Formulaci n particionada no sim trica MEC-MEF para ...

Universidad de Sevilla

Escuela Tecnica Superior de Ingenierıa

Formulacion particionada no simetrica

MEC-MEF para problemas de interaccion

fluido-estructura en acustica

Tesis fin de master

Master en Diseno Avanzado en Ingenierıa Mecanica

Autor: Antonio Cerrato CasadoDirigido por: Luis Rodrıguez de Tembleque Solano y Ramon Abascal Garcıa

2012

Departamento de Mecanica de Medios Continuos, Teorıa de Estructuras e

Ingenierıa del Terreno

Indice general

1. Introduccion 9

2. Fundamentos de la acustica lineal 11

2.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2. Ecuacion de Helmhotz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3. Condiciones de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3. El Metodo de los Elementos de Contorno en Acustica 17

3.1. Solucion Fundamental del problema 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2. El problema interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3. El problema exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.4. Discretizacion del dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4. El Metodo de los Elementos Finitos en elasticidad 29

4.1. Formulacion variacional continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.2. Formulacion variacional discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5. Tecnicas de Acoplamiento entre Fluido y Estructura 35

5.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.2. Interaccion Fluido-Estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.3. Interaccion fluido-estructura mediante el Metodo Mortar . . . . . . . 37

5.3.1. Formulacion variacional continua del problema de acoplamiento 38

5.3.2. Formulacion variacional discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.3.3. Resolucion del problema conjunto de acoplamiento fluido es-

tructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5

Indice general 6

5.4. Metodo de los Mulplicadores de Lagrange Localizados (MLLs) . . . . 42

5.4.1. Formulacion variacional contınua . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.4.2. Formulacion variacional discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.4.3. Resolucion del problema de interaccion fluido-estructura . . . 46

5.4.4. Localizacion de los nodos del marco de acoplamiento: Regla

del momento nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6. Ejemplos de validacion y resultados 49

6.1. Problema de cavidad acustica con pared flexible . . . . . . . . . . . . 51

6.1.1. Respuesta del sistema en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.1.2. Respuesta del sistema fluido-estructura ante una excitacion

forzada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.2. Problema de la cavidad acustica con pared flexible y fluido estratificado 67

7. Conclusiones 69

Bibliografıa 72

Capıtulo 1

Introduccion

El inicio del interes por la acustica se remonta a la antiguedad, donde ya ciertos

sabios como Pitagoras o Aristoteles se interesaron por la fısica del problema. En el

siglo I a.C. aparece el primer trabajo conocido en cuyo contenido se trata la acustica

como un problema con aplicaciones en la vida cotidiana como la conocemos hoy

dıa, en el aparecen recomendaciones a tener en cuentan en el diseno de anfiteatros

para mejorar su acustica. Su autor fue el arquitecto romano Marco Vitruvio Polion

en su obra De Architectura libri decem. A lo largo de la historia grandes fısicos

y matematicos se han preocupado por encontrar formulaciones para el problema

acustico, destacando Newton (1642-1727), Lord Rayleigh (1842-1919) y sobre todo

Hermann von Helmholtz (1821-1894). Durante el siglo XX aparecieron numerosas

aplicaciones de los conocimientos que ya existıan sobre la acustica, como por ejemplo

los trabajos del fısico Wallace Clement Sabine sobre la acustica arquitectonica. Esta

ciencia tambien encontro su aplicacion en algo mas que el confort cuando en la

primera guerra mundial se utilizo la acustica para la deteccion de submarinos.

A lo largo del ultimo siglo los cambios tecnologicos han hecho que las necesidades

de esta ciencia sean cada vez mayores. Hoy en dıa los analisis acusticos en los que

existe una fuerte interaccion entre fluido y estructura tienen gran importancia y nu-

merosas aplicaciones. El uso de nuevos materiales y estructuras cada vez mas ligeras

en vehıculos de todo tipo requieren el desarrollo de nuevas tecnicas para el calculo

del problema acustico, ya que ello va directamente ligado al diseno de la estructura

y al confort de los pasajeros. Por otro lado tenemos tambien una importante apli-

9

Capıtulo 1. Introduccion 10

cacion en problemas de emisiones de ruidos, como podrıa ser el caso de estudio de

silenciadores que garanticen un mejor entorno. Podemos concluir que a dıa de hoy los

diferentes problemas acusticos que se le pueden plantear a un tecnico son infinitos.

Para algunos existen soluciones analıticas buenas [13] [3], pero son pocos, la mayorıa

necesitan de una resolucion numerica.

Las tecnicas necesarias para resolver problemas de interaccion fluido-estructura

es un tema que se ha venido desarrollando debido a su gran interes desde de finales

de los setenta por grandes ingenieros y matematicos como Zienkiewick y Taylor,

destacando tambien los trabajos de investigadores como A. Bermudez [2] y Roger

Ohayon [14] que han venido desarrollando estas tecnicas en los ultimos anos. Su

evolucion ha seguido un curso logico, utilizando en sus inicios el potencial del Metodo

de los Elementos Finitos (MEF) y realizando acoplamientos fuertes entre dominio

fluido y estructura. Para el dominio solido esto esta bien, ya que el MEF es muy

potente y el mas desarrollado en este ambito, sin embargo, en acustica el metodo de

los elementos de contorno (MEC) es mas ventajoso. Por otro lado las discretizaciones

de los dominios que forman parte del problema no tienen por que ser parecidas, ni en

tamano ni en topologıa, para caracterizar correctamente el dominio que representan.

En este trabajo se presentan dos formulaciones que permiten acoplar fluido y

estructura utilizando para cada tipo de dominio el metodo mas conveniente, es de-

cir, MEF para la estructura y MEC para el fluido. La primera formulacion que se

presenta es del tipo Mortar [5] y la segunda utiliza la tecnica de los Multiplicado-

res de Lagrange Localizados [15]. Ambos metodos son acoplamientos que imponen

las condiciones de compatibilidad entre dominios de forma debil, permitiendo ası la

posibilidad de utilizar mallas no conformes. La posibilidad de calcular el problema

de forma particionada permite ademas resolver los sistemas de ecuaciones corres-

pondientes a los diferentes dominios con procesadores independientes, pudiendose

calcular problemas con un elevado numero de grados de libertad.

Capıtulo 2

Fundamentos de la acustica lineal

2.1. Introduccion

Se puede definir la acustica como la ciencia que estudia el sonido, es decir, las

ondas mecanicas que se transmiten a traves de un medio fluido compresible. En este

capıtulo se presentan los fundamentos de la acustica lineal partiendo de la base de que

el medio que estudiamos es un fluido no viscoso que se encuentra en reposo, ademas

cosideraremos las hipotesis de temperatura constante y entropıa constante. Cuando

una onda acustica pasa por un punto del fluido, este ve perturbado su condicion de

equilibrio inicial (velocidad inicial nula (v0 = 0), presion P0 y densidad ρ0).El valor

de estas magnitudes en un instante considerado seran

P = p0 + p (2.1)

ρ = ρ0 + ρ (2.2)

v = v (2.3)

Su evolucion vendra dada por las ecuaciones que modelan el comportamiento del

fluido. Dichas ecuaciones son:

1. Ecuacion de continuidad. En un volumen de control determinado debe cum-

plirse en todo momento que la variacion de la masa en su interior sea igual al

flujo neto que atraviesa su superficie. La ecuacion siguiente expresa este con-

11

Capıtulo 2. Fundamentos de la acustica lineal 12

cepto.

∂

∂t

∫

V

ρdV +

∫

S

ρv · dS = 0 (2.4)

Si aplicamos el teorema de la divergencia de Gauss la expresion anterior queda

de la forma:

∫

V

[

∂ρ

∂t+∇ · (ρv)

]

dV = 0 (2.5)

Esto ha de cumplirse para cualquier volumen arbitrario, por lo tanto, de manera

general la ecuacion de continuidad se expresa como:

∂ρ

∂t+∇ · (ρv) = 0 (2.6)

2. Ecuacion de conservacion de la cantidad de movimiento: Estas expre-

siones representan el equilibrio dinamico de las fuerzas exteriores, inerciales,

volumetricas, de presion y viscosas. Por simplificacion omitiremos estas ulti-

mas, ya que los fluidos que son objeto de estudio en este trabajo son fluidos

no viscosos. La deduccion de estas expresiones se puede hacer igualando la

derivada material de la cantidad de movimiento a cero, o lo que es lo mismo,

establecer un equilibrio de fuerzas en un volumen de control (segunda ley de

Newton). Por lo tanto es facil llegar a la expresion:

∂

∂t

∫

V

ρvdV =

∫

V

bρdV −

∫

S

PdS −

∫

S

(ρv)vdS (2.7)

donde se iguala la variacion temporal de la cantidad de movimiento con las

fuerzas volumetricas, de superficie y de inercia. Aplicando el teorema de Gauss

a las integrales de superficie obtenemos que

∫

V

(

∂ρ

∂t+ ρ(∇v)

)

vdV +

∫

V

ρ

(

∂v

∂t+ (∇v)v

)

dV +

∫

V

∇P =

∫

V

ρb (2.8)


Donde la primera integral es la ecuacion de continuidad (2.6), cuyo valor es

cero. La ecuacion anterior debe cumplirse para cualquier volumen arbitrario,

por lo tanto podemos escribirla de manera diferencial. Ordenando terminos, la

variacion de la cantidad de movimiento puede expresarse de la forma

∂v

∂t+ (∇v)v +

1

ρ∇P = b (2.9)

