ACAP 5 FRACCIONES ALGEBRAICAS
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7/31/2019 ACAP 5 FRACCIONES ALGEBRAICAS
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CAPTULO 5FRACCIONESALGEBRAICAS
Nicols de Cusa (1401-1464)
C
ardenal alemn nacido en Cusa y fa-
llecido en Lodi (Italia). Ms fi lsofo quematemtico, a l se debe la crtica alos conceptos de la nocin de infinito: ...paraalcanzar el maximum y el minimum hay quetrascender la serie indefi nida de lo grande ylo pequeo, y entonces se descubre que el
maximum y el minimum coinciden en la idea de infi nito....
Nicols de Cusa vio que uno de los puntos dbiles del pensamiento escolsti-
co de la poca, en lo que se refi ere a la ciencia, haba sido su incapacidadpara medir, mientras que l pensaba que el conocimiento debera sustentarseen la medida. Sus teoras fi losfi cas neoplatnicas sobre la concordanciade los contrarios, le condujo a pensar que los mximos y los mnimos estnsiempre en relacin.
Nicols de Cusa (1401-1464)
ReseaHISTRICA
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EjemplosEJEMPLOS
Mximo comn divisor (MCD)
El mximo comn divisor de dos o ms expresiones algebraicas es el trmino o polinomio que divide exactamente a
todas y cada una de las expresiones dadas.
Regla para obtener el MCD:
Se obtiene el mximo comn divisor de los coeficientes. Se toman los factores (monomio o polinomio) de menor exponente que tengan en comn y se multiplican por
el mximo comn divisor de los coeficientes.
1Encuentra el mximo comn divisor de: 15x2y2z, 24xy2z, 36y4z2.
Solucin
Se obtiene el MCD de 15, 24 y 36
15 24 36 3
5 8 12
MCD = 3
Se toman los factores que tengan en comn y se escogen los de menor exponente, en este caso: y2, z
Finalmente, el mximo comn divisor: 3y2z
2 Obtn el MCD de los siguientes polinomios:4m2+ 8m 12, 2m2 6m+ 4, 6m2+ 18m 24;
Solucin
Se factorizan los polinomios:
4(m2+ 2m 3) = 4(m+ 3)(m 1)
2(m2 3m+ 2) = 2(m 2)(m 1)
6(m2+ 3m 4) = 6(m+ 4)(m 1)
Se obtiene el MCD de 4, 2 y 6
4 2 6 2
2 1 3
El MCD de los coeficientes 2, 4 y 6 es 2.
El MCD de los factores es m 1
Por tanto, el MCD de los polinomios es: 2(m 1)
Mnimo comn mltiplo (mcm)
El mnimo comn mltiplo de dos o ms expresiones algebraicas es el trmino algebraico que se divide por todas y
cada una de las expresiones dadas.
Regla para obtener el mnimo comn mltiplo:
Se obtiene el mcm de los coeficientes.
Se toman los factores que no se repiten y, de los que se repiten, el de mayor exponente, y se multiplican por el
mnimo comn mltiplo de los coeficientes.
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EjemplosEJEMPLOS
1Determina el mcm de las siguientes expresiones 15x2y2z; 24xy2z, 36y4z2.
Solucin
Se encuentra el mcm de 15, 24, 36
15 24 36 215 12 18 2
15 6 9 2
15 3 9 3
5 1 3 3
5 1 1 5
1 1 1
El mcm de los coeficiente 15, 24 y 36 es 360
Se toman todos los factores y se escogen los de mayor exponente en el caso de aquellos que sean comunes y, los
que no, se escriben igual.
x2y4z2
Finalmente, el mcm es 360 x2y4z2
2Encuentra el mcm de 4m2+ 8m 12; 2m2 6m+ 4; 6m2+ 18m 24.
