FolletodePrácticasMate General

Practicas y SolucionesMatematica General

Cristhian Paez Paez (edicion final)

Indice

1 Presentacion 2

2 Numeros Reales 3

3 Expresiones Algebraicas 6

4 Ecuaciones Algebraicas 13

5 Inecuaciones Algebraicas 19

6 Valor Absoluto 23

7 Geometra 25

8 Funciones Algebraicas 32

9 Ecuaciones y Funciones Exponenciales y Logartmicas 43

10 Ecuaciones y Funciones Trigonometricas 48

11 Soluciones 57

11.1 Numeros Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

11.2 Expresiones Algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

11.3 Ecuaciones Algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

11.4 Inecuaciones Algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

11.5 Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

11.6 Geometra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

11.7 Funciones Algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

11.8 Ecuaciones y Funciones Exponenciales y Logartmicas . . . . . . . . . . . . . . . 77

11.9 Ecuaciones y Funciones Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

1

1 PRESENTACION 2

1 Presentacion

Desde el primer semestre del ano 2 004 las diferentes catedras que han impartido el cursoMatematica General, han estado trabajando en la recopilacion, creacion y revision de ejerciciosy problemas relacionados con dicho curso.

Los ejercicios y problemas se presentan en nueve secciones: Numeros Reales, Expresiones Al-gebraicas, Ecuaciones Algebraicas, Inecuaciones Algebraicas, Valor Absoluto, Geometra, Fun-ciones Algebraicas, Ecuaciones y Funciones Exponenciales y Logartmicas y, por ultimo, Ecua-ciones y Funciones Trigonometricas.

La recopilacion de ejercicios y problemas se ha realizado basados en el temario del curso ybasados en los objetivos que en este se presentan. Cada una de estas listas de ejercicios cuentacon las soluciones respectivas de los mismos; dichas soluciones han sido verificadas por profesoresde la Escuela de Matematica.

Quien ha tenido a cargo la edicion y ultima revision de los listados de ejercicios, problemasy soluciones ha sido el profesor Cristhian Paez Paez; sin embargo, es importante destacar lacooperacion de otros profesores de la Escuela que han ayudado en este proceso.

N umeros Reales: Alexander Borbon Alpzar, Luis Carrera Retana y Geovanny SanabriaBrenes.Expresiones Algebraicas: Alexander Borbon Alpzar y Luis Carrera Retana.Ecuaciones Algebraicas: F elix N unez Vanegas, Cristhian P aez P aez y Geovanny SanabriaBrenes.Inecuaciones Algebraicas: Evelyn Aguero Calvo, Cristhian P aez P aez, Greivin Ramrez Arcey Geovanny Sanabria Brenes.Valor Absoluto: Evelyn Aguero Calvo, F elix N unez Vanegas, Cristhian P aez P aez, GreivinRamrez Arce y Geovanny Sanabria Brenes.Geometra: Isabel Aguilar Daz,Randall Brenes Gomez, Cristhian P aez P aez, Sandra SchmidtQuesada yMarieth Villalobos J imenez (quien fue asistente de la Revista Virtual Matematica Educacion e Internety colaboro con parte de la edicion).

Funciones Algebraicas: Paulo Garca Delgado, X enia Madrigal Garca, Cristhian P aez P aezy Rosalinda Sanabria Monge.Funciones y Ecuaciones Exponenciales y Logartmicas: Cristhian P aez P aez.Funciones y Ecuaciones T rigonometricas: Paulo Garca Delgado, X enia Madrigal Garca,Cristhian P aez P aez,Rosalinda SanabriaMonge yMarieth Villalobos J imenez (quien fue asistentede la Revista Virtual Matematica Educacion e Internet y colaboro con parte de la edicion).

Es importante mencionar el aporte que los encargados del proyecto Revista Virtual MatematicaEducacion e Internet han dado, principalmente, la asignacion de asistentes para la edicion dealgunas de las secciones.

Tambien se agradece a los profesores Alexander Borbon y Jery Chavarra por sus sugerenciasy aportes realizados a la pre-impresion del folleto.

2 NUMEROS REALES 3

2 Numeros Reales

I. Para las siguientes demostraciones, identifique las propiedades de los numeros reales quese utilizan en cada renglon:

1) Pruebe que ab+ (a b)

= a a

ab+ (a b)

= a

b+ (a+b)

= a

b+ (b+ a)

= a

(b+b) + a

= a

0 + a

= a a

2) Demuestre que a+b (a b)

= a+ a

a+b (a b)

= a+

b (a b1)

= a+

b (b1 a)

= a+

(b b1) a

= a+

1 a

= a+ a

3) Pruebe queb11

= b b11

= b

b11 b1 = b b1

1 = 1

4) Demuestre queab1

= a1 b1ab1

= a1 b1

ab1 ab = a1 b1 ab

1 =a1 b1

ab

1 =a1 b1

ba

1 = a1 b1 (ba)

1 = a1

(b1 b) a

1 = a1

1 a

1 = a1 a 1 = 1

2 NUMEROS REALES 4

5) Demuestre quea

1 1b=

ab

b 1a

1 1b=

a

1 + 1b=

a

b b1 + 1b=

a

b b1 +1 1b=

a

b b1 + (1 b1)=

a

(b+1) b1= a 1

(b+1) b1= a

(b+1) b1

1= a

(b 1) b1

1= a

(b 1)1 (b1)1

= a

(b 1)1 b

= a

b (b 1)1

= ab

b 1

1= ab 1

b 1=

ab

b 1II. Efectue las operaciones indicadas y simplifique:

1)32 2 3

3 2 1 + 142)

12

34 32

1 13

1 153)

(34)3 (32)3(3)15 34

4)1 + 42 2 42

6 42 + 1 + 5 41

5)

32

2 33 2 45

6)3 22 122 + 1

42 37)

4 24 122

22 42 3128)

1 31 2 5231 + 32

2 NUMEROS REALES 5

9)

32 (2)2

13 3(2)32

10)2

7 52 3 52

(31 2)2 (1)3 2 31

11)3 41 + 1 + 2 42

41 2 42

12)25 + 23 161

3 + 23 4 32

2+ 21

13)

(1)2 23 1

2

13

3

23 33

30 32

14)

(3)2 9 12 2

3

1

354 316 2 13 4 41

15)

4

32

96

+

6

3223

9

16)

3

4 096 17)

2 (7 52 3 52)(31 2)2 (1)3 2 31

18)5

2+

2 3221

2+3 41 + 1 + 2 42

41 2 42

19)1 31 2 52

31 + 32+

12 34 32

1 13 1 15

20)

518 16

1216 18

13

323 + 1

21)

2 + 17 32 + 52 + 4 32

22)

(2 3)3 31

23 4 + 118

13

(3)3

III. Encuentre los errores en los siguientes procedimientos:

1) 20(7)20 13

(2)13 = 72 = 7 + 2 = 5

2)24 + 32

42 + 23=

24 + 942 + 8

=12 + 9

2 + 8=

1 + 18

10=

19

10

3) 2 3 (4 2 + 8) = 1 (16) = 164)

32 (2)2

1= 32 (2)2 = 9 4 = 5

5)22 + 4123 21 =

4 + 148 12

=174

172= 1

2

6)32 + (2)2

1=

1

32+

1

(2)21

=

1

9+

1

4

1= 9 + 4 = 13

7)14 3212 +

13

5 =12216

5 = 1212 5 = 1 5 = 4

3 EXPRESIONES ALGEBRAICAS 6

3 Expresiones Algebraicas

I. Determine el valor numerico de la expresion en cada caso:

1) 2x2 + ax b si x = 3, a = 2 y b = 72) 3x3 +

ax

c+ 3 si x = 1, a = 49 y c = 7

3)3

5x3y2z si x =

1

2, y =

34

y z =5

3

4)x2 y1y2 + x1

si x = 3 y y = 6

5)

2p+ 3

p

1 2

q

p3 +

p

q

si p = 2 y q = 12

6) y2z 3x si x = 8, y = 2 y z = 1

4

7) 3x2 2xy + 12x4z 3

4y2z3 si x =

2, y =

8 y z = 1

8) 29n 54n+ 4n si n = 3

9) 2a45ab 5

b

si a = 5 y b = 4

II. Si se supone que x > 0, y < 0 y z < 0, determine el signo de las siguientes expresiones:

1) x y2) y + z

3) x(y + z)4)

z

y

5)z xy

6)zy

x

7) xy + z

8)

y

39)

y x

2

10)z

11) x1

12)y + z

213) 3

x+ y14)

x+ z

23

III. Realice las operaciones indicadas y exprese el resultado en su forma mas simplificada:

1) (4xy 10x2y 3xy2) (7x2 5xy + 12xy2)2) 3

x2 2yz + y2 4 x2 y2 3yz+ x2 + y2

3) 3x+ 4y + xx 2 (y x) y

4) 3

2x

1 (x+ y)

+ x 2y

5) 5a+

3b+

6c 2a (a c)

9c (7b+ c)

6)

4ab

5+bc

7 2ac

3

4ab

5+

3bc

14 ac

5


7)1

2

m2 +m+ 1

4m2 4m+ 28)

4xy2w32x2y

5x2y3w9) 6a2 a

2a2 3 (2a 4b)

3ab

10) (x+ y)x2 1

11)2 + 3x2b2

2 + 3x2b2

12) (a+ 4b c) (a 4b+ c)13)

x5 ax4 + a2x3 a3x2 + a4x a5 (x+ a)

14)x2 5x+ 6 (x 3) x x2 5x+ 6

15) (2a b)(4a+ b) a+ b (a+ b)

16) 2 (x 3)2 + 5 (x 3) + (x 3)2 3 (x 3)17) 3 (x y)2 (x+ y) 3 (x+ y)2 (x y)18) (a b)3 + (a+ b)3 + 3 (a+ b) (a b)2 + 3 (a b) (a+ b)219)

bx bx+1 b2x

20)x2a + x1+a + 1

xa

21) 2ax 3ax1 (ax + 2a)

IV. Utilice propiedades de los numeros reales, formulas notables, etc. y verifique las siguientesidentidades:

1)

a+ b

2

2a b2

2= ab

2) x2 + (a+ b) x+ ab = (x+ a) (x+ b)

3) a3 + b3 + c3 3abc = 12(a+ b+ c)

(b c)2 + (c a)2 + (a b)2

4) Bajo que condiciones se cumple que:

a2 m2 + 2ab+ b2a2 m2 + ab+mb =

a+ b+m

a+m?

5)|a b| |b a|

2= 0 (Sug: Realice los casos a > b, a < b y a = b)

6) Verifique que si a > b > 0 entonces:|a b|+ |a+ b|

2= a

7) Verifique que si b > a > 0 entonces:|a b|+ |a+ b|

2= b

8) Verifique que si a b > 0 entonces: (a+ b) +

(a+ b)2 4ab2

= bSe cumple la identidad si a b < 0?


9) Verifique que si c b < 0 y a+ c b > 0, entonces:a |c b|+ b

a+ c= 1

V. Encuentre los errores en los siguientes procedimientos:

1) (3x + 1) (3x 1) (2 w)3 = (3x)2 (1)2 (2)3 (w)3 = 92x 1 8 w3= 92x 8 92xw3 8 + w3 = 722x 92xw3 8 + w3

2)

x2 + y2

x+ y=

x2 +

y2

x+ y=x+ y

x+ y= 1

3) 2x (5x + 1) (5x 1) = 2x25x

2 1= 50x

3 2x

4) xy2 + x+ z2 + y2z2 = x (y2 + 1) z2 (1 + y2) = xz2 (y2 + 1)

5) 2ax 3ax1 (ax + 2a) = 2ax ax + 2ax 2a 3ax1 ax 3ax1 2a= 2a2x + 4ax+1 3a2x1 6ax

6) a2b+ a+ ab+ b = a (ab+ 1) + b (a+ 1) = (a+ b) (ab+ 1) (a+ 1)

VI. Efectue las siguientes divisiones:

1)6a4 + a3 15a2 2a2

2)12x2y 3xy2 8x2y2 3xy

3)4x3 + 4x2 29x+ 21 (2x 2)

4)3x3 2x2 32x+ 1

x2 125)

x5 9x x2 + 3

6) (3a4 + 4a3b 31a2b2 56ab3)(3a+ 7b)7)

6x2 2xy2 28y4 2x+ 4y2

8)6a4 + a2x 15x2 2a2 3x

VII. Determine, utilizando division, si el valor dado es un cero del polinomio enunciado o no:

1) P (x) = 6x3 4x2 + 5x 42, x = 22) P (s) = s4 + s2 + 27s 9, s = 33) Q (t) = t4 3t3 + t+ 4, t = 2

VIII. Sin efectuar division, muestre que P (x) = 3x3 11x2 + 11x 15 es divisible por x 3.IX. Encuentre P (x) si se sabe que x = 2, x = 1 y x = 5 son los ceros del polinomio.X. Construya un polinomio de grado 3 si se sabe que x = 1 es un cero del mismo.XI. Si se sabe que x = 2 es un cero del polinomio P (x) = x4 x3 x2 x 2, encuentre su

factorizacion completa.

