Universidad Carlos III de Madrid Departamento de Mecnica de Medios Continuos y Teora de Estructuras Ingeniera Industrial Proyecto Fin de Carrera Anlisis preliminar del comportamiento dinmico de un ala en rgimen subsnico mediante la teora elemental de vigas Autor: Javier Lara Luque. Tutor: Enrique Barbero Pozuelo Jos Fernndez Sez . Universidad Carlos III de Madrid Proyecto Fin de Carrera 1 INDICE 1.INTRODUCCIN2 1.1 Motivacin3 1.2 Objetivo general4 1.3 Descripcin 5

2.ANTECEDENTES6 2.1 Problemasaeroelsticos7 2.2 Aeroelasticidad14 2.3 Flutter17 3.FORMULACIN DEL PROBLEMA Y SU SOLUCIN. 19 3.1 Ecuaciones del movimiento21 3.2 Mtodos de resolucin del problema29 3.3 Mtodo de resolucin aplicado al problema35 4.RESULTADO NUMRICO 53 4.1 Validacin del mtodo60 5.INFLUENCIA DE LAS DIFERENTES VARIABLES65 6.CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS69 6.1 Conclusiones 69 6.2 Trabajos futuros70 7.BIBLIOGRAFA71 ANEXO73 Universidad Carlos III de Madrid Proyecto Fin de Carrera 2 1. INTRODUCCIN Enestedocumento,setratarelestudiodelaestabilidaddeunadelaspartes ms crticas de una aeronave, las alas, siendo fundamentales para el funcionamiento del avin. Este estudio es extensible a estructuras enlas que su funcionamiento se basa en la velocidad del aire, como pueden ser los aerogeneradores, o que se vean influenciadas por el viento y su estructura deba soportar los esfuerzos aerodinmicos generados, como por ejemplo en las chimeneasyen los puentes. La inestabilidad se produce al alcanzar una velocidad crtica que provoca la inestabilidad estructural del ala. Esta inestabilidad se produce porque la frecuencia de excitacin toma el valor de la frecuencia natural del sistema, provocando la resonancia en la estructura.El modelo estructural se realizar mediante la suposicin del ala como una viga en voladizo con tres grados de libertad. El empotramiento de esta viga es el fuselaje de la nave. Los tres grados de libertad son el desplazamiento vertical, la curvatura del ala y la rotacin del ala con respecto al fuselaje del avin. La metodologa de resolucin del problematratadoeslautilizacindeelementosfinitos,usandoelmtododeGalerkin. Estemtodoempleafuncionesdefinidasatrozosquesatisfacenlascondicionesde contornodeproblemaencadaextremodelasfunciones.Sedefinirnotrogrupode funcionesyserealizarelmismoestudio.Seprobarnycompararnlosresultadosde los dos grupos de funciones, definidas en el mtodo de Galerkin y el grupo de funciones de un grado mayor. Evaluadalacomparacindelosresultadosobtenidosconlosgruposde funciones, se escoger el grupo de funciones con menor error relativo sobre la solucin exacta y se estudiar el comportamiento del sistema con la variacin de los parmetros principalesdelproblema.Conlavariacindelosparmetrosprincipalesdelproblema se estudiar la influencia de stos en la solucin final. Universidad Carlos III de Madrid Proyecto Fin de Carrera 3 1.1MOTIVACIN Paraestudiosdondelaresolucindelproblemasuponeunclculo computacionalmuygrande,esimportanterealizarunaprimeraaproximacin.Enesa primera aproximacin, lo que se pretende es simplificar lo mximo posible el problema paralaobtencindeundatoorientativodelasolucinreal.Lostrminosincluidosen lasecuacionesdebensersuficientementesignificativosparanoserdespreciados,pero sinperderlanocindelobjetivofinal,queesobtenerunareferenciaelocuenteconel valor real. Enelcasoquesetrataenestedocumento,esaprimerasimplificacinesla utilizacindelateoraelementaldevigasparaelanlisisestructuraldel comportamientodinmicodeunala.Elalaseencuentrasometidaaacciones aerodinmicascorrespondientesaunrgimensubsnico.Seconsideratambinuna geometrabsicadelalayseestudiarnlainfluenciadelosparmetroscaractersticos en la respuesta del problema. Universidad Carlos III de Madrid Proyecto Fin de Carrera 4 1.2OBJETIVO GENERAL En el presente documento se realizar un estudio del fenmeno de flutter para un ala de una aeronave, con la determinacin de la velocidad (velocidad crtica) a la que se producedichofenmeno.Paraello,seconsiderarelalacomounperfilestructuralen voladizo para su estudio, utilizando las propiedades fsicas de un ala convencionaly la teora fundamental de vigas.Para la geometra del ala se utilizarn los elementos finitos, permitiendo obtener unasolucinaproximadadelcuerpodeestudioyelresultadodelproblema.Parael mtododeGalerkin,queeselmtododeelementosfinitosqueseutilizar,sedebe definir el grupo de funciones que cumplen las condiciones de contorno del problema. Paraconcluirelestudio,secomprobarnlasvariablesfsicasdelalaqueson