3. Ecuacion de estado (o constitutiva): La ecuacion constitutiva es una re-

lacion entre entre las variables termodinamicas del material. En el caso de un

gas perfecto es la conocida expresion:

P = RρT (2.10)

donde T es la temperatura absoluta y R es la constante del gas. Para fluidos

adiabaticos la ecuacion de estado puede escribirse como

P = P (ρ) (2.11)

P

p0=

(

ρ

ρ0

)γ

(2.12)

donde γ es el coeficiente de dilatacion adiabatica. Sin embargo esta expresion no

es valida para lıquidos, pero existe una mas general para fluidos isoentropicos

[3]:

c20 =dP

dρ(2.13)

En esta expresion c0 es la velocidad del sonido en el medio. Como se ha men-

cionado antes, la variacion de la densidad en un punto (ρ) es muy pequena en

comparacion con la densidad del fluido. Entonces se puede considerar que la

ecuacion anterior el linealizable:

p = c20ρ (2.14)


2.2. Ecuacion de Helmhotz

Trabajando con las tres ecuaciones descritas anteriormente podemos llegar a la

clasica ecuacion de onda de la acustica lineal. Al ser considerada la densidad inicial

(ρ0) constante en todo el dominio y que la perturbacion es pequena en comparacion

a ella, se pueden establecer las siguientes hipotesis:

ρ = ρ0 + ρ, |ρ| ≪ ρ0

P = p0 + p, |p| ≪ ρ0c20 (2.15)

v = 0 + v, |v| ≪ c0

Aplicandolas, la ecuacion de continuidad (2.6) se simplifica quedando de la forma:

∂ρ

∂t+ ρ0∇ · v = 0 (2.16)

De la misma manera la ecuacion de conservacion de la cantidad de movimiento

se simplifica bajo estas hipotesis, resultando la siguiente expresion:

ρ0∂v

∂t+∇p = 0 (2.17)

Ahora ya tenemos todo lo necesario para definir la ecuacion diferencial que go-

bierna el problema. Combinando la ecuacion constitutiva (2.14) con la ecuacion de

continuidad (2.16) obtenemos que

∂p

∂t+ ρ0c

20∇ · v = 0 (2.18)

A continuacion la derivamos con respecto al tiempo y haciendo uso de la ecuacion

(2.17) obtenemos la ecuacion de onda clasica:


∂2p

∂t2− c20∇

2p = 0 (2.19)

Si la excitacion es armonica, la solucion en cualquier punto del dominio vendrıa

dada por

p(ω, t) = pe(iωt) (2.20)

v(ω, t) = ve(iωt) (2.21)

donde p y v son las amplitudes de los valores de la presion y la velocidad en ca-

da punto del dominio. Al trabajar ahora con una frecuencia fija cambiaremos los

nombres de las variables y llamaremos a las amplitudes mencionadas anteriormente

simplemente p y v. Al substituir en la ecuacion (2.19) se transforma el la ecuacion

de Helmholtz.

∇2p+ k2p = 0 (2.22)

donde k es el numero de ondas k = ω/c0.

El campo de velocidades se puede extraer luego utilizando la ecuacion de con-

servacion de la cantidad de movimiento (2.17), que para una excitacion armonica

serıa:

v = −1

iωρ0∇p (2.23)

Y en el contorno, la velocidad normal:

vn = −1

iωρ0nT∇p = −

1

iωρ0

p

n(2.24)

donde n es el vector normal a la superficie.


2.3. Condiciones de Contorno

Las condiciones de contorno para el problema representado por la ecuacion 2.22

suelen ser de dos tipos: activas o pasivas [23]. Las activas son aquellas en las que

los valores de la amplitud de la velocidad normal o la presion en el contorno son

conocidas.

vn conocida −→ Condicion de contorno tipo Newman (2.25)

p conocida −→ Condicion de contorno tipo Dirichlet (2.26)

Una condicion de contorno pasiva se da cuando el contorno es disipativo, entonces

el reflejo de la onda disminuye de intensidad y cambia su fase. La condicion ha de

ser entonces la impedancia acustica del contorno,

z = p/vn (2.27)

que es una propiedad del material.

Capıtulo 3

El Metodo de los Elementos de

Contorno en Acustica

Gracias a la linealidad que presentan las ecuaciones de la acustica, el Metodo

de los Elementos de Contorno (MEC) resulta mas eficaz a la hora de modelar el

problema que otros metodos, como el Metodo de los Elementos Finitos (MEF), pues

solo ha de discretizar el contorno, lo que reduce el no de incognitas del problema. Otro

aspecto muy importante de el MEC en acustica es que es especialmente apropiado

para resolver problemas en los que el dominio es infinito, ya que inherentemente

cumple la condicion de radiacion de Sommerfeld [18].

El objetivo de este trabajo es el desarrollo de los metodos numericos que mo-

delizan la interaccion fluido-estructura MEC-MEF en dos dimensiones mediante un

acoplamiento debil, por lo que a continuacion se desarrollara el MEC directo (basado

en la integracion de la ecuacion de Helmholtz) con su solucion fundamental en 2D.

3.1. Solucion Fundamental del problema 2D

Como hemos visto en el capıtulo anterior, la ecuacion diferencial que gobierna

el problema de una excitacion armonica en un fluido, es la ecuacion diferencial de

Helmholtz.

∇2p+ k2p = 0 (3.1)

17

Capıtulo 3. El Metodo de los Elementos de Contorno en Acustica 18

Donde, como hemos comentado anteriormente, p es la amplitud de la presion

debido a la excitacion y k es el numero de onda. La solucion fundamental del proble-

ma representa el campo de presiones en todo el espacio debido a una carga puntual

aplicada en el punto P . La ecuacion que nos permite hallar la solucion fundamental

es por tanto:

∇2ψ + k2ψ = −δ(Q− P ) (3.2)

La funcion δ(Q − P ) representa la funcion Delta de Dirac colocada en el punto

de aplicacion de la fuente P .

El espacio en el que trabajaremos es bidimensional, por lo que para resolver

la ecuacion anterior y hallar la solucion fundamental utilizaremos un sistema de

coordenadas cilındricas (r, θ) centrado en P . La ecuacion (3.2) queda entonces como

d2ψ

dr2+

1

r

dψ

dr+ k2ψ = 0 (3.3)

lo cual es valido para todo el espacio salvo en el punto P . Si en la ecuacion anterior

hacemos el cambio de variable k = x/r entonces dicha ecuacion se convierte en la

ecuacion de Bessel de orden cero.

x2d2ψ

dx2+ x

dψ

dx+ x2ψ = 0 (3.4)

La solucion general para esta ecuacion es:

ψ = AH(1)0 (x) +BH

(2)0 (x) (3.5)

donde A y B son coeficientes no conocidos y H(1)0 y H

(2)0 funciones de Hankel de

primera y segunda especie de orden cero. Las funciones de Hankel estan definidas

como:


H(1)0 (x) = J − 0(x) + iY0(x) (3.6)

H(2)0 (x) = J0(x)− iY0(x) (3.7)

donde J0 e Y0 son funciones de Bessel de primera y segunda especie respectivamente

de orden cero.

Si adoptamos el criterio habitual cuando trabajamos en el dominio de la frecuen-

cia y nos situamos en el punto en el que provocamos la excitacion (P ), entonces H(2)0

representa una perturbacion que se produce en el punto P y se propaga hacia el infi-

nito, mientras que H(1)0 representa una onda que llega desde algun sitio al punto en el

que estamos situados. Teniendo en cuenta que el problema que estamos estudiando

es una perturbacion provocada en P , entonces, podemos decir que el coeficiente A

de la ecuacion (3.5) es nulo. El coeficiente B podemos determinarlo si integramos la

ecuacion (3.2) en un area circular muy pequena que encierre a P .

lımǫ→0

∫

Ωǫ

(

∇2ψ + k2ψ)

dA = −1 (3.8)

En el segundo termino de la integral el dA tiende a cero mas rapido que la funcion

ψ a infinito cuando se aplica el lımite ǫ→ 0, por lo que

lımǫ→0

∫

Ωǫ

k2ψdA = 0 (3.9)

y entonces, sustituyendo, queda:

lımǫ→0

∫

Ωǫ

∇2ψdA = −1 (3.10)

Si aplicamos el teorema de la divergencia transformamos la integral anterior en

una de contorno:


lımǫ→0

∫

∂Ωǫ

∂ψ

∂ndΓ = −1 (3.11)

donde ∂Ωǫ es el contorno que engloba el area Ω y n es el vector unidad normal a la

superficie ∂Ωǫ orientado hacia el exterior.

Los lımites correspondientes a las funciones de Bessel son:

lımx→0

J0(x) = 1 (3.12)

lımx→0

Y0(x) =2

πln(x) (3.13)

lımx→∞

J0(x) =cos(x− π/4)

√

πx/2(3.14)

lımx→∞

Y0(x) =sin(x− π/4)

√

πx/2(3.15)

Si los aplicamos a la ecuacion anterior, teniendo en cuenta que ǫ es lo mismo que r

y lo mismo que n al estar centrada la integral en la fuente, podemos deducir el valor

de la constante B:

∫

∂Ωr

∂

∂n

(

lımr→0

ψ)

dΓ = −1

∫

∂Ωr

∂

∂n

(

B

[

1− i2

πln(kr)

])

dΓ = −1

∫ 2π

0

−Bi2

π

1

rdθ = −1

−4iB = −1

B = −i

4(3.16)

Finalmente ya tenemos la solucion fundamental para un plano infinito 2−D


ψ = −i

4H

(2)0 (kr) (3.17)

Mas tarde sera necesaria la derivada de la solucion fundamental respecto a la

normal al contorno, por lo que su expresion queda:

∂ψ

∂n=ik

4H

(2)1 (kr)

∂r

∂n(3.18)

donde H(2)1 es la funcion de Hankel de primer orden y de segunda especie.

