flujo de redes 1

INTRODUCCIÓN

Hay una multitud de situaciones, en investigación de operaciones que se pueden

modelar y resolver como redes (nodos conectados por ramas). Algunas encuestas

recientes informan que hasta el 70 % de los problemas de programación matemática

en el mundo real se pueden representar con modelos relacionados con redes. La

lista siguiente ilustra algunas aplicaciones posibles de las redes.

1. Diseño de una red de gasoducto marinos para conectar bocas de pozos en el

Golfo de México con un punto de entrega en tierra. El objetivo del modelo es

minimizar el costo de construcción del gasoducto.

2. Determinación de la ruta más corta en una red de carreteras.

3. Determinación de la capacidad máxima (en toneladas anuales) de una red de

tubería para lodo de carbón que une las minas en Wyoming con las centrales

eléctricas en Houston.

4. Determinación del programa de flujo con costo mínimo desde los campos

petroleros hasta las refinerías a través de una red de oleoductos.

5. Determinación del cronograma de las actividades en la construcción de

proyectos.

La solución de esas situaciones y otras pare cuidad se logra con una variedad de

algoritmos de optimización de redes. En este trabajo de investigación se presentará

cinco de esos algoritmos:

1. Árbol de expansión mínima.

2. Algoritmo de la ruta más corta.

3. Algoritmo del flujo máximo.

4. Algoritmo de red capacitada con costo mínimo.

5. Algoritmo de la ruta critica.

1

Las situaciones en las que se pueden aplicar estos algoritmos también se

pueden formular y resolver en forma de programas lineales explícitos. Sin embargo,

los algoritmos propuestos, basados en redes, son más eficientes que el método

símplex.

Teniendo como objetivo exponer de una manera clara los conceptos,

teoremas y aplicaciones, así como de encontrar maneras de aplicar la Teoría de

Redes a situaciones reales y resolver problemas prácticos

2

DESARROLLO

Definiciones para redes.

Una red consiste en una serie de nodos enlazados con arcos (o ramas). La

notación para describir una red es (N, A), donde N es el conjunto de nodos y A es el

conjunto de arcos. Por ejemplo, la red de la figura 1. Se describe como sigue:

N= {1,2 ,3 ,4 ,5 }

A={(1,2 ) , (1,3 ) , (2,3 ) , (2,5 ) , (3,4 ) , (3,5 ) , (4,2 ) , (4,5 ) ,}

Figura 1. Ejemplo de una red (N, A)

Fuente: “investigación de operaciones” autor: Handy A. Taha.

Con cada red se asocia algún tipo de flujo (por ejemplo, flujo de productos

petroleros en un oleoducto t flujos de tráfico de automóviles de carreteras). En

general, el flujo en una red está limitado por la capacidad de sus arcos, que pueden

ser finitos o infinitos.

3

Se dice que un arco es dirigido u orientado si permite un flujo positivo en una

dirección, y flujo cero en la dirección opuesta. Una red dirigida tiene todos sus arcos

dirigidos.

Una ruta es una sucesión de arcos distintos que unen dos nodos pasando por

otros nodos, independiente de la dirección de flujo de cada arco. Una ruta forma un

ciclo si conecta un nodo consigo mismo, pasando por otros nodos. Por ejemplo, en

la figura 1., los arcos (2,3), (3,5) y (5,2) forman un circuito cerrado. Un ciclo es

dirigido si consiste en una ruta de dirigida, por ejemplo (2,3), (3,4) y (4,2) en la figura

1.

Una red conectada es que ella en que cada dos nodos distintos están

enlazados al menos por una ruta. La red de la figura 1. Es un ejemplo de este tipo.

Un árbol es una red conectada que puede consistir sólo en un subconjunto de todos

los nodos en ella, donde no se permiten ciclos, y un árbol de expansión en un árbol

que enlaza todos los nodos en ella, donde no se permiten ciclos. En la figura 2. Se

ven ejemplos de un árbol y de un árbol de expansión para la red de a figura 1.

Árbol

Árbol de expansión

Figura 2. Ejemplos de un árbol y de un árbol de expansión, para la red de la figura 1.

4


Algoritmo de árbol de expansión mínima.

El algoritmo de árbol de expansión enlaza los nodos de una red, en forma

directa o indirecta, con la mínima longitud de las ramas enlazantes. Una aplicación

característica es en la construcción de carreteras pavimentadas que unen varias

poblaciones. El camino entre dos poblaciones puede pasar por uno o más

poblaciones adicionales. El diseño más económico del sistema de caminos indica que

se minimice la distancia rotal de caminos pavimentados, resultado que se obtiene

implementando el algoritmo de árbol de expansión mínima.

Los pasos del procedimiento son los siguientes. Sea N= {1,2 ,…,n } el

conjunto de nodos de la red, y se definen

Ck = Conjunto de nodos que se han conectado en forma permanente en la

iteración k

C͞k = Conjunto de nodos que todavía se deben conectar en forma

permanente.

Paso 0. El conjunto C0 = Ø y C͞0 = N.

Paso 1. Comenzar con cualquier nodo en el conjunto C͞0 no conectado (o

“inconexo”), e igualar C1 = {i}, con lo que C͞1 = N – {i}. Igualar k = 2.

Paso general k. seleccionar un nado j* en el conjunto no conectado C ͞k – 1 que

produzca el arco más corto a un nodo, en el conjunto conectado Ck-1. Enlazar a j* en

forma permanente con Ck-1 y sacarlo de C͞k – 1, esto es

Ck = Ck-1 + {j*}, C͞k = C͞k – 1 – {j*}

5

Si el conjunto C͞k, de modos no conectados es vacío, detenerse. En cualquier

otro caso, igualar K = K + 1 y repetir el paso.

Ejemplo 1.

Midwest TV Cable Company está en el proceso de proporcionar servicio de

cable a cinco nuevas áreas habitacionales. La figura 3. Representa los enlaces

posibles de TV entre las cinco áreas. Los metros de cable se muestran en cada arco.

Determine la red de cable más económica.

El algoritmo comienza en el nodo 1 (cualquier otro nodo podría ser), con lo

que se obtiene.

C1 = {1}, C͞1 = {2, 3, 4, 5, 6}

Las iteraciones del algoritmo se resumen en la figura 4. Los arcos con línea

delgada son todos los enlaces posibles entre C y C͞. Las ramas gruesas representan

los enlaces permanentes entre los nodos del conjunto conectado (o “convexo”) C, y

la rama con línea interrumpida representa el nuevo enlace (permanente) que se

agrega en cada iteración. Por ejemplo, en la iteración 1, la rama (1,2) es la más corta

(= 1 milla) entre todas las ramas posibles del nodo 1 a los nodos 2, 3, 4 y 5 del

conjunto no conectado C͞1. Por consiguiente, el enlace (1,2) se vuelve permanente y

j* = 2, con lo que se obtiene

C6 = {1,2}, C͞6 = {3, 4, 5, 6}

La solución se expresa con el árbol de expansión mínima que se ve en la

iteración 6, de la figura 4. La cantidad mínima de metros necesarias para

proporcionar el servicio de cable que se desea resulta ser 1 + 3 + 4 + 3 + 5 = 16

metros.

6

Figura 3. Conexiones de cable para Midwest TV Cable Company.


Iteración 1

7

Iteración 2

Iteración 3

8

Iteración 4

Iteración 5

9

Iteración 6

(Árbol de expansión mínimo)

Figura 4. Iteraciones de la solución para la Midwest TV Cable Company.


Solución con WinQSB

Tabla de ingreso de datos

Tabla 1. Datos ingresados en WinQSB para ejemplo 1

Fuente: Eira Machado

Solución

10

Tabla 2. Tabla de resultado en WinQSB para ejemplo 1.


Problema da la ruta más corta

En el problema de la ruta más corta se determina ésta, entre una fuente y un

destino, en una red de transporte. Hay otras soluciones que se pueden representar

con el mismo modelo, como se ve en los ejemplos siguientes.

Ejemplo 2.

RenrtCar está desarrollando un plan de reposición de su flotilla de

automóviles para un horizonte de planeación de 4 años, que comienza el 1 de enero

de 2001 y terminan el 31 de diciembre de 2004. Al iniciar cada año se toma la

decisión de si un auto se debe mantener en operación o se debe sustituir. Un

automóvil debe estar en serbio durante 1 año como mínimo, y 3 años como

máximo. La tabla siguiente muestra el costo de reposición en función del año de

adquisición del vehículo y los años que tiene en funcionamiento.

Equipo adquirido al comenzar Costo de reposición ($) para los años en operación

1 2 3

2001 4000 5400 9800

2002 4300 6200 8700

2003 4800 7100 -------

11

2004 4900 ------- -------

Tabla 3. Datos para el ejemplo 2.