influyentes en el resultado final del problema analizado. Universidad Carlos III de Madrid Proyecto Fin de Carrera 5 1.3DESCRIPCIN Para el estudio matemtico del problema, se utilizarn los elementos finitos. En concreto,elmtodoautilizareselmtododeGalerkin,definiendofuncionesque cumplanlascondicionesdecontornodelproblemainicial.Seutilizarndosgruposde funciones para aplicar el mtodo y poder discutir con que funciones el error cometido es menor.Paraelprimergrupodefunciones,sedefinirnlasfuncionesatrozos, cumpliendoencadaextremolascondicionesdecontornodelproblemainicial.Enel segundogrupodefunciones,seescogenfuncionesdeungradomayorparaquese puedan cumplir dichas condiciones. Al obtener los grupos de funciones, se aplica al problema tratado para obtener la solucin aproximada. Se comparar con el valor de la solucin exacta y ver con cul de los dos grupos de funciones el error cometido es menor. Paraterminar,elescogernlaspropiedadesfsicasmsimportantesparael problemaysevercmoafectalavariacindesuvaloralresultadofinalparala obtencin de la velocidad crtica que provoca el fenmeno de flutter. Universidad Carlos III de Madrid Proyecto Fin de Carrera 6 2ANTECEDENTES Laaeroelasticidadesladisciplinadelaingenieraaeronuticaqueestudiala respuestadevehculosflexiblessometidosaaccionesexternasaerodinmicasy,enel casodeaeronaves,requiereelacoplamientodefuerzasinerciales,estructurales, aerodinmicas. La aproximacin clsica considera modelos lineales, algo que puede no serciertoendeterminadascondiciones:nolinealidadesestructuralesporholgurao friccin en la rotacin de las superficies de control, movimiento del combustible en los depsitos,desprendimientodecorriente,flujotransnicooleyesdevuelonolineales quedependendelacondicindevuelo.Lasnolinealidadesprovocaninestabilidades aeroelsticas que no predicen los modelos lineales, como oscilaciones de ciclo lmite o respuesta crtica,y que tienen influenciaen la vida en fatiga de los materiales oen las cualidades de vuelo de la aeronave. Universidad Carlos III de Madrid Proyecto Fin de Carrera 7 2.1PROBLEMASAEROELSTICOS Labsquedadelaoptimizacindelosdiseosprovocaquesetiendaala disminucin del peso del avin. Para llevar a cabo esta optimizacin se debe realizar, en primerlugar,unestudioexhaustivodelasinestabilidadesaeroelsticas,comolas vibracionesylasustentacinnecesaria,debenserincluidasantesdeltestdevuelo inicial. Laaeroelasticidadeslacienciaqueanalizalainteraccinmutuaentrela aerodinmica y las estructuras dinmicas de un sistema en movimiento como vehculos aeroespaciales. Debido a que las estructuras de las naves no son totalmente rgidas, las deformaciones que sufre provocan que cambien las fuerzas aerodinmicas a las que est sometido. Algunos ejemplos de problemas aeroelsticos de naves aeroespaciales son las fluctuaciones del ala de vehculos espaciales, los ciclos lmites de oscilacin de aviones de combate con depsitos exteriores, el plano vertical amortiguado de las colas gemelas enloscazas,lainteraccindinmicadeunhelicpteroydesusaspas,elcontroldel armnico superior del aspa del rotor de un helicptero Elproblemafsicoaeroelsticoeslainteraccinentreunfluido,elaire,yla estructuradelavin.Elproblemamatemticoquesuponeelestudioaeroelsticoesla relacinexistenteentrecomplejasiteracionesmatemticasylascorrespondientes expresionesdelasdisciplinasfsicasutilizadas.Lasdisciplinasfsicasqueseestudian enestecasosonladinmicadefluidosalrededordelairepegadoalvehculoyla dinmicaestructuraldeloscuerposqueformalanave.Uncaminoparasolucionarel problemaaeroelsticoescombinartodosloscasosdelasdisciplinasfsicasy matemticas en un problema nico. A continuacin, se van a exponer unos conceptos bsicos de la aerodinmica en la que se fundamenta la aeroelasticidad. Un fluido se define por su compresibilidad y su viscosidad. Siendo los parmetros de velocidad del fluido que se utilizan en este estudio menores que la propagacin del sonido, la variacin de la densidad del fluido provocada por el movimiento de un cuerpo dentro del flujo se puede despreciar. No considerar esta Universidad Carlos III de Madrid Proyecto Fin de Carrera 8 variacindeladensidadhacequesepuedetomarcomoincompresibleelfluidode estudio. Al ser de naturaleza gaseosa el fluido, la interaccin del entre el flujo de aire y el cuerpo slido se realiza en una fina capa, denominada capa lmite. La capa lmite es dondeseproducelavariacindelavelocidaddelreposohastael99%delavelocidad delmovimientodentrodelfluido.Debidoaquefueradelacapalmitenohay variacionesdeladensidad,noexistenlosefectosdelaviscosidad.Portanto,se