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Flujo en medios porosos

1. Introduccin:

El inters que encierra el estudio del flujo en un medio poroso estriba en la relacin directa que mantiene con los procesos industriales, tales como las explotaciones petrolferas (desplazamiento del petrleo, deficiencia de la recuperacin, modificacin de la porosidad, desplazamiento y equilibrio de la interfase, digitaciones, etc. ), el secado industrial, el filtrado qumico, estudio de movimiento de contaminantes en el suelo, hidrulica de capacitaciones de agua, etc.

La base de la teora del flujo a travs de un medio poroso est fundamentada en una experiencia muy simple (ver figura n 1 ), y que desarroll Darcy en el siglo XIX.

Una muestra cilndrica del medio poroso es encerrada en un tubo cuyas extremidades estn comunicadas con dos depsitos. El lquido filtrante fluye del recipiente superior hacia el inferior a travs de la columna porosa. Asciende en los tubos piezomtricos a niveles diferentes decrecientes en el sentido del flujo. Estos niveles se alinean sobre una recta.

La experiencia muestra que el caudal es proporcional a la pendiente de esta recta, y que la inclinacin del tubo no modifica en nada la relacin precedente. Estas constataciones se pueden resumir en la siguiente frmula emprica:

(1)

Donde VD es la velocidad de Darcy.

Esta ley se denomina Ley de Darcy.

La constante K* que figura depende nicamente de la naturaleza del medio poroso y del lquido filtrante y se denomina conductividad hidrulica.

Las alturas piezomtricas h corresponden a la energa potencial del fluido por unidad de peso en cada uno de los puntos considerados.

La pendiente de la lnea de las alturas piezomtricas no es pues otra cosa que el gradiente de la carga hidrulica o pendiente motriz, I. y Q/A, es el caudal por unidad de rea que fluye por el medio poroso. Tiene las dimensiones de una velocidad y se denomina velocidad de filtracin, V.

Figura 1- Esquema de la instalacin utilizada en la experiencia de Darcy.

Con las notaciones precedentes, la frmula de Darcy se escribe:

(2)

Si utilizamos trminos de energa podemos aplicar la ecuacin de la Bernoulli entre dos puntos cualesquiera A y B del medio poroso, separados por una distancia (s, y que vendra expresada del modo siguiente:

(3)

donde:

- V : velocidad real del fluido

- g : aceleracin de la gravedad

- P: presin del fluido

- ( : peso especfico ((g)

- (h: prdida de carga total entre A y B, debida al rozamiento

En un medio poroso la velocidad real es despreciable, por lo que el nivel de energa en cada punto vendr definido por la lnea piezomtrica.

As pues en cada punto del medio poroso tendremos una carga hidrulica o energa potencial igual a :

(4)

La pendiente de la lnea de niveles piezomtricos es el gradiente de carga hidrulica, cuyo mdulo tambin puede ser expresado como:

(5)

Los fluidos se mueven en razn a la variacin de I, por lo que en funcin de la Ley de Darcy y de la expresin de Bernoulli podemos escribir

(6)

que es la forma ms usual de la ley de Darcy, y en la que el signo indica el hecho de que el flujo se dirige en el sentido de la disminucin de la carga hidrulica. Es preciso tener en cuenta que vD es una velocidad de filtracin, distinta de la velocidad media real de las molculas de agua, y que se relaciona con sta por la expresin:

(7)

donde VR es la velocidad real y ( la porosidad efectiva del medio.

Cuando se aumenta la carga motriz se constata que el caudal crece menos rpidamente que el dado por la ecuacin de Darcy. La desviacin con la relacin a la ley lineal aparece para velocidades tanto ms pequeas cuanto mayores son los canales intersticiales y menor la viscosidad del lquido filtrante. Ello resulta por otra parte de la forma de la ley de las prdidas de carga, que muestra que la relacin entre la pendiente motriz y la velocidad de filtracin depende del nmero de Reynolds. Se ha constatado por la ley lineal de Darcy es valida entre 1 y 10. Ms all del cual, la ley de filtracin se desva progresivamente de la forma lineal.

La permeabilidad o conductividad hidrulica (K*) puede definirse como el caudal unitario que atraviesa un medio poroso por unidad de seccin de dicho medio, bajo un gradiente de carga unitario, y por tanto tendr dimensiones de velocidad.

El valor de K* es constante para cada medio poroso y para cada fluido en unas mismas condiciones, influyendo en ella adems de la naturaleza del medio poroso, la densidad y viscosidad del fluido, de modo que podemos escribir

(8)

donde:

- K0 : permeabilidad intrnseca, especfica o geomtrica y tambin llamado coeficiente de permeabilidad.

- ( : peso especfico del fluido.

- ( : viscosidad del fluido.

