FLUJO COMPRENSIBLE

MECNICA DE FLUIDOS

J. SIFUENTES S. 2008

CONTENIDO

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9.1 Consideraciones termodinmicas. 2 9.2 Conceptos introductorios al flujo compresible 7

9.2.1 Velocidad del sonido 7 9.2.2 Nmero de Mach. 11 9.2.3 Cono de Mach 9.2.4 Condiciones de estancamiento 17 9.2.5 Condiciones crticas 25 9.2.6 Estados de referencia 26

9.3 Flujo con rea variable 9.3.1 Flujo adiabtico irreversible 9.3.2 Flujo isentrpico unidimensional 9.3.2.1. Flujo msico 9.3.2.2. Efecto de la variacin de rea en los flujos subsnicos y

supersnicos. 9.3.3 La funcin impulso. 9.3.4 Flujo real en toberas y difusores. 9.3.4.1. Tobera

9.3.4.2. Difusor.

9.4 La onda de choque Normal 9.4.1 Lnea de Fanno y lnea de Rayleigh 9.4.2 Relacin de propiedades. 9.4.3 Intensidad de una onda de choque

9.5 Funcionamiento de la tobera 9.5.1 Tobera convergente. Tobera subsnica 9.5.2 Tobera convergente-divergente

Tobera supersnica.

9.6 Flujo Fanno. 9.6.1 Condiciones y limitaciones. 9.6.2 Ecuaciones de partida. 9.6.3 Relacin entre propiedades.

9.6.3.1 Variacin del nmero de Mach con la longitud. 9.6.3.2 Otras relaciones y estado referencial.

9.6.4 Grficos h-s y h-v. 9.6.5 Clculo de un Flujo Fanno. 9.6.6 Solucin mediante Tablas

9.7 Flujo Rayleigh.

9.7.1 Condiciones y limitaciones. 9.7.2 Ecuaciones de partida. 9.7.3 Variacin de las propiedades.

9.7.3.1 Razn de presiones. 9.7.3.2 Razn de Temperaturas. 9.7.3.3 Razn de densidades y velocidades. 9.7.3.4 Relacin de entropas. 9.7.3.5 Variacin con Mach.

9.7.4 Curva Rayleigh en el plano h-s T-s. 9.7.5 Calculo del calor mximo.

9.8 Flujo unidimensional generalizado. PROBLEMAS APLICACIONES

Cuando la velocidad de un fluido en movimiento resulta del mismo orden o mayor que la velocidad del sonido aparecen algunos efectos, muy importantes, debido a la compresibilidad del fluido. Este tipo de movimiento se encuentra en la prctica cuando se trata de gases; por esto la dinmica del flujo a alta velocidad es denominada generalmente Dinmica de Gases. Es importante sealar que los nmeros de Reynolds que intervienen son muy grandes.

Gases, vapores y lquidos son todos fluidos y comnmente se considera que los gases y vapores son compresibles y que los lquidos son incompresibles. Esto no es absolutamente cierto, por ejemplo en los ventiladores se considera que el aire no varia su densidad y por lo tanto se considera incompresible en los clculos.

Un flujo compresible se define como un flujo en el que la variacin de la densidad del fluido, influye en el proceso involucrado de manera apreciable.

Para el caso de una sustancia simple compresible, el valor de la densidad queda completamente determinada al fijar dos propiedades intrnsecas independientes, por ejemplo la presin y temperatura, con lo que: f ( p, T, V ) = 0; ecuacin de estado

En principio, los clculos de flujos compresibles se pueden llevar a cabo con cualquier ecuacin de estado; siendo el caso ms sencillo de sustancia simple el GAS PERFECTO, definido como aquel cuya ecuacin de estado est dada por:

RT

p=

Flujo compresible

9-2

9.1 CONSIDERACIONES TERMODINAMICAS Fig. 9.1 : Relacin entre calor trabajo y energa El sistema es arbitrario, puede moverse y deformarse sin restriccin alguna, pero cuya masa no puede transferirse a travs del contorno. Q W =E = (EC + EP + U) 2 - (EC + EP + U) 1 dQ - dW = dE Si el movimiento del sistema es pequeo, puede suponerse que la energa almacenada (E) es enteramente debida a la energa interna (U). Adems si el trabajo W es trabajo de expansin o contraccin, la ley de conservacin de la energa para ste sistema es: Q - m p.d = U2 - U1 dQ - p. dv = du [9.01] En muchos problemas los trminos u y p aparece como una suma, la cual es denominada entalpa h: h = u + p v y dh = du + p. dv + v. dp Luego dQ - dh = v dp [9.02] SEGUNDA LEY DE LA TERMODINAMICA Para un proceso internamente reversible, el cambio de entropa de una sustancia que entrega o recibe calor, se define por:

dS = TdQ

[9.03]

U Q (+)

W (+)

Mecnica de fluidos 9-3

EL GAS PERFECTO Para muchos problemas en dinmica de gases, la consideracin del gas perfecto de resultados bastantes aceptables para los gases reales. Ecuacin de estado p = p / = R T [9.04] Donde la constante particular del gas, R, est dada por la relacin de la constante universal de los gases R y el peso molecular de cada gas M, as: R = R / M; siendo R = 8 314 J / Kmol. R aire = 53,34 Lbf ft / Lbm - R

Cambio de energa interna y entalpa Como: u = u ( v, T ); sustancia pura.

du = dTTudV

Vu

VT

+

Para el gas perfecto o gas ideal, se demuestra que la energa interna no depende de la densidad, nicamente es funcin de la temperatura, es decir:

Vu

T = 0; luego :

du = dTCvdTTu

V=

y el cambio de energa interna entre los estados 1 y 2:

u2 u1 =2

1

T

T

Cv dT [9.05] De la definicin de entalpa, h = u + p v, resulta que h es nicamente funcin de la temperatura para un gas ideal; es decir: ( h / p ) T = 0 Como: h = h(p, T); sustancia pura :

dh =

ph

T dp +

Th

p dT

Para gas ideal: dh =

Th

p dT = Cp dT

y h2 h1= 2

1

T

TdT.Cp

[9.06]

Flujo compresible

9-4

Relacin de calores especficos Cuando una sustancia obedece la ley del gas ideal, existe una relacin entre Cp, Cv y R.