considera al fluido no viscoso. Al ser un fluido no viscoso, se considera que el fluido es ideal. Figura 2.1: Seccin transversal con la distribucin de velocidades y fuerzas Ahora considrese un ala de avin cuya seccin trasversal, que se muestra en la figura2.1,essometidaaunamasadeaireenmovimiento.Laspartculasdelairese movern,tantoporlapartesuperiorcomoporlaparteinferiordelperfil.Debidoal diseo de la seccin transversal del ala, la masa de aire que se desplaza por debajo del perfiltienemenorvelocidad.DeacuerdoalteoremadeBernoulli,enunfluidoen movimiento la suma de la presin y la energa cintica del fluido en un punto cualquiera permanececonstante.ElteoremadeBernoulliseexpresadelasiguienteforma considerando que no hay potencial gravitatorio del fluido (2.1) Universidad Carlos III de Madrid Proyecto Fin de Carrera 9 Como se muestra en la figura 2.1 y teniendo en cuenta la ecuacin de Bernoulli, ladiferenciadepresionesenlaseccindelalaproduceunafuerzaenelsentido ascendente.Se denomina a P la presin esttica y a la presin dinmica. Sepuedeafirmarqueenunfluidoenmovimientoeslasumadelapresin esttica y la dinmica, denominada presin total, es constante (2.2) Comosemuestraenlafigura2.1,existirndosregionescuyadiferenciade velocidad induciendo una diferencia de presiones estticas que provocar una fuerza de origenaerodinmicoquedepender,primeramente,delageometradelcuerpoysu posicin con respecto a la normal del rea transversal del flujo.La geometra del cuerpo es la seccin transversal de un tipo de ala convencional, dondelacuerdacsemantieneconstantealolargodetodalalongituddelala.La posicin respecto al flujo de aire se recoge en el ngulo de ataque del ala definida por . A continuacin, se muestra en la siguiente figura 2.2 las partes de la seccin transversal de un ala Figura 2.1: Partes de la seccin transversal de un ala. Siendo la descripcin de cada parte la siguiente: 1.La lnea de cuerda es una lnea recta que une el borde de ataque y el borde de fuga del perfil. Universidad Carlos III de Madrid Proyecto Fin de Carrera 10 2.Lacuerdaeslalongituddelalneaanterior.Todaslasdimensionesdelos perfiles se miden en trminos de la cuerda. 3.La lnea de curvatura media es la lnea media entre el extrads y el intrads. 4.Curvatura mxima es la distancia mxima entre la lnea de curvatura media y lalneadecuerda.Laposicindelacurvaturamximaesimportanteenla determinacin de las caractersticas aerodinmicas de un perfil. 5.Espesor mximo es la distancia mxima entre la superficie superior e inferior (extradseintrads).Lalocalizacindelespesormximotambines importante. 6.Radiodelbordedeataqueesunamedidadelafilamientodelbordede ataque. Puede variar desde 0, para perfiles supersnicos afilados, hasta un 2 por 100 (de la cuerda) para perfiles ms bien achatados. Para el caso de un fluido y un flujo real, la fuerza depender de la densidad del fluido , su viscosidad , la velocidad v, su comprensibilidad y de las caractersticas no estacionarias del mismo. En el caso que el fluido de estudio sea ideal,depender de la densidad, de la velocidady de las caractersticas no estacionarias,ya que la viscosidad setomacomoconstanteylacompresibilidadseconsideranula.Lascaractersticasdel flujo no estacionarias se pueden expresar con una frecuencia w. En el caso de un fluido real,apartedelestudiodelafrecuenciasedebetenerunparmetroparala compresibilidad en el estudio no estacionario [7]. Silavelocidaddepropagacindelsonidosedenotaporx,entonces,paraun flujo de un fluido compresible, la fuerza experimentada por un cuerpo slido depender de las variables siguientes: Para un caso prctico, se considera que un ala experimenta dos componentes de fuerzas y una componente del momento, que son: -Levantamientoosustentacin(L)eslafuerzageneradasobreuncuerpoquese desplaza a travs un fluido, de direccin perpendicular a la de la velocidad de la corriente incidente. -Resistencia al avance (D) fuerza que sufre un cuerpo al moverse a travs del aire en la direccin de la velocidad relativa entre el aire y el cuerpo. La resistencia es siempre de sentido opuesto a dicha velocidad, por lo que habitualmente se dice de ella que es la fuerza que se opone al avance de un cuerpo a travs del aire. Universidad Carlos III de Madrid Proyecto Fin de Carrera 11 -Momento(Ma)momentoalrededordeunejeperpendiculartantoaladireccin demovimientocomoalvectorsustentacin,positivositiendeaelevarlanariz del avin. Los tres coeficientes principales de un perfil y/o del ala son: CL: coeficiente de