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VECTORES EN EL PLANO Ejercicio # 1 Los vectores mostrados en la figura estn inscritos en una circunferencia de radio R. La magnitud de la resultante de la suma de los cinco vectores es: a) R b) 2R c) 3R d) 4R e) 5R Solucin: Para encontrar la magnitud de la resultante de la suma entre dos o ms vectores slo basta con unir el punto inicial del primer vector con la saeta o punta de flecha del ltimo vector; de tal manera que:

Al sumar los tres vectores de arriba tenemos un vector resultante cuya magnitud es 2R dirigido hacia la derecha; de la misma manera, al sumar los dos vectores de abajo tenemos un vector resultante cuya magnitud es 2R dirigido hacia la derecha; sumado ambos vectores tenemos el vector resultante de los cinco, el cual tendra una magnitud de 4R.

Ejercicio # 2 Las casillas numeradas el 1 al 9 muestran respectivamente la suma de vectores (todos de igual magnitud) de la primera fila y la primera columna de la tabla. NO ES CORRECTO el vector indicado en la casilla nmero: a) 2 b) 3 c) 6 d) 7 e) 9

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3

Solucin: Una operacin vectorial es muy diferente a una operacin escalar puesto que los vectores poseen magnitud y direccin; de tal manera, tenemos que:

CORRECTO

CORRECTO

CORRECTO

CORRECTO

CORRECTO

INCORRECTO

CORRECTO

CORRECTO El vector que no concuerda con la suma vectorial es el casillero (6), por lo tanto la respuesta incorrecta es la alternativa (c)

CORRECTO

Ejercicio #3 En un campo de golf horizontal, un jugador necesita dar dos golpes a la bola para acertar en el hoyo. El primer golpe mueve la bola 3m al norte y el segundo la mueve 2.5m a 60 al norte del este. El lanzamiento que hubiera necesitado efectuar el jugador para meter la bola en el hoyo al primer golpe es: a) b) c) d) 28.24m a 76.4 al este del norte 28.24m a 13.6 al este del norte 5.31m a 76.4 al este del norte 5.31m a 13.59 al este del norte

Solucin: Dibujemos los vectores en el plano cartesiano segn la informacin que nos proporciona el ejercicio interpretando las coordenadas geogrficas: A = 3m al norte: El vector A tiene magnitud 3m y su direccin es hacia arriba.

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4 B = 2.5m a 60 al norte del este: El vector B tiene magnitud 2.5m y estando en el este nos dirigimos hacia el norte formando un ngulo de 60; por lo que los 60 nacen del eje positivo de las xs. Dibujando los vectores y su resultante tendramos que: Usamos la ley del coseno para hallara la magnitud del vector resultante:

R 2 =A 2 +B2 -2ABcos R 2 =(3) 2 +(2.5) 2 -2(3)(2.5)cos150 R = (3) 2 +(2.5) 2 -2(3)(2.5)cos150 R = 5.31mObservamos que el ngulo que dirige al vector resultante nace del eje positivo de las y que interpretndolo en coordenadas geogrficas el ngulo nace del norte hacia el este, podemos hallar dicho ngulo a travs de la ley del seno:

sen sen150 = B R sen sen150 = 2.5m 5.31m 2.5m ( sen150 ) sen = 5.31m Al escribir el ngulo en coordenadas geogr fica =13.59 tendramos lo siguiente: 13.59 al este del norte

Ejercicio #4 Dados los vectores A y B en el plano mostrado en la figura, las componentes ortogonales de cada uno de ellos sern: OPCION AX AY BX BY A 17.32u 10u -8.66u -5u B -17.32u -10u 8.66u 5u C 17.32u -10u -8.66u 5u D -10u 17.32u 5u -8.66u E 17.32u 10u 8.66u 5u Solucin:

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5 Para hallar las componentes ortogonales de un vector dado su mdulo y la direccin respecto al eje de las x+ procedemos con el siguiente criterio: Para la componente ortogonal en el eje x AX = Acos Para la componente ortogonal en el eje y Ay = Asen Por lo que para el vector A tenemos: AX = 20u (cos120) = -10u AY = 20u (sen120) = 17.32u

Para el vector B el ngulo que parte del eje de las x+ sera el siguiente: El ngulo a usarse en el caso del vector B segn la metodologa aplicada sera: =270 + 30 = 300 De tal manera que sus componentes seran las siguientes: BX = 10u (cos300) = 5u BY = 10u (sen300) = -8.66u Otra metodologa a usarse para obtener los valores de las componentes es usando los ngulos dentro de los cuadrantes respetando las siguientes reglas: a) Con respecto al valor de la componente: Si el ngulo que direcciona el vector con el cuadrante nace del eje de las x; su relacin con las componentes sern:

VX= Vcos ; VY= Vsen

Si el ngulo que direcciona el vector con el cuadrante nace del eje de las y; su relacin con las componentes sern:

VX= Vsen ; VY= Vcos

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6

b) Con respecto al signo de la componente: el signo de la componente se basa en el signo del cuadrante, lo definiremos de la siguiente manera:

Retomando el problema veamos como quedan nuestros vectores A y B con la metodologa definida: Por tanto tendremos para cada uno de los vectores segn la ubicacin en el cuadrante y su ngulo respecto al eje lo siguiente: AX = -20u (cos60) = -10u AY = 20u (sen60) = 17.32u BX = 10u (sen30) = 5u BY = -10u (cos30) = -8.66u

