Fracciones 01

DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES FACULTAD DE CIENCIAS E

INGENIERÍA E.P. de: INGENIERÍA DE SISTEMAS E

INFORMÁTICA

ÁREA: MATEMÁTICA MATEMÁTICA APLICADA CICLO: I

Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo E_MAIL. [email protected]

E_MAIL. [email protected] Web: http://migueltarazonagiraldo.com/ 999685938

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TEMA: FRACCIONES SEMANA: 02

TURNO: NOCHE PABELLÓN: B AULA: 501 SEMESTETRE: 2017 - II

CONJUNTO DE NÚMEROS RACIONALES

NÚMEROS FRACCIONARIOS

En matemáticas, una fracción, número fraccionario, o quebrado es la expresión de una cantidad dividida entre otra cantidad; es decir que representa un cociente no efectuado de números. Por razones históricas también se les llama fracción común o fracción decimal. El conjunto matemático que contiene a las fracciones es el conjunto de los números racionales.

Notación

1

4

af

b

⟹ 1

4

Significado de una fracción. La fracción como partes de la unidad

El todo se toma como unidad. La fracc ión expresa un valor con relación a ese todo.

Ejemplo:

Un depósito contiene2

3de gasol ina

El todo es el depósito.

La unidad equivale a 3

3, en este

caso.

En general , el todo sería una fracc ión con el mismo número en e l numerador y el

denominador de la forma n

n.

2

3 de gasol ina expresa la relación existente

entre la gasol ina y la capacidad del depósito. De sus tres partes dos están ocupadas por gasolina.

Clasificación

I. Por comparación de sus términos Una fracci6n puede ser: Propia.- aquella cuyo valor es menor que la unidad. La condición necesaria y suficiente para que una fracción sea propia, es que el numerador sea menor que el denominador. D > N.

1N

fD

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En general: Si 1a

a bb

Ejemplo

Dos quintos 2

5 Ocho veinteavos

8

20

6 5 1 2

; ; ;7 9 3 7

Impropia.- aquella cuyo valor, es mayor que la unidad. La condición necesaria y suficiente para que una fracción sea impropia, es que el numerador sea mayor que el denominador. D < N.

1N

fD

En general: 1a

a bb

Ejemplo

Ocho tercios 8

3

Catorce cuartos 14

4

10 7 9 13

; ; ;3 4 2 7

Fracción igual a la unidad: aquella cuyo numerador y denominador son iguales.

1N

fD

En general: 1a

a bb

II. Por su denominador

Ordinaria o común.- Es aquella cuyo denominador es diferente de una potencia de 10.

, 10naf b

b

Ejemplo:

9 3 1, ,

4 11 2

Decimal.- Es aquella cuyo denominador es una potencia de 10.

, 10naf b

b

Ejemplo:

7 13 19, , , ...

10 100 1000

III. Por comparación de los denominadores

Pueden ser Homogénea.- Son aquellas cuyos denominadores son iguales.

Ejemplo:

3 2 1 5, , ,

4 4 4 4

2 5 1 3, , ,

7 7 7 7

Heterogénea.- Son aquellas con denominadores diferentes.

Ejemplo:

3 7 9, ,

5 9 11

3 4 2, ,

11 9 7






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Fracción Reductible o Equivalente.- Es aquella cuyo numerador y denominador tienen un divisor común diferente de la unidad, es decir se puede simplificar.

cbdad

c

b

a

Ejemplo

2 62 9 3 6

3 9

Ejemplo:

21

14 ⇒ Simplificando ⇒

3

2 ⇒

3

2

21

14

24

8⇒ Simplificando ⇒

3

1 ⇒

3

1

24

8

Fracción Irreductible.- Es aquella cuyos términos son primos entre sí. Ejemplo:

3

7,

9

4,

11

9,

7

5

Equimúltiplos.- Se dice que una fracción es equimúltiplo de otra cuando el numerador y el denominador de la primera contienen el mismo número de veces, al numerador y al denominador de la segunda, respectivamente.

