folle_EcuaDiferenciales.doc

I

PAGE 1 Mag. Jube Portalatino ZevallosEcuaciones diferenciales ordinarias

NOCIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES1.1. DEFINICIN. Una ecuacin diferencial es una ecuacin que contiene una funcin desconocida juntamente con sus derivadas.

Ejemplos.1)

2)

1.2. CLASIFICACIN

1.3. DEFINICIN. Una ecuacin diferencial se llama ecuacin diferencial ordinaria (EDO) si contiene una funcin desconocida de una sola variable independiente y sus derivadas. Si la funcin desconocida es de varias variables independientes, se llama ecuacin diferencial parcial (EDP).

Ejemplos1) es una ecuacin diferencial ordinaria.

2) es una ecuacin diferencial parcial

1.4. DEFINICIN. El orden de una ecuacin diferencial es la derivada de mayor orden.

Ejemplos1) es de tercer orden

2) es de orden 2

1.5. DEFINICIN. El grado de una ecuacin diferencial es el exponente del trmino de mayor orden de su derivada.

Ejemplo es de grado 2

1.6. DEFINICIN. Una EDO es lineal de orden n si es de la forma:

Ejemplos 1)

2)

1.7. DEFINICIN. Una EDO que no es de la forma anterior se llama EDO no lineal.

Ejemplo.

1.8. DEFINICIN. Una solucin de una ecuacin diferencial es cualquier funcin que satisface la ecuacin. La funcin solucin puede estar expresado en forma explcita o implcita.

Ejemplo. La funcin es una solucin de la EDO

1.9. DEFINICIN. La solucin general de una EDO lineal de orden n es la solucin con n constantes arbitrarias.

Ejemplo. La funcin es la solucin general de la EDO

1.10. DEFINICIN. Una solucin particular de una EDO es la solucin obtenida de la solucin general seleccionando valores particulares de las constantes arbitrarias.

Ejemplo. La funcin es una solucin particular de la EDO . Se obtiene de la solucin general , haciendo c1=-1, c2=2.1.11. DEFINICIN. Un problema de valor inicial es un problema que busca la solucin de una ecuacin diferencial ordinaria sujeta a condiciones sobre la funcin desconocida y sus derivadas, llamadas condiciones iniciales.

Ejemplo

1.12. DEFINCIN. Un problema de valor de frontera es un problema que busca la solucin de una ecuacin diferencial ordinaria sujeta a condiciones sobre la funcin desconocida en dos o ms valores, llamada condiciones de frontera.

Ejemplo

1.13. TEOREMA (De existencia y unicidad). Sea el problema

Si f y son continuas sobre una regin ( y , entonces existe una nica solucin y=g(x) del problema.

2. MTODOS DE SOLUCIN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN2.1. MTODO DE VARIABLES SEPARABLESSea

Si esto se puede expresar de la forma: ,entonces su solucin es

Ejemplo. Resolver

Solucin

La ecuacin se puede expresar de la forma:

Integrando se obtiene

(

(

2.2. MTODO DE LAS FUNCIONES HOMOGNEASDEFINICIN. La funcin se llama funcin homognea de grado n si

Si n=0 y satisface se dice simplemente que la funcin es homognea Ejemplo. La funcin es homognea, pues

ECUACIONES DIFERENCIALES HOMGNEAS

Sea la ecuacin diferencial

Supongamos que f es homognea. Entonces haciendo el cambio de variable

(

se obtiene una ecuacin diferencial que se puede resolver mediante el mtodo de separacin de variables.

Ejemplo. Resolver

Solucin

Segn el ejemplo anterior, el segundo miembro de la EDO es homognea, luego, hacemos el cambio de variable:y=xu ( y=u+xu (o dy=xdu+udx)Reemplazando en la EDO se obtiene

Integrando, se obtiene

2.3. MTODO DE LAS DIFERENCIALES EXACTASDEFINICIN. La expresin se llama diferencial exacta si ( F: R2 ( R /

ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTASLa EDO es exacta ( ( F: (2 ( ( /

(1)OBSERVACIN. De (1) se tiene

dF(x,y) = 0 ( F(x,y )= C

(2)OBSERVACIN

TEOREMA. Bajo ciertas hiptesis de diferenciabilidad, la EDO

es exacta (

Ejemplo. Resolver

Solucin

De la EDO se obtiene

(

Por lo tanto, la EDO es exacta.

(1)

(2)

Integrando (1), respecto a x, se tiene

(3)Derivando (3), respecto a "y", se obtiene

(4)De (2) y (4) se tiene

Integrando

(5)Reemplazando (5) en (3) se obtiene

(6)

Pero, segn una observacin anterior, se tiene

F(x,y) = C

(7)

Luego, de (6) y (7) se tiene la solucin general de la EDO

2.4. MTODO DE LAS DIFERENCIALES NO EXACTASSi es no exacta, y si existe una funcin ((x,y) tal que

es exacta, entonces la funcin ( se llama factor integrante.Si es exacta (

(1)CASOS PARTICULARES

CASO I. Si el factor integrante depende solamente de x, entonces

. Luego de (1) se tiene


CASO II. Si el factor integrante depende solamente de "y", entonces

. Luego de (2.1) se tiene


Ejemplo. Resolver

Solucin

De la EDO se obtiene

(1)

Luego, el factor integrante es

Por consiguiente, multiplicando a (1) por (=y-4, se obtiene la ecuacin

(2)que es exacta.

En seguida, aplicamos el mtodo de las diferenciales exactas para resolver la ecuacin (2).

(3)

(4)

Integrando (3) se tiene

(5)Derivando (5) respecto a "y" se tiene

(6)De (4) y (6) se tiene

(7)Reemplazando (7) en (5) se tiene

(8)Pero, segn una observacin anterior, F=C2

(9)Luego, de (8) y (9) se obtiene

2.5. EDO LINEAL DE PRIMER ORDENEs de la forma:

(1)Esta ecuacin es no exacta. Su factor integrante es

Luego multiplicando (1) por ( se tiene

(

Ejemplo. Resolver

Solucin La ecuacin se transforma en

Esta EDO es lineal. Luego, aplicando la frmula, se obtiene

(

3. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR

3.1. TEMAS PRELIMINARESDEFINICIN. Una EDO lineal de orden n es de la forma:

Ejemplos1)

2)

OBSERVACIN. Si denotamos

entonces la EDO quedara representado por

Ahora, si F(x)=0 entonces la ecuacin

se llama EDO lineal homognea.