3.2. El problema interior

El objetivo del problema interior es resolver la ecuacion de Helmholtz (3.1) en

una cavidad Ω de dimensiones finitas. Recordando la ecuacion (3.1) vemos que se ha

de cumplir en el dominio acustico que

∫

Ω

(∇2p+ k2p)ψdΩ = 0 (3.19)

donde ψ es la solucion fundamental obtenida en la seccion anterior. Recordemos que

es una funcion que cumple las mismas condiciones que la solucion del problema. Si

P

n

S

Ω

Figura 3.1: Punto de colocacion P excluido del dominio


aplicamos el teorema de Gauss a la ecuacion anterior tenemos

∫

Ω

(∇p · ∇ψ + k2pψ)dΩ+

∫

S

∂p

∂nψdS = 0 (3.20)

y aplicando nuevamente el teorema de Gauss sobre la integral de volumen:

∫

Ω

p(∇2ψ + k2ψ)dΩ+

∫

S

∂p

∂nψdS −

∫

S

p∂ψ

∂ndS = 0 (3.21)

En esta expresion hay dos integrales de superficie y una de volumen de la que el

resultado es conocido, ya que recordando (3.2) vemos que el valor de esta integral es

el valor de la amplitud de la presion en la fuente:

p(P ) =

∫

S

(

ψ∂p

∂n− p

∂ψ

∂n

)

dS (3.22)

Si recordamos la ecuacion (2.23) del capıtulo anterior podemos obtener facilmente

una relacion entre la velocidad normal a la superficie y el gradiente del campo de

presiones en esta misma direccion.

∂p

∂n= −iρ0ωvn (3.23)

por lo tanto la expresion (3.22) queda

p(P ) = −

∫

S

(

iρ0ωvnψ + p∂ψ

∂n

)

dS (3.24)

La ecuacion (3.24) establece que es posible conocer la presion en cualquier punto

P dentro del dominio Ω integrando unicamente en el contorno. Esta es la idea basica

del Metodo de los Elementos de Contorno. Sin embargo, como acabamos de decir,

esto es valido para un punto P dentro del dominio. Para que la ecuacion (3.24) pueda

ser utilizada operando solo en el contorno S es necesario situar P en este (Figura


P

n

n

S

Ω

Sǫ

ǫ

Figura 3.2: Punto de colocacion P situado en el contorno S

3.2). El problema es que cuando esto ocurre, las integrales son singulares en el punto

de colocacion.

Para esquivar la singularidad recrecemos el dominio infinitesimalmente en el pun-

to de colocacion mediante un contorno circular de radio ǫ (Figura 3.2). Luego:

p(P ) =

∫

S−Sǫ

∂p

∂nψdS +

∫

Sǫ

∂p

∂nψdS −

∫

S−Sǫ

p∂ψ

∂ndS −

∫

Sǫ

p∂ψ

∂ndS (3.25)

Al ser el radio infinitesimal, sera necesario estudiar el lımite cuando ǫ tiende a

cero [1]. Por lo tanto el primero de los lımites es:

lımǫ→0

∫

Sǫ

p∂ψ

∂ndS = p(P ) lım

ǫ→0

∫

Sǫ

∂ψ

∂ndS = −p(P )

α(rad)

2π(3.26)

y el segundo:

lımǫ→0

∫

Sǫ

ψ∂p

∂ndS = 0 (3.27)

cuya solucion es nula, ya que la solucion fundamental ψ cuando esta llegando a cero

es del orden de O(ln(r)) mientras que el diferencial de area, o mas bien de longitud


P

θ

n

S

Ω

Sǫ

nα

Figura 3.3: Punto de colocacion P situado en una esquina del contorno S

al estar en 2-D, es del orden de O(r) cuando r tiende a cero. Introduciendo entonces,

las ecuaciones (3.26) y (3.27) en (3.25) obtenemos la expresion:

C(P )p(P ) =

∫

S

∂p

∂nψdS −

∫

S

p∂ψ

∂ndS (3.28)

Donde todas las variables de la misma se encuentran situadas en el contorno y el

valor del termino libre C(P ) (3.26) depende del angulo del contorno en el punto de

colocacion (ver Figura 3.3):

C(P ) = 1−α

2π=

θ

2π(3.29)

En el caso de que el punto de colocacion P se encuentre en un contorno suave

(Figura 3.2) el valor de α de la ecuacion (3.26) sera de π radianes, por lo que el valor

de C(P ) sera de 1/2. En general podemos establecer los tres casos siguientes:

C(P ) =

1 siP ∈ Ω12

siP ∈ Γ(suave)θ2π

siP ∈ Γ(esquina)

(3.30)


P

n

n

S

Ω

Sǫ

∞

ǫ

Figura 3.4: Problema exterior con el punto de colocacion P situado en el contorno S

3.3. El problema exterior

En el caso del problema exterior el contorno encierra la parte que se excluye del

dominio (Figura 3.4). Realizando el mismo proceso que acabamos de hacer para el

problema interior llegamos nuevamente a una expresion parecida a (3.31):

C(P )extp(P ) =

∫

S

∂p

∂nψdS −

∫

S

p∂ψ

∂ndS (3.31)

Solo que en este caso el caso el termino libre C(P )ext es diferente,

C(P )ext = 1− C(P ) (3.32)

3.4. Discretizacion del dominio

Para resolver numericamente la ecuacion (3.31) es necesario discretizar el con-

torno del problema en elementos. En general la geometrıa de los elementos viene

dada por las ecuaciones:


x =n

∑

i=1

Ni(ξ)xi (3.33)

y =n

∑

i=1

Ni(ξ)yi (3.34)

donde xi e yi son las coordenadas de los nodos del elemento i y Ni(ξ) son las funciones

de forma del elemento, en este trabajo, las funciones de forma utilizadas son lineales,

por lo que estas seran:

N1 =1

2(1− ξ) (3.35)

N2 =1

2(1 + ξ) (3.36)

encontrandose ξ en el intervalo [−1, 1]. Para poder integrar a lo largo del contorno

en cada elemento, hallaremos el Jacobiano de la transformacion.

J =dS

dξ=

√

(

dx

dξ

)2

+

(

dy

dξ

)2

(3.37)

Las derivadas de las coordenadas globales con respecto a las locales son facilmente

calculables:

dx

dξ=

n∑

i=1

dNi

ξxi (3.38)

dy

dξ=

n∑

i=1

dNi

ξyi (3.39)

El vector unitario normal para cada elemento es:


n =(dy,−dx)

√

dx2 + dy2=

1

J

(

dy

dξ,−

dx

dξ

)

(3.40)

y la direccion del vector normal (n) ha de ser aquella que sale del dominio, es decir,

que para un problema interno ira hacia el exterior del contorno que definamos para

el problema, mientras que para un problema exterior n se dirigira hacia el interior.

El termino ∂r/∂n mencionado en la ecuacion (3.18) es

∂r

∂n= ∇r · n =

x− xP

rnx +

y − yP

rny (3.41)

La aproximacion de las variables del problema en el contorno viene dada en funcion

de los valores nodales y las funciones de forma de los elementos correspondientes:

p =

n∑

i=1

Ni(ξ)pi (3.42)

vn =n

∑

i=1

Ni(ξ)(vn)i (3.43)

Si situamos el punto de colocacion P en un nodo del contorno y aplicamos la

integral de la ecuacion de Helmholtz en todo el contorno (3.31) obtendremos unos

vectores de coeficientes que, multiplicando a los vectores con las soluciones nodales

haran cumplir dicha integral. Dichos coeficientes son:

hi =

∫

Sj

∂ψ

∂nNidS (3.44)

gi = −iρ0ω

∫

Sj

ψNidS (3.45)

donde el indice i hace referencia al nodo en el que se situa P y el ındice j al elemento

en el que se integra. Si esta operacion la repetimos, situando el punto de colocacion

en todos los nodos del contorno, obtendremos unas matrices H∗ y G de manera que


el sistema (3.31) queda:

Cp+H∗p = Gvn (3.46)

En esta ecuacion, C es una matriz diagonal que contiene los terminos libres de los

puntos de colocacion (3.30). Las matrices C y H∗ se pueden sumar, resultando la

expresion anterior:

Hp = Gvn (3.47)

Como se vio en el capıtulo de fundamentos de la acustica, cuando se trata de

vibraciones armonicas, se puede poner la velocidad de las partıculas del fluido en

funcion de la velocidad angular de la vibracion y de su desplazamiento, por lo que

la ecuacion (3.47) puede escribirse como:

Hp = iωGdf (3.48)

Capıtulo 4

El Metodo de los Elementos

Finitos en elasticidad

En los problemas de interaccion fluido-estructura que se tratan en este trabajo

la parte estructural del problema esta modelada con elementos finitos, por lo que a

continuacion se explicaran las las bases de este metodo en problemas de elasticidad.

En este capıtulo se muestra la formulacion variacional que sirve como punto de

partida para este metodo, ası como su desarrollo hasta la obtencion del sistema de

ecuaciones lineal resultante de su aplicacion.