Ejercicio #5 Dados los vectores A = 6u; 20 y B = 12u; 150, Halle la magnitud y direccin de la suma de ambos vectores por el mtodo de las componentes. a) b) c) d) e) R = 9.35u; 79.46 R= 9.35u; 120.54 R = 6u; 130 R = -9.35u; 79.46 R = -9.35u; 80.54

Solucin:

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7 Grafiquemos las componentes ortogonales de los vectores A y B en el plano cartesiano:

Para el vector A tenemos: AX = Acos20 = 6cos20 = 5.64u AY = Asen20 = 6sen20 = 2.05u Para el vector B tenemos: BX = Bcos150 = 12cos150 BX = -10.39u BY = Bsen150 = 12sen150 BY = 6u El vector resultante tendr las siguientes ortogonales: RX = AX + BX = 5.64u 10.39u RX = - 4.75u RY = AY + BY = 2.05u + 6u RY = 8.05u El mdulo del vector resultante segn sus componentes est definido de la siguiente manera:

R = R2 + R2 X Y R = (4.75) 2 + (8.05) 2 R = 9.35uPara encontrar el ngulo del vector resultante utilizamos la funcin trigonomtrica arctg de la siguiente manera: RY

= tan -1

RX 8.05 = tan -1 4.75 = 59.46

Ahora construimos el tringulo segn el signo de las componentes ubicando de forma correcta el valor de : Observamos en el grfico que el ngulo de la resultante es: = 180 - = 180 - 59.46 =120,54

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8 Ejercicio #6 La cuadrcula de la figura tiene divisiones de 1cm por lado. Para los vectores A y B indicados, evale la operacin 2A - B. a) b) c) d) e) 0i + 5j 8i + 5j -8i + 5j -8i + 11j -4i + 11j

Solucin: Encontremos las componentes ortogonales de los vectores A y B segn los cuadros que cada uno de los vectores abarca: AX = -2cm AY = 4cm BX = 4cm BY =- 3cm

Un vector tambin se puede denotar a travs de vectores unitarios; la componente en x se identifica con el vector unitario i y la componente en y se identifica con el vector unitario j, de tal manera que: A = -2i + 4j cm y B = 4i 3j cm

Si realizamos la operacin 2A B tendremos que: 2A B = -4i + 8j 4i + 3j = (-4 - 4)i + (8 + 3)j = -8i + 11j

Ejercicio #7 Dos vectores A y B tienen 10 y 15 unidades respectivamente, si la resultante de la suma de los vectores tiene 20 unidades, el ngulo entre los vectores es: a) 75,5 b) 70 c) 65,5 d) 60 e) 55,5

Solucin: Teniendo la magnitud de dos vectores y el de su resultante, es sencillo encontrar el ngulo entre dichos vectores usando la LEY DEL COSENO: Construimos el tringulo que contenga la suma de los vectores A y B cuya resultante se representa con el vector R.

+ = 180 (20) 2 = (10) 2 + (15) 2 2(10)(15) cos = 180 104, 48 = 75,5 = 104, 48R 2 = A2 + B 2 2 AB cos

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9 Observemos que el ngulo entre los vectores A y B no es , es el ngulo por lo que podemos relacionarlos ambos como suplementos entre s (la suma de ambos ngulos debe ser 180)

R 2 =A 2 +B2 -2ABcos (20) 2 =(10) 2 +(15) 2 -2(10)(15)cos =104,48

+=180 =180-104,48 =75,5

Ejercicio #8 La figura muestra una circunferencia de centro O. El vector X en funcin de los vectores A y B es: a) b) c) d) e) X = B/2 + A/2 X = B/2 - A/2 X=B- A X=A- B X = B - A/2

Solucin:

Ejercicio #9 cul es la relacin correcta entre los vectores A, B y C ilustrados en el diagrama?: a) A B = - C b) A + B = - C c) A = B + C d) A C = B

Solucin: Observamos rpidamente que la suma vectorial C + A debe darnos como resultado el vector B, por lo que podemos decir: C+A=B B A = C ; cambiando el signo a ambos trminos: A B = - C Respuesta. (a)

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10 Ejercicio #10 Para el conjunto de vectores mostrado en la figura, el vector D que equilibra (que al sumarse da una resultante nula) al conjunto de vectores es: a) b) c) d) e) 2i 4j 2i + 4j -2i + 4j -2i 4j 2i + 2j

Solucin: Realicemos la suma vectorial de cada elemento observando los resultados en sus componentes:

El vector que equilibra a la suma debe estar en direccin contraria a D, por lo tanto sus componentes deben tener signos contrarios

Ejercicio #11 Los vectores A, B y C se muestran en la figura, sus magnitudes son 10u, 15u y 20u, respectivamente. El vector A B C es: a) 15 unidades dirigido hacia la derecha b) 5 unidades dirigido hacia la derecha c) 5 unidades dirigido hacia la izquierda d) 25 unidades dirigido hacia la izquierda e) 40 unidades dirigido hacia la derecha Solucin: Tomemos como referencia positiva a los vectores cuya direccin es hacia la derecha y como referencia negativa a los vectores cuya direccin es hacia la izquierda; de tal manera que los vectores pueden ser representados como: A = -10u; B = 15u; C = - 20u Realizando la operacin: A B C tendramos: -10u 15u (-20u) = -25u + 20u = -5u El vector resultante tendr 5u y ser dirigido hacia la izquierda

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11 Ejercicio #12 Si la magnitud de la diferencia entre los vectores A y B es igual a la magnitud de la suma entre los vectores A y B. Se puede decir que los vectores A y B: a) b) c) d) e) Son perpendiculares Son paralelos y apuntan en la misma direccin Son paralelos y apuntan en direccin contraria Forman entre ellos un ngulo de 45 Forman entre ellos un ngulo de 30