Solucin
Se factorizan los polinomios y se escogen los factores:
4m2+ 8m 12 = 4(m2+ 2m 3) = 4(m+ 3)(m 1)
2m2 6m+ 4 = 2(m2 3m+ 2) = 2(m 2)(m 1)
6m2+ 18m 24 = 6(m2+ 3m 4) = 6(m+ 4)(m 1)
Se obtiene el mcm de los coeficientes de 4, 2 y 6
4 2 6 2
2 1 3 2
1 1 3 3
1 1 1
El mcm de 4, 2 y 6 es 12
El mcm de los factores es: (m+ 3)(m 2)(m+ 4)(m 1)
Por consiguiente, el mcm es: 12(m+ 3)(m 1)(m 2)(m+ 4)
EJERCICIO 52
Determina el mximo comn divisor y el mnimo comn mltiplo de las siguientes expresiones:
1. 35x2y3z4; 42x2y4z4; 70x2y5z2
2. 72m3y4; 96m2y2; 120m4y5
3. 4x2y; 8x3y2, 2x2yz; 10xy3z2
4. 39a2bc; 52ab2c; 78abc2
mcm = 23 32 5 = 360
mcm = 22 3 = 12
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EjemplosEJEMPLOS
5. 60m2nx; 75m4n
x+ 2; 105mnx+1
6. 22xay
b; 33x
a+ 2yb+ 1; 44x
a+ 1yb+ 2
7. 18a2(x 1)
3; 24a4(x 1)
2; 30a5(x 1)
4
8. 27(ab)(x+y)2; 45(ab)2(x+y)
9. 24(2x+ 1)2(x 7); 30(x+ 8)(x 7); 36(2x+ 1)(x+ 8)2
10. 38(a3+a3b); 57a(1 +b)2; 76a4(1 +b)3
11. xy+y; x2+x
12. m3 1; m2 1
13. m2+mn; mn+n2; m3+m2n
14. x2y2; x2 2xy+y2
15. 3x
2
6x; x
3
4x; x
2
y
2xy; x
2
x
216. 3a2a; 27a3 1; 9a2 6a+ 1
17. m2 2m 8; m2m 12; m3 9m2+ 20m
18. 2a3 2a2; 3a2 3a; 4a3 4a2
19. 12b2+ 8b+ 1; 2b2 5b 3
20. y3 2y2 5y+ 6; 2y3 5y2 6y+ 9; 2y2 5y 3
Verifica tus resultados en la seccin de soluciones correspondiente
Simplificacin de fracciones algebraicas
Una fraccin algebraica contiene literales y se simplifica al factorizar al numerador y al denominador y al dividir
aquellos factores que se encuentren en ambas posiciones, como a continuacin se ejemplifica.
1Simplifica la siguiente expresin:
8 12
8
2
2
a ab
a
+.
Solucin
Se factorizan tanto el numerador como el denominador.
8 12
8
2
2
a ab
a
+=
4 2 3
2 4
a a b
a a
( ) +( )( )( )
Una vez factorizados los elementos de la fraccin, se observa que en ambos se encuentra la expresin (4a) la cual
se procede al simplificar
4 2 3
2 4
a a b
a a
( ) +( )( )( )
=2 3
2
a b
a
+
2Simplifica la siguiente expresin:
3
15 12 2m
m m.
Solucin
Se factorizan el numerador y el denominador, simplificando el trmino que se repite en ambos (3m)
3
15 12 2m
m m=
1 3
3 5 4
m
m m
( )( ) ( )
=1
5 4 m
-
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3Simplifica la siguiente expresin:
6 12
4
2 2
2 2
x y xy
x y
.
Solucin
Se factorizan tanto el numerador como el denominador.
6 12
4
2 2
2 2
x y xy
x y
=6 2
2 2
xy x y
x y x y
( )
+( ) ( )Una vez factorizados los elementos de la fraccin, se observa que en ambos se encuentra la expresin (x 2y) la
cual se procede a simplificar
6 2
2 2
xy x y
x y x y
( )+( ) ( )
=6
2
xy
x y+
4Simplifica
x x
x ax x a
2
2
6 9
3 3
++
.
Solucin
Se factorizan tanto numerador como denominador
x x
x ax x a
2
2
6 9
3 3
++
=x
x x a x a
( )+( ) +( )
3
3
2
=( )x
x x a
( ) +( )
3
3
2
En esta fraccin el elemento que se repite en el numerador y denominador es (x 3), entonces se realiza la sim-
plificacin
( )x
x x a
( ) +( )3
3
2
=x
x a+
3
5Simplifica la siguiente expresin:
9
6
3
4 3 2
x x
x x x
.
Solucin
Se factorizan tanto numerador como denominador
96
3
4 3 2x xx x x =
x x
x x x
9
6
2
2 2
( ) ( )
=x x x
x x x
3 3
3 22 +( ) ( )( ) +( )
Los factores que se repiten son (x) y (x 3)
x x x
x x x
3 3
3 22+( ) ( )( ) +( )
=3 1
2
+( ) ( )+( )
x
x x=
++( )
x
x x
3
2
6Simplifica la siguiente expresin:
12 37 2 3
20 51 26 3
2 3
2 3
+ + + +
x x x
x x x.
Solucin
Se factorizan tanto numerador como denominador
12 37 2 3
20 51 26 3
2 3
2 3
+ + + +
x x x
x x x=
( ) +( ) +( ) ( )( ) +( ) ( )
1 3 1 3 4
5 3 1 4
x x x
x x x
Los factores que se repiten en el numerador y denominador (3x+ 1) y (x 4), se dividen, obtenindose la simpli-
ficacin de la fraccin
12 37 2 3
20 51 26 3
2 3
2 3
+ + + +
x x x
x x x =
( ) +( )( )
1 3
5
x
x =+
x
x
3
5
-
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EjemplosEJEMPLOS
EJERCICIO 53
Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:
1.2 2
3
2
2
a ab
a b
+16.
y x
y xy x
3 3
2 2
27
6
2.6
3 6
3 2
2 2
a b
a b ab17.
x
x x x
3
3 2
1
2
3.4 12
8
2
2
a a
a
+18.
