FP: FORMAS SUPERPUESTAS
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FP: FORMAS SUPERPUESTAS
FP_7
Prof. José Juan Aliaga Maraver
Universidad Politécnica de Madrid
Series superpuestas
aabb
cc
VV
d = d = d’d’
V’V’
a’a’
b’b’
c’c’
AA BB DD CC
s=s’A1
A2B1
B2C1
C2 D2
D1
s y s’ son sección de dos haces perspectivos V y V’. por una misma recta Los puntos D1 y D2 son elementos dobles de las series
Haces concentricos
AA BB
CC
VV
D = D = D’D’
A’A’
B’B’aa
bb ccdd
a2
a1
b2
d2
c1
c2
d1
V1=V2
Dual de series superpuestas
C’C’
Series de primer orden superpuestas
V
A B C
A1
B1C1
C2
Se pueden relacionar los elementos de dos series superpuestas de primer orden, mediante una proyección desde cualquier punto V de una circunferencia, con dos series de segundo orden proyectivas de las anteriores
(ABCD )=(A’B’C’D’ )=( A1 B1 C1 D1) =(A2 B2 C2 D2)
C’A’ B’
B2
B1
Se pueden relacionar los elementos de dos series superpuestas de segundo orden mediante su eje proyectivo
Series de segundo orden superpuestas
A1
A2
B2
B1 C1
C2
Separación de formasPara operar con formas superpuestas se puede:
•Mediante un movimiento separar una de las formas
•Resolver proyectivamente con las formas separadas
•Deshacer el movimiento con los resultados obtenidos
s=s’A1
A2B1B2
C1
C2
X1
s=s’A1
A2B1B2
C1
C2
X1
s’’A3
B3 C3
X3
Cuaternas de elementos3-. En la figura adjunta se cumple:
V F (ABCP) = (abcp)
V F (ABCP) = (A’B’C’P’)
V F (abcp) = (A’B’C’P’)
V F (abcp) = (a’b’c’p’)
4-.En la figura adjunta se cumple:
V F (LABC) = (VABC)
V F (ACB) = (VA’B’C’)
C
ba
P
V
FP_7P_01
A B
c p
P’B’
A’
C’
L
Oc
a’b’
c’V2
p’
t
Determinar el homólogo del punto X1 . Enunciar el problema dual
FP_7P_02Series superpuestas
s=s’A1
A2B1
B2C1
C2
X1
Determinar el otro punto doble en la proyectividad entre bases superpuestas . Enunciar el problema dual
FP_7P_03Series superpuestas
s=s’A1
A2B1
B2
D1
Determinar los elementos dobles . Enunciar el problema dual
FP_7P_04Series superpuestas
s=s’A1
A2B1
B2C1
C2
X1
Determinar el eje proyectivo . Enunciar el problema dual
FP_7P_05Series superpuestas
A1
A2
B2
B1 C1
C2
Determinar los elementos dobles . Enunciar el problema dual
FP_7P_06Series superpuestas
A1
A2
B2
B1 C1
C2
Una cónica está dada por los puntos V, V’, A, B y C. Obtener los puntos de intersección con la recta r. Enunciar el problema dual
FP_7P_07Series superpuestas
V
V’
A
B
C
r