Flujo Grad Variado

Máximo Villón - página (248)

De la ecuación de Manning, se tiene: , 2

S, = Qn

A R213 , donde para la relación y/d, usando la tabla 1.1, se tiene:

\A Id2 =0,313 -*AC =0 ,313x l ,5 2 =0,7043m¿ yjd = 0,42 -*\j¡/d = Q222 _+Rc= o,222 x 1,5 = 0,333m

luego: 1,5x0,018

2/3 v 0,7043 x 0,333

S c = 0,0064 / . S2mínima = S c = 6,4 %o

Flujo gradualmente variado

Definición El flujo gradualmente variado constituye una clase especial del flujo permanente no uniforme, y se caracteriza por una variación gradual (suave) del tirante (y con ello del área, la velocidad, etc.) a lo largo del canal (figura 5.1).

A diferencia de lo que ocurre en el flujo uniforme, en las que las pendientes del fondo, de la superficie libre y de la línea de energía son iguales, en el flujo gradualmente variado estas tres pendientes son diferentes.

Este tipo de flujo se presenta en la llegada o salida de estructuras hidráulicas tales como represas, compuertas, vertederos, etc. y en general cuando las condiciones geométricas de la sección transversal o del fondo del canal cambian abruptamente; o bien cuando en el recorrido se presenta algún obstáculo que haga variar las condiciones del movimiento.


Figura 5.1 Flujo gradualmente variado

Consideraciones fundamentales Para el estudio práctico de este tipo de flujo se suelen adoptar algunas hipótesis como las que se enumeran a continuación:

• El flujo es permanente, es decir, que las características del flujo son constantes en el intervalo de tiempo considerado.

• Las líneas de corriente son prácticamente paralelas, es decir, que la distribución de presiones es hidrostática en cada sección transversal del canal.

• La pendiente de fondo del canal es uniforme y pequeña, de tal manera que el tirante del flujo es el mismo, cuando la vertical o normal se toma como referencia al fondo del canal, y además, no ocurre incorporación de aire al interior del flujo.

• El canal es prismático, lo que significa que la forma y la alineación del canal son constantes, es decir, que el canal tiene una sección transversal definida (rectangular, trapezoidal, etc.).

• La forma de distribución de velocidades en las distintas secciones es constante, de modo que el coeficiente de Coriolis a, se mantiene constante.

• El coeficiente de rugosidad es independiente del tirante del flujo y constante en el tramo del canal considerado.

Hidráulica de canales - página (251)

La pérdida de energía más importante es la de fricción. Para el cálculo de la pendiente de la línea de energía en una sección se utilizan las mismas fórmulas que en flujo uniforme, utilizando la velocidad media, el radio hidráulico y el coeficiente de rugosidad de la propia sección. Esta es una de las hipótesis más importantes para el estudio del flujo gradualmente variado y permite el uso de las fórmulas del flujo uniforme, pues aún cuando no demostrado, la práctica ha confirmado su uso.

Ecuación dinámica del f lujo gradualmente variado

Considérese el perfil de un flujo gradualmente variado en una longitud diferencial dx, un canal como se muestra en la figura 5.2.

I © © Figura 5.2 Tramo de longitud dx

donde: E = energía total para una sección cualquiera. dE = diferencial de energía o cambio de energía en el dx


dx = longitud diferencial del tramo del canal dZ = incremento en la altura o carga de posición de la

sección dx S E = pendiente de energía o de cargas totales, constante en

el dx considerado, pero variable a lo largo de la dirección x

S w = pendiente de la superficie libre o eje hidráulico So = pendiente longitudinal del fondo del canal, constante 9 = ángulo que forma el perfil longitudinal del fondo del

canal con la horizontal /3 = ángulo que forma el horizonte de energía con la línea

de alturas totales d = tirante perpendicular o normal a la sección y = tirante vertical

En general se cumple que:

SQ * Sw * SE

0*0 p

d eos 9 = y = —, para 9 = pequeño y

Estudiando una sección cualquiera del flujo, como la representada en la sección (D, se obtiene que la carga o energía total sobre el plano de referencia es:

v 2

E = Z + y + a— ...(5.1) 2g a es el coeficiente de Coriolis que se supone constante en el tramo del canal considerado; los otros términos ya se definieron anteriormente. Tomando el fondo del canal como el eje x, y diferenciando la ecuación (5.1) con respecto a esta longitud, se tiene:


dE dZ dy d — = — + — + « — dx dx dx dx \2sj (5.2)

Inlcrpretación de cada uno de los términos-

~ ~ ~ S E pendiente de la línea de energía, el signo negativo dx

dE dx

se debe al hecho de que hay disminución de energía útil en el sentido del escurrimiento, luego:

= SE ...(5.3)

dZ _ ~~dx~ = Sm° = S° ^ p a r a 0 ~ P e c l u e ñ 0 ) , pendiente de fondo,

el signo negativo se debe a que Z decrece a medida que x crece, es decir, S 0 se supone positiva si la inclinación es descendente hacia aguas abajo (Z decrece cuando x crece) y negativa en caso contrario, luego:

dZ Tx=S^ -..(5.4)

c) dx 2g g dx g dy dx (5.5)

de otro lado: dv _ d_(Q^ dy dy\A j

Q_dA A2 dy Q_T = v _

A2 A/T ... (5.6)

sustituyendo (5.6) en (5.5), resulta:

í ..2 \

a-dx = -a dy 2g) gA/Tdx

... (5.7)


Pero en forma general, se tiene que:

a ' gAIT

(5.8)

luego: ( ..2 N

a- dx \2Sj = -F2^- ...(5.9)

dx

Sustituyendo (5.3), (5.4) y (5.9) en (5.2), resulta: dy r 2 dy

E dx dx

o también:

( 1 - í - ) £ - S 0 - S l

v dx

de donde:

dy S0-SE dy_^ o —— — Sn ;

dx \-F2 dx °\-F:

De (5.8) en (5.10) se obtiene:

1 -

..(5.10)

dx , vlT dx v gA gA

En la práctica se adopta a = 1 de lo cual se obtiene:


______ ± = ±LZljL0± = S 0 - 4 - ...(5.12) dx v T dx v T

gA gA

(5.12) reemplazando v = — , de la ecuación de continuidad, A

sulta:

^ = ^ f ^ o *=S0—^...(5.13)

gA3 gA3

s ecuaciones (5.10), (5.11), (5.12) y (5.13) son diferentes formas e representar la ecuación diferencial del flujo gradualmente variado,

y se le denomina con el nombre de ecuación dinámica del flujo gradualmente variado. Estas ecuaciones representan la pendiente de I superficie de l^gua con respecto al fondo del canal; el tirante y se mide a partir del fondo del canal, tomándose este fondo como eje de nbscisas (x).

Curva de remanso

Se conoce como curvas de remanso o ejes hidráulicos, a los perfiles longitudinales que adquiere la superficie libre del líquido en un canal, cuando se efectúa un escurrimiento bajo las condiciones de flujo gradualmente variado.

Geométricamente, el perfil de la superficie libre está definido por los tirantes reales que se tenga a lo largo del escurrimiento.

Acudiendo a la ecuación (5.13) y basándose en observaciones empíricas, se ha logrado obtener los diferentes tipos de curvas, cuya forma depende de las condiciones de tirantes y pendientes que se

Máximo Villón - página ( 2 5 6 )

t e n g a e n c a d a c a s o .

Clasificación y n o m e n c l a t u r a d e l a s c u r v a s d e r e m a n s o T i p o s d e p e n d i e n t e d e f o n d o ( S 0 )

1. Pendiente suave

S e d i c e q u e l a p e n d i e n t e d e l f o n d o d e l c a n a l e s s u a v e , c u a n d o p a r a l a s c o n d i c i o n e s hidráulicas ( Q ) y característica d e l c a n a l (b, T, n, S 0 ) d a d a s , s e g e n e r a n u n t i r a n t e n o r m a l ( y n ) m a y o r q u e e l crítico ( y c ) ; e s t o e s y n > y c , también S 0 < S c .

A l a s c u r v a s g e n e r a l m e n t e e n e s t e t i p o d e p e n d i e n t e s e l e s c o n o c e c o m o c u r v a s " / V f ( d e l inglés MILD: s u a v e , subcrítica).

Según S a i n t Vénant, l a s c o r r i e n t e s n a t u r a l e s d e p e n d i e n t e s u a v e , e n l a s q u e e x i s t e c a l m a , m o v i m i e n t o t r a n q u i l o , s e d e n o m i n a ríos.

2. Pendiente crítica

E s a q u e l l a p e n d i e n t e d e f o n d o c o n l a c u a l s e s a t i s f a c e , p a r a l a s c o n d i c i o n e s d a d a s , q u e e l t i r a n t e n o r m a l e s i g u a l a i t i r a n t e crítico. Aquí s e c u m p l e q u e :

s0=sc

Numéricamente, e l v a l o r S c s e c a l c u l a c o n l a ecuación:

S = \AR 2 / 3 y

L a s c u r v a s d e r e m a n s o g e n e r a d a s e n e s t e t i p o d e p e n d i e n t e s o n d e n o m i n a d a s c u r v a s " C " ( d e l inglés CRITICAL: crítica).

Hidráulica d e c a n a l e s - página ( 2 5 7 )

3. Pendiente fuerte

E s a q u e l l a c o n l a c u a l , p a r a l a s c o n d i c i o n e s d a d a s , s e p r o d u c e u n t i r a n t e n o r m a l m e n o r q u e e l crítico. E n e s t a s e c u m p l e q u e :

yn < yc . S0>SC

A l a s c u r v a s g e n e r a d a s e n e s t e t i p o d e p e n d i e n t e s e l e s c o n o c e c o m o c u r v a s " S " ( d e l inglés STEEP: e m p i n a d o , a b r u p t o , supercrítico).

Según S a i n t Vénant, l a s c o r r i e n t e s n a t u r a l e s ' d e p e n d i e n t e f u e r t e , e n l a s q u e e x i s t e n r e s a l t o s y o t r a s i r r e g u l a r i d a d e s , s o n l l a m a d a s t o r r e n t e s .

4. Pendiente horizontal

E s a q u e l l a e n l a c u a l ^ = 0 y c o m o c o n s e c u e n c i a e l t i r a n t e n o r m a l s e h a c e i n f i n i t o , e s d e c i r : E n l a ecuación d e M a n n i n g :

n * S i S = 0 - > v = 0

Además, d e l a ecuación d e c o n t i n u i d a d :

S i v = — = 0—» / i = o o — » y = o o A

L a s c u r v a s g e n e r a d a s e n e s t e t i p o d e p e n d i e n t e s e l l a m a n c u r v a s " H " ( d e l inglés HORIZONTAL: h o r i z o n t a l )

5. Pendiente adversa

E s a q u e l l a e n l a c u a l e l líquido t r a b a j a e n c o n t r a d e l a g r a v e d a d , y a q u e e l f o n d o d e l c a n a l ( e n comparación c o n u n p l a n o h o r i z o n t a l ) , a u m e n t a e n e l s e n t i d o d e l f l u j o , e s d e c i r l a p e n d i e n t e e s n e g a t i v a . E l t i r a n t e n o r m a l y n n o e x i s t e e n e s t e t i p o d e p e n d i e n t e p o r n o t e n e r s i g n i f i c a d o físico, l o c u a l s e o b s e r v a a l s u s t i t u i r e l v a l o r n e g a t i v o d e S 0 e n l a ecuación:


Q = - A R % S % n

S i S0 e s n e g a t i v o - > yfs^ - i m a g i n a r i o

A l a s c u r v a s g e n e r a d a s e n e s t e t i p o d e p e n d i e n t e s e l e s l l a m a c u r v a s " A " ( d e l inglés ADVERSE: a d v e r s a ) .

Z o n a s d e generación d e l a s c u r v a s d e r e m a n s o

a . Zona 1 S e d i c e q u e u n a c u r v a d e r e m a n s o s e p r e s e n t a e n l a z o n a 1 , c u a n d o e l t i r a n t e r e a l d e e s c u r r i m i e n t o p o s e e v a l o r e s m a y o r e s q u e e l n o r m a l y e l crítico ( f i g u r a 5 . 3 ) , p u d i e n d o s e r éste m a y o r q u e a q u e l o v i c e v e r s a .

Z o n a 1

F i g u r a 5 . 3 C u r v a d e r e m a n s o e n z o n a 1

e s d e c i r , y> y„,y> yc

d o n d e : yn > yc ó yc> yn

b. Zona 2 L a c u r v a d e r e m a n s o s e l o c a l i z a e n l a z o n a 2 , c u a n d o e l t i r a n t e r e a l d e l f l u j o s e e n c u e n t r a c o m p r e n d i d o e n t r e e l t i r a n t e n o r m a l y e l crítico, ( f i g u r a 5 . 4 ) p u d i e n d o s e r :

yc <y<y„ ó y„<y<yc


F i g u r a 5 . 4 C u r v a s d e r e m a n s o e n z o n a 2

C . Zona 3 L a c u r v a d e r e m a n s o s e l o c a l i z a e n l a z o n a 3 , ' c u a n d o e l t i r a n t e r e a l p o s e e v a l o r e s m e n o r e s q u e e l n o r m a l y e l crítico, p u d i e n d o s e r e s t e m a y o r q u e a q u e l o v i c e v e r s a ( f i g u r a 5 . 5 ) , e s d e c i r :

y < yn - y < yc

• l e n d o :

y„ > yc 0 yc > y„

Z o n a 3

F i g u r a 5 . 5 C u r v a d e r e m a n s o e n z o n a 3 .

T o m a n d o e n consideración l a clasificación r e a l i z a d a p o r B a k h m e t e f f , d e l a s c u r v a s d e r e m a n s o b a s a d a e n e l t i p o d e p e n d i e n t e y l a s z o n a s d e generación d e l p e r f i l , s e t i e n e n l a s c u r v a s M'\, M2, M3, C 1 , A2, l i , l a s m i s m a s q u e s e m u e s t r a n e n l a t a b l a 5 . 1 .

1

T a b l a 5 . 1 Clasificación d e l a s c u r v a s d e r e m a n s o

P e n d i e n t e d e l c a n a l

R e l a c i o n e s d e t i r a n t e

dy_

dx

P r o f . e n e l s e n t . d e l a c o r r i e n t e

C u r v a T i p o d e f l u j o F o r m a d e l p e r f i l y s e n t i d o d e cálculo

t u -> < 3 ' o <í o -a

T3 t a

c a _ T 01 lo o

Supercrítico


De acuerdo con los t ipos de pendientes, se sabe que el t irante normal , en las curvas H, es infinito, mientras que en las curvas A, no es real, por lo cual en ambos casos, no puede existir n inguna curva de remanso en la zona 1, luego es imposible que existan las curvas H1 y A 1 ; de otro lado, la C2, no es una curva propiamente d icha sino más bien una recta (flujo crít ico uni forme). De este anál isis se desprende que de las 15 curvas de remanso aparentes que se puedan generar, en real idad solo se t ienen 12 curvas.

Propiedades generales de las curvas de remanso Las siguientes propiedades son comunes a todas las curvas:

1 . Las curvas que t ienden el t i rante normal y n se acercan a ella

asintót icamente.

En efecto en la ecuac ión (5.10):

dy = S0-SE dx \-F2

si y t iende a yn el valor de SE t iende a SQ lo que hace que :

\im{S0-SE) = 0

y por lo cual :

\\m(dyldx) = 0 Esto significa que el perfi l del f lujo es paralelo al fondo del canal , es decir, que no puede cortar nunca a la línea del t i rante normal pero puede confundirse con ella en rég imen uni forme (curvas M 1 , M2 , C3, S2 , S3).


as curvas que t ienden al t irante normal se acercan a ella asintót icamente, hacia aguas arriba para pendientes menores que la crítica, y hacia aguas abajo para pendientes super iores a la crít ica. En otras palabras cuando una singular idad rompe la uni formidad del escurr imiento, el régimen que se establece lejos de ella es necesariamente uni forme. Una singular idad hará sentir sus efectos hacia aguas arriba en rég imen subcrít ico y hacia abajo en rég imen supercrít ico.

Esta propiedad resulta muy importante para los cálculos de la curva de remanso, puesto, que ella se hará, desde la sección de control hasta una sección en la que el t irante difiera en uno o dos por ciento respecto al t irante normal .

2. Las curvas que t ienden al t irante crítico y c se acercan a ella, en este punto, en forma perpendicular a la línea del t irante y c .

En efecto, en la ecuación (5,10), si y t iende a y c el valor de F t iende a 1, lo que hace que:

l i m ( l - F ) = 0

y por lo cual:

l i m (dy I dx) = <x> y-*y,

Esto es, el perfil del f lujo se vuelve vertical en la proximidad del tirante crítico (curvas M2, S2, H2, A2). Esto significa que si el perfil se desarrolla en régimen supercrí t ico ocurre una discont inuidad, presentándose el resalto hidrául ico antes de que y alcance el valor de y c (curvas M3, H3, A3), por lo contrario si el perfil se desarrol la en régimen subcrít ico, d icho perfil logra una gran curvatura al aproximarse y al valor y c para volverse vertical en el punto en que y = y c (curvas M2, H2, A2).

En ambos casos, se presenta un flujo rápidamente variado, por eso la ecuación (5.10) y sus der ivados no pueden usarse para describir o calcular exactamente el perfil del f lujo cerca del t irante crítico.


3. Cuando el tirante y tiende a ser muy grande las curvas tienden a ser tangentes a una horizontal. En efecto, en la ecuación (5.10), si y tiende a infinito, entonces S E y F2 tienden a 0, es decir:

\\mSE

y—><x> l i m y-*1

í V v • n

\ R A )

- l i m y

( \ 2

Qn V

K A - R A )

= 0

l i m F = l i m y—»oo y—>oo

f \ 2

V

gA/T

( = l i m

y - gAlIT,

y por lo cual: lim(dy/dx) = S0

que corresponde a una línea horizontal que forma un ángulo# (sen0 = So) con el fondo del canal (figura 5.2). Esto significa que la superficie del agua es asintótica (curvas H2,A2).

Ejemplos prácticos de curvas de remanso En la figura 5.6 se presentan algunos ejemplos prácticos de curvas de remanso o perfiles del flujo, y a continuación algunos comentarios acerca de dichos perfiles:

1. Perfiles tipo M

El perfil A/f1 representa la curva de remanso más común, este es el más importante de todos los perfiles de flujo desde el punto de vista práctico. Ejemplos típicos del perfil /W1 son el perfil detrás de una represa, vertedero, compuertas y otros accidentes naturales, como estrechamientos y curvas. Su longitud puede ser de varios kilómetros extendiéndose hacia aguas arriba desde la estructura de control hasta una sección en la que el tirante difiera en uno o dos por ciento respecto al normal.


Figura 5.6 Ejemplos prácticos de perfiles de flujo


Las inundaciones que se producen en fas zonas bajas de Costa Rica, como en la Zona At lánt ica, son producidas por este t ipo de curvas de remanso. Al crecer las mareas actúan como represas que generan curvas de remanso /V/1 de gran longitud en los cauces de los ríos, produciendo inundación de grandes áreas.

El perfil M2 ocurre en pendiente suave, cuando el t irante se reduce en el sentido del f lujo, por e jemplo en un estrechamiento de la sección o en la proximidad de una rápida o una caída.

El perfil M3 se puede encontrar aguas abajo de un cambio de pendiente de supercrí t ica a subcrí t ica, o después de la descarga de una compuerta con pendiente suave. Está regido por las condic iones aguas abajo y termina normalmente en un resalto hidrául ico.

Los perfi les M2 y M3 son muy cortos en comparac ión con el M*\.

2. Perfiles tipo S

El perfil S1 es producido por una estructura de control , como presa o compuerta, s i tuada en un canal de gran pendiente, también se produce cuando el resalto es ahogado, principia después de un resalto hidráulico y termina en la obstrucción. El perfil S2 se encuentra normalmente a la entrada de un t ramo de gran pendiente o aguas aba jo de un cambio de pendiente de suave a fuerte. Su longitud es genera lmente corta, extendiéndose desde la sección de control (t irante cri t ico) hacia aguas abajo, hasta una sección en la que el t i rante es mayor en uno o dos por ciento respecto del t irante normal .

El perfil S3 se puede producir aguas abajo de una compuerta, situada sobre un canal de gran pendiente, o aguas abajo de la intersección de un cambio de un t ramo con gran pendiente, a otro con menos pendiente pero s iempre en pendiente fuerte.


. Perfil tipo C

En este tipo de perfi les hay so lamente dos, debido a que los t i rantes normal y crít ico co inc iden, estos deberán ser aprox imadamente horizontales, pero la inestabi l idad propia del estado crít ico se manifiesta en la forma de una ondulac ión apreciable.

4. Perfiles tipo H

Estos son los casos limites de los perfi les tipo M cuando el fondo del canal se hace horizontal. Los perfi les H2 y H3 cor responden a los perfiles M2 y M3 pero n ingún perfil H1 puede establecerse ya que y n

es infinito.

5. Perfiles tipo A

Los perfiles A no ocurren f recuentemente, pues la pendiente S 0

negativa es rara. El perfil A1 es imposible, ya que el valor de y n no es real y los perfi les A2 y A3 son similares a los perfi les H2 y H3, respect ivamente^

Procedimiento para determinar el tipo de curva de remanso

Este procedimiento permite predecir la forma general del perfil del flujo, lo que const i tuye una parte muy signif icativa en todos los problemas de d iseño de un canal para un flujo gradualmente var iado. Las pautas que se s iguen son :

1. Dibujar el perfi l longitudinal del canal (f igura 5.7) d istors ionando las escalas vert ical y hor izontal . Dado que un canal es una obra esencia lmente l ineal se deberá tener una escala vert ical mucho mayor que la hor izontal , para hacer apreciables las f luctuaciones de la curva de remanso o eje hidráulico.


escala

vertical 2 -1 -

T I I I I ' 1 2 3 4 5 escata _. escala

escala horizontal

vertical ' horizontal

Figura 5.7 Dibujo del perfil longitudinal

2. En el perfil longitudinal marcar las singularidades (figura 5.8), como los cambios de pendiente, forma de sección transversal, cambio de rugosidad, cambio de dimensiones, etc. y diferenciar los distintos tramos que se originan, tanto por cambios ^de pendiente como por cambios del tipo de material del fondo del canal.

singularidad

/por cambio de pendiente

Figura 5.8 Ubicar singularidades y tramos

3. Calcular y n y dibujar la línea teórica de profundidad normal para cada tramo (figura 5.9), de acuerdo con los datos particulares en cada uno. Hay que tener presente que de acuerdo con la ecuación de Manning conjugada con la de continuidad, se tiene:


npÁ p \ S Á )

y n depende de la forma de la sección transversal, de la pendiente y del coeficiente de rugosidad, por lo cual su cálculo será imprescindible toda vez que exista una variación de estos valores.

. . . . . . K S 3

n3 yn es función de la forma, de la pendiente

y del coeficiente de rugosidad

Figura 5.9 Cálculo del y n de cada tramo

4. Calcular y c y*d¡bujar la línea teórica de profundidad crítica (figura 5.10), para las secciones transversales que se tengan. Recordar que de acuerdo con la ecuación para el flujo crítico, se tiene:

g Tc Tc g

y c depende únicamente de la forma de la sección transversal, por lo que mientras esta se mantenga constante en todos los tramos, aun cuando la pendiente o el coeficiente de rugosidad varíen, el tirante crítico es el mismo para todos los casos.


yc es función sólo de la forma de la sección transversal

Figura 5.10 Cálculo del y c p a r a cada t ramo

5. Definir y ubicar las posibles secciones de control que se presenten a lo largo de los t ramos en estudio (f igura 5.11). Recordar que una sección de control , es f ís icamente ubicable, y en ella el t irante se puede calcular en función del caudal . La ubicación de una sección de control , es de suma importancia para el cálculo de la curva de remanso, ya que la curva de remanso se calcula s iempre iniciando de la secc ión de control , hacia aguas arriba o hacia aguas abajo a partir de ella.

sección de control

J

Los cálculos de realizan hacia aguas arriba o hacia aguas abajo

de la sección de control

Figura 5.11 Ubicación de la sección de control

6. Establecer las condic iones de pendiente de fondo para cada t ramo, comparando el t irante normal con el t irante crít ico (figura 5.12). Con esto se obt iene la letra de la curva (M, C, S, H, o A).


yn > yc curva M y n < y c

curva S y n > y c curva M

Figura 5.12 Establecer las condiciones de la pendiente

7. Establecer la zona de generac ión y por' lo tanto el número de la curva ( 1 , 2, o 3), comparando el t irante real (obtenido en la sección de control), con el normal y el crítico (figura 5.13).

supercrítico Figura 5.^3 Establecer zona de generación de las curvas

8 A partir de 6 y 7 definir los t ipos de curva, con su letra y número (figura 5.14), para con esto determinar su geometr ía, puede usar la tabla 5 . 1 . Def inido la geometr ía del perfil y part iendo de la profundidad real en cada sección de control, trazar en cada t ramo un perfil cont inuo correspondiente.