4.1. Formulacion variacional continua

Consideremos que la energıa potencial total del sistema elastico estudiado venga

dada por el funcional:

Πtotal(u) = U(u)−W (u) (4.1)

donde u son los desplazamientos, U es la energıa interna de deformacion elastica y

W es el trabajo realizado por las fuerzas externas. Estos son, respectivamente:

29

Capıtulo 4. El Metodo de los Elementos Finitos en elasticidad 30

U(u) =1

2

∫

Ω

eT σ dΩ (4.2)

W (u) =

∫

Ω

uT b dΩ+

∫

Γt

uT t dΓ. (4.3)

siendo e el tensor de deformacion, σ el tensor de tensiones, b las fuerzas de volumen

y t las fuerzas externas. Este sistema se encuentra en equilibrio si el trabajo realizado

por las fuerzas externas es igual a la energıa elastica acumulada dentro del sistema,

es decir, Πtotal(u) = 0. Por otro lado se ha de garantizar que este equilibrio sea un

equilibrio estable, es decir, que ante cualquier pequena perturbacion en el valor de

los desplazamientos (δu), compatible con las condiciones de contorno, el incremento

de energıa total δΠtotal(δu) ha de ser nulo tambien, es decir, que la energıa potencial

total del sistema sea mınima.

δΠtotal = Πtotal(u+ δu)− Πtotal(u) = 0 (4.4)

O lo que es lo mismo:

∫

Ω

δeTσ dΩ =

∫

Ω

δuT b dΩ+

∫

Γt

δuT t dΓ. (4.5)

La ecuacion integral (4.5) es conocida en el ambito ingenieril como el Principio

de los Trabajos Virtuales.

4.2. Formulacion variacional discreta

El dominio elastico se puede discretizar en un conjunto de dominios elementales

tales que

Ω =

Ne⋃

e=1

Ωe y

Ne⋂

e=1

Ωe = Ø, (4.6)

donde Ne es el numero de elementos o subregiones que componen el dominio Ω.

Entonces, el potencial total sera ahora la suma del potencial de cada subdominio

(δΠe(u)):


δΠtotal(u) =

Ne∑

e=1

δΠe(u), (4.7)

Para cada elemento se puede calcular el potencial total δΠe de la misma forma que

para el dominio completo, como en la ecuacion (4.4). Cada incremento de potencial

sera por tanto:

δΠe(u) =

∫

Ωe

δeTσ dΩ−

∫

Ωe

δuT b dΩ−

∫

Γe

δuT t dΓ. (4.8)

Empleando elementos isoparametricos y la formulacion clasica del Metodo de los

Elementos Finitos (Zienkiewicz [24]), la aproximacion de los desplazamientos dentro

del dominio del elemento vendra dada en funcion de sus desplazamientos nodales

(de) y de su interpolacion en el interior del dominio. De esta forma:

u ≃ u = N de, (4.9)

siendo N la matriz de funciones de interpolacion (o funciones de forma) del

elemento

N =

N1 0 0 . . . Nne0 0

0 N1 0 . . . 0 Nne0

0 0 N1 . . . 0 0 Nne

, (4.10)

En esta expresion ne representa el numero de nodos del elemento y Ni las fun-

ciones de forma correspondientes a cada nodo. Las dimensiones de esta matriz son n

filas y m columnas, siendo n el numero de grados de libertad por nodo y m el numero

total de grados de libertad del elemento. Por ejemplo, el caso de la expresion (4.13)

es el de las funciones de forma de un elemento de elasticidad en tres dimensiones,

con ne nodos y 3 grados de libertad en cada uno de ellos, por lo que la matriz es de

dimensiones 3× 3ne.

En el caso de elasticidad isotropa con pequenas deformaciones el tensor de de

deformacion de Green-Lagrange es

e =1

2(∇u+ (∇u)T ) (4.11)


y por lo tanto, de manera discreta:

e = Bde (4.12)

siendo B = [B1,B2, . . . ,Bne] y ε el tensor de deformacion en notacion de Voigt.

Siguiendo con el mismo caso de elasticidad en tres dimensiones:

Bi =

∂Ni

∂x0 0

0∂Ni

∂y0

0 0∂Ni

∂z∂Ni

∂y

∂Ni

∂x0

∂Ni

∂z0

∂Ni

∂x

0∂Ni

∂z

∂Ni

∂y

(4.13)

El pseudo-vector de tensiones se obtiene como: σ = Ee, siendo E la matriz consti-

tutiva. Por lo tanto tambien podemos expresar σ en funcion de los desplazamientos:

σ = EBde (4.14)

Sustituyendo todas estas expresiones en la ecuacion (4.8) se obtiene la variacion

del funcional discreto para un elemento

δΠe(de) = (δde)T Ke de − f e, (4.15)

donde Ke es la matriz de rigidez elemental

Ke =

∫

Ωe

BTEBdΩ (4.16)

y f e es el vector de fuerzas nodales, dado por

f e =

∫

Ωe

NTbdΩ+

∫

Γe

NT tdΓ. (4.17)

Sustituyendo (4.15) de cada elemento en (4.7) se obtiene


δΠtotal(d) = δdT K d− f, (4.18)

donde K es la matriz de rigidez del sistema, que resulta ser simetrica y definida

positiva. Proviene del ensamblaje de las matrices de rigidez elementales (4.16). El

vector F es el vector de cargas nodales. Se obtiene imponiendo las condiciones de

equilibrio de las fuerzas nodales y la compatibilidad en los desplazamientos de dichos

nodos.

Como hemos comentado anteriormente, para que exista equilibrio ha de cumplirse

que para cualquier δd distinto de cero, el incremento de la energıa potencial total ha

de ser nulo, δΠtotal(d) = 0. Esto quiere decir que

K d = f . (4.19)

La resolucion de dicho sistema de ecuaciones permite obtener los desplazamientos

nodales del problema elastico considerado.

Capıtulo 5

Tecnicas de Acoplamiento entre

Fluido y Estructura

5.1. Introduccion

El acoplamiento superficial entre diferentes dominios tiene un gran interes para la

resolucion numerica de problemas no convencionales, como por ejemplo aquellos en

los que hay un gran numero de grados de libertad y se hace necesaria su resolucion

de manera particionada y computacion en paralelo, tambien para problemas de con-

tacto [6], o de interaccion fluido estructura en problemas de acustica como es el caso

de este trabajo. La posibilidad de utilizar ademas diferentes metodos numericos para

los diferentes dominios, segun las caracterısticas y necesidades de este, abre la puerta

a la obtencion de resultados mas precisos y con tiempos de computacion menores.

Por ejemplo en los problemas de acustica lineal, en los que el dominio es normalmen-

te infinito, el MEC es mas indicado que el MEF y estas tecnicas de acoplamiento

permiten su interaccion con estructuras modeladas con elementos finitos.

En este capıtulo se presentan diferentes tecnicas de conexion entre fluido y es-

tructura, siendo el primero modelado con elementos de contorno y el segundo con

elementos finitos. Para mallas no conformes en la zona de interaccion las dos princi-

pales tecnicas de acoplamiento son el Metodo Mortar, propuesto por Bernardi et al.

[5], y el Metodo de los Multiplicadores de Lagrange Localizados (MLLs), propuesto

por Park and Felippa [15].

35

Capıtulo 5. Tecnicas de Acoplamiento entre Fluido y Estructura 36

5.2. Interaccion Fluido-Estructura

En el problema de acoplamiento, se puede expresar el potencial total del sistema

como la suma del potencial de todos los dominios que forman parte de el y de sus

interfases [6]. En el caso del acoplamiento de dos dominios, un fluido y una estructura,

se escribirıa:

Πtotal = Πs(us) + Πf(uf ) + Πc(us,uf , tc) (5.1)

donde Πs es el potencial total de la estructura, Πf el del fluido y Πc es el potencial

de la interfase de conexion Γc. Este potencial total, en general depende de los des-

plazamientos de ambos dominios u1 y u2 y de las fuerzas que surgen en su interfase.

La variacion total del potencial (δΠtotal) sera entonces:

δΠtotal(us,uf , tc) = δΠs(us) + δΠf(uf ) + δΠc(us,uf , tc), (5.2)

donde el primer sumando es la ecuacion (4.18) y el segundo y tercer termino no se

obtienen de manera inmediata. El teorema de los trabajos virtuales aplicado a un

fluido modelado con el MEC se puede expresar con una formulacion debil que tiene

en cuenta solo el contorno del dominio [4] [8] [9]

δΠf =

∫

Γf

(p− t) · δunfdΓ (5.3)

De manera discreta, esta energıa se puede escribir como:

δΠf = δdTf

∫

Γf

NTNdΓ(p− t) (5.4)

Donde N son las funciones de forma y los vectores p y u contienen los valores nodales

de la presion y el desplazamiento normal a la superficie respectivamente. Utilizando

las relaciones

M =

∫

Γf

NTNdΓ (5.5)

y


p = iωH−1Gdf (5.6)

podemos escribir la expresion 5.4 de la forma:

δΠf = δdTf

[

Adf −Mt]

= 0 (5.7)

siendo A = iωMH−1G. Finalmente, de aquı deducimos el sistema de ecuaciones

proveniente del MEC que utilizaremos mas adelante para acoplar el fluido con la

estructura:

Adf = ff (5.8)

En cuanto al tercer sumando de la ecuacion (5.10), representa la transferencia de

energıa entre un medio y otro. De alguna manera ha de contener en su expresion que

las fuerzas y los desplazamientos a un lado y otro de la interfase sean iguales para

que exista compatibilidad y equilibrio entre ambos dominios. Este termino es el que

diferencia las diferentes tecnicas de acoplamiento que veremos a continuacion.

5.3. Interaccion fluido-estructura mediante el Meto-

do Mortar

El metodo Mortar es un conjunto de tecnicas basadas en la formulacion de los

multiplicadores de Lagrange que permiten realizar acoplamientos con mallas no con-

formes. En este metodo el campo de multiplicadores del marco se aproxima mediante

unas funciones de interpolacion (Nλ). Dependiendo de las caracterısticas del marco

y de estas funciones aproximantes estas tecnicas se pueden englobar en dos grupos.