XII. Factorice, completamente, P (x) = x5 5x4 10x3+50x2+9x 45, si se sabe que x = 1,x = 3 y x = 5 son ceros del polinomio.

XIII. Si se sabe que x =1

3y x = 2 son ceros del polinomio P (x) = x4 7

3x3 1

3x2 +

7

3x 2

3,

escriba la factorizacion completa de P (x).


XIV. Efectue las siguientes divisiones; use division sintetica cuando sea posible. Exprese el

resultado obtenido en la formaP (x)

Q (x)= C (x) +

R (x)

Q (x), donde Q (x) es el polinomio

divisor, C (x) es el polinomio cociente, R (x) es el polinomio residuo y P (x) es el polinomiodividendo:

1)4x3 5x2 + 3x 2

x+ 1

2)x3 + 3x2 + x+ 1

x+ 1

3)3x 3 + x2

1 x4)

1 x2 + x41 x

5)27x3 643x 4

6)2y3 + y5 3y 2

y2 3y + 17)

4x3y + 5x2y2 + x4 + 2xy3

x2 + 2y2 + 3xy

XV. Efectue la division indicada usando division sintetica:

1)x2 x 3 (x 2)

2)x3 + 125

(x+ 5)3)

2y4 y3 + 2y2 3y 5 (y + 2)

4)x6 + 3

(2 x)5)

4x3 + 5x+ 3

x+ 12

6)

x2 8x4 3x+ x3 + 9 (1 x)

7)4x3 + 20x2 + 11x 35 (2x+ 1)

8)6b3 + 5b2 4b+ 3 (2b 3)

XVI. Factorice y simplifique al maximo las siguientes expresiones:

1) a10 a8 a6 + a42) m2 + 2mb+ b2

3) a2 + a ab b4) x2 365) 9x2 6xy + y26) 1 + x3

7) 27a3 18) x5 x4 + x 19) 6x2 19x 2010) 25x4 81y211) 1m312) a3 5a2b+ 6ab213) 2xy 6y + xz 3z14) 1 4b+ 4b215) a2 a 30

16) 15m2 + 11m 1417) 8m3 27y618) 8a3 12a2 + 6a 119) c4 4a420) (m+ n)2 6 (m+ n) + 921) 7x2 + 31x 2022) 1m223) a6 + 1

24) 16a2 24ab+ 9b225) 1 + 216x9

26) a2 d2 + n2 c2 2an+ 2cd27) x3 6428) 49a2b2 + 14ab+ 1

29) (x+ 1)2 8130) (x+ 1)4 8131) x2 a2 + 2xy + y2 + 2ab b2

Mo!!

Mo!!

Mo!!

Mo!!

Mo!!

Mo!!

Mo!!

Mo!!

Mo!!

Mo!!

Mo!!

Mo!!


32) 1 a2b433) x3 234) x4 3x3 21x2 + 43x+ 6035) a (x+ 1) b (x+ 1) + x (x+ 1)36) a2 + 12ab+ 36b2

37) 1 + (a 3b)338) 343 + 8a3

39) 6am+ 4an 2n 3m40) 81a6 4b2c841) 16 (2a+ b)242) 20 x x243) n2 + n 4244) ax+ a x 145) a2 x2 a x46) 9m2 + 4a2 12am47) a2 (b+ c)248) 9x4 25t649) x2 + 3x 1850) x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3

51) 125a6 + 1

52) 3a2m+ 9am 30m+ 3a2 + 9a 30

53) a2x3 + 2ax3 8a2 16a54) 8a2 22a 2155) 1 + 18ab+ 81a2b2

56) 4a6 157) x3 4x2 + x+ 658) 2x4 4x2 6x 459) x4 4x3 + 3x2 + 4x 460) 2x4 5x3 + 4x2 x61) 6x3 + 23x2 + 9x 1862) 2x4 + 2x3 x2 + 3x 663) x2m+2 x2y2m64) 25x 23x + 22x 165) 33m2 + 2 32m 3m2 266)

5x3 + 9x2 7x+ 110x2 + 13x 3

67)x4 8x2 9

x3 3x2 + x 368)

x3 + 2x2 + x+ 2

x5 + 2x4 x 269)

x4 + 2x2 x3 2xx4 x

70)8a3 12a2 + 6a 14a3 + 8a2 11a+ 3

XVII. Utilizando el metodo de completacion de cuadrados exprese los siguientes trinomios comosuma o resta de cuadrados:

1) 9x2 + 6x 82) 2x x23) 5 4x x24) 24b 16b2 7

5) x4 + 4x2 + 7

6) 25y2 + 10y 127) x2 + x+ 1

XVIII. Un estudiante, al resolver un ejercicio en que le pedan que expresara el polinomio x2 +

3x 7 como la diferencia de dos cuadrados, dio como respuesta:

x2 + 3x2 72

1) Por que la respuesta del alumno esta mala?

2) De la respuesta correcta.

Mo!!

Mo!!

Mo!!

Mo!!

Mo!!

Mo!!

Mo!!

Mo!!

Mo!!

Mo!!

Mo!!

Mo!!

Mo!!

Mo!!


XIX. Realice las operaciones indicadas y simplifique al maximo:

1)bx2 b x2 + 1b2x x+ b2 1

2)5

1 + x 3

1 x +6

x2 13)

1

x2 + x+

1

x x2 +1

x2 14)

m2 6m3m2 27 +

3

2m 6 m

4m+ 12

5)x+ 1

x2 x 6 3x 12

3x2 12x+ 9 +x+ 4

x2 + x 26)

3x+ 1x2 + 7x+ 12

+1

2x+ 6+

7

6x+ 24

7)6

x2 + x 2 3

x2 + 2x 3 x

x2 + 5x+ 6

8)x3 + y3

x2 y2 x y

x2 xy + y2

9)2x

x2 1 +1 x

x2 + 2x+ 1 4xx3 + x2 x 1

10)x2 1

x2 3x 10 x2 + 3x+ 2

x2 12x+ 3511)

y3 + 4y2 5yy2 2y + 1

y2 + y 2y4 + 8y

y 4y2 2y + 4

12)

x+ 3

x 1 x2x x

2

x+ 1

2x

x 1 x

13)x4 1x3 1

1 x

(x+ 1)2

1

x+ x

14)

xy2 + x2yx1 + y1

15)

a2 2b1a4 4b2

1 (b 2a)1

16)(a+ b)2

(ab)2 1b2 a2

17)(x1 + y1)1

x1 y1 x2 y21

18)1 +

x

x yy x

1 y (y + x)1


19)x2n y2n

x3n1 + 2x2n1yn + xn1y2n x

2n xnynx2n

XX. Efectue las operaciones que se indican y exprese la respuesta de manera que el denomi-nador quede racionalizado. Suponga que todas las races estan bien definidas:

1) 15

29x21

y9

2)8

81a4

16b4 4

729a2

4b2+

75a

2b

3)6

64x2y2

4z2 2 9

512x3y3

8z3+

12

x4y4

16z4

4)n4

n3

n2

nan11

XXI. En cada caso racionalice el denominador o el numerador, segun corresponda, y simplifiqueal maximo la expresion resultante:

1)3x3 x4yx2 33

2)3x 15

4 +4x+ 36

3)8x+ 11

2 3x 2 + 3

4)2x2 8

3x 21 4x5)

x2 xx2x 1

6)2x+ 142 x 3

7)2 5(3x 1)2

3x 1

8)11 2x

3 2x+ 19)

4x3 12xxx2 + x 3

10)

8 10x 5x25x2 4

11)

x+ 2

y

x2y 4xy2

12)2 3x

64 16x+ x213)

16x 142 3x 1 + 1

14)x+ 1

3x2 + 3x2 2

4 ECUACIONES ALGEBRAICAS 13

4 Ecuaciones Algebraicas

I. Determine si los valores de x indicados son soluciones de la ecuacion respectiva:

1) x3 + 3x2 x 3 = 0; x = 2, x = 12) x+ 3

x3 + 1 = 2x+ 1; x = 1, x = 2

3)11

9x 7

3x2 + x3 +

1

9= 0; x =

253

, x = 1, x = 5

4)P (x)

x2 1 = 0; x = 1 (donde P (x) es un polinomio)5) P (x) = 0;x = 2, x = 3, x = 4 (donde P (x) es un polinomio que cumple:

P (2) = 2P (2) ; P (3) = 1 y P (4) = 2P (4) + 1)

II. Despeje la variable que se indica en cada caso:

1) 2mn = 3k; m

2)a+ b

bm n =3k tm

; n

3)m 32

m = 3am 18

+1

4; m

4)1 3nww 1 =

3a b4

+5

3; w

III. Determine el conjunto solucion de cada una de las siguientes ecuaciones:

1) x2 + 3x 5 = x (x 8) + 92) 3 x (2 x) = x2 2 (x+ 3)3) (x 3) (2x 5) = (x 3) (3 4x)4) 3 2 (2x 1) = 5 4x5)

x2 4x+ 1x+ 1

=x (x 3) (4x 1)

x+ 1

6)(x+ 1) (x+ 3)

x+ 1=x2 1x 1

7) x3 6x2 x+ 30 = 08) 5x2 17x+ 6 = 09) x2 62x = 110) (x+ 4)2 + 7 (x 2) = 2x (5x 1)11) x4 5x2 36 = 012)

x2 + x

2 8 x2 + x = 1213) 25x4 + 5x = 125x3 + x2

14) 2x3 3x2 17x+ 30 = 0

15) (2x 3)3 + 8 = 016) x4 7x2 36 = 017)

2x

x+ 3 1x 3 =

6x+ 3

18)6

x+ 2 3x2 x 6 =

20

9 x219)

3x

2x+ 1=

x 192x2 + 3x+ 1

+x+ 5

x+ 1

20)1 + xx11 xx1

= 2x+ 1

21) 3x2 + x 4 = 2

22)

2x 4 = 12 x

23) 2xx 3 = 5 + x

24) 3x+ 1 = 6

7 + 3x

25)x 2 x = 4

26) x+x+ 7 = 13

27) 1 +x+ 7 = 2x


28) xx+ 1 3 = 3

29) 2x = 2x2 130) x+

3x2 + x+ 1 = 2

31) 5 +7 x = x

32) 27 x+ 32x 3 = 11

33)15 + 2x 26x+ 1 = 0

34) x4 8xb3 = ax3 8ab335) (x a)2 bx+ ab = 036) x2 9 6ax+ 18a = 037)

x+m

x n =n+ x

m+ xm = 0

38)

x+

1

x

2 3

x+

1

x

4 = 0

39)

4

x+ 3 1

1 +

3

x+ 4

= 0

40)2

3 x 1

4 x =3

4 x 2

x 341)

x+ 4

3x+ 6 x 6

4x 8 =1 + x

2 x

42)

1

x 1 +1

x

2x2 1 = 5 + x

43)7 + x2

x 3 = 3 +16

x 3 + x

44)x2 x+ 3x 3 = x 3 +

18 x2x 3

45)xx+ 4

+2x2 + 5x 1x2 + 7x+ 12

=2

3 + x

46)2x+ 5

49 x2 +x 2

x2 + 8x+ 7=

2 xx2 6x 7

47)2x2 3x 2 = x+

1 + 2x

x 248)

2x2 5x 3(3 + x) (x+ 4)

=23 + x

+x

4 + x

49)4x 4x

+1 + x

x2=

4x

1 + x+

4

x2 + x3

50)2x 3 +

5

5 + x=

6 (1 + x)

15 2x x2

IV. Encuentre el valor o los valores de m para que se cumpla la condicion que se le solicita:

1) x2 2 (1 + 3m)x+ 7 (3 + 2m) = 0 (tenga una unica solucion y encuentrela)2) x2 2 (1 + 3m)x+ 7 (3 + 2m) = 0 (tenga una raz igual a 3)3)

x+ 1

2 6x+ 4m = 2x x+ 4

3+m

2(su solucion sea x = 5)

V. Resuelva cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones:

1)

a+ 2b = 46a 5b = 7

2)

7a+ 4b = 402a = 33 5b

3)

2a+ 7b = 135a+ 15b = b a+ 12

4)

b a = 62b a = 12 + a

5)

9a 7b = 1512b 3a = 14

6)

2a+ 5b =

3

3a 4b = 27

7)

44a b = 732a+ 3b = 14

8)

2a 32b = 88a+ 3

16b = 2

9)

xy2 = 12 + 2xy

x 2y = 27

10)

a+ b+ c = 4a 2b+ c = 3a+ b 2c = 5

11)

2x+ 3y z = 53x+ y 2z = 02x+ 5y 5z = 1


12)

5x+ 3y 4t = 2 12tx+ y = 102t+ 6y 4x = 12

13)

20 x = 4y3x 5z = 15y + z = 10

14)

2a y + z = 818a+ 2y 4z = 28a+ 3y 3z = 5

15)

x+ 2y z = 03x+ 2z + y = 104x 3y + 5z = 18 22

VI. Plantee y resuelva cada uno de los problemas siguientes:

1) Un cable de 42m de longitud es dividido en dos partes, de modo que una parte esdos veces la longitud de la otra. Halle la longitud de cada pieza.

