MATEMATICA BSICA CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON 1 LOGICA: La lgica matemtica es una parte de la lgica y las matemticas, que consiste en elestudiomatemticodelalgicayenlaaplicacindeesteestudioaotrasreasdelas matemticas.Lalgicamatemticatieneestrechasconexionesconlacienciasdela computacinylalgicafilosfica.Lalgicamatemticaestudialossistemasformalesen relacin con el modo en el que codifican nociones intuitivas de objetos matemticos como conjuntos, nmeros, demostraciones y computacin. La lgica matemtica suele dividirseen cuatro subcampos:teora de modelos, teora de la demostracin,teoradeconjuntosyteoradelarecursin.Lainvestigacinenlgica matemticahajugadounpapelfundamentalenelestudiodelosfundamentosdelas matemticas.Actualmenteseusanindiferentementecomosinnimoslasexpresiones: lgica simblica( o logstica), lgica matemtica, lgica teortica y lgica formal. La lgica matemtica no es la lgica de las matemticas sino la matemtica de la lgica. Incluye aquellas partes de la lgica que pueden ser modeladas y estudiadas matemticamente. LGICA PROPOSICIONAL Unaproposicinescualquierenunciadolgicoalqueselepuedaasignarunvalorde verdad (1) o falsedad (0). Dada una proposicin p, se define la negacin de p como la proposicin p' que es verdadera cuando p es falsa y que es falsa cuando p es verdadera. Se lee "no p". A partir de una o varias proposiciones elementales se pueden efectuar diversas operaciones lgicas paraconstruirnuevas proposiciones; eneste caso, se necesita conocer su valor de verdadofalsedadenfuncindelosvaloresdelasproposicionesdequesecomponen,lo cual se realiza a travs de las tablas de verdad de dichas operaciones. Por ejemplo, la tabla de verdad de la negacin es la siguiente: A continuacin se describen las principales operaciones lgicas entre dos proposiciones p,q y sus tablas de verdad: Conjuncin: es aquella proposicin que es verdadera cuando p y q son verdaderas, y falsa en cualquier otro caso.Se escribe p . q, y se lee "p y q". pqp . q 111 100 010 00 0 pp' 10 01 MATEMATICA BSICA CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON 2 Disyuncin: es aquella proposicin que es verdadera cuando al menos una de las dos p o q es verdadera, y falsa en caso contrario. Se escribe p v q, y se lee "p o q". Disyuncin exclusiva: es aquella proposicin que es verdadera cuando una y slo una de las dos p o q es verdadera,y falsa en cualquier otro caso. Se escribe p v q, y se lee "p o q pero no ambas". Se usa muy poco.pqp v q 110 101 011 000 Condicional: es aquella proposicin que es falsa nicamente cuando la condicin suficiente p es verdadera y lacondicin necesaria q es falsa. Se escribe p q, y se lee "si p entonces q". pqp q 111 100 011 001 Bicondicional: es aquella proposicin que es verdadera cuando p y q tienen el mismo valor de verdad,y falsa en caso contrario. Se escribe p q, y se lee "si y slo si p entonces q". pqp q 111 100 010 001 Una proposicin se dice que es una tautologa si su valor de verdad es siempre 1 independientemente de los valores de las proposiciones que lo componen; por ejemplo: p v p'. pqp v q 111 101 011 000 MATEMATICA BSICA CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON 3 Una proposicin se dice que es una contradiccin si su valor de verdad es siempre 0 independientemente de los valores de las proposiciones que lo componen; por ejemplo: p . p'. Una paradoja es una proposicin a la que no se le puede asignar ningn valor de verdad; suelen estar relacionadas con incorrecciones en el lenguaje lgico. Por ejemplo: p="la proposicin p es falsa". Dos proposiciones p y q se dicen equivalentes si tienen la misma tabla de verdad en funcin de las proposiciones elementales que lo componen; esta definicin equivale a decir que la proposicin p q es una tautologa. Por ejemplo, las proposicionesp qyq' p' Son equivalentes. Esta ley se llama "ley del contrarrecproco", y se usa en los razonamientos por reduccin al absurdo. Se pueden obtener fcilmente ms "resultados lgicos" a travs de su relacin con la teora de conjuntos. NMEROS NATURALES: PRINCIPIO DE INDUCCIN Admitivos como intuitivo el concepto de nmero natural; as, podemos enumerar los nmeros naturales en orden creciente:N = { 1,2,3,4,5, ... } Cuando se quiere demostrar que una proposicin relativa a nmeros naturales es cierta, se necesita el Principio de Induccin: "Sea S el conjunto de nmeros naturales para los que la proposicin p(n) es cierta; supongamos quem e Sy quen e S n+1 e SEntonces S = { m,m+1,m+2, ... }" (es decir, la propiedad se verifica para todo nmero natural a partir de m; normalmente se usa con m = 1). Algunas veces, cuando se quiere demostrar que la proposicin es cierta para n+1, es necesario usar que la proposicinse verifica para todo k < n+1; en ese caso se utiliza el Principio de Induccin completa:"Sea S el conjunto de nmeros naturales para los que la proposicin p(n) es cierta; supongamos quem e Sy quem,m+1, ... ,n e S n+1 e SEntonces S = { m,m+1,m+2, ... }" MATEMATICA BSICA CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON 4 Ejercicio: prubese por induccin la frmula del binomio de Newton (Indicacin: utilcense las propiedades de los nmeros combinatorios). TEORA DE CONJUNTOS Un conjunto es la reunin en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre si, que se llaman elementos del mismo. Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relacin de pertenencia a e A.En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota ae A. Ejemplos de conjuntos:

-C : el conjunto vaco, que carece de elementos. -N: el conjunto de los nmeros naturales. -Z: el conjunto de los nmeros enteros. -Q : el conjunto de los nmeros racionales. -R: el conjunto de los nmeros reales. -C: el conjunto de los nmeros complejos. Se puede definir un conjunto: opor extensin, enumerando todos y cada uno de sus elementos. opor comprensin, diciendo cul es la propiedad que los caracteriza. Un conjunto se suele denotar encerrando entre llaves a sus elementos, si se define por extensin,o su propiedad caracterstica, si se define por comprensin. Por ejemplo: oA := {1,2,3, ... ,n} oB := {pe Z | p es par} Se dice que A est contenido en B (tambin que A es un subconjunto de B o que A es una parte de B), y se denota A _ B, si todo elemento de A lo es tambin de B, es decir, a e A a e B. Dos conjuntos A y B se dicen iguales, y se denota A = B, si simultneamente A _ B y B _ A;esto equivale a decir que tienen los mismos elementos (o tambin la misma propiedad caracterstica). Para cualquier conjunto A se verifica que C_ A y A _ A;B _ A es un subconjunto propio de A si A = C y B = A. MATEMATICA BSICA CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON 5 El conjunto formado por todos los subconjuntos de uno dado A se llama partes de A, y se denota (A).Entonces, la relacin B _ A es equivalente a decir B e (A). Ejemplos: Si A = {a,b} entonces (A) = {C ,{a},{b},A}.Si a e A entonces {a} e (A). Cuando en determinado contexto se consideran siempre conjuntos que son partes de uno dado U,se suele considerar a dicho U como conjunto universal o de referencia. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia al conjunto A B := {a e A | a e B}.Asimismo, se llama diferencia simtrica entre A y B al conjunto A A B := (A B)(B A). Si A e (U), a la diferencia U A se le llama complementario de A respecto de U,y se denota abreviadamente por A' (U se supone fijado de antemano). Es fcil ver que si A y B son subconjuntos cualesquiera de U se verifica: oC ' = U . oU ' = C . o(A')' = A . oA _ B B' _ A' . oSi A = { x e U | p(x) es una proposicin verdadera} entonces A' = { x e U | p(x) es una proposicin falsa}. Se llama unin de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A o de B, es decir: AB := { x | x e A v x e B}. Se llama interseccin de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A y de B, es decir: A B := {x | x e A . x e B}. Si A y B son subconjuntos de un cierto conjunto universal U, entonces es fcil ver que A B = A B'. En este caso, la llamadas operaciones booleanas (unin e interseccin) verifican las siguientes propiedades : PROPIEDADESUNIONINTERSECCION 1.- IdempotenciaAA = AA A = A 2.- ConmutativaAB = BAA B = B A 3.- AsociativaA( BC ) = ( AB )CA ( B C ) = ( A B ) C 4.- AbsorcinA( A B ) = AA ( AB ) = A 5.- DistributivaA( B C ) = ( AB ) ( AC )A ( BC ) = ( A B )( A C ) 6.- ComplementariedadAA' = UA A' = C MATEMATICA BSICA CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON 6 Estas propiedades hacen que partes de U con las operaciones unin e interseccin tenga una estructura de lgebra de Boole. Adems de stas, se verifican tambin las siguientes propiedades: oAC = A , A C = C ( elemento nulo ). oAU = U , A U = A ( elemento universal ). o( AB )' = A' B' , ( A B )' = A'B' ( leyes de Morgan ). Dados dos conjuntos A y B, se define el producto cartesiano de ambos como el conjunto de pares ordenados: A B := { (a,b) : a e A . b e B} Dos pares (a,b) y (c,d) de A B son iguales si a = c y b = d; anlogamente, dados cuatro conjuntos A,B,C,D se verifica A B = C D ( A = C . B = D ) Se llama grafo relativo a A B a todo subconjunto G _ A B. Dado un grafo G relativo a A B, se llama proyeccin de G sobre A al conjunto ProyAG := { a e A : (a,b) e G, - b e B} Anlogamente se define la proyeccin ProyBG de G sobre B. Por ltimo, los conceptos anteriores pueden generalizarse a familias de conjuntos.Si para cada elemento i de un conjunto (de ndices ) I se tiene un conjunto Ai , entonces se define el conjunto { Ai : i e I } y se denomina familia de conjuntos indicada por I. Tambin se suele denotar por { Ai } i e I . De forma anloga se define una familia de elementos ( ai ) i e I .Dada una familia de conjuntos { Ai } i e I se definen:

o i eI Ai := { a : a e Ai , - i e I } o i e I Ai := { a : a e Ai , i e I } o[ i e I Ai := { (ai) : ai e Ai , i e I } Las propiedades de la unin e interseccin siguen siendo vlidas para familias de conjuntos, y en particular las leyes de Morgan : (i e I Ai )' = i e I A'i ,(i e I Ai )' = i e I A'i MATEMATICA BSICA CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON 7 MATEMATICA BSICA CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON 8 MATEMATICA BSICA CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON 9 Contenido: - Diagramas de Venn. -Leyes del lgebra de conjuntos. Competencias:- Representa grficamente conjuntos de la forma adecuada. - Utiliza la teora de conjuntos en situaciones reales. Objetivos: -Ilustrar correctamente las operaciones de conjuntos en diagramas de Venn. -Aplicaradecuadamentelasleyesdellgebradeconjuntosatravsdeejemplosy ejercicios. -DesarrollarlashabilidadesdeconstruirdiagramasdeVennyoperacionesconlas leyes del lgebra de conjuntos a travs de la solucin de ejercicios propuestos. -Mostrar inters, tica y esttica en la realizacin de las tareas asignados. Desarrollo. Al Estudiar conjunto y las relaciones entre los mismos, es til algunas veces representar a travs de Diagramaslos conjuntos. DiagramasdeVenn:sonfigurasplanascerradas;normalmente,elconjuntouniversalse representa por el interior de un rectngulo y los otros se representan por discos incluidos en el rectngulo. Nota: algunas veces es conveniente sombrear las reas para representar al conjunto o las operaciones indicadas de conjunto. Ejemplo 1: Sean{ } g f e d c b a U , , , , , , = ; { } g e c a A , , , = , { } e d c b a B , , , , =y{ } g f e b C , , , = ; Represente grficamente en diagramas de Venn cada una de las siguientes operaciones: 1)B A .Rpta { } g e c b a B A , , , , =. 1) 2) B C Rpta { } g f B C , = . 3) C B Rpta { } e b C B , = . 4)CC Rpta { } d c a CC, , = . 5)C BA Rpta. { } g f d c a C B , , , , = A . 2) 3) U AB a c e b d g U BC f g U BC b e MATEMATICA BSICA CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON 10 4) 5) lgebra de conjuntos. Lasoperacionesconconjuntosposeenpropiedadessimilares(peronoidnticas)alas operacionescon nmeros. El conocimiento y empleo de estas propiedades es importante, porcuantopermitesimplificarconsiderablementeciertasoperacionesenaparienciacomplicadas.Laspropiedadesfundamentalesdelasoperacionesconconjuntosse presentan en el texto base en el recuadro de la pgina XXXVI. Ejemplo 2. Represente grficamente el conjunto) ( C B ASolucin:PrimerosesombreaaAconrayasinclinadashacialaderechaarriba,yluegoa C B conrayasinclinadashacialaizquierda,ahora,) ( C B A eselreadondese cruzan las lneas (formando cuadritos). U C d a c U BC f g a c d A B C C B y A A B C Ejemplo 3 MATEMATICA BSICA CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON 11 Ejemplo 3. Considerelosconjuntos{ } { } { } 8 , 6 , 4 , 2 9 ,. 7 , 5 , 3 , 1 , 9 , 8 , 7 , 6 , 4 , 2 , 1 = = = C y B A demuestre que) ( ) ( C B A C B A =Solucin: I){ } 9 , 8 , 7 , 6 , 4 , 2 , 1 = B Ay { } 9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 ) ( = C B A II) (9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 = C By{ } 9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 ) ( = C B A) ( ) ( C B A C B A = Contenido: - Diagramas de Venn. -Leyes del lgebra de conjuntos. Competencias:- Representa grficamente conjuntos de la forma adecuada. - Utiliza la teora de conjuntos en situaciones reales. Objetivos: -Aplicar adecuadamente las leyes del lgebra de conjuntos a travs de ejercicios. -DesarrollarlashabilidadesdeconstruirdiagramasdeVennyoperacionesconlas leyes del lgebra de conjuntos a travs de la solucin de ejercicios propuestos. -Mostrar inters, tica y esttica en la realizacin de las tareas asignados. Gua de ejercicios para actividad . I)Sean{ } { } { } { } 9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 7 , 6 , 4 , 1 , 4 , 3 , 2 , 1 , 6 , 5 , 4 , 3 = = = = U y C B Arepresente a travs de diagramas de Venn las siguientes operaciones. 1)B A 4)) ( C BA 2)C A5) ) ( ' C A 3)C B6)) ( ' C B II)SupongadadoslosconjuntosA,ByCnovacos;usediagramasdeVennpara ilustrarlosresultadosobtenidosalefectuarlasoperacionesindicadasenlas expresiones dadas. 1)B A6)B A '' 2)B A 7) B A ' 3) B A8)) ( ) ( ' 'C A B A MATEMATICA BSICA CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON 12 4) B AA 9)C B A ' ' A ' ) ( 5) C B A ' ' ' ) ( 10)B A ' Contenido: - Conjuntos, operaciones, Leyes del lgebra de conjuntos. Competencias:-Representa conjuntos de forma adecuada. oOpera los conjuntos adecuadamente. oIdentificatiposdeconjuntos,suformadepresentacinylos representa grficamente. oInterpreta leyes de de los conjuntos. Objetivos: -Desarrollar las habilidades en la construccin y representacin de los diagramas de Venn y operaciones con las leyes del lgebra de conjuntos. -Desarrollar habilidades de comunicacin, tolerancia en la interaccin del subgrupo y subgrupo docente. -Mostraractitudderesponsabilidadticayestticadurantelarealizacindel trabajo grupal. Descripcin del trabajo grupal I)Dado los siguientes conjuntos { } dgito un es x x U / = { } { } { } { } 9 , 8 , 5 , 3 , 1 8 , 7 , 6 , 4 , 2 ; 8 , 5 , 2 ; 2 ; / = = = > e = D y C B x U x x ADiga el valor de verdad de las siguientes proposiciones. a) _____ 2 A e b){ } _____ 8 , 3 D c c){ } _____ 4 , 3 C . d) { } _____ 5 B e II)Represente los siguientes conjuntos en un diagrama de Venn. { } i hasta alfabeto del letra una es x x U / ={ } { } { } i e c b C h g f c B e d c a A , , , , , , , ; , , , = = =III)Determine el conjunto potencia del siguiente conjunto { } 9 , 7 , 5 , 1 = GIV)Identifique las siguientes leyes en el lgebra de conjuntos. a)_ __________ __________ __________ __________ : A B B A = b)_______ __________ __________ __________ __________ ) ( A AC C= c)______ __________ __________ __________ __________ A A A = MATEMATICA BSICA CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON 13 d)_ __________ __________ __________ ) ( ) ( ) ( C A B A C B A = V)Dados los siguientes conjuntos{ } { } { } { } esimpar x x C y x x B x x x A x x U / 14 11 / ; 13 9 / ; 17 6 / = s < = s . > = > s = Determine las siguientes operaciones de conjuntos a)A CC b)C AC c)C Ad)A CCA* e)) ( C B A *f) C CB A VI)Dados los siguientes conjuntos verifique las leyes: { } { } { } { } 4 , 3 , 2 , 1 , 8 , 6 . 4 , 2 , 8 , 6 , 5 , 4 , 3 , 10 , 9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 = = = = P N M U a)( ) P M N M P N M = ( ) ( b) C C CP N P N =) ( * Son alternativos ALGEBRA TEMA: Ecuaciones con una incgnita. CONTENIDO:-Ecuaciones lineales. -Ecuaciones cuadrticas. -Ecuaciones con radicales y de tipo cuadrtico. -Ecuaciones con valor absoluto y ejercicios. COMPETENCIA: Resuelve ecuaciones a travs deenfoque algebraico. OBJETIVOS: Comprender los conceptos de ecuaciones lineales y cuadrticas, ecuaciones con radicales y de tipo cuadrtico y ecuaciones con valor absoluto. Adquirir habilidades en la interpretacin de los diferentes tipos de ecuaciones con una incgnita y su solucin. Aplicar los diferentes mtodos para resolver ecuaciones cuadrticas. Mostrar inters y disposicin en laresolucin de los ejercicios planteados. Respetar la participacin y opinin de los compaeros durante el desarrollo de la clase. DESARROLLO: Ecuaciones con una incgnita Ecuacin: es una afirmacin de que dos expresiones son iguales.Ejemplos: Solucin o raz de una ecuacin: es cualquier nmero que sustituido en la ecuacin la convierte en una proposicin verdadera. Resolver una ecuacin significa encontrar sus soluciones. MATEMATICA BSICA CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON 14 Ecuaciones lineales con una incgnita. Una ecuacinde la forma ax +b = 0, a 0 donde a y b son nmeros reales, se llama ecuacin lineal. La ecuacin lineal ax +b0,a 0 tiene exactamente una solucin . Ejemplo 1: resuelva5y -3 = y +9 Solucin: 5y y = 9+3 Comprobacin 4y = 125(3) -3 = 3+9 15 -3 = 12 La solucin es y = 3.12 = 12 Ejemplo 2: resuelva Comprobacin Solucin: 2(0)2 3 = - 3 -2[2(0) (0)2] 4r = -3 +3-3 = -3 la solucin es r = 0. Ejemplo 3: resuelvaSolucin: multiplicando a ambos lados por (x +3), obtenemos: 2x 4 = 2 + 3(x+3) 2x 4 = 2 + 3x+9 X = -15 Ecuaciones cuadrticas Una ecuacin cuadrtica de la forma a + bx +c =0, a 0 donde a, b,c son nmeros reales se llama ecuacin cuadrtica. Esta ecuacin tiene a lo sumo dos races. Mtodos para resolver una ecuacin cuadrtica: Factorizacin. Completando cuadrado. La frmula general. Ejemplos de factorizacin: Resuelva: -60=-7x Solucin:Ordenando, +7x 60=0 (x + 12)(x 5) =0 X +12 =0 X 5 = 0 La solucionesson x1 = - 12yx2 = 5. La comprobacin dejarla de tarea. Ejemplo