Ejemplo:

16 1 16 1 16

32 2 32 2 16

Transformación de un número mixto a fracción

b a c ba

c c

Ejemplo:

Convertir 3

24 a fracción impropia.

3

24 =

3

14

3

212

3

2)34(

x

Fracción de fracción.- Se llama así a las partes consideradas de una fracci6n que se ha dividido en partes iguales. Así: 4/9 de 3/5, indica que la fracci6n 3/5 se ha dividido en 9 partes iguales, de las cuales se considera 4.

Nota: En operaciones con quebradas la palabra "de" debe entenderse como "por", pues se trata de una "fracci6n de fracción".






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Calcula 1

9 de

1

4.

Solución

1

9 de

1

4⇒

1 1 1

9 4 36x

MCD – MCM DE NÚMEROS FRACCIONARIOS

Máximo Común Divisor.- El MCD de varias fracciones

irreductibles es igual al MCD de los numeradores entre el MCM de los denominadores.

Mínimo Común Múltiplo.- El MCM de varias

fracciones irreductibles es igual a MCM de los numeradores entre el MCD de los denominadores.

Ejemplo 1: Hallar el MCD y MCM

de: 21 9 5

,8 16 6

y

MCD: 48

1

)6,16,8(MCM

)5,9,21(MCD

MCM: 2

315

)6,16,8(MCD

)5,9,21(MCM

Nota: Para resolver problemas que

involucren fracciones hay que tener en cuenta que en una fracción, el denominador indica en cuantas partes iguales hemos dividido la unidad y el numerador indica cuantas partes tomamos del total en que hemos dividido la unidad

Ejemplo

Calcular el MCM de:

150

32,

15

12

Ejemplo:

En una huerta de 400 m2 se han sembrado cuatro tipos de verduras: tomates, judías, pimientos y lechugas. Observando la figura, averigua el área dedicada al cultivo de cada verdura.

Solución

NÚMERO DECIMAL.- Es la expresión en forma

"lineal" de una fracción. Un número decimal consta de dos partes: la parte entera llamada característica y la parte decimal llamada mantisa.

4932parteentera

,

comadecimal

03216partedecimal

Clasificación

I. Exactos o limitados Se origina cuando el denominador de la fracción generatriz está compuesta por factores 2, por factores 5 ó por ambos.

0,75 = 100

75






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0,8 = 10

8

Su Transformación: La fracción que resulta tiene por numerador un número sin la coma y como denominador una potencia de 10, cuyo exponente será el número total de decimales.

II. Inexactos o Ilimitados

A. Periódicos Puro.- Se origina cuando el denominador de la fracción generatriz no contiene factores 2 ni 5.

0,aaa … = 0,a = 9

a

0,2121 … =

Su transformación: La fracción resultante tiene como numerador el período y como denominador tantos nueves como cifras tengan el período.

B. Periódicos Mixtos.- Se origina cuando el denominador de la fracción generatriz está compuesta por factores 2 y/o 5 y al menos un factor primo distinto a estos.

0,abbb… = 0,ab = 90

aab

0,3222... = ………………………

0,48383… = ………………………

Su transformación: La fracción tiene como numerador un número formado por el número sin la coma menos lo que está antes del período, y como denominador un número con tantos nueves como cifras tiene el período seguido de tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo.

Ejemplo

0,02333… = ………………………

1,333… = ………………………

3,24222… = ………………………

0,15 = ………………………

0,92 = ………………………

0,251 = ………………………

4,25 = ………………………

10,32 = ………………………

0,342 = ………………………

6,27 = ………………………

Aplicación:

Se tiene dos tanques 1; 2 Y 3 llaves: A y B ingresan agua al tanque 1 y C desagua el tanque 1 hacia el tanque 2. Si las capacidades son:

tanque 1 = 200 𝑚3

tanque 2 = 100 𝑚3

Velocidades de flujo de llaves:

3

1m

As

3

3m

Bs

3

2m

Cs

Cuando se llena el tanque 2 se cierra la llave C. Hallar el tiempo de llenado de ambos tanques.