2) Despues de 20% de descuento, un artculo se vendio en 9 600 colones. Determine elprecio original del artculo.

3) El ganador de la lotera quiere invertir su premio de $100 000 en dos inversiones, unaal 8% la otra al 10% anuales. Cuanto debera invertir en cada una de ellas, si deseaingresos anuales por $8 500?

4) El propietario de un edificio de departamentos puede rentar las 50 habitaciones si larenta es de $150 al mes por habitacion. Por cada incremento de $5 en la mensualidadde la renta, un departamento quedara vacante sin posibilidad de rentarlo. Que rentadebera fijar el propietario para obtener un ingreso mensual de $8 000?

5) Un granjero desea delimitar un terreno rectangular y tiene 200 metros de cercadisponible. Encuentre las dimensiones posibles del terreno, si su area debe ser de2 100m2.

6) Una compana fraccionadora compra una parcela en $7 200. Despues de vender todoexcepto 20 hectareas, con una ganancia de $30 por hectarea sobre su costo original,el costo total de la parcela se recupero. Cuantas hectareas fueron vendidas?

7) Un grupo de personas fue encuestado y 20% de ellas (700) favorecio a un nuevoproducto sobre la marca de mayor venta. Cuantas personas fueron encuestadas?

8) Se rodea por un camino de ancho uniforme un terreno rectangular de dimensiones26m por 30m. Si se sabe que el area del camino es de 240m2, determine el anchodel camino.

9) Un trozo de alambre de 100 pulgadas de largo se corta en dos y cada pedazo sedobla para que tome la forma de un cuadrado. Si la suma de las areas formadas es397 pulg2, encuentre la longitud de cada pedazo.

10) Se quiere construir un barril de petroleo cilndrico y cerrado con una altura de 4 pies,de manera que el area de la superficie sea de 10 pie2. Determine el diametro delbarril. NOTA: A = 2rh+ 2r2, con A el area, h la altura y r el radio.

11) El ancho de una pagina de un libro es de 2 pulgadas menos de lo que mide su largo.El area impresa es de 72 pulg2, con margenes de 1 pulg superior e inferior y margenesde 0,5 pulg en los lados. Halle las dimensiones de la pagina.


12) Una caja sin tapa debe construirse cortando cuadrados de 3 pulgadas de una hojarectangular cuya longitud es el doble de su ancho. Que tamano de hoja producirauna caja con un volumen de 60 pulg3?

13) El costo de instalacion de aislantes en una casa particular de dos recamaras es de$1 080. Los costos actuales de calefaccion son, en promedio, de $60 mensuales, perose espera que el aislante reduzca los costos de calefaccion en un 10%. Cuantos mesesse necesitaran para recuperar el costo del aislante?

14) Juan vendio cierto numero de revistas en 600 colones. Si hubiese vendido 12 revistasmas pidiendo 3 colones menos por revista, habra recibido 24 colones mas. Determineel numero de revistas vendidas y el precio de venta de cada una.

15) A medida que sale arena de cierto recipiente forma una pila conica circular recta,cuya altura siempre es la mitad del diametro de la base. Cual es el diametro dela base en el instante en que han salido del recipiente 144 cm3 de arena? NOTA: El

volumen de un cono circular recto esta dado por V =r2h

3, donde h es la altura y

r el radio de la misma.

16) Un granjero desea cercar un terreno rectangular y planea usar 180 pies de materialy parte de la orilla de un ro en vez de cercar en uno de los lados del rectangulo.Encuentre el area del terreno, si la longitud del lado paralelo a la orilla del ro es:

(a) el doble de la longitud de uno de los lados adyacentes.

(b) la mitad de la longitud de un lado adyacente.

(c) la misma longitud de un lado adyacente.

17) Un estudiante de Matematica General obtiene notas de 75, 82, 71 y 84 en cuatroevaluaciones. Que calificacion en su siguiente prueba elevara su promedio a 80?

18) Un trabajador percibe $492 de salario despues de restar deducciones (que correspon-den a 40% del sueldo bruto). Cual es su sueldo bruto?

19) Una bola de beisbol es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad inicialde 64m/s. El numero de metros m sobre el suelo despues de t segundos esta dadopor la ecuacion m = 16t2 + 64t.(a) En cuanto tiempo alcanza la pelota una altura de 48 m sobre el suelo?

(b) Cuando regresara al piso?

20) La temperatura T (en C) a la que hierve el agua esta relacionada con la elevacionh (en m) sobre el nivel del mar por la formula h = 1000 (100 T ) + 580 (100 T )2para 95 T 100.(a) A que elevacion hierve el agua a una temperatura de 98C?(b) La altura del Monte Everest es de alrededor de 8 840m. Calcule la temperatura

a la que hierve el agua en la cima de esta montana. SUGERENCIA: Utilice laformula cuadratica con x = 100 T ).

21) Un terreno rectangular de 26m30m esta rodeado por una acera de ancho uniforme.Si el area de la acera es de 240m2, cual es su ancho?


22) Seiscientas personas asisten al estreno de una pelcula. Los boletos para adultoscuestan $5 y los de ninos $2. Si la taquilla recibe un total de $2 400, cuantos ninosasistieron al estreno?

23) Hay que cercar una huerta cuadrada con un alambrado. Si la cerca cuesta $1 pormetro y el costo de preparar el terreno es de $0,5 por metro cuadrado, determine eltamano de la huerta que se puede cercar a un costo de $120.

24) En cierta prueba medica disenada para medir la tolerancia a los carbohidratos, unadulto ingiere 7 oz (onzas) de una solucion de glucosa al 30%; cuando la pruebase aplica a un nino, la concentracion de glucosa debe disminuirse al 20%. Cuantasolucion de glucosa al 30% y cuanta agua se necesita con el fin de preparar 7 oz deuna solucion de glucosa al 20%?

25) La plata britanica Sterling es una aleacion que contiene 7,5% de cobre en peso.Cuantos gramos de cobre puro y cuantos gramos de plata Sterling deben emplearsepara preparar 200 g de una aleacion de cobre-plata con 10% de cobre en peso?

26) Dos ninos, que se encuentran a 224m entre s, empiezan a caminar uno hacia el otroal mismo instante y a velocidades de 1,5 m/s y 2 m/s, respectivamente.

(a) Cuando se encontraran?

(b) Cuanto habra caminado cada uno?

27) La velocidad de la corriente de un arroyo es de 5 km/h. Un canoero tarda 30 minutosmas en remar 1,2 km ro arriba que remar la misma distancia a favor de la corriente.Cual es la velocidad del remero en aguas tranquilas?

28) Un muchacho puede remar a una velocidad de 5 km/h en aguas tranquilas. Si remaa contracorriente durante 15 minutos, luego corriente abajo regresando al punto departida en 12 minutos, encuentre:

(a) La velocidad de la corriente.

(b) La distancia total que recorrio.

29) A las 6 : 00 am una maquina barrenieves, que avanza a una velocidad constante,empieza a despejar una carretera que conduce a las afueras de la ciudad. A las8:00 am un automovil toma esa carretera a una velocidad de 30 km/h y la alcanza30 minutos despues. Encuentre la velocidad de la maquina.

30) Un estudiante de Matematica General ha ganado $100 000 en una lotera y deseadepositarlos en cuentas de ahorros en dos instituciones financieras. Una cuenta paga8% de interes simple, pero los depositos se aseguran solo a $50 000. La segundacuenta paga 6,4% de interes simple pero los depositos se aseguran hasta por $100 000.Determine si el dinero se puede depositar de modo que este asegurado totalmente ygane intereses anuales de $7 500.


31) Un aeroplano vuela al norte a 200 km/h y pasa sobre cierto lugar a las 2:00 pm.Otra aeronave, que vuela hacia el este a la misma altitud y a 400 km/h, pasa sobreel mismo lugar a las 2 :30 pm.

(a) Si t denota el tiempo en horas despues de las 2:30 pm, exprese la distancia dentre los aviones en terminos de t.

(b) A que hora, despues de las 2 :30 pm, estaban los aviones a 500 km uno del otro?

VII. Otros ejercicios:

1) Considere la siguiente afirmacion: Si la ecuacion P (x) = 0 tiene n soluciones reales,entonces P (x) es un polinomio de grado n. De un ejemplo que verifique que laanterior afirmacion es falsa.

2) Determine una ecuacion P (x) = 0, donde P (x) es de grado 7 y que tenga una unicasolucion real.

3) En un determinado colegio, el profesor asigno 3 ecuaciones para que las realizaran detarea; sin embargo, a Juan (por estar hablando) le borraron la pizarra y solo pudover lo siguiente de las tres ecuaciones:

x3 + ... = 0 (1)

2x4 + ... = 0 (2)

x5 + ... = 0 (3)

Cuando Juan se dispuso a hacer la tarea, llamo a un companero y este le dio la

solucion de cada ecuacion, S1 =

1, 2,

1

2

; S2 =

1, 2, 6, 5

y S3 =

2,2, 1

,

respectivamente. Suponiendo que estas soluciones son las correctas, ayude a Juan adeterminar las ecuaciones (1) y (2); ademas, proponga una posible ecuacion (3).

4) El conjunto solucion de las ecuaciones P (x) = 0 y Q (x) = 0 es, S1 =1, 5, 7

y

S2 =5, 7, 9

, respectivamente. Determine el conjunto solucion de las ecuaciones:

(a) P (x) Q (x) = 0(b)

P (x)

Q (x)= 0

(c)Q (x)

P (x)= 0

(d) P (x) = Q (x)

(e) P (x) = Q (x)(f) P (x) + 3Q (x) = 0

5 INECUACIONES ALGEBRAICAS 19

5 Inecuaciones Algebraicas

I. Conteste lo que se pide en cada caso:

1) Considere los conjuntos A = 1,2, 2, 3

y B =

3,1, 2, 5

. Determine, por

extension, los conjuntos:

(a) A B (b) A B (c) AB (d) B A

2) Considere las ecuaciones (2x 1) x2 12 = 0, (x+ 1)2x2 14

= 0. Sean S1

y S2 los conjuntos de solucion de cada ecuacion, respectivamente; determine, porextension, los conjuntos:

(a) S1 S2 (b) S1 S2 (c) S1 S2 (d) S2 S13) Si A = ]5, 7[ y B = [ 0, 10[ , determine:

(a) A B (b) A B (c) AB (d) B A4) Si A = [ 2, 7[ y B = [1, 5[ , que intervalo se debe tomar para que x este en A y B?5) Para que x 3 y x > 7 , entonces x 6) Para que x < 1 o x 3 , entonces x 7) Para que x > 2 o x < 4 , entonces x 8) Para que x ]5,[ y x ], 1[ , entonces x 9) Para que 5x 6 < 3x+ 8 y 2x+ 1 < 3x 3 , entonces x

II. Determine si las siguientes proposiciones son falsas o verdaderas. Justifique su respuesta:

1) La solucion de x2 + 1 > 0 es IR

2) La solucion de 2 x4 > 0 es IR3) La solucion de 12x 4 < 9x2 es IR4) La solucion de 12x 1 36x2 es

1

6

5) La solucion de 5 (2x 1)2 < 0 es IR

1

2

6) x 1 se cumple que x2 17) Si x2 4 entonces x 28) La solucion de x3 + 1 < 0 es ]1,[9) La solucion de

24 3x 0 es

43,

10) La solucion de2

(1 x)2 > 0 es IR1


III. Resuelva las inecuaciones siguientes:

1) 10 5x2 0

2)34 2x

3+ 9 (x 2)24) (x 1) (x+ 2) < (x+ 1) (x 3)5) 4 >

2 3x7

26) x2 15x 567) x2 < x

8) x3 > x2

9) x6 1 < 010)

41 + 2x

0

11)3x+ 1

x 3 > 0

12)x2 x

(x+ 1) (2 x) 0

13)(x 2)2 (5 x)

(4 x)3 < 0

14)(x+ 3)2 (x+ 4) (x 5)3

x2 x 20 > 0

15)(2x+ 1)2 (x 1)

x (x2 1) 0

16)2x2 + 2x 1(x 1) (x+ 3) 0

17)1

x x

2x 1 1

18)x (x2 9)