de completando cuadrado Resuelva:+ 2x 2 = 0 Solucin:+2x+1 = 2+1 = 3 X+1 = se obtiene X1 = -1yX2 = - -1 Resuelva : MATEMATICA BSICA CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON 15 Solucin :completando cuadrado Aplicando raz ambos lados de la ecuacin se obtiene K += , las soluciones son K1 = - 1y K2 = -La frmula general: Si a0, entonces las races de a + bx +c =0 estn dadas por . La naturaleza de las races est determinada por, el cual se llama discriminante. Si, la ecuacin tiene dos races reales diferentes. Si, la ecuacin tiene dos races reales iguales. Si, la ecuacin no tiene dos races reales. Ejemplo de la frmula general Resuelva+6x +4 =0 Solucin:a = - 9, b = 6, c = 4 sustituyendo los valores de a, b y c en la frmula general =Las soluciones son X1 = y X2 = Nota: verificar las soluciones de la ecuacin. Ecuaciones con radicales Sugerencias para resolver ecuaciones con radicales: -Aisl el radical ms complicado a un lado de la ecuacin. -Elimine ese radical elevando ambos lados de la ecuacin a una potencia apropiada. -Repita los pasos anteriores hasta que se hayan eliminadotodos los radicales de la ecuacin. -Resuelva la ecuacin resultante y verifique las respuestas. Ejemplos de ecuaciones con radicales Resuelva :Solucin: elevando ambos miembros a la potencia 2 se obtiene: , de lo anterior resultax+1 = 9 +18x + 9, ordenando9 +17x +8 = 0, resolviendo la ecuacin cuadrtica resultax1 = -1 y x2 = - Nota: verificar las soluciones de la ecuacin Resuelva : MATEMATICA BSICA CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON 16 Solucin: elevando ambos miembros a la potencia 4 se obtiene: , de lo anterior resulta= 16 Resolviendo la ecuacin cuadrtica resultaz = Nota: verificar las soluciones de la ecuacin Resuelva :Solucin: elevando ambos miembros a la potencia 2 se obtiene: = , de lo anterior resulta 2u + 2+ 1 = u +1. Aplicando el procedimiento nuevamente, se obtiene = - . Elevando ambos miembros a la potencia 2 se obtiene: , de lo anterior resulta 4u = . Ordenando, Resolviendo la ecuacin cuadrtica resultau1 =0yu2 = 8 Nota: verificar las soluciones de la ecuacin Ecuaciones de tipo cuadrtico Ciertas clases de ecuaciones pueden transformarse en ecuaciones cuadrticas por medio de una apropiada sustitucin. Los ejemplos ilustran esta tcnica. Resuelva: Solucin: , haciendo r =, tenemos la ecuacin cuadrtica -7r 8=0.Las soluciones de estaecuacin cuadrtica sonr1 = 8yr2 = -1. Ya que r = , tenemos = 8 y = -1, elevando a la quinta ambos miembros de la ecuaciones, obtenemos x1 = 32,768 yx2 = -1. Nota: verificar las soluciones de la ecuacin Resuelva:Solucin : , haciendo z =, tenemos la ecuacinz 6- 16= 0, haciendo un orden adecuadoz 16 = 6y elevando ambos miembros a la potencia 2 se obtiene:2 . De lo anterior resulta - 68z + 256 = 0, las soluciones de estaecuacin cuadrtica sonz1 = 64 yz2 = 4. Ya que z =, tenemos = 64 y = 4 elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuaciones y resolviendo, obtenemos x1 = 4,098 yx2 = 18. Nota: verificar las soluciones de la ecuacin Ecuaciones con valor absoluto. MATEMATICA BSICA CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON 17 De la definicin de valor absoluto de un numero (vase seccin 1.2 pg. 13 14 del dosier) se deduce que para cualquier nmero real positivo a,|X| = a si y slo si x = a o x = - a. Ejemplos de ecuaciones con valor absoluto Resuelva : | 4 3x| = 8Solucin:La ecuacin dada equivale a dos ecuaciones: 4 3x = 8o 4 3x = - 8 -3x = 4o -3x = - 12Entonces, las respuestas son- y4. Por sustitucinse puede verificar que ambas satisfacen la ecuacin dada. Resuelva : |4x 3| = 2x +3Solucin:La ecuacin dada equivale a dos ecuaciones: 4x 3 = 2x + 3o 4x 3 = - (2x +3) 4x 2x = 3 + 3o 4x + 2x = - 3 + 3 2x = 6o6x = 0 Entonces, las respuestas son 3y 0. Por sustitucinse puede verificar que ambas satisfacen la ecuacin dada. Ejercicios para la actividad 1 Resuelvay compruebe la(s)respuesta(s). 4 (2y +5) = 3(5y 2) Rta.Y = Rta. X = - - 7u = - 10Rta. U1 = 5yU2 = 2 9= 36t 1Rta.T1= = 2Rta. X1 = - 4yX2 = 2 4- 7 -2 = 0Rta. W1 = 64 y W2 = Actividad 2:Clase prctica. Resuelva las siguientes ecuaciones: 1- 9- 10 = 5x - Solucin: 9x +6 10 = 5x - 27x + 18 30 = 15x 8 27x 15x = - 8 +12 X = 2- + 48 = 49 MATEMATICA BSICA CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON 18 Solucin:. Entoncesm = 7 3- Solucin: 5(2x + 2) + 3(14 2x) = 15(6 x) 10 x + 10 + 42 6x = 90 15x 4x + 15x = 90 52 X = 2 4- Solucin: , elevando al cuadrado ambos miembros. 5x 1 = 16 - 8 + x +3 5x x 16 3 1 = - 8X 5 = -2, elevando al cuadrado ambos miembro 10x + 25 = 4(x+3), ordenando14x +13 = 0. Resolviendo la ecuacin cuadrtica resultax1 =13yx2 =5- = 0 Solucin: -2+1 = 0, haciendo y =, obtenemos - 2y +1 =0 Resolviendo la ecuacin cuadrtica resultay1 =1yy2 =.Ya que y =, tenemos ,= 1 y = . Elevando al cuadrado ambos miembrosde las ecuaciones, obtenemos : x1 = 1 yx2 =. Gua de ejercicios Resuelva las ecuaciones dadas y compruebe sus respuestas. 1.4(1 x) = x 3(x+1) 2. MATEMATICA BSICA CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON 19 3. - 4(2y 1) = y 2 4.X(5x 4) = - 2 5.2- 3 - 2 = 0 T EMA: Ecuaciones Lineales de primer gradocon una incgnita y Ecuaciones Cuadrticas.Aplicaciones. CONTENIDOS: -Aplicaciones deEcuaciones Lineales de primer grado con una incgnita. -Aplicaciones de Ecuaciones Cuadrticas. OBJETIVOS:Reconocer la utilidad de las aplicaciones de Ecuaciones Lineales con una incgnita y EcuacionesCuadrticas mediante la resolucin de problemas aplicados a la vida real. Utilizar el lenguaje algebraico de forma clara, sencilla y creativa en el planteamiento de los problemas. Adquirir habilidades en la interpretacin de problemas de Ecuaciones Lineales y Cuadrticas. Mostrar inters y disposicin en la resolucin e interpretacin de problemas aplicados a la vida real. DESARROLLO Aplicaciones de ecuacioneslineales con una incgnita Algunas sugerencias para resolver problemas de los contenidos a estudiar: 1.Si el problema se enuncia por escrito, lalo cuidadosamente varias veces, y piense en los datos que se dan, junto con la cantidad desconocida que se debe encontrar. 2.Denotelacantidadocantidadesdesconocidasmedianteunaletra.Lasfrasesque contienenpalabrascomoque,encuentre,Cuanto,aqudistanciao Cuando nos indica la cantidad desconocida. 3.Haga una figura o croquis si es necesario. 4.Se traducen los enunciados verbales en una ecuacin. 5.Seresuelvelasecuacionesenlaolasvariablesysecalculanlascantidades incgnitas. 6.Porltimosecompruebalarespuestaenelproblemainicialplanteadocon palabras. Ejemplo 1 CarlainvirtiC$10,000crdobasenunaasociacindeahorroyprstamo.Unaparteal 7% de inters simple anual y el resto al 8.5%. Cunto invirti al 7% si la cantidad total de inters en un ao fue de C$ 796 crdobas? MATEMATICA BSICA CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON 20 Compresin del problema Conozco: C$ 10,000 cantidades que se invirti Una parte con el inters simple al 7% 0.07 El resto al 8.5% 0.085 Total ganado en interese es C$ 796 Resolviendo esta ecuacin por completacin de cuadrados obtenemos: Entonces x1 = 34yx2 = - 22 4) Reflexione sobre la solucin (comprobacin) 5) Redacte la solucin En el huerto hay 34 filas de arboles. Problemas propuestos de ecuaciones lineales con una incgnita. 1.Unavarillade74cmdelongitudsehapintadodeazulyblanco.Lapartepintada de azul excede en 14 cm al duplo de la parte pintada en blanco. Hallar la longitud de la parte de cada color. 2.Preguntando un hombre por su edad, responde si al doble de mi edad se quitan 17 aos se tendra lo que me falta para tener 100 aos. Qu edad tena el hombre? 3.Elastadeunabanderade9.10msdealturasehapartidoendos.Lapartese parada tiene 80 cm menos que la otra parte. Hallar la longitud de ambas partes del asta. 4.Dosniosqueseencuentraaunadistanciade224m.Comienzaacaminaruno haciaelotro,almismotiempoaunavelocidadde1.5m/sy2m/s respectivamente. a)En cunto tiempo se encuentra? b)Qu distancia haba caminado cada uno? T EMA:Sistemas de Ecuaciones Linealescon dos y tres incgnitas. Aplicaciones. CONTENIDOS -Concepto deSistemas deEcuaciones Lineales con dos y tres incgnitas -Procedimientos de solucin de Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos y tres incgnitas. -Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos y tres incgnitas. -Resolucin e interpretacin de ejercicios y problemas. MATEMATICA BSICA CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON 21 OBJETIVOS: Reconocer la utilidad de los Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos y tres incgnitas. Aplicar los procedimientos de resolucin de los Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos y tres incgnitas mediante la solucin de ejercicios y problemas. Adquirir habilidades en la interpretacin,planteamiento yresolucinde problemas de sistemas de Ecuaciones Linealesmediante el mtodo del aprendizaje basado en la resolucin de problemas. Manifestar inters en la interpretacin y solucin de problemasaplicados a diversos contextos de la vida real. Desarrollo Muchos de los problemas planteados con palabras se pueden resolver usando ecuaciones con dosy tres variables para ello se hacen las siguientes sugerencias: 1.Lalo con cuidado las veces que sea necesario y piense en los datos o cantidades desconocidas que se desean encontrar. 