HIDRAULICA II CANALES ABIERTOS

EDUARDO DE LA TORRE R. DOCENTE

CAPITULO IV

FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

4.1. Generalidades.

El Flujo Gradualmente Variado (FGV) es un flujo permanente cuya profundidad varía de manera gradual a lo

largo de la longitud del canal. Esta definición establece dos condiciones:

El flujo es permanente; es decir, las características hidráulicas del flujo permanecen constantes para el intervalo de tiempo bajo consideraciones.

Las líneas de corriente son paralelas; es decir, prevalece la distribución hidrostática de presiones sobre la sección del canal.

Todas las teorías para el FGV giran alrededor de la siguiente suposición básica:

La pérdida de altura en la sección es la misma que para un flujo uniforme que tiene la velocidad y el radio hidráulico de la sección: De acuerdo con lo anterior, la ecuación de flujo uniforme puede utilizarse para evaluar la pendiente de energía de un FGV en una sección del canal determinada, y el correspondiente coeficiente de rugosidad desarrollado en principio para flujo uniforme se aplica al flujo variado.

La pendiente del canal es baja; esto significa que: a) La profundidad del flujo es la misma sin importar si se utiliza la dirección vertical o

normal al fondo del canal.

b) El factor de corrección de presiones cos aplicado a la profundidad de la sección del flujo, es igual a la unidad.

c) No existe atrapamiento de aire.

S0=

; Y=

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El canal es prismático. La distribución de velocidades en la sección del canal es fija. La conductividad K y el factor de sección Z son funciones exponenciales de la profundidad

del flujo. El coeficiente de rugosidad es independiente de la profundidad del flujo y constante a través

del tramo del canal bajo consideración.

Perfiles para FGV

Perfiles para FGV

FGV

Y0

Yc

FGV

FU

FU

Y0

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4.2. Ecuación general del flujo gradualmente variado En el Flujo Gradualmente Variado puede obtenerse una expresión para la pendiente de la superficie considerando la variación de las cotas de energía a lo largo del canal. Considerando el perfil de flujo gradualmente variado en la longitud elemental dx de un canal abierto la altura total de energía por encima del nivel de referencia en la sección 1 es:

H = Energía Total

Derivando respecto a X, distancia a lo largo del canal en la dirección del flujo,

Sf S0 Sw Observamos que -dH/dX es el gradiente de energía Sf (negativo porque la energía decrece en la dirección del flujo), -dz/dX es la pendiente del lecho S0, y dY/dX es la pendiente de la superficie referida al lecho.

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Perfil en el flujo no uniforme.

Entonces, -dz/dX-dY/dX es la pendiente de la superficie referida al plano horizontal, pendiente que llamaremos Sw; denominada más comúnmente gradiente hidráulico.

Si:

De tal manera que la ecuación para Flujo Gradualmente Variado quedaría así:

Si el canal es rectangular como B=T, y A/T=D, entonces la ecuación podría quedar en función del Número Froude así:

Para la anterior ecuación, los valores positivos de dY/dX indican profundidades crecientes y los valores negativos profundidades decrecientes. De la ecuación para Flujo Gradualmente Variado se pueden identificar dos importantes casos en la pendiente de la superficie:

Línea de energía

Datum

Y

z

Sf

Sw

S0

Y

X

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a.

=0: En este caso la superficie es paralela al lecho, por lo que el flujo ha de ser uniforme.

O sea que Sf = S0.

b.

= : La ecuación toma este valor cuando

= 1, lo que se presenta cuando el flujo es

crítico, en otras palabras, la pendiente de la superficie es infinita cuando alcanza la profundidad crítica.