x x y xy y
x xy y
3 2 2 3
3 2 3
3 3
3 2
+ +
4.6 18 24
15 9
3 2
2
m m m
m m
19.3 3
3 32 2 2 2ax bx ay by
by bx ay ax
+ +
5.m n m n
n m
3 2 2
2 2
20.a ab ad bd
a b ab
2
2 22 2
+ +
6. 4 122 2 12
2
3 2x x
x x x
21. y y y
ay ay y y
3 2
2 26
3 9 2 6+
+ + +
7.x xy y
y xy x
2 2
2 2
3 10
5 4
+
22.3 32x xy
yz xz yw xw
+
8.x x
x
2
2
7 78
36
+
23.w w
x wx y wy
2 2+ +
9.n n
n n
2
2
5 6
2 3
+
24.p p p
p p p
+
+
1
2 2
3 2
3 2
10.2 6
3 5 2
2 2
2 2
x xy y
x xy y
25.2 2
2 2
3 2 2 2
2 2 3 2
a ab a b
ab b a a
+ +
11. +
x x y x y
x x y xy
4 3 2 2
3 2 2
3 2
5 426.
x x x
x x x
3 2
3 2
2 2
4 6
+ + +
12.3 10 8
6
2 2
2 2
x xy y
x xy y
+ +
27.x x x
x x x
3 2
3 2
4 6
14 24
+ + +
13. ab m ab mn ab nabm abn
2 2 2 2 2
2 22 +
28. y y y
y y y
3 2
3 29 26 245 2 24
+ +
14.8
2 8
3
2
+
x
x x29.
y y y
y y y
( ) +( )( ) ( )
1 8 16
4 1
2
2 2
15.x y
x y
3 3
2 2
+
30.a a a
a a
( ) + ( ) ( )
2 12
2 3
2 2
2( )
Verifica tus resultados en la seccin de soluciones correspondiente
Suma y resta de fracciones con denominador comn
1Determina el resultado de
2 3 42
2
2
2
a a b
a b
a a b
a b
+
+.
Solucin
Se simplifica cada fraccin, si es posible.
2 2 22
2 2
a a b
a b
a ab
a b
ab
ab
= ( ) = ;
3 4 3 4 3 42
2 2
a a b
a b
a ab
a b
ab
ab
+ = +( ) = +
-
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EjemplosEJEMPLOS
Se suman las nuevas expresiones.
2 3 4+
+abab
ab
ab
Como los denominadores son comunes, en la fraccin resultante slo se reducen los numeradores y el denominador
permanece igual.
2 3 4 + +abab
abab
=2 3 4 + +ab abab
=5 3+ abab
2Encuentra el resultado de
2
2
5 5
2 2
m n
m n
m n
m n
n m
m n
+
+
+
.
Solucin
En este caso ningn sumando se puede simplificar, entonces el comn denominador es 2mn, y slo se reducen los
numeradores.
22
5 52 2
m nm n
m nm n
n mm n
+ + + =2 5 5
2m n m n n m
m n+ + +
=6 32m nm n
=3 2
2m n
m n( )
= 3
EJERCICIO 54
Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:
1.2 7
8
6
8
2
2
2
2
x x
x
x x
x
+
+4.
7 6
4
12 3
4
2 2m m
mn
m m
mn
+
7.
12 5
22
6
22
2 2x x
x
x x
x
++
+
2.1 7 22 2
a
a
a
a5.
35 7
5
15 3
52 2n
n n
n
n n
8.13
3 2
5 3
3 2
3 6
3 2
x y
x y
x y
x y
x y
x y
+
+
3.7 1
10
8 4
10
n
n
n
n
+
6.
11 14
6
2
6
2
2
2
2
y y
y
y y
y
+9.
6 5
8 2
6
8 2
3
8 2
a b
a b
a b
a b
a b
a b
+
+
+
Verifica tus resultados en la seccin de soluciones correspondiente
Suma y resta de fracciones con denominadores diferentes
1Efecta la siguiente operacin:
3
2
5
42 2x
y
y
x+ .
Solucin
Se obtiene el mnimo comn mltiplo de los denominadores y se realizan las operaciones correspondientes.
3
2
5
42 2x
y
y
x+ =
3 2 5
4
2 2
2 2
x x y y
x y
( ) + ( )=
6 5
4
3 3
2 2
x y
x y
+
2Realiza la siguiente operacin y simplificar al mximo:
1 1
x h x+ .
Solucin
Se obtiene el comn denominador de los denominadores x+h y x, posteriormente se procede a realizar la dife-
rencia de fracciones
1 1
x h x+ =
x x h
x x h
+( )+( )
=x x h
x x h
+( )
=
+( )h
x x h
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3Efecta
3
6 9
4
32x
x x x ++
.
Solucin
Se obtiene el mnimo comn mltiplo de los denominadores y se efectan las operaciones:
3
3
4
32
x
x x( )+
=
3 1 4 3
3 2
x x
x
( ) + ( )
( )=
3 4 12
3 2
x x
x
+
( )=
7 12
3 2
x
x
( )
4Realiza la siguiente operacin:
1
1
1
12 2
x h x+( )
.
Solucin
Se determina el comn denominador, ste se divide por cada uno de los denominadores y el resultado se multiplica
por su numerador, los productos se reducen al mximo.