Por un lado, las que definen el marco de conexion independiente de los dominios que

se acoplan, destacando los trabajos de Simo et al. [21] , Park et al. [16] o Rebel et al.

[19]. Y por otro lado las tecnicas que definen el marco solidario a uno de los dominios

a acoplar, donde destacan los trabajos de Wohlmuth et al. [22] y Bernardi et al. [5].


d1

d2

λ

Marco

tc

us

uf

Ω2: Fluido

Ω1: Solido

Figura 5.1: Acoplamiento tipo Mortar

5.3.1. Formulacion variacional continua del problema de aco-

plamiento

En la interfase de acoplamiento, el trabajo que realizan las tracciones de la in-

terfase es:

Πc =

∫

Γc

tTc (ucs − uc

f) dΓ, (5.9)

siendo tc las tracciones en la interfase de acoplamiento Γc y ucs y uc

f los desplaza-

mientos de la estructura y de fluido en la interfase.

La variacion total del potencial (δΠtotal) queda como:

δΠtotal = δΠs(us) + δΠf (uf) + δΠc(us,uf , tc), (5.10)


donde

δΠc =

∫

Γc

δtTc (us − uf ) + (δus − δuf)T tc dΓ, (5.11)

En esta expresion de la variacion del trabajo en la interfase el primer integrando

significa que ante cualquier pequena variacion de carga la variacion de los desplaza-

mientos de ambos dominios ha de ser tal que el incremento del potencial sea nulo.

Por otro lado tenemos el segundo integrando, que significa que el trabajo que se pro-

duce en un dominio debido a las tracciones en la interfase se transmite integramente

al otro.

5.3.2. Formulacion variacional discreta

Al discretizar la interfase o superficie de conexion (Γc), esta se divide Nfe super-

ficies elementales, de forma que la interfase Γc pasa a ser el marco de acoplamiento

Γec . Ha de cumplirse que

Γc =

NIe

⋃

e=1

Γec y

NIe

⋂

e=1

Γec = Ø. (5.12)

El campo de multiplicadores de Lagrange o de tracciones de acoplamiento ha de

aproximarse mediante unas funciones de forma en el marco de acoplamiento.

tc ≃ tc = Nλλ (5.13)

donde λ son los multiplicadores de Lagrange, que estan situados en los nodos del

marco de acoplamiento y Nλ es la matriz contenedora de las funciones forma que

aproxima las tracciones de acoplamiento en la interfase. El campo de desplazamientos

de los diferentes dominios en la superficie de acoplamiento (ucα) viene dado en su

forma discreta (ucα) por unas funciones de forma (Nα) y los valores nodales de los

desplazamientos (dcα) de la forma:

ucα ≃ uc

α = Nαdcα, α = (s, f) (5.14)

Aplicando esta aproximacion de los terminios que influyen en la variacion de


la energıa potencial en la superficie de acoplamiento, podemos escribir la ecuacion

(5.11) como:

δΠc =

NIe

∑

e=1

∫

Γec

δtTc (ucs − uc

f ) + (δucs − δuc

f)T tc dΓ, (5.15)

Hasta aquı no hemos hecho referencia en ningun momento a como ha de ser la

discretizacion de la interfase. Las superficies en las que se divide la interfase (5.12)

vendran dadas en funcion de la situacion de los elementos del marco y los de los

dominios a acoplar. La manera en la que dividamos la interfase dependera funda-

mentalmente de como podamos resolver las integrales. Ası pues, en el caso de mallas

coincidentes, la discretizacion de la superficie de acoplamiento para su integracion

sera la misma que la del marco o la de cualquiera de los dominios. A partir de ahora

obviaremos esta discretizacion, ya que es simplemente un problema de programacion

mas que conceptual.

Por lo tanto, aplicando la segunda parte de (5.13) y (5.14), podemos escribir la

ecuacion anterior como :

δΠc =

∫

Γc

δλT[

NTλNsd

cs − NT

λNfdcf

]

dΓ+

+

∫

Γc

[

δdcTs NT

s Nλλ

]

dΓ−

∫

Γc

[

δdcTf NT

f Nλλ

]

dΓ = 0 (5.16)

Y simplificando (5.17) obtenemos:

δΠc = δλT(

CTs d

cs − CT

f dcf

)

+ δdcTs Csλ− δdcT

f Cfλ = 0 (5.17)

donde las matrices Cs y Cf son:

Cs =

∫

Γc

NTs Nλ dΓ (5.18)

Cf =

∫

Γc

NTf Nλ dΓ (5.19)

Las matrices Cs y Cf tienen la peculiaridad de que solo multiplican a los grados


de libertad de cada dominio que se situan en la interfase. Para poder acoplarlas pos-

teriormente es necesario reordenar sus coeficientes de manera que puedan multiplicar

al vector que contiene todos los grados de libertad del dominio al que acoplan. Para

obtener el vector de los grados de libertad de la interfase podemos hacer:

dcα = Bdα (5.20)

donde B es una matriz booleana de seleccion. Entonces,

Cαdcα = Cαdα (5.21)

siendo Cα = CαB, que son las matrices de acoplamiento que utilizaremos a partir

de ahora.

5.3.3. Resolucion del problema conjunto de acoplamiento

fluido estructura

Supongamos ahora que acoplamos una estructura modelada con elementos fini-

tos (estructura) y un fluido con elementos de contorno (fluido), entonces, aplicando

las ecuaciones (5.7), (4.18) y (5.1) obtenemos que la variacion total de la energıa

potencial es:

δΠtotal = δdTs [K ds − fs] + δdT

f

[

Adf − ff]

+

+ δλT[

CTs ds −CT

f df

]

+ δdsCsλ− δdfCfλ = 0 (5.22)

y ordenando terminos

δΠtotal =δdTs (K ds +Csλ− fs) + (5.23)

+ δdTf

(

Adf −Cfλ− ff)

+

+ δλeT(

CTs ds −CT

f df

)

= 0


Al ser nulo el sumatorio ante cualquier desplazamiento o traccion virtual arbitrario

que podamos introducir y obviando la solucion trivial, la ecuacion anterior se puede

reescribir como:

δdTs [K ds +Csλ− fs] = 0 (5.24)

δdTf

[

Adf −Cfλ− ff]

= 0

δλT[

CTs ds −CT

f df

]

= 0

donde cada uno de los sumandos anteriores se encuentra igualado a cero. Finalmente,

de forma matricial, obtenemos sistema de ecuaciones lineales que nos permite resolver

el problema de interaccion fluido estructura para una vibracion estacionaria:

K 0 Cs

0 A −Cf

(Cs)T −(Cf )

T 0

ds

df

λ

=

fs

ff

0

(5.25)

5.4. Metodo de los Mulplicadores de Lagrange Lo-

calizados (MLLs)

El metodo de los multiplicadores de Lagrange Localizados es un metodo de aco-

plamiento tipo Mortar propuesto por Park y Felippa [15]. En este metodo los multi-

plicadores se aproximan de forma puntual, es decir, que las funciones de forma que

se utilizan para las tracciones de la interfase son funciones Delta de Dirac. Ademas,

a diferencia con el Metodo Mortar, los multiplicadores se situan en la interfase de los

dominios a acoplar y no en el marco, donde encontramos unos desplazamientos que

hacen que se cumpla la transferencia de energıa de un medio a otro. En un principio

el MMLs se planteo para problemas de acoplamiento con mallas conformes [15] [16],

a raız de trabajos posteriores [16] [17] [19] se adapto tambien a mallas no conformes

y se aplico a problemas de contacto [6].

El trabajo producido en la interfase podemos escribirlo como la suma de los

trabajos realizados en la superficie de acoplamiento (Γc) por los dominios que se

acoplan [6]. De este modo:


Πc = Πcs +Πc

f (5.26)

Πc =

∫

Γc

ts(ucs − uc)dΓ +

∫

Γc

tf(ucf − uc)dΓ (5.27)

donde tα son las tracciones de la superficie de acoplamiento del dominio α , ucα

son sus desplazamientos y uc es el campo de desplazamientos del marco (ver Figura

5.2).

5.4.1. Formulacion variacional contınua

Para que el sistema se encuentre en equilibrio estable este ha de responder de

manera que la variacion de la energıa potencial sea nula ante cualquier perturbacion

en las tracciones de la interfase o en los desplazamientos. Por lo tanto, desarrollando

la expresion 5.27:

δΠc =

∫

Γc

[δts(ucs − uc) + tsδu

cs − tsδuc] dΓ + (5.28)

+

∫

Γc

[

δtf(ucf − uc) + tfδu

cf − tfδuc

]

dΓ = 0 (5.29)

5.4.2. Formulacion variacional discreta

De manera general, tanto para mallas conformes como no conformes, podemos

hacer la discretizacion siguiente:

ucs = Nsd

cs, (5.30)

ucf = Nfd

cf , (5.31)

uc = Ncdc, (5.32)


ts = Nλλs

Ω1 : Solido

Marco

Ω2 : Fluido

uc = Ncdc

tf = Nλλf

Figura 5.2: Evaluacion de la funcion de forma (Nc) en la proyeccion de la posiciondel multiplicador sobre el marco

ts = Nλλs, (5.33)

tf = Nλλf . (5.34)

Donde las matrices N contienen las funciones de forma relativas al campo que

aproximan y los vectores ds , df y dc contienen el valor de los desplazamientos en los

nodos de las mallas de la interfase. Los vectores λα (α = s, f) contienen los valores

de las tracciones en los nodos.