2.Elija dos o tres letras para representar las cantidades desconocidas 3.Trace una figura si es necesario 4.Haga una lista de lo conocido y desconocido 5.Se traducen los enunciados verbales en una ecuacin. 6.Seresuelvelasecuacionesenlaolasvariablesysecalculanlascantidades incgnitas. 7.Por ltimo se comprueba la respuesta en el problema inicial planteado con palabras Aplicaciones de sistema de ecuaciones lineales con dos incgnitas. Ejemplo 1 Un vendedor tiene un tipo de caf que cuesta C$ 3.60 la libra y el otro que cuesta C$ 2.90 la libra. Cunto debe mezclar de cada uno para obtener 100 librasde una nueva mezcla que cueste C$ 3.30 la libra? Solucin1)Compresin del problema Conozco:Un tipo de caf a C$ 3.60 la libra Otro tipo de caf a C$ 2.90 la libra El total de la mezcla 100 libras Mezcla final aC$ 3.30 la libra Desconozco Cuanto se debe mezclar de cada caf para obtener 100 libras de una nueva mezcla MATEMATICA BSICA CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON 22 2)Plan de actuacinSea A el tipo de caf a C$ 3.60 la libra Sea B el tipo de caf a C$ 2.90 la libra Entonces tenemos que A + B = 100 Ec (1) 3.60 A + 2.90 B = 3.30 (A + B)efectuando el producto de la derecha obtenemos 3.60 A + 2.90 B = 3.30 A + 3.30 B ordenandoresulta 0.30 A 0.4 B = 0Ec (2) Sistema a resolver es: 3)Llevar a cabo el plan de actuacin Resolviendo el sistema formado por el mtodo de igualacin obtenemos A =y B = 4)Reflexione sobre la solucin (comprobacin) 5)Redacte la solucin Se debe mezclar libras del caf tipo A ylibras del caf tipo B, para obtener las 100 libras de caf a un precio de C$ 3.30. Ejemplo 2 Pedro tiene el doble de los libros que tiene Sergio menos tres. Sergio tiene la cantidad de libros que tiene Pedro menos dos. Cuntos libros tienen cada uno? Solucin1.Compresin del problema Conozco:Pedro tiene dos veces los libros que tiene Sergio menos tres. Sergio tiene la misma cantidad de Pedro menos dos. Desconozco: Cuntos libros tiene Pedro? Cuntos libros tiene Sergio? 2.Plan de actuacin SeaX el # de libros de Sergio Sea Y el# de libros de Pedro El sistemas esy = 2x 3 X = y 2 3.Llevar a cabo el plan actuacinResolviendo el sistema formado por el mtodo de sustitucinobtenemos MATEMATICA BSICA CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON 23 X = 5 ^ Y = 7 4.Reflexione sobre la solucin (comprobacin) 5. Redacte la solucin El nmero de libros de Sergio es igual a 5 y el nmero de libros que tiene Pedro son 7. Ejemplo 3 En un grupo, 7 veces el total de mujeres menos 44 es igual que el doble de hombres; y 6 veces el nmero de hombres ms cuatro es igual que 5 veces el nmero de mujeres. Cuntas mujeres y cuantos hombres hay en el grupo? Solucin1.Compresin del problema Conozco Que 7 veces el total de mujeres menos 44 equivale a 2 veces los hombres Que 6 veces los hombres ms 4 equivalen a 5 veces las mujeres. Desconozco Cuntas mujeres hay en el grupo? Cuntos hombres hay en el grupo? 2.Plan de actuacinSea X el nmero de mujeres en el grupo Sea Y el nmero de hombres en el grupo Sistema a resolver es: 3. Llevar a cabo el plan de actuacinResolviendo el sistema formado por el mtodo de reduccinobtenemos X = 8^ Y = 6 4.Reflexione sobre la solucin (comprobacin) 5. Redacte la solucin En el grupo hay 8 mujeres y 6 hombres. Sistema de ecuaciones con tres incgnitas. Ejemplo 1 Resolver SolucinCombinando la ecuacin (1)y (2) para eliminar z, multiplicando ec(1) por 2 obtenemos -4x - 6y- 2z = -8 3x -3y +2z = 15 - x -9y= 7ecuacin 4 MATEMATICA BSICA CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON 24 Combinando la ecuacin (1) y (3) para eliminar z, multiplicando ec(1) por 3 obtenemos -6x-9y -3z = -12 -4x +2y +3z = -1 -10x 7y= -13 ecuacin 5 Combinando las ecuaciones (4) y (5) y resolviendo el sistema,obtenemos y = - 1^X = 2luego sustituyendo los valores de las variables encontradas en la ecuacin 1,resulta z = 3 La solucin del sistema es AplicacionesEjemplo 2 El permetro de un triangulo es de 15 cm. Si a la suma de dos de sus lados se resta el mayor el resultado es 3cm, pero si el mayor se suma con el menor, la suma es dos veces la longitud del tercer lado. Encuentre la longitud de cada lado. SolucinSea x el lado mayorX Sea y el lado menor ySea z el tercer ladoZ Segn los datos del problema El permetro (la suma de la longitudes de sus tres lados) es 15cm. Entonces la ecuacin 1 est formada por: x + y + z = 15 Si a la suma de los dos se le resta el mayor, el resultado es tres. Entonces la ecuacin 2 est formada por: y + z x= 3 Si el lado mayor se suma con el menor, la suma es dos veces la longitud del tercer lado. Entonces la ecuacin 3 est formada por: x + y= 2z. El sistema a resolver es:La solucin del sistema planteado es: La longitud del lado mayor es 6cm. La longitud del lado menor es 4cm. La longitud del tercer lado es5cm. Ejemplo 3 Una empresa tiene 150 empleados ubicados en tres categora A, B, y C. El nmero de empleadosAduplica a la suma del nmero de empleados B y C. Un empleado A gana C$ 75 diarios, un empleado BC$50 diarios y un empleado C C$ 40 diarios. La empresa paga diario C$ 9700. Cuntos empleados hay en de cada categora? SolucinSea x el nmero de empleados de la categora A Sea y el nmero de empleados de la categora B MATEMATICA BSICA CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON 25 Sea z el nmero de empleados de la categora C El total de empleados es de 150. Entonces la ecuacin 1 est formada por: x + y + z = 150 A duplica a la suma delnmero de empleados B y C. Entonces la ecuacin 2 est formada por: x= 2(y +z). Un empleado A gana C$ 75 diarios, un empleado BC$50 diarios y un empleado CC$ 40 diarios. La empresa paga diario C$ 9700. Entonces la ecuacin 3 est formada por:75x+50y+40z = 9700. Entonces el sistema es: Al resolver el sistema planteado su solucin es:Esto nos indica que la respuesta del problema es: Que hay en la empresa 100 empleados en la categora A, 20 empleados en la categora B y 30 empleados en la categora C. Ejemplo 4 Para un experimento con ratones, un bilogo necesita una mezcla de alimentos que contenga 23gr de protena,6.2gr de grasa y 18gr de vitamina. Solo tiene mezclas de las composiciones mostradas en la tabla; Cuntos gramos de cada mezcla debe emplear para obtener la dieta deseada? SolucinX: la cantidad en gramos que se toma de la mezclaA Y: la cantidad en gramos que se toma de la mezclaB Z: la cantidad en gramos que se toma de la mezclaC Como senecesitan 23 gramos de protena para la mezcla de alimentos.Entonces la ecuacin 1 est formada por: 20% x +10% y +15% z = 23 MezclaProtenas % Grasa % Vitaminas % A20215 B10610 C1555 MATEMATICA BSICA CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON 26 Como senecesitan 6.2 gramos de grasa para la mezcla de alimentos.Entonces la ecuacin 2est formada por: 2% x +6% y +5% z = 6.2 Como senecesitan18 gramos de vitaminapara la mezcla de alimentos.Entonces la ecuacin 3 est formada por: 15% x +10% y +5% z = 18 Entonces el sistema es: Resolviendo el sistema la solucin del problema es:Se necesitan 70 gramosde la mezcla A, 67.5 gramos de la mezcla B y 15 gramos de la mezcla C para obtener la mezcla deseada. Ejercicios propuestos de aplicaciones de sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres incgnitas. 1.Unatiendaqueestliquidandosumercaderaanunciaquetodoslosprecios fueronrebajadosenun20%.SielpreciodeunartculoesdeC$280.00.Cul era su precio antes de la liquidacin? 2.Seis personas iban a comprar una casa contribuyendo por partes iguales, pero dos deellasdesistierondelnegocioyentoncescadaunadelasrestantestuvoque poner C$ 20,000.00 ms. Cul era el valor de la casa? 3.Un comerciante de autos usados compra dos automviles en$ 2,900.00.Vende unoconunagananciadel10%yelotroperdiendoel5%yanobtuvouna gananciade$185.00porlatransaccincompleta.Cuntolecostcada automvil? 4.Un recipiente est lleno de agua. Se extrae la mitad del agua y despus la mitad delresto,quedandoenelrecipiente200litros.Culeslacapacidaddel recipiente? 5.Lasumadecuatronmerosesiguala90.Elsegundonmeroeseldobledel primero; el tercero el doble del segundo, y el cuarto el doble del tercero. Cules son los nmeros? 6.Enunjardnhayeldobledenmerosderosasquevioletasyhayeltripledel nmeroderosasquedalias.Sientotalhay33flores,Cuantasvioletatieneel jardn?7.Pedrodemoratreshorasencortarelpastoysuhermanomenorsedemorael doble. Si trabajan juntos el tiempo empleado en realizar la labor es de: 8.Lasumadedosnmeroses8ysudiferenciaes2.Culeslasumadesus cuadrados? 9.Un tercio de un nmero es igual a la mitad de otro nmero. Si los nmeros suman 10, Qu diferencia hay entre el mayor y el menor? 