Carta Mensual Julio 2013 - Gobernador D.4271 - Marco Tulio Sierra Severiche
Fourier jaime severiche
90
() ()exp( ) F ft i t dt 1 () ( )exp( ) 2 ft F i td La transformada de Fourier 1 an Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) ntribuyo a la idea de que una función puede ser esentada por la suma de funciones sinusoidales
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( ) ( ) exp( )F f t i t dt
1( ) ( ) exp( )2
f t F i t d
La transformadade
Fourier
1
• Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830)• Contribuyo a la idea de que una función puede serRepresentada por la suma de funciones sinusoidales
De la Serie de Fourier a la Transformada de Fourier
La serie de Fourier nos permite obtener una representación en el dominio de la frecuencia de funciones periódicas f(t).
¿Es posible extender de alguna manera las series de Fourier para obtener una representación en el dominio de la frecuencia de funciones no periódicas?
Consideremos la siguiente función periódica de periodo T: 2
Tren de pulsos de amplitud 1, ancho p y periodo T:
1f(t)
t. . . -T -T/2
0
T/2 T . . .
p
-p/2 p/2
22
22
22
010
)(Tp
pp
pT
ttt
tf
3
Los coeficientes de la serie compleja de Fourier en este caso resultan puramente reales:
El espectro de frecuencia correspondiente lo obtenemos (en este caso) graficando cn contra = n0.
)()(
20
20p
p
n nnsen
Tpc
4
Espectro del tren de pulsos para p = 1, T = 2
-60 -40 -20 0 20 40 60-0.2
0
0.2
0.4
0.6
w=nw0
c n
5
Si el periodo del tren de pulsos aumenta...
-20 -10 0 10 200
0.5
1
1.5
p = 1, T = 2
t
f(t)
t-20 -10 0 10 200
0.5
1
1.5p = 1, T = 5
f(t)
-20 -10 0 10 200
0.5
1
1.5
p = 1, T = 10
t
f(t)
-20 -10 0 10 200
0.5
1
1.5
p = 1, T = 20
t
f(t)
6
-50 0 50-0.1
0
0.1
0.2
0.3
p = 1, T = 5
-50 0 50-0.05
0
0.05
0.1
0.15
p = 1, T = 10
-50 0 50-0.02
0
0.02
0.04
0.06p = 1, T = 20
-50 0 50-0.2
0
0.2
0.4
0.6 p = 1, T = 2
=n0
c n
...el espectro se "densifica".
7
En el límite cuando T, la función deja de ser periódica:
¿Qué pasa con los coeficientes de la serie de Fourier?
-20 -10 0 10 200
0.5
1
1.5p = 1, T =
t
f(t)
8
Si se hace T muy grande (T), el espectro se vuelve "continuo":
9
El razonamiento anterior nos lleva a reconsiderar la expresión de una función f(t) no periódica en el dominio de la frecuencia, no como una suma de armónicos de frecuencia n0, sino como una función continua de la frecuencia .
Así, la serie:
al cambiar la "variable discreta" n0 (cuando T) por la variable continua , se transforma en una integral de la siguiente manera:
n
tinnectf 0)(
10
Recordemos:
La serie de Fourier es:-T/2< x < T/2
O bien:
n
tinT
T
tinT edtetftf 00
2/
2/
1 )()(
0
2/
2/
1 2y)( 0
TdtetfcT
T
tinTn
n
tinT
T
tin edtetftf 000
2/
2/21 )()(
dedtetftf titi)()( 21
TT
/2/2
0
0
Cuando T , n0 y 0 d y el sumatorio se convierte en:
11
La transformada de Fourier
Es decir,
donde:
Estas expresiones nos permiten calcular la expresión F() (dominio de la frecuencia) a partir de f(t) (dominio del tiempo) y viceversa.
deFtf ti)()( 21
dtetfF ti )()(
Identidad de Fouriero antitrans-formada de Fourier
Transformadade Fourier
12
La transformada de Fourier y la transformada inversa de Fourier
( ) ( ) exp( )F f t i t dt
1( ) ( ) exp( )
2f t F i t d
En algunos textos, el factor 1/2 se "reparte" entre la transformada y la anti-transformada para obtener simetría en la expresión, como: 1/√(2). 13
Notación: A la función F() se le llama transformada de Fourier de f(t) y se denota por F o , es decir
En forma similar, a la expresión que nos permite obtener f(t) a partir de F() se le llama transformada inversa de Fourier y se denota por F –1 ,es decir
deFtfFF ti)()()]([ 211
dtetffFtfF ti )()(ˆ)()]([
f̂
14
Transformadas integrales
– K(,t): núcleo o kernel.– Asocia a cada función f(t) en el
espacio t, directo o real, otra función F() en el espacio o recíproco.