1
1
1
12 2x h x+( )
=
1
2 1
1
12 2 2x xh h x+ +
=
1 1 1 2 1
2 1 1
2 2 2
2 2 2
x x xh h
x xh h x
( ) + + ( )+ + ( ) ( )
=x x xh h
x xh h x
2 2 2
2 2 2
1 2 1
2 1 1
++ + ( ) ( )
=
+ + ( ) ( )2
2 1 1
2
2 2 2
xh h
x xh h x
5Simplifica la siguiente operacin:
x
x
x2
21
2
21
2
1
1
+( )+ +( ) .
Solucin
A los enteros se les coloca la unidad como denominador:
x
x
x2
21
2
21
2
1
1
+( )+ +( ) =
x
x
x2
21
2
21
2
1
1
1+( )
++( )
Luego, el comn denominador es x21
21+( ) , por tanto
x
x
x2
21
2
21
2
1
1
+( )+ +( ) =
x
x
x2
21
2
21
2
1
1
1+( )
++( )
=x x x
x
2 21
2 21
2
21
2
1 1 1
1
( ) + +( ) +( )
+( )se aplica la propiedad a
m an=a
m+n y se simplifica al mximo el numerador, entonces:
x x
x
2 21
2
1
2
21
2
1 1
1
( ) + +( )
+( )
+
=x x
x
2 2
21
2
1
1
+ +( )
+( )=
2 1
1
2
21
2
x
x
+
+( )
6Simplifica la siguiente operacin:
x
x
x3
32
3
31
3
1
1
( ) ( ) .
Solucin
El comn denominador de esta diferencia de fracciones es x32
31( ) , entonces:
x
xx
3
32
3
31
3
11
( ) ( ) =
x x
x
3 32
3
1
3
32
3
1
1
( )
( )
+
=
x x
x
3 3
32
3
1
1
( )
( )=
x x
x
3 3
32
3
1
1
+
( )=
1
132
3x ( )
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9Realiza y simplifica la operacin
a b
a ab b
a b
a ab b
a b
a ab b
+
+
+
++ +2 2 2 2 2 220
4
4 5
5
5 4..
Solucin
Se factorizan los denominadores:
a2ab 20b2= (a 5b)(a+ 4b)
a2 4ab 5b2= (a 5b)(a+b)
a2+ 5ab+ 4b2= (a+ 4b)(a+b)
La expresin con los denominadores factorizados es:
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a
+( ) +( )
+
( ) +( )+
++( )5 4
4
5
5
4 ++( )b
Se obtiene el mnimo comn mltiplo de los denominadores: (a 5b)(a+ 4b)(a+b)
Se resuelve la fraccin:
=a b a b a b a b a b a b
a b a
+( ) +( ) +( ) +( ) + ( ) +( )( )
4 4 5 5
5 ++( ) +( )4b a b
=a ab b a ab b a b
a b a b a
2 2 2 2 2 22 8 16 25
5 4
+ + + ( ) +( ) + bb( )
=a ab b
a b a b a b
2 26 40
5 4
( ) +( ) +( )
El numerador se factoriza, si es posible, para simplificar al mximo, entonces
=a b a b
a b a b a b
( ) +( )( ) +( ) +( )
10 4
5 4
=a b
a b a b
( ) +( )
10
5
EJERCICIO 55
Efecta y simplifica las siguientes operaciones algebraicas:
1.x
x
x
x
+
+24
5
107.
2
3
2
32 2x h x+( )
2.x
x
x
x
++
+12
2 3
38.
x h
x h
x
x
+( )
+( ) +
+
2
2
2
21 1
3.x
x
x
x
+
49
3
629.
6
9 32x
x
x
x+
+
4.2 5
6
6
4 2x
x
x
x
+
+10.
2
1
2
12x
x
x++
+
5.1
2
1
2x h x+ +
+11.
4
4 22x
x
x
x+
+
6.x h
x h
x
x
+ ++
+
1
1
1
112.
3
2 1
2
12 2x x x ++
-
7/31/2019 ACAP 5 FRACCIONES ALGEBRAICAS
11/19
EjemplosEJEMPLOS
13.7
6 9
1
92 2x
x x x+ ++
20.
2 8
2 2 12
5 6
2 8
2
2
2
2
x
x x
x x
x x
++
+
14. 2 2
3 2
1
3
2
2
3
x xx
x
( ) ( )
21.4 5
12
9
18 3
2
10 242 2 2x
x x x x x x
+
+
++ +
15. 12 13
1
3 21
2
5
2 12
x xx
x
+( )
+( )
22.1
2 11 15
6 7
3 7 6
19
6 11 102 2 2x x
x
x x x x+ ++
+
+
+
16.3 4
3 2
3 2
4
21
2
21
2
21
2
21
2
x x
x
x x
x
( )
+( )
+( )
( )23.
m n
m mn n m n
m
m n
+ +
+
++2 2
2
3 3
1 3
17. +( )
( )
( )
+( )
2 2
3 5
4 5
3 2
22
3
22
3
21
3
21
3
x x
x
x x
x
24.3 2
3 10
5
4 5
4
32 2 2 2 2x y
x xy y
x y
x xy y
x y
x xy
++
+
+ +
+ 22 2y
18.8 3 4 3
3 4 3
8 3 4 321
3
22
3
21
x x x
x x
x x x( ) +( )
( )
+( ) ( )33
22
33 4 3x x+( )25.
a b
a b
a b
a b
a ab b
a b
+
++
3 32
6 6
2 6
9 9
2 2
2 2
19.x
x x x x
++
+
1
12
12
5 242 226.
r s
s r
s
s r
r
s r
++
+
3 3 2
2 2
Verifica tus resultados en la seccin de soluciones correspondiente
Multiplicacin de fracciones algebraicas
Regla para multiplicar fracciones:
Descomponer en factores los elementos de las fracciones que se van a multiplicar.