Solucin: Para que magnitud de la suma y la diferencia entre dos vectores sea la misma, es necesario que ambos vectores formen entre s 90, es decir SEAN PERPENDICULARES ENTRE S

Ejercicio #13 De acuerdo al grfico mostrado, si A + B = 3i, entonces el vector B es: a) 5i 4.6j b) 8i + 4.6j c) 11i + 4.6j d) -11i 4.6j e) 5i 3 Solucin: Encontremos primero las componentes ortogonales del vector B segn los datos del grfico: Hallamos las componentes ortogonales del vector A por medio de las funciones trigonomtricas para un tringulo rectngulo:

tg30=

Ay Ax

=

Ay 8

A y =8tg30=4.61La direccin del vector apunta hacia el tercer cuadrante, por tanto sus componentes son negativas segn la convencin tradicional, de tal manera que: A= -8i - 4.61j Para obtener el vector B sencillamente realizamos una suma algebraica respetando las componentes ortogonales de cada vector: Observando que: Bx = 11 y By =4.61

A= -8i - 4.61j i B= Bx + By j R= 3i + 0j

B = 11i + 4.61jDerechos Reservados

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12 Ejercicio #14 Dados los vectores A, B y C de la figura, con A = 6, B = 4, C = 5. El resultado de A(B + C) es: a) b) c) d) e) 28,54 2,64 -28,54 10,14 32,21

Solucin: Se define el producto punto entre dos vectores como una operacin escalar definida por: AB = ABcos; donde es el ngulo entre los vectores A y B. Apliquemos la propiedad distributiva del producto punto: A(B + C) = AB + AC A(B + C) = ABcos30 + ACcos75 A(B + C) = (6)(4)cos30 + (6)(5)cos75 A(B + C) = 28.54 Ejercicio #15 Los vectores A y B forman entre s un ngulo de 30. El mdulo de A vale 3. Hallar el mdulo de B para que A 2B sea perpendicular a A a) b) c) d) e) 1.73 6.00 3.00 0.77 0.57

Solucin: Si dos vectores son perpendiculares entre s, SU PRODUCTO ESCALAR (PUNTO) ES CERO. Por lo que tendremos que: (A 2B)A = 0 AA 2BA = 0 AAcos0 2BAcos30 = 0 3(3)cos0 - 2B(3)cos30= 0 B = 32/(2)(3)cos30 B = 1,73

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13 TALLER No. 1 PREGUNTAS CONCEPTUALES DE VECTORES EN EL PLANO 1. Clasificar cada uno de las siguientes afirmaciones como verdadero o falso La magnitud de una cantidad vectorial es positiva Si A y B son cantidades vectoriales paralelas, la suma de A + B es igual a A +B El producto de una cantidad escalar por una cantidad vectorial es una cantidad vectorial Existe la posibilidad que entre dos cantidades vectoriales su suma vectorial sea igual a la resta vectorial en magnitud. La expresin = 6m es correcta 2. Dado los vectores A y B. En cul de los siguientes casos el resultado de la suma entre estos dos vectores tiene el mayor valor.

a) En caso 1 b) En caso 2 c) En caso 3

3. Si la magnitud de la diferencia entre los vectores A y B es igual a la magnitud de la suma entre los vectores A y B. Se puede decir de los vectores A y B: a) Son perpendiculares b) Son paralelos y apuntan en la misma direccin c) Son paralelos y apuntan en direcciones contrarias d) Forman entre ellos un ngulo de 45 e) Forman entre ellos un ngulo de 30 4. Los vectores A, B y C tienen la misma magnitud. Dada la direccin de los vectores que se indican en la figura, Cul podra ser la direccin del vector A 2B C?

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14 TALLER No. 1 PREGUNTAS CONCEPTUALES DE VECTORES EN EL PLANO 5. Los vectores A y B de la figura tienen la misma magnitud. De estos vectores se puede afirmar:

A+B=0 (a) VERDADERO A+B=0 (a) VERDADERO AB=0 (a) VERDADERO

(b) FALSO (b) FALSO (b) FALSO

6. Sean los vectores en el plano A, B y C, entonces la operacin (AB)C es un escalar (a) VERDADERO (b) FALSO 7. Si A + B + C = 0, entonces la suma de dos de ellos es igual al tercero (a) VERDADERO (b) FALSO 8. Dados dos vectores A y B paralelos. Determine cul de las siguientes afirmaciones es cierta: a) El mdulo del vector A + B ser igual al mdulo del vector A B b) La direccin del vector A + B ser opuesta a la direccin del vector A B c) El mdulo del vector A + B puede ser igual a A + B d) La operacin vectorial AB representa el rea de un cuadrado e) El ngulo entre los vectores A y B es de 0 9. Cul es la relacin correcta ente los vectores A, B y C ilustrados en el diagrama? a) A B = - C b) A + B = - C c) A = B + C d) A C = B

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15 TALLER No. 2 PROBLEMAS DE DESARROLLO DE VECTORES 1. Las componentes del vector Q representado en el grfico son:

Respuesta: QX = -2; QY = -3 2. Las componentes del vector A en las direcciones de los ejes X y Y como se muestran en la figura son AX = 26.5u y AY = 46u. Encuentre la magnitud del vector A

Respuesta: 40 u 3. Sean los vectores A, B y C. La magnitud de A = 3u la de B = 4u. Del diagrama mostrado. Encuentre la resultante de A + B + C

Respuesta: B/2

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16 TALLER No. 2 PROBLEMAS DE DESARROLLO DE VECTORES 4. Las componentes de los vectores D1 y D2 son respectivamente D1X = 4, D1y = 0, D2X = -1, D2Y = 5 Qu vector D3 debe ser sumado a D1 para obtener D2 ?