DEFINICIN. Las funciones f1, f2, .... fn son linealmente independientes (LI) sobre [a,b] si la expresin

implica que

Caso contrario, se llaman linealmente dependientes.

Ejemplo. Las funciones f1(x)=e-x y f2(x)=e3x son LI?

En efecto:

(1)Derivando

(2)

Resolviendo el sistema (1)-(2) se tiene c1=0, c2=0Luego, las funciones son LI

DEFINICIN. El determinante

se llama wronskiano de sobre [a,b]TEOREMA. Si ( son linealmente independientes (L.I.) sobre [a,b]TEOREMA. Sean yi, i=1,..., n soluciones de la EDO lineal de orden n. son L.I (

DEFINICIN. Si son soluciones L.I. de (

se llama solucin general de la ecuacin .Ejemplo. La funcin es la solucin general de la EDO

DEFINCIN. Si yg es la solucin general de y yp es una solucin particular de la ecuacin no homognea (

es la solucin general de

Ejemplo. La funcin es la solucin general de la EDO

TEOREMA. Si y1 es solucin de

(

tambin es solucin, linealmente independiente con y1, de la ecuacin.

Prueba

Hacer:

Reemplazando en la ecuacin se obtiene

Esta ecuacin es lineal, luego, se obtiene

Considerando C = 1, se tiene

3.2. SOLUCIN DE EDO LINEALES HOMOGNEAS DE SEGUNDO ORDEN CON COEFICIENTES CONSTANTESLa solucin de

es

Sea la ecuacin

con coeficientes constantes.

Buscaremos dos soluciones L.I. de la forma:

Reemplazando en la ecuacin, se obtiene

Como (

A esta ecuacin se le llama ecuacin caracterstica.

CASO I. Si las races de la ecuacin caracterstica son k1 ( k2, entonces la solucin general de la EDO es

Ejemplo. Resolver

Solucin

Su ecuacin caracterstica es

cuyas races son k1 = 3 y k2 = 4. Luego su solucin general es

CASO II. Si las races de la ecuacin caracterstica son k1 = k2 = k, entonces la solucin general de la EDO es

Ejemplo. Resolver

Solucin


cuya raz es k = -2. Luego su solucin general es

CASO III. Si las races de la ecuacin caracterstica son nmeros complejos k1= ( + i(, k2 = ( - i(, entonces la solucin general de la EDO es

Pero esta es una funcin compleja. Necesitamos una solucin de valor real, entonces utilizando la identidad

se obtiene

(

Si c1 y c2 son nmeros complejos conjugados, c1 + c2 y i (c1 - c2) son constantes reales, luego se tiene la solucin general de valor real

Ejemplo. Resolver

Solucin


cuyas races son k1 = 2+3i y k2 = 2-3i. Luego su solucin general es

3.3. SOLUCIN DE EDO LINEALES HOMOGNEAS DE ORDEN n CON COEFICIENTES CONSTANTES

Sea la EDO lineal de orden n

con coeficientes constantes. Entonces su ecuacin caracterstica es

En este caso la solucin general es una combinacin de los tres casos anteriores, dependiendo del tipo de races que tenga la ecuacin caracterstica.

Ejemplos1) Resolver


Sus soluciones son

Luego, la solucin general de la EDO es

2) Resolver


Sus soluciones son


3) Resolver


Sus soluciones son


3.4. SOLUCIN DE EDO LINEALES NO HOMOGNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTESSea la EDO lineal

con coeficientes constantes.

MTODOS PARA OBTENER LA SOLUCIN PARTICULAR ypMTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS

Si entoncesCASO I. Si es un polinomio de grado k, (i) Si 0 no es raz de la ecuacin caracterstica de la EDO homognea, la solucin particular se toma de la forma

o

y se reemplaza en la EDO para determinar los coeficientes del polinomio.

ii) Si 0 es raz de la ecuacin caracterstica de la EDO homognea de multiplicidad s, la solucin particular se toma de la forma


CASO II. Si , (i) Si ( no es raz de la ecuacin caracterstica de la EDO homognea, la solucin particular se toma de la forma


ii) Si ( es raz de la ecuacin caracterstica de la EDO homognea de multiplicidad s, la solucin particular se toma de la forma


CASO III. Si , (i) Si ((i no son races de la ecuacin caracterstica de la EDO homognea, la solucin particular se toma de la forma

y se reemplaza en la EDO para determinar los coeficientes de los polinomios. Donde v = mx{k, m}ii) Si ((i son races de la ecuacin caracterstica de la EDO homognea de multiplicidad s, la solucin particular se toma de la forma

y se reemplaza en la EDO para determinar los coeficientes de los polinomios.CASO IV. Si , (i) Si (((i no son races de la ecuacin caracterstica de la EDO homognea, la solucin particular se toma de la forma

y se reemplaza en la EDO para determinar los coeficientes de los polinomios.

Donde v = mx{k, m}

ii) Si (((i son races de la ecuacin caracterstica de la EDO homognea de multiplicidad s, la solucin particular se toma de la forma

y se reemplaza en la EDO para determinar los coeficientes de los polinomios.Ejemplos1) Resolver

Primero determinaremos la solucin general de la EDO homognea. Su ecuacin caracterstica es