Se simplifican aquellos trminos que sean comunes en el numerador y denominador de las fracciones que se
van a multiplicar.
Multiplicar todos los trminos restantes.
1Multiplica
2
3
6
4
5
2
2 2x
y
y
x
xy
y .
Solucin
Se realiza la multiplicacin de fracciones y se simplifica el resultado
23
64
52
6024
2 2 3 3
2xy
yx
xyy
x yxy
= = 52
2
x y
2Simplifica:
m m
m
m
m
2 9 18
5
5 25
5 15
+ +
+
.
Solucin
Se factoriza cada uno de los elementos
m m
m
m
m
2 9 18
5
5 25
5 15
+ +
+=
m m
m
m
m
+( ) +( )
( )
+( )
6 3
5
5 5
5 3
(contina)
-
7/31/2019 ACAP 5 FRACCIONES ALGEBRAICAS
12/19
(continuacin)
se procede a realizar la multiplicacin y la simplificacin
m m
m
m
m
+( ) +( )
( )+( )
6 3
5
5 5
5 3=
5 6 3 5
5 5 3
m m m
m m
+( ) +( ) ( )( ) +( )
=m+ 6
3Efecta y simplifica:
a a
a
a
a a
a
a
2
2
25 6
3 15
6
30
25
2 4 +
.
Solucin
a a
a
a
a a
a a( ) ( )( )
( ) +( )
+( ) ( )3 23 5
2 3
6 5
5 5
2(( )a
a a a a a
a a a=
( ) ( ) +( ) ( )( ) ( )23 2 2 3 5 5
3 5 6 ++( ) ( )5 2 2a
=
6 3 2 5 5
6 5 6 5 2
a a a a a
a a a a
( ) ( ) +( ) ( )( ) ( ) +( ) ( )
=a a
a
( )
3
6
Finalmente, el resultado de la multiplicacin esa a
a
( )
3
6=
a a
a
2 3
6
EJERCICIO 56
Efecta la multiplicacin de las fracciones algebraicas y simplifica:
1.4
7
14
5
5
7
2
3 4
2
3
a
x
x
b
b
a 11.
7 42
3 6
15 30
14 84
2
2 2
x x
x x
x
x x
+
+
2.5 2 3
102x
x
y
y 12.
x x
x x
x x
x x
2
2
2
2
6
5 6
2 3
4 5
+ +
3.3
10
5
14
7
62
4
2
x
y
y
ab
a
x 13.
x x
x x
x x
x x
2
2
2
2
10 24
30
2 48
12 32
++
+
4. 165
104
23
2
2
3
3
2aba x
xb
abx
14. 8 10 34 4 1
6 19 9 4
2
2
2
2
x xx x
x xx x
+ ++ +
+ +
5.3
4 2
2
3
2 2
2 3
x
b
b
y
y
x 15.
x x
x x
x x
x x
2
2
2
2
3 4
7 12
5 6
3 18
+
+ +
6.5 25
14
7 7
10 50
m m
m
+
++
16.x x
x x
x x
x x
2
2
2
2
9 18
2 9 9
2 7 6
4 9 2
+ ++ +
+ ++ +
7.
b b
b
b
b
b
b b
2 2
2
5 6
3 15
25
2 4
6
30
+
17.
x x x
x x
x x
x x
3 2
2
2
2
2 3
4 8 3
2 3+ + +
+
8.2 2
2 2 1
3 2
2
3
2 2
m mn
mx mx
x
x
x x
m x n x
+
+
+
18.x
a
a a
x x
3
3
2
2
27
1
1
3 9
+ +
+ +
9.14 21
24 16
12 8
42 63
2x x
x
x
x
19.x x
x x
x
x
x x
x
2
2 2
25 6
4 4
8 8
9
5
2
+ ++
+
+
10.30 18
6 5
42 35
60 36
3 2
3 2
x x
x x
x
x
+
+
20.2 5 3
2 8
4 4
6 5 1
3 11 42
2
2
2
2
2
n n
n n
n n
n n
n n
n
+
+ +
+
+
++ +5 6n
Verifica tus resultados en la seccin de soluciones correspondiente
-
7/31/2019 ACAP 5 FRACCIONES ALGEBRAICAS
13/19
EjemplosEJEMPLOS
Divisin de fracciones algebraicas
Regla para dividir fracciones:
Primero se multiplica el numerador de la primera fraccin por el denominador de la segunda, de lo que re-
sulta el numerador de la fraccin solucin; el denominador de la fraccin solucin se obtiene al multiplicar
el denominador de la primera fraccin por el numerador de la segunda. De preferencia los productos se dejan
indicados.