Aplicando esta discretizacion de las variables, podemos reescribir la ecuacion 5.28

como:

δΠc =

∫

Γc

[

δλTs N

Tλ(Nsd

cs −Ncdc) + λ

Ts N

TλNsδd

cs − λ

Ts N

TλNcδdc

]

dΓ+

+

∫

Γc

[

δλTf N

Tλ(Nfd

cf −Ncdc) + λ

Tf N

TλNfδd

cf − λ

Tf N

TλNcδdc

]

dΓ = 0 (5.35)

Como dijimos antes, en el metodo de los multiplicadores de Lagrange localizados,

las tracciones se aproximan puntualmente, por lo que las funciones de forma utiliza-


3

λ4

Ω

Marco

L1(4, 3)

Figura 5.3: Evaluacion de la funcion de forma (Nc) en la proyeccion de la posiciondel multiplicador sobre el marco

das (Nλ) seran funciones Delta de Dirac. Resolviendo las integrales anteriores con

α = s, f :

∫

Γc

δλTαN

TλNαd

cαdΓ = δλT

αdcα (5.36)

∫

Γc

δλTαN

TλNcdc)dΓ = δλT

αNc(ξ)dc = δλTαLαdc (5.37)

∫

Γc

λTαN

TλNαδd

cαdΓ = δdcT

α λα (5.38)

∫

Γc

λTαN

TλNcδdc)dΓ = λ

TαNc(ξ)δdc = δdT

c LTαλα (5.39)

En las ecuaciones (5.37) y (5.39) aparece el termino Nc(ξ), este representa la eva-

luacion de la funcion de forma (Nc) en la proyeccion de la posicion del multiplicador

sobre el marco (ver figura 5.3).

De nuevo, podemos reescribir el trabajo realizado en la interfase de manera dis-

creta aplicando las ecuaciones (5.36),(5.37),(5.38),(5.39):

δΠc = δλTs d

cs − δλT

s Lsdc + δdcTs λs − δdT

c LTs λs +

+ δλTf d

cf − δλT

f Lfdc + δdcTf λf − δdT

c LTf λf = 0 (5.40)


La ecuacion (5.40) significa que la estructura y el fluido estan acoplados de manera

que la energıa se transfiere ıntegramente entre ellos, ademas, esta escrita de manera

que permite ser incluida en un sistema de ecuaciones que contenga tambien aquellas

que representan los dominios a acoplar, esto permite resolver el problema de forma

monolıtica.

5.4.3. Resolucion del problema de interaccion fluido-estructura

La variacion total de la energıa en el sistema ha de ser nula para que exista

un equilibrio estable, por tanto, aplicando las ecuaciones (5.7), (4.18) y (5.40) po-

demos escribir la expresion que nos dara la solucion del problema. Realizando un

acoplamiento entre un dominio solido y uno fluido, la variacion total del potencial

es:

δΠtotal = δΠs + δΠf + δΠc = 0 (5.41)

δΠs = δds [Kds − fs] = 0 (5.42)

δΠf = δdf

[

Adf − ff]

= 0 (5.43)

δΠcs = δλT

s dcs − δλT

s Lsdc + δdcTs λs − δdT

c LTs λs = 0 (5.44)

δΠcf = δλT

f dcf − δλT

f Lfdc + δdcTf λf − δdT

c LTf λf = 0 (5.45)

y ademas, como esto ha de poder escribirse para cualquier variacion arbitraria (pero

compatible con las condiciones de contorno) de los desplazamientos de los dominios,

del marco y de las tracciones de la interfase, se pueden reescribir las ecuaciones

anteriores reagrupando sus terminos en funcion del operador al que multiplican:


δds [Kds − fs +Bsλs] = 0 (5.46)

δdf

[

Adf − ffBfλf

]

= 0 (5.47)

δλTs

[

BTs ds − δλT

s Lsdc

]

= 0 (5.48)

δλTf

[

BTf df − δλT

f Lfdc

]

= 0 (5.49)

δdTc

[

LTs λs + LT

f λf

]

= 0 (5.50)

En estas ecuaciones, aparece un nuevo terminio, la matriz booleanaBα (α = s, f).

Dicha matriz sirve para seleccionar los grados de libertad del dominio α situados

en la interfase de entre todos los grados de libertad del domino (dα). Es decir,

dcα = Bαdα. Obviando la solucion trivial, este sistema de ecuaciones nos permite

obtener directamente la solucion del campo de desplazamientos de ambos dominios,

de los desplazamientos del marco y de las tracciones de la interfase. De manera

matricial:

K 0 Bs 0 0

0 A 0 Bf 0

BTs 0 0 0 −Ls

0 BTf 0 0 −Lf

0 0 LTs LT

f 0

ds

df

λs

λf

dc

=

fs

ff

0

0

0

(5.51)

5.4.4. Localizacion de los nodos del marco de acoplamiento:

Regla del momento nulo

Hasta ahora no se ha hecho ninguna especificacion en cuanto a la malla del marco,

sin embargo en el metodo de los MLLs los nodos del marco no pueden estar situados

de forma arbitraria, sino que su disposicion ha de cumplir los requerimientos de

Babuska-Brezi [7] [12] [25]. Para establecer la localizacion de los nodos del marco

de acoplamiento se sigue la Regla del momento nulo, estudiada por Park et al. [17].

Esta regla consiste en extraer los puntos del marco en los que la resultante de los

momentos producidos por los MLLs de la interfase son nulos, como se puede ver en

la Figura 5.4.


Ω1: Solido

Marco

Ω2: Fluido

1/3 2/3 2/3 1/3

1 1/21/2

Ley de momentos

2L

Figura 5.4: Diagrama de momentos que producen los MLLs sobre el marco y la malladel marco que satisface la regla del momento nulo

Capıtulo 6

Ejemplos de validacion y

resultados

En este capıtulo se hara un analisis de la aplicabilidad y resultados de los metodos

de formulacion particionada expuestos en el capıtulo anterior a partir de algunos

ejemplos.

G. Sandberg et al. proponen en [20] una formulacion para problemas de inter-

accion fluido estructura empleando el metodo de los elementos finitos y utilizando

un acoplamiento fuerte entre los dos dominios, es decir, imponiendo la igualdad de

desplazamientos de ambos dominios en la superficie de acoplamiento. A continua-

cion presentan un ejemplo en el que resuelven de manera acoplada un fluido y una

estructura en dos dimensiones, tal y como se muestra en la figura (6.1). La cavidad

es de dimensiones 10× 4m y la malla de elementos finitos es de 20× 8 elementos.

Este problema servira de base para los estudios que se presentan en este capıtulo.

Para comprobar si los resultados obtenidos con los metodos de interaccion fluido-

estructura MEC-MEF explicados en el capıtulo anterior funcionan correctamente

se ha hecho un analisis de respuesta en frecuencia para determinar las frecuencias

naturales del sistema y ver si estas se corresponden con las obtenidas por Sandberg

et al. [20]. El modelo utilizado para la resolucion del problema es el que se muestra

en la figura (6.2) , donde el fluido esta modelado con elementos de contorno, la

estructura con elementos finitos y entre ambos existe un marco cuyas propiedades

dependen del tipo de acoplamiento (Mortar o MLLs). La discretizacion utilizada

49

Capıtulo 6. Ejemplos de validacion y resultados 50

10m

4m

Figura 6.1: Problema resuelto por G. Sandberg, P. Wernberg y P. Davidson muestranen [20]

10m

4m Dominio fluido (MEC)

V iga (MEF )

Marco de acoplamiento

Figura 6.2: Modelo utilizado para la resolucion del problema

mantiene las mismas medidas que el problema de referencia, es de decir, elementos

de 0,5m. La malla de elementos de contorno es de 2× 20 + 2 × 8 elementos y la de

elementos finitos es de 20. La malla del marco es coincidente con las dos anteriores

tal y como se muestra en la figura 6.2.


6.1. Problema de cavidad acustica con pared fle-

xible

6.1.1. Respuesta del sistema en frecuencia

A continuacion se presenta el resultado de realizar un analisis de respuesta en

frecuencia del problema de la figura (6.2) utilizando un acoplamiento tipo Mortar

entre fluido y estructura. Las frecuencias naturales esperadas del sistema son, de

manera aproximada, las obtenidas por Sandberg et al. en [20]. Para el analisis, la

carga que se le ha aplicado al sistema es una fuerza unitaria vertical situada en el

segundo nodo de la estructura empezando por la izquierda (ver Figura 6.3). Las

nueve primeras frecuencias naturales y sus modos de vibracion del sistema, segun el

analisis modal hecho por G. Sandberg et al. se pueden ver en la Figura 6.5.

El resultado del analisis (Figura 6.5) es que el acoplamiento debil, con las for-

mulaciones propuestas en este trabajo, funciona de manera satisfactoria, estimando

bien las frecuencias naturales del sistema. En cuanto al nivel de precision en la es-

timacion es necesario tener en cuenta que la discretizacion del fluido de Sandberg

et al. quizas no sea la mas correcta, ya que no realiza ningun estudio de convergencia

de la solucion. Sin embargo, a la vista de los resultados, podemos considerar ambas

formulaciones coinciden en sus resultados.

Dominio fluido (MEC)

V iga (MEF )

F, f

Figura 6.3: Carga aplicada al sistema, F = 1N , frecuencia f variable


6.5755 20.3112 43.8516

75.9558 94.6997 113.0973

130.9446 172.634 187.8503

Figura 6.4: Modos de vibracion del sistema fluido-estructura acoplado (Sandberget al. [20])


0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5x 10

−8 Respuesta en frecuencia

frecuencia [Hz]

Des

plaz

amie

nto

vert

ical

del

seg

undo

nod

o [m

]

Respuesta en frecuencia (flecha nodo 2)Frecuencias Sandberg et al.