Figura 5. El problema de reemplazo de equipo como problema de ruta más corta.


El problema se puede formular como una red, en el que los nodos 1 a 5

representan al inicio de los años 2001 a 2005. Los arcos del nodo 1 (año 2001) sólo

pueden alcanzar los nodos 2, 3 y 4, porque un vehículo debe estar en

funcionamiento entre 1 a 3 años. Los arcos desde los otros nodos se pueden

interpretar en forma parecida, la longitud de cada arco es igual al costo de

reposición. La solución del problema equivale a determinar la ruta más corta entre

los nodos 1 y 5.

En la figura 5 se ve la red que resulta. Y haciendo uso del algoritmo de ruta

más corta (el cual se explicará posteriormente) o utilizando algún programa bien

12

sea TORA o WinQSB (Network Modeling) se determina que la ruta más corta, es la

ruta con la línea más gruesa, la cual es 1 3 5. Eso quiere decir que un

automóvil adquirido al iniciar el 2001 (nodo 1) se debe reemplazar pasados 2 años,

el iniciar 2003 (nodo 3). El auto de reposición debe estar en servicio hasta el final de

2004. El costo total de esta política de reposición es $12500 (=$5400 + $7100).

Solución en el programa WinQSB

Ingreso de los datos

Tabla 4. Datos ingresados en WinQSB para ejemplo 2


Solución

Tabla 5. Solución en WinQSB para ejemplo 2


Algoritmo de ruta más corta

En esta sección se presentan dos algoritmos para resolver redes tanto cíclicas

(es decir, que contiene bucles o lazos) como acíclicas:

13

1. El algoritmo de Dijkstra.

2. El algoritmo de Floyd.

El algoritmo de Dijkstra tiene por objeto determinar las rutas más cortas entre el

nodo fuente y todos los demás nodos de la red. El algoritmo de Floyd es general,

porque permite determinar la ruta más corta entre dos nodos cualesquiera en la

red.

Algoritmo de Dijkstra.

Sea ui la distancia más corta del nodo fuente 1 hasta el nodo i, y se define di,j (

≥0) como la longitud del arco (i, j). Entonces el algoritmo define la etiqueta de un

nodo inmediato posterior j como

[u j , i ]=[ui+dij ,i ] , d ij≥0

La etiqueta del nodo de inicio es [0 , �͞ �͞ �͞ �͞ �͞ �͞ �͞ �͞ �͞ �͞ ], que

indica que el nodo no tiene predecesor.

Las etiquetas de nodos en el algoritmo de Dijkstra son de dos clases:

temporales y permanentes. Una etiqueta temporal se modifica si se puede

encontrar una ruta más corta a un nodo. Cuando se ve que no se pueden encontrar

rutas mejores, cambia el estado de la etiqueta temporal a permanente.

Paso 0. Etiquetar el nodo fuente (nodo 1) con la etiqueta permanente

[0 , �͞ �͞ �͞ �͞ �͞ �͞ �͞ �͞ �͞ �͞ ] . Igualar i=1.

Paso i.

a. Calcular las etiquetas temporales [ui+d ij ,i ] para cada nodo j al que pueda

llegarse desde el nodo i, siempre y cuando j no tenga etiqueta permanente. Si el

14

nodo j ya está etiquetado con [u j , k ] por otro nodo k, y si ui+d ij ,i<u j, sustituir

[u j , k ] por [ui+d ij ,i ].b. Si todos los nodos tienen etiquetas permanentes, detenerse. En caso contrario,

seleccionar la etiqueta [ur , s ] que tenga la distancia más corta (=ur) entre todas

las etiquetas temporales (los empates se rompen en forma arbitraria). Hacer

que i = r y repetir el paso i.

Ejemplo 3.

La red de la figura 6. Muestra las rutas con sus longitudes, en metros, entre la

ciudad 1 (nodo 1) y otras cuatro ciudades (nodos 2 a 5). Determine las rutas más

cortas entre la ciudad 1 y cada una de las cuatro ciudades restantes.

Iteración 0. Asignar la etiqueta permanente [0 , �͞ �͞ �͞ �͞ �͞ �͞ �͞ �͞ �͞ �͞ ]

al nodo 1.

Iteración 1. Se puede llegar a los nodos 2 y 3 desde el nodo 1 (último que se

etiquetó en forma permanente). Así, la lista de los nodos etiquetados (temporales y

permanentes) es la siguiente:

Nodo Etiqueta Estado

1 [0 , �͞ �͞ �͞ �͞ �͞ �͞ �͞ �͞ �͞ �͞ ] Permanente

2 [0+100 ,1 ]=[100 ,1 ] Temporal

3[0+30 ,1 ]=[30 ,1 ]

Temporal

Tabla 6. Iteración 1


15

Figura 6. Ejemplo de red para el algoritmo de ruta más corta de Dijkstra.


Para las dos etiquetas temporales [100 ,1 ]y [30 ,1 ], el nodo 3 produce la menor

distancia (u3=30). Entonces, se cambia el estado del nodo 3 a permanente.

Iteración 2. Del nodo 3 se puede ir a los nodos 4 y 5, y la lista de nodos etiquetados

es


1 [0 , �͞ �͞ �͞ �͞ �͞ �͞ �͞ �͞ �͞ �͞ ] Permanente

2 [100 ,1 ] Temporal

3 [30 ,1 ] Permanente

4 [30+10 ,3 ]=[40 ,3 ] Temporal

5 [30+60 ,3 ]=[90 ,3 ] Temporal



El estado de la etiqueta temporal [40 ,3 ] en el nodo 4 se cambia a

permanente (u4=40).

16

Iteración 3. Del nodo 4 se puede ir a los nodos 2 y 5. Entonces la lista actualizada de

los nodos etiquetados es


1 [0 , �͞ �͞ �͞ �͞ �͞ �͞ �͞ �͞ �͞ �͞ ] Permanente

2 [40+15 ,4 ]= [55 ,4 ] Temporal



5 [90 ,3 ] o [40+50 ,4 ]=[90 ,4 ] Temporal



La etiqueta temporal 2,[100 ,1 ], en la iteración 2 se cambia a [55 ,4 ] en la

iteración 3, para indicar que se ha encontrado una ruta más corta que pasa por el

nodo 4. También, en la iteración 3, el nodo 5 tiene dos etiquetas alternativas con la

misma distancia u5=90.

La lista para la iteración 3 indica que la etiqueta para el nodo 2 ya es

permanente.

Iteración 4. Del nodo 2 sólo se puede ir al nodo 3. Son embargo, el nodo 3 tiene una

etiqueta permanente y ya no se puede volver a etiquetar. La nueva lista de etiqueta

queda igual que en la iteración 3, salvo que la etiqueta en el nodo 2 ya es

permanente. Esto deja al nodo 5 como la única etiqueta temporal. Como el nodo 5

no conduce a otros nodos, su estado se vuelve permanente y el proceso termina.


1 [0 , �͞ �͞ �͞ �͞ �͞ �͞ �͞ �͞ �͞ �͞ ] Permanente




17

5 [90 ,3 ] o [90 ,4 ] Permanente

Tabla 9. Iteración 4.


Los cálculos del algoritmo se pueden hacer con más facilidad en la red, como

se ve en la figura 7.

La ruta más corta entre el nodo 1 y cualquier otro nodo de la red se

determina comenzando en el nodo destino o final, y retrocediendo por los nodos

con la información que dan las etiquetas permanentes. Por ejemplo, la secuencia

siguiente determina la ruta más corta del nodo 1 al nodo 2:

(2 )→ [55 ,4 ]→ (4 )→ [40 ,3 ]→ (3 )→ [30 ,1 ]→ (1)

Por lo anterior, la ruta buscada es 1→3→4→2, con una longitud total de 55

metros.

Figura 7. Procedimiento de etiquetado de Dijkstra.


Algoritmo de Floyd.

18

El algoritmo de Floyd es más general que el de Dijkstra, porque determina la

ruta más corta entre dos nodos cualesquiera de la red. El algoritmo representa una

red de n nodos como matriz cuadrada con n renglones y n columnas. El elemento (i,

j) de la matriz expresa la distancia d ij del nodo i al nodo j, que es finita si i está

directamente con j, e infinita en caso contrario.

