Las fracciones1 Fracciones equivalentes

En las figuras:

La parte coloreada de azul es la misma, luego15

6

5

2

15

6

5

2

1 2 3 4 5 3 6 9 1215

Dos fracciones son equivalentes cuando valen lo mismo.

4,05

2

4,015

6

Dos fracciones son equivalentes si losproductos del numerador de cada una de ellaspor el denominador de la otra son iguales.

También podemos observar que: 2 · 15 = 5 · 6 15

6

5

2

Los productos cruzados son iguales

cbdad

c

b

a··

2 Distintos modos de escribir una fracción

Observa las partes coloreadas de azul de las fracciones que se representan:

2

16

3

4

2

Las fracciones6

3y

4

2son fracciones ampliadas de

2

1y equivalentes a ella.

Observa:

16

12

8

6

4

3

Las fracciones4

3y

8

6son fracciones reducidas de

16

12y equivalentes a ella

Es evidente que:4

3

4:16

4:12

8

6

2:16

2:12

16

12 Fracción irreducible:

no se puede reducir más.

Si multiplicamos o dividimos los términos de una fracción por un mismo número, la fracción obtenida es equivalente a la dada.

Son equivalentes:3

1

6:18

6:6

54

18

36

12

18

6 irreducible

3 Simplificación de fracciones

En la figuras siguientes, las partes coloreadas de azul son iguales. Las fracciones que representan son equivalentes.

16

12

8

6

Este proceso se denomina simplificación de fracciones.

Observa que:16

12

Ejemplo:5

3

40

24

400

240

8

6

2:16

2:12

4

3

4:16

4:12

4

3

16

12Hemos transformado la fracción en ,

4

3que es equivalente a ella e irreducible.

Simplificar una fracción es convertirla en otra equivalente e irreducible. Para ello se dividen los dos términos de la fracción por todos los divisores comunes de ambos.

Dividiendo por 8

Dividiendo por 10

3 y 5 son primos entre sí.

4 Reducción de fracciones a común denominador

Reducción de dos fracciones a común denominador:

Ejemplo:

5

2y

4

3Las fracciones:

20

15

4·5

3·5

4

3

20

8

4·5

4·2

5

2

Hemos multiplicado los dostérminos de cada fracción por

el denominador de la otra.20 es múltiplo de 4 y 5

Reducción de tres fracciones a común denominador:

Ejemplo:

4

3y

6

5 ,

3

172

24

3·(6·4)

1·(6·4)

3

1

72

60

)4·3·(6

)4·3·(5

6

5

Hemos multiplicado los dostérminos de cada fracción por

los denominadores de las otras.72 es múltiplo de 3, 6 y 4.

72

54

)6·3·(4

)6·3·(3

4

3

En general, para reducir varias fracciones a común denominador: se multiplican los dos términos de cada fracción por los denominadores de las demás.

5 Reducción de fracciones a mínimo común denominador

Las fracciones4

3y

6

5 ,

3

1son equivalentes a:

72

54y

72

60 ,

72

24

12

9y

12

10 ,

12

4reduciendo

El denominador 12 es el menor de los denominadores comunes, y coincide con el mínimo común múltiplo de 3, 6 y 4. Para calcular el mínimo común denominador de varias fracciones se procede como sigue: 1º. Se calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores.

2º. Los numeradores de cada fracción se multiplicarán por el cociente entre ese m.c.m. y los denominadores respectivos.

Veamos otro ejemplo:3

2y

12

5 ,

8

7Reducir a mínimo común denominador

1º Como 8 = 23, 12 = 3 · 22 y 3 = 3, el m.c.m. (8, 12, 3) = 23 · 3 = 24 2º. Dividimos 24 entre 8, 12 y 3:

24 : 8 = 3

24 : 12 = 2

24 : 3 = 8

24

21

24

3 · 7

8

7

3

24

10

24

2 · 5

12

5 2

24

16

24

8 · 2

3

2 8

6 Comparación de fracciones

Con el mismo denominador:

8

3 Si dos fracciones tienen elmismo denominador, es mayorla que tiene mayor numerador

8

5 8

3

8

5

5

4 Si dos fracciones tienen elmismo numerador, es mayor

la que tiene menor denominador7

4 7

4

5

4

Con el mismo numerador:

Con numeradores y denominadores distintos:

Comparamos:5

4y

6

5

Reducimos a común denominador:30

25

6

5

30

24

5

4

Como30

24

30

25

5

4

6

5

Para comparar dos fracciones cualquiera

se reducen a comúndenominador.

Será mayor la que tenganuevo mayor numerador.

7 Suma y resta de fracciones

Con el mismo denominador:

8

4

8

13

8

1

8

3

Con distinto denominador:

Se reducen antes a común denominador:

5

4

6

5

Para sumar o restar fracciones con distintodenominador, se reducena común denominador y

se suman o restan lasfracciones obtenidas.

Se han sumado los numeradoresSuma

5

1

5

34

5

3

5

4

Se han restado los numeradoresResta

Suma30

49

30

2425

30

24

30

25

3

2

8

7Resta

24

5

24

16-21

24

16

24

21

8

1

8

3

1/55

3

5

4

8 Suma y resta de fracciones. Ejercicios 1 y 2

Ejercicio 111

6

11

8

11

7

Para sumarlas hay que reducirlas a común denominador:

Calcula:

10

7

5

4

9

2

Como tienen el mismo denominador, para operar se suman o restan los numeradores.

11

9

11

687

11

6

11

8

11

7

Ejercicio 2 Calcula:

Como 9 = 32, 5 = 5 y 10 = 2 · 5, el m.c.m (9, 5, 10) = 32 · 2 · 5 = 90.