10. La segunda potencia de un nmero, ms el doble del mismo nmero es -1. Cul es el nmero? MATEMATICA BSICA CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON 27 Resolver los sistemas 1)2) 3) 4) 5) 6) TEMA: Inecuaciones CONTENIDO:-Inecuaciones lineales -Inecuaciones cuadrticas y simultneas con valor absoluto -Inecuaciones racionales, ejercicios y aplicaciones. COMPETENCIA: Resuelve Inecuaciones a travs deenfoque algebraico y grfico. OBJETIVOS: Analizar las propiedades de las inecuaciones y su representacingrfica. Graficar las diferentes formas de raz o soluciones de las inecuaciones (cuadrticas y racionales). Resolver ejerciciosde las distintas inecuaciones. Mostrar inters, esttica yresponsabilidad en la realizacin de inecuaciones. DESARROLLO Inecuaciones lineales ax +b (, , ) 0; a 0 y a, b R se llama inecuacin lineal. El smbolo de desigualdad>o< se denomina estricta. Si el smbolo es o se dice que es dbil. Regla 1: Cuando el mismo nmero real se suma o se resta a ambos lados de una desigualdad el sentido de la desigualdad no cambia. Regla 2: El sentido de la desigualdad se preserva si ambos lados se multiplica ( o dividen) por un mismo nmero real positivo y se invierte cuando se multiplica ( o dividen) por un mismo nmero real negativo. Ejemplo: Encuentre el conjunto solucin de y + Solucin. 12(y +) 12 + 12(1) 12y + 9 20y 8 + 12 -8y - 5 dividiendopor (-8) Y.El conjunto solucin es [ , ). Ejemplo : Encuentre el conjunto solucin de 3(2x 1) > 4 + 5(x -1) MATEMATICA BSICA CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON 28 Solucin. 6x 3 > 4 + 5x 5 6x 5x > -1 + 3 X > 2.El conjunto solucin es (2, +) Inecuaciones simultneasUtilizando inecuaciones bsicas e inecuaciones simultneas podemos describir cierto conjunto de nmeros reales llamado intervalos. a< x < b Ejemplo:Encuentre el conjunto solucin de-1 +5 1 Solucin. - 1 6 1 5 -6 (3) 2x - 4 -9 x - 2 Nota: hacer la grafica y el conjunto solucin. Ejemplo:Encuentre el conjunto solucinde 8 3x 2x 7 < x 13 Solucin. Resolvemos estas dos desigualdades por separado 8 -3x 2x 7^ 2x 7 < x 13 -3x 2x -7 -8^2x x < - 13 + 7 -5x < - 15 ^x < - 6 X>3 ^x < -6Nota: hacer la grfica y el conjunto solucin Inecuaciones con valor absoluto Teorema: Si a es un nmero real positivo, entonces: |x| a si y solo si x> aox < -a Ejemplo:Resuelva |2x 3| + 5 0 Solucin: la desigualdad puede reescribirse como |2x 3| - 5. Pero como |2x 3| nunca puede ser negativo, de modo que no hay valores de x para los cuales la desigualdad se cumpla. En consecuencia, no existe solucin. Ejemplo: Resuelva | | 7 MATEMATICA BSICA CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON 29 Solucin.Utilizando la proposicin 2 del teorema, la desigualdad dada implica que 2 3x > 7 o bien2 3x < - 7 -3x > 7 2o -3x 3 Nota: hacer la grfica y el conjunto solucin. Inecuaciones cuadrticas y racionales Resolucin de inecuaciones utilizando el Metodo de la raz. Pasos metodolgicos para resolver una inecuacin utilizando el Metodo de la raz. Hacemos la desigualdad mayor que cero o menor que cero segn el caso, trasladando los trminos que haya en el segundo miembro de la desigualdad, con el objetivo de lograr ese propsito. 1.Escribimos la expresin como el producto de dos factores. 2.Buscamos los nmeros que hacen cero a cada factor. 3.Ubicamos en la recta real stos nmeros o races, de forma ascendente originando tantos intervalos como races haya. 4.Colocamos el signo para cada intervalo, comenzando por la derecha con el signo positivo (+) y alternando los signos. 5.Si el producto de los factores es positivo o sea mayor que cero,( 0 > ) tome entonces todos los intervalos donde haya signo + y esa ser solucin de la desigualdad. 6.Si el producto de los factores es negativo o sea menor que cero,(< 0) tome entonces todo los intervalos donde haya signo , y esa ser la solucin de la desigualdad. Ejemplo 1: Vamos ahora a resolver la desigualdad cuadrtica que tambin se puede solucionar por otros procedimientos pero que resultan tediosos y cansados, ahora lo vamos hacer utilizando el Mtodo de Raz. 0 8 10 32> + x x , Solucin: Primero descompongamos en factores la expresin dada: 0 ) 2 3 ( ) 4 (0 ) 4 ( 2 ) 4 ( 30 ) 8 2 ( ) 12 3 ( 8 2 12 3 0 8 10 32 2 2> +> + +> + + = + = > +x xx x xx x x x x x x x Expresemos el trinomio como un producto:0 ) 2 3 ( ) 4 ( > + x xObtengamos las races de este trinomio: 320 2 34 0 4= = = = +x xx x MATEMATICA BSICA CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON 30 Ahora debemos ubicar estas races en el eje numrico de forma ascendente y colocamos el signo para cada intervalo, comenzando por la derecha con (+) y alternando los signos. + -+ -4 32 Como el producto debe ser mayor que cero, la solucin son los intervalos con signo (+), o sea que la solucin es:] 4 , ( U |.|

+ ,32. Forma tradicional de resolver el mismo ejemplo: 0 8 10 32> + x x Solucin:yasabemosquealdescomponerlaenfactoresestosson: 0 ) 2 3 ( ) 4 ( > + x x Razonamiento: Para el producto de dos factores sea positivo, entonces o los dos factores son negativos obien los dos factores son positivos: Da tal manera que tenemos + = + = + +) ( ) () ( ) ( I) Primera parte: (Vamos a suponer que los dos factores son positivos) Vamosasuponerque4 0 4 > > + x x ahorasupongamosque 322 3 0 2 3 > > > x x xDetalmaneraqueahoratenemoslosiguiente:4 > x ytambin 32> x ,ahorahayque preguntarselosiguiente:Culessonlosnmerosquesonmayoresque-4yalmismo tiempo mayores qu 32? S i graficamos estos nmeros en recta numrica, tenemos que: -40 32 MATEMATICA BSICA CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON 31 Evidentementelosdosnmerosquecumplenesacondicinson:losnmerosquevan desde 32 hasta infinito, de tal manera que la primer solucin es|.|

+ = ,321SII) Segunda parte: (Vamos a suponer que los dos factores son negativos) 4 0 4 < < + x x322 3 0 2 3 < < < x x xDetalmaneraqueahoratenemoslosiguiente:4 < x ytambin 32< x ,ahorahayque preguntarselosiguiente:Culessonlosnmerosquesonmenoresque-4yalmismo tiempo menores que 32? S i graficamos estos nmeros en recta numrica, tenemos que: -4 0 32 Evidentementelosdosnmerosquecumplenesacondicinson:losnmerosquevan desde menos infinito hasta -4, de tal manera que la segunda solucin es( | 4 ,2 = S Para obtener la solucin general debemos unir las soluciones particulares: ( ||.|

+ = ,324 , gScomo se puede notar, esta respuesta coincide con la solucin obtenidaparaelmismoejercicioperoutilizandoelmtododelaraz,elmtodo tradicional es muy largo y tedioso. Ejemplo 2: Resolver la siguiente inecuacin21 > xx Solucin: Utilizando el mtodo de las races, tenemos que: 0 21= xx por lo que tenemos que:012 2> + xx x, por tanto:012>xxahora multiplicaremos por(-1) ambos miembros de la desigualdad, teniendo como resultado:012+ xxxx Solucin: 0211>++ xxxx,loque es lo mismo que: 02) 1 )( 1 (1) 2 (>++ ++xx xxx x ;tenemos que: 0) 2 )( 1 (1 2) 2 )( 1 (1 2) 2 )( 1 () 1 ( 22 2 2 2>+ ++=+ ++ +=+ + +x xxx xx x xx xx x x,Races: 21 y puntos crticos:-1 y-2 Observando que el producto de los factores es mayor que cero, y trazando la grfica correspondiente tenemos que: - + - + -2 -121Por tanto la solucin de la desigualdad est en los intervalos:) ,21( ) 1 , 2 ( + Ejemplo 4: Resolver la desigualdad: 43 < xx Solucin: 0312 30312 30312 40 4343>= =0 3 ) 3 (0 3 3) (x si xx si xx gque es Equivalente a: < + > =3 , 33 , 3) (x si xx si xx f MATEMATICA BSICA CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON 53 Para3 > x , la grfica coincide con la recta y = x-3; para x =0 50 5) (x si xx si xx f Para0 > x lagrficacoincideconlarectay=x-5,parax += 0 10 1) ( . 1x si xx si xx f = 11 3) ( . 2x si xx six f > s = 0 10 1 2) ( . 32x si xx si xx f>< < s = 3 x si 23 x 3 si x 43 x si 2) x ( h . 42 TEMA: - Funcin Raz Cuadrada - Funcin Valor Absoluto - Funcin Seccionada CONTENIDO: - Clase Practicas - Dominio, recorrido y representacin grafica de la funcin - Ejercicios OBJETIVOS: -Resolver ejercicios de la funcin raz cuadrada, funcin valor absoluto, funcin seccionadas encontrando dominio, rango. -Trazar la grafica de cada una de las funciones. En los siguientes ejercicios determine: dominio, rango y construya la grafica. Ejemplo 1. 1 3 4 ) ( + = x x f Solucin: MATEMATICA BSICA CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON 56 Para el dominio,se debe hallar los valores de x tales que el radicando no sea negativo, o sea, 4-3x 0; es decir, x34s . El dominio es el conjunto de todos los nmeros reales menores o iguales a 34 o sea, Df = (-,34|. Paraelrecorridoorango,tomemoslosprimerosvaloresdeldominioyevaluemosenla funcinas: 1 1343 4 )34( = + |.|

