FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

5/20/2018 FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

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HIDRAULICA FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

INGENIERIA AGRICOLA Pgina 2

I. INTRODUCCION

El Flujo gradualmente variado (F. G. V.) es un flujo permanente cuya profundidad

(calado o tirante) vara suavemente a lo largo del eje de un canal. En consecuencia,

la velocidad vara de una seccin a otra. A diferencia de lo que ocurre en el

movimiento uniforme, en el que las pendientes del fondo, de la superficie libre y de la

lnea de energa son iguales, en el movimiento gradualmente variado estas tres

pendientes son diferentes.

El movimiento uniforme se da pocas veces en la naturaleza. No ocurre ni aun en los

canales hechos por el hombre, en los que el flujo slo se aproxima al movimiento

uniforme. Lo real es que a lo largo de una conduccin abierta (canal) hay cambios de

pendiente, seccin, rugosidad y alineamiento que determinan la aparicin de un

movimiento, que siendo permanente no es uniforme. Es variado. En este captulo

examinaremos el caso particular del flujo gradualmente variado.

La teora del movimiento gradualmente variado empez a desarrollarse en 1828 con

los estudios de Belanger y recin est completndose. Siguiendo a Ven Te Chow se

presenta a continuacin los aspectos generales del flujo gradualmente variado (F. G.

V.). La hiptesis general para el estudio del flujo gradualmente variado es la siguiente:

La prdida de carga en una seccin es la misma que correspondera a un flujo uniforme que

tuviese la misma velocidad y radio hidrulico que la seccin mencionada.

La aceptacin de esta hiptesis implica que las frmulas del flujo uniforme (Manning,

Chezy, etc.) Pueden usarse para calcular la pendiente de la lnea de energa en una

seccin de un movimiento gradualmente variado. Adems de la hiptesis general es

necesario hacer otras. Las principales son las siguientes:

a) La distribucin de presiones en cada seccin transversal es hidrosttica. Esto

implica un flujo paralelo. Para que esta hiptesis no se aleje de la realidad se

requiere que la variacin del tirante sea efectivamente gradual (suave) y, en

consecuencia, la curvatura debe ser pequea. Cuando el radio de curvatura de

la superficie libre es pequeo, menor que el tirante, ya el movimiento no es

gradualmente variado, sino rpidamente variado. Cuando las lneas de

corriente tienen curvatura, la distribucin de presiones se diferencia de la del

movimiento uniforme y debera ser como aparece en la Figura 01


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FLUJO CONVEXO FLUJO CONCAVO

FLUJO UNIFORME

Figura 01 : Distribucin de presiones en diferentes tipos de flujo

En cambio, en un movimiento uniforme la distribucin de presiones es

hidrosttica, tal como se aprecia en la Figura Este tipo de flujo se llama

paralelo. Las lneas de corriente no tienen curvatura y por lo tanto no hay

componentes de la aceleracin normales a la direccin de la corriente.

Los flujos convexos y cncavos son curvilneos. Hay una aceleracin normal a

la direccin de la corriente. Si el flujo fuera paralelo la distribucin de presiones

correspondera a la lnea MP. En cambio, en el flujo convexo la fuerza

centrfuga acta en sentido contrario a la gravedad y la presin resultante es

menor que la correspondiente al flujo uniforme. En el flujo cncavo ocurre lo

contrario, tal como puede verse en la Figura 01

b) canal es prismtico. Esto significa que el canal tiene una seccin transversalgeomtrica definida (rectngulo, trapecio, tringulo, etc.) y que su alineamiento

es recto. Un ro no es un canal prismtico.

c) El coeficiente de rugosidad es constante a lo largo del escurrimiento e

independiente del tirante.

d) La distribucin de velocidades es invariable, lo que significa que el coeficiente

de Coriolis es constante, es el mismo, en todas las secciones transversales a

pesar de que la velocidad media vara.

e) La pendiente del canal es pequea, de modo que


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1. La profundidad es la misma, sea que se considere una vertical o la

normal al fondo del canal.