– Ejemplos: de Fourier, Wavelet, transformada Z, de Laplace, de Hilbert, de Radon, etc
dttftKFb
a )(),()(
15
Un problema que es difícil de resolver en sus "coordenadas" (espacio t) originales, a menudo, es más sencillo de resolver al transformarlo a espacio . Después, la transformada inversa nos devuelve la solución en el espacio original.
Problem inTransform
space
Originalproblem
Solution inTransform
space
Solution oforiginal problem
Integral transform
Relatively easy solution
Difficult solution
Inverse transform
16
Ejemplo. Calcular F() para el pulso rectangular f(t) siguiente:
Solución. La expresión en el dominio del tiempo de la función es:
-p/2 0 p/2
1f(t)
t
tt
ttf
p
pp
p
2
22
2
010
)(
17
Integrando:
Usando la fórmula de Euler:
2/
2/
)()(p
p
titi dtedtetfF
2/
2/
1 p
p
tii e
)( 2/2/1 pipi
i ee
)2/(sinc2/
)2/()( ppp
psenpF
ieepsen
pipi
2)2/(
2/2/
18
En forma gráfica,la transformada es:
-50 0 50
0
0.5
1F(w) con p=1
w
F(w
)
p =1
tt
ttf
p
pp
p
2
22
2
010
)(
)2/(sinc)( ppF
19
Sinc(x/2) es la transformada de Fourier de una función rectángulo.
Sinc2(x/2) es la transformada de Fourier de una función triangulo.
Sinc2(ax) es el patrón de difracción de una ranura.
La función sinc(x)
20
Demostrar que la transformada de Fourier de la función triángulo, (t), es sinc2()
0
2sinc ( / 2)1
t0
( )t1
1/2-1/2
TF
21
Ejercicio: Calcular la Transformada de Fourier de la función escalón unitario o función de Heaviside, u(t):
Grafica U() = F[u(t)].¿Qué rango de frecuencias contiene U()?¿Cuál es la frecuencia predominante?
u(t)
0
1
t
22
La función delta de Kronecker y delta de Dirac
if 0( )
0 if 0t
tt
t
(t)
,
1 if 0 if m n
m nm n
23
La función impulso o delta de DiracRecordemos que podemos pensar en la función delta como el límite de una serie de funciones como la siguiente:
t
f1(t)
f2(t)
fm(t) = m exp[-(mt)2]/√
f3(t)
(t)
24
Y recordemos algunas propiedades de la función
( ) 1t dt
t
(t)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )t a f t dt t a f a dt f a
exp( ) 2 (
exp[ ( ) ] 2 (
i t dt
i t dt
25
Transformada de Fourier de la (t):
)(ttf 1)(ˆ
dtetf ti
t
(t)
1
()
Observa que la transformada de Fourier de f(t) = 1/(2) es:
t
)(dtef̂ ti
21
21
Recordemos26
f t
0 , t T2
1 , T2t
T2
0 , T2 t
T2
T2
T
2T
2T
2
2)(ˆT
TsenTf
27
2
, 022
, 1
2
, 0
tT
TtT
Tt
tf
2
2)(ˆT
TsenTf
f t 1
T ∞
dtef ti1ˆ )( 2
T ∞
28
Transformada de Fourier de la función coseno
0{cos( )}tFcos(0t) t
)cos( 0ttf
dtetf ti )cos(ˆ0
dteedteee tititititi
)()( 0000
21
2
)()(2
2)(ˆ00 f
)()()(ˆ00 f
29
Transformada de Fourier de la función seno:
)( 0tsentf
dtetsenf ti )(ˆ0
dte
iee ti
titi
2
00 dteei
titi
)()( 00
21
)()()(ˆ00 if
sen(0t) t
t)}sen({ 0F
30
La transformada de Fourier de la onda plana exp(i0 t)
La TF de exp(i0t) es una frecuencia pura.