Respuesta: D3 = -5i + 5j 5. Determine la magnitud y direccin del vector R donde R = A + B + C

Respuesta: R = 6.32u; 18.43 6. Se tienen tres vectores A, B y C de magnitudes 10u, 15u y 20u respectivamente, como se muestran en la figura. Encuentre el valor de la operacin (AC) + (BC)

Respuesta: - 275.8

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18 DESCRIPCIN DEL MOVIMIENTO: CINEMTICA Ejercicio # 1 Una pequea hormiga se mueve en un terrn de azcar cuyas dimensiones se muestran en la figura. La distancia que recorre la pequea hormiga es: a) 7.07 cm b) 9.41 cm c) 10 cm d) 11.02 cm e) 12 cm Solucin: Se define como distancia a la longitud de la trayectoria que recorre un objeto. Por tanto debemos medir lo que recorre la hormiga en el terrn de azcar:

La distancia que recorre la hormiga es: D = 4 cm + 5 cm + 3 cm = 12 cm. Ejercicio # 2 El desplazamiento de la pequea hormiga del ejercicio anterior es: a) b) c) d) e) 5i + 4j + 3k cm 5i + 4j - 3k cm -5i - 4j + 3k cm -5i - 4j - 3k cm 3i + 4j + 5k cm

Solucin: Definimos al desplazamiento como un vector que representa la diferencia entre la posicin final y la inicial, dependiendo dicho vector nicamente de estos valores, as:

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19 Observamos en el grfico que la hormiga parte del punto (0,0,3) cm y culmina su trayectoria en el punto (5,4,0) cm. Aplicando la definicin de desplazamiento tenemos: (5-0)i + (4-0)j+(0-3)k cm El vector desplazamiento ser: 5i + 4j -3k cm

Ejercicio # 3 Un helicptero parte y sube verticalmente 100 m. De aqu vuela horizontalmente hacia el este 200 m y finalmente vuela horizontalmente hacia el norte 200 m. El mdulo del desplazamiento del helicptero es: a) 100 m b) 200 m c) 300 m d) 400 m e) 500 m

Solucin: Realicemos una grfica en 3D con el fin de apreciar con ms claridad el movimiento que realiza el helicptero:

El desplazamiento del Helicptero ser: (200-0)i + (100-0)j+(200-0)k m El mdulo del desplazamiento del Helicptero ser:

Ejercicio # 4 Un corredor realiza una trayectoria semicircular de 5 m de radio en un tiempo de 10 s. La rapidez media del corredor es: a) 0,5 m/s b) 1 m/s c) 1.6 m/s d) 2 m/s e) 3.1 m/s

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20 Solucin: Se define a la rapidez media (S) como la distancia recorrida del objeto en un tiempo determinado; ya que la distancia y el tiempo son cantidades escalares; la rapidez media por ser dependiente de estos dos factores tambin es una cantidad escalar: La distancia recorrida es la mitad de una circunferencia por lo que se recorre la mitad del permetro de la misma. S = 1.6 m/s Ejercicio # 5 Una trapecista se suelta de la posicin mostrada en la figura. Determine la amplitud de la velocidad media de la trapecista entre los puntos A y B sabiendo que el tiempo empleado en regresar a su posicin inicial fue de 3 s. a) b) c) d) e) 23.09 m/s 15.39 m/s 8.22 m/s 7.69 m/s 5.77 m/s

Solucin: Una trapecista se suelta de la posicin mostrada en la figura. Determine la amplitud de Encontremos el desplazamiento de la trapecista desde el punto A hasta el punto B: Podemos encontrar la magnitud del vector desplazamiento de A hasta B con el tringulo rectngulo formado en la figura:

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21 La magnitud de la velocidad media de A hasta B en un tiempo de 1.5 s (El tiempo de 3 s es de ida y regreso de la trapecista y solo necesitamos el tiempo de ida) es:

Ejercicio # 6 Un auto viaja en lnea recta una distancia de 20 Km a una rapidez constante de 30Km/h. Durante los siguientes 20 Km su rapidez es de 40 Km/h y los ltimos 20 Km los realiza a una rapidez constante de 50 Km/h. Cul es la magnitud de la velocidad media en Km/h del auto durante todo el viaje? a) b) c) d) e) 1.2 37.0 38.3 40.0 45.2

Solucin: Para encontrar la magnitud de la velocidad media, se necesita la magnitud del desplazamiento durante todo el viaje. Si el auto se mueve en lnea recta, la magnitud de su desplazamiento ser:

Ahora necesitamos el tiempo total, para eso usaremos la definicin de rapidez media y encontraremos el intervalo de tiempo de cada tramo: t1 = (20Km/h)/(30Km) = 0.66 h t2 = (20Km/h)/(40Km) = 0.5 h

t3 = (20Km/h)/(50Km) = 0.4 h

La magnitud de la velocidad media tendra el siguiente valor:

Ejercicio # 7 Dos partculas parten simultneamente como se indica en la figura. Cul es el tiempo que demora en chocar? a) b) c) d) e) 0.014h 0.028h 0.054h 0.14h 0.28h Derechos Reservados