sustentacin. CD: coeficiente de resistencia al avance. CMa: coeficiente de movimiento aerodinmico. Para el estudio bidimensional aerodinmico, se suele trabajar con los esfuerzos, fuerzasymomentos,porunidaddelongituddelacuerdadelala.CL,CD,CMason funciones del Nmero de Reynolds (R=), al nmero de Mach , siendo X la velocidaddelsonido,ylafrecuenciareducidadelsistema,laformadelcuerpoyla posicindelcuerpoconrespectoalflujo.Paraunperfiltransversaldeunala,la posicinsedescribeporlainclinacinentreladireccindelvientoylacuerda, formando un ngulo denotado por y conocido como ngulo de ataque. Figura 2.2: Coeficiente de sustentacin en funcin del ngulo de ataque Universidad Carlos III de Madrid Proyecto Fin de Carrera 12 En el flujo estable de un fluido ideal, los coeficientes nicamente dependen del nmero de Reynolds y del ngulo de ataque. La Figura 2.3 muestra la curva que define elcoeficienteCLenfuncindelngulodeataque.Paraestecoeficiente,enningn momentodependedelvalorquetomeelnmerodeReynolds.Parangulosdeataque pequeos,CLseincrementalinealmente.Laconstanteproporcionalsellamapendiente delacurvadesustentacin,sedenotaporayesprcticamenteindependientedel nmerodeReynolds.Segnvaaumentandoelvalorde,elvalordelcoeficientede sustentacin alcanza un valor crtico que es el mximo de CL. A partir de este valor de elcoeficientedesustentacindecrece,definindoseestapartecomodesplomedel coeficiente. Tambin se debe considerar el centro de presiones. Dicho centro se denomina al puntotericodelaladondeseconsideraaplicadatodalafuerzadesustentacin.La figura 2.4 muestra un ejemplo de la distribucin de presiones sobre un perfil dentro de un fluido. A efectos tericos, aunque la presin acta sobre todo el perfil, se considera quetodalafuerzadesustentacinseejercesobreunpuntoenlalneadelacuerda (resultante). Figura 2.3: Centro de presiones La posicin del centro de presiones se suele dar en tanto por ciento de la cuerda delalaapartirdelbordedeataque.Amedidaqueaumentaodisminuyeelngulode ataquesemodificaladistribucindepresionesalrededordelperfil,desplazndoseel centrodepresiones,dentrodeunoslmites,haciaadelanteoatrsrespectivamente. Universidad Carlos III de Madrid Proyecto Fin de Carrera 13 El margen de desplazamiento suele estar entre el 25%y el 60% de lacuerda,y puesto que afecta a la estabilidad de la aeronave es conveniente que sea el menor posible. Figura 2.4: Limites del centro de presiones Universidad Carlos III de Madrid Proyecto Fin de Carrera 14 2.2AEROELASTICIDAD Laaeroelasticidadeselestudiodelainteraccinmutuaqueocurredentrodel tringulodelasfuerzasinerciales,elsticasyaerodinmicasactuandosobremiembros estructuralesexpuestosaunacorrientedeaire,ylainfluenciadeesteestudioenel diseo.Diferentesestructuraspuedenllegaradesarrollardeformacioneselsticasmuy grandeseinclusooscilacionesqueproduceelfalloestructuralparaciertosrangosde velocidades de viento. La falla del Puente del Estrecho de Tacoma es un ejemplo de una oscilacin aeroelstica.Si la velocidad del vientoyel modoy la frecuencia de la oscilacin estructural son tales que la energa del viento puede ser absorbida por la estructura, las vibraciones enlaestructuraseatenan.Silaenergaabsorbidaesmayorqueladisipadaporel amortiguamientoestructural,seguiraumentandolaamplituddelaoscilaciny finalmente colapsar la estructura. Por lo tanto, predecir la velocidad de viento crtica a la cual la estructura puede volverse aeroelsticamente inestable es el objetivo principal para los diseadores para evitar los fallos estructurales. Dentrodelaaeroelasticidad,existendiferentesfenmenosquesecaracterizan por una o ms interacciones de fuerzas o grados de libertad. Paraunasuperficiedesustentacin,elproblemacentraleselefectodela deformacinelstica.Avelocidadesdevuelobajas,lasdeformacionessonmnimasy norepresentanunpeligrorealparaelfalloestructural,sinembargo,avelocidades mayores,elefectodedichasdeformacionespuedenvolverseimportantesdetalgrado como para causar la inestabilidad del ala, convirtiendo la superficie de control inefectiva e incluso invirtiendo el sentido de los mandos. Suponiendounaladelalongitudinfinitacuyaseccintrasversalesconstante. EnelpuntoO,dondesedesacoplaelmomentotorsordelflector,sesitaunresorte simulando la restriccin torsional debida a la elasticidad del ala. Se asumir adems que elresorteeslineal,porloqueelmomentotorsionalesdirectamenteproporcionalal ngulodegiro.Inicialmente,lalneadesustentacinnulodelperfilcoincideconla Universidad Carlos III de Madrid Proyecto Fin de Carrera 15 direccin de un flujo no