(x2 + x+ 1) (x 1) 0

19) 2x 5xx2 + 6

20)2 xx 3

2x

21)2x

1 2x 3 xx

22)x3

x2 + 3x 4 x

23)2x 13 + x

0

24)x2 + x 6x3 8 0

25)5 + x2

2x+ 4 0

26)23 + x

x4 x

27)x

x 1 5

4 + 2x

28) 1 +5x 21 + 2x

x2x+ 1

29)x 2x+ 2

1 4x+ (x 3)x1 + x

33) 3 + x x2 1x 1

34)2x2 + 5x 3(3 + x) (4 + x)

23 + x

+x

4 + x

35)4x 4x

+1 + x

x2 4x

1 + x+

4

x2 + x3

36)1x 3 +

2x

3 + x 6

3 + x

37)1 + x

x 3 +x+ 1

x 1 2x

x 3 x 1

x2 4x+ 338)

6

2 + x 3x2 x 6 >

20

9 x239)

3 x+ x2x 3 > 3 + x+

18 x2x 3

40)1 + 2x

x 2 +2x2 3x 2 x

41)3x

1 + 2x>

5 + x

1 + x+

x 192x2 + 3x+ 1

42)4 + x

6 + 3x x 6

4x 8 1 + x

x 243) x2 + 7 + x

2

x 3 > 3 +16

x 344)

x4 + x

+2x2 + 5x 1x2 + 7x+ 12

23 + x

45)5 2xx2 49 +

x 2x2 + 8x+ 7

>2 x

x2 6x 7


IV. Resuelva los ejercicios siguientes:

1) Justifique cada paso y encuentre el(los) error(es) en la demostracion de que 0 > 2.Sea a un numero real cualquiera, tal que a > 2, entonces:

a > 2

2 a > 2 22a a2 > 4 a2a (2 a) > (2 a) (2 + a)a (2 a)2 a >

(2 a) (2 + a)2 a

a > 2 + a

a a > 2 + a a0 > 2

2) Determine el valor de k para que las ecuaciones que se enuncian tengan dos racesreales distintas.

(a) x2 kx+ 4 = 0(b) 2x2 + kx2 + x+ 1 = kx

3) Determine el valor de k para que las ecuaciones que se enuncian no tengan racesreales.

(a) kx2 + 3x+ 4k = 0

(b) (k + 1)x2 + kx+ k + 1 = 0

V. Plantee y resuelva los problemas siguientes:

1) Un estudiante de Matematica tiene en sus dos primeros examenes calificaciones de61 y 87, si los examenes tienen el mismo valor, cual debe ser la calificacion mnimaen el tercer examen para obtener, al menos, 75 de promedio?

2) Un estudiante de Matematica tiene en sus tres primeros examenes calificaciones de45, 77 y 66, si estos representan las dos terceras partes de la nota final, cual debeser la calificacion mnima en el cuarto examen para que su nota supere el 70?

3) Se dispara un proyectil hacia arriba, en forma perpendicular desde el nivel del suelo,con una velocidad inicial de 72m/s, su altura h (en metros) despues de t segundosesta dada por h = 16t2 + 72t. En que intervalo de tiempo esta el proyectil a masde 32m del suelo?

4) El numero de diagonales d en un polgono con n lados, esta dado por:

d =n (n 1)

2 n

Para que polgonos pasara de 35 el numero de diagonales?


VI. Resuelva, para x, las inecuaciones siguientes:

1) 3b (a 2x) (x+ b) 0 con a y b constantes, tales que b < a < 02)

2x 1b

2x 3a

con a y b constantes, tales que b < 0 < a

3)bx a

ax2 + a2x 0 con a y b constantes, tales que a < 0 < b

4)1

bx b+ 1bx+ ba

con a y b constantes, tales que a < 0 < b

5)a

2x+ 1 0 con a constante, tal que a < 0

6)5 2ax2 + 1

0 con a constante, tal que a > 52

7)b (a+ x) (x+ b)

3x2 + 5 0 con a y b constantes, tales que b < 0 < a

8)(a+ x) (x b)

a+ x (x b)

2

a+ xcon a y b constantes, tales que 0 < a < b

9) ax a x 1 a IR

6 VALOR ABSOLUTO 23

6 Valor Absoluto

I. Resuelva las ecuaciones siguientes:

1) |3 2x| = 22) 3 |2x 5| 5 = 43) |x 2| = 5 +

3 24) 3 = 2 +

8

(2 x)8

5) 2 |4x+ 1| = x 76)

4

(1 2x)4 + x = 3

7) 3(x 2)2 + 5 = 3x+ 6

8) |3 2x|+ x = 39) |x+ 8| = 010)

12

(2x+ 3)12 = 7

11) |3x+ 2|+ 5 = 312)

23+ |x 1| = 413) |x+ 5|+ 3 = 014)

10

(2x+ 5)10 3x = 3 + 2x

15) 2x |3 4x| = 316) |1 3x|+ x 3 = 017) 3 6

(x+ 4)6 2 = x

18) |3 2x|+ x = 319) 2 |5 4x| = x+ 220) 2 +

8

(4x+ 1)8 = 7 x

21) 2 x = 5 |3 2x|22) x |x 2|+ 2 = x x223) |3x 1| 2 = 4x24) 8 |x+ 3| 5 = 125) 2x2 + 3 |x+ 2| = x (2x 3)26) |2x+ 3|+ 3x 1 = 027) |2 x|+ 3x = 228) |x 2| 2x = 3

II. Determine si las proposiciones que se enucian son falsas o verdaderas. Justifique su re-spuesta:

1) Si 6 x 4 entonces, con certeza, se tiene que |x| < 42) Si a IR y b IR cumplen que a < b, entonces, se cumple que |a| < |b|3) Si 1

2< x < 0, entonces, |x| > 1

24) |x 1| = x+ 15)

|x| x = 0 si x > 06) |x 5| < 3 significa que x esta a menos de 3 unidades del 57) |x 6| 7 significa que x difiere de 6 en, por lo menos, 7 unidades8) x < 3 y x > 3, de manera simultanea, se escribe |x| > 39) |x+ 2| > 1 significa que x esta a mas de 1 unidad del 210) La solucion de |x 2| < 0 es IR11) La solucion de |x 2| < 0 es

6 VALOR ABSOLUTO 24

12) La solucion de 0 |3x 2| es2

3

III. Simplifique al maximo cada una de las expresiones, de acuerdo con las condiciones que se

indican:

1) 5 |b 3a|, si se tiene que b < 0 < a2) 2 |b a|+ |a+ b|, si se tiene que 0 < b < a3) |x|, si se tiene que x < 54) |y|, si se tiene que y < 85) |a|, si se tiene que a > 06) 3a 2 |a b|, si se tiene que b a7) 3 |b x|+ |x| |b|, si se tiene que b < x < 0

IV. Verifique la velidez de cada uno de los enunciados siguientes:

1) Si y > 0 y x > 1, entonces |xy y|+ |y| = xy2) Si x < y < 0, entonces |y| |x 2| x = 2 y3) Si a b < 1, entonces 2 |a b|+ |2b 4| = 4 2a4) Si b < x < 0, entonces 3 |b x|+ |x| |b| = 2x 2b5) Si 0 < b < a, entonces

a |2a b|+ 5 |b a|4a

= 1 ba

6) Si x < 0 < y, entonces 2x |x y| 3 |x (2y x)| = x (8y 5x)V. Resuelva las inecuaciones siguientes:

1) 2 |2x 3| 42) |4 7x| 0

3)

4x+ 1

8

2 1

2

4) 4 |2x|+ 1 25) |4 5x| 3 16) 5 |2 5x| 37) 2x+ |12x| 2 < 58) |2x 3|+ x

3 4x 1

9

9)2x 5

6+|x|2

+ 1 < 3

10) 6(4 x)2 5

11) 2 |4 x| 512) 3 +

(1 x)2 > 0

13) 5 2(4 x)2 < 3

14) 1 2 |x+ 4| > 315) 5 2 |x+ 4| > 316) |4 5x| 3 1

7 GEOMETRIA 25

7 Geometra

I. Plantee y resuelva los problemas siguientes:

1) Un arbol proyecta una sombra de 5m en el mismo instante en el que un poste de 6mde altura, proximo al arbol, proyecta una sombra de 2m. Halle la altura del arbol,si tanto este como el poste forman un angulo recto con el suelo.

2) Se sirve una bola de tenis desde una altura de 7 pies, pasando ajustadamente sobreuna red de 3 pies de altura; si el servicio se hace a una distancia de 40 pies de la red,a que distancia de la red dara la bola en el piso?

3) En un triangulo equilatero de lado 8 cm, cual es la longitud de la altura correspon-diente a cualquiera de sus lados? Si el lado es de longitud l, exprese la longitud dela altura en terminos de l.

4) Cual es el area de un rectangulo si su permetro es 50 cm y la diferencia entre subase y su altura es 5 cm?

5) En un rombo, cada lado mide 10 cm de longitud y una de sus diagonales mide12 cm. Determine el area del rombo y calcule la distancia que hay desde el punto deinterseccion de sus diagonales con cualquiera de sus lados.

6) Calcule el area de un cuadrado cuya diagonal mide 52 cm.

7) Dos triangulosABC yDEF son tales que: mA = mD, mB = mE. Si loslados de estos triangulos miden, respectivamente: a = 24 cm, b = 16 cm, c = 36 cm,d = 18 cm, e = 12 cm y f = 27 cm, justifique por que los triangulos son semejantesy halle la razon de semejanza del primero respecto del segundo.

8) Los lados de un triangulo miden 48m, 56m y 32m, respectivamente. Si el permetrode un triangulo semejante a el es 51m, determine las longitudes de sus lados.

9) Los lados de un triangulo rectangulo miden 6m, 8m y 10m, respectivamente.Cuanto miden los catetos de un triangulo semejante al primero, si su hipotenusa esigual a 15m?

10) En un triangulo rectangulo, los segmentos determinados en la hipotenusa por laaltura correspondiente miden 9 cm y 4 cm, respectivamente. Halle la longitud de laaltura sobre la hipotenusa y la medida de los catetos de dicho triangulo.

11) La base de un triangulo isosceles mide 24 cm y los lados congruentes miden 20 cm,halle la medida de la altura sobre la base del triangulo.

12) Uno de los catetos de un triangulo rectangulo mide 24 cm y la proyeccion del otro so-bre la hipotenusa mide 10,8 cm. Determine la medida de la hipotenusa del triangulo.

13) La base y la altura de un rectangulo miden 12 cm y 5 cm, respectivamente. Halle la

altura de otro rectangulo, si se sabe que tiene 20 cm de base y que su area es4

3del

area del primero.

14) El area de un triangulo equilatero es 2003 dm2; determine la distancia del ortocen-

tro a cualquiera de los vertices de dicho triangulo.

7 GEOMETRIA 26

15) Halle el area de un triangulo rectangulo isosceles cuya hipotenusa mide 12 cm.

16) Determine el area de un crculo cuya circunferencia tiene 24 cm de longitud.

17) Calcule el area de un crculo, sabiendo que el cuadrado inscrito en el tiene 100 cm2

de area.

18) Halle el area de la porcion del plano limitada por una circunferencia de radio iguala 6 cm y por el contorno de un hexagono regular inscrito en ella.

19) Determine el area de un segmento circular, de un crculo de 6 cm de radio, cuyamedida del arco subtendido es 60.

20) Calcule el angulo central de un sector circular, de un crculo de 15 cm de radio, cuyaarea es 95 cm2.

21) Halle el area de un sector circular de radio 10 cm cuyo arco subtendido mide2

5.

22) Determine el area y el volumen de un prisma recto, cuyas bases son triangulosequilateros de 4 cm de lado y cuya altura mide 7 cm.

23) Halle la longitud de la arista de un cubo sabiendo que su diagonal mide 15 cm.

24) Halle el area de la base de un cilindro, sabiendo que su area total es 480 cm2 y quesu altura mide 40 cm.

25) Determine el area lateral de un cono, sabiendo que el radio de su base mide 6 cm yque su altura mide 8 cm.

26) Halle el area lateral de un cilindro de radio r, cuya altura es igual a la medida dellado del triangulo equilatero inscrito en su base.

27) Al contenido de un cubo de 5 cm de arista se le quita la capacidad de un cilindro de3 cm de diametro que posee la misma altura. Calcule el volumen restante en el cubo.

28) Dos esferas de metal de radios 2r y 3r, respectivamente, se funden juntas para haceruna esfera mayor. Calcule el radio de la nueva esfera.