Cp = ( ) .dh d du du pV R T Cv RdT dT dT dT

= + = + = +

Cp - Cv = R; constante particular de gas. [9.07] La relacin de los calores especficos k, juega un rol importante en el proceso isentrpico. K est definido por:

k = Cp / Cv [9.08] Combinando algebraicamente, las ecuaciones [9.07] y [9.08]:

1 1k R RCp Cvk k

= =

Para un modelo molecular simple, la teora cintica de los gases, demuestra que:

k = nn 2+

donde n es el grado de libertad de la molcula

Para un gas monoatmico, k = 5 / 3; diatmicos, k = 7 / 5; triatmicos, k = 4/3. Molculas extremadamente complejas, como el fren, poseen un valor grande de n, dando lugar a un valor de k cercano a la unidad. Calores especficos constantes

La consideracin de Cp y Cv constantes, constituye tambin parte de la definicin del gas ideal. Esta consideracin no es buena aproximacin a los gases reales, como si lo es la ecuacin de estado. A veces se menciona gas semi-ideal, definido como aqul en el cual se verifica: p v = RT, pero con calores especficos variables con la temperatura. Considerando gas ideal: Cp y Cv constantes; y :

u2 u1 = Cv (T2 - T1) h2 - h1 = Cp (T2 - T1)

Cambio de entropa

De [9.03]: dS = TdQ

De las ecuaciones [9.02], [9.03], se obtiene:


dQ = T ds = du + p dv dQ = T ds = dh - v dp Aplicable a todo caso.

i) Luego: ds = Tdu +

Tp dv

con p v = RT p / T = R / v

ds = Cv TdT + R

vvd

Integrando: S2 S1 = Cv Ln 1

2

TT + R Ln

1

2vv

Con Cv = R / (K 1); se obtiene:

S2 S1 =

1k

V11 v

vTTLnC 22

1kvCSS

1

2

1

12

vv

TT2e

=

12v2

11v1

21

= kTvCS

ekTvCS

e

teconskTvCS

e tan1v =

[ 9.09 ]

Utilizando las ecuaciones de estado p V = RT, puede eliminarse V o T de la ecuacin [9.09].

(i) Eliminando V

=

1

12

122/2/

2

2k

TTLnVCSS pTR

pTR

se obtienen:

=

)1(12

1

2

1

2 .kk

pp

TTLnVCSS

)1(12

1

2

1

2 .

=

kkvC

SS

pp

TTe

teConskpkTCvSe tan)1(/ = [ 9.10 ]

Flujo compresible

9-6

(ii) Eliminando T, se obtienen:

k

pp

LnVCk

pp

LnVCSS

=

=

1

2

1

2

1

2

1

2 .vv

.12

kk pCvSepCvSe /v // = = Constante [ 9.11 ]

Cualquiera de las ecuaciones anteriores puede utilizarse para el clculo de S. Proceso isentrpico El proceso isentrpico es el caso lmite de un proceso real; y se caracteriza por el hecho de que sus transformaciones de energa son perfectas y libres de prdidas. Se trata, pues, de un proceso ideal, que sirve como punto de referencia al estudiar y comprobar la calidad y eficiencia de las mquinas, motores e instalaciones reales. En ste caso S1 = S2 = S = Constante, y de las ecuaciones anteriores, se obtiene:

1kvT = Constante

= )1(/ kkT p Constante

p v k = p / k = Constante

o para las secciones (1) y (2):

1

1

2

1

1

2

1

2

=

=

kk

k

pp

TT

En un flujo isentrpico, el cambio de entalpa es importante.

h =

=

==

11)(

1

121

1211212 k

k

ppTCp

TTTCpTTCphh [ 9.12 ]

EJEMPLO 9.01: Un flujo de Argn (k = 1,67 ; R = 208 J/ kg-K ) circula por un tubo de modo que pasa de unas condiciones iniciales, 1 = 18,62 kg / m3 p1 =1723 kPa a otras condiciones finales de p2 = 207 kPa y T2 = 129C. Determinar la temperatura inicial, densidad final, variacin de entalpa, variacin de energa interna y la variacin de entropa.


SOLUCION Aplicando la ecuacin del gas ideal; = p / R T:

Estado 1: 1

33

TxKkg/J208Pa10x1723m/kg62,18

=

T1 = 445 k

Estado 2: 33

m/kg4756,2402x20810x207

==

La variacin de entalpa: h = Cp (T2 T1)

Cp = 67,0

20867,11k

kR =

= 518 J / kg-k

Cv = 1k

R = 67,0

208 = 310 J / kg - k

h = 518 x (402 - 445) = - 22 274 J / kg-k

La variacin de energa interna: u = Cv (T2 T1)

u = 310 (402-445) = - 13 330 J / kg-k La variacin de entropa: S = Cp Ln (T2 / T1) - R Ln ( p2 / p1 )

S = 518 Ln (402 / 445) - 208 Ln ( 207 / 1723 ) = 388 J / kg-k 9.2 CONCEPTOS INTRODUCTORIOS AL FLUJO COMPRESIBLE 9.2.1 ONDAS ELASTICAS.- VELOCIDAD DEL SONIDO 12.4 ONDAS ELSTICAS Masey Si se altera la presin en un punto de un fluido, tambin se altera la densidad -aunque slo sea en forma leve- y en consecuencia las partculas individuales sufren pequeos cambios de posicin. Para mantener un medio continuo, las partculas adyacentes deben cambiar de posicin tambin, y as, la nueva presin se transmite en forma progresiva, pero rpida, a travs del resto del fluido. Es indudable que en un fluido completamente incompresible, cualesquiera perturbaciones se propagaran con velocidad infinita, ya que todas las partculas tendran que cambiar de posicin simultneamente. Aun en un fluido real, los cambios de presin se transmiten con tanta rapidez que con frecuencia se puede considerar despreciable el tiempo necesario para que stos se extiendan a travs del fluido, en comparacin con el tiempo necesario para el cambio original. As, en los captulos anteriores de este libro se ha supuesto que los ajustes de presin ocurren en forma simultnea a travs del fluido. Pero si se altera en forma sbita la presin en un punto, o el fluido se mueve con velocidad alta en relacin con un cuerpo slido, entonces adquiere gran importancia la velocidad exacta con la cual se transmiten los cambios de presin. Esta

Flujo compresible

9-8

velocidad se determina por la relacin entre los cambios de presin y los cambios de densidad, es decir, por las propiedades elsticas del fluido. Considrese un instante despus de que, en algn punto de un fluido, se ha ocasionado un cambio de presin. Este cambio puede haber sido el resultado del movimiento de un cuerpo slido, tal como un mbolo, de la ruptura de una membrana delgada a travs de la cual haya existido una diferencia de presin, o de una descarga elctrica como la de un rayo. No todo el fluido ha experimentado ya el cambio de presin y, por tanto, a cierta distancia del lugar en el que se origin el cambio, existe una discontinuidad de presin ms o menos abrupta. Esta discontinuidad se conoce como una onda de presin: adelante de sta se encuentra an la presin original p; detrs de la misma se encuentra la nueva presin p + p. Una onda producida por el movimiento de un mbolo plano, dentro de un ducto de seccin transversal constante, y en ausencia de friccin, permanecera por completo plana, pero aun si la onda se extiende como una superficie esfrica y en forma radial hacia afuera en todas direcciones, se puede considerar plana una parte de la misma lo suficientemente pequea. La siguiente muestra una parte W de la onda, lo bastante pequea para que se le pueda considerar plana. La onda se propaga entonces hacia la derecha con una velocidad c. Presin p + p p p + p p Velocidad V + V V V c + V V - c Densidad + + W c W estacionaria

Fig. 9.02 Propagacin de un pulso de presin infinitesimal La existencia de la diferencia de presin p a travs de la onda, indica que sobre la capa de fluido inmediatamente al frente de sta acta una fuerza no equilibrada y que dicha capa est siendo acelerada. Al ir avanzando la onda, se aceleran otras capas en forma. similar. Pero una vez que se ha establecido el aumento total de presin, ya no ocurre aceleracin adicional del fluido. As, la componente de la velocidad del fluido, perpendicular a la onda, cambia de V (la cual puede ser positiva, negativa o cero) hasta V + V.

