La caracterıstica corriente-tension de una celula solar tiene un comportamiento decorriente casi constante mientras aumenta el voltaje hasta determinado valor, en el queaparece un codo en la curva, y a partir de el la corriente cae rapidamente hasta cero.Como es sabido, la potencia que suministra la celula solar se puede escribir como

Pm = vi, (17.6)

donde v es la caıda de potencial e i la intensidad de corriente. La potencia sera maximacuando el producto vi sea maximo, condicion que tendra lugar en el codo de la curva, esdecir, en la zona en la que i deja de ser plana frente a v. Como aproximacion se puedeconsiderar que cuando la corriente toma un valor que sea el 90 % de su valor inicial estamosen el punto de maxima potencia. El objetivo que se persigue es el de medir la relacionexistente entre la potencia luminosa que incide en la celula y la potencia electrica quesuministra esta. Para ello, se utilizara la relacion medida previamente que proporciona laintensidad luminosa J con la separacion s. Para distintos valores de s (recuerdese que sdebe ser superior a 50 cm) se hara incidir la luz emitida por la lampara sobre la baterıasolar compuesta de 4 celulas solares conectadas en serie. Con la ayuda del reostato semodificara la resistencia de carga y se obtendra la caracterıstica corriente-tension paralos distintos valores de s. A continuacion se calculara el punto de maxima entrega depotencia manipulando el reostato hasta que el valor de la corriente i sea el 90 % del valoren cortocircuito (que corresponde con v = 0 V ). En ese punto, se anotara el valor de la


corriente y el valor de la tension, im y vm. La potencia maxima suministrada por la celulapara cada valor de s sera Pm = imvm. La potencia luminosa Pl = J ·A que incide sobre labaterıa solar se puede calcular sabiendo que su area es de 50 cm2 y conociendo, para cadavalor de s, la intensidad luminosa J que incide sobre la baterıa solar. El rendimiento de lacelula sera la relacion entre la potencia total que suministra y la potencia total luminosaque incide sobre ella,

η =PmPl. (17.7)

17.4. Resultados

17.4.1. Rendimiento

1. Para distancias entre el foco y el fotometro entre 40 cm y 75 cm y en pasos de 5 cm, medir la intensidad luminosa que se recibe desde la lampara. Para determinar latension de salida del fotometro, el multımetro digital debera estar en la posicionde medida de tensiones (V) en corriente continua (DC). Tener en cuenta que lasensibilidad del fotometro esta dada por la ecuacion 17.4. Por ultimo calcular lapotencia aportada por la lampara.

s(±εs) V (±εV ) J(±εJ) Pl(±εPl)

2. Montar la baterıa solar sobre el soporte y conectarla en serie con el reostato y conun multımetro digital en posicion de amperımetro. El otro multımetro digital debeconectarse en paralelo con la baterıa solar en posicion de voltımetro para poderdeterminar la diferencia de potencial que facilita (vease la figura 17.2). En estascondiciones y para las mismas distancias del apartado anterior, medir los datossiguientes

s(±εs) i0(±εi0) im(±εim) vm(±εvm) Pm(±εPm)


Figura 17.2: Esquema montaje experimental.

3. Con los datos de las dos tablas anteriores, calcular el rendimiento para temperaturaambiente, teniendo en cuenta que el area total de la baterıa solar es de 50 cm2.

s(±εs) Pm(±εPm) Pl(±εPl)

Representar en una grafica el la potencia producida Pm en funcion de la po-tencia aportada Pl.

Calcular la pendiente, la ordenada en el origen, y el coeficiente de correlacionlineal de la recta mediante ajuste por mınimos cuadrados.

a(±εa) = b(±εb) = r =

A partir de la pendiente a calcular el rendimiento η de la celula solar.