Figura 6.5: Discretizacion conforme y no conforme de los dominios acoplados.


Dominio fluido (MEC)

V iga (MEF )M, f

Figura 6.6: Carga aplicada al sistema, M = 1N , frecuencia f variable

6.1.2. Respuesta del sistema fluido-estructura ante una ex-

citacion forzada

En esta seccion veremos como se comporta el sistema ante una vibracion forzada.

El objetivo es ver como varıa la solucion en funcion del mallado de ambos dominios

para mostrar el comportamiento de los metodos de acoplamiento expuestos en el

Capıtulo 5. El ejemplo utilizado en esta seccion es el representado en la Figura

6.6. La carga aplicada al sistema es ahora un momento en el primer nodo de la

viga empezando por la izquierda de la imagen. En funcion de las mallas de ambos

dominios clasificaremos los casos analizados en:

1. Mallas coincidentes. Como su nombre indica son aquellas en la que los nodos

de la malla de ambos dominios coinciden en el espacio.

2. Mallas no conformes. Los nodos de ambas mallas no coinciden, sin embargo el

tamano de los elementos es parecido.

3. Mallas altamente no conformes. Los elementos de la malla del fluido tienen un

tamano varias veces inferior al de la estructura y por supuesto los nodos de las

mallas no coinciden, pudiendo haber algunos que si.

El metodo que se utilizara para resolver el problema en primera instancia es el

Mortar, dejando el de los Multiplicadores de Lagrange Localizados para el caso de

mallas altamente no coincidentes, donde este demuestra claramente mejores resulta-

dos. Los analisis que se presentan a continuacion estan realizados con una frecuencia


proxima a la del primer modo de vibracion del sistema, 5Hz. En cuanto a las discre-

tizacion del fluido en elementos de contorno se ha hecho de forma que tiene el mismo

numero de elementos en las paredes enfrentadas de la cavidad, teniendo las laterales

la mitad que la superior e inferior. Para el metodo Mortar, por simplicidad, se ha

discretizado el marco de forma coincidente con la estructura.


Campo de presiones [Pa]

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

−0.2

−0.1

0

0.1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−5

0

5

x 10−8

Posición [m]

Des

plaz

amie

nto

vert

ical

[m]

Frecuencia: 5 Hz.

Estructura Fluido

Figura 6.7: Solucion del sistema. Mallas conformes (5Hz)

Analisis para mallas coincidentes

La malla utilizada se compone de 32 elementos para la estructura y el fluido en

la interfase. El resultado de aplicar la carga descrita en la Figura 6.6 a 5Hz es el

que vemos en la Figura 6.7, donde se muestra el campo de presiones producido en

el dominio fluido y los desplazamientos en la interfase. Se puede ver que la solucion

se corresponde bien con el primer modo de vibracion obtenido por Sandber et al.

(6.4). En cuanto a los desplazamientos en la interfase, se aprecia en la Figura 6.8

que las soluciones para fluido y estructura se pueden considerar coincidentes, la

mejor o peor aproximacion dependera solamente de la eleccion de las funciones de

forma que interpolan los campos de desplazamientos de ambos dominios. Ası pues,

si por ejemplo las funciones de interpolacion de los desplazamientos del fluido y de

la estructura en la interfase fuesen iguales, los desplazamientos habrıan de ser los

mismos tambien.


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8x 10

−8

Posición [m]

Des

plaz

amie

nto

vert

ical

[m]

Desplazamientos verticales. Frecuencia: 5 Hz.

EstructuraFluido

Figura 6.8: Detalle de los desplazamientos en la interfase. Mallas conformes (5Hz)


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−0.25

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Posición [m]

Pre

sión

[Pa]

Presiones en la interfase. Frecuencia: 5 Hz.

Multiplicadores del marcoPresiones del fluido

Figura 6.9: Valor de los multiplicadores y de las presiones del fluido en la interfase.

Mallas conformes (5Hz)


Analisis para mallas no conformes

En este caso se mantiene la discretizacion de la estructura y el marco (32 ele-

mentos), variando la del fluido, que pasa a tener 40 elementos en la interfase. En lo

que se refiere al campo de presiones no se aprecia ninguna variacion, como se ve en

la Figura 6.11, es solo en los desplazamientos del fluido en las zonas proximas a los

anclajes de la viga donde observamos ciertas irregularidades. Esto se debe a que las

variables que definen el trabajo transferido entre un medio y otro (desplazamientos

y tracciones) (5.17) estan coaccionados en los extremos de la viga, por tanto, son

las funciones de forma de estas variables, y no los valores nodales, quienes rigen el

trabajo transferido a traves del marco en esta zona inmediata a los extremos.

A pesar de poder existir esta pequena alteracion en zonas concretas el resultado

es muy bueno. Se puede considerar a la vista de los resultados que los valores mas

interesantes de los desplazamientos no difieren del calculo con mallas coincidentes.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8x 10

−8

Posición [m]

Des

plaz

amie

nto

vert

ical

[m]


EstructuraFluido

Figura 6.10: Detalle de los desplazamientos en la interfase. Mallas no conformes

(5Hz)


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−0.25

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Posición [m]

Pre

sión

[Pa]




Mallas no conformes (5Hz)


Analisis para mallas altamente no conformes

Nuevamente mantenemos el mallado de la estructura y el marco, sin embargo

hacemos el tamano de los elementos del fluido en la interfase 4 veces menor que los

de la estructura, es decir, nos encontramos con 128 elementos a acoplar. Este mallado

tiene dos peculiaridades: primero la diferencia de tamano de elemento entre ambos

dominios y segundo que hay algunos nodos coincidentes.

En la Figura 6.14 se observan dos fenomenos. En los extremos de la viga se pro-

ducen unas alteraciones de la solucion que tienen el mismo origen que las explicadas

en el apartado anterior. Por otro lado se observan picos en los desplazamientos del

fluido en las zonas de maxima curvatura. Estos picos se deben a las condiciones de

contorno que impone el marco de acoplamiento sobre el fluido. Esto quiere decir que

el campo de tracciones en la superficie de acoplamiento viene dado por los multi-

plicadores y sus funciones de forma, y, por lo tanto, estas son las presiones que le

estamos imponiendo al fluido en esta zona. Es por esto que todas las graficas en la

que se representan los multiplicadores del marco y las presiones del fluido ambas

son coincidentes. En definitiva, le estamos dando al fluido en su parte superior una

distribucion de presiones lineal a trozos cada cuatro elementos, y por lo tanto, esta

ley de presiones carece de la informacion necesaria para poder darle la curvatura

correcta a los desplazamientos del fluido.

Esta es la gran ventaja del metodo de los Multiplicadores de Lagrange Localiza-

dos frente al Mortar. El marco en el metodo de los MLLs impone en ambos dominios

compatibilidad de desplazamientos con el. Esto hace que ahora los desplazamientos

del fluido sigan los del marco de manera exacta, es decir, ahora son los desplazamien-

tos los que siguen la distribucion lineal cada cuatro elementos, como en el Mortar lo

hacıan las presiones. Todo esto se puede ver en la Figura 6.16, donde se representa

de forma aumentada la zona en la que las presiones son maximas.


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8x 10

−8

Posición [m]

Des

plaz

amie

nto

vert

ical

[m]


EstructuraFluido

Figura 6.12: Detalle de los desplazamientos en la interfase. Mallas altamente no

conformes (5Hz)


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−0.25

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Posición [m]

Pre

sión

[Pa]




Mallas altamente no conformes (5Hz)


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8x 10

−8

Posición [m]

Des

plaz

amie

nto

vert

ical

[m]


EstructuraFluido

Figura 6.14: Desplazamientos en la interfase. Calculo con Multiplicadores de La-

grange Localizados. Mallas altamente no conformes (5Hz)


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−0.25

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Posición [m]

Pre

sión

[Pa]


Presiones del fluido en la interfase

Figura 6.15: Valor de las presiones del fluido en la interfase. Calculo con Multipli-

cadores de Lagrange Localizados. Mallas altamente no conformes (5Hz)


1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.74.5

5

5.5

6

6.5

7

7.5x 10

−8

Posición [m]

Des

plaz

amie

nto

vert

ical

[m]


EstructuraFluido−MortarFluido−MLLs

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.70.1275

0.128

0.1285

0.129

0.1295

0.13

0.1305

0.131

Posición [m]

Pre

sión

[Pa]


Multiplicadores del marcoPresiones del fluido − MortarPresiones del fluido − MLLs

Figura 6.16: Comparativa entre resultados provenientes de utilizar el metodo Mor-

tar o el de los MLLs. Mallas altamente no conformes (5Hz)


6.2. Problema de la cavidad acustica con pared

flexible y fluido estratificado

El hecho de poder particionar los dominios y acoplarlos permite, por ejemplo,

estratificar el fluido de una forma muy sencilla. Lo unico que tenemos que hacer es

hacer tantos dominios como estratos, con sus propiedades correspondientes y despues

acoplarlos entre sı. El problema que se expone es la cavidad acustica anterior solo que

en su interior contiene cuatro estratos de fluido con diferentes propiedades. De abajo

a arriba son: ρ1 = 1200Kg/m3 y c1 = 1935m/s, ρ2 = 1000Kg/m3 y c2 = 1676m/s,

ρ3 = 800Kg/m3 y c3 = 1490m/s y por ultimo, ρ4 = 600Kg/m3 y c4 = 1368m/s. El

resultado obtenido de dicho analisis es el que se presenta en la Figura 6.17.