2. No se considera aire incorporado. Cuando la pendiente es grande la alta

velocidad da lugar a que el agua atrape aire, incorporndolo al

escurrimiento y producindose, ventualmente, un aumento del tirante.

Este fenmeno se presenta generalmente para velocidades mayores de 6

m/s.

En una canal de pendiente grande se tendra la siguiente expresin de la

presin en un punto de la corriente.

y

y cos2 y cos

Figura 02 Presin en un punto de la corriente.

Cuando la pendiente se supone pequea desaparecen los problemas de aire

incorporado y, adems, la profundidad a considerarse es la misma, ya sea que

se mida vertical o normalmente al fondo.

f) El factor de seccin Z y el factor de capacidad K son funciones exponenciales

delirante.

El factor de seccin Z se define de la siguiente manera:

..(1)siendo d =A/ T , de ac que el factor de seccin pueda tambin expresarse as

..(2)A es el rea de la seccin transversal y Tes el ancho superficial.

Para la definicin del factor de capacidad K hay que recordar que en el clculo

del movimiento uniforme pueden usarse las expresiones genricas siguientes


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.(3)

.(4)

Tanto en la ecuacin de Manning como en la de Chezy el exponente de la

pendiente Ses 1/2. Luego

..(5)Se denomina K, factor de capacidad, a la expresin CAR X. En consecuencia

.(6)

Como K es directamente proporcional al gasto se considera que es una medida

de la capacidad de conduccin de la seccin transversal. De la ltima

expresin se deduce inmediatamente que

.(7)Adems

(8)Si se utiliza la ecuacin de Chezy, entonces

(9)Si se utiliza la ecuacin de Manning

..(10)1.1. OBJETIVOS

Entender el comportamiento del flujo gradualmente variado e identificar

correctamente los perfiles de flujo que se pueden representar en canales

1.2. APLICACIONES


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El flujo gradualmente variado se refiere a un flujo permanente cuya profundidad

vara gradualmente en la direccin del canal, de tal manera que las lneas de

corriente son rectas y prcticamente paralelas y por lo mismo, la distribucin

hidrosttica de presiones prevalece en cada seccin.

El anlisis del perfil del flujo gradualmente variado es un procedimiento

utilizado para predecir el comportamiento general. Esto capacita al ingeniero

para determinar anticipadamente los perfiles de flujo que llegan a ocurrir en el

diseo de un canal dado. Dicho procedimiento constituye una parte muy

significante de todos los problemas de diseo de canales para un flujo

gradualmente variado.

II. FUNDAMENTO TEORICO

2.1 DEFINICIONES FUNDAMENTALES

Cuando en una corriente el tirante est determinado exclusivamente por el

gasto, pendiente, rugosidad y geometra de la seccin se dice que hay

condiciones normales. El tirante se denomina normal ( n y ).

En un canal, o ro, pueden presentarse ciertas singularidades que alteran el

tirante normal (y por lo tanto la velocidad media de la corriente).

As por el ejemplo, cuando se construye un vertedero en un canal, o una presa

en un ro, la corriente se eleva y por lo tanto se aparta de las condiciones

normales. Su tirante se hace mayor que el normal. Si esa variacin de tirante

no es brusca se genera un movimiento gradualmente variado. A este caso

particular se le llama una corriente peraltada porque su tirante es mayor que el

normal. Aguas arriba de la presa o vertedero aparece una curva de remanso,

(Figura 3).

Podra ser tambin que en un canal o ro haya una cada brusca. En el plano

de la cada la energa es mnima, y en sus inmediaciones hay un tirante crtico.El ro que viene de aguas arriba con un tirante normal disminuye su tirante para


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aproximarse al crtico. Aparece as una corriente deprimida porque el tirante es

menor que el tirante normal, tal como se ve en la Figura 3.

Eje hidrulico

Y

vertedero

Yn Yn Y Yc

Corriente peraltada y > yn Corriente deprimida y < yn

Figura 3 Corriente peraltada y corriente deprimida

Hay muchas otras formas en las que puede generarse un movimiento

gradualmente variado. Cuando un canal o ro desemboca en el mar, las

mareas producen alternadamente corrientes peraltadas y deprimidas. Tambin

un cambio de pendiente da lugar a una curva de empalme, entre los

respectivos tirantes normales, producindose as un movimiento gradualmente

variado.