F {exp(i0t)}
exp(i0t)
t
t Re
Im
)(2
}{
0)( 0
00
dte
dteeeF
ti
tititi
31
Sum
F {exp(i0t)}
exp(i0t)
t
t Re
Im
TF
TF
32
Encontrar la transformada de Fourier de la función:
00,00 ,
attetf
at
0
ˆ dteef tiat
2222
0
)(
0
)(
1
1)10(1
ai
aa
iaia
ia
iaia
iaedte
tiatia
33
La transformada de Fourier de una Gaussiana, exp(-at2), es otra Gaussiana.
2 2
2
{exp( )} exp( )exp( )
exp( / 4 )
at at i t dt
a
F
t0
2exp( )at
0
2exp( / 4 )a
TF
Más adelante lo demostraremos.34
La transformada inversa de FourierDada la función en el espacio recíproco G(k), podemos retornar al espacio directo mediante la inversa de la transformada de Fourier:
dkekGkGFxg ikx)(21)()( 1
dxexgkG ikx)()(
)'(
)'(
)'(
''
21)(
)()(21
xg
xx
xxik
ikxikxikx
dxdkexg
dkedxexgdkekG
35
A partir de su definición, obtener la transformada inversa de Fourier de la función
33 35
32
iig
3orden de polo 3
3)(
32
:residuos) de (teoría de Cálculo
35
32
35
32
3
31
1
33
331
1
21
iziz
ezf
dei
I
I
dei
dei
deii
gF
deggF
izx
xi
I
xi
I
xi
xi
xi
36
0x;0I
0x;ex25π2f(z)πi10I
2eixf(z)
3 orden i polo de3z3iz
ef(z)
dωe3iω
5I
):e residuos (teoría d ICálculo de0x;0I
0x;eπx2f(z)πi4I2
eixf(z)
2
x32
i3z2
x32
i3z
3
izx
iωω32
2
1
x32
i3-z1
x32
i3-z
sRe
sRe
sResRe
37
0x;ex5
0x;ex2gF
:esFourier de inversa ada transformla Luego
x32
x321
38
61361)( 2
i
g
degxf xi)()(
A partir de la definición, obtener la transformada inversa de Fourier de la función:
Respuesta.
Integrando en el plano complejo:
izizzzzz
zg23 ,
32 ,
))((61)( 21
21
39
• Si x > 0:
R
RR
kk
izx
dwwGdzzG
zzGidzezg
)()(
)),((Res2)(
)(
2
1
izxg(z)eG(z) Tomando
Haciendo lim R→∞
06136
1lim)(lim Como 2zz izzzg
-R R
C
40
Jordan) de 3 (Lema 0)(lim)(R
R
izxdxezg
Entonces:
xx
k eezzGixf 32
23
52)),((Res2)(
• Si x < 0:
R
RR
kk
izx
dwwGdzzG
zzGidzezg
)()(
)),((Res2)(
)(
2
1
41
-R R
Haciendo lim R→∞
06136
1lim
)(lim Como
2z
z
izz
zg
Jordan) de 3 (Lema 0)(lim)(R
R
izxdxezg
Entonces: 0)),((Res2)( kzzGixf
0 , x 0
0 , x ee5π2
f(x)x
32x
23
42
Algunas funciones no poseen transformada de FourierLa condición de suficiencia para que la transformada de Fourier de f(x), F() exista es:
es decir, que f(x) sea de cuadrado sumable. Funciones que no vayan asintóticamente a cero cuando x tiende a + y – en general no tienen transformadas de Fourier.
dxxg 2)(
43
La TF y su inversa son simétricas.
( ) exp( )
12 ( )exp( [ ] )2
F t i t dt
F t i t dt
Si la TF de f(t) es F(), entonces la TF de F(t) es:
Renombrando la variable de integración de t a ’, podemos ver que llegamos a la TF inversa:
12 ( )exp( [ ] )2
F i d
2 ( )f
Este el motivo por el que a menudo f y F se dice que son un "par transformado."
Que podemos escribir:
44
La transformada de Fourier es en general compleja
La transformada de Fourier F(k) y la función original f(x) son ambas en general complejas.