Figura 5.14 Establecer los tipos de curva


9. Observar si en algún lugar del perfil se presenta el resalto hidráulico (figura 5.15). Cuando el flujo es supercrítico en la porción aguas arriba de un tramo pero subcrítico en la porción aguas abajo, el perfil del flujo tiene que pasar a la profundidad crítica en algún lugar del tramo; esto se realiza formándose el resalto hidráulico.

supercrítico flujo subcrítico

Figura 5.15 Ubicar los lugares donde se produzca resaltos hidráulicos

Sección de control Se define como sección de control (figura 5.16) aquella sección particular de un canal, en la que la profundidad del flujo es conocida o puede ser controlada a un nivel requerido. Este tipo de sección se cumple con dos condiciones: 1. Es físicamente ubicable. 2. El tirante real se puede calcular en función del caudal.

Figura 5.16 Sección de control


Una sección crítica es una sección de control debido a que se puede establecer una relación definida entre el tirante crítico y el caudal a partir de la ecuación general del flujo crítico. Para el caso de una sección rectangular, se obtiene que la velocidad crítica es:

De otro lado, si en la superficie libre de un canal se produce una onda superficial, esta adquiere una celeridad c, es decir, una volocidad con respecto a la corriente, que aproximadamente es igual

Si se comparan los valores de la velocidad y celeridad, se observa que en el estado crítico, la velocidad es igual a la celeridad de dichas ondas. Si el régimen es subcrítico, la velocidad del flujo es menor que la crítica y que la celeridad de dichas ondas, por lo tanto, en este fégimen, es posible la transmisión de disturbios hacia aguas arriba; lo Contrario acontece con el régimen supercrítico en el que los pBturbios solo sé*transmiten hacia aguas abajo.

i in mecanismo de control como una compuerta puede hacer sentir su liilluencia hacia aguas arriba, es decir, el régimen subcrítico está lujeto a un control desde aguas abajo. Por el contrario, el régimen kipercrítico no puede quedar influenciado por lo que ocurra aguas •bajo, y solo puede quedar controlado desde aguas arriba.

Para el cálculo del perfil del flujo variado se establece la sección de control que proporcione las condiciones iniciales y se procede a Calcular hacia aguas arriba de la sección de control o hacia aguas •bajo, según que el régimen en que se desarrolla el perfil sea lubcrítico o supercrítico. Estas direcciones de cálculo se indican en la tabla 5.1 para todos los tipos de perfiles.

Algunos ejemplos de secciones de control son las presas, vertederos y compuertas así como también la intersección bien definida de la


línea del perfil de flujo y la correspondiente al tirante critico, esto último ocurre en el punto de cambio de pendiente de dos tramos, el de aguas arriba de pendiente suave y el de aguas abajo de pendiente fuerte, como se muestra en la figura 5.17.

fuerte Figura 5.17 Ejemplo de una sección de control

C u r v a s d e r e m a n s o p o r c a m b i o s d e p e n d i e n t e

En el diseño de canales se pueden presentar curvas de remanso en pendientes suaves y fuertes; aunque pueden existir las pendientes horizontal, adversa y crítica, es poco probable que como diseñador, lo podamos incluir en algún trabajo. Por lo cual, como una ilustración del movimiento gradualmente variado, se presenta una breve discusión de los seis perfiles del eje hidráulico, generados exclusivamente por cambio de la pendiente del fondo. Es decir, que se supone que todas las otras características permanecen constantes.

Los seis casos generales son: • De pendiente suave a pendiente más suave • De pendiente suave a pendiente menos suave • De pendiente suave a pendiente fuerte • De pendiente fuerte a pendiente menos fuerte • De pendiente fuerte a pendiente más fuerte • De pendiente fuerte a pendiente suave


1. De pendiente suave a pendiente más suave

Sean y n 1 , y n 2 los tirantes normales en cada uno de los dos tramos (figura 5.18).

En el primer tramo, por ser pendiente suave (flujo subcrítico), se cumple que, y n 1 > y c . En el segundo tramo, por ser pendiente más suave (flujo subcrítico), Inmbién se cumple que y n 2 > y c . I I tirante normal del segundo tramo, es mayor que la del primero, porque su pendiente es menor que la del prjmero. Por lo tanto, y n 2 >

Como toda singularidad (en este caso, el cambio de pendiente) en un linio subcrítico, crea efectos hacia aguas arriba, por lo que en el legundo tramo se produce un flujo uniforme, mientras que en el primer tramo se presenta una curva /V/1. La curva /V/1 se calcula de la lección de control que es el cambio de pendiente, con un tirante real L i, hacia aguas arriba hasta u n y f = 1,02 y n 1 .

sentido

Figura 5.18 De pendiente suave a pendiente más suave


2. D e p e n d i e n t e s u a v e a p e n d i e n t e m e n o s s u a v e

P o r c o n s i d e r a c i o n e s s i m i l a r e s a l c a s o l s e t i e n e q u e : Y n 2 < y m ( f i g u r a 5 . 1 9 )

E n a m b o s t r a m o s s e c u m p l e q u e : / m > Yc ( p e n d i e n t e s u a v e ) Yn2 > y c ( p e n d i e n t e m e n o s s u a v e )

C o m o t o d a s i n g u l a r i d a d ( e n e s t e c a s o , e l c a m b i o d e p e n d i e n t e ) e n u n f l u j o subcrítico, c r e a e f e c t o s h a c i a a g u a s a r r i b a , p o r l o q u e e n e l s e g u n d o t r a m o s e p r o d u c e u n f l u j o u n i f o r m e , m i e n t r a s q u e e n e l p r i m e r t r a m o s e p r e s e n t a u n a c u r v a M2. L a c u r v a M2 s e c a l c u l a d e la sección d e c o n t r o l q u e e s e l c a m b i o d e p e n d i e n t e , c o n u n t i r a n t e r e a l y n 2 , h a c i a a g u a s a r r i b a h a s t a u n y f = 0 , 9 8 y n i .

F i g u r a 5 . 1 9 D e p e n d i e n t e s u a v e a p e n d i e n t e m e n o s s u a v e


3. D e p e n d i e n t e s u a v e a p e n d i e n t e f u e r t e

a n y n 1 , y n 2 l o s t i r a n t e s n o r m a l e s e n c a d a u n o d e l o s d o s t r a m o s ( f i g u r a 5 . 2 0 ) . E n e l p r i m e r t r a m o , p o r s e r p e n d i e n t e s u a v e ( f l u j o subcrítico), s e c u m p l e q u e , y n 1 > y c . E n e l s e g u n d o t r a m o , p o r s e r p e n d i e n t e f u e r t e ( f l u j o supercrítico), s e c u m p l e q u e y n 2 < y c .

a r a p a s a r d e u n f l u j o subcrítico ( p r i m e r t r a m o ) a u n f l u j o supercrítico s e g u n d o t r a m o ) , e n e l c a m b i o d e p e n d i e n t e , q u e e s l a sección d e o n t r o l , s e p r o d u c e e l y c .

o r n o t o d a s i n g u l a r i d a d ( e n e s t e c a s o , e l c a m b i o d e p e n d i e n t e ) e n u n l u j o subcrítico, c r e a e f e c t o s h a c i a a g u a s a r r i b a , e n e l p r i m e r t r a m o e p r e s e n t a u n a c u r v a M2. L a c u r v a M2 s e c a l c u l a d e l a sección d e

n t r o l c o n u n t i r a n t e r e a l y c , h a c i a a g u a s a r r i b a , h a s t a u n y f = 0 , 9 8

o r n o t o d a s i n g u l a r i d a d ( e n e s t e c a s o , e l c a m b i o d e p e n d i e n t e ) e n u n I I J O supercrítico, c r e a e f e c t o s h a c i a a g u a s a b a j o , e n e l s e g u n d o

r a m o s e p r e s e f l t a u n a c u r v a S 2 . L a c u r v a S 2 s e c a l c u l a d e l a occión d e c o n t r o l c o n u n t i r a n t e r e a l y c , h a c i a a g u a s a b a j o , h a s t a u n i = 1 , 0 2 y n 2 .

Máximo Villqn - página (278)

sentido cálculo

Figura 5.20 De pendiente suave a pendiente fuerte

4. De p e n d i e n t e f u e r t e a p e n d i e n t e m e n o s f u e r t e

Sean y n 1 , y n 2 los tirantes normales en cada uno de los dos tramos (figura 5.21). En el primer tramo, por ser pendiente fuerte (flujo supercrítico), se cumple que, y n 1 < yc. En el segundo tramo, por ser pendiente menos fuerte (flujo supercrítico), también se cumple que y n 2 < yc. El tirante normal del segundo tramo, es mayor que la del primero, porque su pendiente es menor, por lo tanto, y n 2 > y n 1

Como toda singularidad (en este caso, el cambio de pendiente) en un flujo supercrítico, crea efectos hacia aguas abajo, por lo que en el primer tramo se produce un flujo uniforme, mientras que en el segundo tramo se presenta una curva S3. La curva S3 se calcula de la sección de control que es el cambio de pendiente, con un tirante real y n 1, hacia aguas abajo hasta un y f = 0,98 y n 2.


Figura 5.21 De pendiente fuerte a pendiente menos fuerte

5. D e p e n d i e n t e f u e r t e a p e n d i e n t e más f u e r t e

Por consideraciones similares al caso 4 se tiene que: ym > y n 2 (figura 5.22)

En ambos tramos se cumple que: ym < Yc (pendiente fuerte) Ym < Yc (pendiente más fuerte)

Como toda singularidad (en este caso, el cambio de pendiente) en un Unjo supercrítico, crea efectos hacia aguas abajo, por lo que en el primer tramo se produce un flujo uniforme, mientras que en el segundo tramo se presenta una curva S2. La curva S2 se calcula de la sección de control que es el cambio de pendiente, con un tirante real y n 1 l hacia aguas abajo hasta un y f = 1,02 y n 2.


s e n t i d o

F i g u r a 5 . 2 2 D e p e n d i e n t e f u e r t e a p e n d i e n t e más f u e r t e

6 . D e p e n d i e n t e f u e r t e a p e n d i e n t e s u a v e

S e a n y n 1 , y n 2 l o s t i r a n t e s n o r m a l e s e n c a d a u n o d e l o s d o s t r a m o s ( f i g u r a 5 . 2 3 ) . E n e l p r i m e r t r a m o , p o r s e r p e n d i e n t e f u e r t e ( f l u j o supercrítico), s e c u m p l e q u e , y n 1 < y c . E n e l s e g u n d o t r a m o , p o r s e r p e n d i e n t e s u a v e ( f l u j o subcrítico), s e c u m p l e q u e y n 2 > y c . E l t i r a n t e n o r m a l d e l s e g u n d o t r a m o , e s m a y o r q u e l a d e l p r i m e r o , p o r q u e s u p e n d i e n t e e s m e n o r , p o r l o t a n t o , y n 2 > y - i P a r a p a s a r d e u n f l u j o supercrítico ( p r i m e r t r a m o ) , a u n f l u j o subcrítico ( s e g u n d o t r a m o ) , s e d e b e p r o d u c i r u n r e s a l t o hidráulico, l o q u e n o s e c o n o c e d e a n t e m a n o e s s u ubicación, l o q u e s e c o n s i g u e sólo r e a l i z a n d o a l g u n o s cálculos p r e v i o s .


F i g u r a 5 . 2 3 D e p e n d i e n t e f u e r t e a p e n d i e n t e s u a v e

U n a f o r m a práctica d e d e t e r m i n a r l a ubicación d e l r e s a l t o hidráulico, es c o n e l s i g u i e n t e p r o c e s o : 1 . A p a r t i r d e l yn1 ( t i r a n t e n o r m a l d e l p r i m e r t r a m o , e l d e m a y o r

p e n d i e n t e ) , c a l c u l a r e l c o n j u g a d o m a y o r y 2 . 2 . C o m p a r a r y 2 c o n yn2 ( t i r a n t e n o r m a l e n e l s e g u n d o t r a m o , e l d e

m e n o r p e n d i e n t e ) : • S i y 2 > yn2 el resalto es barrido ( f i g u r a 5 . 2 4 ) y s e u b i c a e n e l t r a m o

d e m e n o r p e n d i e n t e ( s e g u n d o t r a m o ) . A n t e s d e l r e s a l t o s e p r e s e n t a u n a c u r v a M3, L a c u r v a M3, s e c a l c u l a d e l a sección d e c o n t r o l q u e e s e l c a m b i o d e p e n d i e n t e , c o n u n t i r a n t e r e a l y n 1 , h a c i a a g u a s a b a j o h a s t a u n y f = y ' 7 . E l t i r a n t e y'h d e b e r e c a l c u l a r s e a p a r t i r d e l t i r a n t e c o n j u g a d o m a y o r c o n o c i d o y'2 = y * .


s e n t i d o

F i g u r a 5 . 2 4 R e s a l t o b a r r i d o

S i y 2 = y„ 2 e l r e s a l t o e s c l a r o ( f i g u r a 5 . 2 5 ) y s e i n i c i a j u s t o e n e l c a m b i o d e p e n d i e n t e , e n e s t e c a s o n o s e p r e s e n t a n i n g u n a c u r v a d e r e m a n s o .

F i g u r a 5 . 2 5 R e s a l t o c l a r o .

S i y2 < yn2 e l r e s a l t o e s a h o g a d o ( f i g u r a 5 . 2 6 ) y s e u b i c a e n e l t r a m o d e m a y o r p e n d i e n t e . Después d e l r e s a l t o y a n t e s d e l t i r a n t e n o r m a l yn2 s e p r e s e n t a u n a c u r v a S 1 , q u e u n e e l t i r a n t e c o n j u g a d o m a y o r y2 d e l t r a m o c o n m a y o r p e n d i e n t e , c o n e l t i r a n t e n o r m a l y n 2 d e l t r a m o c o n m e n o r p e n d i e n t e . L a c u r v a S 1 , s e c a l c u l a d e l a sección d e c o n t r o l q u e e s e l c a m b i o d e p e n d i e n t e , c o n u n t i r a n t e r e a l y n 2 , h a c i a a g u a s a r r i b a h a s t a u n y f = y 2 .


s e n t i d o

F i g u r a 5 . 2 6 R e s a l t o a h o g a d o

Métodos d e cálculo

U n a v e z d e f i n i d o e l t i p o d e p e r f i l d e f l u j o y l a s s e c c i o n e s d e c o n t r o l , s e p r o c e d e a l cálculo numérico d e l o s t i r a n t e s r e a l e s a l o l a r g o d e l e s c u r r i m i e n t o , p a r a c a d a u n o d e l o s t r a m o s c o n p e n d i e n t e d e f o n d o c o n s t a n t e . E n l a t a b l a 5 . 1 s e i n d i c a e l s e n t i d o d e cálculo q u e d e b e r e a l i z a r s e p a r a c e d a t r a m o e s p e c i f i c a d o .

E l cálculo d e l o s p e r f i l e s d e l f l u j o g r a d u a l m e n t e v a r i a d o s e r e a l i z a básicamente, d a n d o solución a la ecuación dinámica d e l f l u j o g r a d u a l m e n t e v a r i a d o .

I x i s t e n v a r i o s p r o c e d i m i e n t o s p a r a e l cálculo, q u e e n f o r m a genérica 8 6 p u e d e n c l a s i f i c a r e n t r e s métodos básicos: n . Método d e integración gráfica h. Método d e integración d i r e c t a < Método numérico

Método d e integración gráfica

E s t e e s e l método m e n o s e x a c t o , s o b r e t o d o s i l o s i n c r e m e n t o s A y s o n g r a n d e s , p u e s t o q u e s e r e s u e l v e l a i n t e g r a l d e l f l u j o g r a d u a l m e n t e v a r i a d o , u t i l i z a n d o t r a p e c i o s . P a r a a u m e n t a r l a


exacti tud los incrementos Ay deben ser pequeños. Este método está basado en la integración artif icial de la ecuación d inámica del flujo gradualmente var iado, mediante un procedimiento gráf ico.

A. Explicación del método

La solución se refiere a la integración de la ecuación (5.13):

dy = S0 -SE

dx 1 Q2T

la cual se puede expresar en la fo rma:

, Q2T «A3

dx = = dy . . . (5 .14)

donde: Q, g, S 0 son constantes y T, A, S E son funciones del t irante y, por lo cual:

; Q2T g^ = / ( y ) . . . (5 .15)

luego la ecuación (5.14) se puede escribir como: dx = f{y\dy . . . (5 .16)

Considerando las secc iones © y ® de un canal a las distancias x^ y x 2 respect ivamente (medidas desde un or igen arbitrario) y en las cuales se presentan los t i rantes y ^ y 2 (figura 5.27).


Figura 5.27 Tramo de un canal

distancia de separación de estas dos secciones, a lo largo del nal será:

: ^ = * 2 - * , = ^/{y)dy -(5.17)

no de los conceptos e lementa les del cálculo integral, apl icando la di ' l inición de Riemann para la integral definida indica que:

• 8 el área achurada A (f igura 5.28), formada por la curva, el eje y, y lis ordenadas de f(y) correspondientes a y1 y y 2 , es decir, f ( y t ) y f (y 2 ) :

e acuerdo con la ecuac ión 5.17 el valor Ax es igual al área sombreada, es decir:

Ax = A=^f(y)dy


D i c h a área p u e d e d e t e r m i n a r s e p o r m e d i o d e u n planímetro, p o r e l u s o d e l a r e g l a d e S i m p s o n ( c o n s i d e r a n d o e l área c o m o u n t r a p e c i o ) o p o r c u a l q u i e r o t r o p r o c e d i m i e n t o q u e p r o p o r c i o n e l a precisión r e q u e r i d a .

2

E l método s e a p l i c a a c u a l q u i e r t i p o d e p e r f i l d e f l u j o e n c a n a l e s prismáticos y así c o m o a l o s n o prismáticos d e c u a l q u i e r f o r m a y p e n d i e n t e .

B. Procedimiento de cálculo

E l p r o c e d i m i e n t o d e cálculo p a r a e s t e método e s c o m o s i g u e :

1 . I d e n t i f i c a r e l t r a m o d o n d e s e r e a l i z a n l o s cálculos ( f i g u r a 5 . 2 9 ) , s i e n d o e l t i r a n t e i n i c i a l (y¡) e l t i r a n t e d e l a sección d e c o n t r o l y e l y f i n a l ( y f ) , e l t i r a n t e h a s t a d o n d e s e d e s e a c a l c u l a r l a c u r v a d e r e m a n s o .


s e n t i d o d e cálculo -!

- t r a m o a c a l c u l a r -y i • t i r a n t e i n i c i a l y f • t i r a n t e f i n a l

sección d e c o n t r o l

F i g u r a 5 . 2 9 I d e n t i f i c a r t r a m o a> c a l c u l a r

D e f i n i r e l número d e d i v i s i o n e s n q u e tendrá e l t r a m o y c a l c u l a r e l i n c r e m e n t o A y :

A y = ^ l A

S i d e s e a p u e d e d a r s e i n c r e m e n t o c o n s t a n t e o v a r i a b l e ( p o r e j e m p l o A y = 2 , 3 , 5 o 1 0 c m . ) , d e p e n d i e n d o d e l a p a r t e d e l a c u r v a a c a l c u l a r .

* C o n s t r u i r l a gráfica f ( y ) , e l p r i m e r v a l o r d e y p u e d e s e r e l t i r a n t e e n l a sección d e c o n t r o l y l o s o t r o s v a l o r e s d e y s e o b t i e n e n agregándole u n i n c r e m e n t o A y ; l u e g o p a r a c a d a v a l o r d e y , s e c a l c u l a e l c o r r e s p o n d i e n t e f ( y ) .

E s t o s cálculos s e r e s u m e n e n l a t a b l a 5 . 2 .

L a c u r v a s e c o n s t r u y e g r a f i c a n d o l a c o l u m n a ( D c o n t r a l a ( D . C o m o información a d i c i o n a l , e n l a f i g u r a 5 . 3 0 s e m u e s t r a l a f o r m a d e l a s c u r v a s d e f ( y ) p a r a l a s c u r v a s d e r e m a n s o g e n e r a d a s e n p e n d i e n t e s u a v e y f u e r t e .


Tabla 5.2. Modelo de cálculo para el método de integración gráfica ,. . . ....... .

y i

(1) (3)

R

(4) ./i

(5) (6)

y y+Ay

$Q ™ $ E

(8)

O'T 1 - -—j

/ ( > • ) = - — ^ 4 -(10)

4. Evaluar las áreas parciales de la curva f(y) para cada dos valores consecutivos de y, mediante el planímetro o realizando los cálculos geométricos al asumir que las áreas parciales como trapecios; esto será más aproximado cuanto más pequeño sea el A y (figura 5.31). Las áreas parciales representan las distancias entre dos secciones del canal es decir, Ax = A (figura 5.32), los cuales se colocan en la columna ® de la tabla 5.2.

5. Acumular las distancias obtenidas para cada tramo, a partir de la sección de control considerada como punto de inicio de los cálculos (figura 5.33); estos valores se colocan en la columna ® de la tabla 5.2.


a) Pendiente suave b) Pendiente fuerte

Figura 5.30 Curvas f(y) para diferentes tipos de curvas de remanso.

A=$;f(y)dy=m±f(yziAy

Figura 5.31 Área bajo la curva f(y)


C. P r o c e s o C o m p u t a c i o n a l

H c a n a l e s p e r m i t e e l cálculo d e l a c u r v a d e r e m a n s o u t i l i z a n d o e l Método d e Integración Gráfica. P a r a e l u s o d e e s t e p r o g r a m a e s c o n v e n i e n t e u t i l i z a r p a r a i n c r e m e n t o s d e l t i r a n t e v a l o r e s pequeños, e s t o s e c o n s i g u e h a c i e n d o q u e e l n u m e r o d e t r a m o s a c a l c u l a r s e a g r a n d e .


P r o b l e m a r e s u e l t o

' n c a n a l d e sección t r a p e z o i d a l d e a n c h o d e s o l e r a 2 , 5 m , t a l u d 1 , 5 , Itá e x c a v a d o e n t i e r r a (n = 0 , 0 2 5 ) , c o n u n a p e n d i e n t e u n i f o r m e d e

0 , 0 0 0 5 c o n d u c e u n c a u d a l d e 5 m 3 / s . C o n e l o b j e t i v o d e d a r c a r g a l o b r e u n a señe d e c o m p u e r t a s p a r a t o m a s l a t e r a l e s , s e d e s e a u t i l i z a r u n v e r t e d e r o d e f o r m a r e c t a n g u l a r d e p e r f i l C r e a g e r ( c o e f i c i e n t e d e J§scarga C = 2 ) , c o n u n a l o n g i t u d d e c r e s t a L = 7 m .

a ecuación d e l v e r t e d e r o e s O = C L h3'2 y l a a l t u r a d e l a c r e t a a l ¡ndo e s P = 1 , 8 m ( f i g u r a 5 . 3 4 ) . C a l c u l a r ' e l p e r f i l d e f l u j o y l a

fcngitud t o t a l x d e l r e m a n s o , c o n s i d e r a d o q u e t e r m i n a a l a l c a n z a r u n P i r a n t e q u e s e a 2 % m a y o r q u e e l n o r m a l .

^ r ^ ^ ^ Z . T-nfc* T y n l" S° = 0 0 0 0 5 n- 0,025 l

* F i g u r a 5 . 3 4 P e r f i l l o n g i t u d i n a l

olución Ihitos:

Q = 5 m 3 / s n = 0 , 0 2 5 S 0 = 0 , 0 0 0 5 b = 2 , 5 m

P= 1 , 8 m Z = 1 , 5 C = 2 L = 7 m

• a r a d e f i n i r e l t i p o d e p e r f i l , s e s i g u e n l a s p a u t a s i n d i c a d a s ( i n t e r i o r m e n t e ( p r o c e d i m i e n t o p a r a d e t e r m i n a r e l t i p o d e c u r v a d e r a m a n s o ) .

A Cálculo del tirante normal

n o e x i s t i r e l e f e c t o d e l r e m a n s o , e l f l u j o u n i f o r m e s e establecería e l c a n a l c o n u n t i r a n t e n o r m a l .


