FormulacionEcuacionesSistemas&CircuitosElectricos

Instrumentación y Señales – Copyright 2012 by Jorge Márquez – CCADET UNAM 1

Formulación de Ecuaciones que Describen Sistemas y Circuitos Eléctricos

Tutorial por Jorge Márquez Flores – CCADET-UNAM 2013

Indice Análisis de Circuitos Eléctricos - Leyes de Kirchhoff

Impedancias en circuitos eléctricos

Combinación de impedancias

Convención de color para identificar valores de componentes electrónicas

Reglas para escribir ecuaciones nodales

Método de Análisis por Mallas

Método de Análisis por Nodos

Circuito RLC

Mallas Multi-Lazo

Mallas Multi-Nodo

**Descripción mediante ecuaciones y variables de estado


Formulación de Ecuaciones que Describen Sistemas y Dispositivos (Instrumentos de Orden 0 al 2).

Análisis de Circuitos Eléctricos - Leyes de Kirchhoff

1. La suma de las diferencias de potencial en un circuito cerrado es 0. (En un circuito cerrado: suma de subidas de voltaje = caídas de voltaje).

2. La suma de las corrientes en un nodo o unión es 0. (Suma de corrientes que entran a un nodo = suma de corrientes que salen).

Nota: En ocasiones “circuito” se denomina “malla” y nodo “nudo”. En este curso usaremos malla o red para traducir network, lazo o bucle para loop y circuito para una red completa. Nota: Las Leyes de Kirchhoff equivalen a la 1ª. Ley de Newton de la Mecánica Clásica.

Caídas/subidas de voltaje (disipación, transformación, absorción, almacenamiento):

Resistencia R (Ohms) vR = Ri

Capacitor C (Farads) 00

1 t

Cq iv i dt CC C CD

= = + =∫

Inductor L (Henrys) L

div L LDidt

= =

Subidas de voltaje (Volts) AC o DC

emf, ε, e ó ve (fuentes electromotrices,

electroquímicas, etc.)

Tabla 1. Elementos que cambian voltajes y corrientes. Fin§ £Indice


Impedancias en circuitos eléctricos. Las impedancias de una resistencia ideal, un capacitor ideal y un inductor ideal son, respectivamente:

1

,,

R

L L

C Cj

j C C

Rj L j X

j Xω ω

ω

−

== =

= = = −

ZZ

Z

(1)

(2)

(3)

La primera es puramente real y las otras dos puramente imaginarias, y dependen de la frecuencia de la corriente que pasa por tales elementos. XL y XC se denominan reactancia inductiva y reactancia capacitiva. En un dispositivo real, usualmente hay ambas componentes y la impedancia neta es de la forma R + jX, con X una combinación de reactancias. La impedancia eléctrica es una medida de la oposición al flujo (corriente). En forma polar, (magnitud y fase), las ecuaciones (1) a (3) se escriben como:

/2 ( /2)1, ,j jR L CR Le eC

π πω ω−= = =Z Z Z

(4)

Nota: En cursos de Física básica se deducen las expresiones anteriores a partir de la Ley de Ohm, y de las relaciones entre voltajes y corrientes a través de elementos R, C y L.

Combinación de impedancias De un análisis sencillo, aplicando las leyes de Kirchhoff, es posible deducir las reglas de combinación de impedancias complejas en un circuito. Cuando se combinan impedancias en serie (Figura 2), la impedancia total (o equivalente) es la suma de todas las impedancias, sin importar el orden:

1 2eq n= + + +Z Z Z Z

(5)

Figura 2. Circuito de impedancias en serie.


Cuando se combinan impedancias complejas en paralelo (Figura 3), la impedancia total (o equivalente) es el inverso de la suma de los inversos individuales de cada impedancia:

eq 1 2

1 1 1 1n

= + + +Z Z Z Z

(6)

Figura 3. Circuito de n impedancias en paralelo (ver ecuación (6)).

En particular, cuando n = 2:

11 2

1 21 2 1 2

1 1eq

− + = = + =

Z ZZ Z Z Z Z Z Z (7)

Ejercicio: Si dos impedancias complejas tienen las formas: Z1=R1 + jX1 y Z2=R2 + jX2, con X1 y X2 reactancias combinadas de algún tipo, hallar la impedancia equivalente Zeq=Req + jXeq cuando ambas impedancias se encuentran conectadas en paralelo. Ejercicio: ¿Cómo es la magnitud de Zeq en comparación con las de sus componentes (A) en serie y (B) en paralelo? Explique físicamente la razón, en el caso de puras resistencias. Ejercicio. Considere el circuito de la Figura 4. Encuentre cómo se relaciona la respuesta o salida Vout(t) a un potencial de entrada Vin(t) = |V0(t)| ∠φ , con V0(t) cualquier señal, e interprete en amplitud y fase lo que causa tener los tríos de impedancias complejas de la Tabla 2, para distintas frecuencias ω, dibujando un circuito correspondiente (ponga explícitamente en cada diagrama resistencias, capacitancias e inductancias), e identifique si existen constantes de tiempo (¿cuáles?) u otras. Indique el orden del sistema resultante.