4.3. Clasificación de los perfiles del flujo.

La ecuación dinámica del flujo gradualmente variado puede ser usada para describir las características de

varios perfiles del flujo o perfiles de la superficie del agua; teniendo en cuenta las pendientes del lecho que se

pueden clasificar como suave si S0 Sf, pronunciada S0 Sf y crítica S0 = Sf. Estas pendientes se

denominaran ahora con las letras M, S y C (por su significado en ingles suave=mild (M), pronunciada=steep

(S) y crítica=critical (C)). Incluyendo dos tipos más de pendientes que son la horizontal H y la pendiente

adversa A.

El perfil del flujo representa la curva de la superficie del flujo, se conocen dos formas:

a. Curva de remanso: Si la profundidad del flujo aumenta en la dirección del flujo, es decir si

es positivo.

b. Curva de desagüe: Si la profundidad del flujo decrece en la dirección del flujo, es decir que

es negativo.

A continuación se muestran las relaciones entre pendientes y profundidades, el signo de

, el tipo

de perfil, el símbolo del perfil, el tipo de flujo y un esquema representando la forma del perfil:

Pendiente del canal

Relaciones de profundidad

Prof. En sent. Del flujo

Símbolo Tipo de flujo Forma del perfil

Suave

0 S0 Sc

Y0 YC

Y Y0 YC + Aumenta M1 Subcrítico

Y0 Y YC - Disminuye M2 Subcrítico

Y0 YC Y + Aumenta M3 Supercrítico

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Horizontal S0 = 0

Y0 =

Y YC - Disminuye H2 Subcrítico

YC Y + Aumenta H3 Supercrítico

Crítica S0 = SC Y0 = YC

Y YC = Y0 + Aumenta C1 Supercrítico

YC = Y = Y0 Constante C2 Uniforme,

crítico

YC = Y0 Y + Aumenta C3 Supercrítico

Fuerte

S0 SC 0

YC Y0

Y Y0 YC + Aumenta S1 Subcrítico

YC Y Y0 - Disminuye S2 Supercrítico

YC Y0 Y + Aumenta S3 Supercrítico

Adversa

S0 0

Y0 =

Y YC - Disminuye A2 Subcrítico

YC Y + Aumenta A3 Supercrítico

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4.4. Calculo de los perfiles. La ecuación general de flujo gradualmente variado es la base de todos los métodos de análisis de los perfiles superficiales. Considerando el flujo gradualmente variado como aproximadamente paralelo, distribución de presiones

hidrostática (θ<6°) y distribución de velocidades uniforme; con las anteriores consideraciones se puede

aplicar la ecuación de Manning de la siguiente forma:

Siendo Sf la pendiente de la línea de energía.

Ahora para cualquier tramo recto el contenido de energía para cualquier sección transversal es:

Siendo H1 el contenido de energía de la sección 1.

De la ecuación de Manning si hacemos que Q sea (K):

En flujo uniforme S0 = Sf o sea que:

Siendo entonces K0 y K las conductancias para flujo uniforme y flujo gradualmente variado respectivamente.

K

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En flujo crítico se tiene que el factor de sección es:

Como Froude es:

Donde Zc y Z son factores de sección para flujo crítico y para flujo gradualmente variado respectivamente.

Teniendo en cuenta lo anterior, la ecuación dinámica para flujo gradualmente variado quedaría de la siguiente

forma:

Para canales rectangulares muy anchos (b>>>>>y; Ry) la forma de la ecuación anterior es:

Hasta ahora se han presentado los diferentes tipos de flujo, pero no se ha hecho referencia de la distancia a

lo largo del canal en el cual el perfil de flujo gradualmente variado cambia de una profundidad (Y01) a una

profundidad (Y02).

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Existen varios métodos que permiten resolver la ecuación (ecuación de flujo gradualmente variado). Entre los

más conocidos y usados tenemos:

I. Método de integración gráfica. II. Método de integración directa.

III. Método de Bresse. IV. Método del paso directo.

I. Método de integración gráfica.

Para un canal de sección transversal y pendiente de fondo dadas, al obtener el inverso de la

Ecuación de flujo gradualmente variado, la ecuación obtenida (dx/dy) es función únicamente de la profundidad de flujo.