P a r a e l cálculo d e l t i r a n t e n o r m a l p u e d e u s a r s e e l método gráfico e n f o r m a c o n j u n t a c o n e l método a l g e b r a i c o o m e d i a n t e e l u s o d e l p r o g r a m a H c a n a l e s .

a ) U s o d e n o m o g r a m a :

S e s a b e q u e : Qn _AR

2/3

si/2bW - ~ b W

5x0,025 _AR^_

0,00051/2 x2,58/3 bi/y

AR2/i

¿,8/3 = 0,4856

D e l a f i g u r a 2.5 p a r a Z = 1,5 s e o b t i e n e : y Ib = 0,56

d e d o n d e : y = 0,56x2,5

y = 1,40 m

b ) C h e q u e o u s a n d o e l método a l g e b r a i c o : D e l a ecuación d e M a n n i n g , s e t i e n e :

Q = -AR2/3Si/2

n

SV2 p 2 / 3

r s

A 5 fe-»Y P2

SM2


, > [(2,5+ 1 , 5 ^ [ 5 X 0.025] 1

( ) [(2.5 + 1.5 ,H ' (2,5 + 3,6056y)2

n d o v a l o r e s a y , s e t i e n e :

1 , 4 0 1 9 4 , 4 3 ' 1 , 3 5 1 5 6 , 7 2

1 , 3 7 5 1 7 4 , 7 1 '. y n = 1 , 3 7 5 m

Cálculo del tirante crítico

e p u e d e n u s a r l o s m i s m o s métodos i n d i c a d o s p a r a e l t i r a n t e r m a l .

) U s o d e n o m o g r a m a : Q A'12

V¿¿>2'5 Tl/2b5/2

5 _ A1'2

V ^ 8 T x 2 , 5 2 - 5 7"/2Z>5/2

A3/2

7 V V T = 0 ' 1 6 1 5

o l a f i g u r a 3 . 5 p a r a Z = 1 , 5 , s e o b t i e n e :

^ = 0 , 2 5 5 b

g o : y = 2 , 5 x 0 , 2 5 8


y = 0 , 6 4 5 m

b ) C h e q u e o u s a n d o e l método a l g e b r a i c o :

D e l a ecuación d e l f l u j o crítico, s e t i e n e :

8 T

S u s t i t u y e n d o v a l o r e s s e o b t i e n e : _ 2 5 _ [ ( 2 , 5 + l , 5 y ) y ] 3

9 , 8 1 2 , 5 + 2 x l , 5 y

e t , _ [ ( 2 , 5 + l , 5 y ) y ] 3

f(y) = - 2 , 5 + 3 y 2 , 5 4 8 4

D a n d o v a l o r e s a y, s e t i e n e :

0 , 6 4 5 2 , 5 2 2 5 0 , 6 4 6 2 , 5 3 5 8 0 , 6 4 7 2 , 5 4 9 2

.'. y c = 0 , 6 4 7 m

N o t a : e n e s t e c a s o , p a r a c l a s i f i c a r e l t i p o d e p e r f i l bastaría c o n e l v a l o r o b t e n i d o c o n l o s n o m o g r a m a s .

C . Identificación de la sección de control

E n e s t e c a s o , l a sección d e c o n t r o l e s e l v e r t e d e r o , s i e n d o e l t i r a n t o a g u a s a r r i b a d e l m i s m o :

y0=P + h

A p l i c a n d o l a ecuación p a r a e l v e r t e d e r o r e c t a n g u l a r d e c r e s l i a n g o s t a , s e t i e n e :


Q = CLh3/2

, i 2 / 3

1 = 1 CL 2 / 3

l u e g o :

h = _ 2 x 7

¿ = 0 , 5 0 m

y o = 1 , 8 0 + 0 , 5 0 y0 = 2 , 3 0 m

D. Identificación del tipo de perfil

S i e n d o : yn = 1 ,375 > yc = 0 , 6 4 7 - > curva M

y0 = 2 , 3 0 > yn = 1 ,375 > yc = 0 , 6 4 7 - > zona 1

l u e g o e l p e r f i l e s d e l t i p o M 1

. Cálculo del perfil

E l cálculo s e efectuará d e s d e y 0 = 2 , 3 0 m h a c i a a g u a s a r r i b a , h a s t a u n t i r a n t e s u p e r i o r e n u n 2 % d e l t i r a n t e n o r m a l , e s d e c i r h a s t a :

y = 1 , 0 2 - y , y = 1 , 0 2 x 1 , 3 7 5 y = 1 , 4 0 2 5 y = 1 ,40 m

A l i n i c i o , l a disminución d e l t i r a n t e e s d e 0 , 1 0 m y a m e d i d a q u e s e t e n g a n v a l o r e s próximos a y n , p a r a m e j o r precisión, l a disminución e s de 0 , 0 5 , 0 , 0 2 y 0 , 0 1 m r e s p e c t i v a m e n t e . L o s r e s u l t a d o s o b t e n i d o s s e r e s u m e n e n l a s c o l u m n a s d e 1 a 9 d e l a t a b l a 5 . 3 .

Máximo V i l l p n - página ( 2 9 6 ) Hidráulica d e c a n a l e s - página ( 2 9 7 )

P o r e j e m p l o , c u a n d o y = 2 , 3 m l o s v a l o r e s d e l a s o t r a s c o l u m n a s d e IB t a b l a 5 . 3 s o n :

c o l u m n a d > : A = (b + Zy)y = ( 2 , 5 + 1 , 5 x 2 , 3 ) 2 , 3 = 1 3 , 6 8 5 m 2

11 i l u m n a (D : T = b + 2Zy = 2,5 + 2 x 1,5 x 2 , 3 = 9 , 4 0 m

fclumna <D: R = (b + Zy)y = ( 2 , 5 + 1 , 5 x 2 , 3 ) 2 , 3 b + 2y/\ + Z2y 2 , 5 + 2 ^ + 1,5 2 x 2 , 3

= 1 , 2 6 7 9 m

C o l u m n a (E>: v = — = A 1 3 , 6 8 5

= 0 , 3 6 5 4 m / s

1 " l u m n a ® : SF = f n - v Y f 0 , 0 2 5 x 0 , 3 6 5 4 ^

U 2 / 3 J [ 1 . 2 6 7 9 2 ' 3 J = 6 , 0 7 9 x 1 0 "

lumna®: 1 - ¿ I = 1 Ü ü ^ 4 0 _ =

^ 3 9 , 8 1 x l 3 , 6 8 5 3 '

l u m n a <D: S0-SE = 0 , 0 0 0 5 - 6 , 0 7 9 x 1 0 - 5 = 4 , 3 9 2 x 1 0 ^

f - ' i Q l j

l u m n a ® : / ( y ) = - Q > 9 9 0 7 _ 2 2 < 6

S0-SE 4 , 3 9 2 x l 0 ~ 4

n l o s v a l o r e s d e y y f(y), e s d e c i r , c o l u m n a s ® y d ) d e l a t a b l a 5 3 p u e d e g r a f i c a r l a c u r v a q u e s e m u e s t r a e n l a f i g u r a 5 3 5 P o r

n d i o d e u n planímetro s e o b t u v i e r o n l a s áreas b a j o l a c u r v a q u e r o n l o s v a l o r e s d e A x p a r a l o s d i f e r e n t e s t i r a n t e s , e s t o s v a l o r e s s e

u e s t r a n e n l a c o l u m n a ® , l o s v a l o r e s a c u m u l a d o s d e A x d a n l a n g i t u d x q u e e x i s t e d e s d e l a sección d e c o n t r o l h a s t a l a sección c o n


e l t i r a n t e e s p e c i f i c a d o , l o s m i s m o s q u e s e m u e s t r a n e n l a c o l u m n a

<3>.

y

F i g u r a 5 . 3 5 C u r v a f ( y )

E l p e r f i l d e l r e m a n s o s e o b t i e n e g r a f i c a n d o l a s c o l u m n a s <D y l a t a b l a 5 . 3 , y s e m u e s t r a e n l a f i g u r a 5 . 3 6 .


< * > O < M C M J Q M E 2 «n

i g u r a 5 . 3 6 P e r f i l M 1 c a l c u l a d o p o r e l método d e integración gráfica

; b e n o t a r s e q u e e l cálculo d e l área A s e p u e d e s i m p l i f i c a r y d e t e r m i n a r c o n m u c h a aproximación a s u m i e n d o q u e e s d e f o r m a t r a p e z o i d a l , e s t o s i e m p r e y c u a n d o e l i n c r e m e n t o c o n s i d e r a d o p a r a A y s e a b a s t a n t e pequeño.

E n e s t e e j e m p l o " S e usó e s t e c r i t e r i o e n l o s últimos t r a m o s , d o n d e e l A y = 0 , 0 1 , p u e s c o m o s e o b s e r v a , a l a c e r c a r s e e l t i r a n t e r e a l a l t i r a n t e n o r m a l , e l v a l o r d e l área s e i n c r e m e n t a rápidamente c o n u n a pequeña variación d e l t i r a n t e , l o q u e h a c e difícil p l a n i m e t r a r l o . P o r e j e m p l o , e l área e n t r e y = 1 , 4 1 y y = 1 , 4 0 e s :

. 1 9 7 7 8 + 2 7 1 6 6 A = x 0 , 0 1

2 A = 2 3 4 , 7 2 m 2

N o t a : E n e s t e e j e m p l o s e t r a b a j o d a n d o v a l o r e s d i f e r e n t e s a A y , s e p u d o t r a b a j a r c o n A y c o n s t a n t e s i s e d e f i n e e l n u m e r o d e t r a m o s n. C u a n d o m a y o r e s e l número d e t r a m o s , m a y o r será l a aproximación d e l cálculo d e l a l o n g i t u d d e l a c u r v a d e r e m a n s o .

Máximo Viljón - página (300)

F. Uso de Hcanales

Al ingresar los datos del problema, se tiene la figura 5.37.

r- Datos: 1

Caudal (Q):

Ancho de solera (b):

Talud Z:

Pendiente (S):

Rugosidad (n):

Tirante inicial (y1):

Tirante final (y2):

Número de tramos (nt):

m37s

2.5

1.5

0.0005

0.025

2.3

1.4 m

m 10

Figura 5.37 Datos del problema

Los resultados parciales y finales obtenidos, se muestran en las tablas 5.4 y 5.5, respectivamente.

Tabla 5.4 Resultados parciales obtenidos con el método de integración gráfica i - - — ™ - ^ » ^ » . , ^ , . ^

2.30 13.685 10 .7928 1.268 9.40 0 .3654 0 .000061

2.21 1 2 . 8 5 1 2 10 .4683 1.2276 9 . 1 3 0.3891 0 .000072

2 . 1 2 1 2 . 0 4 1 6 10 .1438 1.1871 8 .86 0 .4152 0 .000086

2.03 11 .2564 9 .8193 1.1464 8.59 0 .4442 0 .000103

1.94 10.4954 9 .4948 1.1054 8.32 0 .4764 0 .000124

1.85 9 .7588 9 .1703 1.0642 8 .05 0 .5124 0 .000151

1.76 9 .0464 8 .8458 1.0227 7.78 0 .5527 0 .000185

1.67 8 .3584 8 . 5 2 1 3 0 .9809 7.51 0 .5982 0 .000229

1.58 7.6946 8 .1968 0 .9387 7.24 0 .6498 0 .000287

1.49 7 .0552 7 .8723 0 .8962 6.97 0 .7087 0 .000363

1.40 6 .4400 7 .5478 0 .8532 6.70 0 .7764 0 .000466


í-CTT/gA3 SO-Se f(y) Í deltax X 0.9907 0.000439 2255.55 . . .

0.9890 0.000428 2310.7 -205.48 205.48 0.9871 0.000414 2382.68 -211.2 416.68 0.9847 0.000397 2478.89 -218.77 635.45 0.9817 0.000376 2611.55 -229.07 864.52 0.9779 0.000349 2802.19 -243.62 1108.14 0.9732 0.000315 3092.56 -265.26 1373.41 0.9672 0.000271 3575.51 -300.06 1673.47 0.9595 0.000213 4507.14 -363.72 2037.19 0.9494 0.000137 6945.3 -515.36 2552.55 0.9361 0.000034 27165.56 -1534.99 4087.54

Tabla 5.5 Resultados finales obtenidos con el método de integración gráfica

X y 0 2.30

205.48 2.21 416.68 2-12 635.45 2.03 864.52 1.94 1108.1 1.85 1373.4 1.76 1673.5 1.67 2037.2 1.58 2552.6 1.49 4087.5 1.40

Método de integración directa La expresión diferencial del flujo gradualmente variado, en cualquiera de sus formas, no puede ser expresada explícitamente en términos del tirante y para todos los tipos de sección transversal de un canal,


entonces el cálculo en fo rma directa y exacta de la ecuac ión no es posible en general . Sin embargo , se han introducido simpli f icaciones que posibil itan la integración en casos part iculares.

Solución de Bakhmeteff -Ven Te Chow

Inicialmente se estudiaron métodos para la solución de canales típicos, entre los que destacan los trabajos de Dupuit (1848) y Bresse (1860), que integraron la ecuac ión para canales rectangulares muy anchos, y la de Tolkmit t (1898) para canales paraból icos muy anchos, uti l izando la fórmula de Chezy para expresar las pérdidas por f rotamiento. En 1912 Bakhmeteff , inspirado en general por los trabajos de Bresse y Tolkmit t , propone una metodología que permite integrar la ecuación para canales en forma cualquiera, introduciendo la l lamada función de f lujo var iado. En años poster iores, se continua con la idea de Bakhmeteff , e l iminando algunas de las l imitaciones del método y tratando de lograr un procedimiento de cálculo más directo y seguro, entre los cuales se pueden citar los trabajos Mononobo (1938), Lee (1947), Von Seggern (1950), Chow (1955).

Una de las hipótesis fundamenta les del método, es la suposic ión de que los l lamados exponentes hidrául icos, se mant ienen constantes en el t ramo considerado.

Procedimiento de integración

Muchos invest igadores han suger ido procedimientos para refinar ol trabajo or ig inalmente desarrol lado por Bakhmeteff; Ven Te Chow en particular, con base en el estudio de muchos de los trabajo» expuestos anter iormente, desarrol ló un método que permite extendor y consol idar la solución de Bakhmeteff , manteniendo la misma formu de la función de flujo var iado.

El procedimiento que se presenta a cont inuación, es válido pr incipalmente para cualquier t ipo de sección transversal en canalot» prismáticos.


Planteo de la ecuación:

la ecuación (5.13), se t iene: l Si

1 -gA3

cual puede expresarse como:

1 Q2T d x = l T~dy - ( 5 . 1 8 )

°0 1 ° £

Transformación de la ecuación en términos de y, y n y c A/ v / l i la ecuación de Manning: y ° ' y

Q = -AR*SV2

define como factor de conducc ión K, a:

K = -AR2'\..{5A9)

go:

p = AS*^f a«ÍL f..(5.20)

khmeteff asumió empír icamente que:

1 ' " ' l V C y » . . . ( 5 . 2 1 ) W = —AR213

nde:

C - coeficiente de proporcional idad


N = exponente hidráulico para cálculos de flujo uniforme que depende de la forma de la sección y del tirante

La ecuación (5.21), es más aproximada para unas secciones que para otras, pero en la comprobación de la misma, realizada con secciones de las más variadas formas, se ha obtenido un grado de aceptación notable.

De las ecuaciones (5.20) y (5.21), se tiene:

= Cy

donde: S = S E = pendiente de la línea de energía, es decir:

Q2

...(5.22)

En el caso de un flujo uniforme y = y n y S E - S 0 , luego:

Q1

s0 = ...(5.23)

Dividiendo (5.22) entre (5.23), se tiene:

(yA (5.24)

Se define como factor de sección Z, a:

Z = A^y


Z = Ay[AÍT - > Z 2 = y - ...(5.25)

De la ecuación general para el flujo crítico, se tiene:

8 Tc

es decir:

Q2 Z ] = -S_ ... (5.26) 8

Dividiendo (5.26) entre (5.25), resulta:

z 2

8

de donde:

Q 2 T 8 A 3

... (5.27)

De otro lado, de la ecuación (5.25), desde que el factor de sección Z es una función del tirante, se puede suponer que:

A*

Z 2 = — = CyM ...(5.28)

donde: C = coeficiente de proporcionalidad M = exponente hidráulico para cálculos de flujo crítico que

depende de la forma de la sección y del tirante

En caso de flujo crítico, se tiene:


Cy M ( 5 . 2 9 )

D i v i d i e n d o ( 5 . 2 9 ) e n t r e ( 5 . 2 8 ) , r e s u l t a : Í 7 \ 2 íy\M

v y J ... ( 5 . 3 0 )

I g u a l a n d o ( 5 . 2 7 ) y ( 5 . 3 0 ) , s e o b t i e n e :

Q2T yc

gA1

yyj . . . ( 5 . 3 1 )

S u s t i t u y e n d o ( 5 . 3 1 ) y ( 5 . 2 4 ) e n ( 5 . 1 8 ) , r e s u l t a :

i - I dx = 1

1 yc

\ y J

i L y

dy . . . ( 5 . 3 2 )

3 . A r t i f i c i o d e integración:

u-+dy = yndu

H a c i e n d o : y_

y„ ( 5 . 3 3 )

l u e g o :

y « ... ( 5 . 3 4 )

yc yc yn yc 1

... ( 5 . 3 5 ) y yn y y» »

S u s t i t u y e n d o ( 5 . 3 3 ) , ( 5 . 3 4 ) y ( 5 . 3 5 ) , e n ( 5 . 3 2 ) , s e o b t i e n e


i-

u

dx =

1 — y„du

dx yn

( „ > M '

y. N-M u —

y. u M

- [y») du

dx = y„

M .N-M

uN-\ du

D e s c o m p o n i e n d o l a fracción e n u n a s u m a a l g e b r a i c a d e f r a c c i o n e s a d e m a s s u m a n d o y r e s t a n d o 1 a l n u m e r a d o r o e l p r i m e r s u m a n d o s e

I -

dx = ^¡-uN-\ + \

uN-\ yj

,N-M

uN-\ du

dx = ^- 1 + uN-\

,N-M

[yj uN-\ du

S S e S d e ? r S í g n ° ° ' ° S d e n ° m Í n a d o r e s ' l a s fra^iones c a m b i a n d e


dx - + N-M

\-u> du ... ( 5 . 3 6 )

E s t a ecuación p u e d e i n t e g r a r s e p a r a t o d a l a l o n g i t u d x d e l p e r f i l d e l f l u j o . D e b i d o a q u e e l c a m b i o d e l t i r a n t e e n u n f l u j o g r a d u a l m e n t e v a r i a d o g e n e r a l m e n t e e s pequeño, l o s e x p o n e n t e s hidráulicos M y N s e p u e d e n s u p o n e r c o n s t a n t e s d e n t r o d e l o s límites d e integración.

C u a n d o l o s e x p o n e n t e s hidráulicos s o n n o t a b l e m e n t e d e p e n d i e n t e s d e y e n l o s t i r a n t e s d e l t r a m o d a d o , e s t e debería subdívidirse e n o t r o s t r a m o s p a r a r e a l i z a r l a integración; e n t o n c e s , e n c a d a t r a m o , l o s e x p o n e n t e s s e p u e d e n c o n s i d e r a r c o n s t a n t e s . I n t e g r a n d o l a ecuación a n t e r i o r , s e t i e n e :

x = (u du N-M

+ cte ( 5 . 3 7 )

L a p r i m e r a integración d e l a ecuación ( 5 . 3 7 ) d e p e n d e s o l o d e u y N y s e d e s i g n a p o r :

H u , N ) . . . ( 5 . 3 8 ) j l a c u a l s e c o n o c e c o m o función d e f l u j o v a r i a d o d e B a k h m e t e f f . L o s v a l o r e s o b t e n i d o s p a r a d i f e r e n t e s v a l o r e s d e u y N s e e n c u e n t r a n e n l a t a b l a >41 d e l apéndice, ésta f u e p r e p a r a d a p o r B a k h m e t e f f e n l o s años 1 9 1 4 - 1 9 1 5 .

C h o w p u d o t r a n s f o r m a r l a s e g u n d a i n t e g r a l d e l a ecuación ( 5 . 3 7 ) , o s d e c i r :

Ff—jrdu . . . ( 5 . 3 9 ) • u 1 -u

e n l a f o r m a d e l a función d e f l u j o v a r i a d o , c o n e l s i g u i e n t e a r t i f i c i o :

H a c i e n d o :


a ) v = uN,J -*u = vJIN ->< uN =vJ

.... ( 5 . 4 0 )

_ d JIN-du = — N dv

b ) J N J

S u s t i t u y e n d o ( 5 . 4 0 ) y ( 5 . 4 1 ) e n ( 5 . 3 9 ) , s e t i e n e : (N-M)

f U U í V V N > j J _

l»;ro:

J_ N N N

l u e g o :

P r ^ * ^ & * - ^ J P ¡ ^ 7 - ^ ) . . . ( 5 . 4 2 ,

l o n d e :

Máximo V i l l p n - página ( 3 1 0 )

e s l a m i s m a función d e l f l u j o d e B a k h m e t e f f e x c e p t o q u e l a s v a r i a b l e s u y N s e r e e m p l a z a n p o r v y J, r e s p e c t i v a m e n t e .

S u s t i t u y e n d o ( 5 . 3 8 ) y ( 5 . 4 2 ) e n ( 5 . 3 7 ) , y u s a n d o l a notación p a r a l a s f u n c i o n e s d e l f l u j o v a r i a d o , s e t i e n e :

x =

, M

u-F(u,N)+ y»)

J_

N F{V,J) + cte ( 5 . 4 3 )

L a ecuación ( 5 . 4 3 ) p r o p o r c i o n a l a d i s t a n c i a x q u e e x i s t e e n t r e l a sección c o n s i d e r a d a y u n p u n t o a r b i t r a r i o . S i s e a p l i c a e s t a ecuación e n t r e d o s s e c c i o n e s c o n s e c u t i v a s © y ® d e características c o n o c i d a s , e s d e c i r , c o l o c a n d o l o s límites d e integración, l a d i s t a n c i a L q u e e x i s t e e n t r e e s t a s d o s s e c c i o n e s e s :

L = x2-xl=^{{u2-ui)-[F{u2,N)-F{U], N)] U n

^[F(v2,j)-F(v„j)] ( 5 . 4 4 )

d o n d e : L =

u = relación e n t r e e l t i r a n t e d e u n a sección c u a l q u i e r a , y

x , - xl = d i s t a n c i a e n t r e l a s s e c c i o n e s c o n s e c u t i v a s (D y (D d e características c o n o c i d a s

y_

yn

e l t i r a n t e n o r m a l yn = t i r a n t e n o r m a l yc = t i r a n t e crítico S0 = p e n d i e n t e d e l f o n d o M y N = e x p o n e n t e s hidráulicos, s o n función d e l a g e o m e l r l l d e l a sección y d e l t i r a n t e d e a g u a . L a s e c u a c i o n e s p a r a i cálculo ( 5 . 4 9 ) y ( 5 . 5 2 ) , p a r a s e c c i o n e s t r a p e z o i d a l e s | | deducirán e n l a sección s i g u i e n t e .


