La Belleza de las Matematicas:

Fractales

•Que es un fractal.

•Quien lo descubrió.

•Porqué se llaman fractales.

•Tipos de fractal.

•Fractales en la naturaleza, ciencia y arte

Que es un fractal• Un fractal es un objeto que exhibe recursividad, o autosimilitud, a cualquier

escala. En otras palabras, si enfocamos una porción cualquiera de un objeto fractal (imaginemos que utilizamos un magnificador, o hasta un microscopio, para ello), notaremos que tal sección resulta ser una réplica a menor escala de la figura principal

• Otro aspecto importante sobre los fractales es que su dimensión es fraccionaria. Es decir, en vez de ser unidimensional, bidimensional o tridimensional (como es el para los objetos que nos son más familiares), la dimensión en la mayoría de los fractales no se ajusta a dichos conceptos tradicionales. Más aún, su valor raramente puede ser expresado con un número entero. Esto es, precisamente, lo que les ha dado su nombre

Los fractales son entidades matemáticas que están por todas partes. Y, precisamente, por su variedad, son difíciles de definir porque no todos cumplen las mismas características, aunque hay algo en común: son el producto de la repetición de un proceso geométrico elemental que da lugar a una estructura final de una complicación extraordinaria. Es decir, da como resultado un conjunto cuya frontera es imposible dibujar a pulso (por ser de longitud infinita). Hay muchos objetos de la naturaleza que, debido a su estructura o comportamiento, son considerados fractales naturales aunque no lo parezcan: las nubes, las montañas, las costas, los árboles y los ríos. En lo que se diferencian de los fractales matemáticos es que éstos son entidades infinitas.

¿Quién lo descubrió?

• La expresión fractal viene del latín fractus, que significa fracturado, roto, irregular. La expresión, así como el concepto, se atribuye al matemático francés Benoit B. Mandelbrot, del Centro de Investigación Thomas J. Watson. Quien descubrió este comportamiento mientras realizaba sus investigaciones sobre la "TEORÍA DE LA ITERACIÓN DE LAS FUNCIONES RACIONALES DEL PLANO COMPLEJO”.

Conocido por sus trabajos sobre los fractales. Es el principal responsable del auge de este dominio de las matemáticas desde el inicio de los años ochenta, y del interés creciente del público. Supo utilizar la herramienta que se estaba popularizando en ésta época, el computador, para trazar los más conocidos ejemplos de geometría fractal. Con la aparición de los fractales podemos hablar de dos tipos de geometría, la tradicional o euclidiana y la fractal. Principal creador de la Geometría Fractal, al referirse al impacto de esta disciplina en la concepción e interpretación de los objetos que se encuentran en la naturaleza. En 1982 publicó su libro Fractal Geometry of Nature en el que explicaba sus investigaciones en este campo. La geometría fractal se distingue por una aproximación más abstracta a la dimensión de la que caracteriza a la geometría convencional.Actualmente trabaja como profesor en la Harvard University.

¿POR QUÉ LOS FRACTALES SE LLAMAN "FRACTALES"?

¿POR QUÉ LOS FRACTALES SE LLAMAN "FRACTALES"?

• El término fue acuñado por Benoît Mandelbrot en 1975. Al estudio de los objetos fractales se le conoce, generalmente, como geometría fractal

Tipos de Fractales• Lineales Se generan a partir de conceptos y algoritmos lineales,

como por ejemplo rectas o triángulos. Pueden obtenerse mediante trazados geométricos simples.

Complejos Se generan mediante un algoritmo de escape. Para cada punto se calculan una serie de valores mediante la repetición de una formula hasta que se cumple una condición, momento en el cual se asigna al punto un color relacionado con el número de repeticiones. Los fractales de este tipo precisan de millones de operaciones, por lo cual sólo pueden dibujarse con la ayuda del ordenador.   

Tipos de Fractales

Tipos de Fractales• Autómatas Celulares

Los autómatas celulares fueron utilizados por primera vez por los matemáticos John von Neumann y Stanislaw Ulam en 1948 para representar la reproducción en algunos sistemas biológicos.