29) Al introducirse un solido de superficie irregular en un recipiente con forma de par-aleleppedo, con dimensiones 2 dm 3 dm en su base, el nivel del agua subio 4 dm.Cual es el volumen del solido irregular?

30) La altura de un cono es 5 cm y un plano a 2 cm del vertice del cono es paralelo a subase. Si el volumen del cono mas pequeno es 16 cm3, cual es el volumen del conomas grande?

31) Un tronco de cono tiene 8 dm de altura; si los radios de sus bases son 4 dm y 6 dm,respectivamente, cual es el volumen del tronco de cono? NOTA: Un tronco de conose obtiene cortando un cono con un plano paralelo a la base a una distancia menorque su altura.

32) Dentro de una caja cubica, cuyo volumen es 64 cm3, se coloca una bola que toca acada una de las caras en su punto medio. Calcule el volumen de la bola.

33) Encuentre el volumen de un cono circular recto, si se sabe que su generatriz mide25 cm y que su altura mide 24 cm.

7 GEOMETRIA 27

34) Determine el volumen de un un cilindro circular recto de 12 cm de altura, si se sabeque el area lateral de dicho cilindro es 168 cm2.

35) Si el volumen de un cono es 384 cm3 y su altura es9

4partes del radio, halle el area

de su base.

II. En cada caso, utilice el dibujo que se proporciona para resolver los siguientes problemas(las figuras no estan hechas, necesariamente, a escala)

1) En la siguiente figura, AE = 12, EB = 28, CE = 15 y AC = 18; halle ED y BD,si se sabe que AC BD.

2) En la siguiente figura se tiene que AB CD EF . Determine el valor de x.

7 GEOMETRIA 28

3) Halle el valor de x para la siguiente figura.

4) El area de un cuadrado es 144 cm2, determine el area del crculo circunscrito a dichocuadrado.

5) El cuadrado ABCD tiene 4m de lado. Si M , N , P y Q son los puntos medios desus lados, halle el area de la region sombreada.

7 GEOMETRIA 29

6) En el hexagono regular ABCDEF de 2 cm de lado, se trazan las diagonales AE yBD. Halle el area de la region sombreada.

7) Las tangentes AB y AC, trazadas desde un punto A a una circunferencia de centroO y de 3 cm de radio, forman un angulo de 60. Halle el area de la region sombreada.

8) Las circunferencias congruentes de centros O1 y O2 tienen 6 cm de radio. Halle elarea de la region sombreada.

7 GEOMETRIA 30

9) En la figura adjunta, el triangulo equilatero ABC esta inscrito en una circunferenciade 4 cm de radio. Halle el area de la region sombreada.

10) Determine el volumen del espacio limitado entre el cono y el prisma, de acuerdo conlas medidas indicadas en la siguiente figura.

11) Considere el triangulo de la figura y determine la longitud de AD y CD, si se tieneque AC = 20 cm, BC = 15 cm y, ademas, el angulo en C es recto (mide 90).

7 GEOMETRIA 31

12) En la siguiente figura se tiene un crculo, de centro Ey de 8 cm de radio, inscrito en el ABC; si y = EB yx = DC:

(a) muestre que DBC FBE(b) determine el area del ABC en terminos de y

13) Determine el area sobreada en cada uno de los casos siguientes

(a)

(b)

(c)

8 FUNCIONES ALGEBRAICAS 32

8 Funciones Algebraicas

I. Determine si la correspondencia dada por el conjunto de pares ordenados (x, y) es unafuncion o no:

1)(1, 2) , (2,3) , (3, 4) , (4,1) , (1,5)

2)

(0, 1) , (1, 1) , (2, 1)

3)

(4, 8) , (4, 2) , (4,16)

II. Considere las siguientes relaciones de conjuntos y determine cuales son funciones?

1) f : [1, 2] IR, tal que f (x) = 1 x2

2) g : IR IR, tal que g (x) = 1x2 + 1

3) h : IN IR, tal que h (x) = xIII. Para cada una de las siguientes funciones, determine lo que se pide:

1) Si g (x) =3x

x2 + 1

(a) g

12

(b) g (1)(c) g (0)

(d) g

5

(e) g

2

3

(f) g (a+ 1)

2) Si f (x) =4x2 x3x 4

(a) f (2)

(b) f (5)(c) f

4

3

(d) x, de manera que f (x) = 7

3) Si h (x) =1 xx

(a) h (1)

(b) h (2)

(c) h (a+ x)

(d) h (0)

(e) Todas las preimagenes de 24


4) Si f (x) =

4 x2 si |x| < 2

2x 4 si x 22x+ 4 si x 2

(a) f (3)(b) f

32

(c) f

5

2

(d) f (2)(e) f

3

(f) Todas las preimagenes de 2

IV. Represente en un sistema de coordenadas rectangulares lo que se pide en cada caso:

1) Los datos de la tabla siguiente

x 0 1 2 3 4 5 6 7y 210 330 450 580 700 830 950 1150

2) Las funciones siguientes

(a) f :1, 2, 3, 4

Z, tal que f (x) = 3 x2

(b) h : IR IR, tal que h (x) = 3 x2

(c) f : IR IR, tal que f (x) =

x2 5 si x > 1x3 si x 1

(d) g : IR IR, tal que g (x) =

x2 2 si x > 12x+ 4 si x 1

(e) f : ], 4] [ 5,+[ IR, tal que f (x) = 2x si x < 1x2 + 4x si 1 x 4

6 si x 5

(f) f : IR IR, tal que f (x) = 1 + x si x < 1x2 si 2 x 1

4 x si x > 2

(g) g : IR IR, tal que g (x) =

1 si x < 1x+ 1

2si 1 x < 3

x2 + 6x 5 si x 3V. Para las gaficas de funciones que se enuncian, denotadas como f , determine:

(a) Df : dominio maximo de f

(b) Af : ambito de f

(c) Iy: punto de interseccion con el eje y

(d) Ix: puntos de interseccion con el eje x

(e) f+: intervalos del dominio donde f es positiva

(f) f: intervalos del dominio donde f es negativa(g) f : intervalos del dominio donde f es estrictamente creciente


(h) f : intervalos del dominio donde f es estrictamente decreciente(i) f : intervalos del dominio donde f es constante

1)

2)


3)

4)


5)

6)

VI. Plantee y resuelva los siguientes problemas:

1) Dado el triangulo rectangulo ABC, recto en B, donde AC = 10 cm y AB = 6 cm,exprese el area S del rectangulo inscrito como funcion de x, donde x representa lalongitud variante entre los puntos B y C.

2) Un cilindro recto de radio 3 y altura 9 esta inscrito en un cono de altura H y radioR.

(a) Exprese H como funcion de R.

(b) Exprese el volumen V del cono como funcion de R.


3) Se desea construir un recipiente cilndrico cerrado. Si el area del fondo es igual a4 cm2, exprese la cantidad de material S (en terminos de la altura h del cilindro)que se necesita para construir el recipiente.

4) Considere el triangulo rectangulo ABC, recto en B, con AC = 6 y AB = 4. Sean Ey D puntos sobre los lados AC y BC, respectivamente, tales que mEDC = 90,x = DC, h = ED y z = EC.

(a) Exprese h como funcion de x.

(b) Exprese z en terminos de x.

5) El dueno de una fabrica de refrescos sabe que su ganancia (en miles de colones se-manales), como funcion del numero x de refrescos vendidos, esta dado por la formula:

P (x) = 0,01x2 + 9x 1 296(a) Grafique la funcion P (x).

(b) Cuantos refrescos se deben vender, semanalmente, para obtener una gananciamaxima?

(c) Cual es la ganancia maxima?

6) Determine, para cada uno de los siguientes casos, la ecuacion de la recta l quesatisfaga las condiciones indicadas.

(a) Contiene los puntos (2, 3) y (4,1).(b) Interseca al eje x en el punto (5, 0) y contiene el punto (5, 6).(c) Contiene el punto (4, 1) y es paralela a la recta l1 definida por l1 : 2x+3y5 = 0.(d) Contiene el punto de interseccion de las rectas l1 y l2, definidas por l1 : y2x = 1

y l2 : y 4x = 1, y, ademas, es perpendicular a la recta l3 cuya ecuacion esl3 : 3x 2y = 4. Represente, ademas, las cuatro rectas en un mismo sistema decoordenadas rectangulares, cuya escala en el eje x sea la misma que se utilizaen el eje y.

7) Sea el triangulo con vertices A = (2, 1), B = (4, 7) y C = (6,3). Determine laecuacion de la recta que pasa por A y es paralela al segmento BC.

8) Sea l la recta de ecuacion l : y = 2x + 5. Calcule la distancia entre el puntoP = (3, 1) y l.

9) Sabiendo que f (x) = x2 3x + 1, determine la ecuacion de la recta l que pasa porel punto (3, f (3)) y que, ademas, sea perpendicular a la recta l1, donde l1 contieneel punto (2, 1) y corta el eje x en (5, 0).

10) Considere la recta l cuya ecuacion es l : 3x 2y = 8. Sea l1 la recta a la quepertenecen los puntos (2,2) y (k, 0). Determine el valor de k para que la recta lsea perpendicular a l1.

11) Determine la ecuacion de la recta l que pasa por el punto (4,1) y contiene el puntode interseccion entre la parabola con ecuacion y = x2 + 4 y la recta de ecuaciony = 4x.


12) Determine la ecuacion de la recta l que pasa por el punto (2, 3) y contiene uno delos puntos de interseccion entre la parabola con ecuacion y = x2+6x y la recta deecuacion x+ y = 6.

13) Sea l1 la recta de ecuacion l1 : 2x 3y = 1 y sea P un punto de dicha recta cuyaabscisa es 3. Determine la ecuacion de la recta l que es perpendicular a l1 y que,ademas, contiene el punto P .

14) Determine la ecuacion de la recta l que pasa por el punto (1, 5) y es perpendiculara la recta l1 de ecuacion l1 : 3x+ y

3= 4.

15) Determine la ecuacion de la recta l si se sabe que esta pasa por el punto (0, 5)y, ademas, es perpendicular a la recta l1 que contiene los puntos (a, a+ 1) y(a+ 1, a+ 2).

16) Determine el valor de k para que l1 : y = kx 3k y l2 : y = (3 4k) x + 2 seintersequen en x = 1.

17) Determine el valor de k para que la recta de ecuacion3kx

2+ (5k 1) y 2 = 0 sea

paralela a la recta 2x 3y + 4 = 0.18) Dados A = (3, 1) y B = (5, 4), encuentre la ecuacion de la mediatriz del segmento

AB.

19) Sea l1 : y = (k 1)x+ k, l2 : y = (2k + 2)x+ 2 y l3 : y = kx+ 5. Calcule k, tal quel1 l2 y que l1 l3.

20) Para que valores de a la parabola de ecuacion f (x) = x2 + 3ax+ 16 interseca al ejex en un solo punto.

21) Compruebe que los puntos de coordenadas A = (1, 6), B = (4, 5), C = (1,4) yD = (2,3) son los vertices de un rectangulo.

22) Determine el area del triangulo que esta limitado por los ejes coordenados y la recta5x 4y = 20. Calcule la longitud de la altura sobre la hipotenusa.

23) Determine la ecuacion de la recta que pasa por el vertice de la parabola de ecuaciony = x2+4x+1 y por el punto Q, donde Q es la interseccion de la recta de ecuacion3x+ 5y = 10 con el eje y.

24) Si se lanza un objeto con velocidad inicial 100m/s, su altura S (en metros sobre elsuelo) despues de t segundos viene dada por S (t) = 100t 4,9t2.(a) En que instante t esta el objeto a 40m sobre el suelo?

(b) En que tiempo alcanzara el objeto su mayor altura?

(c) Cual es la altura maxima del objeto?

25) Un frabricante de relojes puede producir cierto reloj con un costo de $15 por unidad.Se estima que si el precio de venta del reloj es $x, entonces, el numero de relojesvendidos semanalmente es 125 x. Determine cual debe ser el precio de venta decada reloj para que el fabricante obtenga una ganancia semanal maxima.

26) Determine dos numeros positivos cuya suma sea 50 y cuya suma de sus cuadradossea mnima.


27) Una compana de television por cable da servicio a 5 000 usuarios y cobra $20 pormes. Un estudio de mercado indica que por cada dolar menos en la tarifa mensual,se suscribiran 500 nuevos clientes. Si R (x) denota el ingreso total mensual cuandoel cobro es x dolares mensuales:

(a) Determine la funcion de ingreso R.

(b) Halle el valor de x que produzca un ingreso maximo mensual.

28) La entrada a un edificio tiene la forma de un arco parabolico y mide 9 pie de alto enel centro y 6 pie de ancho en la base. Si hay que meter una caja rectangular de 8 piede alto, cual es el ancho maximo que puede tener la caja?