17.4.2. Caracterıstica corriente-voltaje

1. Medir la caracterıstica corriente-tension de la celula para una separacion s = 70 cm.Para lograrlo, se debera variar la posicion del mando del reostato hasta conseguir queel voltımetro marque la tension indicada. En algun caso, puede ser que no se logrenalcanzar las tensiones mas elevadas; en tal caso, no se rellenara la fila correspondientede la tabla. Sin modificar s, volver a medir la caracterıstica corriente-tension, perofiltrando la luz de la lampara a traves de uno de los cristales que se facilitan. Anotar


los resultados en la siguiente tabla y representar corriente en funcion de tension enlos dos casos. Utilıcense tensiones que varıan desde 0,5 V a 2,0 V en pasos de 0,1 V .

V (±εV ) Is(±εIs) Ic(±εIc)

17.5. Discusion

Comentar y discutir el valor del rendimiento obtenido.


17.6. Cuestiones

1. Explicar como varıa el rendimiento de la celula en funcion de la distancia. ¿ Hayalguna explicacion para esto?

2. ¿ Como se puede explicar el hecho de que, al filtrar la luz con un cristal, la carac-terıstica corriente-tension de la celula cambie?

3. A partir de las medidas de la primera tabla, se puede observar que la relacion entrela potencia aportada Pl y la distancia s no es lineal. ¿Que tipo de relacion hay entreambas magnitudes? Razonar la respuesta.

Capıtulo 18

Resistencia interna y f.e.m. en fuentes de ten-sion

18.1. Conceptos aplicados

Esta practica consiste en la medida de las caracterısticas intrınsecas, resistencia internay fuerza electromotriz, de diferentes fuentes de tension. Para ello nos auxiliaremos de uncircuito con dos reostatos (resistencias que variaremos a nuestra conveniencia) ademas denuestra fuente de tension problema. Tambien estimaremos la potencia que se suministraal circuito.


Cuando una corriente electrica atraviesa un conductor en un circuito electrico, hay unarelacion entre la intensidad que circula a traves del conductor y la diferencia de potencialentre sus extremos. Esta relacion es la ley de Ohm

∆V = RI, (18.1)

donde R es la resistencia del conductor. Por otro lado cuando dicha corriente eletricaatraviesa a una fuente de voltaje de fuerza electromotriz ε y resistencia interna Ri ladiferencia de potencial que se crea entre sus bornes viene dada por la expresion,

∆V = ε− IRi, (18.2)

Si dicha fuente de tension la colocamos en un circuito junto con una resistencia externaRe la intensidad que circula por el mismo, de acuerdo con la Ley de Ohm, viene dada porla expresion,

I =ε

Ri +Re

, (18.3)

Donde la potencia suministrada al circuito, teniendo en cuenta la ecuacion 18.2, vale,

P = ∆V I = εI −RiI2, (18.4)

121

CAPITULO 18. RESISTENCIA INTERNA Y F.E.M. EN FUENTES DE TENSION122

Figura 18.1: Montaje teorico.

En nuestra practica en cuestion colocaremos en el circuito, primeramente una pila deε= 4,5 V y a continuacion una fuente de tension, y mediremos su fem y su resistenciainterna. Para ello, tal y como comentamos antes, nos ayudaremos de dos reostatos quecolocaremos en serie para hacer las medidas oportunas. El montaje teorico de nuestrapractica puede contemplarse en la figura 18.1.


El sistema experimental puede contemplarse en la figura 18.2 en el cual disponemos dedos multımetros junto con una fuente de tension de resistencia interna Ri y dos reostatos,Re, (resistencias variables, dependiendo de la posicion del indicador)que colocaremos enserie para facilitar las lecturas de las medidas.

Importante: Una vez construıdo el circuito consultar con el profesor antesde conectar la fuente de tension y empezar a tomar las medidas.