Como la velocidad del fluido en un punto cambia cuando la onda pasa por ese punto, el flujo no es permanente y por ello no se puede analizar por medio de las ecuaciones desarrolladas para el flujo permanente. Sin embargo, desde un sistema de ejes de coordenadas que se moviera con velocidad c, la onda permanecera estacionaria. y las velocidades medidas con respecto a esos ejes, no cambiaran con el tiempo. As, la figura de la derecha muestra la situacin segn se vera por un observador que se moviera con los nuevos ejes, es decir, como un flujo permanente.


Ecuacin de continuidad: El principio de continuidad requiere que a travs de un rea A de la onda

( + ) (V - c + V) A = (V c ) A V c + V + V c + V = V - c V + V c + V = 0 se obtiene: ( c V ) = ( + ) V Ecuacin de momentum: En vista del poco espesor de la onda, se pueden

despreciar los efectos de la friccin. Entonces, para un volumen de control que encierre al rea A de la onda, la ecuacin del momentum da

Fuerza hacia la derecha = rgimen de aumento de momentum hacia la derecha ( p + p ) A p A = ( V - c ) A ( V - c ) ( V - c ) A ( V c + V )

p = ( V - c ) ( - V ) de donde : p = ( c - V ) V La eliminacin de V de las dos ecuaciones da :

( )2 pU V

+ =

Para una onda de presin dbil 0, la ecuacin anterior se vuelve : (U V ) 2 = dp / d; Ya que el miembro izquierdo de esta ecuacin representa la velocidad de la onda de presin con respecto al fluido adelante de la misma, se propaga un pequeo cambio de presin a una velocidad U V = c = (dp l dp) con relacin al fluido. Ahora, para una onda de presin dbil, los cambios en la densidad, la presin y la temperatura son excesivamente pequeos. No slo es despreciable la friccin resultante de tan pequeo cambio de velocidad, sino que la extrema pequeez de las diferencias de temperatura junto con la rapidez de propagacin indica que la transferencia de calor a travs de la onda es tambin en extremo pequea. En consecuencia, el paso de la onda es un proceso que se puede considerar, con una aproximacin muy cercana, tanto adiabtico, como sin friccin. Es decir, el proceso es isentrpico, y se puede escribir c2 = ( p / ) S; [ 9.13 ]

Velocidad de la onda de presin en lquido Se puede observar de paso que, para un fluido por completo incompresible p = 0 cualquiera que sea el valor de p y, por lo tanto, c ser infinita, es decir, los cambios de presin se transmitirn a travs del fluido en forma instantnea. Para cualquier fluido, el mdulo volumtrico de elasticidad E, se define por E = p / con lo que: c = /E [ 9.14 ]

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9-10

Para el agua E = 22 x 108 Pa, = 1 000 kg / m3; c = 1 483 m / s.

Velocidad de la onda de presin en un gas ideal Para un gas ideal, la relacin entre la presin y la densidad en un proceso isentrpico est dada por: p / k = constante Ln p k Ln = 0 dp / p k d / = 0 dp / d = k p / En [ 9.13 ] : = /pkc De la ecuacin de estado: p / = RT TRkc = [ 9.15 ] El sonido se propaga por medio de una sucesin de ondas de presin muy pequeas en las cuales p es alternativamente positiva y negativa. (El sonido ms tenue que el odo humano puede detectar sin ayuda, corresponde a una fluctuacin de presin de cerca de 3 X 10 -5 Pa; el sonido ms fuerte que se puede tolerar sin sufrir dolor fsico, corresponde a una fluctuacin de cerca de 100 Pa.) La velocidad representada por las Ecs. 9.13 a 9.15, se conoce por lo anterior como la velocidad del sonido, o velocidad snica, o velocidad acstica en el gas. Ya que esta velocidad es una funcin de la temperatura, en general vara de punto a punto del fluido. La validez de las suposiciones hechas para derivar las expresiones, se comprueba por la excelente concordancia encontrada en las determinaciones experimentales de la velocidad del sonido. Para un aire de humedad moderada y k = 1,4 y R = 287 J/(kg K); de modo que a 15C Para aire: k = 1,4; R = 287 J / kg-k c = 20,045 T m / s. [ 9.16 ] Para T = 288 K c = 340 m / s La velocidad del sonido es apreciablemente menor en las grandes alturas, debido a la baja temperatura ah existente. Es importante notar que las expresiones precedentes se refieren slo a ondas en las cuales el cambio de presin es muy pequeo en comparacin con la propia presin. Posteriormente se estudiarn las ondas en las cuales ocurren cambios de presin comparativamente grandes. La suposicin de la entropa constante no se justifica para estas ondas ms grandes, y stas se mueven a velocidades mayores que la del sonido. EJEMPLO 9.02: A travs de un pequeo pulso de compresin dado, la presin se eleva a 0,689 kPa. Determinar la velocidad del aire que sigue a este pulso, si su movimiento se realiza en aire a p = 101,3 kPa y T = 20C


SOLUCION Ecuacin de continuidad: ( ) AdVc )(dAc +=

( ) /dcdV = (1)

Ecuacin de impulso: ( ) ( )VdcAcpdpAcpA ++=+ 2

Vdcpd = (2) De la ecuacin de estado: = p / RT

33

m/kg2046,1293x28710x3,101p ==

La velocidad del sonido: c = 20,045 293 = 343,115 m / s Reemplazando valores en (2): 0,689 x 10 3 Pa = 1,2046 kg/m3 x 343,12 m / s dV

dV = 1,667 m / s La velocidad que sigue al pulso de presin:

V = c dV = 343,115 1,667 = 341,45 m / s.

EJEMPLO 9.03: Calcular la velocidad del sonido en monxido de carbono a las condiciones absolutas de p =200 kPa. y T = 300C Calcule la velocidad del sonido del monxido de carbono a las condiciones de presin absoluta igual a 200 kPa y 300C. SOLUCION Para el monxido de carbono se tiene: k = 1,4; M = 28,01 kg / kmol

y

kmolkgkkmolJ

MR R

/01,28/8314

== = 297 J / kg-k

Luego, la velocidad del sonido: c = kRT = 488 m / s Comparando con la velocidad del sonido en aire a 101,3 kPa y 15C

smxxc /17,3402882874,1 ==

Se observa que es mayor en aproximadamente 1,43 veces.

Flujo compresible

9-12

EJEMPLO 9.04: Demostrar que para un gas perfecto la variacin de presin a travs de un pequeo pulso de presin esta dada por:

dpp

kdVc

=

y que la variacin de temperatura absoluta est dada por:

c

dVkTTd )1( =

SOLUCION Al aplicar la ecuacin de continuidad y momentum, al volumen de control de la figura 9.02, se obtienen los siguientes resultados:

dcdV = ; continuidad

cdpdV

= , momentum

De la ecuacin de momentum : c

dVcdVcdp 2 ==

de la ecuacin (15), para un gas ideal : c2 = k p

luego: c

dVpkdp = c

dVkp

dp= ........1..

El movimiento de un pulso de presin, es prximo a un proceso isentrpico :

p/k = constante

Ln p k Ln = Ln c

0=dk

pdp .......

dk

pdp

= ...2..

de la ecuacin de estado: p = RT Ln p = Ln + Ln R + Ln T

TdTd

pdp

++= 0 ......