F(U,N)= J ^ — — y = función d e l f l u j o v a r i a d o , c a l c u l a d o p o r

B a k h m e t e f f , c u y o s v a l o r e s s e m u e s t r a n e n l a t a b l a A 1 d e l apéndice.

v y J = v a r i a b l e s i n t r o d u c i d a s p o r V e n T e C h o w , s i e n d o :

v = u

J = -

NIJ

N

N-M + í

v dv FÍv,j) = f = función d e l f l u j o v a r i a d o , s e c a l c u l a c o n l a

m i s m a t a b l a d e B a k h m e t e f f e n t r a n d o c o n l o s v a l o r e s d e v y J e n l u g a r d e u y N

N o t a . L a ecuación ( 5 . 4 4 ) r e s u l t a útil u t i l i z a r l a c u a n d o s e está b a j a n d o c o n u n s o l o t r a m o , p e r o s i s e t r a b a j a c o n 2 o más t r a m o s m e j o r u t i l i z a r l a ecuación ( 5 . 4 3 )

0 . Cálculo de las^sxpresiones de los exponentes hidráulicos NyM

l Cálculo d e l e x p o n e n t e hidráulico N

e l a ecuación ( 5 . 2 1 ) , s e t i e n e :

\A2R4/i=CyN . . . ( 5 . 4 5 ) n

o r n a n d o l o g a r i t m o s n a t u r a l e s a a m b o s m i e m b r o s , r e s u l t a :

lnl M I + 2\nA + -\nR = \nC + N\ny . . . ( 5 . 4 6 )

t r i v a n d o c o n r e s p e c t o a y, s e o b t i e n e -7 1 dA 4 \dR i 2Aly-+3R-oy=N-- "(5-47>


pero: dA _ j . dy"

% = APF AP dy P dy P P ^ Sustituyendo valores en (5.47) se tiene:

IT 4 p{T__A_dp_}N_ + 3'A{P P2 dy) y A

JV = 2y L+2- i r - - — A + 3A{ pdy)_ 3T + 2T - f

p dy N = 3A

2Adp 5T - f p dy ... (5.48)

Para una sección trapezoidal se cumple que: A = {b + Zy)y T = b + 2Zy p = b + 2 ^ y ^ f y = 2 ^

Con esto, la ecuación (5.48), toma la forma:

N = ^1— 3(b + Zy). (y 5{b + 2Zy) b + 2 ^ y


N 10 3

'b + 2Zy~ 8 Vl + Z 2 y

b + Zy 3 6 + 2Vl + Z 2 y

Dividiendo ambos miembros de las fracciones entre b, se obtiene:

Vl + Z 2 ( y / ¿ ) N =

10 \ + 2Z(y/b) 3 [ l + Z ( y / ¿ ) J 3

8 (5.49) \ + 2^\ + Z2(y/b)_

ta ecuación indica que N no es constante sino que varía con el rante, por eso el valor de y que se usa en la ecuación (5.49) es

— y ¡ ~ y i promedio del tramo, es decir y = y = —'-donde:

y¡ = tirante al inicio del tramo y f = tirante al final del tramo

En la tabla 5.6 se muestran valores de N para secciones rectangulares (Z = 0) y trapezoidales; la figura 5.38 permite calcular •stos valores para secciones rectangulares, trapezoidales y jDlrculares. ^

labia 5.6 Valores de N para canales trapezoidales z = o Z=0,5 Z=1,0 Z=1,5 Z=2,0 Z=2,5 Z=3,0 Z=3,5 Z=4,0 2,95 3,22 3,41 3,54 3,66 3,75 3,84 3,92 3,98 2,74 3,26 3,58 3,80 3,96 4,09 4,20 4,29 4,36 2,61 3,34 3,74 4,00 4,18 4,32 4,42 4,51 4,58 2,51 3,43 3,89 4,16 4,34 4,47 4,57 4,65 4,72 2,44 3,52 4,01 4,29 4,47 4,59 4,68 4,75 4,81 2,33 3,73 4,25 4,52 4,67 4,78 4,85 4,91 4,96 2,27 3,91 4,42 4,65 4,80 4,89 4,95 5,00 5,04 2,22 4,05 4,55 4,76 4,89 4,97 5,02 5,06 5,09 2,19 4,17 4,64 4,84 4,95 5,02 5,07 5,10 5,13 2,17 4,27 4,71 4,90 5,00 5,06 5,10 5,13 5,16 2,15 4,36 4,77 4,94 5,03 5,09 5,13 5,16 5,18 2,13 4,43 4,82 4,98 5,06 5,11 5,15 5,17 5,19 2,12 4,49 4,87 5,01 5,09 5,13 5,17 5,19 5,21


V a l o r e s d e N

F i g u r a 5 . 3 8 C u r v a s d e v a l o r e s N


Cálculo d e l e x p o n e n t e hidrául ico M

D e l a ecuación ( 5 . 2 8 ) , s e t i e n e :

Y = CyM . . . . ( 5 . 5 0 )

t o m a n d o l o g a r i t m o s n a t u r a l e s a a m b o s m i e m b r o s , s e o b t i e n e : 3 \ n A - l n T = l n C + M \ n y

D e r i v a n d o r e s p e c t o a y, s e t i e n e :

A dy T dy y

M = y . \ ^ d A _ A d l

A { dy T dy . . . . ( 5 . 5 1 )

n r a u n a secc ión t r a p e z o i d a l , s e c u m p l e :

A = (b + Zy)y - > — = b + 2Zy dy

T = b + 2Zy - > — = 2 Z dy

u s t i t u y e n d o e s t o s v a l o r e s e n l a ecuación ( 5 . 5 1 ) , s e t i e n e

[b + Zy)} %b + 2Zy)-£±2k(2z)

b + 2Zy v '

A / f _ 3 ( b + 2 Z y y - 2 Z y ( b + Zv)

(b + 2 Z y \ b + Zy)

v i d i e n d o a m b o s m i e m b r o s d e l a f racción e n t r e b 2 , s e t i e n e -

M = l1^2^!Mjz^kL^z(yib)\ ^2^{y7bW^zJy7bJ~~ -{5-5V


E s t a ecuación i n d i c a q u e s i Z = 0 (sección r e c t a n g u l a r ) , e n t o n c e s M = 3 , p e r o p a r a u n a sección t r a p e z o i d a l M varía c o n e l t i r a n t e .

E n l a t a b l a 5 . 7 , s e m u e s t r a n v a l o r e s d e M p a r a s e c c i o n e s t r a p e z o i d a l e s y l a f i g u r a 5 . 3 9 p e r m i t e c a l c u l a r e s t o s v a l o r e s p a r a s e c c i o n e s t r a p e z o i d a l e s y c i r c u l a r e s .

C. Procedimiento de cálculo.

P a r a d e t e r m i n a r e l p e r f i l , e l c a n a l s e d i v i d e e n u n número d e t r a m o s , d e t a l f o r m a q u e e n c a d a t r a m o l a s s e c c i o n e s ( D y ® c o n s i d e r a d a s d e b e n e s t a r a u n a d i s t a n c i a t a l q u e l o s e x t r e m o s hidráulicos M y N s e m a n t e n g a n c o n s t a n t e s .

T a b l a 5 . 7 V a l o r e s d e M p a r a c a n a l e s t r a p e z o i d a l e s

y / b Z = 0 Z = 0 , 5 Z = 1 , 0 Z = 1 , 5 Z = 2 , 0 Z = 2 , 5 Z = 3 , 0 Z = 3 , 5 Z = 4 ' °

0 , 2 0 3 , 0 0 3 , 1 1 3 , 2 1 3 , 3 2 3 , 4 1 3 , 5 0 3 , 5 8 3 , 6 5 3 , 7 2 0 , 4 0 3 , 0 0 3 , 2 1 3 , 4 1 3 , 5 8 3 , 7 2 3 , 8 3 3 , 9 3 4 , 0 1 4 , 0 8 0 , 6 0 3 , 0 0 3 , 3 2 3 , 5 8 3 , 7 8 3 , 9 3 4 , 0 5 4 , 1 5 4 , 2 2 4 , 2 9 0 , 8 0 3 , 0 0 3 , 4 1 3 , 7 2 3 , 9 3 4 , 0 8 4 , 2 0 4 , 2 9 4 , 3 6 4 , 4 2 1 , 0 0 3 , 0 0 3 , 5 0 3 , 8 3 4 , 0 5 4 , 2 0 4 , 3 1 4 , 3 9 4 , 4 6 4 , 5 1 1 , 5 0 3 , 0 0 3 , 6 9 4 , 0 5 4 , 2 6 4 , 3 9 4 , 4 9 4 , 5 5 4 , 6 1 4 , 6 5 2 , 0 0 3 , 0 0 3 , 8 3 4 , 2 0 4 , 3 9 4 , 5 1 4 , 5 9 4 , 6 5 4 , 6 9 4 , 7 3 2 , 5 0 3 , 0 0 3 , 9 5 4 , 3 1 4 , 4 9 4 , 5 9 4 , 6 6 4 , 7 1 4 , 7 5 4 , 7 7 3 , 0 0 3 , 0 0 4 , 0 5 4 , 3 9 4 , 5 5 4 , 6 5 4 , 7 1 4 , 7 5 4 , 7 8 4 , 8 1 3 , 5 0 3 , 0 0 4 , 1 3 4 , 4 6 4 , 6 1 4 , 6 9 4 , 7 5 4 , 7 8 4 , 8 1 4 , 8 3 4 , 0 0 3 , 0 0 4 , 2 0 4 , 5 1 4 , 6 5 4 , 7 3 4 , 7 7 4 , 8 1 4 , 8 3 4 , 8 5 4 , 5 0 3 , 0 0 4 , 2 6 4 , 5 5 4 , 6 8 4 , 7 5 4 , 8 0 4 , 8 3 4 , 8 5 4 , 8 7 5 , 0 0 3 , 0 0 4 , 3 1 4 , 5 9 4 , 7 1 4 , 7 7 4 , 8 2 4 , 8 4 4 , 8 7 4 , 8 8

E l p r o c e d i m i e n t o d e cálculo p a r a e s t e método e s c o m o s i g u e : 1 . I d e n t i f i c a r e l t r a m o d o n d e s e r e a l i z a n l o s cálculos ( f i g u r a 5 . 4 0 ) ,

s i e n d o e l y i n i c i a l (yj) e l t i r a n t e d e l a sección d e c o n t r o l , y e l y f i n a l (yj), e l t i r a n t e h a s t a d o n d e s e d e s e a c a l c u l a r l a c u r v a d e r e m a n s o .


V a l o r e s d e M

F i g u r a 5 . 3 9 C u r v a s d e v a l o r e s d e M


s e n t i d o d e cálculo"

sección d e c o n t r o l

- t r a m o a c a l c u l a r y i = t i r a n t e i n i c i a l y f • tirante f i n a l

F i g u r a 5 . 4 0 I d e n t i f i c a r t r a m o a c a l c u l a r

2 . C a l c u l a r e l t i r a n t e p r o m e d i o y p d e l o s t i r a n t e s e x t r e m o s :

y i +y,

y c o n e l v a l o r yp/b, c a l c u l a r e l e x p o n e n t e hidráulico M, e l c u a l s e p u e d e c a l c u l a r p o r m e d i o d e l a ecuación:

M = 3 [ l + 2Z(yplV^2Z<^^

\\ + 2Z(yp/b)][\ + Z(yp/bj\ l a t a b l a 5 . 7 , o e l n o m o g r a m a d e l a f i g u r a 5 . 3 9 , d e i g u a l m a n e r a c a l c u l a r e l e x p o n e n t e hidrául ico N, c o n l a ecuación:

N = 1 0

\ + Z(yp/b)

_JV+zhypJb)_ l + 2 V í r + Z r ( y p / ¿ )

l a t a b l a 5 . 6 o e l n o m o g r a m a d e l a f i g u r a 5 . 3 8 .

C a l c u l a r e l t i r a n t e n o r m a l yn y e l t i r a n t e crítico y c d e l t r a m o , a

p a r t i r d e Q , S o y n.

4 . Calcular J

J N

d o n d e Ny / W ^ s o ^ e x p o n e n t e s hidrául icos, c a l c u l a d o s e n 2


D e f i n i r e l número d e d i v i s i o n e s n q u e tendrá e l t r a m o y c a l c u l a r e l i n c r e m e n t o Ay.

A y f ~y> A y =

n L a primera división tendrá c o m o t i r a n t e y 7 a l t i r a n t e i n i c i a l , y c o m o

t i r a n t e y 2 , a l t i r a n t e y y más e l i n c r e m e n t o A y .

L a s d i v i s i o n e s s u b s i g u i e n t e s , tendrán c o m o yf, a l y 2 d e l a

división a n t e r i o r , y c o m o y£, a l n u e v o t i r a n t e y ^ más e l i n c r e m e n t o

A y .

6 . Calcular los valores de u y v, p a r a l o s t i r a n t e s y-¡, y2-

y u - — V = u J

7. C a l c u l a r l a s f u n c i o n e s d e l f l u j o v a r i a d o d e B a k h m e t e f f F(u,N) y F(v,J), p a r a l o s t i r a n t e s y-j, y2< u t i l i z a n d o l a t a b l a A 1 d e l apéndice.

8 . C a l c u l a r l a l o n g i t u d L d e l a división, c o n t i r a n t e s y - | , y%.

I y^\(u1-ul)-[F(u1,N)-F(ul,N)} + J_ Ñ

[F(v2,J)~F(Vi,J)]\

R e p e t i r l o s cálculos p a r a l a s i g u i e n t e división, h a s t a c o m p l e t a r c o n t o d a s l a s d i v i s i o n e s d e l t r a m o .

1 0 . A c u m u l a r l a s l o n g i t u d e s c a l c u l a d a s e n c a d a división ( f i g u r a 5 . 4 1 ) .


y» j

1 , ,.í

(. L = I ü H

sección de control

Figura 5.41 Acumular las longitudes obtenidas para cada tramo

Nota: Cuando se desea trabajar con varios tramos en forma simultánea, usar la ecuación:

deltax = y„ u-F(u,N) + j _ N

F(v,J) y los cálculos resumirlos como se muestra en la tabla 5.8.

Tabla 5.8 Cálculo de una curva de remanso por el método de Bakhmeteff

II = VlVn v» == u F(u,N) F(v,J) deltax L y

donde L, se calcula como:

L = \deltaxx - deltoxn

D. Proceso computacional

La solución de la ecuación 5.43 se realiza con Hcanales además. Hcanales calcula las funciones F(u,N) y F(v,J), utilizando el algoritmo de Romberg y desarrollo de series.

Problema resuelto Un canal trapezoidal tiene un ancho de solera b = 1 talud Z 1 1 y con una pendiente de 0,0005, conduce un canal de 900 l/s en flujo


uniforme con un coeficiente de rugosidad n = 0,025. A partir de cierta sección en adelante, como se muestra en la figura 5.42, es necesario aumentar la pendiente del canal a 0,20.

A. Calcular la distancia Z_i que deberá revestirse de concreto (n = 0,015) suponiendo que el material en que se excava el canal resiste hasta una velocidad de 1 m/s.

B. Determinar la distancia L hasta la cual se deja sentir la influencia del cambio de pendiente.

C. Calcular el perfil del flujo en el tramo revestido L\.

Solución

Datos:

Figura 5.42 Perfil de flujo

O = 900 l/s = 0,9 m 3/s S 0 = 0,0005 o = 1 n = 0,015 (tramo 1,*.evestido) Z = 1 n = 0,025 (tramo 2, sin revestir)

De acuerdo con los datos, se observa que el problema debe resolverse en forma independiente para un tramo revestido y sin revestir, pues el tirante normal en estos tramos son diferentes, permaneciendo constante para ambos tramos el mismo tirante crítico.

A. Calcular de (tramo revestido) 1. Cálculo del tirante normal y n :


Para: O = 0,9, b = 1, Z = 1, n = 0,015, S 0 = 0,0005 usando Hcanales, se obtiene: y n = 0,676 m, v = 0,794 m/s.

2. Cálculo del tirante crítico y c: Para: Q = 0,9, b = 1, Z = 1 usando Hcanales se obtiene: y c = 0,381 m.

3. Ubicación de la sección de control

La sección de control está ubicada en el punto de cambio de pendiente; presentándose el tirante y c = 0.381 m en dicho punto.

4. Identificación del perfil de la curva de remanso

Para el tramo 1, se tiene que: Como yn = 0,676 > yc0,381 se genera una curva M. Además el tirante de agua está por encima del tirante crítico, y no debe sobrepasar al tirante normal, es decir:

y n > y > y c _» se encuentra en la zona 2

luego el perfil es del tipo M2

5. Cálculo de la distancia

El cálculo se efectúa desde y\= yc = 0,381 m hacia aguas arriba, hasta un tirante que corresponda a v = 1 m/s, es decir:

v 1 (l + y )y = 0,9 y 2 + y - 0 , 9 = 0

- l ± J l + 4 x 0 , 9 - l l J í j ó y = =

2 2

tomando la solución positiva, se obtiene:


y - 1 + V4.6

y2 = 0,572 m

Como se observa en la figura 5.43, el cálculo se realizará desde y, = y c - 0.381 m hasta y 2 = 0.572 m, siendo el y promedio para el tramo-

~ Z L Í Z I 0381 + 0,572 n

y ~ — ~ — = ~ = 0,4765

V2 - 0.572

© © Figura 5.43 Tramo de la longitud de longitud U

• Cálculo de N y M

Para y / * = 0,4764/1 = 0,4765 y Z = 1 en la ecuación (5.49), se llene: '

1 + 2x0,4765 3 l 1 + 0,4765

N = 3,6

V 2 x 0,4765

l + 2V2"x 0,4765

De igual forma, en la figura 5.38 para ylb = 0,4765 y Z = l se obtiene:

A/=3,6


En la ecuación (5.52), se tiene: _ 3(1 + 2 x 0,4765) 2 - 2 x 0,4765(1 + 0,4765)

M ~ (1 + 2x0,4765X1 + 0,4765)

M = 3 , 5 En la figura 5.39 paray/b = 0,4765 y Z = 1, se obtiene. M

A / = 3 , 6 y M = 3 , 5

. J N • Cálculo de J,—,~7-

N J

j _ N lA = 3,2727 N-M+l 3,6-3,5 + 1

J 3,2727 N 3,6

N 3,6

= 0,9091

• = U J 3,2727

- Cálculo de los valores de u y v para cada sección:

Sección (D: _ A = 0 ! 3 8 J _ = 0 5 6 3 6

i * y. 0,676

V l = „ l " ' - ' = 0 , 5 6 3 6 u = 0,5322

Sección

_ Z l = 0 5 7 2 = 4 6 2

2 " y „ 0,676


v 2 = « 2 " / y = 0 , 8 4 6 2 u =0,8321

Cálculo de las funciones de flujo variado:

nterpolando valores en la tabla A del apéndice, se obtiene:

Sección ® :

F(U!, N) = F(0,5636, 3,6) = 0,5801

F(v 1 ( J) = F(0,5322, 3,27) = 0,5490 '

Sección ® :

F(u 2, N) = F(0,8462, 3,6) = 0,9986

F(v2, J) = F(0,8321, 3,27) = 0,9926

Los valores se resumen en la tabla 5.6.

Tabla 5.6. Tabulación de datos tramo Li

¡ón F(u, N) F(v, J) ® ®

0,572 0,381

0,8462 0,5636

0,8321 0,5322

0,9986 0,5801

0,9926 0,5490

Diferencias 0,2826 0,4185 0,4436

Cálculo de L-¡

Aplicando la ecuación (5.44), es decir:

A = ^ { ( " 2 -« 1)-[F(« 2,vV)- JP( I/ 1,A7)]+

f \ M

\yn) ^ [ F ( v 2 , j ) - F ( v „ j ) ]


s e t i e n e :

0 , 6 7 6 0 , 0 0 0 5

0 , 2 8 2 6 - 0 , 4 1 8 5 + 0 , 3 8 1 N

0 , 6 7 6 ,

3,5

x 0 , 9 0 9 1 x 0 , 4 4 3 6

L, = - 1 1 0 , 4 5

T o m a n d o e l v a l o r a b s o l u t o , s e t i e n e :

L 1 = 1 1 1 m

.'. Deberá r e v e s t i r s e d e s d e l a sección d e c a m b i o d e p e n d i e n t e 1 1 1 m h a c i a a g u a s a r r i b a

U t i l i z a n d o H c a n a l e s p a r a u n s o l o t r a m o , l o s d a t o s d e i n g r e s o s e m u e s t r a n e n l a f i g u r a 5 . 4 4 y e n l a f i g u r a 5 . 4 5 s e m u e s t r a n l o s r e s u l t a d o s o b t e n i d o s u t i l i z a n d o e l método d e B a k h m e t e f f .

D a t o s : C a u d a l ( Q ) :

A n c h o d e s o l e r a ( b ) :

T a l u d ( Z ) :

P e n d i e n t e ( S ) :

T i r a n t e n o r m a l (yn) :

T i r a n t e crítico (yc) :

T i r a n t e in ic ia l (y1) :

T i r a n t e f i na l (y2) :

Número d e t r a m o s ( n t ) :

0.9

0 .0005

0 .G76

0 .301

0 .381

0 .572

m 3 / s

m

m

m

m

m

F i g u r a 5 . 4 4 D a t o s d e l p r o b l e m a p a r a e l método d e B a k h m e t e f f


R e s u l t a d o s p a r c i a l e s : V a l o r d e N : 3 . 6 4 3 7 V a l o r d e M : 3 .4802 V a l o r d e J : 3.1317

y u = y / y n v = u ~ ( N / J , F ( u . N ) FívJ) d e l t a x X 0 .3810 0 .5636 0 .5132 0 .5798 0 .5297 6 1 . 8 3 0 2 0 .00 0 5 7 2 0 0 .8462 0 .8234 0 .9956 0 .9878 - 4 6 0 3 8 1 1 0 7 . 8 7

R e s u l t a d o s f i n a l e s : X y

0 .00 0 . 3 8 1 0 1 0 7 . 8 7 0 . 5 7 2 0

F i g u r a 5 . 4 5 R e s u l t a d o s o b t e n i d o s c o n e l método d e B a k h m e t e f f

B . Cálculo d e L L = L^+L2

I n e l t r a m o 2 , también s e t i e n e u n a c u r v a M2. E l cálculo s e realizará d e s d e y-i = 0 , 5 7 2 h a s t a y 2 = 0 , 9 9 y n d e b i e n d o c a l c u l a r s e p r e v i a m e n t e | n p a r a e s t e t r a m o p a r a n = 0 , 0 2 5 .

I Cálculo d e y n

P a r a Q = 0 , 9 , b - 1 , Z = 1 , n = 0 , 0 2 5 , S 0 = 0 , 0 0 0 5 , u s a n d o H c a n a l e s • e o b t i e n e : y n = 0 . 8 8 0 m

. S e c c i o n e s d e cálculo: .y, = 0 , 5 7 2 m

y 2 = 0 , 9 9 x 0 , 8 8 = 0 , 8 7 1 m

I T i r a n t e p r o m e d i o D e l a f i g u r a 5 . 4 6 e l y p r o m e d i o ( y ) p a r a e l t r a m o 2 e s :

- _ 0 , 5 7 2 + 0 , 8 7 1 y = 0 , 7 2 1 5

y Ib = 0 , 7 2 1 5 / 1 = 0 , 7 2 1 5


y . , = 0 , 5 7 2

y n = 0,88 m y c = 0,381 m

F i g u r a 5 . 4 6 T r a m o d e l o n g i t u d L 2

4 . Cálculo d e M y N:

D e l a s f i g u r a s 5 . 3 8 y 5 . 3 9 , p a r a y Ib = 0 , 7 2 1 5 y Z = 1 , s e o b t i e n e

N = 3 , 8 M = 3 , 6 7

5 . Cálculo d e J,

J =

J_ N_

N'J

N 3,8 3,3628

N-M+\ 3,8-3,67 + 1

LJJ™ = 0,8850 - > ^ = U 3 N 3,8 J

6 . Cálculo d e u , v , F ( u , N ) , F ( v , J ) p a r a a m b a s s e c c i o n e s

E s t o s v a l o r e s s e r e s u m e n e n l a t a b l a 5 . 1 0 .


T a b l a 5 . 1 0 Tabulación d e d a t o s d e l t r a m o L 2

Sección ———„ .— ,—„ — — v F ( u , N ) •Fíy, J J

® 0 , 8 7 1 0 , 9 8 9 8 0 , 9 8 8 5 1 , 7 5 6 6 1 , 8 3 8 7 0 , 5 7 2 0 , 6 5 0 0 0 , 6 1 4 6 0 , 6 8 0 0 0 , 6 4 9 5

D i f e r e n c i a s 0 , 3 3 9 8 1 , 0 7 6 6 1 , 1 8 9 2

7 . Cálculo d e L 2

S u s t i t u y e n d o v a l o r e s e n l a ecuación ( 5 . 4 4 ) , s e t i e n e : T A 3 , 6 7

x 0,885x1,1892 ! o , 3 3 9 8 - l , 0 7 6 6 + í ° ' 3 í

0,0005

L2 =-1211

i, 0,88

T o m a n d o e l v a l o r a b s o l u t o , s e t i e n e : L2 =1211 m

8 . U s a n d o H c a n a l e s :

U t i l i z a n d o H c a n a l e s p a r a u n s o l o t r a m o , l o s d a t o s d e i n g r e s o s e m u e s t r a n e n l a f i g u r a 5 . 4 7 y e n l a f i g u r a 5 . 4 8 s e m u e s t r a n l o s r e s u l t a d o s o b t e n i d o s u t i l i z a n d o e l método d e B a k h m e t e f f , p a r a e l s e g u n d o t r a m o .