Comparando el resultado de la Figura 6.17 con el de la Figura 6.7, vemos que

con el fluido estratificado se producen fenomenos de refraccion y reflexion en las

superficies de acoplamiento.


−1

−0.5

0

0.5

1x 10

−7

Estructura Fluido

0 2 4 6 8 10

−0.2

−0.1

0

0.1

Figura 6.17: Solucion del problema de la cavidad acustica con tapadera flexible confluido estratificado. Mallas conformes (5Hz)

Capıtulo 7

Conclusiones

En el Capıtulo 5 se presentaron dos formulaciones de acoplamiento entre flui-

do y estructura que permiten resolver problemas de vibraciones armonicas. Dichas

formulaciones estan basadas en el metodo Mortar [5] y el de los Multiplicadores de

Lagrange Localizados [17]. Posteriormente se ha probado su funcionamiento con un

ejemplo de una cavidad acustica con pared flexible que fue resuelta mediante el meto-

do de los elementos finitos y con un acoplamiento fuerte entre dominios por Sandber

et al. [20]. Podemos concluir que ambas formulaciones funcionan correctamente y que

si en algun caso pueda haber ciertas distorsiones en la solucion del problema, estas

no son tan importantes como para desechar dicha solucion.

Podemos concluir que estos metodos aportan toda una serie de ventajas en el

calculo del problema acustico con interaccion fluido-estructura:

Eleccion del metodo numerico. Tanto el Mortar como los MLLs nos permıten

utilizar diferentes metodos numericos para el modelado de los diferentes domi-

nios, pudiendose elegir con libertad el mas adecuado. Un ejemplo claro serıa

elegir el MEC para el problema acustico externo donde el medio es infinito.

Esta eleccion es importante, ya que nos aportara precision en la solucion.

Libertad en la discretizacion del problema. No todos los dominios requieren la

misma malla para dar una solucion que podamos considerar adecuada, entre

otras cosas porque no tienen las mismas propiedades y porque quizas esten

modelados con metodos numericos diferentes. En este tipo de problemas por

69

Capıtulo 7. Conclusiones 70

ejemplo es importante tener en cuenta la longitud de onda dentro del medio a

la frecuencia a la que estudiemos el problema para poder mallar correctamente.

En definitiva esto nos permite optimizar el numero de grados de libertad total

del problema.

Particionar el sistema en tantos dominios como queramos. Tanto los MLLs

como el Mortar estan los suficientemente desarrollados como para acoplar do-

minios solidos sin problemas [6], lo que nos permite dividir toda la estructura

que forma parte del problema en tantos dominios solidos como queramos. Por

otro lado, podemos hacer lo mismo con el fluido utilizando las tecnicas desa-

rrolladas en el Capıtulo 5. Particionar el sistema permite resolver los diferentes

dominios en diferentes procesadores o incluso ordenadores, concediendo la po-

sibilidad de modelar problemas con un elevado numero de grados de libertad

y con dominios con necesidades diferentes.

Del Capıtulo 6 se deduce que el metodo de los MLLs demuestra un mejor funcio-

namiento que el Mortar (6.2 Analisis de mallas altamente no conformes). La eleccion

dependera de quien resuelva el problema, sabiendo que cuanto mayor sea la diferen-

cia entre el tamano de elemento del fluido y de la estructura, peor sera la solucion

con Mortar, mientras que el metodo de los MLLs seguira garantizando la compati-

bilidad de desplazamientos y y una mejor distribucion de presiones en la interfase.

La desventaja que tienen los MLLs es que necesitan del calculo de una malla en el

marco que cumpla la Condicion B-B [7] [12] [25]. Este requerimiento no siempre es

facil de conseguir y su estudio es un tema de actualidad [17].

Para la realizacion de trabajos futuros se plantean dos lıneas a seguir de forma

inmediata. En primer lugar el acoplamiento entre estructura y fluido cuando el pro-

blema acustico es exterior y el dominio infinito, y en segundo lugar la extension de

la formulacion a tres dimensiones. De esta forma las formulaciones aquı propues-

tas podrıan dar respuestas a numerosos problemas ya que sus aplicaciones son muy

diversas. Permitirıa, por ejemplo, conocer mejor la acustica dentro de un vehıculo

teniendo en cuenta el fluido que hay en su interior, la flexibilidad de la estructura

y el fluido que lo rodea [10]. Otra aplicacion importante serıa el estudio de silencia-

dores, donde todavıa los analisis acusticos con interaccion fluido estructura no estan

Capıtulo 7. Conclusiones 71

muy extendidos. Este tema tiene gran importancia y esta presente en investigaciones

recientes (Herrmann et al. [11]).

Para finalizar podemos destacar otra lınea de trabajo que serıa interesante desa-

rrollar, la implementacion de algoritmos de resolucion iterativa como GMRES o

BICGSTAB [8].

Bibliografıa

[1] M. Abramowitz y I.A. Stegun. Handbook of mathematical functions. Dover

Publications, New York, 1970.

[2] Bermudez y R. Rodrıguez. Finite element computation of the vibration mo-

des of a fluid-solid system. Computer Methods in Applied Mathematics and

Engineering, 119(3-4):355–370, 1994.

[3] David T. Blackstock. Fundamentals of Physical Acoustics. Wiley-Interscience,

1984.

[4] M. Bonnet. Encyclopedia of Computational Mechanics: Boundary integral equa-

tion methods for elastic and platic methods, tomo 2. John Wile and Sons, 2004.

[5] Y. Maday C. Bernardi y A. Patera. A new nonconforming approach to domain

decomposition: the mortar element method. En Non linear partial differential

equations and their applications, pags. 13–51. Pitman and Wiley, New York,

1994.

[6] Luis Rodrıguez de Tembleque Solano. Formulacion numerica de la interaccion

mecanica entre superficies de solidos 3D. Tesis Doctoral, Universidad de Sevilla,

Sevilla, 2009.

[7] N. El-Abbasi y K. Bathe. Stability and patch test porformance of contact

discretizations and a new solution algorithm. Computer and structures, 79:1473–

1486, 2001.

[8] J.A. Gonzalez y K.C. Park. BEM and FEM coupling in elatostatics using

localized lagrange multipliers. Int. J. Numer. Methods Eng., 69:2058–2074, 2007.

74

Bibliografıa 75

[9] J.A. Gonzalez, L. Rodrıguez-Tembleque, K.C. Park, y Ramon Abascal. The ns-

BETI method: an extension of the FETI method to non-symmetrical BEM-FEM

coupled problems. International Journal for Numerical Methods in Engineering,

DOI:10.1002/nme.4418, 2012.

[10] Z.E. He, G.R. Liu, Z.H. Zhong, G.Y. Zhang, y A.G. Cheng. A coupled AS-

FEM/BEMmethod for fluid-structure interaction problems. Engineering Analy-

sis with Boundary Elements, 35:140–147, 2011.

[11] J. Herrmann, M. Junge, y L. Gaul. Vibroacoustic response of flexible car com-

ponents.

[12] N. Kikuchi y J.T. Oden. Contact problems in esasticity: A study of variational

inequalities and finite elements methods. SIAM Studies in Applied Mathematics,

1998.

[13] M. Moser. Engineering Acoustics. An Introduction to Noise Control. Springter,

2004.

[14] R. Ohayon y C. Soize. Structural Acoustic and Vibration. Academic Press,

London, 1998.

[15] K.C. Park y C.A. Felippa. A variational framework for solution method deve-

lopments in structural mechanics. Journal of Applied Mechanics, 47:242–249,

1998.

[16] K.C. Park, C.A. Felippa, y U.A. Gumaste. A localized version of the method of

lagrange multipliers and its applications. Computational Mechanics, 24:476–490,

2000.

[17] K.C. Park, C.A. Felippa, y G. Rebel. A simple algorithm for localized construc-

tion of non-matching structural interfaces. International Journal for Numerical

Methods in Engineering, 53:2117–2142, 2002.

[18] Allan D. Pierce. An introduction to its physical priciples and applications.

Acoustical Society of America, 1989.

Bibliografıa 76

[19] G. Rebel, K.C. Park, y C.A. Felippa. A contact formulation based on localized

lagrange multipliers: formulation and application to two-dimensional problems.

International Journal for Numerical Methods in Engineering, 54:263–297, 2002.

[20] G. Sandberg, P. Wernberg, y P. Davidson. Fundamentals of fluid-structure

interaction. En G. Sandberg y R. Ohayon, eds., G. Sandberg and R. Ohayon

(Eds.) Computational Aspects of structural acoustics and vibratinon, pags. 23–

102. Springer Wien New York, New York, 2008.

[21] J.C. Simo, P. Wriggers, y R.L. Taylor. A perturbed lagrangian formulation for

the finite element solution of contact problems. Computer Methods in Applied

Mechanics and Engineering, 50:163–180, 1985.

[22] B.I. Wohlmuth. Discretization Methods and Iterative solvers based on domein

decomposition. Springer Verlag. Berlin, Heidleberg, New York, 2000.

[23] T.W. Wu. Boundary Element Acoustics. Fundamentals and Computer Codes.

WIT Press, 2000.

[24] O.C. Zienkiewicz. The Finite Element Method, Third Edition. McGraw Hill,

1980.

[25] O.C. Zienkiewicz, S. Qu, R.L. Taylor, y S. Nakazawa. Finite element modeling

of rolling contact. International Journal for Numerical Methods in Engineering,

23:1873–1883, 1986.

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