Sus soluciones son

Luego, la solucin general de la EDO homognea es

Ahora, determinaremos su solucin particular. Sea

(

Reemplazando en la EDO se obtiene

( A=-1, B=4/5

Luego, la solucin general de la ecuacin general es

2) Resolver


Sus soluciones son



(


( A=-1/3, B=-1, C=-2


3) Resolver


Sus soluciones son



(



4) Resolver


Sus soluciones son



(


( A=1/4, B=-1/4


5) Resolver


Sus soluciones son



EMBED Equation.DSMT4 (


( A=1/6, B=1/2


6) Resolver


Sus soluciones son



(


( A=-1/3, B=0, C=0, D=-5/9


7) Resolver


Sus soluciones son



(


( A=-6/7, B=-8/7


8) Resolver


Sus soluciones son



(


( A=3/2, B=4, C=-4/3, D=1/3


9) Resolver


Sus soluciones son



(


( A=-2/3, B=-2, C=-4, D=2, E=-3, F=-1/2, H=1/2 G=1/2, I=1


10) Resolver


Sus soluciones son



(


( A=2/15, B=-2/9, C=8/27, D=-8/27, E=16/81 F=-1/9, G=-1/9, H=-2/27


MTODO DE VARIACIN DE PARMETROS

CASO PARTICULARConsideremos la EDO lineal:

Sea

la solucin general de la EDO homognea.Buscaremos una solucin particular de la EDO no homognea de la forma:

en la cual tenemos que determinar u1 y u2.Para llevar a cabo esta tarea reemplazamos yp en la EDO

Sustituyendo en la EDO y agrupando se obtiene

De esta ecuacin, obtenemos el siguiente sistema:

Resolviendo este sistema, obtenemos . Luego, integrando se obtiene u1 y u2.GENERALIZACIN. Si tenemos la EDO lineal

y la solucin general de la EDO homognea es

Entonces la solucin particular se toma de la forma:

se obtiene resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones e integrando, respectivamente:

Ejemplos1) Resolver

Solucin


Sus soluciones son


Buscaremos una solucin particular de la EDO no homognea de la forma:

Formamos el sistema:

(

As que, la solucin general de la ecuacin no homognea es

2) Resolver

Solucin


Sus soluciones son




(


3) Resolver

Solucin


Sus soluciones son




(

(Integracin por partes)

(Por sustitucin)


3.5. EDO DE EULERSon de la forma:

donde son constantes.

Esta ecuacin se reduce a una EDO lineal con coeficientes constantes, haciendo el cambio de variable:

o

Ejemplo. Resolver

Esta es una ecuacin del tipo Euler. Luego, hacemos el cambio de variable

Al reemplazar en la ecuacin, se obtiene


Sus soluciones son , ,


Reemplazando z=lnx se obtiene

Buscamos una solucin particular de la ecuacin no homognea de la forma:

Reemplazando en la ecuacin original, se obtiene

Luego, la solucin general de la ecuacin original es

4. SOLUCIN DE EDO LINEALES MEDIANTE SERIES DE POTENCIAS

4.1. DEFINICIN. Una sucesin de nmeros reales es un conjunto infinito de la forma:

Se denota por

Ejemplos.1) o con

2) o

4.2. DEFINICIN. Si la sucesin tiene lmite, se dice que la sucesin converge. Caso contrario, se dice que diverge.Ejemplos1) La sucesin converge, pues

2) La sucesin diverge, pues

4.3. DEFINICIN. Una serie es una suma infinita:

Se denota por

4.4. DEFINICIN. Se dice que la serie converge, si existe su suma, esto es,

Caso contrario, se dice que diverge.

Ejemplos1) La serie converge y diverge

Pues

, si

2) La serie diverge4.5. TEOREMA. Si la serie converge (

COROLARIO. Si ( la serie diverge.Ejemplo. La serie diverge. Pues

. Segn el teorema, la serie diverge.4.6. CRITERIOS DE CONVERGENCIA DE SERIES1) TEOREMA (Criterio del cociente o de Dlambert). Sean la serie de trminos positivos y

i) Si R < 1, entonces la serie converge.ii) Si R > 1, entonces la serie diverge.

iii) Si R = 1, el criterio no decide.Ejemplo. Analizar, si la serie converge.En efecto,

Luego, segn el teorema, la serie converge.

2) TEOREMA (Criterio de la raz o de Cauchy). Sean la serie de trminos positivos y

i) Si R < 1, entonces la serie converge.

ii) Si R > 1, entonces la serie diverge.

iii) Si R = 1, el criterio no decide.

Ejemplo. Analizar si la serie converge.

Solucin

Luego, segn el criterio, la serie converge.

3) TEOREMA (Criterio de la integral). Sean la serie de trminos positivos y la funcin

i) La serie converge ( converge.ii) La serie diverge ( diverge.Ejemplo. Analizar la convergencia y divergencia de la serie

Solucin

Si p = 1,

Luego, la serie diverge

Por lo tanto, segn el criterio la serie converge para p >1 y diverge para p ( 1.

4) TEOREMA (Criterio de las series alternadas o Leibniz). Sea la serie

,

Si

i) (es decreciente)ii)

( La serie converge.

Ejemplo. La serie converge.5) TEOREMA. Si converge ( converge.4.7. SERIE DE POTENCIASLas series de potencias son de la forma:

o

Ejemplos1)

2)

4.8. TEOREMA. Sea . Se cumple slo una de las condiciones:i) La serie converge slo par x = 0.

ii) La serie converge ( x((.iii) ( r > 0 tal que la serie converge ( x(Al intervalo se le llama intervalo de convergencia.

El intervalo de convergencia puede ser

[-r, r], , Ejemplos1) Determinar el intervalo de convergencia de la serie

Solucin

Aplicaremos el criterio de la razn

Si x = 1/2 ( la serie numrica converge

Si x=-1/2 ( la serie numrica converge

Luego, el intervalo de convergencia es

4.9. MULTIPLICACIN DE SERIES DE POTENCIASSi y convergen en ( tambin converge en Donde

4.10. DIFERENCIACIN DE SERIES DE POTENCIASSi converge en (

tambin convergen en

4.11. SERIE DE TAYLORSi la funcin f tiene derivadas de todos los rdenes, entonces a la serie

se le llama serie de Taylor de f alrededor de x0.

Se escribe

Ejemplos1) converge en (2) converge en (3) converge en (4) converge en (5) converge en (6) converge en .

7) converge en .

4.12. DEFINICIN. La funcin f se llama analtica en x0(I si f tiene su serie de potencias en x0

que converge en I.