D a t o s : C a u d a l ( Q ) :

A n c h o d e s o l e r a i b ) :

T a l u d ( Z ) :


T i r a n t e n o r m a l ( y n ) :

T i r a n t e crítico ( y c ) :

T i r a n t e i n i c i a l ( y 1 ) :

T i r a n t e f i n a l ( y 2 ) :


0.9

0 .0005

0 .88

0 381

0 .572

0 8 7 1

m 3 / s

m

m

m

m

m

F i g u r a 5 . 4 7 D a t o s d e l p r o b l e m a p a r a e l t r a m o d e l o n g i t u d L 2

R e s u l t a d o s p a r c i a l e s : V a l o r d e N 3 8 3 5 5 V a l o r d e M : 3 .6667 V a l o r d e J : 3 .2814

y u = y / y n v = u ~ ( N / J ) F ( u , N ) FívJ) d e l t a x X

0 .5720 0 .6500 0 .6044 0 .6789 0 .6348 -6 .5329 0 .00 0 .8710 0 .9898 0 .9881 1 .7460 1 .8570 1 2 0 1 . 0 8 9 E 1 1 9 4 . 5 6

R e s u l t a d o s f i n a l e s : X y

0 .00 0 .5720 1194 .56 0 .8710

F i g u r a 5 . 4 8 R e s u l t a d o s o b t e n i d o s c o n e l método d e B a k h m e t e f f p a r a e l t r a m o d e l o n g i t u d L 2

9 . Cálculo d e L : L-Lx +L2

¿ = 1 1 1 + 1 2 1 1 1 = 1 3 2 2 m


/ . L a d i s t a n c i a t o t a l d e i n f l u e n c i a d e l c a m b i o d e p e n d i e n t e , m e d i d a d e s d e l a sección d o n d e o c u r r e d i c h o c a m b i o , h a c i a a g u a s a r r i b a e s d e 1 3 2 2 m .

Cálculo d e l p e r f i l M2 e n e l t r a m o r e v e s t i d o

1 . R e s u m i e n d o l o s v a l o r e s c o n s t a n t e s o b t e n i d o s p a r a e s t e t r a m o e n l a p a r t e A, s e t i e n e : y n = 0 , 6 7 6 m A 7 = 3 , 6 J/N = 0 , 9 0 9 1 y c = 0 , 3 8 1 m ( y i n i c i a l ) M = 3,5 NIJ = 1,1 y = 0 , 5 7 2 ( y f i n a l ) J = 3 , 2 7 2 7

2 . D e l a ecuación ( 5 . 4 3 ) , c o n s i d e r a n d o l a c t e = 0 , r e s u l t a :

\ S 0 J u-F(u,N) +

\ynJ N

S u s t i t u y e n d o v a l o r e s , s e o b t i e n e :

0 , 6 7 6 x = »

0 , 0 0 0 5 U-F(U,N) +

0 , 3 8 1

v 0 , 6 7 6 j x 0 ,909\F(v,j)

X = 1352[U-F{U,N) + 0 , 1 2 2 2 F(v,j)] ... ( 5 . 5 3 )

L a ecuación ( 5 . 5 3 ) p e r m i t e e l c a l c u l a r l a s d i s t a n c i a s x, a q u e s e e n c u e n t r a l a sección c o n s i d e r a d a c o n r e s p e c t o a u n o r i g e n a r b i t r a r i o . L o s r e s u l t a d o s o b t e n i d o s p a r a d i f e r e n t e s v a l o r e s d e s d e y = 0 , 3 8 1 m a y = 0 , 5 7 2 m s e m u e s t r a n e n l a t a b l a 5 . 1 1 .

N o t a : p a r a e s t e e j e m p l o s e h a n d a d o i n c r e m e n t o s d e A y e n f o r m a a r b i t r a r i a , p a r a t r a b a j a r c o n u n i n c r e m e n t o c o n s t a n t e , s e d e b e i n d i c a r

y i ~y¡ u n n u m e r o d e t r a m o s y a p a r t i r d e e l s e c a l c u l a A y = —


T a b l a 5 . 1 1 Cálculo d e l p e r f i l d e f l u j o d e l a c u r v a M 2 p o r e l método d e B a k h m e t e f f - V e n T e C h o w ( N = 3 , 6 , J = 3 , 2 7 )

y I u=y/ya

NU F ( v j ) x L

( D (2) ( 3 ) <5) (6) _ _ (7) 0 , 3 8 1 0 , 5 6 4 0 , 5 3 2 0 , 5 8 1 0 , 5 4 9 6 7 , 7 2 0 0 , 4 0 0 0 , 5 9 2 0 , 5 6 1 0 , 6 1 3 0 , 5 8 1 6 7 , 6 0 0 , 1 2 0 , 4 2 0 0 , 6 2 1 0 , 5 9 2 0 , 6 4 7 0 , 6 1 9 6 7 , 1 2 0 , 6 0 0 , 4 5 0 0 , 6 6 6 0 , 6 3 9 0 , 7 0 5 0 , 6 8 0 5 9 , 6 2 8 , 1 0 0 , 4 8 0 0 , 7 1 0 0 , 6 8 6 0 , 7 6 4 0 , 7 4 1 4 9 , 4 2 1 8 , 3 0 0 , 5 1 0 0 , 7 5 4 0 , 7 3 3 0 , 8 2 9 0 , 8 1 1 3 2 , 5 9 3 5 , 3 0 0 , 5 4 0 0 , 7 9 9 0 , 7 8 1 0 , 9 0 7 0 , 8 9 0 1 , 0 3 6 6 , 6 9 0 , 5 7 2 0 , 8 4 6 0 , 8 3 2 0 , 9 9 8 0 , 9 9 4 - 4 1 , 2 8 1 0 9 , 0 0

L a c o l u m n a ® d e l a t a b l a , i n d i c a l a s d i s t a n c i a s q u e e x i s t e n e n t r e la sección d e c o n t r o l (sección c o n t i r a n t e crítico) y c u a l q u i e r sección c o n s i d e r a d a , s u cálculo e s c o m o s e i n d i c a : d i s t a n c i a a l a sección c o n y = 0 , 4 0 ; L = 6 7 , 7 2 - 6 7 , 6 0 = 0 , 1 2 m d i s t a n c i a a l a sección c o n y = 0 , 5 7 2 ; L = 6 7 , 7 2 - ( - 4 1 , 2 8 ) = 1 0 9 m

N o t a r q u e l a s d i s t a n c i a s o b t e n i d a s e n l a s p a r t e s A y C d i f i e r e n l i g e r a m e n t e , e s t o e s d e b i d o f u n d a m e n t a l m e n t e a l a s c i f r a s d e aproximación c o n s i d e r a d a s .

E l p e r f i l s e o b t i e n e g r a f i c a n d o l a c o l u m n a (Z) c o n t r a l a c o l u m n a (D, e l r e s u l t a d o s e m u e s t r a e n l a f i g u r a 5 . 4 9 .


c u r v a |

1 0 9 6 6 , 6 9 3 5 , 3 0 18,3 8 ,1 0

F i g u r a 5 . 4 9 P e r f i l M 2 c a l c u l a d o p o r e l método d e B a k h m e t e f f - V e n T e C h o w

3. U s o d e H c a n a l e s

U t i l i z a n d o H c a n a l e s c o n 1 0 t r a m o s , l o s d a t o s d e i n g r e s o d e l p r o b l e m a s e m u e s t r a n e n l a f i g u r a 5 . 5 0 .

p- D a t o s : 1

C a u d a l ( Q ) :


T a l u d ( Z ) :


T i r a n t e n o r m a l (yn) :

T i r a n t e crítico (yc) :

T i r a n t e in ic ia l (y1) :

T i r a n t e (¡nal (y2) :


0 . 9

0 . 0 0 0 5

0 . 6 7 6

0 3 8 1

0 . 3 8 1

0 . 5 7 2

m 3 / s

m

m

m

m

m

1 0

F i g u r a 5 . 5 0 D a t o s d e l p r o b l e m a p a r a e l p e r f i l M 2


Los resultados parciales se muest ran en la tabla 5.12 y los f inales en la tabla 5.13.

Tabla 5.12 Resul tados parciales uti l izando el método de Bakhmetef f

Valor de N = 3.6437 Valor de M = 3.4802 Valor de J = 3.1317

" v = u N / J F(u,N) F(v,J) deltax X

0.381 0.5636 0.5132 —12—í—

0.5798 0.5297 61.8302 0

0.4001 0.5919 0.5432 0.6125 0.5645 61.3278 0.5

0.4192 0.6201 0.5735 0.6462 0.6006 59.6804 2.15

0.4383 0.6484 0.604 0.6811 0.6383 56.642 5.19

0.4574 0.6766 0.6348 0.7174 0.6779 51.9064 9.92

0.4765 0.7049 0.6657 0.7556 0.7197 45.0852 16.74

0.4956 0.7331 0.6969 0.7961 0.7643 35.6746 26.16

0.5147 0.7614 0.7282 0.8393 0.8122 23.0041 38.83

0.5338 0.7896 0.7597 0.8861 0.8645 6.1518 55.68

0.5529 0.8179 0.7915 0.9377 0.9224 -16.2007 78.03

0.5720 0.8462 0.8234 0.9956 0.9878 -46.0381 107.87

Tabla 5.13 Resul tados f inales uti l izando el método de Bakhmetef f

X .... y 0 0.381

0.5 0.4001 2.15 0.4192 5.19 0.4383 9.92 0.4574 16.74 0.4765 26.16 0.4956 38.83 0.5147 55.68 0.5338 78.03 0.5529 107.87 0.572

Hidráulica de canales (335)

Solución de Bresse

En 1860 Bresse, introdujo ciertas hipótesis que permit ieran una simplif icación de la integración matemát ica, de la expres ión diferencial del f lujo gradua lmente var iado.

Esta solución es un caso particular, en la que la hipótesis lundamental es la de considerar una sección rectangular muy ancha, es decir, donde R = y

En efecto, dada la sección rectangular:

•

siendo: b » y T y

A = by

p = b + 2y

T = b *

by y R = b + 2y

1 + 2^

y •ni la cual si b » y —> — « 0

b

:. R = y

A. Procedimiento de integración

Bresse utilizó la fórmula de Chezy para expresar las pérdidas por frotamiento, cons iderando un C de Chezy constante, pero para los Cálculos que se requieran, aquí se utiliza la relación propuesta por Manning, es decir C = R1'6 In


1 . P l a n t e a m i e n t o d e l a ecuación

L a ecuación d i f e r e n c i a l d e l f l u j o v a r i a d o , d e a c u e r d o c o n l a ecuación ( 5 . 1 8 ) , s e p u e d e e x p r e s a r c o m o :

dx = 1

1 Q2T gA'

S0 2 S E

dy . . . ( 5 . 5 4 )

2 . Conversión d e l a ecuación e n términos d e y , y n , y c

L a ecuación d e l c a u d a l d e a c u e r d o c o n l a fórmula d e C h e z y , s e e x p r e s a :

Q = CAArRS~E = CARV2SlJ2

d o n d e p a r a u n a sección r e c t a n g u l a r m u y a n c h a , s e t i e n e : A = by, R = y

l u e g o : Q = Cbyy"2SE"

d e d o n d e : Q2

C2b2y3

( 5 . 5 5 )

E n e l c a s o d e u n f l u j o u n i f o r m e : y = y n y S E = S 0 , l u e g o Q2

C2b2y\ ( 5 . 5 6 )

D i v i d i e n d o ( 5 . 5 5 ) e n t r e ( 5 . 5 6 ) , r e s u l t a :

, y > ( 5 . 5 7 )

Hidráulica d e c a n a l e s ( 3 3 7 )

D e o t r o l a d o , e n l a relación: Q2T Q2lg gA3 A1 IT

u s a n d o l a ecuación g e n e r a l d e l f l u j o crítico:

g Tc

»e t i e n e : .Al IT Q2T

gA3 A3 IT

y p a r a e l c a s o d e u n a sección r e c t a n g u l a r , s e o b t i e n e : Q2T J3y] Ib gA3 3 V y 3 Ib Q2T gA3

( 7 j

S u s t i t u y e n d o ( 5 ; 5 8 ) y ( 5 . 5 7 ) e n ( 5 . 5 4 ) , r e s u l t a :

dx = — 1 -

i -dy . . . . ( 5 . 5 9 )

S . s e c o m p a r a l a ecuación ( 5 . 5 9 ) c o n l a ecuación ( 5 3 2 ) s e o b s e r v a u e e n f o r m a s o n i g u a l e s , s i e n d o : N=M=3 p a r a e l raw w r t c u l S e q u e s e t r a t e d e u n a sección r e c t a n g u l a r m u y a n c h a P

. A r t i f i c i o d e integración: a c i e n d o :


Z- - z -> dy = yndZ

y.

además:

21=1 y Z

y y„ y yn z

S u s t i t u y e n d o e s t o s v a l o r e s e n ( 5 . 5 9 ) , r e s u l t a :

yndZ dx = — -fe *

dx =

dx = ^ r S0

dx = ^ r

dx-~r S0

z3-(yclyny

z 3 - i dZ

z3-{yelyj

z¡-\ dZ

z 3 - \ + \-{yc

¡ynY

zF^ dZ

i + dZ


dx = ^- 1 - i-(ye¡yj

i - z 3 dZ

\dx = ^[\dz-UyJyj]\^

x = & J Z - [ l - {yc Iyn ) 3 ]</> ( Z ) } + cfó ... ( 5 . 6 0 ) ¿o

A p l i c a n d o l a ecuación ( 5 . 6 0 ) e n t r e d o s s e c c i o n e s c o n s e c u t i v a s (D y ® d e característ icas c o n o c i d a s , l a d i s t a n c i a L q u e l a s s e p a r a e s :

L = x2-xl=yJS0l<Z2-Zt)-[l-{yc/ynyy.{Z2)-^.(Zl)]} . . . ( 5 . 6 1 )

d o n d e : x = d i s t a n c i a d e l a sección d e s d e u n o r i g e n a r b i t r a r i o L = x2 - = d i s t a n c i a e n t r e l a s s e c c i o n e s c o n s e c u t i v a s (D y ® * V n , y c = t i r a n t e n o r m a l y crít ico r e s p e c t i v a m e n t e Z = y / y n = relación e n t r e e l t i r a n t e d e u n a sección c u a l q u i e r a

y e l t i r a n t e n o r m a l S 0 = p e n d i e n t e d e l f o n d o

f dZ 1 . Z 3 + Z + l 1 V 3 <p(Z) = - = — ln —-; — p = arel? 1- cíe

h-Z1 6 ( Z - l ) 2 V 3 S 2 Z + 1 .... ( 5 . 6 2 )

<f>(Z)= función d e l f l u j o g r a d u a l m e n t e v a r i a d o c a l c u l a d o p o r B r e s s e y c u y o s v a l o r e s s e m u e s t r a n e n l a t a b l a 5 . 1 4


Tabla 5.9. Funciones de Bresse para curvas de remanso Curvas M1, S1 y S 2

<i>(Z) Z d>(Z) Z <J)(Z) ,-Z —

1.000 oo 1.054 0 .8714 1.29 0.3816 2.30 0.0978

1.001 2.1837 1.056 0 .8599 1.30 0.3731 2.35 0.0935

1.002 1.9530 1.058 0.8499 1.31 0.3649 2.40 0.0894

1.003 1.8182 1.060 0 .8382 1.32 0.3570 2.45 0.0857

1.004 1.7226 1.062 0.8279 1.33 0.3495 2.50 0.0821

1.005 1.6486 1.064 0.8180 1.34 0.3422 2.55 0.0788

1.006 1.5881 1.066 0 .8084 1.35 0.3352 2.60 0.0757

1.007 1.5371 1.068 0.7990 1.36 0.3285 2.65 0.0728

1.008 1.4929 1.070 0 .7900 1.37 0.3220 2.70 0.0700

1.009 1.4540 1.072 0.7813 1.38 0.3158 2.75 0.0674

1.010 1.4192 1.074 0 .7728 1.39 0.3098 2.80 0.0650

1.011 1.3878 1.076 0.7645 1.40 0.3039 2.85 0.0626

1.012 1.3591 1.078 0 .7565 1.41 0.2983 2.90 0.0604

1.013 1.3327 1.080 0.7487 1.42 0.2928 2.95 0.0584

1.014 1.3083 1.082 0.7411 1.43 0.2875 3.00 0.0564

1.015 1.2857 1.084 0.7337 1.44 0.2824 3.1 0.0527

1.016 1.2645 1.086 0 .7265 1.45 0.2775 3.2 0.0494

1.017 1.2446 1.088 0 .7194 1.46 0.2680 3.3 0.0464

1.018 1.2259 1.090 0 .7126 1.47 0.2727 3.4 0.0437

1.019 1.2082 1.092 0 .7059 1.48 0.2635 3.5 0.0412

1.020 1.1914 1.094 0.6993 1.49 0.2591 3.6 0.0389

1.021 1.1755 1.096 0 .6929 1.50 0.2548 3.7 0.0368

1.022 1.1603 1.098 0.6867 1.52 0.2466 3.8 0.0349

1.023 1.1458 1.100 0 .6806 1.54 0.2389 3.9 0.0331

1.024 1.1320 1.105 0.6659 1.56 0.2315 4.0 0.0315

1.025 1.1187 1.110 0.6519 1.58 0.2246 4.1 0.0299

1.026 1.1060 1.115 0.6387 1.60 0.2179 4.2 0.0285

1.027 1.0937 1.120 0.6260 1.62 0.2116 4.3 0.0272

1.028 1.0819 1.125 0 .6139 1.64 0.2056 4.4 0.0259

1.029 1.0706 1.130 0 .6025 1.66 0.1999 4.5 0.0248

1.030 1.0596 1.135 0.5913 1.68 0.1944 4.6 0.0237

1.031 1.0490 1.140 0 .5808 1.70 0.1892 4.7 0.0227

1.032 1.0387 1.145 0.5707 1.72 0.1842 4.8 0.0218

1.033 1.0288 1.150 0 .5608 1.74 0.1794 4.9 0.020!)

1.034 1.0191 1.155 0.5514 1.76 0.1748 5.0 0.0201


1.035 1.0098 1.160 0 .5423 1.78 0.1704 5.5 0 .0166 1.036 1.0007 1.165 0.5335 1.80 0.1662 6.0 0.0139 1.037 0.9919 1.170 0.5251 1.82 0.1621 6.5 0 .0118 1.038 0.9634 1.175 0.5169 1.84 0.1582 7.0 0.0102 1.039 0.9750 1.180 0.5090 1.86 0.1545 7.5 0.0089 1.040 0.9669 1.185 0 .5014 1.88 0.1509 8.0 0.0077 1.041 0.9590 1.190 0 .4939 1.90 0.1474 8.5 0.0069 1.042 0.9513 1.195 0 .4868 1.92 0.1440 9.0 0.0062 1.043 0.9438 1.200 0 .4798 1.94 0.1408 9.5 0.0055 1.044 0.9354 1.21 0 .4664 1.96 0.1377 10.0 0.0050 1.045 0.9293 1.22 0.4538 1.98 0.1347 12.0 0.0035 1.046 0.9223 1.23 0 .4419 2.00 ' 0 .1318 15.0 0 .0022 1.047 0.9154 1.24 0 .4306 2.05 0.1249 20.2 0.0013 1.048 0.9087 1.25 0 .4196 2.10 0.1186 30.0 0.0006 1.049 0.9022 1.26 0.4096 2.15 0.1128 50.0 0 .0002 1.050 0.8958 1.27 0.3998 2.20 0.1074 100.0 0.0001 1.052 0.8834 1.28 0.3905 2.25 0.1024 oo 0.0000

P; Parte 2

sra curvas M 2, M 3 y S 3

Parte 3 Para curvas A 2 y A 3

j Z : Z *(Z Z é(Z Z <J)(Z 0 00 0.0000 0.935 1.3744 -0.00 1.2092 -1.50 0.1999 0.10 0.1000 0.940 1.4025 -0.10 1.1092 -1.55 0.1889 0.20 0.2004 0.945 1.4336 -0.15 1.0593 -1.60 0 .1787 0.25 0.2510 0.950 1.4670 -0.20 1.0096 -1.65 0 .1692 0.30 0.3021 0.952 1.4813 -0.25 0.9603 -1.70 0.1605 0.35 0.3538 0.954 1.4962 -0.30 0.9112 -1.75 0.1523 0.40 0.4066 0.956 1.5117 -0.35 0.8629 -1.80 0.1147 0.45 0.4608 0.958 1.5279 -0.40 0.8154 -1.85 0.1377 0.50 0.5168 0.960 1.5448 -0.45 0.7689 -1.90 0.1311 0.52 0.5399 0.962 1.5626 -0.50 0.7238 -1.95 0 .1249 0.54 0.5634 0.964 1.5813 -0.55 0.6801 -2.0 0.1192 0.56 0.5874 0.966 1.6011 -0.60 0.6381 -2.1 0.1088 0.58 0.6120 0.968 1.6220 -0.65 0.5979 -2.2 0.0996 0.60 0.6371 0.970 1.6442 -0.70 0.5597 -2.3 0.0916 0.62 0.6630 0.971 1.6558 -0.75 0.5234 -2.4 0.0845 0.64 0.6897 0.972 1.6678 -0.80 0.4894 -2.5 0.0780 0.64 0.7173 0.973 1.6803 -0.85 0.4574 -2.6 0.0723


0.68 0.7459 0.974 1.6932 -0.90 0.4274 -2.7 0.0672 0.70 0.7757 0.975 1.7066 -0.95 0.3995 -2.8 0.0626 0.71 0.7910 0.976 1.7206 -1.00 0.3736 -2.9 0.0585 0.72 0.8068 0.977 1.7351 -1.02 0.3637 -3.0 0.0548 0.73 0.8230 0.978 1.7503 -1.04 0.3541 -3.2 0.0482 0.74 0.8396 0.979 1.7661 -1.06 0.3449 -3.4 0.0428 0.75 0.8566 0.980 1.7827 -1.08 0.3359 -3.6 0.0383 0.76 0.8742 0.981 1.8001 -1.10 0.3272 -3.8 0.0344 0.77 0.8923 0.982 1.8185 -1.12 0.3187 -4.0 0.0311 0.78 0.9110 0.983 1.8379 -1.14 0.3105 -4.2 0.0282 0.79 0.9304 0.984 1.8584 -1.16 0.3026 -4.4 0.0257 0.80 0.9505 0.985 1.8803 -1.18 0.2949 -4.6 0.0235 0.81 0.9714 0.986 1.9036 -1.20 0.2875 -4.8 0.0216 0.82 0.9932 0.987 1.9287 -1.22 0.2802 -5.0 0.0199 0.83 1.0160 0.988 1.9557 -1.24 0.2733 -5.5 0.0165 0.84 1.0399 0.989 1.9850 -1.26 0.2665 -6.0 0.0139 0.85 1.0651 0.990 2.0171 -1.28 0.2599 -6.5 0.0118 0.86 1.0918 0.991 2.0526 -1.30 0.2536 -7.0 0.0102 0.87 1.1202 0.992 2.0922 -1.32 0.2474 -8.0 0.0078 0.88 1.1505 0.993 2.1370 -1.34 0.2414 -9.0 0.0062 0.89 1.1831 0.994 2.1887 -1.36 0.2357 -10.0 0.0050

0.900 1.2184 0.995 2.2498 -1.38 0.2301 -12.0 0.0035 0.905 1.2373 0.996 2.3246 -1.40 0.2246 -15.0 0.0022 0.910 1.2571 0.997 2.4208 -1.42 0.2194 -20.0 0.0013 0.915 1.2779 0.998 2.5563 -1.44 0.2143 -30.0 0.0006 0.920 1.2999 0.999 2.7877 -1.46 0.2093 -50.0 0.0002 0.925 1.3232 1.000 oo -1.48 0.2045 oo 0.0000 0.930 1.3479

4. Conversión de (yc / ynf a C2S01g

Para hacer más conveniente el cálculo, el término (y c / y n ) 3 se puede expresar como C 2 S 0 / g, mediante el siguiente proceso:

De la ecuación (5.56) se tiene:

v 3 = — - .... (5.63) y" C2S0b

2 K }


De la ecuación general del flujo crítico, se tiene: <3 QL

g

y para una sección rectangular, resulta:

Q2 _ b'yl

g b

gbl .. (5.64)

Dividiendo (5.64) entre (5.63), se obtiene-

c¿sQ

g ... (5.65)

Sustituyendo (5.64) en (5.59), se tiene:

x = ^[z»-(i-c2S0/g)í(z)]+cte

y f i c 2 l x = lt/~y\T~YPZ^+ote - (5-66)

Aplicando la ecuación (5.66) entre dos secciones consecutivas (D (D de características conocidas, la distancia L que los separa es:

L-x2 = ~(Z2 -Zx)-yf

° 0

J__C_ \ S 0 g

Z2)-<t>{Z{)} ...(5.67)

Máximo V i l l p n - página ( 3 4 4 )

B. Uso práctico de las ecuaciones

1 . L a s e c u a c i o n e s ( 5 . 6 1 ) y ( 5 . 6 7 ) s e p u e d e n u s a r p a r a e l cálculo d e la l o n g i t u d e n t r e 2 s e c c i o n e s , p u e d e n s e r c o n s e c u t i v a s o e x t r e m a s ( l o n g i t u d t o t a l d e l a c u r v a d e r e m a n s o ) .

