C u r s o: Fsica MencinMATERIAL: FM-03

CINEMTICA IITipos de movimientosi) Movimiento rectilneo uniforme(MRU): cuando un cuerpo se desplaza conrapidez constante a lo largo de unatrayectoria rectilnea, se dice que describeun MRU.Como ejemplo supongamos que unautomvil se desplaza por una carreterarecta y plana, y su velocmetro siempreindica una rapidez de 60 km/h, lo cualsignifica que: en 1 h el auto recorrer 60km, en 2 h recorrer 120 km, en 3 hrecorrer 180 km. Si estos datos losllevamos a un grfico de posicin v/stiempo, su comportamiento sera elsiguiente:

La ecuacin de la recta nos permitirencontrar la informacin de cada posicinde la partcula en el tiempo. Esta ecuacinse denomina ecuacin itinerario.Nota: la velocidad es constante, ya que lapendiente es nica. El signo de lavelocidad se debe respetar para el clculode desplazamientos.

x0 = posicin inicial

Si x0 = 0 (m), tenemos x(t) = v t,conocida como la expresin d = v t.A continuacin se mostrarn loscomportamientos de la velocidad yaceleracin en el tiempo para este tipo demovimiento:

Como la velocidad es constante, implicaque la aceleracin en un MRU siempre escero

ii) Movimiento rectilneo uniformementeacelerado: el movimiento con aceleracinms sencillo, es el rectilneo, en el cual lavelocidad cambia a razn constante, loque implica una aceleracin constante enel tiempo.Nota: Cuando el vector velocidad yaceleracin tienen distinto sentido e igualdireccin, el mvil disminuye su rapidez enel tiempo se dice que es un movimientoretardado.

x(m)

t(s)

x0pendiente = xt

= velocidad (v)

fig. 1

x(t) = x0 + v t

t(s)

pendiente = vt = aceleracin (a)

v(m/s)

fig. 2

a(m/s2)

t(s)fig. 3

a = 0 (m/s2)

Imaginemos un mvil estacionado en unaposicin x0 a la derecha del origen(posicin 0 m), l comienza a moverse enlnea recta, alejndose del origenaumentando su velocidad proporcional conel tiempo, lo cual implica que suaceleracin es constante. La situacinanterior representa un movimientorectilneo uniformemente acelerado, locual ser analizado grficamente:

La ecuacin de itinerario generalizadaesta representada por:

El comportamiento de la velocidad y laaceleracin en funcin del tiempo es elsiguiente:

De acuerdo a la figura 5, podemosdeterminar la velocidad instantnea queposee el mvil, encontrando la ecuacinde la recta:

El grfico de la figura 6 muestra laaceleracin que se obtiene del grfico dela figura 5.En la expresin generalizada para lavelocidad instantnea hay que tener encuenta la velocidad inicial v0:

Las ecuaciones anteriores sirven paramovimientos uniformemente acelerados,solo hay que poner cuidado con el signode velocidades y aceleraciones.Qu indica el rea bajo la curva enun grfico?

Analizando dimensionalmente, el rea(grfico x v/s t) genera una multiplicacinde posicin y tiempo, lo cual en cinemticano implica ningn concepto fsico.

x(t) = x0 + v0 t + 12 a t2

v(m/s)

t(s)fig. 5

a(m/s2)

t(s)fig. 6

v(t) = a t

v(t) = v0 + a t

x(m)

t(s)fig. 7

tt

v0

v1

t(s)

v(m/s)

fig. 8

x(m)

t(s)fig. 4

x0

El clculo del rea (grfico v v/s t) generauna multiplicacin de velocidad y tiempo,con lo cul podemos obtener la distanciarecorrida en un intervalo de tiempodeterminado, para el cul hay que tomarel valor absoluto del rea a calcular.Tambin se puede obtener desplazamientototal teniendo en cuenta el signo.

Con el grfico de la figura 8, podemosdemostrar la ecuacin de itinerario de unmovimiento rectilneo uniformementeacelerado, para la cual tomaremos comoposicin inicial el origen (x0 = 0 m).Calculando el rea (trapecio) en intervalode tiempo t, tenemos:

rea = rearectngulo + reatringulo = reatrapecioen la cual se obtiene lo siguiente:

rea = v0 t + 12 (v1 v0) t

Utilizando un recurso matemtico,multiplicaremos por el neutromultiplicativo la expresin del rea deltringulo:

rea = v0 t + 12 (v1 v0) t tt

rea = x(t) = v0 t + 12 1 0(v v )t t2

El clculo del rea genera unamultiplicacin entre aceleracin y tiempo,con lo cual se puede obtener la variacinde velocidad (respetando los signos).