4.13. SOLUCIN DE EDO MEDIANTE SERIES DE POTENCIASSea la ecuacin

(1)DEFINCIN. x = x0 se llama punto ordinario de la ecuacin (1) si

son funciones analticas en x = x0. Caso contrario, se llama punto singular.Ejemplo. En la ecuacin , x = 0 es un punto ordinario, pues las funciones

tienen sus series de potencias en x = 0.

Observando la ecuacin, cualquier nmero real es un punto ordinario de dicha ecuacin. No tiene puntos singulares.DEFINCIN. x = x0 se llama punto singular regular de la ecuacin (1) si

son funciones analticas en x = x0. Caso contrario, se llama punto singular irregular.Ejemplo. En la ecuacin , x = 0 es un punto singular regular, pues

son funciones analticas o tienen sus series de potencias que convergen en x = 0.

OBSERVACIN. Todo polinomio es analtico y toda funcin que es el cociente de polinomios es analtica, salvo donde el denominador es cero.TEOREMA. Si x = x0 es un punto ordinario de la ecuacin (1) (La ecuacin (1) tiene dos soluciones linealmente independientes de la forma:

que convergen para .OBSERVACIN. Si la ecuacin (1) tiene un punto ordinario o un punto singular regular en x = x0, entonces hacemos el cambio de variable t = x - x0 y al reemplazar en la ecuacin (1), se obtiene la ecuacin

(2)cuyo punto ordinario o punto singular regular es t = 0.

OBSERVACINES 1)

2) con an= 0 cuando n < 0.4.14. MTODO DE FROBENIUSEste mtodo busca la solucin de la ecuacin (1) o (2) mediante series de potencias alrededor de un punto singular regular.El mtodo de Frobenius consiste en hallar soluciones linealmente independientes de la ecuacin (2) de la forma:

, con an= 0 para n < 0.Esta serie se llama serie de Frobenius.

Reemplazando la serie de Frobenius en la ecuacin (2) se obtiene la ecuacin:

que se llama ecuacin indicial, donde

TEOREMA. Si t = 0 es un punto singular regular de la ecuacin (2) y r1 y r2, con r1 ( r2, son races de la ecuacin indicial, entonces

i) Existe una solucin de la ecuacin (2) de la forma:

ii) Si iii) Si

D puede ser 0.

iv) Si

donde y1, y2 son linealmente independientes.

OBSERVACIONES1) Los coeficientes de las series se obtienen reemplazando la serie en la ecuacin (2).2) En el caso iii) del teorema anterior, la segunda solucin se obtiene considerando que

tambin es solucin de la ecuacin (2) linealmente independiente con y1.Otra forma para determinar y2 es con la frmula:

3) En el caso iv) del teorema anterior, la segunda solucin se obtiene considerando que

tambin es solucin de la ecuacin (2) linealmente independiente con y1.

Ejemplos1) Resolver para x0 = 0Solucin

x0 = 0 es un punto ordinario. Entonces, sea

(

Reemplazando en la ecuacin, se tiene

En el segundo trmino se aplica el resultado de una observacin anterior

Reemplazando en

se obtiene

Determinacin del intervalo de convergenciai)

La serie converge

ii)

La serie converge

Luego, la solucin es vlida para x(2) Resolver

Solucin

x0 = 0 es un punto ordinario. Entonces, sea

(


(

Reemplazando en

se obtiene

Luego, la solucin es

3) Resolver para x0 = 0

Solucin

Como las funciones

,

son analticas en x = 0. Luego, x = 0 es un punto singular regular.Adems

Entonces la ecuacin indicial es

Como , entonces existen dos soluciones linealmente independientes de la forma:

(


CASO r1 = 1/2

Luego,

Si a0 = 1 (

CASO r2 = -1

Luego,

Si a0 = 1 (

Por lo tanto, la solucin general es

4. Resolver , alrededor de x = 0Solucin

(

Sean ,

Las funciones , son analticas en x = 0, entonces x = 0 es un punto singular regular.

,

La ecuacin indicial es ( r1 = 2, r2 = 1r1 r2 = 1 ( Z Sea (


EMBED Equation.DSMT4

(

Si r = 2 (

Elegimos

Ahora, determinaremos otra solucin linealmente independiente con y1 De (1), se tiene

Luego, la solucin general es

5. Resolver , alrededor de x = 0Solucin

(

Sean ,

Las funciones , son analticas en x = 0, entonces x = 0 es un punto singular regular.

,

La ecuacin indicial es ( r1 = 1, r2 = 1

r1 = r2 Sea (



(

(

Para r = 1 (

Luego,

Sea

Ahora, hallaremos la otra solucin.De la frmula de recurrencia, se tiene

6. LA ECUACIN DE BESSEL. Resolver

SolucinSea

(aj = 0, j 0

J-n(x) es solucin de la ecuacin diferencial de Bessel.

Luego, Jn(x) y J-n(x) son linealmente independientes para n((. As que, su solucin general es

y(x) = c1 Jn(x) + c2 J-n(x)

n((Si n((, son linealmente dependientes, pues J-n(x) = (-1)n Jn(x)CASO III. c = n((Las races de la ecuacin indicial difieren 2n>0 y el mtodo de Frobenius para este caso especial nos da la solucin de la forma:

(

donde

La funcin definida por:

se llama Funcin de Bessel de Orden n de Segunda Clase.

donde

Yn es linealmente independiente con Jn, por consiguiente su solucin general de la ecuacin diferencial de Bessel, para n((, es

y(x) = c1 Jn(x) + c2 Yn(x)

n((OBSERVACIN. Para n((, incluido n((-, se define la funcin de Bessel-Newmann, de orden n, que es linealmente independiente con Jn(x), por

7. ECUACIN DE LEGENDRE:

Solucin

Sea

Reemplazando en la ecuacin, al final, se obtiene

(Luego,

Si n ( (, estas series convergen para -1 < x < 1.

Si , una de estas series se termina, es decir, es un polinomio; mientras que la otra converge para -1 < x < 1.

Las soluciones polinomiales son: 1, x, 1-3x2, x-5x3/3,

Es conveniente multiplicar cada uno de estos por una constante elegida para que el polinomio resultante tenga el valor de uno en x=1. Los polinomios resultantes se llaman polinomios de Legendre y se denotan por

P0(x) =1, P1(x) = x, P2(x) = (3x2-1)/2, P3(x) = (5x3-3x)/2,

P4(x) = (35x4-30x2+3)/8

Frmula de recurrencia para determinar estos polinomios:

Frmula de Rodriguez:

5. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE5.1. DEFINICIN. La integral (u operador)

se llama transformada de Laplace de la funcin F.