Solución:

Por segundo el tanque (1) se llena con:

1 + 3 − 2 = 2 𝑚3 ; en este lapso, el tanque (2) se llena: 2 𝑚3

El tanque (2) se llenara al cabo de:






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3

3

10050

2

ms

m

s

Durante este tiempo el tanque (1) recibió:

50𝑥2 = 100𝑚3

Falta llenar: 100 m3 del tanque 1 y se derrama el desagüe C.

Entre A y B por segundo llenan:

3

1 3 4m

s

Se termina de llenar al cabo de:

100: 4 = 25𝑠

Por 10 tanto: A se llena en 25 + 50 = 75 𝑠

B se llena al cabo de 50𝑠

Rpta.: 75 𝑌 50 segundos.

Ejercicios de Aplicación

Aplicación 01: a) Encontrar un quebrado de denominador 84 que

sea mayor que1

7 pero menor que

1

6 .

b) Si se añade 5 unidades al denominador de 7

15. La

fracción aumenta o disminuye ¿en cuánto? a) aumenta en 7/60

b) aumenta en 9/60

c) disminuye en 1/60

d) disminuye en 7/60

e) se mantiene igual

Aplicación 02: a) Restar 1/3 𝑑𝑒 1/2; 1/4 𝑑𝑒 1/3 𝑦 1/5 𝑑𝑒 1/4 ; sumar dichas diferencias, multiplicar las mismas,

dividir la suma por el producto, hallar la tercera parte del cociente y extraer la raíz cuadrada del resultado. Entonces se obtiene. b) Simplificar:

3

1

4

32.

12

7

9

4

3

2

5

1

6

1

15

66

1

9

2

10

3

5

4.

8

3

a) 5/6 b) 21 c) 13/12 d) 45 e) N.A.

Aplicación 03: a) Calcular un número sabiendo que si a la cuarta parte de sus 2/5 se agrega los 2/5 de su 3/8 y se restan los 3/8 de su quinta parte, se obtiene 21. b) ¿Cuánto le falta a 2/3 para ser igual al cociente de

2/3 entre 3/4? a) 1/3 b) 1/6 c) 2/9

d) No le falta nada e) es mayor que el cociente

Aplicación 04: a) Hallar una fracción tal que si se le agrega su cuadrado, la suma que resulta es igual a la misma fracción multiplicada por 110/19. b) Si a los términos de 2/5 le aumentamos 2 números que suman 700, resulta una fracción equivalente a la original. ¿Cuáles son los números? a) 200 y 500 d) 100 y 600 b) 200 y 600

e) 250 y 450 c) 150 y 550

Aplicación 05: a) La distancia entre Lima y Trujillo es de 540 km. a los 2/3 de la carretera, a partir de Lima, está situada la ciudad de Casma, a la quinta parte de la distancia entre Lima y Casma, a partir de Lima, se encuentra la ciudad de Chancay. ¿Cuál es la distancia entre Chancay y Casma? b) A un alambre de 91 m. de longitud se le da 3 cortes de manera que la longitud de cada trozo es igual a la del inmediato anterior aumentado en su mitad. ¿Cuál es la longitud del trozo más grande? a) 43,10 m b) 25,20 m c) 37,80 m

d) 38,00 m e) 40,30 m

Aplicación 06:






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a) Los 3/8 de un poste están pintados de blanco, los 3/5 del resto de azul y el resto que mide 1,25 de rojo. ¿Cuál es la altura del poste y la medida de la parte pintada de blanco? b) Un cartero dejo 1/5 de las cartas que lleva en una oficina, los 3/8 en un banco, si aún le quedan 34 cartas para distribuir. ¿Cuántas cartas tenía para distribuir? a) 60 b) 70 c) 80 d) 90 e) N.A.