Como analizar la velocidadinstantnea en un grfico x v/s t?

Las pendientes de las rectas tangentes ent1 y t2, es un indicador de la velocidadinstantnea en los respectivos instantes detiempo. Con esto logramos verificar que larapidez de la partcula va aumentando enel sentido positivo. Con esta tcnicapodemos analizar un problema desde elpunto de vista cualitativo.Las relaciones necesarias para losejercicios de cinemtica, son lassiguientes:

x(m)

t1

fig. 10

t2 t(s)

1

x(t) = v0 t + 12 a t2

a(m/s2)

t(s)fig. 9

A) x(t) = x0 + v0 t 12 a t2

B) v = v0 a tC) v2 = 20v 2 a dD) Vm = d / tE) Vm = (V0 + V) / 2F) d / t = (V0 + V) / 2

A continuacin veremos los distintos tiposde proporcionalidad que se dan en lasecuaciones que se ven en las cienciasfsicas, es de mucha ayuda para lacomprensin de los conceptos entendercmo se relacionan las variables.

Proporcionalidad Directa

Si dos variables, x e y, cumplen quey = kx donde k es una constante, entonces

se dice que x e y son directamenteproporcionales y al graficar los distintosvalores que toman estas variables seobtiene el siguiente grfico:

Un ejemplo de esto en fsica es:Cuando se aplican distintas fuerzas sobreuna misma masa la relacin entre estasvariables es:

si m es constante la fuerza y la aceleracinson directamente proporcionales, porejemplo si se duplica la fuerza entoncestambin se duplica la aceleracin.

Proporcionalidad InversaEn este caso las variables cumplen quex y = k, con k constante y se dice que xe y son inversamente proporcionales, algraficar los distintos valores que tomanestas variables se tiene el siguientegrfico:

Un ejemplo de esto en fsica es:Un mvil que debe recorrer una mismadistancia (d) con rapideces distintas (v)usamos la relacin d = v t, donde d esconstante y la rapidez es inversamenteproporcional al tiempo. Como la distanciaes constante cuando el mvil recorra conuna velocidad mayor entonces la otravariable que es el tiempo disminuir.

Proporcionalidad al CuadradoAqu una de las variables esta elevada alcuadrado y la relacin entre estasvariables puede ser de la forma y = ax2donde, a es constante, en este casodecimos que y es proporcional al cuadradode x otra forma de decirlo es que y esdirectamente proporcional al cuadrado dex. Cuando estamos en esta situacin lafigura, que se obtiene al graficar losvalores que toman las variables x e y, es:

Es decir una lnea recta que pasa por elorigen. Se observa que a medida quecrece la variable x tambin aumenta lavariable y en la misma medida.

Se observa que si una variable aumentala otra disminuye o viceversa, la curvacorresponde a una hiprbola.

x

y

fig. 11

F = m a

x

y

fig. 12

Un ejemplo de esto en fsica es:La relacin entre la energa cintica (EC) yla velocidad (v). La ecuacin que lasrelaciona es la siguiente:

donde 1/2 m es constante. En estaexpresin si la velocidad se duplicaentonces la energa cintica secuadruplica, o si v disminuye a la mitadentonces EC disminuye a la cuarta parte,etc.

Proporcionalidad Inversa al CuadradoEsta situacin se da cuando la relacinentre las variables es de la forma y = 2

kx

donde k es constante, se dice que y esinversamente proporcional al cuadrado dex. Si se tienen distintos valores de x e y algraficarlos obtendremos lo siguiente:

Un ejemplo de esto en fsica es:La famosa Ley de la Gravitacin Universaldonde se muestra la forma en que seatraen dos masas. Por ejemplo laatraccin entre la Tierra (m1) y el Sol(m2), la relacin es la siguiente:

donde el producto G m1 m2 esconstante. Si la distancia entre amboscuerpos celestes fuese la mitad de laactual, entonces la fuerza de atraccinentre ambos sera 4 veces mayor de loque es ahora.

Aqu tambin como en el caso dela proporcionalidad inversa si una de lasvariables crece la otra disminuye perocomo una de las variables esta elevada alcuadrado, la variable x, si esta crece aldoble por ejemplo, la variable ydisminuye a la cuarta parte.