29) El numero de millasM que cierto automovil puede recorrer con un galon de gasolina

a una velocidad v, en mi/h, esta dada por M =130

v2 +5

2v, con 0 < v < 70.

(a) Indique la velocidad mas economica para un viaje.

(b) Determine el valor maximo de millas que se pueden recorrer con un galon degasolina.

30) Determine la ecuacion de la parabola que pasa por los puntos (1,5), (2,3) y(3,7).

VII. Determine el dominio maximo de las siguientes funciones:

1) f (x) =x

x2 5x+ 6 +5

32x 7

2) f (x) =x

2x 1 +x2 + 3

6x2 + 5x+ 1

3) f (x) =

x2 4x+ 3x2 + 2

x+ 9x2 7x+ 10

4) f (x) = 4 35x+ 1 + x2

5) f (x) =

x2 + x+ 1

x4 + 1

6) f (x) =2x+ 32 5x +

1

2x2 9x 57) f (x) =

2 + |x 1|

8) f (x) = 42 1

x

VIII. Determine f1 (x) para cada una de las siguientes funciones:

1) f :

15, [3,[, tal que f (x) = 5x+ 1 3

2) f : ],2] [0,[, tal que f (x) = 4x2 16

IX. Sean f (x) =x y g (x) = 5x+ 1. Determine el criterio para

f (g g)

(x).

X. Si se tiene que f (x) =4x4 + 4 y g (x) = 16x2 4:

1) Determine el criterio parag f

(x)

2) Resuelva la ecuaciong f

(x) = 0

3) Calculef f

32


XI. Si se tiene que f (x) =x

2x+ 1y g (x) = 2 x, determine el criterio para las siguientes

funciones y simplifique al maximo el resultado:

1)f g

(x) 2)

g

f

(x) 3)

f + g

(x)

XII. Si f (x+ 1) = x2 3x+ 2, determine el criterio para f (x).XIII. Si f (x) = x2 + 3x+ 2 y g (x) = x+ 1, determine el criterio para las siguientes funciones:

1)f + g

(x) 2)

2f 3g

(x) 3)

g (2f + 5g)

(x)

XIV. Considere la siguiente tablax 2 1 0 2 3f (x) 1 1 1 11 19g (x) 23 1 2 2 1

y calcule:

1) (f g) (0) 2) (g g) (0) 3) (g f) (2) 4) (f g) (2)

XV. Sea h : IR IR, tal que h (x) = 2x+ 2 si x < 1x2 + 4x si 1 x < 4

6 si x > 5. Calcule h

5

2

.

XVI. Identifique los criterios para las la funciones f y g, si se sabe que:

1)f g

(x) =

x+ 3

2)f g

(x) =

2

(1 3x)4

3)f g

(x) = (x 1)4

XVII. Determine el criterio para la funcion g en cada caso:

1)g f

(x) =

1

3x 2 y f (x) = 3x+ 5

2)g f

(x) = 3

x2 1 y f (x) = x+ 1

3)g f

(x) = (x 3)2 + 2 (x 3) y f (x) = x 3

XVIII. Si f : Df Af es una funcion definida de manera tal que es biyectiva, para cada uno de lossiguientes casos halle el criterio para f1 (x) y, ademas, compruebe que

f f1 (x) = x:

1) f (x) = x2 22) f (x) =

1

1 + x2

3) f (x) =x+ 1

7

4) f (x) =

x+ 1 si x 12x si x < 1

5) f (x) =x 1

6) f (x) = x2 + 4x+ 4

7) f (x) = x2 9x+ 68) f (x) = x2 + 6x+ 7


XIX. Considere la siguiente grafica de una funcion f : Df IR

1) Determine:

(a) Df : Dominio maximo de f (b) Af : Ambito de f

(c) Cf : Codominio de f

2) Es la funcion biyectiva?

XX. Considere la siguiente grafica de una funcion f : Df IR

1) Determine:

(a) Df : Dominio maximo de f (b) Af : Ambito de f

(c) Cf : Codominio de f

2) Es la funcion biyectiva?


XXI. Sea f : [ 0,[ [25,[, tal que f (x) = x2 251) Justifique por que f biyectiva?

2) Determine Df y Af1

3) Halle el criterio para f1 (x)

4) Verifique quef f1

(x) = x

5) Represente, en un mismo sistema de coordenadas, las graficas de f (x) y f1 (x)

XXII. Sea f : [2,[ ], 1[, tal que f (x) = x 1x+ 2

1) Justifique por que f biyectiva?

2) Determine Df y Af1

3) Halle el criterio para f1 (x)

4) Verifique quef f1

(x) = x

9 ECUACIONES Y FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS 43

9 Ecuaciones y Funciones Exponenciales y Logartmicas

I. Determine el dominio maximo de las siguientes funciones:

1) f (x) = log416 x2

2) g (x) =

1

3

x13) h (x) = log2

2 + 3x

5 x

4) f (x) = 32x+1

5) f (x) = lnx2 1

6) g (x) = log2 (2x 1)

II. Grafique las siguientes funciones y determine, respectivamente, el dominio y el ambito:

1) f (x) = 2x3

2) f (x) = ex 83) f (x) = 34x 94) f (x) = ln (x+ 6) 35) f (x) = 31x

2

6) f (x) = log 32(8 x)

7) f (x) = log 65(x+ 10) + 8

8) f (x) = 2 + ln (x+ 12)

9) f (x) = 21,5x2 3,5

III. Escriba las siguientes igualdades exponenciales en forma logartmica:

1) 36 =1

729

2)

1

2

4=

1

16

3) 102 = 0,01

4) 34 = 81

5)

23

= 22

6) e3 20,0855

7) 0,1013 28) 7

3 = 3

17

9) 52k =c+ d

d

10) 7w =105 q

2r

11) (0,2)t = 3 4r12) rs = t w

IV. Escriba las siguientes igualdades logartmicas en forma exponencial:

1) log 34

16

9

= 2

2) log3 (2x y) =3tx+ y

3)2

5= log 5

100

4) 0,5978 ln (0,55)5) 2 log 100 = 46)

2

3= log2

34

7) log3

m3

= 2x+ 5

8) 5 log7m = 7 21x

9) log

2x+ 1

w= w 5

10) 1 = ln1

e

11) lnw =

2 x3 y

12) ln (3 t) = 3,8


V. Despeje t en cada uno de los siguientes casos:

1) L = 1001 0, 1e0,01t2

2) h =120

1 + 200e0,2t

3) A = BwtC +D

4) E =U2C

2

1 e0,2tRC

5) A = A0e0,0239t

6) 5z2t = B v7) L = a

1 bekt

8) Q = k 2t5 + 39) P = Mr

tN W

VI. Determine el valor de la variable en cada una de las siguientes expresiones:

1) ex = 1

2) log 13N = 3

3) ln (x) = 14) log 0,001 = x

5) 2 = log0,75 x

6) logy 27 = 1,5

7) logz

22=

3

28) 5 = ln x

9) logw2 =

1

210) log5 625 = y

11) 5x = log 1,5

12) z = log 1416

VII. Utilizando propiedades de expresiones logartmicas y exponenciales, verifique cada unade las siguientes identidades:

1) logab3 log c 3a2 = logb3 3a

c

2) log

3z

xy

=

1

3log z log x 1

2log y

3) e2 lnx = x2

4)log (x+ h) log x

h= log

1 +

h

x

1h

5) loga (a+ b)2

= 2 log (a+ b) + log a

6) loga

x3y

z2

= 3 loga x+

1

2loga y 2 loga z

7)1

4logx2 + 4x+ 3

+

1

4log

x+ 1

x+ 3

= log

x+ 1

8) ln

x 32x+ 1

5

(3x+ 1)2

= ln x+

1

3ln (2x+ 1) +

2

5ln (3x+ 1)

9)1

3logb

x2 1 logb y 4 logb z = logb 3x2 1yz4

10) log2

1 + cos x

x

= 2 log2 ( sen x) log2 (1 cos x)

1

2log2 x


VIII. Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones:

1) 2x2+1 = 4

2) 23x = 3

3) 22x 18 2x = 324) 27x =

92x1

3x

5) xx = x2

6) ln (2x) = 5

7)1

2ln (x+ 1) + ln

5x = 1

8) 22x 2x 1 = 19)

2x =

1

25

10) 573x = 85+2x

11) 52x + 5x = 6

12) log2 (x+ 1) = 1 log2 x13) e5x2 = 30

14) ex ex = 115) 5 4x2 2x+3 = 2816) 1 + ln x ln (3x) = 4 ln x

17) (ex 2) (4 + logx x) (2x 4x) = 018)

e3+x 2 2x 4x+1 = 0

19) log2

x+ 3

x 4= 2

20) log5 (3x 1) + log5 (2x+ 1) = 221) e2x

2 1e5x+3

= 0

22) log910x+ 5 1

2= log9

x+ 1

23) 3x+1 + 2 32x = 2924) 2 3(x2) + 9x+12 20 = 925) log5 (log3 (2x)) = 0

26) log (x) = 1 log (3 x)27) log2 x+4+log2 (x+ 1) = log2 (x+ 2)+5

28) log x2 = (log x)2

29) xlog x = 108

30) log (log x) = 2

31) logx =

log x

IX. Considere el criterio para la funcion f : Df Af y determine f1 (x) en cada caso;ademas, compruebe que

f f1

(x) = x =

f1 f

(x)

1) f (x) = 2x + 3

2) f (x) = log2 x+ 5

3) f (x) = 4x3 + 2

4) f (x) = 4 log (2 x)5) f (x) = 5 log2 x+ 3

6) f (x) = 2x3 27) f (x) = log2 (2 x) + 4

8) f (x) = ex 89) f (x) = 34x

10) f (x) = log3 (3 x)11) f (x) = 4x 312) f (x) = 2 ln (3 2x)13) f (x) = 2 log3 (x+ 5) 2014) f (x) = 4 log2 (2 3x)

X. Plantee y resuelva cada uno de los siguientes problemas:

1) Una bacteria del colera se divide cada media hora para producir 2 bacterias comple-tas. Si comenzamos con una colonia de A0 bacterias, en t horas habra A (t) = A0 2

2t

bacterias (suponiendo que se les proporciona comida adecuada y suficiente).

(a) Encuentre A para A0 = 5000 bacterias y t = 2,6 horas

(b) Si en t = 4,33 horas hay 2 000 000 de bacterias, cual era la colonia inicial debacterias?


2) De acuerdo con la ley de enfriamiento de Newton, un objeto se enfra en formadirectamente proporcional a la diferencia de temperatura entre el objeto y el medioque lo rodea. Dicha ley de enfriamiento puede servir para mostrar que, bajo ciertascondiciones, la temperatura T de un objeto esta dada por T = 75 et, donde t esel tiempo. Exprese t como funcion de T para poder determinar el tiempo que senecesita para que cierto objeto tenga una temperatura especfica.

3) Cierta sustancia radiactiva se desintegra segun la formula q (t) = q0 e0,0063t, donde

t es el tiempo en das y q0 es la cantidad inicial de sustancia. Calcule la semivida dela sustancia. NOTA: La semivida o vida media de una sustancia, es el tiempo quetarda en desintegrarse la mitad de la cantidad original de la muestra.

4) Con base en las tasas demograficas actuales, se espera que la poblacion de Kenia, N ,aumente segun la formula N = 20,2 e0,046t con N en millones y t = 0 correspondienteal ano 1 998. En que ano se duplicara la poblacion inicial?

5) Despues de que un estudiante con virus gripal regresa a un campus universitario ais-lado, de 2 000 estudiantes, el numero N de infectados despues de t das se pronosticapor:

N (t) =2 000

1 + 1 999 e0,985t

(a) Cuantos estudiantes estaran infectados despues de 72 horas?

(b) Cuantos das deben pasar para que hallan 662 estudiantes infectados?

6) El numero de bacterias de un cultivo despues de t horas esta dado por N (t) = N0 ekt,donde N0 es la cantidad de bacterias que haban, originalmente, en el cultivo y k escierta constante real. Encuentre el tiempo que tarda la colonia para cuadruplicar sutamano, sabiendo que despues de una hora esta se ha extendido a 1,5 veces de supoblacion inicial.

7) En cierto circuito, la corriente I en cualquier instante t (tiempo en segundos) esta

dada por I = I01 eRtL

, donde I0 es la corriente maxima, L es la inductancia y

R es la resistencia. Si un circuito tiene un inductor de 0,9H, una resistencia de 2y corriente maxima de 1,5A, en que instante la corriente llega a 1,45A?

8) Como resultado de la contaminacion, la poblacion de peces de un ro disminuye segun

la formula ln

PP0

= 0,0437 t, donde P es la poblacion de peces despues de t anos

y P0 es la poblacion inicial de peces.

(a) Despues de cuantos anos habra solo 50% de la poblacion original de peces?