En general, no es sencillo relacionar la permeabilidad con las caractersticas del medio poroso, ya que en el caso de terrenos naturales podemos tener medios muy porosos y muy permeables si los poros son grandes o estn bien interconectados. Por el contrario, cuando los poros son muy pequeos o no estn conectados el medio puede ser muy poroso y prcticamente impermeable.

Por ello, se ha intentado relacionar la permeabilidad intrnseca (K0) con las caractersticas del medio, existiendo numerosas expresiones empricas que relacionan el medio poroso y K0 , y entre ellas la conocida como ecuacin de Kozeny-Carman.

Caractersticas del medio poroso granular. Para estudiar la relacin entre permeabilidad intrnseca (K0) y las caractersticas de un medio poroso granular es preciso conocer antes algunas de las propiedades del medio poroso como son:

a) Porosidad : es la relacin entre volumen de vacos y volumen aparente del suelo.

Porosidad geomtrica :

(9)

Indice de vacos:

(10)

Donde Vv es el volumen de vacos y Vg el volumen de granos.

En funcin de ( 9 ) y ( 10 ) tenemos :

(11)

b) Porosidad efectiva: corresponde al producto de la porosidad geomtrica por el grado de saturacin.

Porosidad efectiva:

(12)

Donde ( es el coeficiente de saturacin (), Vl es el volumen total ocupado por el lquido y Vv es el volumen total de vacos . En un medio saturado ( = 1.

c) Empaquetado de los granos: es la ordenacin espacial tridimensional de los granos que conforman el medio poroso, y da lugar a distintas porosidades geomtricas. Los empaquetados ms simples son:

Cbico ( ( = 47,64 % )

Ortormbico ( ( = 39,54 % )

Rombodrico ( ( = 25,55% )

Por tanto un medio granular terico constituido por esferas perfectas debera tener una porosidad mnima del 26 %, lo que en la realidad nunca ocurre, acausa de la falta de homogeneidad del medio y la no esfericidad de los materiales granulares.

La permeabilidad o conductividad hidrulica (K*) puede expresarse en funcin de la geometra del medio y de las propiedades del fluido del modo siguiente:

(13)

siendo funcin exclusiva del medio donde d es el dimetro de los granos y a una constante sin dimensiones.

Ecuacin de Kozeny-Carman.

Si consideramos en lugar de la velocidad de filtracin ( caudal por seccin unidad del medio poroso ) el caudal por unidad de superficie de vaco tendremos:

(14)

siendo:

- Av ; superficie efectiva de vacos de una seccin de un volumen cilndrico de medio poroso de longitud l .

El caudal que atraviesa esa seccin ser:

(15)

Adems en funcin de (11) podemos definir el radio hidrulico medio (r) de los canales intersticiales del modo siguiente:

(16)

Substituyendo en la ecuacin de Darcy (caudal = seccin. Vd ) el valor de r por d, y Q/(Av)MEDIA por Q/A tendremos:

y por tanto obtenemos:

expresin de Kozeny (17)

La expresin anterior tambin puede ser expresada de la forma:

, donde

siendo C una constante que vara entre 1/150 a 1/200 , y de el dimetro equivalente de los granos.

Cuando el medio est completamente saturado la expresin de Kozeny ser:

(18)

2. Descripcin de la instalacin.

La instalacin para la determinacin de los parmetros fluidodinmicos de un medio poroso, en particular , la permeabilidad intrnseca est constituida por los siguientes elementos ( figura 2).

Un depsito de nivel constante.

Una batera de tubos piezomtricos.

Un depsito calibrado hasta una capacidad mxima de 10 litros.

Un medio poroso de parmetros caractersticos a determinar ( granulometra, porosidad efectiva, etc. ), encerrado en un anillo de bronce cuyo dimetro interior es de 8 cm y cuya longitud es de 50 cm.

Un cronmetro.

Un sistema de tuberas y vlvulas para el control del experimento.

3. Metodologia de toma de datos.3.1 Determinacin de la permeabilidad intrnseca y gradientes.

1.- Abrir las vlvulas V2 y V3 (fig. 2)

2.- Abrir la vlvula V1. Esta vlvula nos permite regular la cantidad de agua que circula desde la instalacin general de suministros de agua del laboratorio hasta nuestra instalacin. La posicin correcta de esta vlvula debe permitir llenar el depsito D1, permitir que desage una determinada cantidad de agua por el tubo central o rebosadero, y a la vez alimentar al cilindro contenedor del medio poroso.

3.- Esperar unos instantes para que salga el aire encerrado en el medio poroso. Para acelerar este proceso se puede accionar la vlvula V3 hasta mantenerla casi cerrada. Si en este instante se observa que el tubo central o rebosadero no puede evacuar toda el agua que le llega actuar sobre la vlvula V1 cerrndola un poco.