Ejemplo. Hallar L {t}Solucin

Integrando por partes, se tiene

5.2. DEFINICIN. La funcin F:[a, b] ( ( ( ( se llama funcin seccionalmente continua sobre [a, b] si F es continua en [a, b], salvo en un nmero finito de puntos, donde existen sus lmites laterales.Ejemplos1) La funcin

es seccionalmente continua en [0, 5].

2) La funcin

no es seccionalmente continua en [-2, 1]; pues, no existe

5.3. DEFINICIN. La funcin F es de orden exponencial si existen (, (, ( no negativos tal que

5.4. TEOREMA. Si la funcin F es seccionalmente continua y de orden exponencial, entonces existe su transformada de Laplace.5.5. PROPIEDADES

1) Linealidad

2) Transformada de la primera derivada

Prueba

Aplicando integracin por partes:

Luego

Pero como F es de orden exponencial, entonces

Si s > (

Luego,

3) Trasformada de la segunda derivada

Prueba

4)

5) Si

Prueba

6) Si

7) (Primera traslacin) Si

Prueba

8)

Prueba

Sea

Por el primer teorema fundamental del clculo, se tiene

5.6. IMPULSO Y LA FUNCIN DELTA DE DIRAC

A esta funcin se llama funcin impulso

A esto se le llama funcin delta de Dirac

5.7. FUNCIN GAMMA

Propiedades

1) ((n+1) = n ((n)

2) ((n+1) = n!

5.8. TABLAF(t)L{F(t)}=f(s)

111/s s>0

2t1/s2 s>0

3tn n = 0, 1, 2, ....n!/sn+1 s>0

4ea t1/(s-a) s>a

5sen ata / (s2+a2) s>0

6cos ats / (s2+a2) s>0

7senh ata / (s2-a2) s>|a|

8cosh ats / (s2-a2) s>|a|

9ebt sen ata / ((s-b)2+a2)

10ebt cos at(s-b) / ((s-b)2+a2)

11

Prueba de 3)

Sea u = st ( t = u / s, dt = du / sSi t = 0 ( u = 0; t = ( ( u = (

Prueba de 4)

,s > a

Prueba de 5)


,s > 0

Prueba de 6)


,s > 0

Prueba de 9)Por la propiedad de la primera traslacin, se tiene

Prueba de 11)

Sea ( t = u2

EMBED Equation.DSMT4 Asimismo

EMBED Equation.DSMT4 Luego, se tiene

EMBED Equation.DSMT4 Haremos un cambio de variable

Seanu = r cos(v = r sen(J = r

De la grfica, para 0 ( u ( (, 0 ( v ( (, se tiene 0 ( ( ( (/2, 0 ( r ( (


(

5.9. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

5.10. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE1)

2)

3)

4)

5)

5.11. CONVOLUCIN DE FUNCIONESEst definido por

PROPIEDAD. Si y

5.12. SOLUCIN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE LA TRANSFORMA DE LAPLACE

1) Resolver

Solucin

Clculo de

Aplicaremos integracin por partes:

Por otro lado,

Aplicaremos integracin por partes:

Luego,

2) Resolver

Solucin

Para s > 2,

Pero y(0) = 1 ( c = 1

Luego, la solucin de la ecuacin es

3) Resolver

Solucin

Para t < 2

Para t > 2

Luego, la solucin del problema es

Ecuaciones Diferenciales de 1, 2, 3,... orden

Ecuaciones Diferenciales No Lineales

Ecuaciones Diferenciales Lineales

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones Diferenciales Parciales