La curva corresponde a una parbola,cuando una de las variables se duplica (x)la otra se cuadruplica (y).

x

y

fig. 13 fig. 14x

y

EC = 12 m v2

F = G 1 22m md

EJEMPLOS

1. El viaje de una hormiga que se movi en lnea recta dur 40 s. Las posiciones de lahormiga se muestran en el grfico de la figura 15. Cul es la distancia total recorridapor la hormiga?

A) 120 mB) 80 mC) 40 mD) 20 mE) 4 m

2. Para un vehculo que estuvo viajando a lo largo de una carretera rectilnea, durante unintervalo de tiempo se registraron distintos valores de velocidad, tal como se aprecia enel grafico que muestra la figura 16. De la observacin del grfico es correcto decir que

A) la relacin entre la velocidad y el tiempo transcurrido es una proporcionalidad.inversa.

B) el mvil estuvo regresando a su posicin inicial.C) a medida que el tiempo transcurra la distancia viajada iba aumentando.D) el desplazamiento total fue cero.E) el mvil no experimento aceleracin.

3. Para una elefanta que viajaba en forma muy apresurada se registraron los valores develocidad versus el tiempo transcurrido que se muestran en el grfico de la figura 17.Considerando que la elefanta viaj en lnea recta, es correcto decir que la distanciatotal viajada por la elefanta fue de

A) 30 mB) 100 mC) 200 mD) 220 mE) 320 m

fig. 15t(s)

x(m)

0 40

4

20

t(s)

v(m/s)

0fig. 16

fig. 17t(s)

v(m/s)

120

30

2

10

PROBLEMAS DE SELECCIN MLTIPLE

1. En cul de los siguientes grficos es correcto asegurar que la rapidez inicial es cero?I) II) III)

A) solo en I.B) solo en II.C) solo en III.D) solo en I y II.E) en todos ellos.

2. Un auto viaja por un largo y recto camino, los valores de su velocidad fuerongraficados, tal como se aprecia en la figura 18. Del grfico es correcto afirmar que

A) es posible obtener el desplazamiento.B) el auto comenz a viajar en sentido opuesto a los 6 s.C) durante todo el trayecto mantuvo constante el valor de su aceleracin.D) el vehculo primero se aleja y luego regresa, al punto de partida.E) la magnitud de su aceleracin fue mayor entre los 6 y los 10 s.

3. Se muestra un grfico de velocidad versus tiempo (ver figura 19), con datos tomadosde una nave espacial en los primeros segundos del despegue desde Tierra, a partir del es correcto afirmar que

A) mantuvo una aceleracin constante de mdulo P/Q.B) a medida que el tiempo pasaba su aceleracin

aumentaba.C) para conocer qu distancia recorri falta conocer su

posicin inicial.D) en Q segundos el mdulo de su velocidad creci desde R

hasta P.E) la distancia recorrida fue (P R) Q.

x(m)

t(s)

v(m/s)

t(s)

a(m/s2)

t(s)

fig. 180

v(m/s)

10 t(s)

25

6

fig. 19

v

t

P

QR

4. Respecto al grfico de rapidez versus tiempo que se muestra en la figura 20, construidocon los datos obtenidos de un auto en movimiento, es correcto afirmar que el auto

A) estuvo detenido en los primeros 20 s.B) la aceleracin entre los 20 s y los 40 s duplica la aceleracin que tiene al inicio.C) estuvo aumentando su aceleracin en los 20 s finales.D) su aceleracin entre los 20 s y los 40 s fue 0,5 m/s2.E) la distancia total recorrida fue de 300 m.

5. Al verse enfrentado al grfico de velocidad versus tiempo como el que muestra lafigura 21, es correcto deducir que la aceleracin media hasta los 30 s es

A) 0,5 m/s2B) 2,0 m/s2C) 15,0 m/s2D) 30,0 m/s2E) 110,0 m/s2

6. Una moto se desplaz por un camino recto y las posiciones que ocup versus el tiempose muestran en el grfico de la figura 22, respecto a este vehculo se afirma que

I) la distancia viajada hasta los 12 s es 90 m.II) hubo dos tramos de su trayectoria, donde estuvo detenido.III) hubo dos tramos de su trayectoria donde la velocidad aument

uniformemente.