Antes de establecer la ecuacin del movimiento gradualmente variadoconviene precisar otras definiciones.

Ros y torrentes. Esta es una clasificacin que se refiere a la corriente. En un

ro, el tirante (del movimiento gradualmente variado) es mayor que el crtico. En

cambio, en un torrente es menor.

Yc Y Y Yc

Ro ( y> yc) Torrente ( y < yc)

Figura 4 Ros y torrentes

En un ro la velocidad de propagacin de una onda superficial es menor que la

velocidad media de la corriente. Lo contrario ocurre en los torrentes. Por lo


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tanto, los ros dependen de las condiciones de aguas abajo. En cambio los

torrentes no dependen de las condiciones de aguas abajo.

Pendientes suaves y fuertes. Esta es una clasificacin que se refiere al

lecho. Son pendientes suaves los lechos en los que el tirante normal es mayor

que el crtico. Son pendientes fuertes los lechos en los que el tirante normal es

menor que el crtico.

A las pendientes suaves se les denomina tambin tipo M, del ingles mild, y a

las pendientes fuertes, tipo S, del ingles steep.

Yn Yc

Yc Yn

Pendiente suave (tipo M) yn> yc Pendiente fuerte (tipo S) yn< yc

Figura 5 Pendientes suaves y fuertes

Son pendientes suaves los lechos que en movimiento uniforme dan ros ypendientes fuertes los que dan torrentes.

Si vara la rugosidad del contorno, conservndose constantes las otras

caractersticas, un lecho de pendiente suave puede convertirse en fuerte, o

viceversa.

Ntese que fuera del movimiento uniforme, en cualquier clase de pendiente

(fuerte o suave), puede escurrir un ro o un torrente.

La pendiente crtica es la que separa las pendientes suaves de las fuertes y da

escurrimiento crtico en movimiento uniforme.

Zonas

En funcin de la posicin relativa (magnitud) que tiene el tirante crtico yc , el

normal yn, as como el del movimiento gradualmente variado y, se distingue

tres zonas:

Zona 1 ,


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El tirante del movimiento gradualmente variado y es mayor que el tirante crtico

y tambin es mayor que el tirante normal.

Zona 2,

El tirante del movimiento gradualmente variado y est comprendido entre elcrtico y el normal.

Zona 3 , El tirante del movimiento gradualmente variado y es menor que el tirante crtico

y tambin es menor que el tirante normal.

2.2 ECUACION GENERAL DEL FLUJO PERMANENTE GRADUALMENTE

VARIADO

Sea una seccin longitudinal cualquiera de un movimiento permanente

gradualmente variado, que se presenta en un canal prismtico con gasto

constante Q, tal como se aprecia en la Figura 6. La energa total Hes

..(11)

Estamos suponiendo que el coeficiente de Coriolis es igual a 1 y que la

pendiente del fondo es pequea.

(1)

V2/2g (2)

SELnea de Energa

HY SW

Superficie Libre

S0 Fondo

dx X

Figura 6 Movimiento gradualmente variado


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La variacin de esta energa a lo largo del canal es

siendo xla ordenada en la direccin de la corriente. Derivando la energa totalH con respecto a xse tiene

La pendiente S0del fondo se define como el seno del ngulo .

La pendiente SEde la lnea de energa se obtiene a partir de la ecuacin de

Chezy o de la de Manning.

La pendiente se asume como positiva si desciende en la direccin del flujo y

como negativa si asciende en la direccin del flujo. La variacin de energa H

es siempre negativa en la direccin del flujo, pues lo contrario implicara que se

aadiese energa al sistema. La variacin de la elevacin del fondo zpuede

ser positiva o negativa. En la Figura 6 , z es negativa. Como ambas

pendientes deben ser positivas, pues descienden en la direccin de

escurrimiento, se tendr que

Luego

Pero

es la energa especfica E Por lo tanto:


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Pero, sabemos que

Luego, combinando las dos ltimas ecuaciones se obtiene

que es una de las formas de la ecuacin general del movimiento gradualmentevariado. Como el cuadrado del nmero de Froude es

Se tiene que

Vamos a hacer algunas transformaciones en esta ecuacin, a fin de introducirel factor de capacidad ( K ) y el factor de seccin ( Z ).