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22 Solucin: Este ejercicio es un caso de MOVIMIENTO RECTILNEO UNIFORME (MRU) cuya caracterstica principal es que su velocidad es constante durante todo el recorrido del objeto. Hagamos una relacin los mdulos de los desplazamientos y la distancia de separacin de los objetos:

Ya que los desplazamientos de las partculas suceden al mismo tiempo tendramos que:

Ejercicio # 8 Dos mviles se encuentran en las posiciones x1 = 5i m y x2 = 20i m en el instante t=0. Si las partculas se mueven en direcciones contrarias con rapidez constante de 2 m/s y 4 m/s respectivamente. Determine la posicin en metros y el tiempo en segundos en que las partculas se cruzan. a) b) c) d) e) 5i; 2.5s 10i; 2.5s 7.5i; 1.5s 15i; 5s 17i; 6s

Solucin: Realicemos el bosquejo del movimiento de las partculas en funcin de sus posiciones, TOMANDO CUIDADO DE QUE SI TRABAJAMOS CON POSICIONES, DEBEMOS UBICAR LOS SIGNOS CORRESPONDIENTES A LA POSICIN Y A LA VELOCIDAD SEGN LA REFERENCIA TOMADA, de tal manera tendremos:

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Las posiciones finales de las dos partculas se definen a continuacin: Xf1 = Xo1 + X1 Xf1 = 5 + v1t Xf1 = 5 + 2t Xf2 = Xo2 + X2 Xf2 = 20 + v2t Xf2 = 20 + (-4)t

Cuando las dos partculas se encuentran, ambas coinciden con la posicin final en la referencia usada por lo que: Xf1 = Xf2 5 + 2t = 20 + (-4)t 6t = 15 t = 2.5s Reemplazando el tiempo obtenido en cualquiera de las dos ecuaciones de posicin final obtenemos que: Xf1 = Xf2 = 5 + 2t = 5 + 2(2.5) = 10; Xf = 10i Ejercicio # 9 Un tren de carga que va a 42 Km/h es seguido tres horas despus por un tren de pasajeros, que parte del mismo punto inicial y tiene velocidad de 60 Km/h. En cuntas horas el tren de pasajeros alcanzar al de carga y a qu distancia del punto de partida? a) b) c) d) e) 1h y 60 Km 2h y 120 Km 7h y 420 Km 10h y 600 Km 10h y 420 Km

Solucin: Este problema consiste en un desfase en el tiempo entre los dos objetos en movimiento; por lo que podemos resolverlo de la siguiente manera:

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24 Un tren de carga. es seguido tres horas despus por un tren de pasajeros: El tren de carga lleva 3 horas de adelanto (t + 3h) o el tren de pasajeros lleva 3 horas de atraso (t 3h). Cualquiera de las interpretaciones mencionadas es vlida pero recomendamos usar siempre la relacin de suma (adelanto) para evitar complicaciones en los signos durante el despeje de la ecuacin. Partiendo de la interpretacin tendremos lo siguiente:

Las posiciones finales de los trenes son iguales puesto que parten del mismo punto e interceptan en un mismo punto. Hemos llamado VC a la velocidad que tiene el tren de carga y VP a la velocidad que tiene el tren de pasajeros. XC = XoC + XC = 0 + VCt1 = 42(t+3) XP = XoP + XP = 0 + VPt2 = 60t Si las posiciones finales son las mismas: XC = XP, entonces tenemos: 42(t+3) = 60t 42t+126 = 60t t = 7h Reemplazando en cualquiera de las dos posiciones tendremos el punto de interseccin de los dos trenes: XC = XP = 60(7) = 420 Km Ejercicio # 10 Dos vehculos cuyas velocidades son 10 Km/h y 12 Km/h respectivamente se cruzan perpendicularmente en su camino. Al cabo de seis horas de recorrido, Cul es la distancia que los separa? a) 3.64 Km b) 39.79 Km c) 87.84 Km d) 93.72 Km e) 132,5 Km Solucin: Realicemos un bosquejo de los vehculos de tal manera que sus direcciones de movimiento sean perpendiculares entre s:

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25 Se forma un tringulo rectngulo con la trayectoria que recorre cada mvil; relacionamos a travs del teorema de Pitgoras los desplazamientos de cada vehculo: D2 = X12 + X22 D2 = (V1t)2 + (V2t)2 D2 = (10x6)2 + (12x6)2 D2 = (60)2 + (72)2 D= D = 93.72 Km

Ejercicio # 11 Un objeto se mueve en forma circular de tal manera que sus velocidades en los puntos A y B son VA = 5i m/s y VB = - 5i m/s respectivamente. Si para moverse del punto A al punto B, el objeto tard 2s, entonces el mdulo de la aceleracin del objeto es: a) 0 b) 2.5 m/s2 c) 5 m/s2 d) 10 m/s2 e) 25 m/s2 Solucin: Definimos a la aceleracin como el cambio de la velocidad en funcin del tiempo, por tanto si el cambio de la velocidad es un vector, entonces la aceleracin tambin lo ser. De tal manera podemos definir al vector aceleracin como:

Si deseamos obtener el mdulo de la aceleracin tendramos lo siguiente:

La magnitud de la aceleracin del objeto ser:

Ejercicio # 12 Una partcula parte del reposo con una aceleracin de 2 m/s2. La distancia recorrida por la partcula en el intervalo de tiempo comprendido entre t =2s y t=3s es: a) 1m b) 3 m c) 4 m d) 5 m e) 9 m