2 . L a s e c u a c i o n e s ( 5 . 6 0 ) y ( 5 . 6 6 ) r e s u l t a n más c o n v e n i e n t e s p a r a e l cálculo d e l p e r f i l , e n e s t e c a s o , l a d i s t a n c i a d e s d e e l o r i g e n s e c a l c u l a p o r d i f e r e n c i a .

3 . E l c o e f i c i e n t e C d e C h e z y s e m a n t i e n e c o n s t a n t e d u r a n t e l o s cálculos, s u v a l o r s e e n c u e n t r a c o n l a relación p r o p u e s t a p o r M a n n i n g , e s d e c i r :

n l / 6 1 / 6

n n

d o n d e : y e s e l v a l o r p r o m e d i o d e l o s t i r a n t e s e x t r e m o s y-\, y 2 , o s e a :

2

C . Proceso computacional

H c a n a l e s r e s u e l v e l a ecuación ( 5 . 6 6 ) y p e r m i t e e l cálculo d e l a c u r v a d e r e m a n s o , u t i l i z a n d o e l método d e B r e s s e .

P r o b l e m a r e s u e l t o U n río m u y a n c h o , c a s i r e c t a n g u l a r , c o n a n c h o d e s o l e r a 1 0 m , p e n d i e n t e 0 , 0 0 0 4 , c o e f i c i e n t e d e r u g o s i d a d 0 , 0 3 0 , c o n d u c e u n c a u d a l d e 1 0 m 3 / s . D e t e r m i n a r l a c u r v a d e r e m a n s o p r o d u c i d a p o r u n a p r e s a q u e o r i g i n a u n a p r o f u n d i d a d d e 3 . 0 m . ( f i g u r a 5 . 5 1 )

Solución

Datos: b = 1 0 m , S 0 = 0 , 0 0 0 4 , n = 0 , 0 3 0 , Q = 1 0 m 3 / s


S Q = 0 . 0 0 0 4 n = 0 . 0 3 0

10 m

F i g u r a 5 . 5 1 P e r f i l l o n g i t u d i n a l d e l río

a . Cálculo d e y n

U t i l i z a n d o H c a n a l e s , p a r a : Q = 1 0 m 3 / s , 6 = 1 0 m , Z = 0 , n = 0 , 0 3 0 , l o = 0 , 0 0 0 4 s e o b t i e n e : y n = 1 , 4 0 8 5 m * 1 , 4 0 9 m

b. Cálculo d e y c

P a r a u n a sección r e c t a n g u l a r s e c u m p l e q u e :

d o n d e :

l u e g o :

= £ = 1 0 = ]

9 b 1 0

yc = 0 , 4 6 7 m

c. Identificación d e l t i p o d e c u r v a : C o m o yn = 1 , 4 0 9 > yc = 0 , 4 6 7 s e g e n e r a u n a c u r v a M

E n t o d o m o m e n t o y > y„ = 1 , 4 0 9 > y c = 0 , 4 6 7 p o r l o q u e l a c u r v a s e e n c u e n t r a e n l a z o n a 1 , l u e g o e l p e r f i l e s M1

d . Sección d e c o n t r o l

L a sección d e c o n t r o l e s l a p r e s a y l o s cálculos s e r e a l i z a n d e s d e e s t e p u n t o c o n t i r a n t e s y , = 3 m , h a c i a a g u a s a r r i b a h a s t a u n t i r a n t e s u p e r i o r a l 1 % d e l n o r m a l , e s d e c i r :


y 2 = l ,01y„ = 1 , 0 1 x 1 , 4 0 9

y2 = 1 , 4 2 3 m

e . Cálculo d e l p e r f i l

D e l a ecuación ( 5 . 6 6 ) c o n s i d e r a n d o u n a c o n s t a n t e d e integración i g u a l a c e r o , s e t i e n e :

i c 2 \

{s0 g

Áz)

d o n d e : C = y 1/6 In

además:

y =

l u e g o :

3 + 1 , 4 2 3 = 2 , 2 1 1 5

C = 2 , 2 1 1 5 1 / 6 / 0 , 0 3 0 C = 3 8 , 0 4 7 5

S u s t i t u y e n d o v a l o r e s , r e s u l t a : 1 , 4 0 9

x = 0 , 0 0 0 4 Z - 1 , 4 0 9 -

1 3 8 , 0 4 7 5 2 \

0 , 0 0 0 4 9 , 8 1 X = 3 5 2 2 , 5 Z - 3 3 1 4 , 5 8 ^ ( Z ) . . . ( 5 . 6 8 )

A p l i c a n d o l a ecuación ( 5 . 6 8 ) e n f o r m a r e i t e r a d a p a r a d i f e r e n t e s v a l o r e s d e y d e s d e 3 . 0 0 a 1 . 4 2 s e o b t i e n e n l o s v a l o r e s q u e s e m u e s t r a n e n l a t a b l a 5 . 1 5 .


T a b l a 5 . 1 5 . Cálculo d e l p e r f i l M 1 p o r e l método d e B r e s s e

= y / y n ( 2 )

3 5 2 2 . 5 Z

<3> c p ( Z )

_ J 2 _ 3 3 1 4 , 5 8 c p ( Z ) X L

3 , 0 0 2 , 1 2 9 7 4 9 9 , 4 0 0 , 1 1 6 6 3 8 6 , 4 8 7 1 1 2 , 9 2 0 2 , 5 0 1 , 7 7 4 6 2 4 8 , 9 2 0 , 1 7 1 7 5 6 9 , 1 1 5 6 7 9 , 8 1 1 4 3 3 , 1 1 2 , 0 0 1 , 4 1 9 4 9 9 8 , 4 3 0 , 2 9 2 8 9 7 0 , 5 1 4 0 2 7 , 9 2 3 0 8 5 , 0 0 1 , 8 0 1 , 2 7 8 4 5 0 1 , 7 6 0 , 3 9 0 5 1 2 9 4 , 3 4 3 2 0 7 , 4 2 3 9 0 5 , 5 0 1 , 6 0 1 , 1 3 6 4 0 0 1 , 5 6 0 , 5 9 1 3 1 9 5 9 , 9 1 2 0 4 1 , 6 5 5 0 7 1 , 2 7 1 , 5 0 1 , 0 6 5 3 7 5 1 , 4 6 0 , 8 1 3 2 2 6 9 5 , 4 2 1 0 5 6 , 0 4 6 0 5 6 , 8 8 1 , 4 2 1 , 0 0 8 3 5 5 0 , 6 8 1 , 4 9 2 9 4 9 4 8 , 3 4 - 1 3 9 7 , 6 6 8 5 1 0 , 5 8

N o t a : p a r a e s t e e j e m p l o s e h a n d a d o i n c r e m e n t o s A y e n f o r m a a r b i t r a r i a ( - 0 , 5 , - 0 , 3 , e t c . ) . P a r a t r a b a j a r c o n u n i n c r e m e n t o c o n s t a n t e

y , — y . s e d e b e i n d i c a r e l número d e t r a m o s y c o n él c a l c u l a r A y = — -

E n l a t a b l a 5 . 1 5 , l o s v a l o r e s d e x d e l a c o l u m n a © r e p r e s e n t a n l a d i s t a n c i a a q u e s e e n c u e n t r a l a sección c o n s i d e r a d a c o n r e s p e c t o a u n o r i g e n a r b i t r a r i o , m i e n t r a s q u e l a c o l u m n a ® i n d i c a l a d i s t a n c i a q u e e x i s t e e n t r e l a sección d e c o n t r o l ( p r e s a ) y l a sección c o n s i d e r a d a , s u cálculo e s c o m o s i g u e :

Sección p a r a y = 2 , 5 0 : L = 7 1 1 2 , 9 2 - 5 6 7 9 , 8 1 = 1 4 3 3 , 1 1 m

Sección p a r a y = 1 , 4 2 : L = 7 1 1 2 , 9 2 - ( - 1 3 9 7 , 6 6 ) = 8 5 1 0 , 5 8 m ( l o n g i t u d d e l a c u r v a d e r e m a n s o )

E n l a f i g u r a 5 . 5 2 s e m u e s t r a l a c u r v a M\ q u e s e o b t i e n e a l g r a f i c a r l a c o l u m n a (Z) c o n t r a l a c o l u m n a © .


c u r v a (MI

o o (O

o

o 0 3

e o

O ta

ID 00 o

Figura 5.52 Perfil M1 calculado por el método de Bresse

f. Uso de Hcanales

Los datos del problema, utilizando 10 tramos se muestran en la figura

5.53. i - Datos:

C a u d a l ( Q ) :



R u g o s i d a d ( n ) :

T i r a n t e n o r m a l ( y n ) :

T i r a n t e i n i c i a l ( y 1 ) :

T i r a n t e f i n a l ( y 2 ) :

Número d e t r a m o s ( n t )

10

10

0.0004

0 0 3 0

1.409

1.420

m 3 / s

m

m

m

m

10

Figura 5.53 Datos del problema para el método de Bresse

Los resultados parciales se muestran en la t a b l a 5 , 6 y los finales en

la tabla 5.17


Tabla 5.16 Resultados parciales obtenidos con el método de Bresse

H _ y Z = y / y n S x 1 F ( Z ) S x 2 d e l t a x X

3 2 . 1 2 9 2 7 5 0 0 0 . 1 1 5 2 3 8 1 . 7 9 7 1 1 8 . 2 1 0

2 . 8 4 2 2 . 0 1 7 7 1 0 5 0 . 1 2 9 4 4 2 8 . 8 8 6 6 7 6 . 1 2 4 4 2 . 0 8

2 . 6 8 4 1 . 9 0 4 9 6 7 1 0 0 . 1 4 6 6 4 8 5 . 8 4 6 2 2 4 . 1 6 8 9 4 . 0 4

2 . 5 2 6 1 . 7 9 2 8 6 3 1 5 0 . 1 6 7 7 5 5 5 . 9 0 5 7 5 9 . 1 0 1 3 5 9 . 1 1

2 . 3 6 8 1 . 6 8 0 6 5 9 2 0 0 . 1 9 4 3 6 4 3 . 9 1 5 2 7 6 . 0 9 1 8 4 2 . 1 2

2 . 2 1 1 . 5 6 8 5 5 5 2 5 0 . 2 2 8 5 7 5 7 . 4 9 4 7 6 7 . 5 1 2 3 5 0 . 7

2 . 0 5 2 1 . 4 5 6 4 5 1 3 0 0 . 2 7 4 4 9 0 9 . 5 6 4 , 2 2 0 . 4 4 2 8 9 7 . 7 7

1 . 8 9 4 1 . 3 4 4 2 4 7 3 5 0 . 3 3 9 3 1 1 2 4 . 5 0 3 6 1 0 . 5 0 3 5 0 7 . 7 1

1 . 7 3 6 1 . 2 3 2 1 4 3 4 0 0 . 4 3 9 5 1 4 5 6 . 8 2 8 8 3 . 2 0 4 2 3 5 . 0 0

1 . 5 7 8 1 . 1 1 9 9 3 9 4 5 0 . 6 2 6 2 2 0 7 5 . 4 8 1 8 6 9 . 5 2 5 2 4 8 . 6 9

1 . 4 2 1 . 0 0 7 8 3 5 5 0 1 . 5 0 1 0 4 9 7 5 . 1 8 - 1 4 2 5 . 1 8 8 5 4 3 . 3 9

Tabla 5.17 Resultados finales obtenidos con el método de Bresse

X y 0 3

4 4 2 . 0 8 2 , 8 4 2

8 9 4 . 0 4 2 . 6 8 4

1 3 5 9 . 1 1 2 . 5 2 6

1 8 4 2 . 1 2 2 . 3 6 8

2 3 5 0 . 7 0 2 . 2 1 0

2 8 9 7 . 7 7 2 . 0 5 2

3 5 0 7 . 7 1 1 . 8 9 4

4 2 3 5 . 0 0 1 . 7 3 6

5 2 4 8 . 6 9 1 . 5 7 8

8 5 4 3 . 3 9 1 . 4 2 0

Métodos numéricos

Los métodos numéricos son los que tiene aplicaciones más amplias, Bebido a que es adecuado para el análisis de perfiles de flujo, tanto en canales prismáticos como no prismáticos. Se caracterizan porque


p a r a e l cálculo s e d i v i d e e l c a n a l e n pequeños t r a m o s y s e c a l c u l a c a d a t r a m o , u n o a cont inuación d e o t r o .

E x i s t e n d i v e r s o s métodos q u e p e r m i t e n i n t e g r a r e n f o r m a numér ica l a ecuación d e l f l u j o p e r m a n e n t e g r a d u a l m e n t e v a r i a d o . L a a p l i c a b i l i d a d o c o n v e n i e n c i a d e c a d a u n o , d e p e n d e d e l a s característ icas d e l a situación p a r t i c u l a r q u e s e d e b e r e s o l v e r .

L o s métodos d e integración numér ica más u t i l i z a d o s s o n e l método d i r e c t o p o r t r a m o s y e l método d e t r a m o s f i j o s .

Método d i r e c t o p o r t r a m o s E s t e método e s s i m p l e y a p l i c a b l e a c a n a l e s pr ismáticos. S e u t i l i z a p a r a c a l c u l a r l a d i s t a n c i a A x d e l t r a m o a l a c u a l s e p r e s e n t a u n t i r a n t e y2 ( c o n o c i d o o f i j a d o p o r e l c a l c u l i s t a ) , a p a r t i r d e u n t i r a n t e y , c o n o c i d o y l o s demás d a t o s .

A. Deducción de la fórmula.

1 . Considérese u n t r a m o d e l c a n a l c o n s e c c i o n e s (D y (D s e p a r a d a s e n t r e sí u n a d i s t a n c i a A x , c o m o s e m u e s t r a e n l a f i g u r a 5 . 5 4 . L a l e y d e conservac ión d e energía e s t a b l e c e q u e :

2 2 Z , + y , + a ^ - = Z2 + y2 + aV±- + h „ 2 . . . ( 5 . 6 9 )

2. D e l a f i g u r a 5 . 5 4 p a r a ángulos pequeños s e c u m p l e q u e :

tg0 = sen0 = So = Z ' ~ Z l

A x e s d e c i r :

3 . D e a c u e r d o c o n e l c o n c e p t o d e energía específ ica, energía r e f e r i d a a l f o n d o d e l c a n a l , s e p u e d e e s c r i b i r :


2 l - Z 2 = So¿ü[

F i g u r a 5 . 5 4 T r a m o c o r t o d e u n c a n a l pr ismático

4 ' h ¡ en

co

e!Aam° ^ e X ¡ S t e s i n 9 " ' a r i d a d e s , l a pérdida d e eneroía

h n * s e d e b e e x c l u s i v a m e n t e a l a fr icción, p o r l o t a n t o : 9

7 1 - 2

S i l a s s e c c i o n e s © y ® están s u f i c i e n t e m e n t e a p r o x i m a r s e : c e r c a n a s , p u e d e

' / I - 2 _ S E \ + S E 2

A x = S E A X

5 ' s S e U ? iene y e n d ° V a ' ° r e S ^ e C U a d Ó n ( 5 - 6 9 > * s o l v i e n d o P a r a A x ,

S0Ax + El =E2 +SEAx ... ( 5 . 7 0 )

S0Ax-SEAx = E2-El . . . ( 5 . 7 1 )

(s0 - S E ) A X = E2 - £ , . . . ( 5 . 7 2 )


.... ( 5 . 7 3 )

d o n d e : A x = d i s t a n c i a d e l t r a m o d e s d e u n a sección G> d e características c o n o c i d a s , h a s t a o t r a e n q u e s e p r o d u c e u n t i r a n t e y 2

E L E 2 = energía específica (E = y + av2I2g) p a r a l a s

s e c c i o n e s ( D y ®

S 0 = p e n d i e n t e d e l f o n d o d e l c a n a l

SE = p e n d i e n t e p r o m e d i o d e l a línea d e energía

SE = E2

Sr = v • n R2"


E l p r o c e d i m i e n t o i n c l u y e l o s s i g u i e n t e s p a s o s :

1 . C o m e n z a r e l cálculo e n u n a sección c u y a s características d e l e s c u r r i m i e n t o s e a n c o n o c i d a s (sección d e c o n t r o l ) y a v a n z a r h a c i a d o n d e e s a sección d e c o n t r o l e j e r c e s u i n f l u e n c i a .

2 . C a l c u l a r e n e s a sección l a energía específica ^ ' ~ y \ + V l

l a p e n d i e n t e d e l a línea d e energía S E i c o n l a fórmula d o M a n n i n g .


D e f i n i r e l n u m e r o d e t r a m o s a c a l c u l a r y a p a r t i r d e él c a l c u l a r e l

i n c r e m e n t o A y = —-—— n

C a l c u l a r y2=y{+Ay; p a r a e s t e t i r a n t e c a l c u l a r l a energía específica E 2 y l a p e n d i e n t e d e l a línea d e energía S E 2 .

. C a l c u l a r l a p e n d i e n t e d e l a línea d e energía p r o m e d i o e n e l t r a m o , e s d e c i r :

S c i + S r 1 1 E SE = ^J±I^1L

C a l c u l a r Ay m e d i a n t e l a ecuación:

A x = E 2 - E ^ = _AE_

S0 - SE S0 - SE

i Ax e s p o s i t i v o , e l cálculo s e habrá a v a n z a d o h a c i a a g u a s a b a j o y e s n e g a t i v o h a c i a a g u a s a r r i b a .

n g e n e r a l p a r a V a r i a c i o n e s d e A y pequeñas, e l cálculo d e AE s u l t a c o n v e n i e n t e h a c e r l a c o n l a relación:

A£ = A y ( l - F 2 ) ... ( 5 . 7 4 )

d o n d e , F e s e l número d e F r o u d e p r o m e d i o e n e l t r a m o , e s d e c i r : — F +F

2 v

4s~AÍf

7. T a b u l a r l o s d a t o s

P a r a e l cálculo m a n u a l , c u a n d o s e efectúan a p l i c a c i o n e s s u c e s i v a s a l o l a r g o d e l c a n a l , r e s u l t a c o n v e n i e n t e e l a b o r a r u n a t a b l a c o n e l f i n d e


a b r e v i a r l o s cálculos. U n a f o r m a a d e c u a d a p a r a l a tabulación, s e m u e s t r a e n l a t a b l a 5 . 1 8 .

T a b l a 5 . 1 8 Tabulación p a r a e l método d i r e c t o p o r t r a m o s

1 / y

<T¡ L @ (7 ) C i l * a 1

<*} i / 1 N í a i — •

F i l a 2 - > y 1

y 2

• • H l S E :

m (Sí) @ ü¿ —1

- - 0

Explicación d e l u s o d e l a t a b l a 5 . 1 8 :

Fila 1. A p a r t i r d e u n v a l o r c o n o c i d o p a r a s e c a l c u l a l o s v a l o r e s c o r r e s p o n d i e n t e s a l a s c o l u m n a s 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 1 0 , d o n d e :

v = Q!A E = y + v212g

L o s v a l o r e s d e l a s c o l u m n a s 9 , 1 1 , 1 2 y 1 3 n o s e p u e d e n c a l c u l a r p o r q u e n e c e s i t a n cálculos c o n y 2 .

E l v a l o r i n i c i a l d e L i ( c o l u m n a 1 4 ) , p u e d e s e r e l d a t o c o r r e s p o n d i e n t e a l c a d e n a m i e n t o d e l a sección i n i c i a l d e l a aplicación, o b i e n s e r u n v a l o r f i j a d o p o r e l c a l c u l i s t a , p o r e j e m p l o U-Q

Fila 2: A p a r t i r d e u n v a l o r p a r a y 2 s e c a l c u l a n l o s v a l o r e a c o r r e s p o n d i e n t e s a l a s c o l u m n a s 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 y 1 0 , a l i g u a c o m o s e h i z o p a r a yv E l v a l o r d e l a s c o l u m n a s 9 s e d e t e r m i n a 8 p a r t i r d e l o s r e s u l t a d o s o b t e n i d o s e n l a c o l u m n a 8 p a r a l a s f i l a s 1 y 7 c o n s i d e r a n d o l o s subíndices a p r o p i a d o s . E l v a l o r d e l a c o l u m n a 11 s e d e t e r m i n a c o n l o o b t e n i d o e n l a c o l u m n a 1 0 p a r a l a s f i l a s 1 y 2 .


I v a l o r d e l a c o l u m n a 1 2 s e o b t i e n e c o n l o o b t e n i d o e n l a c o l u m n a 1 y e l d a t o d e p e n d i e n t e d e l c a n a l S 0 .

I v a l o r d e l a c o l u m n a 1 3 s e o b t i e n e c o n l a ecuación ( 5 . 7 3 ) , m i e n t r a s q u e e l v a l o r d e l a c o l u m n a 1 4 s e o b t i e n e a c u m u l a n d o l o s v a l o r e s d e A * q u e s e h a y a n e n c o n t r a d o e n c a d a aplicación.

L a s demás f i l a s d e l a t a b l a s e c a l c u l a n e n f o r m a s i m i l a r , c o n s i d e r a n d o p a r a c a d a t r a m o e l p r i m e r v a l o r d e l t i r a n t e p a r a l a f i l a 1 y e l s e g u n d o v a l o r p a r a l a f i l a 2 .

C. Proceso computacional

H c a n a l e s r e s u e l v e l a ecuación ( 5 . 7 7 ) , d o n d e AE = E2-E] e s d e t e r m i n a d o c o n l a ecuación ( 5 . 7 4 ) .

P r o b l e m a s r e s u e l t o s

i U n c a n a l t r a p e z o i d a l t i e n e u n a a n c h o d e s o l e r a b = 0 , 8 0 m , t a l u d Z = 1 , p e n d i e n t e S = 0 , 0 0 0 5 , c o e f i c i e n t e d e r u g o s i d a d n = 0 , 0 2 5 y c o n d u c e u n c a u d a l d e 1 m 3 / s .

r *

A p a r t i r d e c i e r t a sección e n a d e l a n t e , c o m o s e m u e s t r a e n l a f i g u r a 5 . 5 5 e s n e c e s a r i o a u m e n t a r l a - p e n d i e n t e d e l c a n a l a S 0 = 0 , 0 1 y e l c a n a l s e r e v i s t e c o n c o n c r e t o c o n n = 0 , 0 1 5 .

C a l c u l a r e l p e r f i l d e l f l u j o e n e l t r a m o d e m a y o r p e n d i e n t e c o n s i d e r a n d o q u e l a variación d e l p e r f i l t e r m i n a c u a n d o e l t i r a n t e e s d e 1 % s u p e r i o r a l t i r a n t e n o r m a l .

olución

b = 0 , 8 0 m Z = 1 n = 0 , 0 2 5 ( t r a m o s i n r e v e s t i r ) n = 0 , 0 1 5 ( t r a m o r e v e s t i d o )

tos: = 1 m 3 / s

= 0 , 0 0 0 5 = 0 , 0 1


S • 0 ,0005

rt = 0 .025 n = 0,01 t r a m o s i n r e v e s t i r * - ! - * t r a m o r e v e s t i d o

F i g u r a 5 . 5 5 P e r f i l l o n g i t u d i n a l

L o s cálculos, c o m o l o i n d i c a e l p r o b l e m a , s e r e a l i z a s o l o e n e l t r a m o d e m a y o r p e n d i e n t e .

a . Cálculo d e l t i r a n t e n o r m a l

P a r a : Q = 1 m 3 / s , b = 0 , 8 0 m , Z = 1 , S 0 = 0 , 0 1 , n = 0 , 0 1 5 a p l i c a n d o H c a n a l e s , s e o b t i e n e : y n = 0 , 3 5 2 m .

b . Cálculo d e l t i r a n t e crítico:

P a r a : Q = 1 m 3 / s , b = 0 , 8 0 m , Z = 1 , a p l i c a n d o H c a n a l e s , s e o b t i e n e : y c = 0 , 4 4 7 m .

c . Identificación d e l p e r f i l d e l a c u r v a d e r e m a n s o

C o m o y„ = 0 , 3 5 2 < yc = 0 , 4 4 7 s e g e n e r a u n a c u r v a S

E n t o d o m o m e n t o y c = 0 , 4 4 7 > y > y „ = 0 , 3 5 2 p o r l o q u e l a c u r v a s e e n c u e n t r a e n l a z o n a 2 , l u e g o e l p e r f i l e s u n a S 2

d . Cálculo d e l p e r f i l

L o s cálculos s e r e a l i z a n d e s d e l a sección d e c o n t r o l q u e s e l o c a l i z a e n e l p u n t o d e l c a m b i o d e p e n d i e n t e , c o n u n t i r a n t e y¡ = yc = 0 , 4 4 7

h a c i a a g u a s a b a j o , h a s t a yf = l , 0 1 x y n , e s d e c i r : yf = 1 , 0 1 x 0 , 3 5 2

óyf = 0 , 3 5 6 m .