Segn la definicin de factor de capacidad para cualquier seccin del F. G. V.

Y para un flujo uniforme

Luego

Segn la definicin de factor de seccin para cualquier seccin


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Segn la definicin de factor de seccin para condiciones criticas

Esta ltima expresin se obtiene a partir de la consideracin de que para

condiciones crticas el nmero de Froude es igual a 1, por lo tanto

Luego

[ ]

Introduciendo en la ecuacin 8-16 los valores obtenidos para K y Z se llega a

[ ] [ ]

que es otra de las formas de la ecuacin general del movimiento permanente

gradualmente variado.

Las ecuaciones de movimiento gradualmente variado, 15, 17 y 18 representan

la variacin de la superficie libre con respecto al fondo del canal.

Aplicacin a una seccin rectangular muy ancha

Si usamos la frmula de Manning (10) se tiene

para condiciones normales para cualquier seccin del F. G. V.

para flujo crtico


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para cualquier seccin del F. G. V. Reemplazando estos valores en la ecuacin general (17) se obtiene

[ ]

[ ]

que es la ecuacin de eje hidrulico para un canal rectangular muy ancho

(frmula de Manning) en movimiento gradualmente variado.

Si hubiramos usado la ecuacin de Chezy (9), entonces la ecuacin general

del movimiento gradualmente variado sera

[ ]

[ ]

Si el coeficiente de Coriolis no fuese igual a la unidad, habramos tenido que

introducir su valor (constante) en la ecuacin (11) y proseguir con el desarrollo.

La ecuacin general del movimiento gradualmente variado tambin puede

expresarse as

[ ]

[ ]

siendo Qel gasto del movimiento gradualmente variado, Qnes el gasto para un

flujo normal cuyo tirante yfuese igual al del flujo gradualmente variado, QCes

el gasto crtico para una profundidad y.

Mediante algunas sencillas transformaciones puede obtenerse para el F. G. V.

la siguiente ecuacin


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siendo d, el tirante hidrulico T/A

2.3 TIPOS DE FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

2.3.1 FLUJO VARIADO RETARDADO

Se presenta cuando la velocidad del flujo disminuye, y por ende aumenta la

profundidad en el sentido de la corriente.

2.3.2 FLUJO VARIADO ACELERADO

Se presenta cuando la velocidad del flujo aumenta, y por ende disminuye la

profundidad en el sentido de la corriente.

A continuacin se presenta grficamente los perfiles de flujo resultantes en los

diversos casos.


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Los ejemplos en los cuales ocurre flujo gradualmente variado son muy

diversos. A continuacin se presentan tan solo algunos de los ms usuales

para canales de pendiente suave (mild slope) y fuerte (steep slope).


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Otros ejemplos de perfiles de flujo gradualmente variado para canales de

pendiente crtica, horizontal y adversa respectivamente son:

2.4 PERFIL ENTORNO A UNA COMPUERTA DE FONDO EN CANAL

INFINITAMENTE LARGO.

Sea una compuerta de fondo ubicada en un canal de longitud infinita, para la

cual se realiza la hiptesis de que el flujo no disipa energa en su pasaje a

travs de ella.

La geometra y rugosidad del canal son conocidas, as como el caudal

circulante. El problema radica en conocer el perfil del flujo en la zona afectada

por la presencia de la compuerta, ante distintas posiciones que la misma

adopta.

En principio se analizarn dos casos, pudiendo los restantes ser deducidos en

funcin de este anlisis:

a) Canal de pendiente fuerte

b) Canal de pendiente suave

Caso a


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En el canal de pendiente fuerte el tirante normal es inferior al tirante crtico.

Aguas arriba de la compuerta el flujo viene con tirante normal dada la longitud

infinita del canal, en funcin de lo cual solo tiene sentido analizar las posiciones

de la compuerta con aberturas menores al tirante normal.