4.- Una vez comprobado que ha salido todo el aire del circuito, podemos emprender la experimentacin sistemtica para la determinacin de la permeabilidad relativa. La rutina experimental a seguir se puede desglosar en los siguientes pasos:

A- Mantener la vlvula V3 en una posicin casi cerrada.

B- Leer las alturas de todos los tubos piezomtricos.

C- Determinar el caudal que sale por el medio poroso. Para ello utilizaremos el cronmetro y el depsito calibrado.

D- Abrir un poco ms la vlvula V3 , y esperar que el flujo se estabilice.

E- Repetir los pasos B,C y D.

NOTA.- A la hora de tomar lecturas, asegurarse que el depsito est siempre a nivel constante viendo caer agua constantemente por el tubo rebosadero.

Con los datos experimentales obtenidos se debe proceder a la determinacin de la pendiente motriz que corresponde a cada una de las posiciones de la vlvula V3 y en definitiva, para cada uno de los caudales que pasan por el medio poroso. A partir de este momento podemos representar una grfica (I, Q ) , y calcular la curva de regresin. De ella podemos, mediante operaciones aritmticas, deducir la permeabilidad intrnseca del medio poroso.

Figura 2- Esquema de la instalacin utilizada en la prctica de medios porosos..

3.2 Aplicacin del modelo Kozeny-Carman para la determinacin de la permeabilidad intrnseca.

La deteminacin de la permeabilidad intrnseca mediante la ecuacin de Kozeny requiere determinar la porosidad eficaz ( ( ) y el dimetro equivalente ( de ) del medio poroso a estudiar.

3.2.1 Determinacin del dimetro equivalente (de).

Se realizar una granulometra del medio poroso, consistente en clasificar los granos en funcin de su tamao mediante el empleo de tamices de distintos tamaos.

Los resultados del anlisis granulomtrico se suelen representar en forma acumulativa. En abcisas se lleva los dimetros de las partculas en mm y en ordenadas el tanto por ciento de partculas de dimetros caractersticos:

D10 ( HAZEN ): Se denomina dimetro eficaz, y corresponde al 10 % de la curva granulomtrica. Tiene un papel importante en la permeabilidad del suelo.

Cu ( HAZEN ): Es el coeficiente de uniformidad, y es igual a la relacin:( D10 / D60 )

D50: Corresponde al 50% de la curva granulomtrica, y ser considerado como el dimetro equivalente ( de ) de las partculas del medio poroso (ver figura 4).

3.2.2 Obtencin de la porosidad eficaz.

Para la determinacin de la porosidad eficaz se utilizar una probeta de boca ancha (fig. 3), en la que se introducir una masa conocida de medio poroso (200 g) calculndose en primer lugar el volumen de vacos a:

(19)

El volumen material se calcular sumergiendo la muestra de material poroso en un volumen determinado de agua y sera igual a:

(20)

A continuacin se calcular el volumen aparente o volumen total, introduciendo una muestra idntica de material poroso en una probeta seca (fig. 3) y midiendo directamente el volumen tras compactar.Figura 3- Esquema de la evaluacin de la porosidad eficaz mediante probetas

La porosidad efectiva podr ser calculada entonces por la expresin:

(21)

4. Presentacin y tratamiento de los resultados.

En funcin de los distintos caudales y alturas piezomtricas obtenidas deber presentarse los siguientes resultados:

1 ) Tabla de datos analticos tal como se obtuvieron en el Laboratorio.

2 ) Construccin de las grficas:

dh ds ( fig.5 )

dh / ds Q( l/s ) ( fig.6 )

3 ) Tabla final de resultados que comprenda lo siguiente:

DATOS LABORATORIOCALCULOS

Q ( l / min )

PRESIONESbrvRe

QiPi

b: dh / ds

r: coeficiente de correlacin.

VD= Q / A

Re= n de Reynolds

4 ) Tabla de datos relativos al clculo de la permeabilidad intrnseca por medio de la expresin de KOZENY :

4.1 Datos experimentales y de base:

N bolas

Mg : masa de granos

MT : masa total

VT : volumen total

(L : densidad del lquido

4.2 Datos de clculo:

Vg : volumen de granos

ML : masa de lquido

VL : volumen de lquido

(g : densidad del material granular

Adems se calcularn todos los parmetros estadsticos necesarios para conocer el dimetro equivalente del medio poroso.

5. Cuestiones.

1.- Comprobar hasta qu caudal es vlida la ley de Darcy.

2.- Clculo de la conductividad hidrulica del medio poroso, y de la permeabilidad intrnseca en funcin de las condiciones de P T ambientales.

3.- Clculo de la velocidad real de flujo, conocida la porosidad eficaz determinada.

4.- Comparar la conductividad hidrulica obtenida por el modelo de KOZENY KARMAN con la resultante de los clculos anteriores. Explicar las diferencias.

Figura.-5

Figura.- 6

EMBED AutoCAD.Drawing.14

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