TdT

pdpd

= 3

reemplazando (3) en (2): p

dpk

kTdT 1

=

introduciendo la ecuacin (1), se obtiene: c

dVkTTd )1( = 4


9.2.2 NUMERO DE MACH

Cuando la velocidad del fluido en un punto particular es mayor que la velocidad del sonido en ese punto, es posible que se propaguen pequeas ondas de presin tanto corriente arriba como corriente abajo. No obstante, cuando la velocidad del fluido excede de la velocidad snica local a, no se puede propagar corriente arriba una onda de presin pequea. Por lo anterior, una velocidad igual a a, divide en forma muy definida dos tipos diferentes, esenciales, de flujo. Es til expresar la velocidad del fluido en tnninos de la velocidad snica. La relacin (velocidad del fluido) / (velocidad snica) se conoce como el nmero de Mach (vase la Sec. 8.5.4). El smbolo que se emplea por lo general es M; ste no es consistente con la notacin usual de dos letras utilizadas para los parmetros adimensionales, pero se usa con mayor amplitud que el de Ma y es ms simple para el trabajo algebraico. Las velocidades de fluido menores que la velocidad snica, se conocen como subsnicas (M < l), aquellas mayores que la velocidad snica se conocen corno supersnicas (M > l). Para un fluido por completo incompresible, a valdra infinito y, por tanto, M siempre valdra cero

Al definir un fenmeno compresible, son parmetros importantes la

velocidad y la temperatura; un parmetro adimensional que mide la actuacin de ambas variables es el nmero de Mach, definido como:

V Velocidad del flujoMC Velocidad del sonido

= = [ 9.17 ]

TRK

VM = ; para un gas ideal

El nmero de Cauchy, se define : EVaC

2=

Al flujo compresible se le clasifica segn su nmero de Mach en:

Flujo subsnico 0,0 0,4 :0,4 1,0 :

M IncompresibleM Compresible

<

Flujo compresible

9-14

(1) Estacionario V = 0 (2) Flujo subsnico. V < C Fig. 9.03 : (2) : Si la perturbacin se produce en un fluido que se mueve de izquierda a

derecha a una velocidad V < C y observando el frente de una onda desde una posicin en reposo, en sucesivos intervalos de tiempo, ya no se tendr esferas concntricas; debido a que la propagacin se desplaza esfricamente respecto del fluido a una velocidad V aguas abajo. Queda claro que, como V < C, las esferas no se pueden cortar nunca

(3) Flujo snico V = C (4) Flujo supersnico V > C

Fig. 9.04 (3) Cuando V = C, flujo snico, los frentes de onda emergen, para formar un

frente plano y el fluido que est delante, de este frente, no recibe ningn efecto del movimiento.

(4) Considerando que el fluido V > C, que es el caso de un flujo

supersnico, el frente de onda de una perturbacin se observa a intervalos sucesivos, como se indica en la figura. El centro para trazar las esferas, se mueve aguas abajo ms rpido que la velocidad del sonido, la cual se propaga radialmente en relacin a la corriente; y se observa que las esferas forman una superficie tangencial cnica que se denomina cono de Mach.


Por consideraciones geomtricas:

C .t C 1 1Sen= = = =V .t V V/C M

ngulo de Mach = arc sen ( 1 / M ) [ 9.17 ] EJEMPLO 9.05: Un cierto avin vuela con el mismo nmero de Mach independiente de su altura de vuelo. Un estudiante razona lo siguiente : Dado que el vuelo lo realiza con nmero de Mach constante , (independiente de su altitud), resulta que para cubrir una distancia horizontal de 1500 km emplear el mismo tiempo volando a una altitud de 10 km o volando a una altitud de 1 km.

a. Es correcto el razonamiento?. b. Si la respuesta a la pregunta anterior es negativa, Volando a que

altitud el avin emplear un menor tiempo en cubrir la distancia horizontal de 1500 km?.

c. Cuando est a 10 km. de altitud en una atmsfera ISA, se sabe que vuela a una velocidad que es 100 km / h inferior a su velocidad de vuelo a una altitud de 1 km. sobre el nivel del mar. Calcular el nmero de Mach y la velocidad de vuelo a la altitud de 1 km. y 10 km.

SOLUCIN: T2 = T1 - L (z2 z1 )

Para emplear el mismo tiempo t en cubrir la distancia d, se requiere que tengan la misma velocidad V: d = V x t. Es decir V2 = V1 . En M = V / C, la velocidad del sonido C, es funcin de la temperatura y como T2 es menor que T1 C2 < C1.

Para que se verifique la ecuacin: M = 1

1

2

2

CV

CV

= , debe ser V2 < V1.

T2 = - 50 C

T 1 = 8,5 C

Flujo compresible

9-16

Luego: a) El razonamiento es incorrecto. Se ha confundido Mach como velocidad. b) Como V 2 < V1

volando a una altura de 1 km, el avin emplear menor tiempo en cubrir la distancia de 1 500 km.

c) Clculo del nmero de Mach V1 - V2 = 100 km / h = ........................(1)

M =1

1

2

2

CV

CV

= ..............................................(2)

De (2): 2

2

21

21

2

21

2

21

2

1

2

1

CV

CCVV

CCC

VVV

CC

VV

=

=

=

Luego : M = s/m)299336(

s/m6,3/100

= 0,751

b.2) Clculo de las velocidades de vuelo. V = 0,751 x 336 m/s = 252,34 m/s V = 0,751 x 299 m/s = 224,55 m/s EJEMPLO 9.06: Se dispara una bala con velocidad de 820 m / s en sentido opuesto a una corriente de aire cuya temperatura es 20C y su velocidad de 150 m / s. Calcular:

a. El nmero de Mach del flujo de aire. b. El nmero de Mach de la bala si sta se hubiese disparado en aire

tranquilo. c. El nmero de Mach de la bala respecto a la corriente de aire.

SOLUCIN

a) El nmero de Mach del aire: Ma = CVa =

343150 = 0,437

C = 20,045 293 = 343 m / s

b) El nmero de Mach de la bala en aire tranquilo:

Mb = CVb =

343820 = 2,39


c) El nmero de Mach de la bala respecto a la corriente de aire de velocidad igual a 150 m / s:

Mb = C

VaVb + = 343

150820 + = 2,83

EJEMPLO 9.07: Una perturbacin acstica continua se emite desde un manantial que se mueve a M = 2,5 en atmsfera isoterma a una altitud de 4 km. sobre la superficie terrestre local.

a. Determinar el tiempo que tarda un observador (ubicado en un observatorio a 200 m sobre la superficie ), en or la perturbacin a partir del momento en que sta se encuentra encima del observador y a que distancia horizontal del observador se encuentra.

b. Si el observador se encuentra en el suelo y se mueve en la misma direccin que la perturbacin con velocidad igual a 0,5 la velocidad del sonido : Determinar el tiempo transcurrido entre el instante en que la perturbacin est directamente encima y el instante en que el observador oye el sonido.

c. Lo mismo que (b), con el observador movindose en direccin contraria al movimiento del manantial. Determine la distancia horizontal a la que se encuentra la perturbacin con respecto a la posicin original del observador.