Figura 8. Operación triple de Floyd


El concepto del algoritmo de Floyd es directo, dados tres nodos i, j y k en la figura 8,

con la distancias entre sí indicadas en los tres arcos, es más corto ir a k desde i pasando por j

si

d ij+d jk<d ik

En este caso, lo óptimo es reemplazar la ruta directa i→k por la ruta indirecta

i→ j→k. Este intercambio de operación triple se aplica en forma sistemática a la

red, con los siguientes pasos:

19

Paso 0. Definir las matrices iniciales de distancia D0 y de secuencias de nodos S0

como se describe abajo. Los elementos diagonales se macan con (—) para indicar

que están bloqueados. Igualar K = 1.

1 2 … j … n

1 — d12 … dij … d1n

2 d21 — … d2j … d2n

D0 = ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞

i di1 di2 ⁞ dij din

⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞

n Dn1 dn2 … dnj … —

1 2 … j … n

1 — 2 … j … n

2 1 — … j … n

D0 = ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞

i 1 2 j n

⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞

n 1 2 … j … —

Tabla 10. Tablas para el paso 0


Paso general K. Definir el renglón k y la columna k como renglón pivote y

columna pivote.

Aplicar la operación triple a cada elemento d ij en Dk-1 para toda i y j. si se

satisface la condición

d ik+dkj<dij ,(i≠ k , j≠ k e i ≠ j)

20

Hacer los siguientes cambios:

1. Crear Dk reemplazando d ij en Dk-1 por d ik+dkj.

2. Crear Sk reemplazando Sij en Sk-1 por k. igualar k = k + 1 y repetir el paso k.

Se puede explicar el paso k del algoritmo representando Dk-1 como se ve en la

figura 9. Aquí, el renglón k y la columna k definen el renglón y la columna pivote

actuales. El renglón i representa cualesquiera de los renglones k + 1, k 2,…, y n. de

igual modo, la columna j representa cualquiera de las columnas 1, 2, …, y k -1, y la

columna q representa cualquiera de las columnas k + 1, k + 2, …, y n. con la

operación triple, si la suma de los elementos del renglón pivote y la columna pivote

(representados por cuadros) es menor que el elemento de intersección asociado

(representado por un circulo), entonces es óptimo reemplazar la distancia de

intersección por la suma de las distancias pivote.

Después de n pasos se puede determinar la ruta más corta entre los nodos i y j

con las matrices Dn y Sn con olas siguientes reglas.

1. En Dn, d ijrepresenta la distancia más corta entre los nodos i y j,

2. En Sn, se determina el nodo intermedio k = Sij que forme la ruta i→k→ j . Si

Sik = K y Skj = j, detenerse; todos los nodos intermedios de la ruita se han

determinado. En caso contrario, repetir el procedimiento entre los nodos i y k y

entre los nodos k y j.

21

Figura 9. Implementación de la operación triple en forma matricial.


Ejemplo 4.

Para la red de la figura 10. Determine las rutas más cortas entre cada par de nodos. En

los arcos aparecen las distancias en metros. El arco (3,5) es direccional, por lo que no se

permite tráfico alguno del nodo 5 al nodo 3. Todos los demás arcos permiten tráfico en

ambas direcciones

22

Figura 10. Red para el ejemplo 4.


Iteración 0. Las matrices D0 y S0 son la representación inicial de la red. D0 es

simétrica, excepto que d53 = ∞ porque nos e permite tráfico del nodo 5 al nodo 3.

D0

1 2 3 4 5

1 — 3 10 ∞ ∞

2 3 — ∞ 5 ∞

3 10 ∞ — 6 15

4 ∞ 5 — 4

5 ∞ ∞ ∞ 4 —

S0

1 2 3 4 5

1 — 2 3 4 5

2 1 — 3 4 5

3 1 2 — 4 5

4 1 2 3 — 5

5 1 2 3 4 —


23


Iteración 1. Se iguala k = 1. El renglón y la columna pivotes se ven en la matriz D0 con

color azul: son l primer renglón y la primera columna. Las celdas más grises, d23 y d32

son las únicas que pueden mejorar con la operación triple. Así, D1 y S1 se obtienen

partiendo de D0 y S0 como sigue:

1. Sustituir d23 con d21 + d13 = 3 + 10 = 13, e igualar s23 = 1

2. Sustituir d32 con d31 + d12 = 10 + 3 = 13, e igualar s32 = 1

Estos cambios se muestran en negritas, en las matrices D1 y S1

D1

1 2 3 4 5

1 — 3 10 ∞ ∞

2 3 — 13 5 ∞

3 10 13 — 6 15

4 ∞ 5 6 — 4

5 ∞ ∞ ∞ 4 —

S1

1 2 3 4 5

1 — 2 3 4 5

2 1 — 1 4 5

3 1 1 — 4 5

4 1 2 3 — 5

5 1 2 3 4 —



24

Iteración 2. Se igual k = 2, como indican el renglón y la columna azul en D1. Se aplica

la operación triple a las celdas grises de D1 y S1. Los cambios que resultan se indican

con negritas en D2 y en S2.

D2

1 2 3 4 5

1 — 3 10 8 ∞

2 3 — 13 5 ∞

3 10 13 — 6 15

4 8 5 6 — 4

5 ∞ ∞ ∞ 4 —

S2

1 2 3 4 5

1 — 2 3 2 5

2 1 — 1 4 5

3 1 1 — 4 5

4 2 2 3 — 5

5 1 2 3 4 —



Iteración 3. Se igual k = 3, como indican el renglón y la columna sombreadas en D2.

Las nuevas matrices son D3 y S3.

D3

25

1 2 3 4 5

1 — 3 10 8 25

2 3 — 13 5 28

3 10 13 — 6 15

4 8 5 6 — 4

5 ∞ ∞ ∞ 4 —

S3

1 2 3 4 5

1 — 2 3 2 3

2 1 — 1 4 3

3 1 1 — 4 5

4 2 2 3 — 4

5 1 2 3 4 —



Iteración 4. Se iguala K = 4 como se indica con el renglón y la columna con sombra

ligera en D3. Las nuevas matrices son D4 y S4.

D4

1 2 3 4 5

1 — 3 10 8 12

2 3 — 11 5 9

3 10 11 — 6 10

4 8 5 6 — 4

26

5 12 9 10 4 —

S4

1 2 3 4 5

1 — 2 3 2 4

2 1 — 4 4 4

3 1 4 — 4 4

4 2 2 3 — 5

5 4 4 4 4 —



Iteración 5. Se iguala K = 5, como se ve en el renglón y la columna azules de D 4. No

hay más mejoras posibles en esta iteración. Por consiguiente, D5 y S5 son iguales que

D4 y S4.

Las matrices finales D5 y S5 contienen toda la información necesaria para

determinar la ruta más corta entre dos nodos cualesquiera de la red. Por ejemplo,

para determinar la ruta más corta del nodo 1 al nodo 5, primero se ve la distancia

asociada d15 = 12 metros. Para determinar la ruta asociada, recuérdese que en un

segmento (i,j) representa un enlace sólo si S ij = j. en caso contrario, i y j están

enlazados mediante al menos un nodo intermedio. Como S15 = 4, la ruta inicial es

1→4→5 . Ahora bien, como S14 = 2 ≠ 4, el segmento (1,4) no es un enlace directo y

1→4se debe reemplazar por 1→2→4, y la ruta 1→4→5 se transforma ahora en

27

1→2→4→5. A continuación, como S12 = 2, S24 = 4 y S45 = 5, la ruta 1→2→4→5 no

necesita más “disecciones” y el proceso termina.

Solución con WinQSB

Ingreso de datos en el programa

Tabla 16. Ingreso de datos para el ejemplo 4


Solución

Tabla 17. Solución del ejemplo 4


28

Modelo de flujo máximo.

Imagine una red de oleoductos que transportan crudo desde los pozos hasta

las refinerías. En las distancias intermedias adecuadas están instaladas estaciones de

bombeo, para mover el crudo por la red. Cada segmento de tubo tiene un flujo

máximo de crudo. Un segmento de tubo puede ser unidimensional o bidimensional,

dependiendo de su diseño. Un segmento unidireccional tiene una capacidad finita

en un dirección, y capacidad 0 en la dirección opuesta. La figura 11 muestra una red

de oleoductos. ¿Cómo se puede determinar la capacidad máxima de la red entre los

pozos y las refinerías?

La solución al problema propuesto requiere convertir la red en una sola

fuente y un solo “sumidero” o destino. Este requerimiento se llena usando arcos

unidireccionales de capacidad infinita, como indican los arcos de línea interrumpidas

en la figura 11.

29

Figura 11. Red capacitada que une pozos y refinerías pasando por estaciones de

bombeo


Dado el arco (i, j) con i< j, se usa la notación (C͞ij, C͞ji) para representar las

capacidades de flujo en las dos direcciones, i→ j y j→i, respectivamente. Para

eliminar ambigüedades se pone a C͞ij en el arco junto al nodo i, y C͞ji se coloca junto al

nodo j, como se ve en la figura 12.

