Formulas relacionando los elementos de un triángulo esférico [Tema 2]
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Formulas relacionando los Formulas relacionando los elementos de un triángulo elementos de un triángulo
esféricoesférico
[[Tema 2Tema 2]]
2.1 Fórmulas que relacionan 3 lados y 1 ángulo.
Fórmula de los cosenos:
CP ┴ suelo
PM ┴ OB, PD ┴ OA
EP | | KM
Los ángulos diedricos son :
B y A.
^ EDP = c (por “perp. / perp”)
Se cumple que: OM = OK + KM = OK + EP (1)
Además: OM = OC cos a (2)
OK = OD cos c
OD = OC cos b →
OK = OC cos c cos b (3)
EP = PD sin c
PD = CD cos A → EP = OC sin b sin c cos A (4)
CD = OC sin b
(2), (3), (4) → (1)
OC cos a = OC cos b cos c +
OC sin b sin c cos A
cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A
Fórmulas que relacionan 3 lados y un ángulo :
cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A
cos b = cos c cos a + sin c sin a cos B
cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C
2.2 Fórmulas que relacionan dos lados y sus ángulos opuestos .
Fórmula de los senos:
CP ┴ suelo PM ┴ OB, PD ┴ OA
CP = CM sin B
CM = OC sin A
→CP = OC sin A sin B (1)
CP = CD sin A
CD = OC sin b →
CP = OC sin b sin A (2)
(1) = (2)
sin a sin B = sin b sin A
C
c
B
b
A
a
sin
sin
sin
sin
sin
sin
2.3 Fórmulas que relacionan dos lados, ángulo entre ellos y ángulo opuesto (a uno de ellos)
DK = DE + EK = DE + PM (1)
DK = OD sin c
OD = CD ctg b
→
DK = CD ctg b sin c (2)
ED = DP cos c
DP = CD cos A
→
ED = CD cos c cos A (3)
PM = CP ctg B
CP = CD sin A
→ PM = CD sin A ctg B (4)
(2) , (3) , (4) → (1)
ctg b sin c = cos c cos A + sin A ctg B
Fórmulas que relacionan dos lados, ángulo entre ellos y ángulo opuesto (a uno de ellos)
ctg b sin c = cos c cos A + sin A ctg B
ctg b sin a = cos a cos C + sin C ctg B
ctg a sin b = cos b cos C + sin C ctg A
ctg a sin c = cos c cos B + sin B ctg A
ctg c sin a = cos a cos B + sin B ctg C
ctg c sin b = cos b cos A + sin A ctg C
“Cotangente de 1er lado” X “seno del 2º lado” =
“coseno del 2º lado” X “coseno del ángulo entre ellos” +
“seno del ángulo entre ellos” X “cotangente del lado opuesto al 1er lado”.
“Cotangente de 1er lado” X “seno del 2º lado” = “coseno del 2º lado” X “coseno del ángulo entre ellos” + “seno del ángulo entre ellos” X “cotangente del lado opuesto al 1er lado”.
ctg a sin c = cos c cos B + sin B ctg A
2.4. Fórmulas que relacionan tres ángulos y un lado
Tomamos el tringulo polar de Δ ABC, o sea, Δ A’B’C:
y las fórmulas que relacionan tres lados y un ángulo en Δ ABC:
cos a’ = cos b’ cos c’ + sin b’ sin c’ cos A’
aA
Cc
Bb
Aa
180'
180'
180'
180'
→
cos (180-A) = cos (180-B) cos (180-C) + sin (180-B) sin (180-C) cos (180-a) →
- cos A = (-cos B) . (-cos C) + sin B . sin C . (-cos a)
Fórmulas que relacionan tres ángulos y un lado
cos A = - cos B cos C + sin B sin C cos a
cos B = - cos C cos A + sin C sin A cos b
cos C = - cos A cos B + sin A sin B cos c
El coseno de un ángulo es igual a menos el producto de los cosenos de los otros dos mas el producto de los senos de esos dos por el coseno del lado (opuesto al ángulo 1º).