Aplicación 07: a) Sabiendo que perdí 2/3 de lo que no perdí, luego recupero 1/3 de lo que no recupero y entonces tengo S/. 42. ¿Cuánto me quedaría luego de perder 1/6 de lo que no logré recuperar? b) Un padre le pregunta a su hijo, ¿Cuánto gastó de

los S/. 1800 de propina que le dió? El hijo le responde: Gaste los 3/5 de lo que no gaste ¿Cuánto no gasto?

a) S/ 1115 b) 1125 c) 1130 d) 675 e) 775

Aplicación 08: a) Después de haber perdido sucesivamente los 3/8 de su fortuna, 1/9 del resto y los 5/12 del nuevo resto, una persona hereda 60 800 soles y de este modo la pérdida se reduce en la mitad de la fortuna primitiva. ¿Cuál es dicha fortuna? b) Un granjero reparte sus gallinas entre sus 4 hijos. El primero recibe la mitad de las gallinas, el segundo la cuarta parte, el tercero la quinta parte y el cuarto las 7 restantes. Las gallinas repartidas fueron: a) 80 b) 100 c) 140 d) 130 e) 240

Aplicación 09: a) De un tonel que contiene 320 litros de vino se sacan 80 litros que son reemplazados por agua. Se hace lo mismo con la mezcla por segunda y tercera vez. ¿Qué cantidad de vino queda en el tonel después de la tercera operación? b) De un tonel que contiene 320 litros de vino se sacan 1/8 y son reemplazados por agua. Se hace lo mismo con la mezcla por segunda y tercera vez. ¿Qué cantidad de vino queda en el tonel después de la tercera operación? a) 200 b) 214 c) 236 d) 284 e) N.A.

Aplicación 10: a) Los 3/4 de un tonel más 7 litros, son de petróleo y 1/3 menos 20 litros, son de agua. ¿Cuántos litros son de petróleo? b) Después de sacar de un tanque 1600 litros de agua, el nivel de la misma descendió de 2/5 a 1/3. ¿Cuántos litros había que añadir para llenar el tanque? a) 32 000 b) 48 000 c) 24 000

d) 16 000 e) N.A.

Aplicación 11: 11. Cierta clase de paño se reduce después del lavado en 1/6 de su longitud y en un 1/5 de su anchura. ¿Qué longitud de paño nuevo es necesario emplear para tener 30 m2 de paño, después de mojado, si el paño tenía antes 0,90 m de ancho? a) 100 m b) 50 m c) 40 m d) 80 m e) 60 m

12. Resolver a) Operar y dar el valor de “M”

M = 5,04,03,02,01,0

5,04,03,02,01,0

b) El valor exacto de la siguiente operación es:

777,6

...)666,3(...)123232,0(

a) 2/3 b) 1/15 c) 1/5 d) 1/45 e) 3/5

13. Resolver a) Hallar x + y si:

11

y

9

x = 0,62

b) Hallar x + y

11

y

3

x = 0,96

14. Resolver a) Calcular el valor de (a + b + c) en:

c00,0b00,0a00,0

= 0,10

b) Calcular el valor de (a + b) en:

1,0ba,0ab,0

= 1,3

a) 4 b) 9 c) 11 d) 15 e) 17

14. Resolver a) Hallar “N”. Sabiendo que:






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N = 0, x(x + 1) (2x + 1)

b) Halla “x” en:

11

N = 0,x(x - 1)

a) 4 b) 3 c) 1 d) 2 e) 5

Tarea Domiciliaria

1. Colocar >, < ó = según el caso:

I. 2

1 ………………

3

1

II. 3

2 ………………

6

4

III. 9

5 ………………

11

6

IV. 11

8 ………………

2

1

V. 8

6 ………………

16

12

VI. 11

4 ………………

5

2

VII. 13

11………………

2

1

VIII. 13

4………………

3

1

IX. 2

7 ………………

7

2

2. Un puente cruza un río de 760 pies de ancho, en una orilla se sostiene 1/5 del puente y en la otra orilla 1/6. ¿Cuál es la longitud del puente? a) 1000 pies b) 1200 c) 1100

d) 1300 e) N.A.

