Fractales
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FRACTALES
Estadística para Negocios
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Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o
irregular, se repite a diferentes escalas.1 El término fue propuesto por el
matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del latín fractus, que significa
quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal. La
propiedad matemática clave de un objeto genuinamente fractal es que su
dimensión métrica fractal es un número no entero.
Si bien el término "fractal" es reciente, los objetos hoy denominados fractales eran
bien conocidos en matemáticas desde principios del siglo XX. Las maneras más
comunes de determinar lo que hoy denominamos dimensión fractal fueron
establecidas a principios del siglo XX en el seno de la teoría de la medida.
Para encontrar los primeros ejemplos de fractales debemos remontarnos a finales
del siglo XIX: en 1872 apareció la función de Weierstrass, cuyo grafo hoy en día
consideraríamos fractal, como ejemplo de función continua pero no diferenciable
en ningún punto.
Existen diferentes formas de clasificar los fractales de acuerdo a las propiedades
que los describen. A continuación se presentan dos de las clasificaciones más
populares.
De acuerdo a la propiedad de auto similitud, los fractales pueden ser divididos
en tres amplias categorías, que son:
Auto similitud exacta: Este es el tipo más restrictivo de auto similitud: exige que
el fractal parezca idéntico a diferentes escalas. Estos tienen una regla de punto fijo
geométrico. A menudo la encontramos en fractales definidos por sistemas de
funciones iteradas (IFS). Ejemplos: conjunto de Cantor, triángulo de Sierpinski,
curva de Peano, copo de nieve de Koch, curva del dragón, esponja de Menger,
etc.
Cuasiautosimilitud: Exige que el fractal parezca aproximadamente idéntico a
diferentes escalas. Los fractales de este tipo contienen copias menores y
distorsionadas de sí mismos. Matemáticamente D.Sullivan definió el concepto de
conjunto cuasiauto-similar a partir del concepto de cuasi-isometría. Los fractales
definidos por relaciones de recurrencia son normalmente de este tipo. Como
ejemplo tenemos: el conjunto de Mandelbrot, conjunto de Julia, y el fractal de
Lyapunov, etc.
Autosimilitud estadística: Es el tipo más débil de autosimilitud, se exige que el
fractal tenga medidas numéricas o estadísticas que se preserven con el cambio de
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escala. Los fractales aleatorios son ejemplos de fractales de este tipo. Así
tenemos, el movimiento browniano, el vuelo de Lévy, los paisajes fractales o los
árboles brownianos.
De acuerdo a la linealidad, se describen dos tipos de fractales:
Fractales lineales: Los fractales lineales
son aquellos que se construyen con un
cambio en la variación de sus escalas.
Esto implica algo muy importante, los
fractales lineales son exactamente
idénticos en todas sus escalas hasta el
infinito. Es decir si vemos una parte
específica muy pequeña de una forma
fractal la veremos igual o similar a la
forma original del fractal, solamente que más pequeña.
Fractales lineales (Creados a través de Fractint)
Fractales no lineales: Los fractales no lineales se generan creando distorsiones
no lineales o complejas. Es decir son fractales que presentan una estructura
similar, pero no son exactamente
igual a su original. Si vemos de cerca
una parte específica de un fractal se
parecerá al original pero tendrá unas
pequeñas variaciones. En la Figura
2 se muestran algunos ejemplos. (3)
Fractales no lineales (Creados a
través de Fractint)
Posteriormente aparecieron ejemplos con propiedades similares pero una
definición más geométrica. Dichos ejemplos podían construirse partiendo de una
figura inicial (semilla), a la que se aplicaban una serie de construcciones
geométricas sencillas. La serie de figuras obtenidas se aproximaba a una figura
límite que correspondía a lo que hoy llamamos conjunto fractal. Así,
en 1904, Helge von Koch definió una curva con propiedades similares a la de
Weierstrass: el copo de nieve de Koch. En 1915, Waclaw Sierpinski construyó
su triángulo y, un año después, su alfombra.
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A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características:
* Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.
* Posee detalle a cualquier escala de observación.
* Es auto similar (exacta, aproximada o estadística).
* Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su
dimensión topológica.
* Se define mediante un simple algoritmo recursivo.
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