Las condiciones del aire atmosfrico a nivel del mar: 760 mm Hg, 15,5 C El ngulo de Mach: = arc. Sen ( 1 / 2,5 ) = 23,58 La velocidad del sonido = 20,045 15,288 = 340,264 m / s a) De la figura:

Flujo compresible

9-18

tg = L

hH = L

3800 L = 8 706 m

sen = L

tC = 8706340 t t = 10,24 s.

b) El observador se mueve con velocidad: Vo = 0,5 C

tg = tvoVp

H)(

=tC

H2

tg 23,58 = tx

m3402

4000 t = 13,47 segundos.

La distancia horizontal a la que se encuentra la perturbacin L = Vp x t = 850,66 x 13,47 = 11,458 km. c) El observador se mueve con velocidad Vo = 0,5 C, en sentido contrario al

movimiento de la perturbacin.

tag = tVoVp

H)( +

= tC

H3

= tx3403

4000

t = 8,98 s

La distancia horizontal a la que se encuentra la perturbacin: L = Vp x t = 850,66 m / s x 8,98 s. = 7 639 m

PROBLEMAS

P1. Suponga que en un ensayo un misil de crucero se mueve horizontalmente a M = 2 en la atmsfera, a una elevacin de 305 m por encima de la superficie de la Tierra. Cunto tiempo tarda un observador sobre el terreno en or la perturbacin, a partir del instante en que el misil se encuentra directamente encima de l? Suponga una atmsfera estndar P2. Suponga que en el problema anterior un observador en un avin se mueve en la misma direccin del misil a una velocidad igual a la mitad de la velocidad del sonido y a una elevacin de 305 m por encima del misil. Cunto tiempo pasa entre el instante en que el misil se encuentra directamente por debajo del observador y el instante en que ste oye el sonido? Ignore los cambios de c desde 305 m hasta 610 m de elevacin.


9.2.4 CONDICIONES DE ESTANCAMIENTO ISENTRPICO Considere el flujo permanente de un fluido cualquiera que sale de un depsito grande (reservorio) a travs de un tubo de seccin recta variable (una tobera) y descarga hacia un ambiente dado. Si a lo largo de este conducto no se suministra calor al fluido (o se extrae del mismo), y tampoco se realiza trabajo mecnico, se puede poner q = 0 y Weje = 0. Si el tubo no es demasiado ancho y el rea de su seccin recta A varia lentamente a lo largo de su longitud, se puede considerar que todas las magnitudes que caracterizan el flujo sern funciones nicamente de la coordenada a lo largo del eje del tubo; es decir se tendr un flujo uniforme y unidimensional Se requiere hallar expresiones para evaluar la variacin de las propiedades a lo largo del conducto de rea variable, as como determinar el flujo msico.

El fluido se expande y en la seccin de rea mnima se alcanza M = 1. esto divide en dos zonas el flujo: subsnico y supersnico. M < 1 M > 1 M = 1

FIG. 9,07 CONDUCTO ADIABTICO

p B

B

T B

Ambiente

Flujo compresible

9-20

Diagrama h - S h,T h,T To To ps ps S S

a. Expansin Isentrpica b. Expansin irreversible

Figura 9.08 Expansin adiabtica

En primer trmino considere que se desarrolla una expansin isentrpica. En la regin de la izquierda, en el reservorio, se puede aceptar que la velocidad es pequea por lo que se puede despreciar su valor.

Por lo general, las condiciones del reservorio se conocen, de manera que las condiciones del flujo en un punto cualquiera del conducto pueden expresarse en funcin de stas condiciones de reservorio. Ecuaciones fundamentales:

Continuidad : .m = 1 V1 A1 = 2 V2 A2 = Constante

m = V A = constante

G = .

m / A = V caudal en masa por unidad de rea, flujo msico por unidad de rea o gasto msico

Impulso: F = ( p1 A1 + 1 V1A1 V1 ) ( p2 A2 + 2 V2 A2 V2 )

F: Fuerza ejercida por la pared del conducto sobre el fluido. E = - F: Empuje del fluido sobre la pared entre las secciones 1 y 2. F = ( p A + V 2 A )

Energa : 2/2/ 2222

11 VhVhho +=+=

2Vho h constante2

= + =


NOTA :

12121

122

22

2

221 uuzg

Vpzg

pwq

Veje +

++

+++=

Con : h = p / + u 12

21

22

22 zg

Vzg

Vh +=+=

teconszgVh tan2

2=+=

Esta es la forma general de la ecuacin para el flujo permanente adiabtico en el cual el fluido (gas, lquido o vapor) ni realiza trabajo sobre sus alrededores, ni lo recibe de stos. Si el fluido es un gas perfecto : h = Cp T; p / T = constante

teconszgVTpC tan2

2=++

teconszgVTk

Rktan

21

2=++

teconszgVpkk

tan21

2=++

Se notar que las suposiciones implcitas en estas ecuaciones, no incluyen la de la ausencia de friccin. Esto se debe a que las ecuaciones incluyen las energas tanto interna como mecnica. La friccin, simplemente implica la conversin de energa de una clase en una cantidad equivalente de energa de otra clase, la que para condiciones adiabticas permanece en el fluido, con lo que la energa total no cambia.

Para los gases el trmino gz se considera por lo general despreciable si se le compara con los dems trminos de la ecuacin; y tambin por lo general, los cambios de z son pequeos. (Por supuesto, cuando la densidad es variable, no se puede usar el concepto de la presin piezomtrica p + gz.)

Las ecuaciones se puede reducir entonces a :

teconsVpkk

tan21

2=+

h + 21

V 2 = constante

Esta claro que en el flujo adiabtico permanente, un aumento de

velocidad debe ser acompaado por una disminucin de entalpa, y una disminucin de velocidad debe ser acompaada por un aumento de entalpa.

Para una lnea de corriente dada, la entalpa especfica es mxima cuando la velocidad vale cero (en el punto de estancamiento), y este valor mximo se denomina la entalpa de estancamiento ho . La temperatura de

Flujo compresible

9-22

estancamiento To correspondiente para un gas perfecto es ho/cp y, por tanto, se puede escribir la ecuacin de la energa :

ho = h + 21 V 2 = constante

teconspC

VTTo tan2

2=+=

Si se hace un intento de medir la temperatura de un gas que fluye, colocando un termmetro o un dispositivo similar en la corriente, la temperatura registrada ser mayor que T. la ecuacin de la energa muestra que la temperatura de estancamiento excede a T por V2 / 2cp. Para el aire cp = 1005

J/(kg K) y, por lo tanto, el exceso vale 2

222010 m

KSV

As, la temperatura de estancamiento para una corriente de aire, por

ejemplo, 200 m / s, excede de la temperatura esttica ordinaria en cerca de 20 K, y el cono de la parte anterior de un cohete que viaje a travs del aire a, por ejemplo, 2 km / s, debe resistir una elevacin de temperatura que se aproxima a 2000 K !. No obstante, aunque en el bulbo del termmetro se alcanzara la temperatura de estancamiento, en el punto de estancamiento, esa temperatura se elevara menos en otros puntos sobre el mismo y, por tanto, la temperatura promedio registrada por un termmetro ordinario sera algo menor que la temperatura de estancamiento.

La temperatura esttica no se puede medir en forma directa por medio de un instrumento estacionario. (solo se podra medir por medio de un termmetro u otro instrumento que se moviera a la misma velocidad del gas).