Se simplifican los trminos o factores que sean comunes, en el numerador y denominador, de las fracciones
que se van a multiplicar.
Se multiplican todos los trminos restantes.
1
Realiza la siguiente divisin:m
n
m
n
2
2 3
3
2 .
Solucin
Se efectan los productos cruzados y se simplifica la expresin
m
n
m
n
2
2 33
2 =
m n
n m
2 3
23 2
( )( )( )
=m n
mn
2 3
26=
mn
6
2Simplifica la siguiente divisin:
3
1
1
2
22
2
x
x
x
x
+( )
+( )
.
Solucin
Se realiza el producto de medios por medios y extremos por extremos, para despus simplificar al mximo.
3
1
1
2
2 2
2
x
xx
x
+( )
+( )
=3 1
1
2 2
2 2x x
x x+( )
+( )= 3
12x
x +
3Realiza el siguiente cociente y simplifica:
a a
a a
a a
a
3
2
2
2 6
5 5
2 6
+
+
.
Solucin
Se factorizan todos los elementos y se procede a efectuar la simplificacin.
a a
a a
a a
a
3
2
2
2 6
5 5
2 6
+
+
=a a a
a a
a a
a
( ) +( )+( )
( )
+( )1 1
2 3
5 1
2 3=
a a a a
a a a a
( ) +( )( ) +( )( )( ) ( ) +( )
1 1 2 3
2 5 1 3=
a
a
+15
4Simplifica la siguiente operacin:
1
1
1
21
2
2
x
x
+( )
+( )(contina)
-
7/31/2019 ACAP 5 FRACCIONES ALGEBRAICAS
14/19
(continuacin)
Solucin
En este caso se tiene una fraccin sobre un entero, al que se le agrega la unidad como denominador, para despus
realizar el producto de medios y extremos, entonces:
1
11
21
2
2xx
+( )+( )
=
1
11
1
21
2
2xx
+( )+( )
= 1
121
21
x +( )+
= 1
123
2x +( )
5Resuelve la siguiente divisin:
4
2
6 7 2
3 5 2
2 2
2 2
2 2
2 2
x y
x xy y
x xy y
x xy y
+
+ ++ +
.
Solucin
Se factoriza cada uno de los factores y se procede a realizar la divisin
4
2
6 7 2
3 5 2
2 2
2 2
2 2
2 2
x y
x xy y
x xy y
x xy y
+
+ ++ +
=2 2
2
3 2 2
3 2
x y x y
x y x y
x y x y
x y
+( ) ( )( ) +( )
+( ) +( )+( )) +( )x y
=2 2 3 2
2 3 2 2
x y x y x y x y
x y x y x y
+( ) ( ) +( ) +( )( ) +( ) +( ) xx y+( )
= 1
6Efecta y simplifica la siguiente operacin: x
xx
x+ +
+
42
11
9
1.
Solucin
Se resuelven las operaciones dentro de los parntesis:
xx
xx
+ ++
42
11
9
1=
x x
x
x x
x
2 25 4 2
1
2 1 9
1
+ + ++
+
=x x
x
x x
x
2 25 6
1
2 8
1
+ ++
Se factorizan los polinomios resultantes y se resuelve la divisin:
x x
x
x x
x
+( ) +( )+
( ) +( )
3 2
1
4 2
1= x x x
x x x
+( ) +( ) ( )+( ) ( ) +( )
3 2 1
1 4 2= x x
x x
+( ) ( )+( ) ( )
3 1
1 4=
x x
x x
2
2
2 3
3 4
+
EJERCICIO 57
Realiza las siguientes operaciones y simplifica al mximo:
1.2 8
3
3
2
5
3
x
y
x
y 3.
6
2 3
2
2 3
2
3
4
x
x
x
x
+( )
+( )
2.12
15
4
5
4 5
6 3
2
2 3
a b
x y
a b
x y
4.
12
2 1
2
2 1
5
31
3
2
32
3
x
x
x
x
+( )
+( )
-
7/31/2019 ACAP 5 FRACCIONES ALGEBRAICAS
15/19
EjemplosEJEMPLOS
5.
4
3 3
3
2
2
2 2
x
x xy
x
x y
14.
x x
x x
x x
x
3
3
2
121
49
11
7
+
6.
x x
x x
x x
x x
3
2
3 2
2 2 1
+
+ 15.
x
x
x x x
x x
3
2
3 2
2
125
64
5 25
56
+
++
7.x
x x
x x
x x
2
2
2
2
9
2 3
6 27
10 9
+
+ +
16.
a a
a a
a a
a a
2
3 2
2
2
6
3
3 54
9
+
+ +
8.x x
x x
x x
x x
2
2
2
2
7 10
6 5
5 14
8 7
+
+
+
+ +17.