La configuracin resultante en este caso es un perfil S3 aguas abajo de la

compuerta, uniendo el tirante que coincide con la abertura de la compuerta con

el tirante normal. Aguas arriba de la compuerta ocurre un resalto entre el tirante

normal y su conjugado para cambiar el rgimen y luego un perfil S1 desde el

conjugado del tirante normal hasta el alterno de la abertura de la compuerta,

que resulta ser el tirante inmediatamente aguas arriba de la aquella.

Caso b

En el canal de pendiente suave el tirante normal es mayor que el tirante crtico.

Nuevamente aguas arriba de la compuerta el flujo viene con tirante normal

dada la longitud infinita del canal, por lo que ahora tiene sentido analizar las

posiciones de la compuerta con aberturas entre el tirante normal y el tirante

crtico y con aberturas menores al tirante crtico .

Si la abertura de la compuerta est entre el tirante normal y el tirante crtico , el

perfil de flujo es el de flujo uniforme, quedando la descarga de la compuertaahogada dado que sta tan solo oficia como una contraccin que no requiere

de energa especfica adicional a la que trae el flujo para salvarla. En este caso

la hiptesis de conservacin de energa en la compuerta acarrea la paradoja

de que la fuerza resultante sobre la compuerta es nula, al ser idnticos los

tirantes aguas arriba y aguas abajo de ella.

Si la abertura de la compuerta es inferior al tirante crtico se pueden tener dos

situaciones distintas, segn sea la descarga libre o ahogada

En caso que la abertura de la compuerta sea inferior al conjugado del tirante

normal la compuerta descarga libre. La configuracin resultante en este caso

es un perfil aguas arriba de la compuerta, uniendo el tirante normal con el

alterno de la abertura de la compuerta, que resulta ser el tirante

inmediatamente aguas arriba de la aquella. El perfil aguas abajo de la

compuerta es una curva M3, uniendo el tirante que coincide con la abertura de

la compuerta con el conjugado del tirante normal, luego del cual ocurre un

resalto hasta el tirante normal para retornar al rgimen subcrtico. Cuanto

menor sea la abertura de la compuerta ms largo resulta el perfil M3 y ms

lejos de la compuerta ocurre el resalto.


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Si la abertura de la compuerta es inferior al tirante critico pero mayor al

conjugado del tirante normal, la compuerta descarga ahogada. En este caso

desaparece entonces el perfil M3 aguas abajo de la compuerta, ocurriendo un

resalto ahogado contra la misma con tirante a la salida del resalto coincidente

con el tirante normal. La configuracin resultante aguas arriba de la compuerta

nuevamente es un perfil M1, pero uniendo ahora el tirante normal con el

resultante del balance de energa en la compuerta que descarga ahogada.

Canal de pendiente suave con abertura de compuerta entre [ 0 ; y*n ]

Canal de pendiente suave con abertura de compuerta entre [ y*n ; ycr ]


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Canal de pendiente fuerte con abertura de compuerta entre [ 0 ; yn ]

2.5 CANAL CON CAMBIO DE PENDIENTE.

Sea un canal de longitud infinita con geometra, rugosidad y caudal circulante

conocidos, en el cual ocurre un cambio de pendiente en determinada seccin

de forma tal que cambia el tipo de canal. El problema radica en conocer el

perfil del flujo en la zona afectada por la presencia del cambio de pendiente.

Esta situacin de cambio del tipo de canal a partir de una determinada seccin.

puede producirse tambin cambiando la rugosidad del canal an sin modificar

la pendiente de fondo.

La notacin a emplear ser designar como canal 1 al tramo previo a la seccin

de cambio (Aguas Arriba) y como canal 2 al tramo aguas abajo de dicha

seccin.

En principio se analizarn dos casos, pudiendo los restantes ser deducidos en

funcin de este anlisis:

a) Canal de pendiente fuerte que pasa a ser de pendiente suave.

b) Canal de pendiente suave que pasa a ser de pendiente fuerte.