De modo que la transformada de Fourier puede escribirse como:
)()()( kiFkFxfF ir
potencia de espectro A
espectral fase espectral magnitud o amplitud
)(
)()()(
2222
22
)(
ir
ir
ki
FFF
A
FFkFA
ekAkFxfF
45
La transformada de Fourier cuando f(x) es real
La TF F(k) es particularmente simple cuando f(x) es real:
dx)kxsin()x(f)k(F
dx)kxcos()x(f)k(F
dx)kx(isen)kxcos()x(fdxe)x(f
i
r
ikx
)k(iF)k(F)x(fF ir
46
Propiedades de las transformadas de Fourier:
1. Linealidad:
f (t) F .T . ˆ f g(t) F .T . ˆ g
f (t) g(t) F .T . ˆ f ˆ g
f (t) F .T . ˆ f (a ib) f (t) F .T . (a ib) ˆ f
47
La transformada de Fourier de la combinación lineal de dos funciones.
f(t)
g(t)
t
t
t
F()
G()
f(t) + g(t)F() + G()
)}({)}({)}()({
tgbFtfaFtbgtafF
48
Calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:
f (t)
0 , t a2
1 , b2 t
a2
2 , t b2
; a b 0
La función f(t) se puede escribir también del siguiente modo:
f (t) g(t) h(t)
donde g(t) 0 , t a
21 , t a
2
; h( t)0 , t b
21 , t b
2
49
Luego:
ˆ f ( ) ˆ g () ˆ h ()
2b2bsen
2b
2a2asen
2a)(f̂
50
Calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:
0
1
-a -b b a0
51
Tenemos que calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:
f t
0, t a1, a t b0, b t b1, b t a0, t a
; h(t) 0 , t b1 , t b
g( t)0 , t a1 , t a
f t g(t) h(t)
52
F.T . ˆ g () 2a2
sen(a)a
h(t) 0 , t b1 , t b
g( t)0 , t a1 , t a
F.T . ˆ h () 2b2
sen(b)b
ˆ f () ˆ g () ˆ h () 2a2
sen(a)a
2b2
sen(b)b
53
)(ˆ ftfF
af
adtetf
a
atdeatfa
dteatfatfF
ta
i
ata
i
ti
ˆ1')'(1
)()(1
)(
'
)(
2. Escalado:
af
aatfF ˆ1
54
Efecto de la propiedad de escalado
f(t) F()
Pulsocorto
Pulsomedio
Pulsolargo
Mientras más corto es el pulso, más ancho es el espectro.
Esta es la esencia del principio de incertidumbre en mecánica cuántica.
t
t
t55
La transformada de Fourier respecto al espacio
Si f(x) es función de la posición,
k se conoce como frecuencia espacial.
Todo lo expuesto sobre la transformada de Fourier entre los dominios t y se aplica los dominios x y k.
k
x )(ˆ)( kfdxexfxfF ikt
56
3. Traslación en el dominio de tiempos
featfftf aiTFTF ˆ)(ˆ)( ....
dtetgg ti )(ˆ
dteatf ti)(
dueufg aui )()(ˆ
dueufe uiai )(
)(ˆˆ feg ai
f (t a)g(t)
57
4. : f (t) f *(t) ˆ f ˆ f *
)(ˆIm)(ˆIm
)(ˆRe)(ˆRe
ff
ff
5. :
dttff )(0ˆ
dff )(ˆ210
58
5. Identidad de Parseval : f *(t)g( t)dt
ˆ f *() ˆ g ( )d
dtdgdf ee titi '')'(ˆ)(ˆ *
edtgdfd ti
')'(ˆ')(ˆ )(*
( ' )
f (t) g(t) f (t) 2 dt
ˆ f ( ) 2
d
Teorema de Rayleigh
dgf )(ˆ)(ˆ *
En particular:
59
Toda función puede escribirse como la suma de una función par y una función impar
( ) [ ( ) ( )] / 2
( ) [ ( ) ( )] / 2
( ) ( ) ( )
E x f x f x
O x f x f x
f x E x O x
E(-x) = E(x)
O(-x) = -O(x)
E(x)
f(x)
O(x)
Sea f(x) una función cualquiera.