\| = f () 3 1 0 3 4 ) 0 ( = + = f ( ) 8 . 3 1 1 3 4 ) 1 ( = + = f . . . Podemos auxiliarnos con una tabla, para ir registrando los resultados despus de sustituir enlaecuacin,deaquobservamosqueRy=*1,+),ademsestosvaloreslospuedes utilizar para construir la grfica. Ejemplo 2. 2 ) (2 = x x fSolucin: Paraeldominio,sedebehallarlosvaloresdextalesqueelradicandonosea negativo, o sea, x2-2 0;entonces el dominio esxe(- , - 2 ] [2 ,+).Para el recorrido o rango, tomemos los primeros valores del dominio y evaluemos en la funcinas: Podemos auxiliarnos con una tabla, para ir registrando los resultados despus de sustituir enlaecuacin,deaquobservamosqueRy=*0,+),ademsestosvaloreslospuedes utilizar para construir la grfica. Ejemplo 3.7 2 ) ( = x x gSolucin: X. -2 - 2 22. F(x)1.40 01.4 X.-104/3 F(x).3.831 MATEMATICA BSICA CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON 57 Laecuacinfuncional7 2 ) ( = x x g esequivalentea: < > =0 7 2 ) 7 2 (0 7 2 7 2) (x si xx si xx gque es Equivalente a: < + > =2 / 7 , 7 22 / 7 , 7 2) (x si xx si xx f Para2 / 7 > x , la grfica coincide con la recta y = 2x-7; para x < 7/2, la grfica coincide con la recta y =-2x + 7. X0127/2456 7 2 ) ( = x x g7530135 De la grfica observamos que: Dg = Ry I (g) =| ) + , 0Ejemplo 4. 225) ( + =x x fSolucin: a) La cantidad que esta dentro del valor absoluto la igualamos a cero y despejamos la variable x. X+5/2 =0 x= - 5/2 b) Evaluamos el valor de x en la funcin: 2 22525)25( = + == x f c) El valor del vrtice de la funcin es: V(-5/2, -2) d)Tabulemosapartirdelvrticeenx=-5/2tomandodosomasvaloresala izquierda dos valores a la derecha). X-6-5-4-3-5/2-2-101 2 2 / 5 + =x Y1.50.5-0.5-1.5-2-1.5-0.50.51.5 De la grfica observamos que: Dg = Ry I (g) =| ) + , 2 Ejemplo 5 > +=0 10 1) ( x si xx si xx f MATEMATICA BSICA CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON 58 Solucin: > +=0 10 1) ( x si xx si xx f Laprimeraecuacincorrespondeaunafuncinlineal,yestetrozodelafuncinest definido para valores mayores o iguales que0. Lasegundapartedelafuncintambinestdeterminadaporunaecuacinlinealyesta definido paravalores menores que 0.Puede hacer una tabla de valores para cada seccin y luego graficar en el planocartesiano las dos colecciones de puntos. Para f(x)=x + 1 la tabla de valores parax>0 Cuando x = 0;y = 1esunpunto cerrado,en esta parte de la grafica. X0123 Y = x + 11234 Para f(x)=x 1, la tabla de valores para x < 0 Cuando x = 0y= -1es un punto abierto, en esta parte de la grfica. X-3-2- 10 Y = x - 1-4-3-2-1 Apartirdelagrficasedeterminaeldominioyrango,yaqueavecesocurrequela funcin no toma valores en todo el conjunto de los nmeros Reales, a veces hay saltos. En este caso el dominio es el conjunto de los nmeros reales y el recorrido( ) | ) + , 1 1 , Ejercicios Propuestos. II.En los siguientes ejercicios, determine: dominio, rango, y construya la grfica 1)F(x) =x 2 +3 2) F(x) =x 5 +21 3)F(x) =x 2 7 -1 4)F(x) = -3 x +1 5)F(x) = 3 1 2 x -5 6)F(x) = 3 1 2 x -5 II. Traza la grfica de las siguientes funciones.Determina eldominio y recorrido. MATEMATICA BSICA CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON 59 > < =1 2 / ) 15 3 (1 1 2) 1x si xx si xy> s +=2 2 / 32 2 2 /) 3x si xx si xy > s =1 3 / 21 3 / ) 1 2 () ( ) 2x si xx si xx h> < < s =1 11 1 2 21 1) 42x si xx si xx si xy TEMA: Funciones Racionales CONTENIDO: 1) Introduccin 2) Definicin de funcin racional 3) Construccin de su grafica 4) EjerciciosOBJETIVOS: 1) Interpretar la definicion de funcin racional. 2) Identificar la ecuacin que determina una funcin racional. 3) Utilizar el procedimiento para la construccin de grafica de funcionesracionales. INTRODUCCION. Hayunamultituddefenmenosqueligandosvariables,cuyarelacinesde proporcionalidad inversa.Por ejemplo: -La presin y el volumen de una masa de gas a temperatura constante. -El aumento producido por una lupa y la distancia al foco a que se coloca el objeto. -La altura alcanzada por un lquido en un tubo capilar y el dimetro de ste. Estos y otros fenmenos son conocidos como funciones de proporcionalidad inversa, cuya ecuacinengeneralesdelaforma: xky = cuyagrficatienelaformadeuna hiprbola.Veamos, xy1= su grfica es: MATEMATICA BSICA CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON 60 Este tipo de funciones, se cie a un par de rectas llamadas asntotas, en el caso especfico anotado, estas asntotas son los ejes coordenados.Algebraicamente podemos notar que lafuncinnoestadefinida,cuandoxesigualacero,yaquesetendray=1/0queno existe. Afirmaremosmasadelante en temas de clculo que lafuncin es discontinua en el valorx =0.Tambin son hiprbolas las grficas de las funciones de la forma: d cxb axx f++= ) ( Mencionamosestetipo defuncionespues,podramosdecirqueenprincipiosonlasque dan origen a las funciones racionales,cuyas ecuaciones son un poco ms complejas, esto serefiereaquelospolinomiosenelnumeradory/oeldenominadorsondesegundo grado. DEFINICION. Siunafuncinpuedeexpresarsecomoelcocientededosfuncionespolinomialessele denomina Funcin Racional. As, sif ygson funciones polinmicaySes la funcin definida por:) () () (x gx fx S =con g(x) 0 Entonces,Sesunafuncinracional.EldominiodeSeselconjuntodetodoslos nmeros reales, excepto aquellos en los cualesgse hace cero. Ejemplos defunciones racionales:a) 32) (+=xxx T b)25) (2+=xxx F c)416) (2=xxx SObservemosenlosejemplosanterioreslosiguiente:Enlafuncin 32) (+=xxx T el dominio son todos los nmeros reales, excepto el 3.Por qu? La funcin T no esta definida cuando x = 3, ya que el denominador se hace cero. EnfuncinF(x),sibienesunafuncinracional,ocurrequeestfuncinestadefinida paracualquiervalordelConjuntodelosnmerosReales,pueseldenominadornuncase hacecero.Enconclusineldominioeselconjuntodelosnmerosreales.Enlafuncin S(x),lafuncinracionaldondeg(a)=0yf(a)=0,esdecirtantoelnumeradorcomoel denominador se hacen cero en el mismo valor del conjunto de los nmeros Reales.,S(x)no esta definida cuandox =4. La grfica de la funcin T(x), tiene la forma: MATEMATICA BSICA CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON 61 Esto se debe a que la funcin no esta definida cuandox toma el valor de3, ya que en ese caso el denominador se hace cero, aunque el numerador no. Observemosquecuandoelvalordelafuncinvatomandovalorescercanosa3porla izquierda,la grfica se va extendiendo haciala partenegativadel eje de las Y, decimos entoncesquela grfica seextiendehacia - ,(f(x) - ), por otra parte cuandola funcin va tomando valores que se acercan a 3 por la derecha notemos que la grfica se va extendiendo hacia la parte positiva del eje de las Y, decimos que se extiende hacia + .simblicamente se expresa: (f(x) +) Tomemos en cuenta que los smbolos - y+ no representannmeros reales; slo especifican ciertos tipos de comportamiento de funciones y variables. Esimportantesealarqueenelvalorx=3,sedebemarcarloquellamamosasntota vertical,(es una recta punteada que se traza en x = 3),esto nos indicar que la funcin no esta definida para ese valor. DEFINICIN DE ASNTOTA VERTICAL Se dice que la recta x =a es una asntota vertical de la grfica de la funcin f si al menos uno de los siguientes enunciados es verdadero: a) f(x) + conforme xse acerca aapor la derecha. b)f(x) + conforme xse acerca aapor la izquierda. c)f(x) - conforme xse acerca a a por la derecha. d)f(x) - conforme xse acerca aa por la izquierda Nota:Como hemos observado es posible que la funcin tenga o no asntotas verticales, y si las tiene, puede ocurrir que tenga una, dos o tres, estar en dependencia de la cantidad de valores del conjunto de los nmero Reales, donde el denominador se haga cero. Otrotipodeasntotasquepodemosencontrarenlasfuncionesracionalessonlas horizontales,esta tienen la forma: Este tipo de asntotas se producen en algunas funciones racionales,y determinaremos su existencia, haciendo uso del siguiente teorema: MATEMATICA BSICA CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON 62 TEOREMASea0 0......) (0 1110 111= =+ + + ++ + + +=m nmkmmnnnnb y a cual la enb x b x b x ba x a x a x ax f1)Si n < m, entonces el eje x (la recta y = 0) es asntota horizontal de la grfica de f. 2)Sin=m,entonceslarecta mnbay = (larelacindeloscoeficientesiniciales)esuna asntota horizontal para la grfica de f. 3)Si n > m, la grfica de f no tiene asntota horizontal. En lugar de ello, ) (x f , o bien, ) (x f , cuando xo cuando x . Ilustremos este teorema, tomando los ejemplos siguientes: a)32 2) (+=xxx Tb)592) (+=xxx S c)122) (+=xxx FObservemos que en el caso de la funcin T(x)el polinomio del numerador tiene el mismo gradoqueelpolinomiodeldenominador,porlocuallaasntotahorizontalseobtiene dividiendoelcoeficientedelavariablexdelpolinomiodelnumerador(quees2) entreelcoeficientedelaxdelpolinomiodeldenominador(quees1),loquenosdala ecuacin de la asntota horizontal: 12= y= 2A.H. EnlafuncinS(x)elgradodelpolinomiodelnumeradoresmayorqueelgradodel polinomio del denominador, por lo tanto esta funcin no tiene asntota horizontal. Esto es n= 2 y m= 1 entonces n >m, es decir, 2 > 1. Eneltercerejemplo,lafuncinF(x)tieneelgradodelpolinomiodelnumeradormenor queelgradodelpolinomiodeldenominador,porlocuallaasntotahorizontaltienela ecuacin: y =0(ejeX) Lasfuncionesracionalestambintienenotrotipodeasntotas,sonlasllamadas asntotas oblicuas, que no estudiaremos en este curso. Lagrficadeunafuncinracionalnuncaescortadaporlaasntotavertical,peropuede ser cortada por la asntota horizontal. Paraconstruirlagrficadeunafuncinracionalhabrqueanalizardetenidamentelos siguientes pasos que servirn de gua en la construccin de la grfica: 1.Analice la simetra con respecto al eje Yy al origen. 2.Determneselasasntotasverticales(silashay),verificandoenquelugarel denominador se hace cero. 3.Determnese la asntota horizontal si la hay, utilice el teorema correspondiente.4.Determnese los interceptos con los ejes coordenados. MATEMATICA BSICA CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON 63 5.ParahallarinterseccinconXsehaceelnumeradordelafuncinigualacero,yse despeja x. 6.Hacerunatabladevalores,comocomplementodelainformacinanterior,para marcar los puntos correspondientes en el plano. 