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Profesor Ral Vega Muoz

CMO CONVERTIR FRACCIONES DECIMALES INFINITAS PERIDICAS A FRACCIONES COMUNES

Advertencia: Este tema es ms avanzado que el tema que se est revisando en el blog, requieres tener slidos

conocimientos sobre operaciones con fracciones, simplificacin de fracciones.

Cuando tenemos un nmero cuyas cifras decimales se repiten hasta el infinito, por ejemplo:

1.33333

De denomina fraccin decimal infinita peridica. Analicemos por qu se llama de esa forma:

Fraccin decimal (porque tiene punto decimal) infinita (porque sus cifras nunca terminan) y peridica porque

hay cifras que se repiten, algo peridico es algo que se repite.

Una fraccin decimal infinita peridica puede tener varias cifras repitindose, no solamente una. As por

ejemplo todas las siguientes son ejemplos de fracciones de esta categora:

23.45454545

176.298298298298

Para simbolizar de forma abreviada estas fracciones se escribe un pequeo guin (lnea) encima de las cifras o

cifra que se repite, as los ejemplos que mencionamos quedaran abreviados de esta manera:

1.33333 1. 3

23.45454545 23. 45

176.298298298298 176. 298

A veces, no son todas las cifras decimales las que se repiten sino nicamente algunas, por ejemplo en las

siguiente fraccin:

12.17252525

En cuyo caso quedara abreviada de la siguiente forma: 12.1725

A continuacin te explicar cmo convertir una fraccin decimal infinita peridica como 12.1725

en una fraccin comn.

Primero separamos la parte finita (que tiene fin) de la parte infinita (lo que se repite) pero indicando que al

final de cuentas se estn sumando, no estn totalmente separadas, quedan unidas por un signo de suma:

12.1725

= 12.17 + 25

Dudas hasta ahora? No hay dudas? Fantstico! Ahora expresamos la parte finita como fraccin comn (si

tienes duda del procedimiento te recomiendo revisar estos artculos:

https://cursosdealgebra.wordpress.com/2012/09/20/leccion-1-los-numeros-reales-4/

https://cursosdealgebra.wordpress.com/2012/09/23/leccion-1-los-numeros-reales-5/

Y tambin el vdeo: http://youtu.be/tMHJbmUGcQk

Expresando la parte finita como fraccin comn:

= 12 17100 + 25

= 1217100 + 25

Ahora expresamos la parte finita como la sumatoria infinita siguiente:

= 1217100 + 25

10000 +25

1000000 +25

100000000

Observa que el primer trmino de la sumatoria infinita (en color rojo) tiene denominador 10000 por la posicin

que ocupan esas cifras en la fraccin decimal original, y lo mismo sucede para los trminos siguientes.

Denominemos a al primer trmino de la sumatoria infinita.

= 2510000 =1

400

Obvio, se simplifica.

Denominemos R de razn al resultado de dividir cualquiera de los trminos de la sumatoria infinita entre el

trmino anterior, observa que sera el mismo resultado si dividimos el trmino verde entre el azul que si

dividimos el azul entre el rojo:

25

1000000 25

10000 =250000

25000000 =1

100

= 25100000000 25

1000000 =25000000

2500000000 =1

100

Hemos pasado lo ms difcil, ahora solo hay que sustituir en la siguiente frmula para obtener el resultado de la

sumatoria infinita:

= 1

= 1

4001 1100

=1

40099

100= 10039600 =

1396

Ahora bien, recordemos que

= 12 17100 + 25

= 1217100 + 25

= 1217100 + 25

10000 +25

1000000 +25

100000000

= 1217100 +1

396 =481932 + 100

39600 =48203239600 =

602544950 =

301272475

As llegamos al resultado final.