Frecuencia de resonancia

Se denomina frecuencia de resonancia a aquella frecuencia característica de un cuerpo o un sistema que alcanza el grado máximo de oscilación.

Todo cuerpo o sistema tiene una, o varias, frecuencias características. Cuando un sistema es excitado a una de sus frecuencias características, su vibración es la máxima posible. El aumento de vibración se produce porque a estas frecuencias el sistema entra en resonancia.

Frecuencia de resonancia de un circuito

Es la frecuencia Wo a la cual la impedancia equivalente de un circuito es puramente real (la parte imaginaria es nula).

Zequiv Se calcula de forma similar a la Rthevenin Si hay fuentes dependientes aplicar fuente de test.

- Frecuencia de resonancia para la conexión RLC serie:

Zeq(Wo) = eq En resonancia, C y L en serie pueden sustituirse por un cortocircuito, pero cae tensión en C y L que se compensan entre sí.

- Frecuencia de resonancia para la conexión RLC paralelo:

En resonancia, C y L en paralelo pueden sustituirse por un circuito abierto, pero pasa corriente por C y L que se compensa.

La corriente que atraviesa la bobina tiene el mismo valor que la que atraviesa el condensador, pero sentido contrario.

Por lo general, estas corrientes son distintas de cero.

Resonancia en un circuito LCR en serie

La condición de resonancia la estudiamos en las oscilaciones forzadas de una masa unida a un muelle elástico.

La potencia suministrada por el generador de corriente alterna es

P=i·v=V0·I0sen(w t)·sen(w t-j )

P=V0·I0sen(w t)·(sen(w t)·cos j - cos(w t)·senj)=V0·I0(sen2(w t)·cos j - sen(w t)·cos(w t)·senj)

Esta magnitud es una función complicada del tiempo que no es útil desde el punto de vista práctico. Lo que tiene interés es el promedio de la potencia en un periodo 2p /w .

<P>=V0·I0(<sen2(w t)>·cos j - <sen(w t)·cos(w t)>·senj)

Se define como valor medio <f(t)> de una función periódica f(t) de periodo T a la integral

El periodo de la función f(t)=sen2(w t) es T=π/ω, su valor medio es

<sen2(w t)>=1/2

El área de color rojo es igual al área de color azul.

El periodo de la función f(t)=sen(w t)·cos(w t)=sen(2w t)/2 es T=π/ω, su valor medio es

<sen(w t)·cos(w t)>=0

como puede comprobarse fácilmente

El valor medio de la energía por unidad de tiempo, o potencia suministrada por el generador es

El último término, cosj se denomina factor de potencia.

El valor de <P> es máximo cuando el ángulo de desfase j es cero, para ello se tiene que cumplir que

es decir, la frecuencia w del generador de corriente alterna debe coincidir con la frecuencia natural o propia w0 del circuito oscilante.

Cuando w =w0 se cumple que

La intensidad de la corriente I0 alcanza su valor máximo La intensidad de la corriente en el circuito i y la fem v están en fase La energía por unidad de tiempo <P> suministrada por el generador es máxima

Actividades

En el applet se introducen los siguientes datos:

Resistencia en W Capacidad en mF (10-6 F) Autoinducción en mH (10-3 H)

Se escoge la magnitud que deseamos representar en función del cociente w /w0

1. Potencia <P>2. Amplitud de la intensidad I0

3. Desfase j entre la intensidad y la fem del generador

Representación de la potencia <P>

En la representación de la potencia <P> observamos que cuando la frecuencia del generador w coincide con la frecuencia de resonancia w0 la potencia alcanza un máximo.

Se representa también el intervalo de frecuencias Dw para los cuales la potencia es mayor que la mitad de la máxima. La agudeza de la curva de resonancia se describe mediante un parámetro adimensional denominado factor de calidad Q0 que se define como el cociente entre la frecuencia angular de resonancia w0 y el ancho de la curva de resonancia Dw.

Manteniendo fijos los valores de la capacidad del condensador y de la autoinducción de la bobina, se modifica el valor de la resistencia R. ¿Cómo cambia la curva de resonancia?.

Representación de la amplitud de la intensidad

La amplitud de la intensidad I0 adquiere un valor máximo cuando la frecuencia del generador w coincide con la frecuencia de resonancia w0. El valor de la impedancia Z es mínimo y vale Z=R.

Manteniendo fijos los valores de la capacidad del condensador y de la autoinducción de la bobina, se modifica el valor de la resistencia R. ¿Cómo cambia la curva que representa la amplitud en función del cociente w /w0?

Representación del desfase entre la intensidad y la fem

El desfase entre la intensidad y la fem se hace cero cuando la frecuencia del generador w coincide con la frecuencia de resonancia w0.

La intensidad y la fem están en fase a esta frecuencia La diferencia de fase cambia de signo, cuando la frecuencia w es mayor que 

la frecuencia de resonancia w0, y aumenta rápidamente cuando nos alejamos de dicha frecuencia, sobre todo si la resistencia es pequeña.

Manteniendo fijos los valores de la capacidad del condensador y de la autoinducción de la bobina, se modifica el valor de la resistencia R. ¿Cómo cambia la curva que representa la diferencia de fase en función del cociente w/w0?

Resonancia en circuito RLC serie

Cuando se conecta un circuito RLC en serie, alimentado por una señal alterna (fuente de tensión de corriente alterna), hay un efecto de ésta en cada uno de los componentes.

En el condensador aparecerá una reactancia capacitiva, y en la bobina una reactancia inductiva, dadas por las siguientes fórmulas:

XL = 2 x π x f x LXC = 1 / (2 x π x f x C)

Donde:π = 3.14159f = frecuencia en HertzL = Valor de la bobina en henriosC = Valor del condensador en faradios

Como se puede ver los valores de estas reactancias depende de la frecuencia de la fuente. A mayor frecuencia, XL es mayor, pero XC es menor y viceversa.

Hay una frecuencia para la cual el valor de la XC y XL son iguales. Esta frecuencia se llama frecuencia de resonancia y se obtiene de la siguiente fórmula:

FR = 1 / (2 x π x (L x C)1/2)

En resonancia como los valores de XC y XL son iguales, se cancelan y en un circuito RLC en serie la impedancia que ve la fuente es el valor de la resistencia. A frecuencias menores a la de resonancia, el valor de la reactancia capacitiva es grande y la impedancia es capacitiva

A frecuencias superiores a la de resonancia, el valor de la reactancia inductiva crece y la impedancia es inductiva.

Nota: es importante visualizar que los efectos de la reactancia capacitiva y la inductiva son opuestos, es por eso que se cancelan y causan la oscilación (resonancia)

El Ancho de banda (BW) y el Factor de calidad (Q)

Los circuitos resonantes son utilizados para seleccionar bandas de frecuencias y para rechazar otras. Cuando se está en la frecuencia de resonancia la corriente por el circuito es máxima.

En la figura: A una corriente menor (70.7% de la máxima), la frecuencia F1 se llama frecuencia baja de corte o frecuencia baja de potencia media. La frecuencia alta de corte o alta de potencia media es F2.

El ancho de banda de este circuito está entre estas dos frecuencias y se obtiene con la siguiente fórmula: Ancho Banda = BW = F2 - F1

El factor de calidad (Q) o factor Q es:Q = XL/R o XC/R

También la relacionándolo con el Ancho Banda:Q = frecuencia resonancia / Ancho banda = FR/BW