Figura 12. Flujos en arco: C͞ij de i→ j y C͞ji de j→i


Enumeración de cortes.

Un corte define a un conjunto de arcos que, cuando se eliminan de la red,

causan una interrupción total del flujo entre los nodos fuente y sumidero. La

capacidad de corte es igual a la suma de las capacidades de los arcos

correspondientes. Entre todos los cortes posibles en la red, el que tenga la

capacidad menor permite el flujo máximo en la red.

30

Ejemplo 5.

Se tiene la red de la figura 13, en los arcos respectivos se indican las

capacidades bidireccionales, con la convención de la figura 12, por ejemplo, para el

arco (3,4), el límite de flujo es 10 unidades de 3 a 4 y 5 unidades de 4 a 3.

Figura 13. Ejemplos de cortes en redes de flujo.


En la figura 13 se ilustran tres cortes, cuyas capacidades se calculan en la

tabla siguiente.

corte arcos asociados capacidad

1 (1,2), (1,3), (1,4) 20 + 30 + 10 = 60

31

2 (1,3), (1,4), (2,3), (2,5) 30 + 10 + 40 + 30 = 110

3 (2,5), (3,5), (4,5) 30 + 20 + 20 = 70

Tabla 18. Capacidades del ejemplo 5

No se puede decir cuál es el flujo máximo en la red, a menos que se

enumeren todos los cortes posibles. La única información que se puede obtener de

la enumeración parcial de los tres cortes es que el flujo máximo en la red no puede

ser mayor que 60 unidades. Desafortunadamente, enumerar todos los cortes no es

una tarea sencilla, y entonces se hace necesario desarrollar el eficiente algoritmo.

Algoritmo de flujo máximo.

El algoritmo de flujo máximo se basa en determinar rutas de irrupción que tengan

flujo neto positivo entre los nodos fuente y sumidero. Cada ruta comunica pate o todas las

capacidades de sus arcos al flujo total en la red.

Considérese el arco (i, j) con capacidades entre (C͞ij, C͞ji). A medida que partes de esas

capacidades contribuyen al flujo en el arco, se actualizan los residuales (o

capacidades remanentes), la red con los residuales actualizados se llama red

residual. Se usará la notación (Cij, Cji) para representar esos residuales.

Para un nodo j que recibe flujo del nodo i, se define una etiqueta [a j ,i ], donde a j es

el flujo de nodo i al nodo j. los pasos del algoritmo se resumen como sigue:

1. Para todos los arcos (i, j) se iguala la capacidad residual con la capacidad

inicial; esto es, (Cij, Cji) = (C͞ij, C͞ji). Sea a1=∞ y se etiqueta el nodo fuente I con [∞ ,— ].

Se iguala i = 1 y se prosigue en el paso 2.

2. Determinar Si, el conjunto de nodos j no etiquetados que se pueden alcanzar

directamente desde el nodo i, con arcos con residuales positivos (esto es, c ij>0 para

toda j ϵ Si). Si Si ≠ Ø, ir al paso 3. En caso contrario ir al paso 4.

3. Determinar k ϵ Si tal que

c ijc=maxj ϵ si

{c ij }

32

Igualar ak=c ik y etiquetar el nodo k con [ak ,i ]. Si k = n, el nodo de sumidero se ha

etiquetado, y se ha encontrado una ruta de irrupción; ir al paso 5., en caso contrario,

igualar i = k y seguir en el paso 2.

4. (Retroceso). Si i = 1, no hay otras irrupciones posibles; ir al paso 6. En casi

contrario, sea r el nodo que se ha etiquetado inmediatamente antes del nodo actual

i y quitar i del conjunto de nodos adyacentes a r. igualar i = r y continuar en el paso

2.

5. (Determinación de la red residual). Sea Np = (1, k1, k2, …, n); se definen los

nodos de la p-ésima ruta de irrupción del nodo fuente 1 al nodo sumidero n.,

entonces el flujo máximo por la ruta se calcula como

f p=mín {a1 , ak1 , ak2 ,…,an }

La capacidad residual de cada arco a lo largo de la ruta de irrupción se disminuye en

fp unidades en la dirección del flujo y se aumenta fp unidades en la dirección

contraria; esto es, para los nodos i y j en la ruta, el flujo residual se cambia del actual

(Cij, Cji) a

a) (Cij - fp, Cji + fp) si el flujo va de i a j.

b) (Cij + fp, Cji - fp) si el flujo va de j a i.

Se reinstalan todos los nodos que se hayan eliminado en el paso 4. Poner i = 1 y

regresar al paso 2 para intentar una nueva ruta de irrupción.

6. (solución)

a) Si se han determinado m rutas de irrupción, el flujo máximo en la red es

F=f 1+ f 2+…+ fm

b) Como los residuales inicial y final del arco (i, j) se obtiene con (C ͞ij, C͞ji) y (Cij,

Cji), respectivamente, el flujo optimo en el arco (i, j) se calcula como sigue: sea (α ,β )

33

= (C͞ij - Cij, C͞ji - Cji). Si α>0, el flujo optimo de i a j es α . Si β>0, el flujo óptimo de i a j es

β. (es imposible que tanto α y β sean positivos.)

Se invoca el proceso de retroceso del paso 4 cuando el algoritmo llega a un

“punto ciego” por descuido, en un nodo intermedio, antes de poder realizar una

irrupción. El ajuste del flujo en el paso 5 se puede explicar con la red de flujo sencilla

de la figura 14. La red a) obtiene la primera ruta de irrupción N 1 = {1,2,3,4 } con su

flujo máximo f1 = 5. Así, los residuales de cada uno de los arcos (1,2), (2,3) y (3,4) se

cambian de (5,0) a (0,5), según el paso 5. La red b) proporciona ahora la segunda

ruta de irrupción N2 = {1,2,3,4 } con f2 = 5. Después de hacer los ajustes necesarios de

flujo, se obtiene la red c), donde ya no son posibles más irrupciones, lo que sucedió

en la transición de b) a c) no es más que una cancelación de un flujo antes

comprometido en la dirección 2→3. El algoritmo puede “recordar” que se había

comprometido antes un flujo de 2 a 3 sólo porque se ha aumentado la capacidad en

la dirección contraria de 0 a 5 (de acuerdo con el paso 5)

Ruta :1→2→3→4 , f 1=5

(a)

34

Ruta :1→3→2→4 , f 2=5

(b)

Sin irrupción

(c)

Figura 14. Uso del residual para calcular el flujo máximo.


35

Ejemplo 6.

Determinar el flujo máximo en la red del ejemplo 5. La figura 15 muestra un

resumen grafico de las iteraciones del algoritmo.

(a) f1 = 20

(b) f2 = 10

36

(c) f3 = 10

(d) f4 = 10

37

(e) f5 = 10

(f) sin irrupción

Figura 15. Iteraciones del algoritmo de flujo máximo del ejemplo 6.


38

Iteración 1. Igualar los residuales iniciales (Cij, Cji) a las capacidades iniciales (C͞ij, C͞ji).

Paso 1. Igualar a1=∞ y etiquetar el nodo 1 con [∞ ,— ]. Poner i = 1.

Paso 2. S1= {2,3,4 } (≠ Ø ).

Paso 3. K = 3 porque c13 = máx {c12 , c13 , c14 } = máx {20,30,10 } = 30. Tomar a3 = c13 = 30

u etiquetar el nodo 3 con [30 ,1 ]. Igualar i = 3 y repetir el paso 2.

Paso 2. S3 = (4,5).

Paso 3. K = 5 y a5 = c35 = máx {10,20 } = 20. Etiquetar el nodo 5 con [20 ,3 ]. Se obtuvo

una irrupción. Ir al paso 5.

Paso 5. La ruta de irrupción se determina con las etiquetas comenzando en el nodo 5

y terminando en el nodo; esto es, (5 )→ [20,3 ]→ (3 )→ [30,1 ]→ (1 ) . Así N1 = {1,3,5 } y

f1 = mín {a1 , a3, a5 }={∞ ,30,20 }=20. las capacidades residuales a lo largo de la ruta

N1 son

(c13 , c31 )= (30−20 ,0+20 )=(10,20)

(c35 , c53 )=(20−20 ,0+20 )=(0,20)

Iteración 2.

Paso 1. Poner a1=∞ y etiquetar el nodo 1 con [∞ ,— ]. Poner i = 1.

Paso 2. S1= {2,3,4 }.

Paso 3. K = 2 y a2 = c12 = máx {20,10,10 } = 20. Poner i = 2 y repetir el paso 2.