18.3.1. Medida de la resistencia interna y fuerza electromotriz en una fuentede tension

Para poder llevar a cabo estas medidas construiremos primero el circuito tal y comose indica en la figura 18.2. Aunque no se indica en dicha figura, colocaremos nuestros dosreostatos de 100 Ω y 10 Ω en serie. Esto se debe a que al efectuar las medidas el de mayorresistencia nos servira para hacer un ajuste grueso y el de de menor resistencia para unajuste fino (esto se vera facilmente al buscar un valor de intensidad o voltaje concreto enla realizacion de las medidas oportunas). Usaremos ademas dos multımetros en posicionesde amperımetro (en serie) y voltımetro (en paralelo) para tomar las medidas de intensidady diferencia de potencial. El circuito lo cerraremos finalmente colocando la pila de petacaa la cual le tenemos que calcular su fuerza electromotriz y resistencia interna. Para ellouna vez construıdo el circuito hacemos medidas de intensidad y caıda de potencial en lapila, calculando para cada par de valores la potencia P generada por la pila. Las medidasse haran partiendo de una intensidad de 0,1 A en pasos de 0,05 A hasta que se observe



que el valor de la potencia empieza a disminuir (aproximadamente esto ocurrira cuandola intensidad sea entorno a 1 A).

Construir una tabla con los valores de intensidad de corriente medidos, las caıdas depotencial y la potencia que suministra la pila (recordar que la potencia es P = ∆V I).

I(±εI) ∆V (±ε∆V ) P (±εP )

Representar graficamente los valores de las caıdas de tension en la pila en funcionde la intensidad de corriente.

Dibujar la recta de regresion de mınimos cuadrados para la grafica del apartadoanterior calculando su pendiente, su ordenada en el origen y su coeficiente de corre-lacion.

a(±εa) = b(±εb) = r =


Calcular con los datos obtenidos la resistencia interna de la pila y su fuerza electro-motriz.

Repetir la practica usando ahora en lugar de la pila la fuente de tension de la cualdisponemos.

18.3.2. Medida de la Potencia suministrada por la fuente de tension

A partir de los datos de intensidad y caıda de tension tomados en el apartado ante-rior podemos calcular el valor de la potencia suministrada por la pila al circuito y cuyaexpresion viene dada por la ecuacion 18.4.

Dibujar graficamente los valores de potencia (calculados en la tabla anterior) enfuncion de la intensidad de corriente medidos en la pila. ¿A que curva respondendichos datos?.

Sobre dicha curva puede observarse un maximo (que corresponde al maximo valorde potencia que se suministra al circuito). Calcular, a partir de la expresion de lapotencia consumida por la resistencia externa, P = I2Re, el valor de resistenciaexterna al cual corresponde. Interpretar fısicamente el resultado obtenido.

Repetir los dos apartados anteriores usando los datos de intensidad y potencia dela fuente de tension. Interpreta los resultados.

18.4. Discusion

Comprobar que en el caso de la fuente de voltaje (el transformador de alterna acontinua) la resistencia interna es mucho menor que en el caso de la pila. Teniendo encuenta el efecto Joule, ¿que ventajas tiene que el transformador tenga una resistenciapequena?


18.5. Cuestiones

1. Consideremos la curva de la tension de la pila en funcion de la intensidad, si aumentala corriente el voltaje tiene que ser cero a partir de un cierto valor. Buscar este valorpara los experimentos anteriores.

2. Calcular teoricamente a partir de la ecuacion 18.4 el valor de la resistencia externaque hace que la fuente de tension suministre un maximo de potencia al circuito.(Ayuda: Para obtener el maximo, deriva la expresion 18.4 frente a Re e igualala acero para imponer la condicion de extremo local)

Capıtulo 19

Interferencias y difraccion

19.1. Objetivo

Se observaran las interferencias producidas por una doble rendija sobre una pantalla.Se mediran las distancias dn de los maximos de intensidad de los distintos ordenes deinterferencias, con lo que se determinara la longitud de onda del rayo laser utilizado.