7.Trcese la grfica, marcando las asntotas. Ejemplo1:Trceselagrficadelafuncinydetermine:Simetra,Asntotas,interceptos,dominioy recorrido: 32) (+=xxx fSolucin: 1.Analicemos la simetra con respecto al eje Y, y al origen: a.Respecto al ejeYse cambiax por- x en la ecuacin dada, si la ecuacin no cambiala funcin es par entonces hay simetra con el eje Y, observemos que al cambiar x por x en la ecuacin nos quedara: 32) ( + =xxx f Observemos que la ecuacin cambia, por lo tanto no tiene simetra con el ejeY. b.La funcin es impar si hay simetra con el origen, se busca cambiando y por-yyxpor-x. En este casola ecuacin quedar:32 + = xxy 32++ =xxy Comparandoconlaecuacinoriginal,notamosquenoeslamismaecuacin,porloque debemos afirmar que la grfica no tiene simetra con el origen. 2.-Determinemoslaasntotavertical:tomamoseldenominadordelafunciny buscamos el valor(o los valores)donde se hace cerox - 3 =0x = 3 2.Analicemossilafuncintieneasntotahorizontal:enestecasonotemosqueelpolinomiodelnumeradoresdeprimergradoyeldeldenominadortambin,porlo tanto la asntota horizontal es: 111= = y 3.Para hallar los interceptos: a)con el eje X:hacemos el polinomio del numerador igual a cero:x + 2 =0, despejandose tiene x=- 2es decir la grfica corta al eje Xen P(-2 , 0) b)conelejeY,sehacex=0,loquenosllevaa: 3 02 0+= y =-2/3lagrfica intercepta al eje Yen el puntoQ(0, -2/3) MATEMATICA BSICA CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON 64 4.Encuantoalatabladevalores,serecomiendahacerlatomandocomoreferenciala asntotavertical,esdecirenestecasoparticularsetomanunostresvaloresala izquierda y tres valores a la derecha de la asntota vertical, y se completan los valores de y, para luego graficar, veamos: 32) (+=xxx f X0123456 f(x)-0.7-1.5-4A.V63.52.6 5.En el plano cartesiano tracelas asntotas con lnea de puntos, ubique los intercepto y los puntos obtenidos en la tabla de valores, la grfica ser de la forma: El denominador es cero si, y slo si,x = 3.Por lo tanto, el dominio de f es{ } 3 = e x R xEl recorrido de f es el conjunto de los nmeros Reales excepto el 1, es decir:{ } 1 = e y R yEjemplo2.Trceselagrficadelafuncinydetermine:Simetra,Asntotas,interceptos,dominioy recorrido: 6) (2 +=x xxx fSolucin: 1.Analicemos la simetra con respecto al eje Y, y al origen: a.Respecto al ejeYse cambiax por- x en la ecuacin dada, si la ecuacin no cambiala funcin es par entonces hay simetra con el eje Y, observemos que al cambiar x por x en la ecuacin nos quedara: MATEMATICA BSICA CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON 65 62 = x xxy La ecuacin cambi, con respecto a la ecuacin original, por lo tanto no tiene simetra conY. b.La funcin es impar si hay simetra con el origen, se busca cambiando y por-yyxpor-x.Lafuncincambiaporlotantonohaysimetraenelorigen,enestecasola ecuacin quedar: 6 6 6) (2 2 2 = = = x xxyx xxyx xxx f 2.Determinemos la asntota vertical, tomamos el denominador de la funcin y buscamos el valor o los valores donde se hace cero: x2 + x 6= 0,Factorizando(x + 3)(x 2) =0 ,Despejandolasx obtenemosdos asuntotas verticalesx=-3 y x=2 3.Analicemossilafuncintieneasntotahorizontal,enestecasoelpolinomiodel numeradoresdemenorgradoqueeldeldenominador,porlotantodeacuerdoal teorema de las asntotas horizontal,ser la rectay= 0(eje X). 4.Para hallar los interceptos: a.Con el eje X: hacemos el polinomio del numerador igual a cero: en este caso sencillamente es x = 0es decir que la grfica intercepta al eje Xen el punto (0, 0),en el origen del sistema de coordenadas. b.Con el ejeY, se hacex=0,lo que nos lleva a: 6 0 00) 0 (2 += = = x f y = 0 5.Hacerunatabladevalores,paramarcarlospuntoscorrespondientesenelplano,en este caso debe tomar en cuenta que hay dos asntotas: X-6-5-4-3-2-10 12345 F(x)-0.25-0.3-0.6A.V0.50.10-0.25A.V0.50.30.1 6) (2 = x xxx f MATEMATICA BSICA CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON 66 El dominio: Todos los nmerosreales excepto x =-3y x = 2 Y el recorrido es el conjunto de los nmeros reales. EJERCICIOS PROPUESTOS: Enlossiguientesejerciciosutiliceelprocedimientosugeridoparaconstruirlagrficade una funcin racional ,determine el dominio y rango 14) ( . 1+= xxx f123) ( . 2= xxx g352) ( . 3+= xx hx2) 2 (1) ( . 4+= xx F122) ( . 5+= xxx G2 3222) ( . 6+ = x xxx Hxx f1) ( . 7 = 4212) ( . 8+= xxx f41 2) ( . 9+= xxx g TEMA: Funciones Racionales CONTENIDO: Clase practica *Dominio, recorrido y grafica *EjerciciosOBJETIVOS: Trazar la grafica de una funcin racional, usando los pasos sugeridos. Determine las simetras , asntotas horizontal ,asntotavertical , interceptos ygrafique 1) ( )22+=xx fSolucion MATEMATICA BSICA CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON 67 i)SIMETRIA analicemos la simetra con respecto al eje y , y al origen: con respecto al ejey ,hacemos x=-x donde( )xyxx f= + = 2222 lafuncion cambio, con respecto a la funcion original ,por lo tanto no tiene simetra cony. con respecto al origen ,hacemosy=-y x=-x , donde ( )222222= + = + = xyxyxx flafuncion cambio, con respecto a la funcion original ,por lo tanto no tiene simetra conel origen. ii)INTERCEPTOS Hacemos x=0 , 12 02=+= y obtenemos el punto( ) 1 , 0, si hacemos y=0 la grafica no corta al eje x. iii)ASINTOTAS Asintotas vertical: seleccionamos el denominador de la funcion y buscamos el valor donde se hace cero 2 0 2 = = + x x . Asuntotashorizontal :sin 0 ya 1, se llama funcin logartmica de base a. La funcin logartmica es la inversa de la funcin exponencial, por tanto el logaritmo base a de un nmero positivo x es el exponente al que hay que elevar a para obtener x. As: Y = logax ay = x Puesto que el dominio y el contradominio de la funcin exponencial de base a son R y los nmeros reales positivos, respectivamente, el dominio de su inversa logaxson los nmeros reales positivos,su contradominio R. Ejemplo: Grafique las siguientes funciones.Determine si las grficas son crecientes y decrecientes. 1)f(x) =x3log2)f(x) =x3 / 1logSolucin: 1.f(x) =x3log Como x toma valores en el intervalo (0,+ ), la siguiente tabla muestra algunos puntos de la grfica. MATEMATICA BSICA CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON 73 X1/91/3139 Y- 2- 1012 3 f(x) =x3log 2 1 1 2 3 4567 8 9 -1 - -2 -3 Observemos que la grfica de la funcin es creciente, esto se debe a que la base a = 3 es mayor que 1. 2)f(x) =x3 / 1log la siguiente tabla muestra algunos puntos de la grfica. X1/91/3139 Y 210- 1- 2 Y 3 2 1 123 4 5 67 8 9 - 1 - MATEMATICA BSICA CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON 74 - 2 f(x) = log1/3x Como la base de la funcin es 1/3 y este valor est comprendido en el intervalo (0, 1), entonces la grfica de la funcin es decreciente. Ejemplo: Trace la grfica de f(x) =) 3 log (2 x y determine su dominio y rango. Solucin: Six 3 > 0, entonces el dominio de la funcin es (3, + ).Tomando algunos valores del dominio, tenemos: X3.5457 y -1012 Y 2f(x)=log2(x 3) 1 123 4678 X -1 -2 Observemos que el rango de la funcin son todas los nmeros reales. FUNCIN LOGARTMO NATURAL. Definicin:La funcin f(x) = Lnx es la inversa de la funcin exponencial de base e y se denomina funcin logartmo natural. As:Y = Lnx x = ey Propiedades de la funcin logartmica natural: 1.Lne = 1 2.eLnx = x 3.Lnex = x 4.Ln1 = 0 Ejemplo: Trace la grfica de f(x) = Ln(x 2) Determine su dominio y rango. MATEMATICA BSICA CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON 75 Nota: Hacer el ejemplo en conjunto con los estudiantes, haciendo uso de la calculadora. Propiedades de la funcin logartmica. Siae R,a > 0, a = 1y U y V eR+, entonces: 1)( ) v ua. log=VaUalog log +2) |.|

\|vualog=VaUalog log 3) R n UannUae = , log log 4)1 log = aa 5)0 1 log =a Ejemplo: 1.Exprese 232logZy xen trmino de los logaritmos de x, y, z. Solucin: 22log2 / 1 32log22 / 1 32log Z y xZy x = = 2 2 / 1 32 2 2log log log Z y x + =Z y x2 2 2log 2 log21log 3 + 2.Exprese en trmino de un solo logaritmo ( ) Z y x5 5 5log 4 log 1 log312+ Solucin:=( )45 5 5log log 1 log2Z y x + = 45 52log log 1 log35Z y x + MATEMATICA BSICA CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON 76 = 453125log log Zyx+ =yz x312 45log 3.Dado4771 . 0 log 3010 . 0 log3 2= = yCalcule:a) 316log b) 312 logSolucin: a)3 log 2 log 3 log 16 log316log4 = = = ( ) 7269 . 0 4771 . 0 3010 . 0 4 3 log 2 log 4 = = b)( ) ) 3 . 2 log(3112 log3112 log 12 log23 / 13= = = =| | | | 3 log 2 log 2313 log 2 log312+ = + = | | 4771 . 0 ) 3010 . 0 ( 231+ Teorema (Cambio de base) Sean a, b, x e R+ con a, b = 1, entoncesbxxaablogloglog = Ejemplo:Dados6990 . 0 5 log 3010 . 0 2 log = = y calcule5 log2 Solucin: 322 . 23010 . 06990 . 02 log5 log5 log2= = =Antilogaritmo: Se llama antilogaritmo al nmero correspondiente a un logaritmo dado. MATEMATICA BSICA CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON 77 Si log N = xN = antilog x Ejemplo: Calcule a)Antilog 3.6284b) 324 log =x Solucin: a)N = antilog 3.6284 N = 4250 b)xxxlog 2 4 log 332log4 log324 log = = = 88 9031 . 0 loglog 9031 . 0 2 log24 log 3== = = = xanti xx Ejemplo: Calcule, haciendo uso de logaritmo. a)log (5.63x8.34) =log 5.63+log 8.34 =0.7505 + 0.9212 =1.6717 (5.63 x 8.34)=antilog 1.6717 =46.957 b)) 964 . 83 log(51) 964 . 83 log( 964 . 83 log2 / 15= =3848 . 0 ) 9241 . 1 (51=4255 . 2 ) 3848 . 0 log( 964 . 