perturbado, es decir, se parte de un ngulo de ataque nulo. Si el perfil gira un ngulo como un cuerpo slido, entonces, la restriccin elstica permitir que el ala sea flexionada un ngulo adicional, cuyo propsito esalcanzar la posicin de equilibrio del ala debido al flujo con la velocidad v. Laaccinaerodinmicaenelperfilpuedeserrepresentadaporunvectorque actaatravsdelcentroaerodinmicoyunmomentoalrededordelmismopunto.Se describeladistanciadelcentroaerodinmicoalejedelresortedetorsincomoel producto ec, donde c es la longitud de la cuerda y e el factor de excentricidad del centro aerodinmico (positivo si el resorte se encuentra detrs del centro aerodinmico). Parangulosdeataquepequeos,elcoeficientedesustentacinCLes proporcional al ngulo de ataque, mientras que el coeficiente de momento alrededor del centro aerodinmico CMC.a prcticamente no depende de l. De aqu que, el esfuerzo de sustentaciny el momento por unidad de longitud que actan en la seccin transversal del perfil sean, respectivamente (2.3) . Donde a es la pendiente de la curva de sustentacin. El momento aerodinmico por unidad de longitud alrededor del punto O es: .. (2.4) Tambin,cuandoelsistemaseencuentraenequilibrio,elmomento aerodinmicoescompensadoporelmomentoelsticoderestauracin.SiKesla constantedelmuelle,elmomentoelsticoderestauracinporunidaddelongitud correspondiente al ngulo de giro es K. Igualando lo expuesto anteriormente con la ecuacin 2.3 y resolviendo para , se obtiene (2.5) Paraunvalordediferentedecero,elnguloaumentarcuandolapresin dinmicaseincremente.Paraelcasoenelqueqseatangrandequeeldenominador Universidad Carlos III de Madrid Proyecto Fin de Carrera 16 tienda a cero, se vuelve indeterminado y el perfil diverge. De aqu que la condicin de divergencia sea 0(2.6) Sielalafueramuyrgida,elvalorKtiendeaunvalorinfinitoy,portanto,el valor del ngulo sea nulo. Se puede deducir que la presin dinmica de divergencia y la velocidad a la que se produce la inestabilidad son (2.7) (2.8) Larelacindelngulodeataquetotalenequilibrio,+,deunaalaelstica respecto a un ala rgida es, de acuerdo con 1.4 y 1.6, (2.9) Para el caso cuando q tiende a qdiv, la deflexin del ala elstica tiende a ser muy grande, provocando el desplome. Universidad Carlos III de Madrid Proyecto Fin de Carrera 17 2.3FLUTTER Eltrminodeanlisisdeflutterdefineelproblemadelanlisisdinmicodela estabilidadaeroelstica.Seconsideraunalaenvoladizosituadaenuntneldelviento siendo el ngulo de ataque del ala pequeo. Cuando no hay flujo en el tnel de viento y se le induce una perturbacin mediante un pequeo impacto, el modelo tendr una cierta oscilacinqueseramortiguadagradualmente.Alintroduciruncaudaldeaire,la relacindeamortiguamientocambiarsuvaloryalaumentarlavelocidaddelviento, estarelacinseincrementar.Anaumentadolarelacin,elamortiguamiento disminuyerpidamente.Estosesigueproduciendohastaunavelocidadenlaquelas oscilacionesmantienenlaamplitudporsisolas.Aestavelocidadsedenominala velocidadcrticadeflutter.Aunavelocidadmayordelaindicada,cualquierpequea perturbacin que se produzca en el ala, produce que las oscilaciones en el ala aumenten enamplitudexperimentandounfallocatastrfico.Alasoscilacionesinestablesquese producen es lo que se denomina flutter. Para un ala en voladizo, el fenmeno de flutter se producir a cualquier velocidad superior a la crtica. Elmovimientooscilatoriodeunalaexperimentandofluttertienecomponentesde torsinydeflexin.Unalacuyarigidezslopermiteelgradodelibertaddebidaa flexin, no se provocara el fenmeno de flutter. Un ala en el que nicamente se tuviera elgradodelibertaddebidoatorsinexperimentarelfenmenodefluttersiemprey cuandoelngulodeataqueestprximoalngulodedesplomeoquesetengauna distribucindemasayunalocalizacindelejeelsticoespeciales.Enelala,la deformacinelsticaquedadefinidapordosvalores:ladeflexindelpuntode referencia y el ngulo de giro. Debidoaquenormalmente,elfenmenodeflutterproducedostiposde vibracionessuacoplamiento:unasvibracionesdebidasalosmodosdevibracinde flexin y otro tipo de vibraciones causadas por los modos de vibracin de torsin. En un alaenvoladizo,elejeelsticoesperpendicularalfuselajedelavin,considerndose que se encuentra fijo en el espacio.La deformacin del ala se puede calcular mediante el clculo de la deflexin y el ngulo de giro de rotacin a lo largo del eje elstico. La Universidad Carlos III de Madrid Proyecto Fin de Carrera 18 deflexinseconsiderapositivahaciaabajoyelngulodegiroseconsiderapositivo hacia arriba. La deformacin a lo largo de la cuerda del ala se despreciar.