Tambien se realizaran dos experiencias sobre difraccion. En la primera se observarala figura de difraccion producida por una abertura circular, de la que se determinara elradio. En la segunda, se determinara la constante de una red de difraccion en funcion desu figura de difraccion.


19.2.1. Interferencias

Cuando una onda incide sobre un diafragma lineal doble (una doble rendija), en cadauna de las rendijas se forma una onda secundaria de caracterısticas en principio identicas.Si observamos que ocurre a cierta distancia de la doble rendija, veremos que ambas ondasse refuerzan en determinadas direcciones, produciendo interferencias constructivas, y seanulan en otras, formando interferencias destructivas. Esto se debe a que la diferenciaen los caminos opticos recorridos por ambas ondas produce un desfase entre ellas. Estadiferencia de fase es la responsable de la formacion del patron de interferencias.

En particular, puede demostrarse que, a suficiente distancia de la doble rendija, laintensidad de la luz en un punto P de una plano paralelo a dicha rendija es

IP = 4A2 cos2 δ

2, (19.1)

donde A es la amplitud de las ondas y δ es el desfase entre las ondas generadas enambas rendijas en el punto P , que vale

δ =2π

λ∆L =

2π

λ(x1 − x2), (19.2)

125

CAPITULO 19. INTERFERENCIAS Y DIFRACCION 126

Figura 19.1: Interferencia por doble rendija


siendo ∆L = x1−x2 la diferencia de caminos opticos recorridos por ambos rayos desdelas rendijas al punto P , x1 la distancia entre la rendija 1 y el punto P , x2 la distancia entrela rendija 2 y dicho punto P y λ la longitud de onda de la luz que estemos empleando(ver Figura 19.1 (a)). Las interferencias totalmente constructivas se producen cuando IPes maxima; segun la ecuacion 19.1, esto ocurre si

δ

2= nπ. (19.3)

Sustituyendo el valor de δ (ecuacion 19.2) en esta expresion, llegamos a la condicionpara los maximos en el patron de interferencias,

∆L = x1 − x2 = nλ, (n = 1, 2, 3, . . .). (19.4)

De manera analoga, se puede encontrar la condicion para que se den interferenciastotalmente destructivas (mınimos), que resulta ser

∆L = x1 − x2 = (2n+ 1)λ

2, (n = 0, 1, 2, 3, . . .). (19.5)

19.2.2. Difraccion por abertura circular

Cuando un haz de luz coherente y monocromatico incide sobre una abertura circular,se producen rayos difractados en los bordes que al interferir entre sı y con los que incidendirectamente en la zona “iluminada” correspondiente a la optica geometrica forman unaserie de maximos y mınimos. El numero de estos depende del diametro del orificio y de ladistancia de este a la pantalla de observacion. Puede demostrarse que la posicion de losmaximos y mınimos satisface la condicion

sinφn =knRnλ, (19.6)

donde φn es el angulo subtendido por el maximo o mınimo de difraccion, R es el radio delorificio y λ la longitud de onda. kn es una constante para cada valor de n, cuyo valor seda en la siguiente tabla,

n k max k min1 0, 00 0, 612 0, 41 0, 563 0, 44 0, 544 0, 46 0, 53

Notese que n = 1 corresponde al maximo central y al primer anillo oscuro; n = 2 alprimer anillo luminoso y al segundo anillo oscuro; y ası sucesivamente.

Por su parte, si la distancia entre la abertura y la pantalla es muy grande, se podrahacer la siguiente aproximacion:


Figura 19.2: Montajes para los experimentos de difraccion: (a) por abertura circular, (b)por red.


sinφn v tanφn =rna

(19.7)

siendo rn el radio del anillo correspondiente al maximo o mınimo de intensidad lumi-nosa elegido.

19.2.3. Difraccion por red

Un red de difraccion consiste en un gran numero de lıneas equiespaciadas grabadassobre una superficie plana, a traves de la cual se hace pasar la luz. La distancia entre laslıneas se conoce como constante de red, d.