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Caso a

En el caso a) ocurrir un resalto hidrulico al pasar de la situacin de rgimen

supercrtico (tirante normal 1) en el canal 1 a la de rgimen subcrtico (tirante

normal 2) en el canal 2, en virtud de la hiptesis de longitud infinita.

Segn sean las relaciones entre yn1, yn2 y sus conjugados (y*n1 , y*n2), el

resalto hidrulico se producir en el tramo de canal 1 (AA de la seccin de

cambio) o en el tramo de canal 2 (aa de la seccin de cambio).

El resalto se formar en el canal 1 si y*n1 < yn2 o si y*n2 < yn1 (ambas

condiciones son equivalentes). En ese caso el perfil de flujo resultante en el

canal 2 ser el de rgimen uniforme (yn2). En el canal 1 existir una curva S1

entre yn2 e y*n1 que se vincula con el rgimen uniforme AA (yn1) a travs de

un resalto.

El resalto se formar en el canal 2 si y*n1 > yn2 o si y*n2 > yn1 (ambas

condiciones son equivalentes). En ese caso el perfil de flujo resultante en el

canal 1 ser el de rgimen uniforme (yn1). En el canal 2 existir una curva M3

entre yn1 e y*n2 que se vincula con el rgimen uniforme aa (yn2) a travs de

un resalto.

Caso b

En el caso b) el cambio de rgimen ocurrir al pasar de la situacin de rgimen

subcrtico (tirante normal 1) en el canal 1 a la de rgimen supercrtico (tirante

normal 2) en el canal 2, en virtud de la hiptesis de longitud infinita. En este

caso no existir formacin de resalto hidrulico.

La nica tipologa de perfil de flujo compatible con las curvas de FGV para

ambos tipos de canales es la que impone condicin de flujo crtico en la

seccin de cambio.

La seccin de quiebre de la pendiente pasa a funcionar como un control con

tirante crtico, que gobierna el perfil del flujo hacia AA en el canal 1 (rgimen

subcrtico) y hacia aa en el canal 2 (rgimen supercrtico). El perfil de flujo

resultante es una curva M2 y de una curva S2 Aguas Arriba y aguas abajo de

la seccin de cambio respectivamente, vinculando ambos regmenes uniformes

(subcrtico AA y supercrtico aa).

Observacin:

El canal que termina en una cada libre se puede interpretar como una

situacin particular (extrema) del caso b) recin planteado, donde la pendiente


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del 2do tramo de canal es infinitamente grande (tanto como para que el flujo se

desprenda del fondo del canal).

Otra posible interpretacin para la imposicin de tirante crtico (ycr) en una

cada libre radica en que dicha condicin coincide con la configuracin de

mnima energa para un caudal definido, de forma que el flujo (si se entera de

que aa existe una cada libre) adapta su perfil hasta llegar a dicha

configuracin de mnima energa.

En una cada libre la condicin de flujo crtico estrictamente no ocurre en la

seccin final, sino AA en una seccin distante aproximadamente 3 o 4 veces el

tirante crtico. Esto obedece a que la fuerte curvatura de la superficie libre a

medida que se acerca al ycr (curva M2) violenta una de las hiptesis claves del

FGV, la existencia de distribucin hidrosttica de presiones. Efectivamente en

la seccin final del canal (la cada libre) la distribucin de presiones es

parablica, con presin atmosfrica tanto en la superficie libre como en el

fondo del canal (donde se produce el desprendimiento de la lmina vertiente).

El tirante en dicha seccin final vale aproximadamente 5/7 ycr, no obstante a

efectos del clculo de los perfiles en FGV se supondr que dicho tirante

coincide con el ycr.

Ntese que la aseveracin de que existir tirante crtico en la cada libre es

vlida solamente si el flujo AA de ella es subcrtico, ya que es la nicacondicin en la que la informacin acerca de la presencia de la cada libre es

transmitida hacia AA para permitir la adecuacin del perfil de flujo hasta la

cada libre (esto no es posible si el rgimen es supercrtico). Si el flujo alcanza

la cada libre en rgimen supercrtico, la cada libre ocurre simplemente con el

tirante supercrtico con el que se arriba a ella.

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