3. Se tiene 15 botellas de 4/3 de litro cada uno. Si se vacían los 3/5 de las 15 botellas. ¿Cuántos litros quedan?

a) 8 b) 10 c) 12 d) 9 e) 11

4. Una persona recibe viáticos por 4 días, el primer día gastó la quinta parte; el segundo día gastó 1/8 del resto; el tercer día los 5/3 del primer día; el cuarto día el doble del segundo día y aún le quedo 15000 soles. ¿Cuál fue la cantidad entregada? a) S/. 50 000 b) 75 000 c) 150 000 d) 90 000 e) 45 000

5. ¿Cuál es la fracción ordinaria que resulta triplicada si se agrega a sus dos términos su denominador? a) 1/4 b) 2/13 c) 1/5 d) 5/13 e) 2/9

6. Una propiedad es de dos hermanos, la parte del 1ero. es 7/16 y el valor de la parte correspondiente a otro hermano es S/. 63 000. ¿Qué valor tiene la propiedad? a) S/. 120 000 b) 150 000 c) 140 000 d) 112 000 e) 108 000

7. Si a los términos de una fracción irreductible, se le suma el triple del denominador y al resultado se le resta la fracción resulta la misma fracción. ¿Cuánto suman los términos de la fracción original? a) 11 b) 8 c) 3 d) 13 e) 10

8. Yo poseo los 3/5 de una hacienda llamada “Paramo”, si vendo 5/8 de mi parte. ¿Cuáles son correctas? I. Me quedan 9/40 de la hacienda. II. Me quedan los 5/8 de mi parte. III. Vendí menos de 1/4 del total de la

hacienda. a) Solo I b) Solo II c) Solo III d) I y II e) II y III

9. En un salón de 50 alumnos se observa que la séptima parte de las mujeres son rubias y la onceava parte de los hombres usan lentes. ¿Cuántos hombres no usan lentes? a) 22 b) 28 c) 2 d) 20 e) 4

10. Si 11

b

5

a = 0,781

Hallar: a + b

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) N.A.






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11. Dado:

0,m1 + 0,m2 + 0,m3 = 11

14

Hallar “m” a) 5 b) 2 c) 1 d) 4 e) 3

12. Dado:

0,n3 + 0,n4 + 0,n7 = 9

4 Hallar: “n”

a) 5 b) 2 c) 3 d) 1 e) 4

13. Hallar la suma del numerador más el denominador de la fracción que debo sumar a la fracción periódica 0,8787… para ser igual a la fracción periódica 1,2121… a) 6 b) 2 c) 4 d) 3 e) 5

14. Si suma a 2

12 dos mitades de

2

12 , luego sumo

el doble de lo que ya sume; multiplico por los 5

3

de dos mitades de 2

12 y finalmente divido entre

los tres tercios de lo que me queda. ¿Cuánto es lo que me queda? a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) N.A.

15. Un moribundo reparte su fortuna entre sus

cuatro hijos. Al primero le da 1

3 del total, al

segundo 1

4del resto, al tercero

1

5 del nuevo

resto, quedando $ 600 para el último. ¿Cuál era la fortuna del moribundo?

a) $ 1200 b) 1000 c) 1500

d) 1600 e) 1800

16. Resolver:

a. 1

11

11

11

11

11

13

b.

7 1 3 41

8 4 2 9 1 1 1 7

2 12 10 14 5

c.

235

341 1

6 12 31

6 84

BIBLIOGRAFÍA

Instituto de Ciencias y Humanidades. (2008). Algebra y principios del análisis. Lima: Lumbreras.

Zill, D., & Wright, W. (2011). Cálculo. Trascendentes tempranas. México, D.F: Mc Graw Hill.

Fuller, G., Wilson, W., & Miller, H. (1986). Algebra Universitaria. Mexico D.F: Continental.

Stewart, J. (2008). Cálculo de una variable: Trascendentes tempranas. México, D.F: CENGAGE Learning.

REFERENCIAS

https://www.portaleducativo.net/quinto-basico/531/Tipos-fracciones-fraccion-propia-fraccion-impropia-numero-mixto


https://www.matematicasonline.es/pdf/Temas/3_ESO/Fracciones%20y%20racionales.pdf

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