Paso 2. S2= {3,5 }.

Paso 3. K = 3 y a3 = c23 = 40. Etiquetar el nodo 3 con [40,2 ]. Poner i = 3 y repetir el

paso 2.

39

Paso 2. S3= {4 }


paso 2.

Paso 2. S4= {5 }

Paso 3. K = 5 y a5 = c45 = 20. Etiquetar el nodo 5 con [20 ,4 ]. Se obtuvo una irrupción.

Ir al paso 5.

Paso 5. N2 = {1,2,3,4,5 } y f2 = mín {∞ ,20,40,10,20 }=10. Los residuales a lo largo de la

ruta de N2 son

(c12 , c21 )= (20−10 ,0+10 )=(10,10)

(c23 , c32 )= (40−10 ,0+10 )=(30,10)

(c34 , c43 )=(10−10,5+10 )=(0,15)

(c45 , c54 )=(20−10 ,0+10 )=(10,10)

Iteración 3.

Paso 1. Poner a1=∞ y etiquetar el nodo 1 con [∞ ,— ]. Poner i = 1.

Paso 2. S1= {2,3,4 }.

Paso 3. K = 2 y a2 = c12 = máx {10,10,10 } = 10. Etiquetar el nodo 2 con [10,1 ] Poner i =

2 y repetir el paso 2.

Paso 2. S2= {3,5 }.


paso 2.

Paso 2. S3= {Ø }. Ir al paso 4 para retroceder.

40

Paso 4. La etiqueta [30,2 ] en el nodo 3da el nodo inmediato anterior r = 2. Sacar el

nodo 3 de más consideraciones en esta iteración, tachándolo. Repetir el paso 2 con i

= r = 2.

Paso 2. S2= {5 }

Paso 3. K = 5 y a5 = c25 = 30. Etiquetar el nodo 5 con [30,2 ]. Se ha logrado la irrupción;

proseguir en el paso 5.

Paso 5. N3 = {1,2,5 } y C5 = mín {∞ ,10,30 }=10. Los residuales a lo largo de la ruta de

N3 son

(c12 , c21 )= (10−10 ,10+10 )=(0,20)

(c25 , c52 )= (30−10 ,0+10 )=(20,10)

Iteración 4. En esta iteración se obtiene N4 = {1,3,2,5 } con f4 = 10

Iteración 5. En esta iteración se obtiene N5 = {1,4,5 } con f5 = 10

Iteración 6. Todos los arcos que salen del nodo 1 tienen residuales cero. En

consecuencia no hay más irrupciones posibles. Pasaremos al paso 6 para determinar

la solución.

Paso 6. El flujo máximo en la red es F = f1 + f2 +… + f5 = 20 + 10 + 10 + 10 + 10 = 60

unidades. El flujo en los distintos arcos se calcula restando los últimos residuales (C ij,

Cji) en las iteraciones 6 de las capacidades (C͞ij, C͞ji), como se ve en la tabla siguiente.

arco (Cdij, Cdji) - (Cij, Cji)6 flujo

direccione

s

(1, 2) (20, 0) - (0, 20) = (20, -20) 20 1 → 2

(1, 3) (30, 0) - (0, 30) = (30, -30) 30 1 → 3

(1, 4) (10, 0) - (0, 10) = (10, -10) 10 1 → 4

(2, 3) (40, 0) - (40, 0) = (0, 0) 0 -

41

(2, 5) (30, 0) - (10, 20) = (20, -20) 20 2 → 5

(3, 4) (10, 5) - (0, 15) = (10, -10) 10 3 → 4

(3, 5) (20, 0) - (0, 20) = (20, -20) 20 3 → 5

(4, 5) (20, 0) - (0, 20) = (20, -20) 20 4 → 5

Ingreso de los datos en WinQSB

Tabla 20. Introducción de datos en el programa para el ejemplo 6.


Soluciona con WinQSB

Tabla 21. Solución del ejemplo 6.


42

Problema de flujo capacitado con costo mínimo

El problema de flujo capacitado con costo mínimo se basa en las hipótesis

siguientes:

El problema de flujo capacitado con costo mínimo se basa en las hipótesis

siguientes:

1.- a cada arco se le asocia un costo de flujo unitario (no negativo).

2.- los arcos pueden tener límites inferiores positivos de capacidad.

3.- todo nodo en la red puede funcionar como fuente o como sumidero.

El nuevo modelo determina los flujos en los distintos arcos, que minimizan el

costo total y a la vez satisfacen las restricciones de flujo y las cantidades de oferta y

demanda en los nodos. Primero representaremos el modelo de red capacitada de

flujo y su formulación equivalente en programación lineal. Esta formulación es la

base del desarrollo de un algoritmo simplex capacitado especial, para resolver el

modelo de flujo en la red. La sección termina con una presentación de una plantilla

de hoja de cálculo, de la red capacitada con costo mínimo.

Representación de la red.

Se tiene una red capacitada G = (N, A), donde N es el conjunto de los nodos y A es el

conjunto de los arcos, y se definen.

43

Xij = cantidad de flujo del nodo i al nodo j

Uij (lij) = capacidad máxima (mínima) del arco (i, j)

$ Cij = costo de flujo unitario del nodo i al nodo j

fi = flujo neto del nodo i

La figura 16. Muestra las definiciones en el arco (i, j). La etiqueta [ fi ] supone un valor

positivo (negativo) cuando hay una oferta o suministro neto (demanda) asociado al

nodo i.

Figura 16. Arco capacitado con flujo externo


Formulación con programación lineal

La formulación de un modelo de red capacitada como programa lineal es la

base del desarrollo del algoritmo simplex capacitad. El programa lineal para la red

capacitada es

44

Minimizar z= ∑( i , j ) ϵ a

∑ c ij∗X ij

Sujeta a.

∑k ( j ,k ) ϵ A

X jk−∑i( i, j ) ϵ A

Xij=fj , jϵ N

lij≤ x ij≤u ij

La ecuación para el nodo j mide el flujo fj neto en el modo j como sigue:

(Flujo que sale del nodo j) – (flujo que entra al nodo j) = fj

El nodo j funciona como fuente si fj > 0 y como sumidero si fj <0.

Siempre se puede eliminar la cota inferior lijde las restricciones, mediante la

sustitución

X ij=X ij+lij

La nueva variable de flujo x’ tiene un límite superior igual a uij−lij. Además, el

flujo neto en el nodo se vuelve fi - lijy en el nodo j es fj + lij. La figura 17 muestra la

transformación de la actividad (i, j) después de que ha salido por sustitución la cota

inferior.

45

Figura 17. Eliminación de la cota inferior en los arcos.


Algoritmo símplex de red capacitada.

Este algoritmo se basa en los pasos exactos del método simplex normal, pero

su objeto es aprovechar la estructura especial en red del modelo de flujo con costo

mínimo.

Ya que fi es el flujo neto en el nodo i, como se definió en el programa lineal,

el algoritmo simplex capacitado estipula que la red debe satisfacer.

∑i=1

n

fi=0

La condición indica que toda la oferta en la red es igual a la demanda total.

Siempre se puede satisfacer este requisito agregando una fuente o un destino

ficticios para balancear, que se conectan con todos los demás nodos de la red con

arcos de costo unitario cero y capacidad infinita. Sin embargo, el balanceo de la red

no garantiza que haya una solución factible, porque eso donde de las restricciones

de capacidades en los arcos.

A continuación se presentan los pasos del algoritmo capacitado:

PASO 0: determinar una solución inicial básica factible (conjunto de arcos) para la

red.

46

PASO 1: determinar un arco (variable) de entrada con la condición de optimalidad

del método simplex. Si la solución es optima, detenerse. En caso contrario,

continuar.

PASO 2: determinar el arco (variable) de salida usando la condición de factibilidad

del método simplex. Determinar la nueva solución y continuar en el paso 1.

Una red con n nodos y flujo neto cero consiste en n -1 ecuaciones

independientes de restricción. Así, una solución básica siempre corresponde a un

árbol de expansión de la red.

El arco entrante (PASO 1) se determina calculando z ij−c ij, los coeficientes

objetivo, para todos los arcos no básicos actuales (i, j). Si z ij−c ij≤0 para todas i y j, la

base actual (es decir, la que se tiene en este momento) es ÓPTIMA. En caso

contrario se selecciona el arco no básico con la z ij−c ij más positivo para entrar en la

base.