L o s r e s u l t a d o s o b t e n i d o s s e m u e s t r a n e n l a t a b l a 5 . 1 9 y g r a f i c a n d o l a c o l u m n a (W 1 c o n t r a l a G) r e s u l t a l a f i g u r a 5 . 5 6 .

5 - a i 5 m 1 3 ? " ? ' C n «de'rrfi' S 2 P 0 r e l m é t o d o d i r e c t 0 P° r t ramos [Q - 1 m / s , 6 = 0 , 8 m , Z = 1 , n = 0 , 0 1 5 , S 0 = 0 , 0 1 )

A P (3>

R R " v

0 , 5 5 7 4 0 , 5 2 8 9 0 , 4 9 6 1 0 , 4 8 0 0 0 , 4 6 4 1 0 , 4 4 8 4 0 , 4 3 2 9 0 , 4 1 7 6 0 , 4 1 1 5

2 , 0 6 4 3 2 , 0 1 6 2 1 , 9 5 9 7 1 , 9 3 1 4 1 , 9 0 3 1 1 , 8 7 4 8 1 , 8 4 6 5 1 , 8 1 8 2 1 , 8 0 6 9

0 , 2 7 0 0 0 , 2 6 2 3 0 , 2 5 3 2 0 , 2 4 8 5 0 , 2 4 3 9 0 , 2 3 9 2 0 , 2 3 4 4 0 , 2 2 9 7 0 2 2 7 8

0 , 4 1 7 8 0 , 4 0 9 8 0 . 4 0 Q 2 0 , 3 9 5 3 0 , 3 9 0 3 0 , 3 8 5 3 0 , 3 8 0 2 0 , 3 7 5 0 0 , 3 7 2 9

1 , 7 9 4 0 1 , 8 9 0 7 2 , 0 1 5 7 2 , 0 8 3 3 2 , 1 5 4 7 2 , 2 3 0 2 2 , 3 1 0 0 2 , 3 9 4 6 2 , 4 2 9 9

E AE S E S E S0 — S E Ax L ( 8 > río;. ( T I ) U (Tí : | i .

0 , 6 1 1 0 0 , 0 0 4 2 - f ) 0 , 6 1 2 2 0 , 0 0 1 2 0 , 0 0 4 8 0 , 0 0 4 5 0 , 0 0 5 5 0 , 2 2 u

0 2 2 0 , 6 1 7 1 0 , 0 0 4 9 0 , 0 0 5 7 0 , 0 0 5 3 0 , 0 0 4 7 1 , 0 0 1 , 2 2 0 , 6 2 1 2 0 , 0 0 4 1 0 , 0 0 6 2 0 , 0 0 6 0 0 , 0 0 4 0 1 , 0 3 2 , 2 5 0 , 6 2 6 6 0 , 0 0 5 4 0 , 0 0 6 9 0 , 0 0 6 6 0 , 0 0 3 4 1 , 5 9 3 , 8 4 0 , 6 3 3 5 0 , 0 0 6 9 0 , 0 0 7 5 0 , 0 0 7 2 0 , 0 0 2 8 2 , 4 6 6 , 3 0 0 , 6 4 2 0 0 , 0 0 8 5 0 , 0 0 8 3 0 , 0 0 7 9 0 , 0 0 2 1 4 , 0 5 1 0 3 5 0 , 6 5 2 3 0 , 0 1 0 3 0 , 0 0 9 2 0 , 0 0 8 8 0 , 0 0 1 2 8 , 5 8 1 U , \J\J

1 8 , 9 3 0 , 6 5 6 9 0 , 0 0 4 6 0 , 0 0 9 6 0 , 0 0 9 4 0 , 0 0 0 6 7 , 6 7 2 6 , 6 0


F i g u r a 5 . 5 6 P e r f i l S 2 c a l c u l a d o p o r e l método d i r e c t o p o r t r a m o s

A m a n e r a d e e j e m p l o , s e i n d i c a n l o s cálculos p a r a e l p r i m e r t r a m o A x d e s d e yx =yc = 0 , 4 4 7 a y2 = 0 , 4 3 0 . P a r a c a d a u n a d e e s t a s s e c c i o n e s s e c a l c u l a n l o s e l e m e n t o s geométricos e hidráulicos d e l a s i g u i e n t e m a n e r a :

Sección ® : yx = 0 , 4 4 7

Ax = ( 0 , 8 + 0 , 4 4 7 ) 0 , 4 4 7 = 0 , 5 5 7 4

px = 0 , 8 + 2 ^ 2 x 0 , 4 4 7 = 2 , 0 6 4 3

«,==^1=0,27 1 2 , 0 6 4 3

R.2li = 0 , 4 1 7 8

Sección (D: y2 = 0 , 4 3 0

A2 = ( 0 , 8 + 0 , 4 3 ) 0 , 4 3 = 0 , 5 2 8 9

p2 = 0 , 8 + 2 ^ 2 x 0 , 4 3 = 2 , 0 1 6 2

0 , 5 2 8 9 R2

v , = 1

0 , 5 5 7 4

1 , 7 9 4 2

= 1 , 7 9 4 0

2 , 0 1 6 2 = 0 , 4 0 9 8

1

= 0 , 2 6 2 3

V 2 =

= 0 , 1 6 4 0 y2 _

0 , 5 2 8 9

1 , 8 9 0 7 2

= 1 , 8 9 0 7

= 0 , 1 8 2 2 2g 1 9 , 6 2 Ex = 0 , 4 4 7 + 0 , 1 6 4 0 = 0 , 6 1 1 0

2g 1 9 , 6 2 E2 = 0 , 4 3 + 0 , 1 8 2 2 = 0 , 6 1 2 2


f 1 , 7 9 4 0 x 0 , 0 1 5 V

0 , 4 1 7 8 = 0 , 0 0 4 2 S El

' 1 , 8 9 0 7 x 0 , 1 5 V

0 , 4 0 9 8 = 0 , 0 0 4 8

g , . g « , + g „ . 0 , 0 0 4 2 + 0 , 0 0 4 8 _

S0 - SE = 0 , 0 1 - 0 , 0 0 4 5 = 0 , 0 0 5 5

AE = E2 -Ex = 0 , 6 1 2 2 - 0 , 6 1 1 0 = 0 , 0 0 1 2

AE 0 , 0 0 1 2 A x = = — = 0 , 2 2 m

S0 - SE 0 , 0 0 5 5

N o t a r q u e l a d i s t a n c i a A x q u e s e o b t i e n e e s pequeña a l p r i n c i p i o , e n comparación c o n l o s o t r o s v a l o r e s q u e s e m u e s t r a n e n l a t a b l a 5 . 1 9 , e s t o e s d e b i d o a q u e e n l a p r o x i m i d a d d e l a sección crítica e s m a y o r I n c u r v a t u r a d e l p e r f i l d e l f l u j o ( v e r f i g u r a 5 . 5 6 ) . E n e s t e c a s o , p a r a l o s cálculos s e podrían e l e g i r , e n e s t a z o n a i n c r e m e n t o s ( + ó - ) , d e A i m a y o r e s a f i n d e n o o b t e n e r v a l o r e s A x m u y pequeños.

o . U s o d e H c a n a l e s

L o s d a t o s d e l p r o b l e m a p a r a 1 0 t r a m o s , s e m u e s t r a n e n l a f i g u r a 6 . 5 7 .


- Datos:

Caudal (Q):

Ancho de soleta (b):

Talud Z :

Pendiente (S):

Rugosidad (n):

Tirante inicial (y1):

Tirante final Í_y2):

Número de tramos (nt)

Figura 5.57 Datos de la curva S2 para el método directo por tramos

Los resultados parciales obtenidos se muestran en la tabla 5.20 y loi resultados finales en la tabla 5.21.

Tabla 5.20 Resultados parciales de la curva S2 usando el método directo por tramos

y A P R Rm V v z /2g

0.4470 0.5574 2.0643 0.2700 0.4178 1.7940 0.1640

0.4379 0.5421 2.0386 0.2659 0.4135 1.8448 0.1735

0.4288 0.5269 2.0128 0.2618 0.4092 1.8979 0.1836

0.4197 0.5119 1.9871 0.2576 0.4049 1.9535 0.1945

0.4106 0.4971 1.9614 0.2534 0.4005 2.0118 0.2063

0.4015 0.4824 1.9356 0.2492 0.396 2.0730 0.2190

0.3924 0.4679 1.9099 0.2450 0.3915 2.1372 0.2328

0.3833 0.4536 1.8841 0.2407 0.3870 2.2048 0.2478

0.3742 0.4394 1.8584 0.2364 0.3824 2.2759 0.2640

0.3651 0.4254 1.8327 0.2321 0.3777 2.3509 0.2817

0.3560 0.4115 1.8069 0.2278 0.3729 2.4299 0.3009

0.80

m3/s

m

0.01

0.015

0.447

0.356

m

m

10


F II l i l 10 111,1 14 ()(i124

142 169 205

l) (¡382 II (¡468 I) (¡569

deltaE

0.0003 0.0010 0.0018 0.0027 0.0036 0.0047 0.0059 0.0071 0.0086 0.0102

Se__ 0.00415 0.00448 0.00484 0.00524 0.00568 0.00616 0.00670 0.00730 0.00797 0.00872 0.00955

Sep

0.00431 0.00466 0.00504 0.00546 0.00592 0.00643 0.00700 0.00764 0.00834 0.00913

SO-Sep

0.00569 0.00534 0.00496 0.00454 0.00408 0.00357 0.00300 0.00236 0.00166 0.00087

deltax

0.055 0.193 0.366 0.591 0.892 1.315 1.954 3.023 5.178

11.745

0.05 0.25 0.61 1.2 2.1

3.41 5.36 8.39 13.57 25.31

l i b i a 5.21 Resultados finales de la curva S2 usando el método iliitícto por tramos

0 0.4470 0.05 0.4379 0.25 0.4^288 0.61 0.4197 1.20 0.4106 2.10 0.4015 3.41 0.3924 5.36 0.3833 8.39 0.3742 13.57 0.3651 25.31 0.3560

Un canal trapezoidal tiene un ancho de solera de 6 = 1,5, Z = 1 y conduce un caudal de 1,5 m3/s. En cierto lugar del perfil longitudinal tiene que vencer un desnivel como se muestra en la figura 5.58.


F i g u r a 5 . 5 8 P e r f i l l o n g i t u d i n a l d e l c a n a l

S a b i e n d o q u e e n e l : t r a m o 1 : • P e n d i e n t e S 0 = 0 , 0 0 0 5 • C o e f i c i e n t e d e r u g o s i d a d z o n a s i n r e v e s t i r n = 0 , 0 2 5 , e n e s t a

z o n a e l c a n a l s o p o r t a h a s t a u n a v e l o c i d a d d e 0 , 9 m / s • C o e f i c i e n t e d e r u g o s i d a d z o n a r e v e s t i d a n = 0 , 0 1 5

t r a m o 2 : • P e n d i e n t e S 0 = 0 , 1 • C o e f i c i e n t e d e r u g o s i d a d n = 0 , 0 1 5 • L o n g i t u d d e l p e r f i l x 2 = 4 0 m

t r a m o 3 : • P e n d i e n t e S 0 = 0 , 0 0 1 • C o e f i c i e n t e d e r u g o s i d a d z o n a s i n r e v e s t i r n = 0 , 0 2 5 • C o e f i c i e n t e d e r u g o s i d a d z o n a r e v e s t i d a n = 0 , 0 1 5

S e p i d e : I. R e a l i z a r e l e s t u d i o d e l o s p e r f i l e s d e l f l u j o . I I . C a l c u l a r u t i l i z a n d o e l método d i r e c t o p o r t r a m o s l o s p e r f i l e s d o l

f l u j o y r e a l i z a r e l e s q u e m a d e l p e r f i l . I I I . C a l c u l a r l a l o n g i t u d r e v e s t i d a e n e l t r a m o 3 y l a l o n g i t u d t o t a l

r e v e s t i d a .


Solución

Datos:

Q= 1 , 5 m 3 / s , b = 1 , 5 m , Z = 1

y l o s v a l o r e s d e S 0 y n q u e s e d a n e n l a f i g u r a 5 . 4 8 .

I. Análisis d e p e r f i l e s

1 1 T r a m o 1


H a c i e n d o u s o d e H c a n a l e s , p a r a : : = 1 ,5 m 3 / s , b = 1 , 5 m , Z = 1 , S = 0 , 0 0 0 5

Z o n a s i n r e v e s t i r n = 0 , 0 2 5 - > y n = 0 , 9 8 2 6 m ( p r o d u c i e n d o u n f l u j o subcrítico)

Z o n a r e v e s t i d a n = 0 , 0 1 5 - »y n = 0 , 7 4 6 7 m ( p r o d u c i e n d o u n f l u j o subcrítico)

b. Cálculo d e y c * H a c i e n d o u s o d e H c a n a l e s p a r a : 0 = 1 . 5 m 3 / s , b = 1 , 5 m , Z = 1 - > y c = 0 , 4 2 3 m

c. Sección d e c o n t r o l E s t a c o n s t i t u i d a p o r e l p u n t o d e intersección d e l t r a m o 1 c o n e l 2 , c o r r e s p o n d i e n d o s u t i r a n t e a l y c = 0 , 4 2 3 m .

d . Identificación d e l p e r f i l d e l a c u r v a d e r e m a n s o C o m o y „ = 0 , 7 4 6 7 > yc = 0 , 4 2 3 s e g e n e r a u n a c u r v a M.

E n t o d o m o m e n t o yn = 0 , 7 4 6 7 > y > yc - 0 , 4 2 3 , p o r l o q u e l a c u r v a e e n c u e n t r a e n l a z o n a 2 , l u e g o e l p e r f i l e s u n a M2.


1.2 T r a m o 2


H a c i e n d o u s o d e H c a n a l e s | Q = l , 5 m 3 / s , b = 1 . 5 m , Z = l

S = 0 , 1 , n = 0 , 0 1 5

b. Cálculo d e y c

C o m o l a geometría d e la.sección t r a n s v e r s a l p e r m a n e c e c o n s t a n t e e l y c e s e l m i s m o e n l o s t r e s t r a m o s .

/ . y c = 0 , 4 2 3 m

c. Sección d e c o n t r o l E s l a m i s m a d e l t r a m o 1 , e s d e c i r e l p u n t o d e intersección d e l t r a m o 1 c o n e l t r a m o 2 , c o r r e s p o n d i e n d o e l t i r a n t e r e a l a l y c . C o m o s e o b s e r v a d e l o s cálculos r e a l i z a d o s e n e l t r a m o 1 , h a y f l u j o subcrítico y p a s a a l t r a m o 2 a u n f l u j o supercrítico, p o r l o q u e e n e l c a m b i o d e p e n d i e n t e d e b e p r e s e n t a r s e e l f l u j o c r i t i c o .

d . Identificación d e l p e r f i l d e l a c u r v a d e r e m a n s o C o m o y„ = 0 , 1 6 1 2 > y c = 0 , 4 2 3 s e g e n e r a u n a c u r v a S .

E n t o d o m o m e n t o : yc = 0 , 4 2 3 > y > y„ = 0 , 1 6 1 2 p o r l o q u e l a c u r v a s e e n c u e n t r a e n l a z o n a 2 , l u e g o e l p e r f i l e s u n a S 2 .

1.3 T r a m o 3


H a c i e n d o u s o d e H c a n a l e s p a r a : Q = 1 ,5 m 3 / s , b = 1 , 5 m , Z = 1 , S = 0 . 0 0 1 Z o n a r e v e s t i d a n = 0 , 0 1 5 -» y n = 0 , 6 1 6 7 m ( p r o d u c i e n d o f l u j o

subcrítico)

Dará:

l _» yn = 0 . 1 6 1 2 m ( p r o d u c i e n d o f l u j o

supercrítico)


n a s i n r e v e s t i r n = 0 , 0 2 5 - > y n = 0 , 8 1 6 5 m ( p r o d u c i e n d o f l u j o subcrítico)

I , Sección d e c o n t r o l E l p u n t o d e intersección d e l t r a m o 2 c o n e l t r a m o 3 , t i e n e u n t i r a n t e q u e p u e d e c a l c u l a r s e a p a r t i r d e l a sección d e c o n t r o l a n t e r i o r , p o r l o c u a l , será u n p u n t o c o n ubicación y v a l o r c o n o c i d o , p o r l o q u e c o n s t i t u y e l a sección d e c o n t r o l d e l t r a m o 3 . D e p e n d i e n d o d e l a l o n g i t u d d e l t r a m o p u e d e s e r e l y n d e l t r a m o 2 , c o m o e n e s t e c a s o n u c e d e ( p e r o e s t o s e c o m p r o b a r a después d e q u e s e c a l c u l e l a l o n g i t u d d e l a c u r v a d e r e m a n s o d e l t r a m o 2 ) . '

c. Ubicación d e l r e s a l t o hidráulico C o m o e n e l t r a m o 2 e x i s t e u n f l u j o supercrítico y p a s a a l t r a m o 3 d o n d e e x i s t e u n f l u j o subcrítico, d e b e p r o d u c i r s e e l r e s a l t o hidráulico. S e d e b e a v e r i g u a r e l t i p o d e r e s a l t o , l o c u a l n o s definirá s i l a c u r v a d e r e m a n s o e s u n a S 1 ( s i e l r e s a l t o e s a h o g a d o ) o u n a M3 ( s i e l r e s a l t o t s b a r r i d o ) .

I S u p o n i e n d o q u e a l f i n a l d e l t r a m o 2 , y a s e consiguió e l y n = 0 , 1 6 1 2 m ( y e s t o e n e f e c t o o c u r r e , p o r q u e l a l o n g i t u d d e l a c u r v a S 2 e s m e n o r q u e l o s x 2 = 4 0 m , p e r o e s t o s e v e r a más a d e l a n t e ) . P a r a e l c a n a l t r a p e z o i d a l c o n :

V l = y n = 0,1612 J Q = 1 , 5 m 3 / s y, = 0 , 1 6 1 2 m b= 1 , 5 m Z = 1

u t i l i z a n d o H c a n a l e s s e o b t i e n e e l t i r a n t e c o n j u g a d o m a y o r y 2 = 0 , 8 5 8 7 m .


2 . C o m o y 2 = 0 , 8 5 8 7 > y n = 0 , 8 1 6 5 ( d e l a z o n a s i n r e v e s t i r ) , s e f o r m a u n r e s a l t o b a r r i d o , ubicándose e n e l t r a m o 3 c o n m e n o r p e n d i e n t e . A n t e s d e l r e s a l t o s e f o r m a u n a c u r v a M3.

3 . Después q u e o c u r r e e l r e s a l t o hidráulico e l y r e a i d e b e s e r i g u a l a l y m e s d e c i r y 2 = y n = 0 , 8 1 6 5 m p o r l o q u e d e b e r e c a l c u l a r s e e l yy r e a l d e l r e s a l t o . P a r a e l c a n a l t r a p e z o i d a l c o n :

Q = 1 ,5 m 3 / s y 2 = 0 , 8 1 6 5 m b = 1 ,5 m Z = 1

u t i l i z a n d o H c a n a l e s , s e o b t i e n e e l t i r a n t e c o n j u g a d o m e n o r y, • 0 , 1 7 6 0 m .

D e l o s r e s u l t a d o s o b t e n i d o s l a c u r v a e n e l t r a m o 3 , v a d e u n y i = y n = 0 , 1 6 1 2 m h a s t a e l y f = 0 , 1 7 6 0 m .

d . Identificación d e l p e r f i l d e l a c u r v a d e r e m a n s o A u n q u e e n e l a p a r t a d o c ) y a s e i n d i c o q u e l a c u r v a d e r e m a n s o e s u n a M3, aquí s e i n d i c a r a s u justificación.

C o m o y n > y c s e g e n e r a u n a c u r v a M.

E n t o d o m o m e n t o y<ycyy<yn, p o r l o q u e l a c u r v a s e e n c u e n t r a e n l a z o n a 3 , l u e g o e l p e r f i l e s u n a c u r v a M3.

D e l análisis e f e c t u a d o s e p u e d e c o n c l u i r q u e e l p e r f i l a l o l a r g o d e l c a n a l d e b e a d q u i r i r l a f o r m a q u e m u e s t r a l a f i g u r a 5 . 5 9 .


t r a m o 1 t r a m o 2 t r a m o 3

F i g u r a 5 . 5 9 P e r f i l d e l f l u j o e n l o s 3 t r a m o s

I I . Cálculo d e l o s p e r f i l e s

11.1 Cálculo d e l p e r f i l M 2

a. E l cálculo s e r e a l i z a e n f o r m a i n d e p e n d i e n t e e n l a z o n a r e v e s t i d a e s d e l a sección d e c o n t r o l c o n u n t i r a n t e i n i c i a l y c = 0 , 4 2 3 m h a c i a g u a s a r r i b a h a s t a e l t i r a n t e q u e c o r r e s p o n d e a u n a v e l o c i d a d d e 0 , 9 / s , e s d e c i r h a s t a *

A = ( 3 9 = ^ + y ^ ~ * y 2 + h 5 y " 1 , 6 6 6 7 = °

y = 1,5 + V l , 5 2 + 4 x 1 , 6 6 6 7

-» y = 0 , 7 4 3 m

e n l a z o n a n o r e v e s t i d a d e s d e e s t e t i r a n t e ( y = 0 . 7 4 3 m ) h a c i a g u a s a r r i b a h a s t a q u e e l t i r a n t e s e a i g u a l a l 9 8 % d e l t i r a n t e n o r m a l e e s t a z o n a , e s d e c i r h a s t a :

y = 0 , 9 8 x 0 , 9 8 2 6 = 0 , 9 6 3 0 m

. Cálculo d e l p e r f i l M2 e n l a z o n a r e v e s t i d a a c i e n d o u s o d e H c a n a l e s p a r a :

0 = 1 ,5 m 3 / s , b = 1 , 5 m , Z = 1 , n = 0 , 0 1 5 , ^ = 0 , 4 2 3 m , y 2 = 0 , 7 4 3 m , S= 0 , 0 0 0 5 y t r a b a j a n d o c o n 5 t r a m o s s e o b t i e n e :


r R e s u l t a d o s f i n a l e s :

X y 0 . 0 0 0 . 4 2 3 0 5 . 1 G 0 . 4 8 7 0

2 7 . 4 8 0 . 5 5 1 0 8 3 . 2 8 0 . 6 1 5 0

2 1 8 . 8 4 0 . 6 7 9 0 7 0 8 . 1 4 0 . 7 4 3 0

L o n g i t u d z o n a r e v e s t i d a : = 7 0 8 , 1 4 m

c. Cálculo d e l p e r f i l M2 e n l a z o n a n o r e v e s t i d a H a c i e n d o u s o d e H c a n a l e s p a r a : Q = 1 ,5 m 3 / s , b = 1 , 5 m , Z = 1 , n = 0 , 0 2 5 , y , = 0 , 7 4 3 m , y 2 = 0 , 9 6 3 0 m , S = 0 , 0 0 0 5 y t r a b a j a n d o c o n 5 t r a m o s s e o b t i e n e l o s v a l o r e s q u e s e m u e s t r a n e n l a t a b l a 5 . 2 2 . T a b l a 5 , 2 2 P e r f i l d e l a c u r v a M 2 e n e l t r a m o n o r e v e s t i d o

V a l o r e s d e x x a c u m u l a d o _ ^ l p j r e s d e x _ 0 7 0 8 , 1 4 0 , 7 4 3

4 8 , 8 6 7 5 7 , 0 0 0 , 7 8 7

1 2 1 , 2 5 8 2 9 , 3 9 0 , 8 3 1

2 3 3 , 9 3 9 4 2 , 0 7 0 , 8 7 5

4 2 9 , 1 0 1 1 3 7 , 2 4 0 , 9 1 9

8 7 9 , 1 9 1 5 8 7 , 3 3 0 , 9 6 3

I I . 2 Cálculo d e l p e r f i l S 2

a . E l cálculo s e r e a l i z a d e s d e l a sección d e c o n t r o l c o n u n t i r a n t e i n i c i a l y i = 0 , 4 2 3 m h a c i a a g u a s a b a j o h a s t a q u e e l t i r a n t e s e a 2 % s u p e r i o r a l t i r a n t e n o r m a l , e s d e c i r h a s t a :

y 2 = 1 , 0 2 x 0 , 1 6 1 2 = 0 , 1 6 4 4 m

b. Cálculo d e l p e r f i l S 2 H a c i e n d o u s o d e H c a n a l e s p a r a :


Q = 1 ,5 m 3 / s , b= 1 ,5 m , Z = 1 , n = 0 , 0 1 5 , y= 0 , 4 2 3 m , y 2 = 0 , 1 6 4 4 m , S = 0 , 1 y t r a b a j a n d o c o n 5 t r a m o s s e o b t i e n e :

r R e s u l t a d o s f i n a l e s :

X y 0 . 0 0 0 . 4 2 3 0 0 . 1 3 0 . 3 7 1 3 0 . 6 7 0 . 3 1 9 6 2 . 0 8 0 . 2 6 7 8 5 . 8 2 0 .2 .161

2 4 . 5 8 0 . 1 6 4 4

D e a c u e r d o c o n l a s c o n d i c i o n e s d e l p r o b l e m a , l a l o n g i t u d d e l p e r f i l e s d e 4 0 m , e s o i n d i c a q u e e n e s t e t r a m o prácticamente s e c o n s i g u e a l f i n a l d e l m i s m o e l f l u j o u n i f o r m e c o n u n y n = 0 , 1 6 1 2 m , v a l o r q u e s e tomará c o m o i n i c i a l p a r a e l t r a m o 3 .