2da Ley de la termodinmica : So = S1 = S2 = constante

Gas perfecto : = ( p,T ) p / T = R = constante

h = h ( p, T ) h = h( T ) = Cp T u = u ( p, T ) u = u( T ) = Cv T

de la ecuacin de energa, para un gas ideal: ho = h + V 2 / 2 Cp To = Cp. T + V 2 / 2

TTo = 1 +

pCV

2

2 = 1 +

21k kRT

V 2

TTo

= 1 + 2

1k M 2 [ 9.19 ]

donde To es la denominada temperatura de estancamiento y T es la temperatura esttica.


En el caso de un flujo adiabtico irreversible, se observa que se alcanza la misma entalpa de estancamiento que el flujo isentrpico, siempre que el flujo alcanza la velocidad cero; resultando que la ecuacin (9.19) es aplicable al flujo adiabtico irreversible y como al flujo adiabtico reversible. Volviendo la atencin sobre la ecuacin de energa :

Cp.To = Cp. T + V 2 / 2

1kkR

To = 1kkR

T + V 2 / 2

2

1oC

k =

1

2

kC +

2

2V [ 9.20 ]

Ecuacin de velocidades En esta ecuacin, si el fluido se expande hasta el cero absoluto de temperatura ( c = 0 ) se obtiene la velocidad mxima de expansin adiabtica:

Vmx = 1

2k

Co [ 9.21 ]

Para aire : Vmx = 2,24 Co

En cualquier punto de un flujo adiabtico, si el flujo se frena isentrpicamente hasta una velocidad cero, se alcanzara la misma entalpa de estancamiento. Por otra parte, si el flujo real no fuese adiabtico se alcanzara con toda probabilidad un valor diferente de la entalpa de estancamiento en cada punto. Sin embargo, en todos los casos, se puede fijar por este medio una entalpa de estancamiento o en su lugar, cualquier otra propiedad de estancamiento en cada punto de cualquier flujo dado.

Se define el estado de estancamiento isentrpico (EEI), como aquel estado en que la velocidad del flujo se hace cero, mediante un proceso de deceleracin isentrpico hipottico a partir de un punto determinado de un flujo real cualquiera. h,T po h,T po1 poa po To To p a p 1

S S

a. Compresin Isentrpica b. Compresin irreversible

Fig. 9.08 Flujo adiabtico

Flujo compresible

9-24

La relacin de presiones y de densidades pueden obtenerse a partir de la ecuacin de estado y la ecuacin del proceso isentrpico.

tan

tan

o

k

p po Tocons teT p T

kp po ocons te

p

= =

= =

Ahora

1kpo po To

p p T

=

o ok

ToT

=

1k

kpo Top T

=

1

ok

ToT

=

Usando la ecuacin (9.19): 1

2112

kk

po k Mp

= +

[ 9.22 ]

21

112

o

kk

k M

= +

[ 9.23 ]

Reagrupndolas en una sola ecuacin

1 1211

2

k kk oTo k poM

T p

= + = =

[ 9.24 ]

Esta ecuacin es til tambin en el caso de un flujo no isentrpico de un gas perfecto, en que las presiones, temperaturas y densidades locales de estancamiento pueden calcularse empleando los nmeros de Mach, presiones, temperaturas y densidades locales reales.

Uso del Tubo de Pitot en un flujo subsnico :

Se ha deducido ecuaciones para expresar la razn po/p, tanto para flujo compresible como incompresible.

po = p + 1 / 2 V 2 Incompresible

1211

2

kkop k M

p = +

Compresible


Fig.9.09 relacin de temperatura Fig. 9.10 relacin de presiones Poniendo ambas expresiones en trminos del nmero de Mach, se puede comparar su comportamiento y determinar las condiciones bajo las cuales el flujo compresible puede tratarse como incompresible.

I) 2

12

12

1222 Mk

RTV

pV

ppo

+=+=+=

( 1 )

II) La ecuacin del flujo compresible, se puede expandir utilizando el

teorema del binomio:

(1+x)n = 1 + n x + !2)1( 2xnn +

!3)2)(1( 3xnnn +................................

condicin: x2 < 1; acorde con 2

1k M2 < 1

identificando: x = 2

1k M2 ; n = 1k

k

luego :

( )

+

+++= ...............

242

41

21

422 MkMMkppo

22

21

21 VppoMk

ppo

+=+= ..................(2)

Flujo compresible

9-26

Comparando las ecuaciones (1) y (2), el factor se puede interpretar como un factor de correccin por compresibilidad.

( ) 42 21 ...............4 24

k MM

= + + +

Fig. 9.11

EJEMPLO 9.08: Demostrar que la ecuacin de continuidad para un gas perfecto puede escribirse como :

021

=++TdT

AdA

MdM

pdp

SOLUCION Partiendo de:

teconsTAMpKRTm

teconsAKRTMTRpAVm

tan/

tan

2/1 ==

===

Logaritmando: Cte. = Ln p + Ln M + Ln A - Ln T = Cte.

0

21

=++TdT

AdA

MdM

pdp

Condiciones de estancamiento 9-27

9.2.5 CONDICIONES CRTICAS ISENTRPICAS Son las correspondientes al estado que se alcanza cuando partiendo

de un estado dado de un flujo cualquiera se llega a la velocidad del flujo local igual a la velocidad del sonido local, mediante un proceso isentrpico. An en aquellos casos en que no exista un punto para un flujo dado donde V = C, esta condicin hipottica resulta til como una condicin de referencia. Las propiedades se denotan por un asterisco: V*, C*, *, p*, T*. T T O po po po To To V* 2 / 2 Cp

p* V 2 / 2 Cp

p* 1 T

p p

S S (a) (b) Fig. 9.11 a. Aceleracin o deceleracin isentrpica

b. Deceleracin adiabtica irreversible

De la ecuacin ( 9.20 ) : 1k

Co = 1

2

kC +

2

2V

con V = C, se obtiene : Cok

CV1

2**

+== [ 9.25 ]

Para el aire : C* = 0,913 Co

A partir de la ecuacin ( 9.24 ) :

112

21

1

=

=

+=

kk

ko

ppoMk

TTo

se obtiene : 11

**21

*

=

=

+=

kk

ko

ppok

TTo

[ 9.26 ]

Para el aire : K = 1.4 : T* =To / 1,2; p* = 0,5283 po; * = 0,6339 .

Combinando (9.24) y (9.26) :

2)1(2

1* Mk

kTT

+

+=

11

=

=

kk

k

pp

[ 9.27 ]

Se define el nmero de mach crtico como :

Flujo compresible

9-28

***

VV

CVM == [ 9.28 ]

O sea la velocidad local del flujo referida a la velocidad del sonido crtico.

La relacin entre M y M* para un flujo adiabtico, se obtiene de la definicin

de M* y M.