Universidad Carlos III de Madrid Proyecto Fin de Carrera 19 3FORMULACIN DEL PROBLEMA Y SU SOLUCIN. Enelcasoquesevaaestudiar,seconsideralacombinacindelasvibraciones debidas a momentos flectores y torsores simultneamente, que se producen en el ala de un avin al estar sometido a un flujo de aire continuo en rgimen subsnico. Se realiza unestudiodelaestabilidaddelsistemayaspoderdeducirlafrecuencianaturaldel sistema.Esteestudiodeestabilidadsebasaenlabsquedadelavelocidaddeflujode aire que induce al sistema una frecuencia hasta alcanzar la velocidad crtica a la que se provocaunavibracinconlafrecuencianaturalqueprovocalainestabilidaddel sistema. Se comienza definiendolos ejes que se toman como referencia mostrados en la figura3.1.Setomaelejexcoincidenteconelejeelstico,parapoderdesacoplarel momentoflectordeltorsor,yaqueelejeelsticoesellugargeomtricodondeuna fuerza genera un momento flector y un momento genera un momento torsor puro. El eje deinerciasedefinecomoellugargeomtricodelcentrodemasadelaseccin transversal.Paracomenzar,sedefinenlasdosvariablessobrelasqueserealizanlos clculos, w(x,t), siendo el desplazamiento que sufre el eje elstico en el eje z; y (x,t), es la rotacin en torno al eje elstico. Siendo w positivo si el desplazamiento es hacia abajo y es positivo si el borde de ataque es hacia arriba.La nicarelacin que existe entre doslostiposdemomentos,y,portanto,nosepuedendesacoplarcompletamente, provocalaexistenciadelmomentomsicoestticosobreelejeelsticodebidoala distanciaqueseparaelejeelsticodelejedeinercia.Elnguloestreferenciadoal ngulo local de ataque. A continuacin, se muestra una figura 3.1 donde se especifican tanto las partes del ala como los ejes de referencia [2] Universidad Carlos III de Madrid Proyecto Fin de Carrera 20 Figura 3.1: Seccin transversal y esfuerzos a los que est sometida Figura 3.2: Localizacin del eje x, eje elstico y eje de inercia U Eje de inercia Eje elstico x Universidad Carlos III de Madrid Proyecto Fin de Carrera 3.1ECUACIONES DEL MOVIMIENTO Enprimerlugar,seobtendrnlasecuacionesquegobiernanelproblema, considerandolaestructuracomo(flector y torsor) que sufre la viga, se obtendr una ecuacin del movimiento en funcin dewy.Lasfuncionesquedescribeneldesplazamiento una de ellas del tiempo t y de la posicin Acontinuacin,seobtienelaecuacinquedefineelmovimientodebidoalos esfuerzostransversalesqueseproducen.Enlasiguientefiguraesfuerzos a los que est sometido uFigura 3.3: Esfuerzos flectores en un elemento diferencial de una viga Siendostaunelementodiferencialdeunavigadonde flector, V(x,t) es el esfuerzo cortante, y a la viga.La fuerza de inercia que acta en el elemento diferencial de la viga