(b) Despues de cuantos anos la poblacion se reducira en 40%?

(c) Que porcentaje de la poblacion morira durante los primeros 3 anos y 9 mesesde contaminacion?


9) Sea n el numero promedio de temblores por ano con magnitudes entre R y R + 1en la escala de Richter. Una formula que relaciona el numero de temblores con sumagnitud es lnn = 7,7 0,9R.(a) Despeje n en terminos de R para poder hallar el numero de temblores con cierta

magnitud.

(b) Encuentre el numero promedio de temblores por ano si las magnitudes son R =4,5 y R = 7, respectivamente.

10) La energa E (en ergs) liberada durante un temblor de magnitud R se puede calcularmediante la formula logE = 11,4 + 1,5R

(a) Despeje E en terminos de R para poder hallar la cantidad de energa que selibera con un temblor de magnitud R.

(b) Encuentre la energa liberada durante el famoso temblor de Alaska de 1 964, quetuvo una intensidad de 8,4 en la escala de Richter.

11) En un estanque se cultivan 1 000 ejemplares de truchas; tres meses despues se estimaque quedan 600 truchas. Encuentra una formula, de la formaN = N0 a

ct para calcularel numero de ejemplares restantes despues de t meses.

12) La longitud L de un pez se relaciona con su edad por medio de la formula de crec-imiento de Bertalany L = a

1 b ekt, donde a, b y k son constantes positivas

que dependen del tipo de pez. Resuelva esta ecuacion para t, con el fin de obteneruna formula que permita calcular la edad de un ejemplar con base en su longitud.

13) En un cultivo de bacterias hay 2 000 ejemplares; 5 meses mas tarde se estima que elnumero de bacterias aumente en 60%.

Determine una formula, de la forma B = B0 akt, donde se pueda calcular el numerode bacterias que habra despues de t meses.

10 ECUACIONES Y FUNCIONES TRIGONOMETRICAS 48

10 Ecuaciones y Funciones Trigonometricas

I. Exprese en grados las siguientes medidas dadas en radianes

1)7

6

2)11

12

3)13

90

4)14

5

5)1

90

6)23

7) 15

8) 42

9) 25

II. Exprese en radianes las siguientes medidas dadas en grados

1) 225

2) 8403) 15

4) 7125) 12306) 13

III. Sin hacer uso de la calculadora determine el valor numerico de las siguientes expresiones

1) tan

4

3

+ sen

5

3

2) sen

23

6

+ 2 cos (3)

3) sen

5

12

4) cos

2 arctan (1)

5) tan (4) + sen

13

3

6) cos

7

12

7) sen2 (90) + cos2 (135)8) sen2

7

3

cos (3) + tan

5

3

9) arccos

sen

5

4

10) arcsen

32

IV. Determine la funcion trigonometrica indicada para el angulo cuyas caractersticas se danen cada caso

1) Si el lado terminal de un angulo en posicion normal pasa por el punto P (3, 5),calcule tan ()

2) Si es un angulo en posicion normal, tal que sen () =213

y su lado terminal se

localiza en el IV cuadrante, encuentre cos ()

3) Si el angulo esta en posicion estandar y el punto P (2,3) se encuentra en ellado terminal de , encuentre sen () cos ()

4) Si se sabe que es un angulo en posicion estandar que esta en el II cuadrante ytan () = x, halle cos ()

5) Si sen () = x y es un angulo en posicion estandar que esta en el segundo cuadrante,encuentre cos (2)


6) Si tan () =4

5y tan () =

53 + 4

43 5, con y angulos en posicion estandar que

pertenecen al primer cuadrante, halle tan (+ )

V. Sea un angulo en posicion estandar en el III cuadrante, tal que tan () =5

12. Determine

el valor exacto de la siguiente expresion:sen ()

2 cos2 ()

VI. Determine cos ( ), si cos () = 34

y sec () = 2, donde y son angulos en posicion

estandar, tales que esta en el III cuadrante y esta en el I cuadrante

VII. Determine el valor numerico exacto de 2 cos (225) + 5 tan (330)

cot (495) 42csc (450)sec (225)

VIII. Si es un angulo en posicion normal, halle el valor de tan (), sabiendo que

arcsen

25

=

IX. Determine el valor de sen ( ) si se sabe que y son dos angulos en posicion estandardel tercer cuadrante que satisfacen sen () =

35

y cos () =14

X. Determine sen () como funcion de x si se sabe que es un angulo en posicion normaldel tercer cuadrante que satisface que sec () = x. Determine, posteriormente, el valor de como funcion de x

XI. Verifique cada una de las siguientes identidades

1)sen (x) cos (x) + cos (x) sen (x)

cos2 (x) sen2 (x) =2 sen (x) cos (x) + 4 sen3 (x) cos (x)

1 4 sen4 (x)2)

tan2 (x)

sec (x) + 1=

1 cos (x)cos (x)

3)sen (x)

1 cos (x) +1 cos (x)sen (x)

= 2 csc (x)

4)1 + sen (x)

cos (x)+

cos (x)

1 + sen (x)= 2 sec (x)

5)sen () + tan ()

cot () + csc ()= sec () cos ()

6)1

sen () 1

cos ()=

1 2 sen2 ()cos2 () sen () + sen2 () cos ()

7)1 sen (x)

sen (x) cot (x)=

cos (x)

1 + sen (x)

8)2 cos (2x)

cos2 (x) sen (x) cos (x) = 2 + 2 tan (x)


9) sec () tan () = sen2 () sen3 ()

cos ()+ cos () sen () cos ()

10) csc (x) cosx+

2

= 1

11)cos2 () sen2 ()2 sen () sen

2

= cot (2)12)

1

1 + cos () 1

1 cos () = 2 cot () csc ()13) cos () cot () + sen () = csc ()

14) sen () tan () + cos () = sec ()

15)1 cos (x)

csc (x) + cot (x)

= sen (x)

16) sec2 () + tan2 () + 1 =2

cos2 ()

17)sen () + cos ()

cos () sen () =cot () + 1

cot () 118)

csc () + 1

csc () 1 =1 + sen ()

1 sen ()19)

cos ()

cos () + sen ()=

cot ()

1 + cot ()

20)1

1 + cot ()=

sen ()

sen () + cos ()

21)cos ()

1 + sen ()+

1 + sen ()

cos ()= 2 sec ()

22)sen4 () cos4 ()

1 cot4 () = sen4 ()

23) sec () + tan () =cos ()

1 sen ()24)

sen (2)

1 + cos (2)= tan ()

25) sen (2) =2 tan ()

1 + tan2 ()

26)cos (2)

cos ()= 2 cos () sec ()

27)sec () + tan ()

2=

1 + sen ()

1 sen ()28) cos () cos () sen () sen () = 129) cos (+ ) cos ( ) = cos2 () sen2 ()30) tan () + cot () =

2

sen (2)


31)sen (2)

sen () cos (2)

cos ()= sec ()

32) cos2 () cos2 () = sen2 () sen2 ()33) cos2 () sen2 () = 1 tan

2 ()

1 + tan2 ()

34) cos2 () = cos () sen2

35) cos (x+ y) cos (y) + sen (x+ y) sen (y) = cos (x)

XII. Determine todas las soluciones que pertenecen a [ 0, 2] para la ecuacion3 sen (x) + 2 cos (x)

4 cos2 (x) 3

= 0

XIII. Resuelva todas y cada una de las siguientes ecuaciones en IR o en el intervalo que seindique

1)2 sen (2) +

3

1 2 sen ()= 0

2) 2 tan2 (x) + sec2 (x) = 2, para x [ 0, 2[3) 2 cos () cos (2) 3 cos (2) = 04) tan2 (x) + sec (x) 1 = 05)

2 sen (2x) 1

sec (x) + 1

= 0

6) 2 sen2 () 7 cos () = 27) 2 sen (x) + tan (x) = 0

8) 2 sen (x) tan (x) tan (x) 10 sen (x) + 5 = 09) 3 tan3 (x) + 3 tan2 (x) + tan (x) + 1 = 0

10) cos (2x) + sen (2x) + 1 = 0

11) 2 sen2 (3) = cos (3) 212) 7 cos2 (3) = 3 cos (3), para [ 0, 2[13) 2 cos2 () 3 sen () = 014) cos (x) = sen (x)

15) cos2 (x) = 2 sen (x)

16) csc (x) = sec (x)

17) cos (x) =5 sen (x)

18) 2 sen (x) = 3

19) cos (x) + 2 sen (x) = 2

20) 2 cos (x) tan (x) = 1

21) tan2 (x) + 3 = 2 sec2 (x)

22) 2 cos23 sen (x) = 123) 3 sen2 (x) 2 sen (x) = 024) sen (x) = cos (2x)

25) cos (2x) + cos (x) + 1 = 0

26) 3 sen (x) cos (2x) = 12

27) sen2x

3

=

1

528) 3 sen (x) + 4 cos (x) = 5

29) sen (x) + cos (x) = 1


30) 4 cos2 (x) = 3 4 sen (x)31) cos (x) = 0,2732) sen (x) =

89

33) sen (x)cos (x) + 2

= sen (x)

34) cos3 (x) sen2 (x) + 1 = cos (x)35) tan (x) = 2 cos (x)

36) cos2 (x) =31 sen (x)

2

37) sen (2x) + cos (x) = 0

38) cos (x) = cos3 x

39) cos (3x) = sen (6x)

40) sec (x) = cos (x)

41) cos2 (x) + 2 sen (x) + 2 = 0

42) sen (2x) = 0,37

43) 2 cos2 (x) + 5 sen (x) 4 = 044) 2 cos2 (2x) + sen (2x) = 1

45) 2 sen2 (x) = sen (x) + 1

46) sen

2x

3

= 0

47) sen (4x) = cos (2x)

48) tan (x) + 3 cot (x) = 4

49) 4 sen (x) cos (x) + 1 = 0

XIV. Plantee y resuelva los siguientes problemas

1) Un hombre cuya estatura es 1,75m proyecta una sombra de 1,9m. Calcule las razonestrigonometricas del angulo que forman los rayos del sol con la horizontal.

2) En un triangulo rectangulo ABC, recto en B, el angulo en C mide 1821 y lahipotenusa 219m. Determine el angulo en A y la longitud de los otros dos lados dedicho triangulo.

3) Desde lo alto de una roca de 75m sobre el nivel del mar, el angulo de depresion auna boya (cuerpo flotante sobre el mar usado para senalizar) es de 3715; calcule ladistancia de la roca a la boya.

4) Calcule el area de un triangulo rectangulo en el que un cateto mide 93,78 cm y elangulo opuesto a dicho cateto mide 3751.

5) Determine la altura de una torre que se levanta sobre un plano horizontal, si elangulo de elevacion a su parte mas alta, desde un punto a 240m de su base, mide33.

6) Un helicoptero esta volando a una altura de 731,52m directamente sobre una torre.El piloto mide que el angulo de depresion hacia una torre que queda al este es de34, mientras que el copiloto mide que el angulo de depresion hacia una torre quequeda al oeste es de 56, cual es la distancia que separa a las dos torres observadas?

7) A que distancia de un edificio de 18m de altura debe colocarse un observador conun teodolito (instrumento de precision para medir angulos) de 1,5m, para que elangulo de elevacion a la cuspide del edificio sea de 2655?

8) El asta de 8m de altura de una bandera esta situada en lo alto de un edificio. Desdeun punto cerca de la base del edificio, los angulos de elevacion al tope y al pie delasta son 38 y 20, respectivamente. Determine la altura del edificio.


9) Dos puntos A y B sobre el mismo lado de un ro distan 30m entre s. Un punto Cal otro lado del ro esta localizado de tal modo que el angulo CAB mide 75 y elangulo ABC mide 85. Cual es la anchura del ro?

10) Se va a construir un tunel a traves de una montana de un punto A a un punto B.Un punto C que es visible desde A y B se encuentra a 384,8m de A y a 555,6m deB. Determine la longitud que tendra el tunel.

11) Un observador de 1,2m de altura ve la cuspide de un arbol con un angulo de elevacionde 32, camina 11m hacia el arbol y ve la misma cuspide con un angulo de 68.Determine la altura del arbol.

12) Un barco sale de un puerto navegando 5 millas en direccion N 40E y luego 8 millasal este. Determine la distancia del barco al puerto de partida.

13) Desde una ventana de un edificio, una persona ve la base y la cuspide de otro edificiocon angulos de 37 y 5120, respectivamente; si la distancia entre los dos edificioses de 18m, determine la altura del edificio que observa esta persona.

14) Dos lados adyacentes de un paralelogramo miden, respectivamente, 3 472,7 cm y4 822,3 cm, si el angulo comprendido entre estos lados mide 7248, determine lalongitud de la diagonal mayor.