x

y

(


a

a + (

(

u

v

r

_1201249961.unknown

_1226497978.unknown

_1279284108.unknown

_1279288941.unknown

_1279988667.unknown

_1306038895.unknown

_1306039167.unknown

_1306039281.unknown

_1306039360.unknown

_1306039534.unknown

_1306040306.unknown

_1306040310.unknown

_1306039676.unknown

_1306039490.unknown

_1306039320.unknown

_1306039223.unknown

_1306039263.unknown

_1306039189.unknown

_1306039062.unknown

_1306039112.unknown

_1306039130.unknown

_1306039091.unknown

_1306038987.unknown

_1306039022.unknown

_1306038952.unknown

_1281500015.unknown

_1281503481.unknown

_1281879845.unknown

_1281881257.unknown

_1306038812.unknown

_1306038860.unknown

_1281882391.unknown

_1281880278.unknown

_1281880720.unknown

_1281880814.unknown

_1281881031.unknown

_1281880337.unknown

_1281880358.unknown

_1281880221.unknown

_1281880269.unknown

_1281879977.unknown

_1281503588.unknown

_1281503629.unknown

_1281503643.unknown

_1281503557.unknown

_1281501179.unknown

_1281502163.unknown

_1281502229.unknown

_1281502412.unknown

_1281501246.unknown

_1281501705.unknown

_1281501801.unknown

_1281501674.unknown

_1281501219.unknown

_1281500646.unknown

_1281500667.unknown

_1281500813.unknown

_1281500253.unknown

_1281495869.unknown

_1281498511.unknown

_1281499304.unknown

_1281499902.unknown

_1281499960.unknown

_1281499764.unknown

_1281498995.unknown

_1281499012.unknown

_1281498961.unknown

_1281496986.unknown

_1281497245.unknown

_1281497791.unknown

_1281498257.unknown

_1281498319.unknown

_1281498356.unknown

_1281498070.unknown

_1281497356.unknown

_1281497146.unknown

_1281497163.unknown

_1281497007.unknown

_1281496879.unknown

_1281496900.unknown

_1281496531.unknown

_1280067730.unknown

_1280067749.unknown

_1280067765.unknown

_1280067741.unknown

_1280067645.unknown

_1280067721.unknown

_1279988680.unknown

_1279293075.unknown

_1279293726.unknown

_1279302209.unknown

_1279987176.unknown

_1279987857.unknown

_1279988330.unknown

_1279987198.unknown

_1279987352.unknown

_1279434567.unknown

_1279436346.unknown

_1279435131.unknown

_1279302210.unknown

_1279294196.unknown

_1279294383.unknown

_1279302124.unknown

_1279294364.unknown

_1279293943.unknown

_1279294056.unknown

_1279293924.unknown

_1279293432.unknown

_1279293585.unknown

_1279293648.unknown

_1279293543.unknown

_1279293348.unknown

_1279293367.unknown

_1279293339.unknown

_1279292758.unknown

_1279292827.unknown

_1279292917.unknown

_1279292993.unknown

_1279292842.unknown

_1279292784.unknown

_1279292818.unknown

_1279292774.unknown

_1279292274.unknown

_1279292575.unknown

_1279292742.unknown

_1279292524.unknown

_1279291634.unknown

_1279292029.unknown

_1279291508.unknown

_1279285720.unknown

_1279287022.unknown

_1279288769.unknown

_1279288806.unknown

_1279288824.unknown

_1279288794.unknown

_1279288691.unknown

_1279288739.unknown

_1279288641.unknown

_1279287796.unknown

_1279286648.unknown

_1279286906.unknown

_1279286987.unknown

_1279286758.unknown

_1279286084.unknown

_1279285782.unknown

_1279285973.unknown

_1279284468.unknown

_1279285476.unknown

_1279285549.unknown

_1279285658.unknown

_1279285523.unknown

_1279285366.unknown

_1279285451.unknown

_1279284898.unknown

_1279284268.unknown

_1279284293.unknown

_1279284456.unknown

_1279284286.unknown

_1279284158.unknown

_1279284179.unknown

_1279284139.unknown

_1277470208.unknown

_1277472932.unknown

_1277473454.unknown

_1279174207.unknown

_1279174306.unknown

_1279174492.unknown

_1279174533.unknown

_1279284076.unknown

_1279174515.unknown

_1279174466.unknown

_1279174249.unknown

_1279174276.unknown

_1279174222.unknown

_1279131427.unknown

_1279173584.unknown

_1279173940.unknown

_1279132104.unknown

_1279132369.unknown

_1277473505.unknown

_1277473549.unknown

_1279091230.unknown

_1277473629.unknown

_1277473536.unknown

_1277473478.unknown

_1277473235.unknown

_1277473341.unknown

_1277473372.unknown

_1277473399.unknown

_1277473354.unknown

_1277473296.unknown

_1277473324.unknown

_1277473271.unknown

_1277473170.unknown

_1277473209.unknown

_1277473223.unknown

_1277473189.unknown

_1277473001.unknown

_1277473064.unknown

_1277472982.unknown

_1277472453.unknown

_1277472686.unknown

_1277472818.unknown

_1277472872.unknown

_1277472911.unknown

_1277472846.unknown

_1277472758.unknown

_1277472780.unknown

_1277472718.unknown

_1277472560.unknown

_1277472621.unknown

_1277472657.unknown

_1277472608.unknown

_1277472518.unknown

_1277472544.unknown

_1277472471.unknown

_1277471223.unknown

_1277471619.unknown

_1277471730.unknown

_1277471765.unknown

_1277472301.unknown

_1277471716.unknown

_1277471337.unknown

_1277471562.unknown

_1277471250.unknown

_1277470641.unknown

_1277470995.unknown

_1277471090.unknown

_1277470984.unknown

_1277470434.unknown

_1277470533.unknown

_1277470377.unknown

_1226502117.unknown

_1277428228.unknown

_1277468794.unknown

_1277468887.unknown

_1277469908.unknown

_1277468879.unknown

_1277428358.unknown

_1277428374.unknown

_1277428237.unknown

_1277428008.unknown

_1277428085.unknown

_1277428204.unknown

_1277428062.unknown

_1226503071.unknown

_1277425680.unknown

_1277425823.unknown

_1226503520.unknown

_1226503909.unknown

_1226504192.unknown

_1226503156.unknown

_1226502911.unknown

_1226503007.unknown

_1226502852.unknown

_1226499817.unknown

_1226501352.unknown

_1226501966.unknown

_1226502059.unknown

_1226501754.unknown

_1226501077.unknown

_1226501161.unknown

_1226499868.unknown

_1226498776.unknown

_1226499192.unknown

_1226499533.unknown

_1226499140.unknown

_1226498277.unknown

_1226498645.unknown

_1226498186.unknown

_1201267583.unknown

_1201438454.unknown

_1201526553.unknown

_1226496640.unknown

_1226497080.unknown

_1226497847.unknown