Universidad Carlos III de Madrid Proyecto Fin de Carrera ECUACIONES DEL MOVIMIENTO Enprimerlugar,seobtendrnlasecuacionesquegobiernanelproblema, considerandolaestructuracomounavigaenvoladizo.Paracadatipodemomento (flector y torsor) que sufre la viga, se obtendr una ecuacin del movimiento en funcin .Lasfuncionesquedescribeneldesplazamientowyelgiroy de la posicin x con respecto al empotramiento del ala.Acontinuacin,seobtienelaecuacinquedefineelmovimientodebidoalos esfuerzostransversalesqueseproducen.Enlasiguientefigura3.3,semuestranlos esfuerzos a los que est sometido un elemento diferencial de la viga [5]. .3: Esfuerzos flectores en un elemento diferencial de una vigaSiendostaunelementodiferencialdeunavigadondeM(x,t)es el esfuerzo cortante, y f(x,t) es la fuerza externa por unidad de longitud La fuerza de inercia que acta en el elemento diferencial de la viga

2222) , () , ( ) (tt xmy t xtwdx x A Universidad Carlos III de Madrid Proyecto Fin de Carrera 21 Enprimerlugar,seobtendrnlasecuacionesquegobiernanelproblema, unavigaenvoladizo.Paracadatipodemomento (flector y torsor) que sufre la viga, se obtendr una ecuacin del movimiento en funcin dependencada con respecto al empotramiento del ala. Acontinuacin,seobtienelaecuacinquedefineelmovimientodebidoalos ,semuestranlos . .3: Esfuerzos flectores en un elemento diferencial de una viga M(x,t)eselmomento es la fuerza externa por unidad de longitud La fuerza de inercia que acta en el elemento diferencial de la viga (3.1) Universidad Carlos III de Madrid Proyecto Fin de Carrera 22 Donde es la densidad de la viga y A(x) es la seccin transversal de la viga. La expresin mycorresponde al momento msico esttico por unidad de longitud debido a que no coincide el eje elstico con el eje de inercia. Debido a esto, y se define como la distancia que existe entre el eje elstico y el eje de inerciaLa ecuacin de las fuerzas en la direccin del eje z se expresa como 2222) , () , ( ) ( ) , ( ) (tt xmy t xtwdx x A V dx t x f dV V= + + + (3.2) Laecuacin del momento flector a lo largo del eje y en el punto O de lafigura anterior 3.3 es la siguiente (3.3) Despreciandolostrminosquecontenganpotenciascuadradasendxy escribiendo de forma diferencial dV y dM, obtenemos la siguiente expresin: (3.4) (3.5) (3.6) Deestaltimaigualdad3.6,seobtienequeV=M/x;ysustituyendoenla ecuacin 3.5 (3.7) De la teora elemental de vigas a flexin, tambin conocido como la ecuacin de Euler-Bernoulli,larelacinentreelmomentoflectoryeldesplazamientosepuede expresar de la siguiente forma 02) , ( ) ( ) ( = + + + Mdxdx t x f dx dQ Q dM MdxxMdM dxxVdV==2222) , () , ( ) ( ) , () , (tt xmy t xtwx A t x fxt x V= +0 ) , () , (= t x Vxt x M222222) , () , ( ) ( ) , () , (tt xmy t xtwx A t x fxt x M= +Universidad Carlos III de Madrid Proyecto Fin de Carrera , (44xx wEI DondeEeselmdulodeYoungy transversal de la viga sobreel eje Sustituyendo la ecuacin 2.8 en la 2.7, se obtiene la ecuacin del movimiento producido por las fuerzas de vibracin lateral para una viga Comoelcasoquesevaatratareseldeunavigauniforme,elrea, momentodeinerciadelaviga,unidad de longitud, la ecuacin se reduce a