De estas afirmaciones es (son) falsa(s)

A) solo I.B) solo II.C) solo III.D) solo I y II.E) solo I y III.

fig. 21t(s)

v(m/s)

30

15

fig. 22

0

x(m)

12 t(s)

60

1044

24

304

fig. 20t(s)

v(m/s)

400

20

10

20

7. La figura 23 muestra el comportamiento de la posicin que tuvo una persona al caminarpor una carretera larga y rectilnea. Gracias al grfico es correcto afirmar que

A) la persona camin en total 48 km.B) a las 4 h de caminata comienza a devolverse.C) el desplazamiento neto de la persona fue de 12 km.D) tuvo aceleracin positiva al inicio y aceleracin negativa al final.E) la velocidad media para todo el trayecto fue de magnitud 3 m/s.

8. Dos vehculos, X e Y, parten desde un mismo punto de una carretera larga y rectilnea,movindose en el mismo sentido. De acuerdo al grfico es correcto que

A) ambos tienen la misma aceleracin media a los 10 s.B) a los 20 s la velocidad de ambos es la misma.C) el movimiento de X corresponde a un MRUA.D) el mvil Y hasta los 20 s tiene aceleracin constante.E) X e Y recorren igual distancia hasta los 20 s.

9. El grfico de la figura 26 muestra la velocidad versus tiempo para dos cuerpos, M y N,en el se aprecian dos rectas paralelas, basndonos en el grfico es correcto decir que larapidez media

A) es la misma para ambos cuerpos.B) es mayor en N.C) vale 50 m/s para M y 30 m/s para N.D) vale 35 para M y 15 para N.E) no es posible calcularla.

x (km)

4 8 t(h)fig. 24

12

0 20

5

fig. 25

a(m/s2)

t(s)

X

Y

50

20

t(s)

v(m/s)

38fig. 26

30

0

M

N

10. La distancia total recorrida por un cuerpo, cuya posicin en funcin del tiempo semuestra en el grfico de la figura 27, corresponde a

A) A + BB) (A + B) / (C + D + E)C) A BD) A + 2BE) 2B A

11. Una moto se mueve de modo que su posicin vara de acuerdo a lo indicado en elgrfico de la figura 28, de acuerdo a esto la velocidad media entre los 0 s y los 16 stiene un valor igual a

A) 0 m/sB) (20/16) m/sC) (80/16) m/sD) 10 m/sE) 20 m/s

12. Un camin se mueve de tal forma que su velocidad est dada por la expresinv = 4 + 5t, de acuerdo a esto el grfico que muestra en forma correcta la velocidaddel camin en funcin del tiempo es

A) B) C)

D) E)

t(s)

x(m)

fig. 27A

B

0 C D E

x(m)

t(s)164

20

fig. 28120

v

t

v

t

v

t

v

t

v

t

13. Una persona avanza en bicicleta por un carretera rectilnea, otra persona anota losdatos de velocidad versus el tiempo para el ciclista, con el grfico obtenido es correctoafirmar que

A) a los 5 s dej de acelerar.B) invierte el sentido de su movimiento a los 5 s.C) el signo de su aceleracin no cambia.D) recorre mayor distancia en los primeros 5 s que de 5 a 10 s.E) el mdulo de la velocidad media es igual a su rapidez media.

14. Dos mviles estn viajando por una camino recto. Los datos de sus velocidadesrespectivas se muestran en el grfico de la figura 30, de l se concluye que

I) los dos tienen igual desplazamiento hasta los 10 s.II) P tiene aceleracin positiva y la de Q es negativa.III) ambos mviles se mueven en el mismo sentido.

Es (son) falsa(s)

A) solo I.B) solo II.C) solo III.D) solo I y II.E) I, II y III.

v(m/s)

t(s)0 5 10

6

fig. 29

v(m/s)

t(s)0

-5

10

5

fig. 30

P

Q

15. De acuerdo al grfico posicin tiempo que se muestra en la figura 31, correspondientea un vehculo deportivo que se desplazaba en lnea recta por una carretera asfaltada,es correcto afirmar que

A) la aceleracin del auto cambi de signo a los 5 s.B) el desplazamiento total fue de 60 m.C) la distancia total recorrida fue de 60 m.D) a los 5 s el auto cambia el sentido de su movimiento.E) la aceleracin del mvil, en m/s2, fue de 1/6.

CLAVES DE LOS EJEMPLOS

1 E 2 C 3 D

DMDOFM-03

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v(m/s)

t(s)0 5 10

30

fig. 31-30