15 7 2
25
6 13 6
25 10 1
2
3
2
2
x x
x x
x x
x x
+
+ +
+ +
9.x x
x x
x x
x x
2
2
2
2
4 3
6 9
12 32
3 40
+ +
+ ++
18. 1 12
++
+
a
a b
a
b
10.4 23 6
3 14 8
4 25 6
30
2
2
2
2
x x
x x
x x
x x
+
+ ++
19. xx
xx
++
++
2
3
3
4
11.6 5 1
12 1
4 8 5
8 6 1
2
2
2
2
x x
x x
x x
x x
+
+ +
20. nn
nn
n
n
+
+
2 1
21
12
2
12.x
x x x
x x
x
2
3 2
2
3
16
3 9
12
27
+
+21. a b
b
a b
b
a b+ +
+
2
1
13.8 2 3
16 9
4 1
4 3
2
3
2
2
x x
x x
x
x x
+22. 1
1
2
1
13
+
+
x
xx
Verifica tus resultados en la seccin de soluciones correspondiente
Combinacin de operaciones con fracciones
La simplificacin de este tipo de operaciones, en las que se combinan operaciones bsicas, se basa en la jerarquizacin
de operaciones de izquierda a derecha, como sigue:
Divisiones y productos
Sumas y restas
1Efecta y simplifica la siguiente fraccin algebraica
x x
x x
x x
x x
x x
x x
2
2
2
2
2
2
2
4 3
2 3
2 1
2 8
2 7 4
++ +
+
Solucin
Se factoriza cada uno de los polinomios de la expresin
x x
x x
x x
x x
x x
x x
2
2
2
2
2
2
2
4 3
2 3
2 1
2 8
2 7 4
+
+ +
+
=
x x
x x
x x
x x
x+( )
+( ) +( )
+( ) ( )
+( ) ( )
(23 1
3 1
2 1 1
4)) +( )
+( ) ( )
x
x x
2
2 1 4
(contina)
-
7/31/2019 ACAP 5 FRACCIONES ALGEBRAICAS
16/19
(continuacin)
Se realiza el producto
x x
x x
x x
x x
+( )+( ) +( )
+( ) ( )+( ) ( )
2
3 1
3 1
2 1 1=
x x x x
x x x x
+( ) +( ) ( )+( ) +( ) +( ) ( )
2 3 1
3 1 2 1 1=
x x
x x
+( )+( ) +( )
2
1 2 1
Por ltimo, se realiza la divisin y se simplifica al mximo:
x x
x x
x x
x x
+( )+( ) +( )
( ) +( )+( ) ( )
2
1 2 1
4 2
2 1 4=
x x x x
x x x x
+( ) +( ) ( )+( ) +( ) ( ) +( )
2 2 1 4
1 2 1 4 2=
x
x+1
2Realiza y simplifica la siguiente fraccin:
x x
x x
x x
x x
x
x
2
2
2
2
6 5
5 6
3 10
4 5 1
+ ++ +
+
Solucin
Se factorizan las expresiones y se aplica la jerarqua de las operaciones
x x
x x
x x
x x
x+( ) +( )+( ) +( )
( ) +( )( ) +( )
5 1
3 2
5 2
5 1 xx+1=
x x x x
x x x x
x
x
+( ) +( ) ( ) +( )+( ) +( ) ( ) +( )
5 1 5 2
3 2 5 1 ++1
=x
x
x
x
++
+
5
3 1=
x x x x
x x
+( ) +( ) +( )+( ) +( )
5 1 3
3 1
=x x x x
x x
2 26 5 3
3 1
+ + +( ) +( )
=3 5
3 1
x
x x
++( ) +( )
EJERCICIO 58
Efecta y simplifica las siguientes expresiones:
1.x x
x
x x
x x
x x
x
2
2
2
2
212
49
56
20
5 24
5
+
+
2.a a
a a
a
a
a a
a a
2
2
2
3
2
2
8 7
11 30
36
1
42
4 5
+ +
3.6 7 3
1
4 12 9
1
2 3
3 2 1
2
2
2
2
2
2
a a
a
a a
a
a a
a a
+
4.
2 5 2
4 16
2
64
2 9 4
1
2
2 3
3 2t t
t t
t
t
t t t
t
+ + +
++
+ +
+
5.2
3
3 3
2 8
2
12
2
2x
x
x x
x x
x+
+
+
6.3 3
3 8 4
2 8
5 4
2
2 1
2
2
2
2
x x
x x
x x
x x
x
x
+ +
+ + +
7. 6 122 3 9
2 5 2
2 5 3
3
1
2
2
2
2
x x
x x
x x
x x x
+ +
+
+
4 2 22 20 100 100
-
7/31/2019 ACAP 5 FRACCIONES ALGEBRAICAS
17/19
E
jemplosEJEMPLOS
8.x x
x x
x x
x x x
x
x
4
2
2
3 2
227
7 30
20 100
3 9
100+
+ ++ +
33
9.8 10 3
6 13 6
4 9
3 2
8 14 3
9
2
2
2
2
2
2
x x
x x
x
x x
x x
x
+ +
+
+ +++ +12 4x
10.x x
x x
x x
x x
x x
x x
2
2
2
2
2
2
12
2
6 8
3 10
3 2
2
+
+
+
115
11.x x
x x
x x
x
x x
x x
2
2
2
2
2
2
2
5 6
3
1
2 4
6
+ + +
+
+
+
12.x x
x x
x x
x x
x x
x x
x3 2
3
2
2
2
2
25
25
3
5 6
3 4
6 8
+
+ ++
+ + +
+x
x x
6
6 52
Verifica tus resultados en la seccin de soluciones correspondiente
Fracciones complejas
En una fraccin compleja el numerador y el denominador se conforman por operaciones algebraicas.