Un autómata celular es un sistema dinámico discreto, (espacio y tiempo toman valores discretos), cuya función asociada toma un conjunto finito de valores. Funcionan con sencillas reglas que colorean zonas a partir del color de las adyacentes.

Tipos de Fractales• Plasma

Estructuras como el plasma o las imágenes de difusión dependen en cierta medida del azar, por lo cual son únicas e irrepetibles.

Ello se debe a que no es un proceso determinista, sino totalmente aleatorio. Consiste en un patrón único e irrepetible de colores

FRACTALES EN LA NATURALEZA

Las formas de la naturaleza son fractales y múltiples procesos de la misma se rigen por comportamientos fractales. Esto quiere decir que una nube o una costa pueden definirse por un modelo matemático fractal que se aproxime satisfactoriamente al objeto real. Esta aproximación se realiza en toda una franja de escalas , limitadas por valores mínimos y máximos.

EJEMPLOS DE MODELOS FRACTALES:• LORENZ turbulencias atmosféricas y corrientes marinas.• HENON oscilaciones sufridas por cuerpos celestes que hacen que

su trayectoria no sea completamente elíptica• CURVAS DE KOCH ALEATORIA fronteras de un país, trazado de

una costa, trazado de un río• FRACTALES tipo ÁRBOL sistema arteriales y venosos.

FRACTALES EN LA NATURALEZA

Elementos de la naturaleza que pueden estudiarse mediante un modelo fractal:

• CUERPO HUMANO :Redes nerviosas.Redes de vasos sanguíneos.Conductos biliares.Sistemas de tubos pulmonares y bronquios

• ELEMENTOS DE LA NATURALEZA:MontañasConíferasSauces

FRACTALES EN EL ARTE

Podríamos decir que un fractal es básicamente la expresión visual o auditiva e incluso espacial (con cualquier tipo de dimensión) de una

expresión matemática. 

La particularidad de la creación artística con fractales consiste en que el algoritmo de la fórmula nos conduce a una progresión ascendente o descendente de la misma, y a la generación en el caso de imágenes, de expresiones visuales que se repiten y progresan hacia lo infinitamente grande o hacia lo infinitamente pequeño. Sin embargo, el mundo que abren los fractales a la creación artística no se agota en lo anterior, sino que incluso brinda muchos elementos de reflexión para abordar temas como la Teoría del Caos y la aleatoriedad.

FRACTALES EN EL ARTE

• Ejemplos de fractales en el Arte

Arte decorativo árabe

  Arte africano

El mosaico del suelo en la cripta de la catedral de Anagni (Italia)

  Diseños de catedrales

Arte y la arquitectura hindúes

FRACTALES EN LAS CIENCIAS

Las aplicaciones fractales en el campo de la tecnología se circunscriben mayoritariamente en los campos del diseño y compresión de imágenes y en el campo de las Telecomunicaciones.

Las antenas son objetos sencillos en apariencia, pero su diseño y fabricación están basados en las ecuaciones de Maxwell para el electromagnetismo, lo que conlleva cierta complejidad.

FRACTALES EN LAS CIENCIAS

La aplicación de técnicas fractales para la compresión de imágenes digitales fue introducida por Michael Barnsley y Arnaud Jacquin en 1988. La compresión consiste en buscar un conjunto de transformadas afines que describan aproximadamente la imagen.

Webgrafía

• http://www.fractovia.org/art/es/what_es1.shtml • http://www.sectormatematica.cl/fractales.html• http://xavieramador2.50webs.com• http://sabia.tic.udc.es• http://www.cienciateca.com/fractales.html • http://www.fractovia.org/art/es/what_es3.shtmlhttp://

www.fractovia.org/art/es/what_es3.shtml • hh

ttp://personal.telefonica.terra.es/web/mundofractal/tipos_de_fractales.htm

• http://personal.telefonica.terra.es/web/mundofractal/arte.htm

• http://personal.telefonica.terra.es/web/mundofractal/ciencias_tecnologia.htm