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26 Solucin: Usemos una formula bsica que relacione directamente la posicin del objeto con la aceleracin: t2 Si parte del reposo su velocidad inicial es cero y suponiendo que su movimiento se realiza desde el origen de coordenadas de tal manera que la magnitud de la posicin final sea igual a la distancia recorrida tendramos: X = 0 + 0(3s 2s) + (2 m/s2)(3s 2s)2 = 1 m Ejercicio # 13 Cul es la aceleracin en m/s2 que debe imprimrsele a un mvil para que su velocidad final sea igual a 4 veces su velocidad inicial al cabo de 10 segundos y despus de recorrer 10 m? a) 1.2 b) 1.8 c) 2.4 d) 12 e) 18 Solucin: Este ejercicio hace referencia a un movimiento rectilneo uniformemente variado, cuya propiedad primordial es su aceleracin constante. Tenemos las siguientes definiciones: Vf = Vo + at Si en este caso Vf = 4Vo tendramos que: 4Vo = Vo + at 3 Vo = a(10) Vo = (10/3) a (1) X =Xo + Vot + (1/2)at2 En este caso la posicin final es 10m y suponemos que la posicin inicial de la partcula es cero: 10 = 0 + Vo(10) + (1/2)a(10)2 10 = 10Vo +50a (2) Sustituimos la ec. (1) en la (2) teniendo el valor de la aceleracin: 10 = 10(10/3)a +50a 100 = 83.33a a = 1.2 m/s2 Ejercicio # 14 Si la ecuacin de movimiento de una partcula es: X 6t2 = 5 + 3t, donde X est dada en metros y t en segundos. El tiempo que se demora la partcula en duplicar su velocidad inicial es: a) 0.25 s b) 0.75 s c) 3 s d) 4 s e) 36 s

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Solucin: Para la resolucin de este ejercicio debemos dejar expresada la ecuacin del movimiento en una forma ms generalizada:

Realizando una comparacin entre las ecuaciones podemos deducir las siguientes variables: Xo = 5 Vo = 3 Teniendo estos datos de la partcula podemos obtener el tiempo en el cual se duplica su velocidad inicial:

Ejercicio # 15 El tiempo que tarda en reaccionar un conductor medio entre el instante en que percibe una seal de parar y la aplicacin de los frenos es de 0.5 s. Si el automvil frena a 5m/s2, la distancia total recorrida, hasta detenerse una vez percibida la seal cuando la velocidad es de 60Km/h, es: a) b) c) d) e) 8m 36 m 55 m 28 m 83 m

Solucin: Realicemos el bosquejo correspondiente para analizar la situacin del conductor:

Primero que nada debemos de convertir todas las variables e una unidad en comn, por lo que es conveniente cambiar la velocidad de Km/h a m/s:

Cuando el conductor reacciona el auto todava se mueve con velocidad constante (v = 60 Km/h), luego de la reaccin comienza el evento de frenado (a = - 5m/s2) de tal manera que:

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X1 = Xo1 + V1t1 X1 = 0 + (16.67m/s)(0.5s) = 8.34 m V22 = (Vo2)2 + 2aX = (16.67)2 + 2(-5)(X2 Xo1) X2 = 27.79 m/s2 Por tanto la distancia total que recorre el conductor sera la suma de los dos tramos: X = X1 + X2 = 16.67m + 27.79m = 36.12 m Ejercicio # 16 La funcin de posicin de una partcula es: X(t) = 16t2 4t (m). La velocidad media de la partcula para el intervalo comprendido entre t = 1s y t = 2s, es: a) b) c) d) e) 12 m/s 34 m/s 44 m/s 56 m/s 68 m/s

(0)2

Solucin: Para encontrar la velocidad media necesitamos el desplazamiento, para eso necesitamos la posicin inicial y final de la partcula: POSICION INICIAL: X(t =1)= 16(1)2 4(1) = 12 m POSICION FINAL : X(t =2)= 16(2)2 4(2) = 56 m Usando la definicin de velocidad media tenemos:

Ejercicio # 17 Una pelota se mueve con MRUV, a partir del reposo, sobre una pendiente con velocidad media de 0.8 m/s durante 10s. Su aceleracin a los 10s es: a) b) c) d) e) 0 0.016 m/s2 0.08 m/s2 0.16 m/s2 Falta conocer el ngulo de la pendiente

Solucin:

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29 Con la velocidad media podemos encontrar el desplazamiento que ha realizado la pelota a los 10 s de su movimiento: X = Vt = (0.8 m/s)(10s) = 8 m Podemos relacionar la aceleracin de la pelota con el desplazamiento realizado por el objeto:

Ejercicio # 18 Un objeto lanzado verticalmente hacia arriba adquiere una rapidez de 25 m/s cuando alcanza las dos terceras partes de su altura mxima sobre el punto de lanzamiento. Determine la altura mxima que alcanza a) b) c) d) 32 m 48 m 64 m 96 m

Solucin: Los movimientos verticales estn influenciados por la aceleracin de la gravedad cuyo vector es de 9.8 m/s2 dirigido hacia abajo. Las caractersticas del movimiento son EXACTAMENTE LAS MISMAS QUE UN MRUV. Usemos una referencia ubicada AL INICIO DEL MOVIMIENTO: Definimos un nivel de referencia y una convencin: Las variables que estn sobre dicho nivel o con direccin hacia arriba son positivos, las variables que estn debajo de este nivel o con direccin hacia abajo son negativos. En la grfica, la pelota falta por recorrer 1/3 de la altura de la cual podemos definir la siguiente formula de MRUV: V2 = Vo2 + 2ay 02 = (25m/s)2 + 2(-9.8 m/s2)(H/3)