Siendounaecuacinenderivadasparcialesenfuncindeladistanciaal empotramiento y el tiempo transcurrido de la aplicacin de la carga exterior.Serealizaelmismoprocedimimovimientodebidoalmomentotorsorquesufrelaviga.Separtedeunelemento diferencialdelavigasometidoaesfuerzosexternos,quesemuestraenlasiguiente figuraFigura 3.4: Esfuerzos a torsin en un ) (222wx EIx

Universidad Carlos III de Madrid Proyecto Fin de Carrera ) , () , ( ) , ( ) ,2222t x ftt xmytt x wmt=++

eselmdulodeYoungyI(x)eselmomentodeinerciadelaseccin transversal de la viga sobreel eje y, que su producto es la rigidez a flexin de la viga. Sustituyendo la ecuacin 2.8 en la 2.7, se obtiene la ecuacin del movimiento producido por las fuerzas de vibracin lateral para una viga Comoelcasoquesevaatratareseldeunavigauniforme,elrea, momentodeinerciadelaviga,I(x),sonconstantesysabiendoqueAunidad de longitud, la ecuacin se reduce a

Siendounaecuacinenderivadasparcialesenfuncindeladistanciaal empotramiento y el tiempo transcurrido de la aplicacin de la carga exterior.Serealizaelmismoprocedimientoparalaobtencindelaecuacindel movimientodebidoalmomentotorsorquesufrelaviga.Separtedeunelemento diferencialdelavigasometidoaesfuerzosexternos,quesemuestraenlasiguiente .4: Esfuerzos a torsin en un elemento diferencial de una viga.) , ( ) ( ) , (22t xxwx EI t x M=() , ( ) , () () , (22222ftt xmytt x wx Axt x w=++((Universidad Carlos III de Madrid Proyecto Fin de Carrera 23 (3.8) eselmomentodeinerciadelaseccin es la rigidez a flexin de la viga. Sustituyendo la ecuacin 2.8 en la 2.7, se obtiene la ecuacin del movimiento producido (3.9) Comoelcasoquesevaatratareseldeunavigauniforme,elrea,A(x),yel Aeslamasapor (3.10) Siendounaecuacinenderivadasparcialesenfuncindeladistanciaal empotramiento y el tiempo transcurrido de la aplicacin de la carga exterior. entoparalaobtencindelaecuacindel movimientodebidoalmomentotorsorquesufrelaviga.Separtedeunelemento diferencialdelavigasometidoaesfuerzosexternos,quesemuestraenlasiguiente elemento diferencial de una viga. ) , ( t xUniversidad Carlos III de Madrid Proyecto Fin de Carrera 24 Seobtienelaecuacindelmovimientoaligualarlosmomentos torsoresquese generan en ambas caras del elemento diferencial de la viga sobre el eje elstico (3.11) Siendo I el momento msico de inercia polar de la viga por unidad de longitud para la seccin transversa. Como ocurre en el caso anterior, el desacoplamiento entre los momentosflectoresytorsoresprovocaqueseincluyaenlaecuacineltrmino correspondiente al momento msico esttico por unidad de longitud.La relacin entre el desplazamiento angular y el momento torsor viene dado por la siguiente igualdad (3.12) Siendo G el mdulo a cortadura y J(x) es el momento de inercia polar, siendo su productolarigidezatorsindeunaviga.SeescribedMtdelasiguienteformayse sustituye en la ecuacin 3.11, junto con la igualdad 3.12 dxxMdMtt= (3.13) 2222) , ( ) , () ( ) , () , () (tt x wmytt xx I t x fxt xx GJx += +((

(3.14) Como la seccin transversal de la vigaes constante, J(x) e I(x) son constantes, quedando la ecuacin anterior de la siguiente forma ) , () , ( ) , ( ) , (222222t x ftt xItt x wmyxt xGJ =++ (3.15) Obtenidas las ecuaciones 3.10 y 3.15 que rigen el desplazamiento y el giro de la seccin transversal del ala debido a su rigidez, a continuacin se exponen los esfuerzos 2222) , ( ) , () , ( ) (tt x wmytt xdx I M dx t x f dM Mt t t+= + + xt xx GJ dx t x Mt=) , () ( ) , (Universidad Carlos III de Madrid Proyecto Fin de Carrera 25 aerodinmicos a los que est sometida el ala. Estos esfuerzos son los de sustentaciny elmomentoaerodinmicogeneradodependiendodelavelocidadydeladeformacin instantnea. Se define L como las fuerzas de sustentacin y M el momento aerodinmico ((

++|||

\|||

\| ++ =2222222028 4 43 12 t UactwUct cyCUctwUC CddCcULL (3.16) )`||

\|+ ++((

||

\| ++ ||

\| + =2223222220 0 2216 81843 14116 2t UcatwUact cyUctwUC Ccyt UcddCcUML (3.17) Estas dos expresiones son las ecuaciones 3.16 y 3.17 que definen el movimiento debidos a la fuerza de sustentacin y al momento aerodinmico. Los trminos asociados alasegundaderivadatantodewcomorepresentanlosefectosdelamasaaparente (masa adicional debido al arrastre de masa de aire por el ala). Como la densidad del aire esmuchomenorqueladensidaddelqueestcompuestoelala,sepuedendespreciar estos trminos en el anlisis. La derivada d dCL/ , donde CL es el coeficiente local de sustentacin, se toma como un valor constante, debido a que el valor terico es 2 para un fluido incompresible y su valor experimental es muy cercano a este valor terico. C representalafuncindeTheodorsen,quecorrespondeaunafuncindevalores complejos dependiente de la frecuencia reducida del sistema, y por tanto, se ve afectada por los movimientos del alay las fuerzas aerodinmicas aplicadas.Los valores de esta funcin son empricos y, por tanto, se encuentran sus valores en tablas pero, una buena aproximacin a estos valores, se representa mediante la siguiente ecuacin [9] ((

++((

++ =2 2 2 2 2 222 22) 3 . 0 (335 . 0 3 . 0) 0455 . 0 (0455 . 0 165 . 0) 3 . 0 (335 . 0) 0455 . 0 (165 . 01 ) (kkkkikkkkk C (3.18) Donde k es la frecuencia reducida. Para este caso, se toma como valor constante lafuncindeTheodorseneiguala1laparterealeiguala0laparteimaginaria,para cualquier valor de la frecuencia reducida. Con estas dos condiciones, se exponen las ecuaciones de la fuerza y el momento de sustentacin que se producen en el ala [1] Universidad Carlos III de Madrid Proyecto Fin de Carrera 26 ((

||

\| ++ =t cyUctwU ddCcULL0243 12(3.19) )`((

||

\| ++ ||

\| +=t cyUctwU cyt UcddCcUML0 0 2243 14116 2 (3.20) Portanto,seigualanlasecuaciones3.10y3.15quedefinenlasresistenciasal movimientodebidasalaestructuradelalaylosesfuerzosalosqueestsometiday escriben de la siguiente forma 043 12) , ( ) , ( ) , (02222244=((

||

\| ++ ++++t cyUctwU ddCcUtt xmytt x wmxt x wEILsiendo 0