60
Transformadas de Fourier de funciones pares, f(t) = f(-t):
dttff e ti )(ˆ
0
0
)()( dttfdttf ee titi
0 0
)()()(ˆ dttfdttff ee titi
0
)( dttf ee titi
0
)cos()(2ˆ dtttff
61
0 0
)()()(ˆ dttfdttff ee titi
Transformadas de Fourier de funciones impares, f(t) = -f(-t):
dttff e ti )(ˆ
0
0
)()( dttfdttf ee titi
0
)( dttf ee titi
0
)()(2ˆ dttsentfif
62
6. Transformada de la derivada:
ikF(k)ikF(f(x))(x))fF(
)k´(iF))x(f´(iF)x(xfF
7. Transformada xf(x):
Ejercicio: demostrar las propiedades anteriores.
Y en general:
F(k)ik(x))F(f n)n(
Y en general:
)k´(Fi)x(fxF nn 63
1. Encontrar la transformada de Fourier de la función:
2. A partir del resultado anterior y una conocida propiedad de la transformada de Fourier, determina la transformada de Fourier de la función:
211)(x
xf
221 x
x)x(g
iz-izzfz
zfdzzeI
dxxekF
ikz
ikx
21
22
2
y excepto C,z analítica es )(1
1)(con 3" tipo" integral1
:complejo plano al integral la Pasamos1
)( integral lapiden Nos1.
64
k
kikz
iz
ikz
iz
kikz
iz
ikz
iz
ekF
eiz
eizeikF
eiz
eizeikF
lím
lím
)(:que modo De
21
2)(
:C circuito elen integramos 0k Para
21
2)(
:C circuito elen integramos 0k Para
2
1
2
2
Res
ResC1
C2
21)(
12
12
:1
2y que Puesto
22
2222
22
k
k
eikxxFkG
eikxxF
xxF
xx
dxdf fikF
dxdfF
2.
65
Encontrar la transformada de Fourier de la función: siendo a>0 constante.
2exp)(
2axxf
)(2
exp)(2
exp)(22
xaxfaxaxxfaxxf
)´()( kiaFkikF
Derivando tenemos:
)´())(´()()())(())((
kiFxfiFxxfFkikFxfikFxfF
Transformando a ambos lados de la ecuación y usando las siguientes propiedades de la TF:
Veamos otra aplicación de estas dos últimas propiedades:
66
ak
t
uuax
ikxax
ak
ea
kF
adt
te
a
duea
duea
dxeFB
dxeeBekF
2
0
02
22
2
22
2
22
2)(
22
222)0(
)(
u2 = ax2/2
ak
BekFkiaFkikF 2
2
)()´()(
u2 = t
67
ConvoluciónSe define la integral de convolución de dos funciones f(t) y g(t) del siguiente modo:
duutguftgf )()()(
dutgutf )()(
68
69
rect(x) * rect(x) = (x)
Ejemplo visual:
70
Convolución con la función delta
Convolucionar una función con una delta, simplemente centra la función sobre la delta.
( ) ) ( ) ( – )
( )
f t t a f t u u a du
f t a
71
Propiedades de la convolución
Commutativa:
Asociativa:
Distributiva:
fggf
f (g h)( f g) h
f (gh) f g f h72
)()()(*)( wGwFtgtfF
El teorema de convolución oteorema de Wiener-Khitchine
Convolución en el espacio real es equivalente a multiplicación en el espacio recíproco.
73
Ejemplo del teorema de convolución
2
{ ( )}
sinc ( / 2)
x
k
F{rect( )}sinc( / 2)
xk
F
rect( ) rect( ) ( )x x x
2sinc( / 2) sinc( / 2) sinc ( / 2)k k k
74
dudegdef
duutguftgf
utiui ')'(ˆ21)(ˆ
21
)()()(
)('
dfddueeg uiti
)(ˆ'21 )'(ˆ
)'(
)'('
Demostremos el teorema de convolución.