H =95.66 m

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30 Ejercicio # 19 Un objeto es lanzado desde el suelo, verticalmente hacia arriba con una rapidez de 50 m/s. Despreciando la resistencia del aire, el objeto retornar al suelo al cabo de: a) b) c) d) e) 15 s 10 s 7.5 s 5.0 s 2.5 s

Solucin: Si el objeto retorna al punto de partida, el tiempo que tarda en subir es el mismo que el tiempo que tarda en bajar, de tal manera que podemos obtener el tiempo que tarda el objeto en alcanzar su altura mxima y duplicarlo para tener el tiempo total: Aplicamos la ecuacin que describe el movimiento con el fin de encontrar el tiempo de subida del objeto: V = Vo + at 0 = 50m/s + (-9.8 m/s2)tS tS = (50 m/s)/(9.8 m/s2) tS = 5.1 s El tiempo total es el doble del tiempo de subida: t = 2tS = 2(5.1s) = 10.2 s

Ejercicio # 20 Al instante t = 0 un objeto es lanzado verticalmente hacia arriba desde la parte superior de una colina con velocidad inicial de 25 m/s. El objeto impacta el suelo 7 segundos despus de ser lanzado. Cul es la altura H de la colina? a) b) c) d) e) H = 46.2 m H = 53.2 m H = 65.3 m H = 76.0 m H = 82.1 m

Solucin: Para resolver este ejercicio una vez ms debemos ubicar en el lugar ms conveniente nuestro nivel de referencia, el lugar propicio es al inicio de la trayectoria, por tanto:

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Usamos la siguiente frmula de descripcin del movimiento, (observe que el desplazamiento del objeto es H segn nuestra referencia):

Ejercicio # 21 Para el problema anterior. Cul es la rapidez |V| de la bola en el instante que golpea el suelo? a) b) c) d) e) 12.2 m/s 25.0 m/s 43.7 m/s 50.0 m/s 55.2 m/s

Solucin: Usando la misma referencia que el ejercicio anterior y la frmula que vincula el movimiento con la velocidad tenemos: V = Vo + at V = (25 m/s) + (-9.8 m/s2)(7s) V = 43.6 m/s

Ejercicio # 22 Un objeto es lanzado verticalmente hacia abajo con una velocidad inicial de 10 m/s desde un edificio de 60 m de altura. En ese mismo instante un segundo objeto es lanzado desde el suelo verticalmente hacia arriba con una rapidez de 40 m/s. A qu altura estarn al mismo nivel del suelo ambos objetos? a) b) c) d) 53 m 41 m 46 m 57 m

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32 Solucin: Analicemos el movimiento de los objetos para encontrar una relacin entre los desplazamientos de los mismos: La relacin entre la altura del edificio y la magnitud de los desplazamientos es la siguiente: Y1 + Y2 = H Y1 + Y2 = 60m . . . . . (1) Para la pelota 1, (N.R.1) tenemos la siguiente ecuacin del movimiento: Y1 = Vo1t + at2 -Y1 = -10t + (-9.8)t2 Y1 = 10t + 4.9t2 . . . . . (2) Para la pelota 2, (N.R.2) tenemos la siguiente ecuacin del movimiento: Y2 = Vo2t + at2 Y2 = 40t + (-9.8)t2 Y2 = 40t - 4.9t2 . . . . . (3) Sustituyendo la ec.(2) y la ec.(3) en la ec.(1): 10t + 4.9t2 + 40t 4.9t2 = 60 50t = 60 t = 1.2 s Para encontrar la altura con respecto al nivel del suelo sustituimos el tiempo obtenido en la ec. (3): Y2 = 40t - 4.9t2 = 40(1.2) 4.9(1.2)2 = 40.94 m

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33 TALLER No. 1 PREGUNTAS CONCEPTUALES DE CINEMTICA 1. Clasificar cada uno de las siguientes afirmaciones como verdadero o falso Una partcula debe ser siempre un cuerpo muy pequeo. Si la rapidez media de una partcula en un determinado intervalo de tiempo es cero, su velocidad media tambin es cero. La rapidez media es una cantidad escalar positiva Es posible para una partcula moverse con aceleracin constante y regresar despus de un determinado tiempo a su posicin inicial . Si en determinado momento la aceleracin de una partcula es positiva, su velocidad tambin debe ser positiva. 2. Este es un diagrama de movimiento de un objeto movindose a lo largo del eje x con aceleracin constante. Los 1,2,3 muestran la posicin del objeto en iguales intervalos de tiempo. En el instante etiquetado 3, el objeto tiene:

a) b) c) d) e)

Velocidad negativa y aceleracin cero velocidad negativa y aceleracin positiva velocidad negativa y aceleracin negativa velocidad positiva y aceleracin positiva velocidad positiva y aceleracin negativa

3. Abajo se muestran esferas idnticas. Cada crculo representa la posicin de la bola a sucesivos instantes de tiempo. Cada intervalo de tiempo entre posiciones sucesivas es el mismo. Ordene las siguientes figuras, de mayor a menor, en base a la aceleracin sobre la bola en cada una de las figuras. Asuma constante el valor de la aceleracin para cada uno de los casos.

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34 TALLER No. 1 PREGUNTAS CONCEPTUALES DE CINEMTICA 4. Cul de estos cohetes alcanzarn la mxima altura si todos son lanzados desde la misma posicin?