1Simplifica la expresin m
m
nn
n+
1.
Solucin
Se realizan las operaciones dentro de los parntesis,
mm
nn
n+
1=
mn m
n
n
n
+
2 1
se resuelve la divisin y se simplifica al mximo:
n mn m
n n
+( )
( )2
1
=nm n
n n n
+( )
+( ) ( )
1
1 1
=m
n 1
2Realiza y simplifica la fraccin
yy
yy
+
+ +
15
3
535
3
.
Solucin
Se resuelve tanto el numerador como el denominador y se factorizan los polinomios resultantes, si es posible
yy
yy
+
+ +
15
3
535
3
=
y y
y
y y
y
( ) +( ) +
+( ) +( ) +
1 3 5
3
5 3 35
3
=
y y
y
y y
y
2
2
2 3 5
3
8 15 35
3
+ +
+ + +
=
y y
y
y y
y
2
2
2 8
3
8 20
3
+ +
+ +
=
y y
y
y y
y
+( ) ( )+
+( ) ( )
+
4 2
3
10 2
3(contina)
(continuacin)
-
7/31/2019 ACAP 5 FRACCIONES ALGEBRAICAS
18/19
(continuacin)
Se dividen las fracciones y se simplifica al mximo
=y y y
y y y
+( ) +( ) ( )+( ) +( ) ( )
3 4 2
3 10 2=
y
y
++
4
10
3 Efecta y simplifica:b
bb
bb
b
+
+
+
1
22
2
1
2 .
Solucin
Se eligen las operaciones secundarias y se reducen hasta simplificar la fraccin al mximo:
b
b
b
bb
b
+ +
+
1
2
2
2
1
2=
b
b
b
b b b
b
+ +
+( ) ( )+
1
2
2
1 2
1
2=
b
b
b
b b b
b
+ +
+ ++
1
2
2
2
1
2
2
=b
b
b
b
b
+ +++
1
2
2
2
1
2
2
= b
bb b
b
+ +( ) +( )
+
1
21 2
2
2
2
=b
b b
+ +
1
2 1( )=
b 11
=b 1
4
Simplifica la siguiente expresin:
x
x
x
x
x
( )
+( )
+( )
( )
2
2 2
2
2 2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
Solucin
Se resuelve la parte superior de la fraccin principal
x
x
x
x
( )
+( ) +( )
( )
2
2 2
2
2 2
1
2
1
2
1
2
1
2
=x x
x x
( ) +( )
+( ) ( )
+ +2 2
2 2 2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
=x x
x x
( ) +( )
+( ) ( )
2 2
2 2 21
2
1
2
=
+( ) ( )
4
2 2 21
2
1
2x x
=
+( ) ( )
2
2 21
2
1
2x x
Luego, la fraccin original se escribe como:
x
x
x
x
x
( )
+( ) +( )
( )
2
2 2
2
2 2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
=
+( ) ( )
2
2 2
2
1
2
1
2x x
x=
+( ) ( )
2
2 2
2
1
1
2
1
2x x
x
Se realiza la divisin de fracciones y la simplificacin es:
+( ) ( )
2
2 2
1
2
3
2x x
EJERCICIO 59
-
7/31/2019 ACAP 5 FRACCIONES ALGEBRAICAS
19/19
EJERCICIO 59
Simplifica las siguientes fracciones complejas:
1.1
11
+x
9.
a bb
a b
a bb
a b
+
+
35
24
2
2
2.1
11
11
+
n
10.
1 12
2 2
x y
x
y
y
x
x
y
+ +
3. 11
2
1
31
+ y
11.
a bb
a ba b
b
a b
a
b
++
+ +
+
24
32
2
1
2 2
4.
mm
mm
+ +
43
45
12. 11
1
1
2
3
4
7
4
2 3
2
++
+
+
b
a b
a b
b
a b
5.y y
y
2 1
11
13.
2 3
2 1
1
2 2 3
2 3
1
2
12
1
2
12
x
x
x
x
x
+( )
+( )
+( )
+( )+
6.
1 1
1 1a b
a b
+
14.
2 5
5
5
21
2
3
21
2
2
x xx
x
x
( ) ( )
7.
xy
x yx y
x y
y
y
x
2 2 2
+
+
15.
3 1
3 1
3 1
3 1
3 1
1
3
2
3
1
3
2
3
2
3
x
x
x
x
x
( )
+( )
+( )
( )
( )
8.
17 12
16
2 +
n n
n
n
16.
5 1
3
10
3 5 1
5 1
21
3
2
3
4
3
22
3
22
3
x
x
x
x
x
+( )
+( )
+( )
Verifica tus resultados en la seccin de soluciones correspondiente