Luego:

90

9 · 7

90

18 · 4

90

10 · 2

10

7

5

4

9

2

90

29

90

637220

90

63

90

72

90

20

90 : 9 = 1090 : 5 = 18

90 : 10 = 9

El numerador será el mismo.

Luego:

Observa que cada numerador se multiplica por el cociente entre el m.c.m

(90) y los denominadores respectivos

9 Suma y resta de fracciones. Ejercicio 3

Ejercicio 3

Por tanto:

13860 : 11 = 1260

Escritos en factores: 11 = 11, 20 = 22 · 5, 9 = 32 y 35 = 5 · 7

13860

·17

13860

·5

13860

·11

13860

·13

35

17

9

5

20

11

11

13

13860

9725

13860

67327700762316380

35

17

9

5

20

11

11

13 Calcula:

Calculamos el m.c.m de los denominadores:

Luego, m.c.m (11, 20, 9, 35) = 11· 22 · 5 · 32 · 7 = 13860

Observa:13860 : 20 = 693

13860 : 9 = 154013860 : 35 = 396

1260 693 3961540

Sumando o restando los numeradores, queda:

10 Suma de un número entero y una fracción

4

12

Para sumar un número entero y una fracción:1º. Se expresa el número entero como fracción, multiplicado y dividiendo porel denominador de la fracción.2º. Se suman como dos fracciones de igual denominador.

Tenemos dos cuadrados completos y un cuarto de otro:

2

+

4

1+

4

1+4

8

+

4

9=

Observa que:4

8

4

4 · 22

Otro ejemplo

8

125 Calcula: 8

13

8

125

8

25

8

1

8

24

8

1

8

8 · 3

11 Resta de un número entero y una fracción

7

51

Tenemos un rectángulo completo y deseamos quitarle cinco séptimos del mismo:

7

5

17

7

7

5

7

2

7

2

7

5

7

7

7

51 Luego:

Para restar un número entero y una fracción:1º. Se expresa el número entero como fracción, multiplicado y dividiendo porel denominador de la fracción.2º. Se restan como dos fracciones de igual denominador.

Otro ejemplo 32

9Calcula:

2

2 · 3

2

93

2

9

2

3

2

6

2

9

12 Fracción opuesta

Dada la fracción , ¿qué fracción sumada con ella da 0?7

4

Si se elige , la suma es:7

4

07

0

7

)4(4

7

4

7

4

Las fracciones y se dice que son fracciones opuestas.7

4

7

4

La fracción opuesta se obtiene cambiando de signo la fracción dada.

Dos fracciones son opuestas cuando su suma es 0.

13 Multiplicación de fracciones

Producto de una fracción por un número entero:

Producto de dos fracciones:

3por 8

2

x 3

8

2

8

2

8

2

8

6+ =+=

Para multiplicar una fracción por un número entero se multiplica elnumerador por ese número; el denominador se deja igual

8

3 · 23 ·

8

2

8

3 · 2

Cartulina

4

3

coloreamos

20

65

2recortamos

5 · 4

2 · 3

El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo:Numerador es el producto de los numeradores.Denominador es el producto de los denominadores.

14 Fracciones inversas

Observa: 16

6

2

3 ·

3

2 El producto

Lo mismo pasa con los productos:7

4 ·

4

7

1

5 ·

5

1

128

28

7 · 4

4 · 7

15

5

1 · 5

5 · 1

Todos los pares de fracciones dadas son inversas.

Dos fracciones son inversas cuando su producto es igual a la unidad.

Habrás observado que para hallar la inversa de una fracción basta con intercambiar sus términos (con darles la “vuelta”).

Así, la inversa de 9

4 será

4

9

Ejercicio14

6 a)

21

9 b)

7

4 c) ?

3

7 ¿Cuál de las siguientes fracciones es inversa de

,142

42

14

6 ·

3

7 Como a) las dos fracciones son inversas.

.163

63

21

9 ·

3

7 b) Ambas fracciones son inversas.

Observa que las fracciones

7

3y

21

9 ,

14

6

son equivalentes,1

21

28

7

4 ·

3

7 Como c) las fracciones no son inversas.

15 División de fracciones (I)

Contesta:

Por lo mismo:

¿Qué número multiplicado por 8 da 24? ? · 8 = 24 ? = 3

Observa que: ? · 8 = 24 ? = 24 : 8

Está multiplicando Pasa dividiendo

? = 3

11

3

5

2 ·

?

? ?

?es equivalente a

5

2 :

11

3

?

? ?

?

Luego, multiplicar por una fracción equivale a dividir por su inversa. Y viceversa: dividir por una fracción equivale a multiplicar por su inversa.

Por tanto:5

2 :

11

3

?

? ?

? 11

3

5

2 ·

?

? ?

? 11

3

5

2 ·

?

? ?

? 2

5 ·

2

5 ·

22

15 1 ·

?

? ?

?En definitiva:

22

15

?

? ?

?

16 División de fracciones (II)

Para hallar el cociente de dos fracciones se multiplica la primera por la fracción inversa de la segunda.

Hemos visto que:5

2 :

11

3

?

? ?

?

Luego:

22

15

2

5 ·

11

3

?

? ?

?

Por tanto:22

15

2 · 11

5 · 3

2

5 ·

11

3

5

2 :

11

3

O bien:5

2 :

11

3

22

15

2 · 11

5 · 3

Ejemplo:7

6 :

5

3

30

21

6

7 ·

5

3

El producto cruzadoes más rápido

7

6 :

5

3

30

21

6 · 5

7 · 3 Utilizando el producto cruzado:

inversas

inversas