5. Alicia y Pedro se encuentran en la parte superior de un edificio de altura H. Los dos lanzan una bola con rapidez inicial Vo, Alicia hacia abajo y Pedro verticalmente hacia arriba. La rapidez de las bolas cuando ellas golpean el suelo es VA y VB respectivamente. Cul de las alternativas es verdad?:

6. Se muestra un set de fotos que se toman cada segundo a esferas que se mueven de izquierda a derecha. Cul de las esferas experimenta la mayor velocidad media durante los Primeros tres segundos?

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35 TALLER No. 2 PROBLEMAS DE DESARROLLODE CINEMTICA DEFINICIONES DE CINEMATICA 1. Una partcula pasa sucesivamente por los puntos A, B y C de coordenadas: (2, 3, 5) m, (3, 2, -4)m y (4, 2, 3)m. El desplazamiento de la partcula entre los puntos A y C, en coordenadas rectangulares es:

Respuesta: 2i +5j 2k m 2. Una partcula se mueve en una pista circular con rapidez constante de 10 m/s. Si demora 1 segundo al moverse de A hasta B. Encuentre la magnitud de la aceleracin media entre los puntos A y B

Respuesta: 10 m/s2 3. Un cuerpo parte con aceleracin constante del origen de un sistema de coordenadas con una velocidad inicial v = 10i + 2j m/s. Si despus de 10 s llega a la posicin dada por r = 300i + 200j m. Encuentre la aceleracin que experiment la partcula.

Respuesta: 4i + 3.6j m/s2

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TALLER No. 2 PROBLEMAS DE DESARROLLODE CINEMTICA DEFINICIONES DE CINEMATICA 4. Una partcula parte del origen de coordenadas y se desplaza hacia un punto P con velocidad media 20i m/s en 10 s, a continuacin experimenta un desplazamiento de 25i + 30j m durante un tiempo de 5s hasta un punto Q. Encuentre la velocidad media durante los 15s de su movimiento hasta el punto Q.

Respuesta: 15i + 2j m/s 5. Una partcula describe la trayectoria mostrada en la figura, el tramo AB es horizontal y BC un tramo de circunferencia de 10m de radio. Determine el mdulo de la velocidad media de la partcula entre los puntos A y C sabiendo que sta se mueve a una rapidez constante de 8m/s y tarda 10 seg. en realizar el recorrido. C

A

B

Respuesta: 4.4 m/s

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37 TALLER No. 3 PROBLEMAS DE DESARROLLODE CINEMTICA M.R.U. 1. Dos partculas A y B estn inicialmente en la posicin que se indica en la figura. Si la velocidad de las partculas es constante. Encuentre la distancia recorrida por la partcula A hasta alcanzar a B.

Respuesta: 12m 2. Un carro parte del punto A a 60 Km/h, otro carro sale de B, al mismo tiempo a 90 Km/h. Si los dos carros se dirigen el uno hacia el otro, encuentre a qu distancia se encuentran los carros un minuto antes de chocar.

Respuesta: 2.5 Km 3. Un mvil recorre un tercio de su recorrido total en lnea recta con una rapidez de 60 Km/h, si el resto del recorrido lo realiza a 80 Km/h. Cul es su rapidez media durante todo su recorrido?

Respuesta: 72 m/s

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38 TALLER No. 4 PROBLEMAS DE DESARROLLODE CINEMTICA M.R.U.V. 1. Un cuerpo con aceleracin constante tiene una velocidad de 8 m/s al instante t = 5s y una velocidad de 26 m/s para el instante t = 8s. Encuentre la aceleracin y la velocidad media del cuerpo entre el intervalo de tiempo de 5s a 8s.

Respuesta: 6 m/s2; 17 m/s 2. Dos partculas se hallan en reposo en las posicin X1 = 20m y X2 = - 40m. En t = 0 las partculas acelereran desde el reposo con a1 = - 4m/s2 y a2 = 2m/s2. Cuando la partcula (1) pasa por la posicin X = 0. Dnde se encuentra la partcula (2)?

Respuesta: - 30 m 3. Un auto parte del reposo del punto A y se desplaza en lnea recta con una aceleracin de 2 m/s2. Despus de 10s otro auto parte del reposo desde el mismo punto y alcanza al primer vehculo en 30s. Cul es la aceleracin del segundo auto?

Respuesta: 3.56 m/s2

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39 TALLER No. 5 PROBLEMAS DE DESARROLLODE CINEMTICA CADA LIBRE 1. Una persona lanza un objeto desde la terraza de un edificio. El objeto abandona la mano de la persona cuando se encuentra a una distancia de 20m medidos desde el suelo, como se indica en la figura. a) Si el objeto tarda 6s en llegar al suelo. Encuentre la velocidad con que fue lanzado el objeto.

Respuesta: 26 m/s b) Determine la velocidad con la que el objeto impacta el suelo

Respuesta: 32.8 m/s c) Cul es el valor de la velocidad del objeto un segundo antes de llegar a su altura mxima?

Respuesta: 9.8 m/s2 2. Lanzamos una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 10 m/s. Un segundo despus lanzamos otra pelota con la misma velocidad. Cunto tardan en chocar desde que se lanz la segundo pelota?

Respuesta: 0.52 s Derechos Reservados

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41 ANALISIS GRAFICO DEL MOVIMIENTO RECTILINEO

Ejercicio # 1 El movimiento de una partcula en lnea recta se representa en el diagrama x t adjunto. Su velocidad a los 4 segundos es: a) 3 m/s b) 4 m/s c) 5 m/s d) -4 m/s e) -5 m/s f) Solucin: Vamos a analizar el movimiento de la partcula durante todo el recorrido. Durante el tiempo, 0