*Obtenga todas las funciones de transferencia en frecuencia Gt(jω) = Vout(jω) / Vin(jω).


Figura 4. Circuito del ejercicio (ver tabla 2 para las combinaciones de impedancias Zk .

Z1 Z2 Z3

R1 R2 0

0 R2 R3 – j/(Cω)

R1 + (j Cω)–1 R2 1/( j Cω)

(1/R1 + j Cω)–1 j Lω 0

R1 (1/R2 + j Cω)–1 R3 + 1/( j Cω) + j Lω

Tabla 2. Impedancias para el ejercicio de la figura 4. *Ejercicio. ¿Cómo se relaciona Zeq de la ecuación (6) con el promedio harmónico del conjunto de valores Zn, n=1,..., N ? *Ejercicio. ¿Qué son los equivalentes de Norton y de Tevenin de cualquier circuito y para qué son útiles? ¿Existen formulaciones equivalentes en sistemas mecánicos, térmicos, etc. (i. e., que no contengan elementos electrónicos)?

Ver información adicional, ver la página http://en.wikipedia.org/wiki/Electrical_impedance

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http://en.wikipedia.org/wiki/Electrical_impedance


Convención de color para identificar valores de componentes electrónicas.

El valor de una resistencia [Ω] se codifica como bandas delgadas que rodean la componente. Convenciones similares se siguen a veces en ciertos tipos de capacitancias y otras componentes, aunque es más común que lleven el valor numérico grabado. La tolerancia es la incertidumbre del valor que describe el código respecto al valor real y depende de la calidad de los materiales usados.

Tabla 3. Códigos de color para resistencias eléctricas. Cada banda de color indica un primer o segundo dígito d; la 3a. banda es un factor (multiplicador ×10d), o en algunos casos (o una 4a. banda) los últimos tres colores especiales especifican un valor de tolerancia del código respecto al valor real.

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Reglas para escribir ecuaciones nodales: 1. Número de ecuaciones requeridas = número voltajes

nodales desconocidos.

2. Escribir una ecuación para cada nodo.

3. Cada ecuación incluye:

a. Voltaje nodal × Suma de admitancias conectadas al nodo. Término positivo.

b. Voltaje nodal en terminal opuesta de cada rama × admitancia conectada entre ambos nodos. Término negativo.

Método de Análisis por Mallas

Aplicando 1ª Ley de Kirchhoff para un circuito RL (ver figura 5):

“subidas + caídas”: 0R Le v v− − = , o sea: R Lv v e+ =

d iRi L Ri L Di ed t

+ = + =

(8)

Como Lv L Di= , la corriente a través del inductor es: 1

Li vL D

=

(9)

o sea 1/L ∫0 vL dt +i0. Substituyendo en ecuación de 1ª. Ley de Kirchhoff, obtenemos:

L LR v v e

LD+ =

(10)

Ejercicio: Escriba la función de transferencia en frecuencia de (10). ¿Cuales son la sensibilidad estática, la constante de tiempo y la respuesta a escalón?


Figuras 5 y 6. Circuito RL (resistencia R e inductancia L) y circuito RLC (uno RL mas capacitancia C), con entrada (fem: fuerza electromotriz AC) igual a e(t).

Método de Análisis por Nodos

Aplicando 2ª Ley de Kirchhoff para un circuito RL (figura 5): Se toma un nodo como referencia para los voltajes: vac es la caída de emf entre nodo a y nodo c. El voltaje fuente va = e es conocido, así que sólo hay una incógnita vb. Como la suma algebraica de las corrientes en b es 0:

1 0b ab

v v vR L D−

+ =

(11)

o sea:


1 1 1 0b av vR L D R

+ − =

(12)

Misma ecuación que la multi-lazos (10), salvo por notación (va = e, etc.).

Circuito RLC (figura 6)

Verificar que se obtiene, de la 1ª. Ley de Kirchhoff:

0R L Ce v v v− − − = , o sea: iRi L Di e

CD+ + =

(13)

que es un sistema de 2o. orden:

2

2i di d i deR LC dt dtdt+ + =

(14)

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Mallas Multi-Lazo (figura 7):

Un lazo (circuito, bucle o loop) de corriente es seguido en cada circuito cerrado, sumando caídas de voltaje (e igualando a subidas). Habiendo tres lazos, tenemos, re-arreglando términos:

1 1 1 2 3

1 1R i R i i eC D C D

+ − − =

(15)

( )1 1 1 2 2 2 3 0R i R R L D i R i− + + + − = (16)

1 2 2 2 3 31 1 0i R i R R i

C D C D

− − + + + =

(17)

y el voltaje de salida (4a. ecuación) es: v0 = R3i3 (18) Nota: a la salida consideramos que no hay lazo “i4” (es decir, es circuito abierto, tal como aparece en la figura), pero esto es aproximado: hay un instrumento que mide v0 y su impedancia de entrada no es estrictamente infinita (y si es finita el circuito queda cerrrado), pero es lo suficientemente grande para considerar que i4 es despreciable, respecto las otras corrientes.