El cálculo de los coeficientes objetivo se basa en la dualidad, exactamente

como se hizo con el modelo de transporte. Al aplicar el programa lineal, sea Wi la

variable dual asociada con la restricción del nodo i; entonces, el problema dual es

Maximizar z=∑i=1

n

fi∗wi

Sujeta a

wi−wj≤cij , (i , j ) ϵ A

Wi se signo no restringido, i = 1,2,…, n

Según la teoría de programación lineal wi−wj=c ij, para el arco básico (i, j)

47

Ya que por definición el programa lineal original tiene una restricción

redundante, se puede asignar un valor arbitrario a una de las variables duales. Por

comodidad se iguala W1=0.

Ejemplo 7.

Una red de tuberías conecta dos plantas desaladoras de agua a dos ciudades.

Las cantidades diarias de abastecimiento en las dos plantas son 40 y 50 millones de

galones, y las demandas diarias en las ciudades 1 y 2 son 30 y 60 millones de

galones. Los nodos 1 y 2 representan a las plantas 1 y 2, y los nodos 4 y 5

representan a las ciudades 1 y 2. El nodo 3 es una estación de bombeo entre las

plantas y las ciudades. El modelo ya está balanceado, porque la oferta en los nodos

1 y 2 es igual a la demanda en los nodos 4 y 5. La figura 18 muestra la red asociada.

Figura 18. Red para el ejemplo 7


48

Iteración 0.

Determinación de una solución inicial básica factible: el árbol de expansión factible

inicial de la figura 19 (indicado con arcos de línea llena) se obtiene por inspección.

En el caso normal se usa una técnica de variable artificial para llegar a esa solución.

Figura 19. Red para la iteración 0.


49

En la figura 19, la solución básica factible consiste en los arcos (1,3), (1,4),

(2,3) y (3,5), con los flujos factibles 10, 30, 50 y 60 unidades, respectivamente. Esto

deja los arcos (1,2), (2,5) y (4,5) para representar a las variables no básicas. La

notación x(c) en los arcos indica que se asigna un flujo de x unidades a un arco con

capacidad c. los valores predeterminado para x y c son 0 e ∞, respectivamente.

Iteración 1.

Paso 1. Determinación del arco entrante: se obtienen los valores duales resolviendo

las ecuaciones básicas actuales.

w1=0

wi−wj=Cij, para (i , j )básicas

Así se obtiene

Arco (1,3 ) :W 1−W 3=7 , por consiguiente w3=−7

Arco (1,4 ):W 1−W 4=5 , por consiguiente w4=−5

Arco (2,3 ):W 2−W 3=2 , por consiguiente w2=−5

Arco (3,5 ) :W 3−W 5=8 , por consiguientew5=−15

Ahora se calculas Zij – Cij para las variables no básicas, como sigue:

Arco (1,2 ) :W 1−W 2−c12=2

Arco (2,5 ):W 2−W 5−c25=9

Arco (4,5 ):W 4−W 5−c45=6

50

Por lo anterior, el arco (2,5) entra a la solución básica.

Paso 2. Determinación del arco saliente: en la figura 19 se ve que el arco (2,5)

forma un bucle con los arcos básicos (2,3) y (3,5), de acuerdo con la definición del

árbol de expansión, ya no se puede formar otro bucle. Como el bucle en el arco

nuevo (2,5) debe aumentar, se ajusta el flujo en los arcos del bucle con una cantidad

igual, para mantener la factibilidad de la nueva solución. Para lograrlo se identifica el

flujo positivo (+) en el bucle, con la dirección del arco entrante. A continuación se

asignan (+) o (-) a los arcos del bucle, dependiendo de si el flujo en cada uno es en o

contra la dirección del flujo del arco entrante. Estas convenciones de signo se

muestran en la figura 19.

La determinación de la cantidad máxima de flujo en el arco entrante (2,5) se

basa en dos condiciones:

1. El flujo nuevo en los arcos básicos actuales del bucle no puede ser negativo

2. El flujo nuevo en el arco entrante no puede exceder su capacidad.

La aplicación de la condición 1 indica que los flujos en los arcos (2,3) y (3,5), no

puede disminuir en más de mín {50,60 }=50 unidades. La condición 2 estipula que el

flujo en el arco (2,5) puede aumentar cuando mucho hasta la capacidad del arco.

Entonces, el cambio máximo de flujo en el bucle es mín {30,50 }=30 unidades, los

nuevos flujos en el bucle son entonces 30 unidades en el arco (2,5), 50 – 30 = 20

unidades en el arco (2,3) Y 60 – 30 = 30 unidades en el arco (3,5).

Debido a que ninguno de los arcos básicos actuales sale de la base a nivel cero,

el nuevo arco (2,5) debe permanecer no básico en la cota superior. Sin embargo,

para no manejar arcos no básicos que están en el valor de su capacidad se

implementará la sustitución

x25=30−x52 ,0≤ x52≤30

51

Esta situación se hace en las ecuaciones de flujo asociadas con los nodos 2 y 5

como sigue.

Se tiene que:

Ecuación actual del flujo en el nodo 2: 20 + x12 = x23 + x25

Ecuación actual del flujo en el nodo 5: x25 + x35 + x45 = 60

Entonces, la sustitución x25=30−x52da como resultado:

Nueva ecuación actual del flujo en el nodo 2: 20 + x12 + x52 = x23

Nueva ecuación actual del flujo en el nodo 5: x35 + x45 = x52 + 30

En la figura 20. Se ven los resultados de estos caminos, la dirección de flujo

en el arco (2,5) queda invertida ahora a 5 → 2 con x52=0, que era lo que se quería.

También la sustitución requiere cambiar el costo unitario del arco (5,2) a - $1.

Indicaremos esta inversión de dirección en la red, etiquetando el arco con un

asterisco.

Iteración 2.

La figura 20 resume los nuevos valores de z ij−¿ c ij¿ y muestra que el arco (4,5)

entra a la solución básica. También define al bucle asociado con el nuevo arco

entrante, y asigna signos a sus arcos.

El flujo en el arco (4,5) se puede aumentar en la cantidad mínima de

1. El aumento máximo permisible en el arco entrante (4,5) = ∞

2. El aumento máximo permisible en el arco (1,4) = 35 – 30 = 5

3. La disminución máxima permisible en el arco (1,3) = 10 unidades

4. La disminución máxima permisible en el arco (3,5) = 30 unidades

52

Figura 20. Red para la iteración 1.


Así, el flujo en el arco (4,5) se puede aumentar a 5 unidades, con lo cual (4,5)

será básico y forzará a que el arco básico (1,4) sea no básico en su cota superior (=

35).

Al utilizar la sustitución de x14=35−x41 , la red cambia como se ve en la figura

21 con los arcos (1,3), (2,3), (3,5) y (4,5) formando la solución básica. La inversión del

flujo en el arco (1,4) cambia su costo unitario a - $5.

53

Figura 20. Red para la iteración 2


z12−c12=0— (−5)−3=2

z41−c41=−11— 0−(−5 )=−6

z52−c52=−15−(−5 )−(−1)=−9

Entra el arco (1,2) en el nivel 5.

Sale el arco (1,3) en el nivel 0.

54

Aumentar 5 a X23.

Iteración 3.

Los cálculos de las nuevas Zij – Cij para los arcos no básicos (1,2), (4,1) y (5,2) se

resumen en la figura 20, que muestra que el arco (1,2) entra al nivel 5 y el arco (1,3) se

vuelve no básico al nivel 0. La nueva solución se ve en la figura 21.

Iteración 4.

Las nuevas Zij – Cij de la figura 21 muestran que la solución es óptima. Los valores de

las variables originales se obtienen por sustitución en reserva, como se ve en la figura

21.

z13−c13=0— (−5)−7=−2

z41−c41=−9— 0−(−5 )=−4

z52−c52=−153−(−3 )−(−1)=−9

Solución óptima

x12=5 , x13=0

x14=35

x23=25

x25=30

x35=25 , x45=5

COSTO TOTAL = $490

55

Figura 21. Red para la iteración 3


Cálculos para la ruta crítica (CPM)

El método de ruta crítica es un proceso administrativo (planeación, organización,

dirección y control) de todas y cada una de las actividades componentes de un

proyecto que debe desarrollarse durante un tiempo crítico y al costo óptimo. La

aplicación potencial del método de la ruta crítica, debido a su gran flexibilidad y

adaptación, abarca desde los estudios iniciales para un proyecto determinado, hasta

la planeación y operación de sus instalaciones. A esto se puede añadir una lista

indeterminable de posibles aplicaciones de tipo específico. Así, podemos afirmar

que el método de la ruta crítica es aplicable y útil en cualquier situación en la que se