**** 2

2

2

2

2

2

22TTM

C

C

C

V

C

VM ===

De (9.27) : 2)1(2

1* Mk

kTT

+

+=

Luego : 2

22

211

21

*Mk

Mk

M

+

+

= [ 9.29 ]

2

22

*111

*1

2

Mkk

MkM

+

+= [ 9.30 ]

El valor de M* es un ndice simple de cuando el flujo es subsnico y cuando es supersnico. Cuando

M < 1 M* < 1

M > 1 M* > 1

M = 1 M* = 1

M = 0 M* = 0

M 1k1k*M

+

=

9.2.6 ESTADOS DE REFERENCIA El nmero de Mach tiene la desventaja de depender no nicamente

de la velocidad del flujo, si no tambin del estado del fluido, especialmente de la temperatura, adems, para ciertas condiciones puede alcanzar valores muy grandes, inconvenientes para representar las variaciones de propiedades en forma tabular. Estas condiciones llevan a buscar como parmetros de referencia otros valores como el estado de estancamiento y el estado crtico.


1122

11

=

=

+=

kk

ko

ppoMk

TTo

21k

*TT +

=1k

k1k

pp

=

=

)1(2/)1(2

21

2111

*

+

+

+

=

kk

k

Mk

MAA

2

2

211)1(2

1*

MkkM

MkII

++

+=

Estas ecuaciones se pueden graficar o se pueden elaborar tablas.

Fig. 9.12 Funciones para un flujo isentrpico

Flujo compresible

9-30

EJEMPLO 9.10 : Un flujo adiabtico y permanente de aire, circula a travs de una tubera rectilnea de gran longitud de seccin transversal igual a 0,05 m2.

a la entrada ( seccin 1 ) el aire se encuentra a una presin absoluta de 200

KPa y 60 C teniendo una velocidad de 146 m / s. En una seccin 2 aguas

abajo, el aire se encuentra a una presin absoluta de 95,6 KPa. Y tiene una

velocidad de 280 m / s. Determinar:

a. El flujo msico de aire y la velocidad mxima de expansin adiabtica.

b. Las condiciones de estancamiento en las secciones 1 y 2. po, o, To,

c. Las condiciones crticas en las secciones 1 y 2. p*, *, T*

d. Los cambios de entalpa y entropa

1 2

p1 = 200 kPa p2= 95,6 kPa

T1 = 60C A= 0,05 m2 V2 =280 m / s.

V1 = 146 m / s

SOLUCION

a). El flujo msico : 111 AVm =

3/0927,2333/287

000200

1

11

mkgKKkgJ

PaTR

p=

==

luego skgmsmmkgm /277,1505,0/146/0927,2 23 ==

La velocidad mxima de expansin adiabtica :

Cok

mxkCo

kCV V

12

112

222

=

=

+

smC /366333045,20 ==

smCokCo

k/57,371

11366

2146 222

=

=

+

y smsmk

mxV /86,830/57,3711

2=

=


b) Condiciones de estancamiento en las secciones 1y 2 :

T po1 po2

To 1 p1 T* p2 2 S1 S2 S

La ecuacin : 112

211

=

=

+=

kk

ko

ppoMk

TTo

Es aplicable a la seccin 1 y seccin 2 :

Seccin 1 : T1 = 333 K; p1 = 200 kPa; 1 = 2,0927 kg / m3

KCp

VTTo 61,343

5,10042

21463332

21

1 =+=+=

14,1

0927,21

14,1

20012

1214,1

1333

61,343

=

=

+= ok

poM

To1 = 343,61 K

M1 = 0,399

po1 = 223,206 kPa

o1 = 2,2634 kg / m3

Seccin 2 :

To2 = To1 = To = 343,61 K

KTCp

VTTo 61,343

5,10042

228022

22

22 =+=+=

T2 = 304,59 K

2 = p2 / RT2 = 95 600 / (287 304,59) = 1,0936 kg / m3

Flujo compresible

9-32

14,1

0936,12

14,1

600,9522

2214,11

59,30461,343

=

=

+= ok

poM

To2 = 343,61 K

M2 = 0,80

po2 = 145,775 kPa

o2 = 1,4782 kg / m3

d) Las condiciones crticas correspondientes a la seccin 1 y 2 :

La ecuacin 21

*

* +=

kT

oT1

*

*1

*

*

=

=

kok

k

p

po

Es aplicable en la seccin 1 y 2

Seccin 1 : 2

14,1*

1

61,343 +=

T

14,1

*1

2634,24,114,1

*1

206,223

=

=

p

T1* = 286,34 K C1* = 339,193 m / s

p1* = 117,916 kPa

1 = 1,435 kg / m3

Seccin 2 : 2

14,1*2

61,343 +=

T

14,1

*2

4782,14,114,1

*2

775,145

=

=

p

T2* = 286,34 K C1* = 339,193 m / s

p2* = 77,010 kPa

2 * = 0,4923 kg / m3

d) Cambio de entalpa : h = h2 - h1 = Cp (T2 T1 )

h = 1,0045 kJ / kg-K ( 304,59 333 ) = - 28,538 kJ / kg

cambio de entropa : S = - R Ln ( po2 / po1 )

S = - 287 J / kg-K Ln ( 145,775 / 223,206 ) = 122,27 J / kg.