15) Un barco navega 15 millas en direccion S 4010O y despues 21 millas en direccionN 2820O. Encuentre la distancia a la que esta el barco del punto de partida juntocon su orientacion.

16) Al aproximarse un vehculo a un edificio situado en una llanura, su conductoraencuentra que desde un cierto lugar el edificio se ve bajo un angulo de 10 y desdeotro lugar, 200m mas cerca del edificio, este se ve bajo un angulo de 15. Determinela altura del edificio y la distancia de este al segundo lugar de observacion.

17) Un jugador de baloncesto de 2m de altura se encuentra a 7m de la base del aro. Siel jugador observa el aro con un angulo de elevacion de 1013, encuentre la altura ala que se encuentra el aro del suelo.

18) Dos barcos salen a la misma hora desde el mismo puerto, con rutas que forman unangulo de 71; depues de cierto tiempo, el segundo barco a viajado una distanciade 15 km y la distancia entre los barcos es de 20 km. Cuanto ha viajado el primerbarco?

19) Al aproximarse un vehculo a un edificio en una llanura, encuentra que desde ciertolugar la cupula del edificio se ve con un angulo de 10. Luego viaja en lnea recta200m mas y la cupula del edificio se ve con un angulo de 3548. Cual es la alturade la cupula del edificio y cual es la distancia desde el segundo lugar de observaciona la base del edificio?

20) Una persona ubicada en un punto A debe estar en un plazo de 10 horas en un puntoB situado a 325 km al este de A. Esta persona decide tomar una lancha para pasarpor el puesto C donde realizara un negocio. Si C queda en direccion N 55E de A yen direccion N 15O de B, y la velocidad promedio de viaje es 60 km/h, de cuantotiempo dispone para tratar su negocio en C?


21) Un crucero zarpa con rumbo N 47E desde una isla a un puerto en tierra firme queesta a 150 millas; despues de navegar por aguas de fuertes corrientes, la nave estafuera de curso en una posicion P ubicada N 33E y a 80 millas de la isla. A quedistancia aproximada estara del puerto de destino?

22) Desde un avion se observa la base de un edificio con un angulo de depresion de 40.A 12 metros de la base del edificio y desde el suelo una persona observa el avion conun angulo de elevacion de 50. Determine la altura a la que vuela el avion.

23) Desde el piso de un canon se necesitan 62 pies de cuerda para alcanzar la cima dela pared del canon y 86 pies para alcanzar la cima de la pared opuesta. Si ambascuerdas forman un angulo de 123, cual es la distancia entre la cima de la pareddel canon y la otra cima?

24) Desde un punto A, ubicado a una altura de 10 metros, un observador ve la cuspidede un edificio con un angulo de elevacion de 28 y la base del mismo con un angulode depresion de 15. Determine la altura del edificio.

25) La diagonal mayor de un corral en forma de paralelogramo mide 10 metros de longi-tud. Un extremo de esta diagonal forma angulos de 33 y 25 con los lados, respec-tivamente, del paralelogramo. Determine la longitud del lado mayor del corral.

26) Cuando Ana intentaba alcanzar a Berta en una carrera, observan un globo (al frentede ellas) con un angulo de elevacion de 3240 y 4450, respectivamente. Si la dis-tancia entre estas competidoras es de 254 metros y se supone que Ana, Berta y elglobo estan sobre el mismo plano horizontal, determine la distancia de Ana al globo.

27) Un terreno se encuentra al lado de un lago (ver figura), determine la medida aprox-imada del angulo A.

28) Un satelite de comunicacion esta directamente sobre la prolongacion de la lnea queune las torres de recepcion A y B. Se determina por las senales de radio que el angulode elevacion del satelite desde la torre A es de 8212 y desde la torre B es de 8630.Determine cual de las dos torres (en lnea recta) se encuentra mas cerca de dichosatelite? si se sabe que ambas torres se separan por una distancia de 1 290 km.


29) Desde un auto que se acerca a un edificio, una persona observa la cumbre de este conun angulo de elevacion de 25; posteriormente, despues de recorrer 95 pies hacia eledificio, vuelve a observar la cumbre con un angulo de elevacion de 40. Determinela altura del edificio.

30) Una ruta comercial entre un puerto y una isla (ruta en lnea recta) mide 200 millas.En determinado momento, un naufrago que sale del puerto hacia la isla se da cuentaque esta a 80 millas del puerto y que se ha desviado 620 desde su salida con respectode la ruta comercial. A que distancia de la isla se encuentra el naufrago?

31) Determine la medida de los angulos de un triangulo isosceles, sabiendo que sen () =1

2, donde es el angulo comprendido entre los dos lados congruentes.

XV. Calcule la longitud que debe tener una escalera para que, apoyada en la pared, alcance

una altura de 4,5 metros, al formar con el plano de la base un angulo de medida

6.

XVI. Considere la siguiente figura y determine la medida de AB, sabiendo que CD = 120metros, AB ||CD, mACD = 115, mACB = 92, mBDC = 125 y mBDA =100.

XVII. Considere la siguiente figura y determine los valores de B y de C, respectivamente.


XVIII. Considere la siguiente figura. Si = 120 y = 30, determine el valor de y.

XIX. Considere la siguiente figura. Si =

3y =

6, determine las dimensiones del triangulo

ABC y halle el area del cuadrado sombreado.

XX. Considere la siguiente figura; si R =

6, |BC| = |BF | = 1

2|ED| y, ademas, |CD| = 3 cm,

determine las dimensiones del rectangulo ACDE y halle las dimensiones del trianguloFBC.

11 SOLUCIONES 57

11 Soluciones

11.1 Numeros Reales

II. 1) 0

2)6

5

3) 13

4) 407

5) 1528

6)47

80

7) 148

8)33

25

9) 45

10)414

175

11) 3

12)187

70

13)20

9

14) 117

15) 12

16) 2

11.2 Expresiones Algebraicas

I. 1) 52) 73)

9

128

4)2

11

5)1

8

6) 18

7) 2

8) 0

9) 605

II. 1) +

2) 3) +

4) +

5) +

6) +

7) 8) +

9) +

10) +

11) +

12) +

13) 14) +

III. 1) 9xy 15xy2 10x2y 7x22) 8y2 + 6yz

3) x+ 7y

4) y 4x+ 45) 2a+ 10b c6)

8ab

5 bc

14 7ac

15

7) 7m2

2+

9m

2 3

28) 30x5y6w29) 2a3 15ab10) x3 x+ x2y y

11) 4 + 12x2b2 + 9x4b4

12) a2 16b2 + 8bc c213) x6 a614) 3x2 + 15x 1815) 8a3 b316) 3x2 16x+ 2117) 6x2y + 6y318) 8a3

19) b3x b3x+120) x2 + x2a+1 + xa

21) 3a2x1 4ax

11 SOLUCIONES 58

IV. 8) No

VI. 1) 3a2 +1

2a 15

2

2) 4x y 83xy

3) 2x2 + 4x 212

4) 3x 25) x3 3x6) a3 a2b 8ab27) 3x 7y28) 3a2 + 5x

VII. 1) S 2) S 3) No

XI. P (x) = (x 2) (x+ 1) (x2 + 1)XII. P (x) = (x 1) (x+ 1) (x 3) (x 5) (x+ 3)

XIII. P (x) =

x 1

3

(x 1) (x+ 1) (x 2)

XIV. 1) 4x2 9x+ 12 14x+ 1

2) x2 + 2x 1 + 2x+ 1

3) x 4 + 11 x

4) x3 x2 + 11 x

5) 9x2 + 12x+ 16

6) y3 + 3y2 + 10y + 27 +68y 29y2 3y + 1

7) x2 + xy

XV. 1) x+ 1 1x 2

2) x2 5x+ 253) 2y3 5y2 + 12y 27 + 49

y + 2

4) x52x44x38x216x32+ 672 x

5) 4x2 2x+ 66) 8x3 + 7x2 + 6x+ 9

7) 2x2 + 9x+ 1 362x+ 1

8) 3b2 + 7b+17

2+

57

2 (2b 3)

XVI. 1) a4 (a 1)2 (a+ 1)2 a2 + 12) (m+ b)2

3) (a b) (a+ 1)4) (x 6) (x+ 6)5) (3x y)26) (x+ 1)

x2 x+ 1

7) (3a 1) 9a2 + 3a+ 18)

x4 + 1

(x 1)

9) (x 4) (6x+ 5)10)

5x2 9y 5x2 + 9y

11) (1m) 1 +m+m212) a (a 2b) (a 3b)13) (2y + z) (x 3)14) (1 2b)215) (a+ 5) (a 6)16) (3m 2) (5m+ 7)17)

2m 3y2 4m2 + 6my2 + 9y4

18) (2a 1)3

19)c a2

c+ a

2

c2 + 2a2

20) (m+ n 3)2

11 SOLUCIONES 59

21) (x+ 5) (7x 4)22) (1m) (1 +m)23)

a2 + 1

a4 a2 + 1

24) (4a 3b)2

25)1 6x3 + 36x6 1 + x 361 x 36 + x2 336

26) (a+ c d n) (a c+ d n)27) (x 4) x2 + 4x+ 1628) (7ab+ 1)2

29) (x+ 10) (x 8)30) (x 2) (x+ 4) x2 + 2x+ 1031) (x+ y + a b) (x+ y a+ b)32)

1 ab2 1 + ab2

33)x 32

x2 + x 3

2 + 3

4

34) (x+ 1) (x 3) (x+ 4) (x 5)35) (x+ 1) (a b+ x)36) (a+ 6b)2

37) (1 + a 3b) 1 a+ 3b+ (a 3b)238) (7 + 2a)

49 14a+ 4a2

39) (2a 1) (2n+ 3m)40)

9a3 2bc4 9a3 + 2bc4

41) (4 2a b) (4 + 2a+ b)42) (4 x) (5 + x)43) (n+ 7) (n 6)44) (a 1) (x+ 1)45) (a+ x) (a x 1)46) (3m 2a)247) (a+ b+ c) (a b c)

48)3x2 5t3 3x2 + 5t3

49) (x+ 6) (x 3)50) (x+ 2y)3

51)5a2 + 1

25a4 5a2 + 1

52) 3 (a 2) (a+ 5) (m+ 1)53) a (a+ 2) (x 2) x2 + 2x+ 454) (2a 7) (4a+ 3)55) (1 + 9ab)2

56)a 32 1

a 32 + 1

a2 34 a 32 + 1

a2 34 + a 3

2 + 1

57) (x+ 1) (x 2) (x 3)58) 2 (x+ 1) (x 2) x2 + x+ 159) (x 1) (x+ 1) (x 2)260) x (2x 1) (x 1)261) (x+ 3) (2x+ 3) (3x 2)62) (x 1) (x+ 2) 2x2 + 363) x2 (xm ym) (xm + ym)64) (2x 1) (2x + 1)2 22x 2x + 165) (3m 1) (3m + 1) 3m2 + 266)

x2 + 2x 12x+ 3

67) x+ 3

68)1

(x 1) (x+ 1)69)

x2 + 2

x2 + x+ 1

70)2a 1a+ 3

XVII. 1) (3x+ 1)2 322) 12 (1 x)23) 32 (x+ 2)2

4)

22 (4b 3)2

5)x2 + 2

2+

32

6) (5y + 1)2

132

7)

x+

1

2

2+

3

2

2

11 SOLUCIONES 60

XIX. 1)x 1b+ 1

2)4 (2x+ 1)

(x 1) (x+ 1)3)

x 2x (x 1) (x+ 1)

4)m2 + 3m+ 54

12 (m 3) (m+ 3)5)

x2 + 3x 5(x 1) (x+ 2) (x 3)

6)8x+ 39

6 (x+ 3) (x+ 4)

7)6 x

(x 1) (x+ 3)8) 1

9)1

x+ 1

10)(x 1) (x 7)

(x+ 2)2

11)y2 (y 4) (y + 5)

(y 1)212) x+ 2

13)x

x+ 1

14)x2 xy + y2

xy

15)2a2 + b

a2b (b 2a)16)

a ba+ b

17) 1

18)y 2xx (x y)

19)x

xn + yn

XX. 1)523x7y2

y

2)36ab

2b

3) 34xyz2

2z4) an

XXI. 1)x 39 (3 xy)

3

2)329 x

2

3) 4 3(x 2)2 6 3x 2 + 9

4)2 (x 2) 3x+ 21 4x

9x 25)

xx+

2x 1

x 16) 2 2 x+ 37)

2

5(3x 1)3

8)(11 2x) 3 + 2x+ 1

5 4x9) 4x x+x2 + x 310)

5x 4(5x+ 2)

8 10x+ 5x

11)1

xy

x 2y12)

1

(8x)4+2 3

x+ 3x2

13)

4

3(x 1)2 2 3x 1 + 1

14)

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