56

tenga que llevar a cabo una serie de actividades relacionadas entre sí para alcanzar

un objetivo determinado. El método es aplicable en tareas tales como: construcción,

estudios económicos, planeación de carreras universitarias, censos de población,

estudios técnicos, etc. Los beneficios derivados de la aplicación del método de la

ruta crítica se presentarán en relación directa a la habilidad con que se haya

aplicado. Debe advertirse, sin embargo, que el camino crítico no es una panacea que

resuelva problemas administrativos de un proyecto. Cualquier aplicación incorrecta

producirá resultados adversos. No obstante, si el método es utilizado

correctamente, determinará un proyecto más ordenado y mejor balanceado que

podrá ser ejecutado de manera más eficiente y normalmente, en menor tiempo. Un

beneficio primordial que nos brinda el método de la ruta crítica es que resume en un

solo documento la imagen general de todo el proyecto, lo que nos ayuda a evitar

omisiones, identificar rápidamente contradicciones en la planeación de actividades,

facilitando abastecimientos ordenados y oportunos; en general, logrando que el

proyecto sea llevado a cabo con un mínimo de tropiezos. En la práctica el error que

se comete más a menudo es que la técnica se utiliza únicamente al principio del

proyecto, es decir, al desarrollar un plan y su programación y después se cuelga en

la pared el diagrama resultante, olvidándose durante el resto de la vida del

proyecto. El verdadero valor de la técnica resulta más cuando se aplica en forma

dinámica. A medida que se presentan hechos o circunstancias imprevistas, el

método de la ruta crítica proporciona el medio ideal para identificar y analizar la

necesidad de replantear o reprogramar el proyecto, reduciendo al mínimo el

resultado adverso de dichas contingencias. Del mismo modo, cuando se presenta

una oportunidad para mejorar la programación del proyecto, la técnica permite

determinar fácilmente que actividades deben ser aceleradas para que se logre dicha

mejoría.

57

Metodología

El método de la ruta crítica consta básicamente de dos ciclos:

1. Planeación y programación

2. Ejecución y Control

El primer ciclo termina hasta que todas las personas directoras o responsables

de los diversos procesos que intervienen en el proyecto están plenamente de

acuerdo con el desarrollo, tiempos, costos, elementos utilizados, coordinación, etc.,

tomando como base la red de camino crítico diseñada al efecto .Al terminar la

primera red, generalmente hay cambios en las actividades componentes, en las

secuencias, en los tiempos y algunas veces en los costos, por lo que hay necesidad

de diseñar nuevas redes hasta que exista un completo acuerdo de las personas que

integran el grupo de ejecución.

El segundo ciclo termina al tiempo de hacer la última actividad del proyecto y

entre tanto existen ajustes constantes debido a las diferencias que se presentan

entre el trabajo programado y el realizado. Será necesario graficar en los esquemas

de control todas las decisiones tomadas para ajustar a la realidad el plan original.

Con objeto de entender este proceso, se presenta la figura 22.Considerando que el

principal objetivo de este trabajo consiste en establecer la metodología de la

construcción de la red del camino crítico se abarcará únicamente el primer ciclo, con

objeto de presentar la elaboración de la red del camino crítico y entienda sus

ventajas y limitaciones. El primer ciclo se compone de las siguientes etapas:

definición del proyecto, lista de actividades, matríz de secuencias, matriz de

tiempos, red de actividades, costos y pendientes, compresión de la red, limitaciones

de tiempo, de recursos económicos, matríz de elasticidad.

58

Figura 22. Metodología de la ruta crítica

Fuente: ITESCAM

Definición del proyecto

Esta etapa aunque es esencial para la ejecución del proyecto no forma parte

del método. Es una etapa previa que debe desarrollarse separadamente y para la

cual también puede utilizarse el método de la ruta crítica. Es una investigación de

objetivos, métodos y elementos viables y disponibles, lo que nos aclara si el

proyecto va a satisfacer una necesidad o si es costeable su realización.

Lista de actividades

Es la relación de actividades físicas o mentales que forman procesos

interrelacionados en un proyecto total. No es necesario que las actividades se listen

en orden de ejecución, aunque si es conveniente porque evita que se olvide alguna

de ellas. Sin embargo, las omisiones de las actividades se descubrirán más tarde al

hacer la red correspondiente. Es conveniente numerar progresivamente las

actividades para su identificación y en algunos casos puede denominarse en clave,

no es necesario indicar la cantidad de trabajo ni las personas que la ejecutarán. En

términos generales, se considerará actividad a la serie de operaciones realizadas por

59

una persona o grupo de personas en forma continua, sin interrupciones, con

tiempos determinables de iniciación y terminación.

Matríz de secuencias

Existen dos procedimientos para conocer la secuencia de las actividades:

a) Por antecedentes

b) Por secuencias

En el primer caso se preguntará a los responsables de los procesos cuales

actividades deben quedar terminadas para ejecutar cada una de las que aparecen en

la lista. Debe cuidarse que todas y cada una de las actividades tenga cuando menos

un antecedente. En el caso de ser iniciales, la actividad antecedente será cero. En el

segundo procedimiento se preguntará a los responsables de la ejecución, cuales

actividades deben hacerse al terminar cada una de las que aparecen en la lista de

actividades. Para este efecto se debe presentar la matríz de secuencias iniciando con

la actividad cero que servirá para indicar solamente el punto de partida de las

demás.

Matríz de tiempos

Mediante esta matríz conocemos el tiempo de duración de cada actividad del

proyecto. El método de la ruta crítica utiliza únicamente un tipo de estimación de

duración, basada en la experiencia obtenida con anterioridad mediante una

actividad X. Para asignar el tiempo de duración de una actividad debemos basarnos

en la manera más eficiente para terminarla de acuerdo con los recursos disponibles.

Tanto la Matríz de Secuencias como la Matríz de Tiempos se reúnen en una sola

llamada Matríz de información, que sirve para construir la Red Medida.

Red de Actividades

La representación visual del método de la ruta crítica es el diagrama de flechas o red

de actividades, que consiste en la ilustración gráfica del conjunto de operaciones de

60

un proyecto y de sus interrelaciones. La red está formada por flechas que

representan actividades y nudos que simbolizan eventos.

Cuando se encuentran varias flechas conectadas una tras otra es que existe

una secuencia entre ellas; esa es la manera de ilustrar dicha dependencia. Los nudos

o uniones de flechas, denominados eventos, se representan en la gráfica en forma

de círculos y significan la terminación de las actividades que culminan en un evento

determinado y la iniciación de las subsecuentes.

Matríz de Elasticidad

Existe un procedimiento que nos proporciona la posibilidad de retrasar o

adelantar una actividad sin consecuencias para las otras, es decidir la elasticidad de

las mismas. Para conocer la elasticidad de las actividades es necesario conocer los

siguientes conceptos.

Holgura total:

Es el exceso de tiempo disponible con respecto a la duración de una

actividad. Para calcularla se emplea la siguiente expresión:

HOLGURA TOTAL = TIEMPO REMOTO DE - TERMINACION TIEMPO PROXIMO DE

INICIO - DURACION

HT = TRT – TPI – Y

Holgura libre:

Cuando dos actividades están seriadas (por ejemplo A y B) y suponiendo que

TPIA<TPIB

TRTA<TRTB

TPTA=TPIB

TPIB>TRIA

61

Lo cual puede presentarse como se indica en la figura 21

Figura 21. Holgura interferente.

Fuente: ITESCAM

Tiempo flotante libre:

Puede definirse como aquel que podemos posponer la realización de una

actividad sin afectar las fechas subsecuentes. Esto calcula suponiendo que todas las

actividades precedentes se llevan a cabo en sus fechas próximas de realización. Lo

anterior puede comprenderse mejor si se observa la figura 6. El tiempo flotante libre

u holgura libre se calcula mediante la relación:

Figura 22. Tiempo flotante libre

Fuente: ITESCAM

Donde A es una actividad precedente a B.

62

Limitación de recursos y Económicas

Otra de las ventajas mayores que se ofrecen a quien utilice el método de

camino crítico para administrar un proyecto consiste en que permite nivelar las

necesidades de recursos humanos y materiales a lo largo del proyecto.

Costos, pendiente y compresión

Una vez elaborado un plan de acción lógico se plasma en un diagrama de

flechas, estimándose el tiempo y recursos necesarios para llevar a cabo las

diferentes actividades, es posible calcular los costos de mano de obra de varias

alternativas y entre ellas, seleccionar la más económica. Existe una relación entre el

tiempo de realización de cualquier proyecto y su costo. Además todo proyecto su

punto óptimo de realización, cuando existe una desviación el costo del proyecto se

eleva.

Red de actividades

Para determinar la red de actividades se construye un arreglo lógico, se

asignan duraciones y se estiman los tiempos próximos de iniciación, y se calculan los

tiempos remotos determinación. La etapa final consiste en establecer la matríz de

elasticidad para lo cual se calculan los tiempos remotos de iniciación, tiempos

próximos de terminación.