Figura 7. Ejemplo de análisis de un circuito eléctrico como una malla

multi-lazo (multiloop network), usando la 1ª. Ley de Kirchhoff.

Figura 8. Ejemplo de análisis de un circuito eléctrico como una malla

multi-nodo (multinode network), usando la 2ª. Ley de Kirchhoff.

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Mallas Multi-Nodo (figura 8)

Usando el análisis por nodos, con el nodo d como referencia (vbd lo escribiremos como vb, etc.), tenemos:

Nodo b: i1 + i2 + i3 = 0 (19) Nodo c: − i3 + i4 + i5 = 0 (20)

En términos de voltajes nodales: 0

1 2

0b a bb

v v v vC DvR R− −

+ + =

(21)

( )0 0

2 3

1 0bb

v v v v eR R L D−

+ + − =

(22)

Reagrupando como Σ αi vi = Σ βi ei (caídas vi = subidas emf ei ):

01 2 1

1 1 1 12 bC D v v e

R R R R

+ + − =

(23)

02 2 3

1 1 1 1 1bv v e

R R R L D L D

− + + + =

(24)

sólo dos ecuaciones nodales fueron necesarias. En el método por lazos, si se requiere de la corriente a través de R3 es necesaria la 4a ecuación. Ejercicio: Para los circuitos de las figuras 6 y 9: (A) obtener y v0 (t) en términos de vin(t) y la respuesta a escalón. (B) Obtener las ecuaciones, función de transferencia en frecuencia, sensibilidad, constantes de tiempo, tasa de amortiguamiento, frecuencia natural no amortiguada y amortiguada (si las hay). Hint: ¿recuerda el anexo y los ejercicios de bloques en cascada de notas anteriores?


Figura 9. Circuito del ejercicio del examen.

*Ejercicio: Considere el circuito genérico de la Figura 10: (A) obtener v0 (t) en términos de vin(t) y la respuesta a escalón. (B) Obtener la función de transferencia en frecuencia. Considere varios casos, haciendo algunas Zk = 0, para simplificar y póngase de acuerdo con sus compañeros para resolver por separado varios casos. Compare sus resultados para identificar en qué se equivoca más seguido. En forma semejante al ejercicio de la Figura 4, haga substituciones diferentes con los tres tipos de impedancias estudiados (ecuaciones (1) a (4)) y realice el ejercicio ya sea por el método multi-nodo o multi-malla. Habrá notado (desde el ejercicio de la Figura 4) que conviene primero una formulación genérica con impedancias Zk y luego substituir las impedancias explícitas. Comience por repetir el ejemplo de las Figura 7 y Figura 8, asignando Zk a cada componente y al final substituir los términos respectivos (de Tabla 1, para la la función de transferencia operacional, y de las ecuaciones (1) a (4) para la respuesta en frecuencia (fasores & Laplace).

Figura 10. Circuito con impedancias genéricas.

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**Descripción mediante ecuaciones y variables de estado:

• Entradas al sistema (m variables “de control”): u1(t), u2(t), …, um(t).

• n variables de estado (no necesariamente cantidades físicas observables o medibles, pueden ser puramente matemáticas): x1(t), x2(t), …, xn(t).

• Valores iniciales xi(t0) y entradas ui(t) determinan sistema para t > t0.

• Vector de estado x(t), espacio de estado (plano fase), trayectoria de estado (trayectoria fase),…

• Derivadas temporales escritas como ( )t.x .

• Selección de variables de estado xi(t): representación física, de fase, canónica.

• Se pueden definir 2 1 3 2( ), ( )x x t x x t= = , etc. De modo que un sistema escalar de orden n, pasa a ser uno de primer orden, vectorial.

• Para el método de representación por variables físicas, éstas se seleccionan de aquellos elementos del sistema que almacenan energía (ver tabla I, más adelante).

• Pueden requerirse más variables, aparte de las asociadas a elementos de almacenamiento de energía (ejemplo: posición, en un sistema mecánico). A veces se denominan “variables ocultas” sin corresponder directamente a algo físico, sino a la representación abstracta, o modelo.

• Seleccionar sólo variables físicas independientes.

Ejemplo: Circuito RL, sólo hay un elemento que almacena energía (el inductor); sólo hay una variable de estado: x ≡ x1= i ; la entrada es u=e.

1R x uL L

x= − +

(25)

es la ecuación de estado del sistema. Fin§ £Indice

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