Al graficar esta variación e integrar tenemos:

Curva [(dx/dy) –Y] y curva [X –Y]

El diferencial de la curva de la izquierda es igual a:

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Y el área bajo la curva es:

Luego el área bajo la curva

es igual a la distancia en la cual el perfil varía de

profundidad de Y1 a Y2.

II. Método de integración directa. Este método plantea un procedimiento basado en estudios de: Bakhmetff, Mononobe, Lee y Von

Seggern, encaminados a resolver directamente la Ecuación de flujo gradualmente variado. El

procedimiento dados la sección transversal, rugosidad de Manning, caudal y datos de pendientes de

fondo es el siguiente:

Cálculo de la profundidad normal (Y0) y profundidad crítica (Yc). Cálculo de constantes.

1.

2. Cálculo del coeficiente hidráulico N:

3. Cálculo del exponente hidráulico para flujo crítico M.

4.

5.

6.

Aplicación del método de integración directa.

Cálculo de F(u,N) (valor obtenido anexo D libro Ven te Chow).

Cálculo de F(v,N) (valor obtenido anexo D libro Ven te Chow).

X=A(u-F(u,N)+BF(v,J)+const. L=X2-X1=A((u2-u1)-(F(u2,N)-F(u1,N))+B((F(v2,J)-F(v1,J))).

Los subíndices 1 y 2 hacen referencia a las lecturas de las secciones 1 y 2 respectivamente

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Curva para calcular los valores de M.

. III. Método de Bresse.

Este método es una variación del método de integración directa. Puede decirse que es un

caso particular utilizado para canales de sección transversal rectangular y canales muy anchos; sin

embargo este método puede utilizarse para otras secciones transversales obteniendo una buena

aproximación. El procedimiento de cálculo es el siguiente:

Cálculo de la profundidad normal (Y0) y profundidad crítica (Yc). Cálculo de constantes.

El coeficiente hidráulico N=3 El exponente hidráulico para flujo crítico M=3

Aplicando el método de integración directa

Calculo de F(u,N)=F(v,N) luego u=v (valor obtenido anexo D libro Ven T Chow).

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X=A(u-B*F(u,3))+ const. L=X2-X1

Los subíndices 1 y 2 hacen referencia a las lecturas de las secciones 1 y 2 respectivamente.

IV. Método del paso directo.

Este método se caracteriza en dividir en tramos cortos la longitud del canal y calcular para cada ramo la

longitud (X) a partir de suponer de abajo hacia arriba laminas de agua incrementales.

Aunque a simple vista parece dispendioso este método es muy práctico con la ayuda de una hoja electrónica.

Los pasos a seguir dados el caudal, la sección transversal, el coeficiente de Manning, y la pendiente de fondo

son los siguientes:

a) Calcular el perfil (cotas) de la sección aguas arriba y aguas abajo. (Yn) (Yc). b) Asumir láminas de flujo en orden ascendente e irlas incrementando gradualmente. c) Con los datos brindados y la altura de lámina supuesta calcular: A, P, R, V, V2/2g y E. d) Calcular el cambio en la energía específica ΔE. Que es igual a calcular la energía especifica

del la lámina anterior menos la energía especifica de la lámina actual. e) Calcular la pendiente de fricción.

O

(Recuerde que si trabaja la velocidad y radio hidráulico en metros se utiliza la última ecuación. La

primera ecuación es para la velocidad en pies/s y radio hidráulico en pies).

f) Calcular la pendiente de fricción promedio. Que es igual a calcular el promedio de los dos valores del la lámina anterior y de la lámina actual.

g) Se calcula la diferencia entre la pendiente de fondo con la pendiente de fricción promedio.

h) Calcular el valor de

i) Calcular la longitud en consideración como la sumatoria de datos acumulados del paso h).

j) Dibujar el perfil.

La forma más cómoda de trabajar este método es hacerlo para presentar los cálculos en forma tabular.