Ejemplo 8.

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Determinar la ruta critica para la red del proyecto de la figura 23. Todas las

duraciones están en días.

Paso hacia adelante

Nodo 1. Hacer definir □1 = 0

Nodo 2. □2 = □1 + D12 = 0 + 5 = 5

Nodo 3. □3 = máx {□1+D13 ,□2+D23 } = máx {0+6 ,5+3 }=8

Nodo 4. □4 = □4 + D24 = 5 + 8 = 13

Nodo 5. □5 = máx {□3+D35 ,□ 4+D 45} = máx {8+2 ,13+0 }=13

Nodo 6. □6 = máx {□3+D36 ,□ 4+D 46 ,5+D56 } = máx {8+11 ,13+1 ,13+12 }=25

Los cálculos indican que el proyecto se puede terminar en 25 días.

Paso hacia atrás

Nodo 6. Hacer definir ∆6 = □6 = 25

Nodo 5. ∆5 = ∆1 + D56 = 25 - 12 = 13

Nodo 4. ∆4 = mín {∆6−D 46 ,∆5−D45 } = mín {25−1,13−0 }=13

Nodo 3. ∆3 = mín {∆6−D36 ,∆5−D35 } = mín {25−11,13−2 }=11

Nodo 2. ∆2 = mín {∆4−D24 ,∆3−D 23} = mín {13−8,11−3 }=5

Nodo 1. ∆1 = mín {∆3−D13 ,∆2−D12 } = mín {11−6,5−5 }=0

Si los cálculos son correctos, siempre terminaran ∆1 = 0

Los cálculos en los pasos hacia adelante y hacia atrás se resumen en la figura

22. Las reglas para determinar las actividades críticas indican que la ruta crítica es 1

64

→ 2→ 4 → 5 → 6, que abarca la redes desde el inicio hasta el fin. La suma de las

duraciones de las actividades críticas [(1,2), (2,4), (4,5) y (5,6)] es igual a la duración

del proyecto (=25 días)

Figura 22. Cálculos de los pasos hacia adelante y hacia atrás para el proyecto del ejemplo 8


Redes de PERT

El PERT difiere del CPM en que basa la duración de una actividad en tres

estimaciones:

1. Tiempo optimista: a, donde se supone que la ejecución va extremadamente

bien.

2. Tiempo más probable m, donde se supone que la ejecución se hace bajo

condiciones normales.

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3. Tiempo pesimista b, donde se supone que la ejecución va extremadamente

mal.

Se supones que el intervalo (a, b) abarca todas las estimaciones o posibles de la

duración de una actividad. Por consiguiente, el estimado m debe estar en algún

lugar dentro del intervalo (a, b). Con base en los estimados (o estimaciones), el

tiempo promedio de duración Dd, y la varianza v, se calculan como sigue:

D �͞ =a+4m+b6

v=( b−a6

)2

Los cálculos de ruta crítica que se describió anteriormente se pueden aplicar

en forma directa, sustituyendo la estimación única D por Dd.

Ahora es posible estimar la probabilidad de que un nodo j en la red suceda

en un tiempo programado especificado con anterioridad, S j. Sea ej el tiempo más

temprano de ocurrencia del nodo j. como las duraciones de las actividades que van

del nodo de inicio al nodo j son variables aleatorias, e j también debe ser una variable

aleatoria. Suponiendo que todas las actividades en la red sean estadísticamente

independientes, se puede determinar la media, E {e j } y la varianza, var {ej } como

sigue. Si solo hay una ruta desde el nodo de inicio hasta el nodo j, la media es la

suma de las duraciones esperadas Dd, para todas las actividades a lo largo de esa

ruta, y la varianza es la suma de las varianzas v de las mismas actividades. Por otra

parte, si hay más de una ruta que llegue al nodo j, será necesario calcular primero la

distribución estadística de la duración de la ruta más larga, antes de calcula la media

y la varianza correctas. Este problema es bastante difícil porque equivale a

determinar la distribución del máximo de varias variables aleatorias. Por

consiguiente, una hipótesis simplificadora es Calcular la media y la varianza E{ ej } y

66

var { ej }, como el de la ruta al nodo j que tenga la misma media (o promedio), se

selecciona la que tenga la varianza mayor, porque refleja la máxima incertidumbre y

en consecuencia conduce a un estimado más conservador de las probabilidades.

Una vez calculados la media y la varianza E{ ej } y var { ej } de la ruta al nodo j,

la probabilidad que se realice el nodo j en un tiempo Sj preestablecido, se calcula

con la siguiente fórmula:

P {ej ≤ sj }=P {ej−E {ej }√var {ej }

≤Sj−E {ej}√var {ej }

=P {z≤ Kj}En donde

Z = variable aleatoria normal estándar

Kj=Sj−E {ej }√var {ej }

La variable aleatoria normal estándar z tiene media o y deviación estándar 1.

La justificación para usar la distribución normal es que ej es la suma de variables

aleatorias independientes. De acuerdo con el teorema del límite central, ej está

distribuida normalmente, en forma aproximada.

Ejemplo 9.

Se tiene el proyecto del ejemplo 8. Para evitar repetir los cálculos de ruta

critica, se seleccionaron los valores a, m y b en la tabla siguiente, de tal modo que Ddij

= Dij para toda i y j en el ejemplo 8.

Actividad i-j (a, m, b)A 1. - 2. (3,5,7)B 1. - 3. (4,6,8)C 2. - 3. (1,3,5)D 2. - 4. (5,8,11)

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E 3. - 5. (1,2,3)F 3. - 6. (9,11,13)G 4. - 6. (1,1,1)H 5. - 6. (10,12,14)Tabla 22. Datos para el ejemplo 9


La media Ddij y la varianza Vij de las distintas actividades se ve en la tabla de

abajo. Observe que para una actividad (a, b, m) = (0,0,0), y en consecuencia su

media y varianza también son iguales a 0

Actividad i-j Ddij Vij A 1. - 2. 5 0.444B 1. - 3. 6 0.444C 2. - 3. 3 0.444D 2. - 4. 8 1E 3. - 5. 2 0.111F 3. - 6. 11 0.444G 4. - 6. 1 0H 5. - 6. 12 0.444

Tabla 23. Media y varianza de las distintas actividades


La tabla siguiente muestra la trayectoria más larga del nodo 1 a los

distintos nodos, junto con su media y varianza asociados

nodo ruta más larga basada en media de la desviación estándar de

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duraciones medias ruta la ruta2 1. - 2. 5 0.673 1. - 2. - 3. 8 0.944 1. - 2. - 4. 13 1.205 1. - 2. - 4. - 5. 13 1.206 1. - 2. - 4. - 5. - 6. 25 1.37

Tabla 24. Trayectoria más larga del nodo 1 a los distintos nodos, junto con su

media y varianza asociados


Por último, en la tabla siguiente se calcula la probabilidad de que cada nodo

se realice en un tiempo Sj preestablecido, especificado por el analista.

nodoruta más larga basada en duraciones

medias media de la ruta

desviación estándar de la

ruta2 1. - 2. 5 0.673 1. - 2. - 3. 8 0.944 1. - 2. - 4. 13 1.205 1. - 2. - 4. - 5. 13 1.206 1. - 2. - 4. - 5. - 6. 25 1.37

Sj Kj P { z ≤ Kj}

5 0 0,5

11 3,19 0,9993

12 -0,83 0,2033

14 0,83 0,7967

26 0,73 0,7973

Tabla 25. Probabilidad de que cada nodo se realice en un tiempo Sj preestablecido


69

CONCLUSIÓN

Los modelos de redes son aplicables a una extensa variedad de problemas de

decisión, los cuales pueden ser modelados como problemas de optimización de

redes que pueden ser eficiente y efectivamente resueltos.

Algunos de estos problemas de decisión son realmente problemas físicos,

tales como el transporte o flujo de bienes materiales. Sin embargo, muchos

problemas de redes son más que una representación abstracta de procesos o

actividades, tales como el camino crítico en las actividades entre las redes de un

proyecto gerencial.

El modelo de redes posee una gran aplicabilidad en muchos problemas de la

vida cotidiana, en nuestra sociedad moderna es casi imprescindible para lograr una

mayor eficiencia en cas cualquier tipo de flujo.

En general puede observarse la importancia de los modelos matemáticos

para encontrar la solución de infinidad de problemas.

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BIBLIOGRAFÍA

1. Cálculo para la ruta crítica. Tomado de:

http://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r66921.PDF

2. Handy A. Taha. (2004) Investigación de operaciones. Pearson. México. P. 213-

268.

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