SEGUNDA LEY DE LA TERMODINAMICAQ (+)W (+)EL GAS PERFECTOEcuacin de estadoCambio de energa interna y entalpaRelacin de calores especficosCalores especficos constantesCambio de entropaProceso isentrpico(3) Flujo snico V = C (4) Flujo supersnico V > CFig. 9.04Cuando V = C, flujo snico, los frentes de onda emergen, para formar un frente plano y el fluido que est delante, de este frente, no recibe ningn efecto del movimiento.Considerando que el fluido V > C, que es el caso de un flujo supersnico, el frente de onda de una perturbacin se observa a intervalos sucesivos, como se indica en la figura. El centro para trazar las esferas, se mueve aguas abajo ms rpido que la ...Por consideraciones geomtricas:ngulo de Mach ( = arc sen ( 1 / M ) [ 9.17 ]SOLUCIN: T2 = T1 - L (z2 z1 )Para emplear el mismo tiempo t en cubrir la distancia d, se requiere que tengan la misma velocidad V: d = V x t. Es decir V2 = V1 .En M = V / C, la velocidad del sonido C, es funcin de la temperatura y como T2 es menor que T1 ( C2 < C1.Para que se verifique la ecuacin: M = , ( debe ser V2 < V1.Luego:a) El razonamiento es incorrecto. Se ha confundido Mach como velocidad.b) Como V 2 < V1volando a una altura de 1 km, el avin emplear menor tiempo en cubrir la distancia de 1 500 km.c) Clculo del nmero de MachV1 - V2 = 100 km / h = ........................(1)M = ..............................................(2)De (2): (Luego : M = = 0,751b.2) Clculo de las velocidades de vuelo.V = 0,751 x 336 m/s = 252,34 m/sV = 0,751 x 299 m/s = 224,55 m/sSOLUCINEl nmero de Mach del aire: Ma = = = 0,437C = 20,045 = 343 m / sEl nmero de Mach de la bala en aire tranquilo:Mb = = = 2,39El nmero de Mach de la bala respecto a la corriente de aire de velocidad igual a 150 m / s:Mb = = = 2,83El ngulo de Mach: ( = arc. Sen ( 1 / 2,5 ) = 23,58La velocidad del sonido = 20,045 = 340,264 m / sDe la figura:tg ( = = L = 8 706 msen ( = = t = 10,24 s.El observador se mueve con velocidad: Vo = 0,5 Ctg ( = =tg 23,58 = ( t = 13,47 segundos.La distancia horizontal a la que se encuentra la perturbacinL = Vp x t = 850,66 x 13,47 = 11,458 km.El observador se mueve con velocidad Vo = 0,5 C, en sentido contrario al movimiento de la perturbacin.tag ( = = =t = 8,98 sLa distancia horizontal a la que se encuentra la perturbacin:L = Vp x t = 850,66 m / s x 8,98 s. = 7 639 m9.2.4 CONDICIONES DE ESTANCAMIENTO ISENTRPICOConsidere el flujo permanente de un fluido cualquiera que sale de un depsito grande (reservorio) a travs de un tubo de seccin recta variable (una tobera) y descarga hacia un ambiente dado. Si a lo largo de este conducto no se suministra calor al f...Se requiere hallar expresiones para evaluar la variacin de las propiedades a lo largo del conducto de rea variable, as como determinar el flujo msico.El fluido se expande y en la seccin de rea mnima se alcanza M = 1. esto divide en dos zonas el flujo: subsnico y supersnico.M < 1 M > 1M = 1FIG. 9,07 CONDUCTO ADIABTICODiagrama h - SEn primer trmino considere que se desarrolla una expansin isentrpica. En la regin de la izquierda, en el reservorio, se puede aceptar que la velocidad es pequea por lo que se puede despreciar su valor.Por lo general, las condiciones del reservorio se conocen, de manera que las condiciones del flujo en un punto cualquiera del conducto pueden expresarse en funcin de stas condiciones de reservorio.Ecuaciones fundamentales:Continuidad : = 1 V1 A1 = 2 V2 A2 = ConstanteG = / A = V caudal en masa por unidad de rea, flujo msico por unidad de rea o gasto msicoImpulso: F = ( p1 A1 + 1 V1A1 V1 ) ( p2 A2 + 2 V2 A2 V2 )F: Fuerza ejercida por la pared del conducto sobre el fluido.E = - F: Empuje del fluido sobre la pared entre las secciones 1 y 2.F = ( p A + V 2 A )Energa :NOTA :Con : h = p / ( + uEsta es la forma general de la ecuacin para el flujo permanente adiabtico en el cual el fluido (gas, lquido o vapor) ni realiza trabajo sobre sus alrededores, ni lo recibe de stos.Si el fluido es un gas perfecto : h = Cp T; p / ( T = constanteSe notar que las suposiciones implcitas en estas ecuaciones, no incluyen la de la ausencia de friccin. Esto se debe a que las ecuaciones incluyen las energas tanto interna como mecnica. La friccin, simplemente implica la conversin de energa de...Para los gases el trmino gz se considera por lo general despreciable si se le compara con los dems trminos de la ecuacin; y tambin por lo general, los cambios de z son pequeos. (Por supuesto, cuando la densidad es variable, no se puede usar e...Las ecuaciones se puede reducir entonces a :h + V 2 = constanteEsta claro que en el flujo adiabtico permanente, un aumento de velocidad debe ser acompaado por una disminucin de entalpa, y una disminucin de velocidad debe ser acompaada por un aumento de entalpa.Para una lnea de corriente dada, la entalpa especfica es mxima cuando la velocidad vale cero (en el punto de estancamiento), y este valor mximo se denomina la entalpa de estancamiento ho . La temperatura de estancamiento To correspondiente pa...ho = h + V 2 = constanteSi se hace un intento de medir la temperatura de un gas que fluye, colocando un termmetro o un dispositivo similar en la corriente, la temperatura registrada ser mayor que T. la ecuacin de la energa muestra que la temperatura de estancamiento exce...As, la temperatura de estancamiento para una corriente de aire, por ejemplo, 200 m / s, excede de la temperatura esttica ordinaria en cerca de 20 K, y el cono de la parte anterior de un cohete que viaje a travs del aire a, por ejemplo, 2 km / s, ...La temperatura esttica no se puede medir en forma directa por medio de un instrumento estacionario. (solo se podra medir por medio de un termmetro u otro instrumento que se moviera a la misma velocidad del gas).2da Ley de la termodinmica : So = S1 = S2 = constanteGas perfecto : ( = ( ( p,T ) p / ( T = R = constanteh = h ( p, T ) h = h( T ) = Cp Tu = u ( p, T ) u = u( T ) = Cv Tde la ecuacin de energa, para un gas ideal: ho = h + V 2 / 2Cp To = Cp. T + V 2 / 2= 1 + = 1 += 1 + M 2 [ 9.19 ]donde To es la denominada temperatura de estancamiento y T es la temperatura esttica.En el caso de un flujo adiabtico irreversible, se observa que se alcanza la misma entalpa de estancamiento que el flujo isentrpico, siempre que el flujo alcanza la velocidad cero; resultando que la ecuacin (9.19) es aplicable al flujo adiabtico i...Volviendo la atencin sobre la ecuacin de energa :Cp.To = Cp. T + V 2 / 2To = T + V 2 / 2= + [ 9.20 ]Ecuacin de velocidadesEn esta ecuacin, si el fluido se expande hasta el cero absoluto de temperatura ( c = 0 ) se obtiene la velocidad mxima de expansin adiabtica:Vmx = Co [ 9.21 ]Para aire : Vmx = 2,24 CoEn cualquier punto de un flujo adiabtico, si el flujo se frena isentrpicamente hasta una velocidad cero, se alcanzara la misma entalpa de estancamiento. Por otra parte, si el flujo real no fuese adiabtico se alcanzara con toda probabilidad un va...Se define el estado de estancamiento isentrpico (EEI), como aquel estado en que la velocidad del flujo se hace cero, mediante un proceso de deceleracin isentrpico hipottico a partir de un punto determinado de un flujo real cualquiera.Fig. 9.08 Flujo adiabticoLa relacin de presiones y de densidades pueden obtenerse a partir de la ecuacin de estado y la ecuacin del proceso isentrpico.AhoraUsando la ecuacin (9.19): [ 9.22 ][ 9.23 ]Reagrupndolas en una sola ecuacin[ 9.24 ]Esta ecuacin es til tambin en el caso de un flujo no isentrpico de un gas perfecto, en que las presiones, temperaturas y densidades locales de estancamiento pueden calcularse empleando los nmeros de Mach, presiones, temperaturas y densidades loca...Uso del Tubo de Pitot en un flujo subsnico :Se ha deducido ecuaciones para expresar la razn po/p, tanto para flujo compresible como incompresible.po = p + 1 / 2 ( V 2 IncompresibleCompresibleFig.9.09 relacin de temperatura Fig. 9.10 relacin de presionesPoniendo ambas expresiones en trminos del nmero de Mach, se puede comparar su comportamiento y determinar las condiciones bajo las cuales el flujo compresible puede tratarse como incompresible.I) ( 1 )II) La ecuacin del flujo compresible, se puede expandir utilizando el teorema del binomio:(1+x)n = 1 + n x + + +................................condicin: x2 < 1; acorde con M2 < 1identificando: x = M2 ; n =luego :..................(2)Comparando las ecuaciones (1) y (2), el factor ( se puede interpretar como un factor de correccin por compresibilidad.Fig. 9.11SOLUCIONPartiendo de:Logaritmando:Cte. = Ln p + Ln M + Ln A - Ln T = Cte.

FLUJO COMPRENSIBLE

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