_1226497897.unknown

_1226497296.unknown

_1226496931.unknown

_1226497027.unknown

_1226496845.unknown

_1201575582.unknown

_1226479614.unknown

_1226496195.unknown

_1226496222.unknown

_1226495733.unknown

_1223449567.unknown

_1223449697.unknown

_1223449794.unknown

_1223449793.unknown

_1223449683.unknown

_1201575793.unknown

_1223449556.unknown

_1201575714.unknown

_1201575360.unknown

_1201575552.unknown

_1201575566.unknown

_1201575458.unknown

_1201527086.unknown

_1201527158.unknown

_1201574340.unknown

_1201526726.unknown

_1201439430.unknown

_1201441000.unknown

_1201511288.unknown

_1201526154.unknown

_1201526198.unknown

_1201526215.unknown

_1201526239.unknown

_1201526172.unknown

_1201512476.unknown

_1201513136.unknown

_1201513181.unknown

_1201513062.unknown

_1201511955.unknown

_1201509474.unknown

_1201510050.unknown

_1201510560.unknown

_1201510005.unknown

_1201508814.unknown

_1201508901.unknown

_1201508417.unknown

_1201440624.unknown

_1201440949.unknown

_1201440963.unknown

_1201440936.unknown

_1201440237.unknown

_1201440470.unknown

_1201440093.unknown

_1201438992.unknown

_1201439172.unknown

_1201439270.unknown

_1201439062.unknown

_1201438861.unknown

_1201438887.unknown

_1201438849.unknown

_1201273404.unknown

_1201352116.unknown

_1201357839.unknown

_1201405906.unknown

_1201438054.unknown

_1201438214.unknown

_1201438390.unknown

_1201438099.unknown

_1201406021.unknown

_1201406175.unknown

_1201407056.unknown

_1201408021.unknown

_1201409774.unknown

_1201410460.unknown

_1201407937.unknown

_1201406201.unknown

_1201406067.unknown

_1201406144.unknown

_1201406046.unknown

_1201405945.unknown

_1201405978.unknown

_1201405931.unknown

_1201405383.unknown

_1201405632.unknown

_1201405714.unknown

_1201405760.unknown

_1201405687.unknown

_1201405551.unknown

_1201405592.unknown

_1201405498.unknown

_1201358309.unknown

_1201404829.unknown

_1201405060.unknown

_1201405107.unknown

_1201404926.unknown

_1201358634.unknown

_1201357942.unknown

_1201358071.unknown

_1201358116.unknown

_1201358050.unknown

_1201357919.unknown

_1201356323.unknown

_1201357252.unknown

_1201357606.unknown

_1201357724.unknown

_1201357771.unknown

_1201357626.unknown

_1201357510.unknown

_1201357532.unknown

_1201357330.unknown

_1201356718.unknown

_1201357025.unknown

_1201357081.unknown

_1201356964.unknown

_1201356525.unknown

_1201356631.unknown

_1201356463.unknown

_1201353997.unknown

_1201355213.unknown

_1201356220.unknown

_1201356267.unknown

_1201356172.unknown

_1201354741.unknown

_1201355034.unknown

_1201354640.unknown

_1201352792.unknown

_1201353755.unknown

_1201353836.unknown

_1201353631.unknown

_1201353689.unknown

_1201352869.unknown

_1201352521.unknown

_1201338895.unknown

_1201339857.unknown

_1201340173.unknown

_1201340309.unknown

_1201340439.unknown

_1201340256.unknown

_1201340025.unknown

_1201340108.unknown

_1201339930.unknown

_1201339047.unknown

_1201339675.unknown

_1201339798.unknown

_1201339139.unknown

_1201274717.unknown

_1201275491.unknown

_1201314324.unknown

_1201338679.unknown

_1201338755.unknown

_1201338797.unknown

_1201316431.unknown

_1201338595.unknown

_1201316417.unknown

_1201275734.unknown

_1201314218.unknown

_1201275676.unknown

_1201274839.unknown

_1201274962.unknown

_1201274753.unknown

_1201274135.unknown

_1201274544.unknown

_1201274620.unknown

_1201274507.unknown

_1201273972.unknown

_1201274068.unknown

_1201273804.unknown

_1201270613.unknown

_1201271311.unknown

_1201271940.unknown

_1201272653.unknown

_1201271832.unknown

_1201270989.unknown

_1201271177.unknown

_1201270749.unknown

_1201268249.unknown

_1201268814.unknown

_1201268819.unknown

_1201268764.unknown

_1201267842.unknown

_1201268162.unknown

_1201267638.unknown

_1201253061.unknown

_1201263665.unknown

_1201265693.unknown

_1201266261.unknown

_1201267312.unknown

_1201267414.unknown

_1201267191.unknown

_1201266094.unknown

_1201266244.unknown

_1201265811.unknown

_1201266047.unknown

_1201264954.unknown

_1201265575.unknown

_1201265641.unknown

_1201265077.unknown

_1201265443.unknown

_1201264085.unknown

_1201264720.unknown

_1201264154.unknown

_1201264669.unknown

_1201264010.unknown

_1201262552.unknown

_1201262870.unknown

_1201263423.unknown

_1201263106.unknown

_1201263209.unknown

_1201262708.unknown

_1201262770.unknown

_1201262566.unknown

_1201262648.unknown

_1201261988.unknown

_1201262466.unknown

_1201262236.unknown

_1201262348.unknown

_1201262177.unknown

_1201253164.unknown

_1201253271.unknown

_1201253095.unknown

_1201250952.unknown

_1201251955.unknown

_1201252486.unknown

_1201252883.unknown

_1201253008.unknown

_1201252666.unknown

_1201252183.unknown

_1201252304.unknown

_1201252052.unknown

_1201251421.unknown

_1201251681.unknown

_1201251750.unknown

_1201251508.unknown

_1201251177.unknown

_1201251402.unknown

_1201251053.unknown

_1201250370.unknown

_1201250748.unknown

_1201250791.unknown

_1201250886.unknown

_1201250773.unknown

_1201250540.unknown

_1201250613.unknown

_1201250462.unknown

_1201250196.unknown

_1201250300.unknown

_1201250350.unknown

_1201250298.unknown

_1201250016.unknown

_1201250085.unknown

_1201249980.unknown

_1201190915.unknown

_1201237559.unknown

_1201246588.unknown

_1201249099.unknown

_1201249636.unknown

_1201249873.unknown

_1201249926.unknown

_1201249946.unknown

_1201249898.unknown

_1201249804.unknown

_1201249852.unknown

_1201249769.unknown

_1201249293.unknown

_1201249390.unknown

_1201249491.unknown

_1201249375.unknown

_1201249150.unknown

_1201249243.unknown

_1201249009.unknown

_1201249039.unknown

_1201247167.unknown

_1201247699.unknown

_1201248631.unknown

_1201248670.unknown

_1201248787.unknown

_1201247827.unknown