I I .3 Cálculo d e l p e r f i l M 3

a . E n e l t r a m o 3 s e d e s a r r o l l a e n l a z o n a r e v e s t i d a , u n p e r f i l M3 e n f l u j o supercrítico ( y < y c ) y l u e g o d e b e p a s a r a l t r a m o s i n r e v e s t i r e n f l u j o u n i f o r m e subcrítico, e s t o sólo s e l o g r a s i s e p r o d u c e e l r e s a l t o hidráulico.

b. E l cálculo d e l p e r f i l M3 s e r e a l i z a d e s d e e l p u n t o d e c a m b i o d e p e n d i e n t e c o n u n t i r a n t e i n i c i a l y n = 0 , 1 6 1 2 m h a c i a a g u a s a b a j o h a s t a e l t i r a n t e c o n j u g a d o m e n o r d e l r e s a l t o hidráulico y a c a l c u l a d o , e s d e c i r h a s t a y-\ = 0 , 1 7 6 0 m .

c. Cálculo d e l p e r f i l M3: D e l o s cálculos o b t e n i d o s , e l p e r f i l M3 s e r e a l i z a d e s d e y¡= 0 , 1 6 1 2 m h a s t a y f = 0 , 1 7 6 0 m .

H a c i e n d o u s o d e H c a n a l e s p a r a : Q = 1 ,5 m 3 / s , b = 1 ,5 m , Z = 1 , n = 0 , 0 1 5 , y¡= 0 , 1 6 1 2 m , y , = 0 , 1 7 6 0 m ,

= 0 , 0 0 1 y t r a b a j a n d o c o n 5 t r a m o s s e o b t i e n e :


R e s u l t a d o s f i n a l e s :

X V 0 .00 0 .1612 0 .62 1 2 4 1.87

0 .1642 0 .1671 0 .1701

2 .49 0 .1730 3 .12 0 .1760

I

d . Cálculo d e l a l o n g i t u d d e l r e s a l t o : Según Síeñchin p a r a u n c a n a l t r a p e z o i d a l c o n Z = 1 , s e t i e n e :

L= 1 0 , 6 ( y 2 - y i ) L = 1 0 , 6 ( 0 , 8 1 6 5 - 0 , 1 7 6 0 ) L = 6 , 7 9 m

e . Cálculo d e l a z o n a r e v e s t i d a x 3 e n e l t r a m o 3 : x 3 = l o n g i t u d c u r v a M 3 + l o n g i t u d r e s a l t o x 3 = 3 , 1 2 + 6 , 7 9 x 3 = 9 , 9 1 m

R e s u m i e n d o , d e l o s cálculos r e a l i z a d o s s e o b t i e n e l a t a b l a 5 . 2 3 , c o n e l c u a l s e d i b u j a e l p e r f i l q u e s e m u e s t r a e n l a f i g u r a 5 . 6 0 , e n e s t e c a s o , e l p e r f i l n o s e dibujó a e s c a l a .

T a b l a 5 . 2 3 . Cálculo d e p e r f i l e s I a D i a D.¿¿. o a i o u i u u c P e r f i l M 2 P e r f i l S 2 P e r f i l M 3

x y x y X y

0 J :

0 , 4 2 3 0 o e 0 , 4 2 3 0 0 0 , 1 6 1 2

5 , 1 6 0 , 4 8 7 0 0 , 1 3 0 , 3 7 1 3 0 , 6 2 0 , 1 6 4 2

2 7 , 4 8 0 , 5 5 1 0 0 , 6 7 0 , 3 1 9 6 1 , 2 4 0 , 1 6 7 1

8 3 , 2 8 0 , 6 1 5 0 2 , 0 8 0 , 2 6 7 8 1 , 8 7 0 , 1 7 0 1

2 1 8 , 8 4 0 , 6 7 9 0 5 , 8 2 0 , 2 1 6 1 2 , 4 9 0 , 1 7 3 0

7 0 8 , 1 4 0 , 7 4 3 0 2 4 , 5 8 0 , 1 6 4 4 3 , 1 2 0 , 1 7 6 0

7 5 7 , 0 0 0 , 7 8 7 0 8 2 9 , 3 9 0 , 8 3 1 0 9 4 2 , 0 7 0 , 8 7 5 0

1 1 3 7 , 2 4 0 , 9 1 9 0 1 5 8 7 , 3 3 0 , 9 6 3 0


I I . Cálculo d e l a l o n g i t u d t o t a l r e v e s t i d a :

stá c o n s t i t u i d a p o r l a s u m a d e l a s z o n a s r e v e s t i d a s e n l o s 3 t r a m o s , s d e c i r :

L = X,+ X2+X3

L = 7 0 8 , 1 4 + 4 0 + 9 , 0 1

L = 7 5 8 , 0 5 m

F i g u r a 5 . 6 0 Cálculo d e p e r f i l e s p o r e l método d i r e c t o p o r t r a m o s p r o c e s o c o m p u t a c i o n a l .

étodo d e t r a m o s f i j o s

s t e método e s a p l i c a b l e t a n t o p a r a c a n a l e s prismáticos c o m o n o rismáticos. S e u t i l i z a p a r a c a l c u l a r e l t i r a n t e y 2 , q u e s e p r e s e n t a e n n a sección (D p r e v i a m e n t e e s p e c i f i c a d a d e u n t r a m o d e l o n g i t u d x , a p a r t i r d e l t i r a n t e c o n o c i d o y i e n l a sección (D, y l o s demás

a t o s .

. Ecuación del método

a ecuación d e e s t e método e s , e n e s e n c i a , l a m i s m a d e l método i r e c t o p o r t r a m o s , s a l v o e n l a fórmula f i n a l , e s t o e s , e n función d e l a

r i a b l e p o r c a l c u l a r . Así, d e l a ecuación ( 5 . 7 0 ) , s e t i e n e :


S 0Ax + £, = E2 +SEAx . . . (5 .75) donde:

v 2 Q E = y + ~ = y + ^ - T . . . (5 .76)

2g 2gA

S E = SEX+SE2 ( 5 7 7 )

v- n R 2/3

Q-n A{Alp) 2 /3

2 /3

= Q2n" ... (5.78)

A x = distancia especificada del tramo desde una sección ® de características conocidas, hasta la sección ® donde el tirante es desconocido


Conocidas las características hidráulica en la sección CD y la longitud del tramo Ax, la cual es positiva si los cálculos son hacia aguas abajo y negativa si los cálculos son hacia aguas arriba de la sección ® , el procedimiento consiste en suponer un valor tentativo del tirante y 2 en la sección (?) y ajusfar por tanteos dicho valor, hasta que con algún valor supuesto de éste, se satisfaga la igualdad de los dos miembros de la ecuación (5.75).

Para ordenar los cálculos es conveniente tabular los resultados como se muestra en la tabla 5.24.

El significado de cada columna es:

( D : Kilometraje que define la sección de cálculo. El valor inicial de x, puede ser el dato correspondiente al cadenamiento de la sección inicial de la aplicación, o bien en un valor fijado por el calculista, por ejemplo 0, los valores siguientes se obtienen acumulando los Ax.

o

c/> o E

£ " O O n o

E a5

co co c¡_ c

• g o

_ro X I CD \-

" 3 -

iri


Oí loo'

Qí r®

Q . . (v>¡ *

— r

4 @ c o "

WBt

m X . 'o o

3

+ U i

i CO

3 © o

© IZJ

O )


CD: Valor de Ax entre la sección en estudio y la sección anterior, generalmente constante.

CD: Pendiente de fondo * columna CD, generalmente constante.

CD: Profundidad en la sección. En la fila 1, para un y, conocido se calculan los valores de la columnas 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, y 13, los valores de las columnas 14, 15 y 16 no se pueden calcular porque se requieren cálculos con y 2. En la fila 2, para un y 2 supuesto se calculan los valores de las columnas desde la 5 hasta la 16.

C5>: A = (b + Zy)y

<§):p = b + 2^l + Z2y

®:R = A/p

CD: radio hidráulico a la 2/3, sin comentario

CD: v = Q/A

® : carga de velocidad, sin comentario

2 CÜ): E = v + — , columna CD más columna #

2g © : primer miembro de la ecuación (5.75), col CD+col CÜ)

®: SE = — — promedio de los valores de la col © , para la» 2

filas 1 y 2


: COI ® x col CD

: segundo miembro de la ecuación (5.75), col CÜ)+col ® de la fila 2

I valor supuesto de y 2 será el adecuado, si el resultado obtenido en columna ® para la fila 2, es igual o suficientemente próximo al de columna ® para la fila 1. En caso de que no lo fuera, toda la línea

e cálculos de la fila 2 debe ser eliminada y se deben comenzar uevamente los cálculos con otro valor tentativo de y 2 hasta que se mpla con la igualdad de valores de las columnas ® y © .

i las aplicaciones sucesivas el tirante y 2 encontrado se tomará mo el correspondiente para yi y con este valor conocido se Meará el mismo procedimiento para calcular el nuevo y 2, así hasta rminar con los tramos necesarios.

ara las aplicaciones el cálculo de y 2, resulta conveniente expresar la uación (5.75) en función de y2, f(y2). Así, sustituyendo las uaciones (5.76) y (5.77) en (5.75), se obtiene:

SpAx + y , + Q2

2gA; y 2 Q7

2gA 2 + — -S 2

Q2 Ax Q , Ax ^oAx + y, + T 5 ^ T - ^ ~ ^ I = y 2 + ^ T + — Sn ... (5.79) 2gA 2gA'2

eemplazando (5.78) en (5.79), resulta:

„Ax + y , + Ax ( „2A 2 / 3 Q2n2

2gA2 Ax

= y 2 + ^ + — -Q2-n2

2gA22 2 J

(5.80)

n la ecuación (5.80) si S0,Ax,y],Qson datos, el primer miembro es valor constante C, es decir:


C = S0Ax + yx + Ax-Q2-n2( ¿ ) 2 n

2gA2

. . . ( 5 . 8 1 ) V 7 1 ! J

y e l s e g u n d o m i e m b r o e s u n a función d e y 2 , c o n l o c u a l s e t i e n e :

= c ( 5 . 8 2 ) J

L a ecuación ( 5 . 8 2 ) s e p u e d e r e s o l v e r p o r t a n t e o s d a n d o v a l o r e s a y 2

y c a l c u l a n d o e l v a l o r d e f ( y 2 ) p a r a l o c u a l s e p u e d e c o n s t r u i r l a s i g u i e n t e t a b l a :

y 2 f ( y 2 )

- -- -

L a solución a d e c u a d a p a r a y 2 será a q u e l l a q u e h a c e q u e :

f(y2)=c

C. Proceso Computacional

H c a n a l e s p e r m i t e c a l c u l a r l a s c u r v a s d e r e m a n s o p o r e l método d o t r a m o s f i j o s , p a r a l o c u a l s e r e s u e l v e l a ecuación ( 5 . 8 2 ) u t i l i z a n d o o l a l g o r i t m o d e N e w t o n - R a p h s o n .

N o t a . R e c o r d a r q u e , e n l o s cálculos, e l s i g n o d e A x e s p o s i t i v o , i l éstos s e efectúan h a c i a a g u a s a b a j o , y n e g a t i v o s i s e efectúan h a c l i a g u a s a r r i b a d e l a sección ® .

P r o b l e m a s r e s u e l t o s 1 . S e t i e n e u n c a n a l t r a p e z o i d a l q u e c o n d u c e u n c a u d a l d e 2 m 3 / | j

c o n u n a n c h o d e s o l e r a d e 1 m , t a l u d Z = 2 , c o e f i c i e n t e de» r u g o s i d a d n = 0 , 0 2 5 y p e n d i e n t e 0 , 0 0 0 5 . E n u n p u n t o d e s u p o r f U


l o n g i t u d i n a l , s e c o n s t r u y e u n a p r e s a q u e h a c e q u e s e f o r m e u n a c u r v a d e r e m a n s o M\, c o n u n t i r a n t e d e 1 , 5 m detrás d e l a p r e s a . S e p i d e d e t e r m i n a r e l t i r a n t e q u e s e tendrá e n u n p u n t o l o c a l i z a d o a 2 0 0 m a g u a s a r r i b a d e l a p r e s a .

Solución Datos:

L a f i g u r a 5 . 6 1 m u e s t r a l o s d a t o s d e l p r o b l e m a .

y j = ? S Q = 0 , 0 0 0 5 n = 0 . 0 2 5

A x = 2 O 0

F i g u r a 5 . 6 1 D a t o s d e l p r o b l e m a

Q = 2 m 3 / s , b = 1 m , Z = 2 , S 0 = 0 , 0 0 0 5 , n = 0 , 0 2 5 - 1 , 5 m ^ x = - 2 0 0 m (cálculo h a c i a a g u a s a r r i b a )

o pide: y 2 = ?

. D e l a ecuación ( 5 . 8 2 ) , s e t i e n e : 2 / 3

2gA2

2 v4j = c

u s t i t u y e n d o v a l o r e s d e l p r o b l e m a , r e s u l t a :

iyi)=yi + - 2 0 0 x 4 x 0 . 0 2 5 2

1 9 , 6 2 [ ( l + 2 y 2 ) y 2 f ( l - f 2 V 5 y 7 ) 2 ]

2 / 3

c


0,2039 ( L t ^ 7 ^ ! ! 2 3 = C . . . ( 5 . 8 3 )

b . Cálculo d e C D e l a ecuación ( 5 . 8 1 ) , s e t i e n e :

Q2 &xQ2-n2

c ^ 0 A x + y 1 + 2 - T

P a r a l o s d a t o s d e l p r o b l e m a r e s u l t a : Ax =(1 + 2x1,5)1,5 = 6 Px =1 + 2^5x1,5 = 7,7082

v 4 )

2 / 3

d e d o n d e :

C = 0,0005(-200) + l,5 + 19,62x36 2 C = - 0 , 1 + 1 , 5 + 0 , 0 0 5 7 + 0 , 0 0 9 7

C = 1 , 4 1 5 4

c . L u e g o :

- 2 0 0 x 4 x 0 , 0 2 5^1 7/7082

, , 0,2039 n«i!±íi(íZl/

d . R e s o l v i e n d o p o r t a n t e o s , s e t i e n e

OlidT^lf3 = 1 , 4 1 5 4

Y2 1 , 4 5 1 , 4 3 1 , 4 2

1 , 4 2 1

1 , 4 4 5 0 1 , 4 2 4 6 1 , 4 1 4 3 1 , 4 1 5 4

. \ y 2 = 1 , 4 2 1


C a l c u l a r e l p e r f i l d e l f l u j o c o n l o s d a t o s d e l p r o b l e m a (D, d e s d e l a p r e s a h a s t a u n a d i s t a n c i a d e 2 0 0 0 m a g u a s a r r i b a c o n s i d e r a n d o t r a m o s Ax = 2 0 0 m .

U s a r : a) P r o c e s o t a b u l a d o b ) P r o c e s o c o m p u t a c i o n a l

Solución

Datos: L a f i g u r a 5 . 6 2 m u e s t r a l o s d a t o s d e l p r o b l e m a .

L \ x =2O0 ^ A x «2O0 > i • • • 2 0 0 0 4 0 0 2 0 0 ó

F i g u r a 5 . 6 2 P e r f i l l o n g i t u d i n a l

0 = 2 m 3 / s , b = 1 m , Z = 2 , S 0 = 0 , 0 0 0 5 , n = 0 , 0 2 5 y ! = 1 , 5 m , A x = - 2 0 0 m (cálculo h a c i a a g u a s a r r i b a )

S e pide:

T i r a n t e s a g u a s a r r i b a d e c a d a t r a m o :

a . Cálculo d e l yn:

H a c i e n d o u s o d e H c a n a l e s p a r a : Q = 2 m 3 / s , b = 1 m , Z = 2 , S 0 = 0 , 0 0 0 5 , n = 0 , 0 2 5

s e o b t i e n e : yn = 1 , 0 4 9 m

. Cálculo d e l yc:


Haciendo uso de Hcanales, para Q = 2 m 3 / s , b = 1 m, Z = 2 se obtiene: y c = 0,527 m

c. Identif icación del perfil de la curva de remanso De los datos se t iene:

Como yn = 1,049 > y c = 0,527 , se genera una curva M.

En todo momento y> y„ > y c , por lo que la curva se encuentra en la

zona 1, luego el perfil es una MI. d. Sección de control : Esta constituida por la presa, con un tirante inicial de 1,5 m.

e. Cálculo de los t i rantes: Los cálculos se efectuarán desde la sección de control hacia aguas arriba en t ramos de 200 m hasta una distancia de 2000 m.

a) Proceso tabulado: Los resultados obtenidos se muestran en la tabla 5.25.

Tabla 5.25. Cálculo del perfil M1 por el método de t ramos fi jos, proceso tabulado

CD Ax SüAx

J 3 1 S3L R

SD. - o 200 -0,1 1,500 6,0000 7,7082 0,7784

-200 200 -0,1 1,421 5,4595 7,3549 0,7423 -400 200 -0,1 1,347 4,9758 7,0240 0,7084 -600 200 -0,1 1,282 4,5690 6,7333 0,6786 -800 200 -0,1 1,224 4,2204 6,4739 0,6519

-1000 200 -0,1 1,177 3,9477 6,2637 0,6302 -1200 200 -0,1 1,139 3,7336 6,0938 0,6127 -1400 200 -0,1 1,111 3,5796 5,9685 0,5998 -1600 -1800 -2000

200 200 200

-0,1 -0,1 -0,1

1,090 1,076 1,066

3,4662 3,3916 3,3387

5,8746 5,8120 5,7673

0,5900 0,5835 0,5789

_0,(>{»M 0~6!)4


Continuación de la tabla 5.25 ..

V 0,3333 0,3663 0,4019 0,4377 0,4739 0,5066

v 2 /2g

0,0057 0,0068 0,0082 0,0098

0,5357 0,5587

0,0114 0,0131

1,5057

SoAx+E

1,4278 1,3552 1,2918 1,2354

0,0146 0,0159

1,1901

1,4057 1,3278 1,2552 1,1918 1,1354

x10"

0,97 1,25 1,60 2,01

x10" 4

< 3 L

1,11 1,43

1,1536 1,1269

1,0901 1,0536 1,0269

2,48 2,97 3,45

1.81 2,25

SEAX - & 1 -0,0222 -0,0286 -0,0362

E+SEAX ®

1,4056 1,3266

2,73

3,86 3,21

-0,0450 -0,0546

3,66 -0,0642 -0,0732

1,2556 1,1904 1,1355 1,0894

0,5770 1,1070 0,5897_ 0,5990

0,0177 1,0070

1,0937 0,0183 1,0843

0,9937 0,9843

4,20 4,46

4,03 4,33

-0,0806 1,0264

4,65 -0,0866

4,56 -0,0912 1,0071 0,9931

b) Proceso computacional , hac iendo uso de Hcanales

íta C l " ^ 8 ' P 3 r a 6 1 m é t 0 d ° d e t r a m 0 S * » ~ muest ran

|- Datos:

Caudal (Q):

Ancho de solera (b):

Talud (Z):

Pendiente (S):

Coeficiente de rugosidad (n):

Tirante inicial (yi):

Número de tramos (nt):

Distancia de cada tramo (dx):

rn3/$

0.0005

0.025

1.5 ni

10

-200¡ rri

Figura 5.63 Datos del prob lema para el método de t ramos fijos


C o n e l método d e t r a m o s f i j o s p a r a c a d a 2 0 0 m , s e o b t i e n e n l o s t i r a n t e s q u e s e m u e s t r a n e n l a f i g u r a 5 . 6 4 .

Resultados: X y

0.0 1.5000 200.0 1.4210

-400.0 1.3480 -600.0 -800.0

1.2825 1.2256

1000.0 1.1782 -1200.0 1.1405 -1400.0 1.1119 -1600.0 1.0911 -1800.0 1.0766 -2000.0 1.0669

F i g u r a 5 . 6 4 R e s u l t a d o s u t i l i z a n d o e l método d e t r a m o s f i j o s

E l p e r f i l q u e s e o b t i e n e g r a f i c a n d o l o s v a l o r e s d e x vs y , s e m u e s t r a n e n l a f i g u r a 5 . 6 5 .

curva

. „ o 1 226 1,283 1,348 1,421 1 ñ<l1 1 1 1 2 1 1 4 1 1.178 > , " 0 ' 1,067 1.077 1 , 0 9 1 1 , 1 1 2 1 , 1 4 1 '

2000 1800 1600 1400 1200 -JOOO 800 600 400 200 0

F i g u r a 5 . 6 5 P e r f i l M 1 c a l c u l a d o p o r e l método d e t r a m o s f i j o s

u w Medición de caudales

Introducción I n d e p e n d i e n t e m e n t e d e l u s o q u e s e l e dé a l a g u a , q u e f l u y e p o r l o s c a n a l e s (generación d e energía hidroeléctrica, u s o poblacíonal, utilización e n l o s s i s t e m a s d e r i e g o , e t c . ) , r e s u l t a c o n v e n i e n t e r e a l i z a r la medición d e l c a u d a l d i s p o n i b l e .

E n l o s s i s t e m a s d e r i e g o , l a c r e c i e n t e d e m a n d a q u e p e s a s o b r e l o s r e c u r s o s d e a g u a d i s p o n i b l e y e l c o n s t a n t e a u m e n t o e n e l c o s t o q u e t i e n e e l d e s a r r o l l o d e l a s r e d e s d e r i e g o , e x i g e n q u e e l a g u a s e u t i l i c e d e f o r m a económica, s i n d e s p e r d i c i a r l a . L a s m e d i c i o n e s s i r v e n p a r a a s e g u r a r e l m a n t e n i m i e n t o d e l o s p r o g r a m a s a d e c u a d o s d e s u m i n i s t r o , d e t e r m i n a r l a s c a n t i d a d e s d e a g u a s u m i n i s t r a d a , d e s c u b r i r l a s anomalías, e s t i m a r y a v e r i g u a r e l o r i g e n d e l a s pérdidas q u e s e p r o d u c e n e n l a conducción y d e e s t a f o r m a c o n t r o l a r e l

e s p e r d i c i o .

E n l o s s i s t e m a s d e r i e g o , e x i s t e n m u c h o s i n s t r u m e n t o s d i s p o n i b l e s p a r a m e d i r e l a g u a , e n t r e l o s c u a l e s s e p u e d e n m e n c i o n a r :

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