Cuando la luz incide perpendicularmente sobre la red, el diagrama de difraccion tendramaximos en aquellas direcciones que forman con la luz incidente angulos dados por:

sin θn =nλ

d(19.8)

siendo λ la longitud de onda y n = 0, 1, 2 . . . el orden de difraccion. Si la distanciaentre la red y la pantalla es muy grande, se podra hacer la siguiente aproximacion:

sin θn v tan θn =rna

(19.9)

siendo rn la distancia entre el orden n de difraccion y la direccion de propagacion dela luz no desviada.


ADVERTENCIA IMPORTANTE: El laser puede producir danos ocularesirreversibles, por lo que debemos evitar enfocar a alguna persona con el mismoa la altura de los ojos.Por supuesto, en ninguna circunstancia debemos mirardirectamente al rayo.

19.3.1. Medida de las posiciones de los maximos del patron de interferencias

Para observar las franjas de interferencia de doble rendija se realiza el monjaje de laFigura 19.1 (b). A continuacion se situa la doble rendija, colocada en el portadiafragmas.La anchura de las rendijas b y la distancia entre ellas g esta escrita (en milımetros) bajo laspropias rendijas. Elıjase el par de rendijas que parezca ma s apropiado para la medida. Lapantalla milimetrada se colocara a suficiente distancia para poder apreciar con claridadla figura de interferencias.


Hemos dicho mas arriba que los maximos del patron de interferencias se obtienencuando la diferencia de caminos opticos es un multiplo de λ,

x1 − x2 = nλ, (n = 1, 2, 3, . . .). (19.10)

Si observamos la figura 19.1 y tenemos en cuenta que a dn y a g, entoncesϑn 1 para cualquier valor de n. Debe resultar claro entonces que x1 − x2 = nλ esaproximadamente la distancia marcada en la figura (es decir, los rayos x2 y x1 son casiparalelos). Pero en la figura podemos ver que

nλ

g= sin θn ≈ tan θn =

dna, (19.11)

donde hemos empleado la aproximacion sin θ ≈ tan θ, valida cuando θ 1. En defi-nitiva, tenemos que

nλ =g

adn. (19.12)

Mıdase cuidadosamente con la cinta metrica la distancia a la pantalla milimetrada, a,y las distancias de los distintos ordenes de difraccion dn al orden cero de difraccion d0, esdecir, a la luz que no ha sufrido desviacion.

19.3.2. Calculo de la longitud de onda

Para calcular la longitud de onda de la luz empleada en la experiencia, solo tenemosque despejarla de la ecuacion 19.12, obteniendose

λ =g

a

dnn. (19.13)

Sabiendo la distancia a entre las rendijas y la escala, es facil obtener varios valorespara λ con tan solo tomar diferentes valores de n.

19.3.3. Difraccion

Para observar las figuras de difraccion, se realizaran los montajes de las figuras 19.2(a) para la abertura y 19.2 (b) para la red de difraccion. La pantalla milimetrada secolocara tan lejos como sea necesario para poder medir claramente las distancias. En laabertura circular, es importante asegurarse de que el orificio esta bien iluminado, a fin deobtener una figura de difraccion nıtida. Deberıan verse 2 o 3 anillos luminosos alrededordel maximo central.

19.4. Resultados

19.4.1. Determinacion de la longitud de onda del laser.

1. Siguiendo el procedimiento experimental, medir las distancias de los maximos delpatron de interferencias situados a la derecha y a la izquierda del maximo central.


n +dn(±εdn) −dn(±εdn)1234

Representar en la misma grafica +dn en funcion de n y −dn en funcion de n. Seobtendran dos rectas. Calcular la pendiente, la ordenada en el origen, y el coeficientede correlacion lineal de cada una de ellas mediante ajuste de mınimos cuadrados.

a1(±εa1) = b1(±εb1) = r1 =

a2(±εa2) = b2(±εb2) = r2 =

2. Determinar el valor de λ que se obtendrıa a partir de las ecuaciones de las rectasrepresentadas en el apartado anterior y de la formula 19.13.