_1201247275.unknown

_1201247071.unknown

_1201247124.unknown

_1201247009.unknown

_1201239637.unknown

_1201245343.unknown

_1201245801.unknown

_1201246360.unknown

_1201246459.unknown

_1201245824.unknown

_1201245629.unknown

_1201245754.unknown

_1201245486.unknown

_1201244871.unknown

_1201244980.unknown

_1201245236.unknown

_1201244915.unknown

_1201244787.unknown

_1201244810.unknown

_1201244648.unknown

_1201238094.unknown

_1201238422.unknown

_1201238582.unknown

_1201239506.unknown

_1201238453.unknown

_1201238295.unknown

_1201238382.unknown

_1201238229.unknown

_1201237619.unknown

_1201237687.unknown

_1201237738.unknown

_1201237631.unknown

_1201237591.unknown

_1201237603.unknown

_1201237578.unknown

_1201233091.unknown

_1201235685.unknown

_1201236624.unknown

_1201237214.unknown

_1201237347.unknown

_1201237452.unknown

_1201237482.unknown

_1201237381.unknown

_1201237253.unknown

_1201236857.unknown

_1201236919.unknown

_1201236943.unknown

_1201236904.unknown

_1201236830.unknown

_1201236089.unknown

_1201236210.unknown

_1201236400.unknown

_1201236589.unknown

_1201236545.unknown

_1201236274.unknown

_1201236150.unknown

_1201235974.unknown

_1201236064.unknown

_1201235925.unknown

_1201233807.unknown

_1201235484.unknown

_1201235579.unknown

_1201235609.unknown

_1201235524.unknown

_1201235319.unknown

_1201235364.unknown

_1201235186.unknown

_1201233556.unknown

_1201233661.unknown

_1201233806.unknown

_1201233642.unknown

_1201233303.unknown

_1201233482.unknown

_1201233233.unknown

_1201226697.unknown

_1201229795.unknown

_1201232278.unknown

_1201232481.unknown

_1201232812.unknown

_1201232933.unknown

_1201232526.unknown

_1201232340.unknown

_1201232454.unknown

_1201232298.unknown

_1201230322.unknown

_1201231882.unknown

_1201232103.unknown

_1201230974.unknown

_1201231113.unknown

_1201231792.unknown

_1201231080.unknown

_1201230888.unknown

_1201230166.unknown

_1201230226.unknown

_1201230095.unknown

_1201227913.unknown

_1201228804.unknown

_1201229544.unknown

_1201229633.unknown

_1201228880.unknown

_1201228157.unknown

_1201228474.unknown

_1201228038.unknown

_1201227271.unknown

_1201227536.unknown

_1201227573.unknown

_1201227375.unknown

_1201227019.unknown

_1201227121.unknown

_1201226802.unknown

_1201191307.unknown

_1201226622.unknown

_1201226651.unknown

_1201226670.unknown

_1201226630.unknown

_1201226541.unknown

_1201226610.unknown

_1201225393.unknown

_1201191154.unknown

_1201191252.unknown

_1201191265.unknown

_1201191204.unknown

_1201191081.unknown

_1201191119.unknown

_1201190979.unknown

_1201161899.unknown

_1201183469.unknown

_1201187646.unknown

_1201188572.unknown

_1201188850.unknown

_1201189749.unknown

_1201189957.unknown

_1201190457.unknown

_1201190536.unknown

_1201190204.unknown

_1201189850.unknown

_1201189282.unknown

_1201189492.unknown

_1201189163.unknown

_1201188703.unknown

_1201188779.unknown

_1201188629.unknown

_1201188072.unknown

_1201188351.unknown

_1201188477.unknown

_1201188323.unknown

_1201187930.unknown

_1201188071.unknown

_1201187832.unknown

_1201187876.unknown

_1201187671.unknown

_1201185396.unknown

_1201186456.unknown

_1201186732.unknown

_1201187291.unknown

_1201186677.unknown

_1201185724.unknown

_1201186071.unknown

_1201185409.unknown

_1201184440.unknown

_1201184741.unknown

_1201184981.unknown

_1201184944.unknown

_1201184507.unknown

_1201184587.unknown

_1201183866.unknown

_1201184173.unknown

_1201184174.unknown

_1201183887.unknown

_1201183724.unknown

_1201163739.unknown

_1201165387.unknown

_1201167015.unknown

_1201168139.unknown

_1201168252.unknown

_1201167632.unknown

_1201165586.unknown

_1201165690.unknown

_1201165486.unknown

_1201164896.unknown

_1201165099.unknown

_1201165354.unknown

_1201164968.unknown

_1201163947.unknown

_1201164000.unknown

_1201163833.unknown

_1201162812.unknown

_1201163240.unknown

_1201163406.unknown

_1201163457.unknown

_1201163395.unknown

_1201162905.unknown

_1201163163.unknown

_1201162868.unknown

_1201162400.unknown

_1201162564.unknown

_1201162648.unknown

_1201162509.unknown

_1201162147.unknown

_1201162268.unknown

_1201162097.unknown

_1201152859.unknown

_1201158824.unknown

_1201160101.unknown

_1201161238.unknown

_1201161386.unknown

_1201161673.unknown

_1201161250.unknown

_1201160380.unknown

_1201160768.unknown

_1201161096.unknown

_1201161162.unknown

_1201161084.unknown

_1201160594.unknown

_1201160269.unknown

_1201159223.unknown

_1201159823.unknown

_1201160038.unknown

_1201159353.unknown

_1201159075.unknown

_1201159141.unknown

_1201158998.unknown

_1201154126.unknown

_1201157166.unknown

_1201158088.unknown

_1201158648.unknown

_1201157985.unknown

_1201157534.unknown

_1201154423.unknown

_1201154791.unknown

_1201156898.unknown

_1201154628.unknown

_1201154256.unknown

_1201153124.unknown

_1201153781.unknown

_1201153880.unknown

_1201153747.unknown

_1201153178.unknown

_1201152959.unknown

_1201153059.unknown

_1201152902.unknown

_1201094325.unknown

_1201150162.unknown

_1201152475.unknown

_1201152553.unknown

_1201152722.unknown

_1201152504.unknown

_1201150379.unknown

_1201151067.unknown

_1201151210.unknown

_1201151313.unknown

_1201150469.unknown

_1201150290.unknown

_1201148412.unknown

_1201149508.unknown

_1201149822.unknown

_1201149929.unknown

_1201149359.unknown

_1201148250.unknown

_1201148343.unknown

_1201094432.unknown

_1201093431.unknown

_1201093704.unknown

_1201094278.unknown

_1201093572.unknown

_1201093481.unknown

_1201092305.unknown

_1201093021.unknown

_1201093143.unknown

_1201092549.unknown

_1200669855.unknown

_1201092194.unknown

_1201078852.unknown

_1200669654.unknown

folle_EcuaDiferenciales.doc

Documents

Transcript of folle_EcuaDiferenciales.doc