835= = anti I. Determine dominio, rango y grafique 1)x x f2log ) ( = 3)) 3 ( log ) (2+ = x x f 2)x x f5log ) ( = 4)3 log ) (2+ = x x f II. Expresar a forma logartmica a cada uno de las siguientes ecuaciones. a) 5151=b)6 = 1c)103 = 1,000 MATEMATICA BSICA CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON 78 III. Expresar a forma exponencial de las siguientes ecuaciones. a)0 1 log4= b)3 8 / 1 log2 = 3)3 27 log3 / 4 = IV.Encuentre x , a o y en cada uno de las siguientes ecuaciones. 1) 32log8= x 3)y =5 log25 2)4 log2 / 1 = x 4)125 / 1 log5= y V.Dado, 4771 . 0 3 log 3010 . 0 2 log = = yencuentre: a)48 log d)24 log g)122log b)log6e)8 log3h)10 log2 c)2 / 3 log f)2 log3 VI.Exprese el logaritmo dado en trmino de los logaritmos de x, y, z. a) 323logzy xc) 342logzy b) 42logyz xad) 3 26logxx ya VII.Escriba la expresin dada como un solo logaritmo. 1.) 3 2 ( log 5 ) 2 ( log31log 2 + + x x xa a a 2.) 1 5 ( log 3 ) 4 3 ( log21log 5 + + x x xa a a 3. 2 221log log log 2 33y xayaxya+ MATEMATICA BSICA CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON 79 4.) 1 log(21) 3 log( log + + x x xTEMA: - Aplicaciones de Funcin Exponencial y Logartmica Objetivos: 1.Valorar la importancia de las funciones exponenciales y logaritmica en los diversos campos del quehacer humano. 2.Analizar los problemas de funciones exponenciales y logaritmicas que se proponen en el plan de clase. 3.Mostrar inters y desempeo, participando activamente en las tareas asignadas. Contenidos: -Aplicaciones -Ejercicios Aplicaciones en funciones exponenciales. 1.Para un experimento de control sobre el crecimiento del Jabal, en una zona determinada, se introdujeron 100 de ellos y se aplic un mecanismo de caza.Los resultados experimentales establecen que el nmero N(t) de los jabales que an quedan vivos despus de t aos se puede predecir con la frmula N(t) = 100 (0.9) t. a)Estime la cantidad de animales vivos despus de 5 aos. b)En cunto aos habra aproximadamente 78 jabales?. Solucin: a)N(t) = 100 (0.9) t N(5) = 100 (0.9)5 N(5) = 59.049 ~ 59 Rta. Despus de 5 aos quedan vivos 59 jabales. b)N(t) = 100 (0.9) t 78 = 100 (0.9) t 10078 = (0.9) t 0.78 = (0.9)t (0.9)t = 0.78 expresando la ecuacin en su forma logartmica se tiene: t = 78 . 0 log9 . 0,Luego usamos el teorema cambio de base MATEMATICA BSICA CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON 80 36 . 2 3582 . 29 . 0 log78 . 0 log~ = = t Rta:En 2.36 aos habran aproximadamente 78 jabales. 2)La cantidad de madera que produce un bosque joven crece de manera exponencial y se pude aproximar mediante la frmula V(t) = Vi (1+0.035)t, donde t es el tiempo en aos y Vi el volumen inicial de madera.Se puede suponer que en un ao crece a razn del 3.5 %. Si se mantiene la razn de crecimiento del 3.5 % por un largo perodo, Cunto tiempo es necesario esperar para que se duplique la cantidad de madera del bosque?. Solucin: Si V(t) = 2Vi 2Vi = Vi (1+0.035)t ViVi 2= (1.035)t 2 = (1.035) t Expresando en forma de logaritmo, tenemos, 2 log035 . 0t =usando el teorema cambio de base. T =20 15 . 20035 . 1 log2 log~ =Rta: Es necesario esperar 20 aos para que la cantidad de madera se duplique. 3)El Estroncio 90 se usa en reactores nucleares y se desintegra de acuerdo a la ecuacinA = Pe -0.0248t donde P es la cantidad presente en t = 0 y A la cantidad que queda despus de t aos.Si se colocan 800 mg de estroncio 90 en un reactor nuclear. Cunto quedar despus de 150 aos? En cunto tiempo quedar la mitad?. Solucin: Para t = 150 P= 800 mg. A = 800e-0.0248(150) A(150) = 800 3 .72 = 19.387~ 19 Rta:Despus de 150 aos quedarn aproximadamente 19 mg. Cuando a = 400t = ? 400 = 800e-0.0248t MATEMATICA BSICA CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON 81 e =800400-0.0248t 0.5 = e-0.0248t expresando en la forma logartmica natural, Ln 0.5 = 0.0248t t =28 95 . 270248 . 05 . 0~ =Ln Rta. En 28 aos los 800 mg se reducirn a la mitad. Aplicaciones de Funciones Logartmicas. 1)La tcnica de datacin con carbono 14 (14C) se emplea para determinar la edad de muestras arqueolgicas y geolgicas.A veces se usa la frmula: T = 8310 Lnxpara estimarla edad T, en aos, de un hueso fsil, donde x es el porcentaje (expresado en decimal)de 14C todava presente en el fsil.Calcule, aproximadamente, el porcentaje de 14C presente en un fsil de 10,000 aos de antigedad. Solucin: T = 8310 Lnx , como T = 10,000, entonces 10,000 = 8310 Lnx Lnx =8310000 , 10 1.2034 = Lnx expresando en la forma exponencial. x = e-1.2034 x = 0.300 (30 %) Rta:En un fsil de 10,000 aos de antigedad se encuentra presente el 30 % de 14C 2)Segn la Escala de Ritcher, la magnitud de un sismo de intensidad I puede evaluarse mediante la frmula: M = log (I / Io), en la que Io, es cierta intensidad mnima. Encuentrela magnitud de un sismo suponiendo que es 1,000 veces la intensidad mnima (I = 1,000 Io) Solucin: Como I = 1,000 Io, entonces M = IoIo 000 , 1logM = log (1,000) M = 3 Rta.El temblor fue de magnitud 3 en la escala Ritcher. MATEMATICA BSICA CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON 82 3)La energa E (en ergs) liberada durante un terremoto de magnitud R est dada por la frmula LogE = 1.4 + (1.5)R. Calcule la energa liberada por un terremoto de 8.4 en la escala Ritcher. Solucin: Log E = 1.4 + (1.5)R Log E = 1.4 + (1.5) 8.4 Log E = 14 Expresando en la forma exponencial E = 1014 Rta: La energa liberada fue de 1014ergs. Tema: Ecuaciones Exponenciales y Logartmica. I.- Competencias adesarrollar.Identificaeltipodeecuacinexponencialologartmicaparaaplicarlas propiedades adecuadas en la solucin de las mismas. Analiza y resuelveecuaciones exponenciales y logartmicas. Aplicaecuacionesexponencialesylogartmicaspararesolvereinterpretar problemasdecrecimientorelacionadoconaspectosdelavidacotidianayconlos otros componentes curriculares. Desarrollahabilidadesydestrezasenlasolucindeejerciciosyproblemasde ecuaciones exponenciales y logartmicas. Muestradisciplinayresponsabilidadeneldesarrollodelaactividad,ascomo precisiny limpieza en lapresentacinde lostrabajos asignados. II.-Contenido: Ecuaciones exponenciales. Ecuaciones logartmicas. Aplicaciones de las ecuaciones exponenciales y logartmicas. Desarrollo de la actividad. Ecuaciones Exponenciales. Las ecuaciones que contienen variables reales como exponentes, tales como 5 122 3= x, se llamanecuaciones exponenciales. Procedimientos para resolver una ecuacin exponencial: a)Cuandoambosmiembrosdelaecuacinpuedendescomponerseenformade potencia, de tal forma que igualamos los exponentes, y despejamos la variable. b)Hacer uso de las propiedades de los logaritmos. Ejemplo 1: Resuelva la ecuacin348 102 5= x MATEMATICA BSICA CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON 83 Solucin:348 102 5= xEcuacin dada 348 log 10 log2 5= xse obtienen los logaritmos de ambos miembros 348 log 10 log ) 2 x 5 ( = Logaritmo de una potencia 348 log 10 log 2 10 log x 5 = propiedad distributiva 348 log 2 x 5 = el logaritmo de cualquier nmero positivo con lamisma base siempre es igual a 1. 908315849 . 0 x52 348 logx=+=se despeja x Ejemplo 2:Resuelva la ecuacin 1 2 3 24 3+ =x x Solucin : 1 2 3 24 3+ =x xecuacin dada 1 2 3 24 log 3 log+ =x xse obtienen los logaritmos de ambos miembros 4 log ) 1 2 ( 3 log ) 3 2 ( + = x xpropiedad log de una potencia 2log 3 3x log 3 = 2x log 4+ log4propiedad distributiva 3 log 2 4 log 4 log 2 3 log 3 = x x sefactoriza x (-3log 3 2log 4) = log4 2 log3 se despeja x 13363 . 0 x20412 . 1 43136 . 195424 . 0 60206 . 0x) 60206 . 0 ( 2 ) 47712 . 0 ( 3) 47712 . 0 ( 2 60206 . 0x4 log 2 3 log 33 log 2 4 logx= = = = Ecuaciones Logartmicas MATEMATICA BSICA CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON 84 Lasecuacionesquecontienentrminoslogartmicostalescomo 4 x ln ) 5 x ln( 1 x log ) 3 x log( = + = + +selesdenominaecuaciones logartmicas.Pararesolverunaecuacinlogartmicaseusanlasmismaspropiedades,yademsla definicin de logaritmo. Paso 1: Use las propiedades de los logaritmos para expresar el lado izquierdo como un solo logaritmo. Paso 2: Convierta la expresin a la forma exponencial y despeje x. Ejemplo 3: Resolver3 x 100 log ) 9 x log( = + Solucin: 3 x 100 log ) 9 x log( = + ecuacin dada 3 ) 100 )( 9 log( = x x logaritmo de un producto 310 ) x 100 )( 9 x ( = sepasa a la forma exponencial 1000 x 900 x 1002= resolver la ecuacin cuadrtica 0 10 x 9 x2= (x -10)(x + 1) = 0 Las soluciones son x = 10; x = - 1.Enlaecuacinoriginalx=-1esinadmisibleporqueellogaxnoestdefinidosixes negativo.La solucin de la ecuacin logartmica es x = 10. Ejemplo4: Resolver 2 2ln ) (ln x x = Solucin: 2 2ln ) (ln x x =ecuacin dada x ln 2 ) x (ln2= logaritmo de una potencia 0 x ln 2 ) x (ln2= igualar a cero y resulta una ecuacin cuadrtica 0 ) 2 (ln ) (ln = x x factor comn ln x0 ) 2 (ln ) (ln = x x Igualando cada factor a cero 0 ln = x y 0 2 ln = x01e x = 22e x =se pasa a la forma exponencial MATEMATICA BSICA CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON 85 1 x1 = 389 . 7 x2 =solucin de la ecuacin logartmica Ejemplo 5: Resolver log2 (x 2) + log2(x -3) = 1 Solucin: log2 (x 2) + log2(x -3) = 1ecuacin dada log2 (x 2)(x 3) =1logartmo de su producto (x 2)(x 3) = 21se pasa a la forma exponencial x2 - 5x + 6 = 2resolver la ecuacin cuadrtica x2 - 5x + 4= 0 (x 4)(x - 1) =0x1 = 4y x2 = 1 que son soluciones de la ecuacin original.