75
)()( )(ˆ )(ˆ tgtfdegf ti
dfdeg
ti )(ˆ ')'( )'(ˆ '
)()()(*)( wGwFtgtfF
Aplicando la TF a ambos lados:
76
2 , )cos(
2 , 0
)(0
Ttt
Tttf
Ejemplo de aplicación del teorema de convolución:
Calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:
2
2
0 )cos(ˆT
T
ti dtetf
2
2
2
00
T
T
tititi
dteee
2
20
)(
0
)( 00
21)(ˆ
T
T
titi ieief
Podemos hacerlo aplicando la definición:
77
2
)()2(2
)()2(21)(ˆ
00
00
TseniiTseniif
2
2)(
2
2)(
2)(ˆ
0
0
0
0
T
Tsen
T
TsenTf
2 , )cos(
2 , 0
)(0
Ttt
Tttf
78
2 , 1
2 , 0
)( Tt
Ttth
; g t cos(0t)
)()(2
)(ˆ 00 g
2
2)(ˆ T
TsenTh
2 , )cos(
2 , 0
)(0
Ttt
Tttf
)()( tgthtf
TF
TF
Pero, también podemos usar:
ghhgf ˆˆˆ
79
dtetgthgh ti
)()(
21)(ˆˆghhgf ˆˆˆ
')'(ˆ)'(ˆ)(ˆˆ dghgh
')'()'(2
2'
2'
21
00
d
T
TsenT
2
2)(
2
2)(
221))(ˆˆ()(ˆ
0
0
0
0
T
Tsen
T
TsenTghf
80
Calcular la transformada de Fourier del producto de convolución de lassiguientes funciones:
f (t) 0 , t a b
21 , t a b
2
g(t) 2 t a b
2
t
a b2
81
El producto de convolución de las funciones f(t) y g(t) es:
f g (t) 12
f (u)
g(t u)du
f g (t) f (u)
(t a b
2 u) (t
a b2 u)
du
f g (t) f (t a b
2) f (t
a b2
)
es decir que el producto de convolución de f(t) y g(t) son dos funcionespulso de anchura a-b centradas en (a+b)/2 y -(a+b)/2 cuya gráfica es lasiguiente: 82
0
1
-a -b b a0
y cuya transformada de Fourier calculamos en el ejercicio anterior:
2a2
sen(a)a
2b2
sen(b)b
83
Una forma alternativa para calcular la transformada de Fourier delproducto de convolución de f(t) y g(t) es usar el teorema de convolución, según el cuál, la transformada de Fourier del producto de convolución de f(t) y g(t) es igual al producto de las transformadas de Fourier respectivasde f(t) y g(t):
f g (t) F .T . ˆ f () ˆ g ()
f (t) 0 , t a b
21 , t a b
2
F.T . ˆ f () a b
2
sen(a b
2)
a b2
84
Calculamos la transformada de Fourier de g(t):
ˆ g 12
g(t) ite dt
ˆ g 12
2 t a b
2
t
a b2
ite dt
ˆ g i ab2e i ab
2e 2cos a b
2
ˆ f () ˆ g a b2
sen(a b
2)
a b2
2cos a b
2
85
ˆ f () ˆ g a b2
sen(a b
2)
a b2
2cos a b
2
ˆ f () ˆ g 2
1
2sen(a b
2)cos
a b2
ˆ f () ˆ g 2
1
sen(a) sen b
que coincide con la transformada que habíamos calculado del otro modo.
86
ˆ f ( ) T 2
2
sen2(T2
)
2T 2
4
Utilizar el teorema de convolución para calcular la antitransformada de Fourier de la siguiente función:
Tenemos que calcular la antitransformada:
f t 12
ˆ f ( ) ite d
f t 12
T 2
2
sen2 (T2
)
2T 2
4
ite d
12
T2
sen(T2
)
T2
2
ite d
87
f (t) 12
T2
sen(T2
)
T2
T2
sen(T2
)
T2
ite d
y, llamando:
ˆ g ( )T2
sen(T
2)
T2
nos queda que:
f (t) 12
ˆ g ( )ˆ g ( ) ite d
12
2 g g (t)
Teorema de convolución
g(t)0 , t T
21 , t T
2
Antitransformadade Fourier
88
Por tanto, la integral de convolución de g(t) consigo misma queda:
g g (t) 12
g(u)
g(t u)du
g(t)0 , t T
21 , t T
2
donde
Si t T g g (t) 0
Si T t 0 g g (t)12
11
T2
tT2
du t T
289
Si 0 t T g g (t) 12
11t
T2
T2
du T t
2
Si t T g g (t) 0
Luego:
f (t) g g (t) T t
2 , t T
0 , t T
90