λ(±ελ) =

19.4.2. Determinacion del radio de la abertura circular.

Para varias distancias a entre la pantalla y el orificio, mıdase el radio r correspondienteal maximo de intensidad luminosa de orden n=3 (segundo anillo luminoso).

a(±εa) rn(±εrn)

Representar graficamente los valores de r en funcion de la distancia a la pantalla a.

Dibujar la recta de regresion de mınimos cuadrados para la grafica del apartado an-terior, calculando su pendiente, ordenada en el origen y su coeficiente de correlacionlineal.

a′(±εa′) = b′(±εb′) = r′ =

A partir de esta informacion y con la ayuda de las formulas 19.6 y 19.7 obtenga elradio R de la abertura y su error. La longitud de onda viene dada en el laser.

R(±εR) =


19.4.3. Determinacion de la constante de la red de difraccion:

Para una distancia suficiente a entre la pantalla y la red, medir las distancias rn devarios ordenes de difraccion a la direccion de propagacion. Deducir de ellas la constante dered d. Repetir para las dos redes de difraccion. Anotar el numero de lıneas por milımetroindicado en cada red para contrastar con los resultados del experimento.

Precaucion: para ciertas redes, debido a la anchura finita de las lıneas de la red, algunode los maximos de difraccion pueden quedar enmascarados. Tenerlo en cuenta para usarel valor de n apropiado.

Red A (lıneas por milımetro: )

n rn(±εrn)

Representar graficamente los valores de rn en funcion del orden de difraccion n.


aA(±εaA) = bA(±εbA) = rA =

A partir de esta informacion y con la ayuda de las formulas 19.8 y 19.9 obtenga laconstante de red d correspondiente.

d(±εd) =

Red B (lıneas por milımetro: )

n rn(±εrn)

Representar graficamente los valores de rn en funcion del orden de difraccion n.



aB(±εaB) = bB(±εbB) = rB =

A partir de esta informacion y con la ayuda de las formulas 19.8 y 19.9 obtenga laconstante de red d correspondiente.

d(±εd) =

19.5. Discusion

¿ Que valor deberıan tener a1, b1, a2 y b2 de acuerdo con la formula 19.13? A la luzde los resultados, ¿ Se verifica dicha formula?

Discutir si el valor obtenido para la longitud de onda del laser es o no compatiblecon el valor dado por el fabricante.

¿ Coinciden los valores hallados para el radio de la abertura y para la distancia entrelıneas de las redes con los dados por el fabricante? Discutir las posibles discrepancias.

19.6. Cuestiones

1. La diferencia de caminos opticos recorridos por los rayos generados en cada una delas rendijas es igual a la diferencia de distancias recorridas por ambos rayos hastallegar a punto de interferencia siempre que ambos rayos viajen por el mismo medio(en nuestro caso, el aire); cuando el medio es diferente al aire, el camino optico sedefine como L = nx, donde n es el ındice de refraccion relativo al aire del medioempleado. Segun esto, ¿ como se podrıa cambiar el patron de interferencias obtenidousando el mismo laser y sin modificar la distancia entre las rendijas ni la distanciade la pantalla a las mismas?

2. Segun la expresion 19.6, ¿ en que caso se observara mas maximos y mınimos en elpatron de difraccion, cuando se tiene una abertura grande o cuando la abertura seaestrecha? ¿ Por que?

3. ¿ Que ocurre con los maximos y mınimos del patron de difraccion cuando el radiode la abertura se hace muy grande, segun la expresion 19.6? ¿ Como se interpretaeste resultado?

4. Explicar como serıa la figura de difraccion por red si el laser fuese de luz azul (λ=480nm) en lugar de rojo. ¿ Que sucederıa si la fuente en lugar de ser monocromaticafuese de luz blanca?

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