Fracciones algebraicas Una fracción algebraica es una expresión fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios. Son fracciones algebraicas:

Las fracciones algebraicas tienen un comportamiento similar a las fracciones numéricas. El valor de una fracción no se altera si se multiplican o dividen el numerador y denominador por una misma cantidad. Esta cantidad debe ser distinta de cero. Por ejemplo:

Si se multiplica por x + 2 en su numerador y denominador resulta:

Se recomienda hacer las operaciones con calma y mucha concentración ya que son frecuentes los errores de signos y los errores en el uso incorrecto de paréntesis.

Operaciones con fracciones algebraicas Simplificar fracciones algebraicas La simplificación de fracciones algebraicas es objeto de frecuentes errores, pero se simplifican igual que las fracciones ordinarias: dividiendo el numerador y el denominador por factores comunes. Entonces, la clave está en el factor común. Para simplificar al máximo habrá que factorizar los polinomios numerador y denominador. Por ejemplo, simplificar:

Otro ejemplo, simplificar la fracción

Primero, factorizamos los polinomios del numerador y del denominador, para quedar

Como vemos, simplificar (o reducir) una fracción algebraica consiste en transformarla a otra equivalente cuya particularidad es ser irreductible (se puede simplificar sólo hasta un cierto nivel). Suma y resta de fracciones algebraicas Para sumar y restar procederemos de forma similar a como lo hacemos con fracciones de números enteros, reduciendo primero a común denominador. Igual como ocurre con las fracciones de números enteros, la suma y resta de fracciones algebraicas puede ser con fracciones de igual denominador o de distinto denominador. Suma y resta de fracciones algebraicas con igual denominador Veamos el siguiente ejemplo de suma y resta:

Como el denominador es común (x + 1), este se ha unificado en una sola fracción, que ahora tiene como numerador a

todas las cantidades que eran numeradores en las fracciones que estamos sumando y restando. Nótese que dichas cantidades se anotan entre paréntesis cuando no son monomios, para no confundir luego los signos. Ahora sacamos los paréntesis teniendo cuidado de cambiar el signo interior cuando delante del paréntesis hay un signo menos (−), y nos queda

Hicimos las operaciones posibles y llegamos al resultado. Suma y resta de fracciones algebraicas con distinto denominador Veamos el siguiente ejemplo:

Tal como lo hacíamos al sumar o restar fracciones de números enteros, utilizando el mínimo común múltiplo (m.c.m.) las fracciones con distintos denominadores se transforman en fracciones equivalentes con denominador común. Entonces, que debemos hacer: encontrar el m.c.m. de los denominadores, que llamaremos mínimo común denominador (m.c.d.). Para calcular el m.c.m. factorizamos

5ab a2 15b2 a

5b a 15b2 a

5b 1 15b2 b

5 1 15b b

5 1 15 5

1 1 3 3

1 1 1

Multiplicamos los factores y queda a • a • b • b • 5 • 3 = a2 • b2 • 15 que es lo mismo que 15a2b2 y es el mínimo común denominador (m.c.d.) de las tres fracciones involucradas. Conocido el m.c.d. operamos con fracciones con denominador común: Previamente, dividimos el denominador común (15a2b2) por cada uno de los denominadores individuales, para conocer la cifra o valor que se multiplica por cada uno de los numeradores, y lo hacemos así:

Esta es la forma tradicional de operar cuando hemos hallado el m.c.d. Pero también hay otra, como la siguiente:

Encontrado el m.c.d. (15a2b2) se multiplica cada fracción (tanto numerador como denominador) por los términos que faltan por completar dicho m.c.d., del modo siguiente:

Nótese que “los términos que faltan” se obtienen haciendo la misma división del caso anterior. Un ejemplo más:

Sumar El m.c.m. de los denominadores, o mínimo común denominador (m.c.d.) es x(x − 3) Hacemos

¿Qué hicimos? Sumamos los numeradores dejando el mismo denominador y simplificamos el numerador: Producto (multiplicación) de fracciones algebraicas Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con fracciones, multiplicando los numeradores y los denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede. Veamos qué significa esto:

Sea una fracción algebraica cualquiera que está multiplicada por otra , entonces: Veamos ahora ejemplos de multiplicación (producto) de fracciones algebraicas Multiplicar

Anotamos la multiplicación de los numeradores y de los denominadores:

Simplificamos antes de efectuar el producto:

Ahora, podemos multiplicar los factores finales:

Ejemplos desarrollados

a)

b)

c) Importante: en los tres ejemplos anteriores (como en casi todos los casos) es preciso dominar la factorización de productos notables. Cociente o división de fracciones algebraicas Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con fracciones, haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede. Veamos, ahora qué significa esto:

Sea una fracción algebraica cualquiera que está dividida por otra , entonces:

Veamos ahora ejemplos de división (cociente) de fracciones algebraicas Dividir

Anotamos haciendo el producto cruzado:

Simplificamos y finalmente multiplicamos:

Ejemplos desarrollados

a)

b)

c) Nota: en ejercicios de este tipo es importante tener bien definida la línea divisoria de las fracciones participantes. Si el ejercicio está bien expresado, la línea divisoria principal es la que se halla frente al signo igual (=).

d) Fracciones algebraicas compuestas En los últimos ejemplos nos encontramos con un tipo de fracción algebraica especial: las fracciones compuestas. Una fracción algebraica compuesta contiene una o varias fracciones simples en el numerador y/o denominador. La operación de reducción de fracciones compuestas consiste en identificar y reducir las fracciones simples que la componen. Ejemplos:

1)

2)

3)

Es común, que en ocasiones encontremos la integración de una fracción de polinomios en el que el grado del

denominador es mayor que el del numerador, lo cual no es un resultado que pueda obtenerse de manera inmediata. En el caso contrario, basta con hacer la división entre polinomios que no necesariamente es fácil pero que conduce a generar una función racional entera. La integración de este tipo de expresiones diferencial a menudo requiere obtener fracciones racionales más simples para su integración. El teorema fundamental del álgebra es esencial en el desarrollo de métodos que tiendan a solucionar este tipo de problemas. Una expresión del teorema fundamental del álgebra es la siguiente: Teorema fundamental del álgebra. Cualquier polinomio con coeficientes reales de grado n tiene n raíces, las cuales son reales o complejas. En el caso de existir raíces reales siempre existen en pares, es decir, la raíz y su complejo conjugado. Sea construido un teorema que recoge los elementos del teorema fundamental del álgebra, este agrupa en las aplicaciones a la solución de integrales: Teorema: La integral de toda función racional en la que el denominador se puede descomponer en factores reales de primero y segundo grado puede solucionarse una vez que la función racional se expresa en sumas y restas de funciones elementales.

Fracciones parciales 1er caso. Todos los factores del denominador son de primer grado.Si no se repiten los factores la descomposición en fracciones parciales es de la forma:

Ejemplos resueltos en el caso que uno de los factores se repita n veces tendremos que desarrollar para ese caso una descomposición de la siguiente forma:

Ejercicios resueltos

Segundo caso. El denominador tiene factores de segundo grado. De acuerdo al teorema fundamental del álgebra, si los factores son de la forma

y además no se repiten, a todo factor corresponderá una fracción parcial de la forma:

Ejercicios resueltos Un caso particular es el análogo al caso lineal en el que llega a aparecer una raíz mas de una vez, en este caso pensar que un polinomio de segundo grado puede repetirse n veces, a lo cual corresponderá la suma de n fracciones parciales de la forma: